余弦定理的三种证明

A

B C c

b

a

C

B

A

D

a

b

c

A

B C

D

a

b

c

△ABC 中的三个内角∠A ，∠B ，∠C 的对边，分别用,,a b c 表示.

余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即

222=+-2cos c a b ab C , 222=+-2cos b a c ac B , 222=+-2cos a b c bc A

证明：按照三角形的分类，分三种情形证明之. (1)在Rt ABC ∆中，如图1-1 根据勾股定理: 2

2

2

=+c a b

因为cos =0C ,所以2

2

2

=+-2cos c a b ab C

因为cos =

a B c ,所以222

=+-2cos b a c ac B 因为cos =b A c

,所以222

=+-2cos a b c bc A

（2）在锐角△ABC 中，如图1-2 作CD AB ⊥于点D ，有

=sin ,=cos CD a B BD a B ，=-=c-cos AD AB BD a B

2222222=+=(sin )+(-cos )=+-2cos b CD AD a B c a B a c ac B

同理可证：

222=+-2cos c a b ab C , 222=+-2cos a b c bc A

（3）在钝角△ABC 中，如图1-3

作CD AB ⊥，交AB 的延长线于点D ，则

=sin =sin ,=cos =-acosB CD a CBD a B BD a CBD ∠∠，

=+=c-cos AD AB BD a B

2222222=+=(sin )+(-cos )=+-2cos b CD AD a B c a B a c ac B

按照（2）的方法可以证明：

222=+-2cos c a b ab C , 222=+-2cos a b c bc A

综上所述，在任意的三角形中，余弦定理总是成立.

A B

C

b

c

a

证明：在△ABC 中，令=AB c ，=AC b ，=BC a

a BC BA AC

b

c ==+=-

222222||()2||2||||cos ||a b c b b c c b b c A c =-=-⋅+=-⋅⋅+

即2

2

2

=+-2cos a b c bc A

同理可证：2

2

2

=+-2cos c a b ab C , 2

2

2

=+-2cos b a c ac B

证明：对于任意一个ABC ∆，建立直角坐标系如图所示， 那么(cos ,sin )A b C b C ，(,0)B a

因为余弦定理中涉及到2

c ，我们自然想到计算AB 的长度。 根据两点间的距离公式，我们有：

222222||(cos )(sin )2cos c AB b C a b C a b ab C ==-+=+-，

即2

2

2

2cos c a b ab C =+-