各省高中数学竞赛预赛试题汇编
(整理)全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编含答案
2012各省数学竞赛汇集2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为，则直线的斜率为___12____.6、已知a 是正实数，lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为____________.8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.（*n N ∈）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b C c B a +=（2）22sin cos cos 2C A Ba bc+=+12、已知,a b为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. （1）求实数,a b ； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)：专题14三角函数与解三角形第一缉(解析版)
专题 14 三角函数与解三角形第一缉
1．【2021 年江西预赛】△ 퐴�
72° ,则∠� =
.
中,AB= �, � = �, 퐴 = � ,且�4 + �4 + �4 = 2�2 �2 + �2 ,若∠퐴 =
【答案】63
【解析】cos2
3
−
52 4
.
7．【2021 年浙江预赛】已知△ 퐴� 三个顶点的坐标为퐴(0,0), �(7,0), (3,4) ,过点(6 − 2 2, 3 − 2) 的
直线分别与线段 AC,BC 交于 P,Q。若�훥��
=
14 3
,则|
�| + |
�| =
.
【答案】4
+
42 3
【解析】如下图所示,
设
(6 − 2 2, 3 −
,
sin(�
+
�)
=−
3 5
, sin
�−�
4
=
12 13
.则 cos
�
+
� 4
的值为
.
【答案】−
56 65
【解析】因为�, � ∈
3� 4
,
�
.所以� + � ∈
3� 2
,
2�
,
�
−
� 4
∈
� 2
,
3� 4
.
因为
sin(�
+
�)
=−
3 5
,
sin
�−�
4
=
12 13
,
所以
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 1/3D. -3.142. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-2)的值。
A. -1B. 3C. 5D. 73. 一个圆的半径为5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。
A. 11B. 13C. 15D. 175. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根？A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个三角形的内角和为______度。
7. 若a，b，c是三角形的三边，且a^2 + b^2 = c^2，则此三角形是______三角形。
8. 一个正六边形的内角为______度。
9. 将一个圆分成4个扇形，每个扇形的圆心角为______度。
10. 若sinθ = 1/2，且θ在第一象限，则cosθ = ______。
三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意实数x，等式e^x ≥ x + 1成立。
12. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。
13. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求前n项和Sn。
14. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。
15. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0），求椭圆的焦点坐标。
四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。
答案一、选择题1. A2. B3. B4. C5. A二、填空题6. 1807. 直角8. 1209. 9010. √3/2三、解答题11. 证明：设g(x) = e^x - (x + 1)，则g'(x) = e^x - 1。
当x < 0时，g'(x) < 0，当x > 0时，g'(x) > 0。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛试题
暨2023年全国高中数学联合竞赛一试试题（模拟4）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知11sin(),cos sin 36αβαβ-==，则cos(22)αβ+的值为．2．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246215,S S S ==-，则8S =．3．从圆内接正八边形的8个顶点中任取3个顶点构成三角形，则所得的三角形是直角三角形的概率是．4．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，若20231()1k f k ==-∑，则(0)f 的值为．5．已知z 为复数，且关于x 的方程243i 0x zx +++=有实数解，则z 的最小值为．6．在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左右两支交于,A B 两点，与Γ的渐近线交于,C D 两点，且,,,A C D B 在l 上顺次排列．若OA OB ⊥，,,AC CD DB 成等差数列，则Γ的离心率的取值范围是．7．已知在四棱锥P ABCD -中，60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒,,APC BPD PB PD ∠=∠=．若该四棱锥存在半径为1的内切球，且PA =PC 的长为．8．令实数集123456}{,,,,,S a a a a a a =，定义函数:f S S ®，使得234561())()()(()())())()()((()f f a f f a f f a f f a f f a f f a =====，则满足条件的f 的个数为．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设实数,,x y z 满足0,,1x y z <<，求S的最小值，其中S =．10.（本题满分20分）已知函数3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数,,b c d ，满足(,()),(,()),(,()),(,())a f a b f b c f c d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，求a 的取值范围．11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，拋物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,A B 两点（其中点A 在第一象限），过点A 作C 的切线交x 轴于点P ，直线PB 交C 于另一点Q ，直线QA 交x 轴于点T ．(1)证明：AF AT BF QT ×=×；(2)记,,AOP AFT BQT D D D 的面积分别为123,,S S S ，当点A 的横坐标大于2时，求321S S S -的最小值．暨2023年全国高中数学联合竞赛一试（模拟4）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知11sin(),cos sin 36αβαβ-==，则cos(22)αβ+的值为．．角形是直角三角形的概率是．4．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，若1()1k f k ==-∑，则(0)f 的值为．答案：1．解：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，所以()()20f f =-，()()31f f =-，()()()420=-=f f f ，即()()()()()()()()123410100+++=--+=f f f f f f f f ．若20231()1k f k ==-∑，则()()()()()123420231+++++=- f f f f f ，即()()()()()()()50512341231f f f f f f f ⎡⎤⨯++++++=-⎣⎦，可得()()()()()()1231011++=--=-f f f f f f ，所以()01f =．5．已知z 为复数，且关于x 的方程243i 0x zx +++=有实数解，则z 的最小值为．6．在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线22:1(0,0)a b a bΓ-=>>的左右两支交于,A B 两点，与Γ的渐近线交于,C D 两点，且,,,A C D B 在l 上顺次排列．若OA OB ⊥，,,AC CD DB 成等差数列，则Γ的离心率的取值范围是．60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒,,APC BPD PB PD ∠=∠=．⎫⎪⎭123456234561())()()(()())())()()((()f f a f f a f f a f f a f f a f f a =====，二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）设实数,,x y z 满足0,,1x y z <<，求的最小值．10．（本题满分20分）已知函数3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数,,b c d ，满足(,()),(,()),(,()),(,())a f a b f b c f c d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，求a 的取值范围．解：已知3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数b ，c ，d ，满足(,())a f a ，(,())b f b ，(,())c f c ，(,())d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，因为3()22f x x x =-是奇函数，所以若存在一个矩形，则矩形的中心在原点，则…………12分…………16分为F ，过F 的直线交C 于,A B 两点（其中点A 在第一象限），过点A 作C 的切线交x 轴于点P ，直线PB 交C 于另一点Q ，直线QA 交x 轴于点T ．(1)证明：AF AT BF QT ×=×；(2)记,,AOP AFT BQT D D D 的面积分别为123,,S S S ，当点A 的横坐标大于2时，求321S S S -的最小值．。
高中数学竞赛一试模拟题汇编
高中数学竞赛一试模拟题汇编高中数学竞赛一试，是评估学生数学能力和思维水平的重要方式，也是培养优秀的数学人才的必要手段。
以下是数学竞赛一试的模拟题目，希望对学生加深对数学知识的理解和巩固数学基础有所帮助。
一、选择题1.已知曲线y=2x²-3x+5，求曲线在点（1，4）的切线方程的斜率。
A. -1B. 0C. 1D. 2答案：D2.函数y=f(x)的导函数为y=x(x-2)，且f(1)=3，求f(2)的值。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：D3.已知函数f(x)和g(x)都在区间[0,1]上单调递增且满足f(0)=0，f(1)=1，g(0)=1，g(1)=0，在这个区间内的任意点x，交点f(x)和g(x)的坐标为（x,f(x)）和（x，g(x)），求这两条曲线之间的面积。
A. 1/2B. 1/4C. 1/8D. 1/16答案：B二、填空题1.若f(-1)=2，f'(x)=3x²+2x-1，则f(x)=______。
答案：x³+x²-x+32.已知函数y=ln(7x-8)的反函数为f(x)，则f'(4)的值为______。
答案：1/273.已知函数y=cos(x)，则当0°≤x≤45°时，y从最大值变为最小值的增量的绝对值为______。
答案：√2/2三、解答题1.已知直角三角形ABC中，角A=90°，BC=a, AB=b，以BC为底画一高为AD，则已知两边AD和AB之比是5:12，求a与b之比。
解：连接BD，设AD=5k, BD=12k，则AB=√(BC²+AC²)=√(a²+b²)，同时有BC²=AD²+BD²，即a²=(5k)²+(12k)²，b²=AB²-BC²=144k²-(5k)²=119k²，所以有a/b=5k/√(119k²-25k²)=5/√(119-25)=5/√94，所以a/b=5√94/94。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。
各省高中数学竞赛试题汇编——函数小题目
各省数学竞赛试题汇编——函数小题目1．【2018年湖南预赛】函数的定义城为_________.【答案】【解析】由得，所以函数的定义城为.故答案为2．【2018年湖南预赛】已知函数对任意的实数满足：，且当时，，当时，，则象与的图象的交点个数为___________。
【答案】10【解析】由题意知，f（x）=且周期是6，，且此函数是偶函数，在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：由图可得，两个函数图象的交点个数是10个．3．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 4．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 5．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 6．【2018年贵州预赛】若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________. 【答案】【解析】由知x＞0，故.令，则.当时，；当时，.所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.故，即.7．【2018年安徽预赛】设点P、Q分别在函数的图象上，则的最小值=_________. 【答案】【解析】设P（），Q（）使最小.由互为反函数，知点P、Q处的切线斜率都是1，直线PQ的斜率都是-1.故.故答案为：8．【2018年广东预赛】函数的值域为_____________.【答案】当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.【解析】，因为，所以当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.故答案为：当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.9．【2018年广东预赛】已知方程在区间（-2，2）内恰有两个实根，则k的取值范围是__________. 【答案】【解析】记，令，得.当时，在（）上为增函数.当时，在（）上为减函数.所以在点处取得最大值，当且仅当时，在区间（-2，2）内恰有两个实根，故k的取值范围是.故答案为：10．【2018年贵州预赛】方程组的实数解为___________.【答案】【解析】因为，所以，即，代入，得.由.11．【2018年湖北预赛】设是定义在上的单调函数，若对任意的，都有，则不等式的解集为______.【答案】【解析】由题设，存在正常数，使得，且对任意的，有.当时，有，由单调性知此方程只有唯一解.所以.不等式，即，解得.故不等式的解集为.12．【2018年甘肃预赛】关于的方程有唯一实数解，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】解法一原方程化为．（1）．（2）时，的两根分别为1、3，不符合题意．（3）时，的两根分别为2，．因此，符合题意要求．（4），即时，若，不符合要求；若，因此，符合要求．解法二，因为，所以．上单调递增，在上单调递减．又，所以的取值范围是．13．【2018年吉林预赛】函数的定义域为__________.【答案】（1，2）（4，5）【解析】由题得，解之得x∈（1，2）（4，5）.故答案为：（1，2）（4，5）14．【2018年山东预赛】对任意的实数的最小值为______．【答案】【解析】设，则①＋②＋③得．解得．又当时，有解．故当时，取到最小值．15．【2018年山东预赛】已知，且为方程的一个根，则的最大可能值为______．【答案】9【解析】由题设，则．因为，则必为完全平方数．设，则．所以．解得，8，,0．所以的最大可能值为9.16．【2018年山东预赛】设为最接近的整数，则______．【答案】【解析】设，则，即．而，因此满足个．注意到，从而或7．由于，所以．因此．17．【2018年天津预赛】已知函数的定义域都是，它们的图象围成的区域面积是_____________【答案】【解析】将的图象补充为完整的圆，则由中心对称性易知答案是圆面积的一半，为.故答案为：18．【2018年天津预赛】若为正实数，且是奇函数，则不等式的解集是_____________【答案】【解析】由可得即也即，所以.由于在（0，+）上递增，所以在（0，+）上是增函数，结合是奇函数可知在R上是增函数.解不等式，只需找到的解.方程等价于也即两边平方，解得.因此，不等式的解集是.故答案为：19．【2018年河南预赛】已知函数，若的定义域为，值域为，则的值为______．【答案】0【解析】因为，所以有，得，故上是增函数，进而．解得（舍）或．故填0．20．【2018年河北预赛】若，且满足那么. 【答案】1【解析】把已知条件变形为函数上为增函数且是奇函数，另，故，所以.21．【2018年四川预赛】设函数上的最大值为，最小值为，那么的值为______. 【答案】4【解析】因为上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.又的最大值为故故答案为：422．【2018年四川预赛】的值为______.【答案】1【解析】令，则从而，化简为.所以，原式故答案为：123．【2018年浙江预赛】已知a为正实数，且是奇函数，则的值域为________.【答案】【解析】由为奇函数可知，解得a= 2，即，由此得的值域为.24．【2018年浙江预赛】设，则有________个不同的解. 【答案】3【解析】因为由得到，或.由，得一个解；由得两个解，共3个解.25．【2018年浙江预赛】设满足，则x的取值范围为________. 【答案】【解析】由.令，，所以.26．【2018年江西预赛】函数的值域是区间______．【答案】【解析】显然函数定义域为，在此区间内，由于，即，故有角使得．于是，因为，则．在此范围内，则有．因此．（当时，；当时，）故答案为：27．【2018年山西预赛】函数的值域为________.【答案】【解析】由条件知.令.则，，，因为，所以，.28．【2018年湖南预赛】如图，A与P分别是单位圆O上的定点与动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数，则=__________.【答案】【解析】对角度x进行简单的分类，然后根据三角函数的定义得到利用函数的周期性得到.故答案为：29．【2018年湖南预赛】如图放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，设顶点C滚动时的轨迹方程为，则上的表达式为__________.【答案】【解析】①由于是以4为周期的周期函数，所以当时此时由周期性及①式的结果得到故答案为：30．【2018年湖南预赛】设，函数（其中表示对于，当时表达式的最大值），则的最小值为_____.【答案】【解析】对于每一个，函数是线性函数.因此，在任意有限闭区间上，函数的最大值与最小值均在区间端点处达到，从而有由于函数图像交点的横坐标c满足，得到其图像为两条折线组成，且故答案为：31．【2018年福建预赛】已知定义在上的奇函数，它的图象关于直线对称．当时，，则______．【答案】2【解析】由为奇函数，且其图象关于直线对称，知，且，所以．是以8为周期的周期函数．又，所以．32．【2018年福建预赛】已知整系数多项式，若，则______．【答案】24【解析】设，则，于是．所以．所以是多项式的一个根．又不可能是三次整系数多项式、二次整系数多项式的零点．所以整除．故为整数．所以．由，得．所以．33．【2018年福建预赛】已知函数满足：对任意实数，都有成立，且，则______．【答案】【解析】在中，令，得．令，得．又，所以，即．又，，所以．故．34．【2016年上海预赛】若x∈(-1,1)时，恒为正值，则实数a的取值范围是____________。
各省市高中数学竞赛预赛试题汇编——概率与统计
各省市高中数学竞赛预赛试题汇编——概率与统计1．【2018年广西预赛】若定义在R上的函数满足，则不等式的解为___________.【答案】【解析】构造函数，则.由可知在（）内单调递增，从而有.故.2．【2018年甘肃预赛】已知函数），函数满足），若函数恰有2019个零点，则所有这些零点之和为______．【答案】2019【解析】易知函数为奇函数，从而的图象关于点对称．函数，可知的图象也关于点对称．由此的图象关于点对称，从而这2019个零点关于点（1,0）对称，由于的一个零点，其余2018个零点首尾结合，两两关于点对称，和为2018，故所有这些零点之和为2019．3．【2018年四川预赛】设直线与曲线有三个不同的交点，且，则的值为______.【答案】1【解析】曲线关于点对称，且，所以直线必过原点，从而设，则由此得，代入得即解得故答案为：14．【2016年福建预赛】函数f(x) =x2ln x+x2-2零点的个数为________.【答案】1 【解析】 由条件知.当时，<0；当时，>0.于是，f (x )在区间(0，)上为减函数，在区间(，+∞)上为增函数.又时， f (x )=x 2(lnx +1)-2<0，注意到，故函数f (x )零点的个数为1.5．【2018年陕西预赛】已知函数()ln xf x x=， ()()1g x k x =-． （1）证明： k R ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（2）若2,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()1+2f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】试题分析：（1）若直线()y g x =与曲线()y f x =相切，因直线()y g x =过定点()1,0，若设切点000,ln x x x ⎛⎫⎪⎝⎭则可得00ln 10x x +-=①，又()ln 1h x x x =+-， ()0,+∞上单调递增，当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾,结论得证. （2）()()12f x g x ≤+可转化为()11ln 2x k x x --≤，令()()1ln x x k x xϕ=--， 2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦， ()min 12x ϕ≤，分类讨论求()x ϕ的最小值即可.试题解析： （1）()f x 的定义域为()()0,11,⋃+∞， ()()2ln 1ln x f x x -'=，直线()y g x =过定点()1,0，若直线()y g x =与曲线()y f x =相切于点000,ln x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭（00x >且01x ≠），则()000200ln 1ln 1ln x x x k x x -==-，即00ln 10x x +-=①，设()ln 1h x x x =+-， ()0,x ∈+∞，则()110h x x+'=>，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，又()10h =，从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以， k R ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（2）()()12f x g x ≤+即()11ln 2x k x x --≤，令()()1ln x x k x xϕ=--， 2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦， 则2,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x g x ≤+成立()min 12x ϕ⇔≤， ()()222ln 111111ln ln ln 24ln x x k k k x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'. （i ）当14k ≥时， ()0x ϕ'≤， ()x ϕ在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，于是()()()222min 12e x e k e ϕϕ==--，由()221122e k e --≤得12k ≥，满足14k ≥，所以12k ≥符合题意；（ii ）当14k <时，由21124y t k ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭及1ln t x =的单调性知()111ln 24x k x ϕ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭'在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，所以()()()2e x e ϕϕϕ≤≤'''，即()14k x k ϕ-≤'≤-. ①若0k -≥，即0k ≤，则()0x ϕ'≥，所以()x ϕ在2,e e ⎡⎤⎣⎦为增函数，于是()()()min 112x e e k e e ϕϕ==--≥>，不合题意；②若0k -<，即104k <<，则由()0e k ϕ'=-<， ()2104e k ϕ='->及()x ϕ'的单调性知存在唯一()20,x e e ，使()00x ϕ'=，且当()0,x e x ∈时， ()0x ϕ'<， ()x ϕ为减函数；当()20,x x e ∈时，()0x ϕ'>， ()x ϕ为增函数；所以()()()000min 01ln x x x k x x ϕϕ==--，由()00011ln 2x k x x --≤得000001111111ln 212224x x k x x x ⎛⎫⎛⎫≥->-=> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，这与104k <<矛盾，不合题意. 综上可知， k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.6．【2018年陕西预赛】已知函数．（1）证明：，直线都不是曲线的切线；（2）若，使成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）若直线与曲线相切，因直线过定点，若设切点则可得①，又上单调递增，当且仅当时，①成立，这与矛盾,结论得证.（2）可转化为，令，分类讨论求的最小值即可.试题解析：（1）的定义域为，直线过定点，若直线与曲线相切于点），则，即①，设，则，所以上单调递增，又，从而当且仅当时，①成立，这与矛盾.所以，，直线都不是曲线的切线；（2），令，则，使成立，.（i）当时，上为减函数，于是，由，满足，所以符合题意；（ii）当时，由的单调性知上为增函数，所以，即.①若，即，则，所以为增函数，于是，不合题意；②若，即，则由的单调性知存在唯一，使，且当时，为减函数；当时，为增函数；所以，由，这与矛盾，不合题意.综上可知，的取值范围是.7．【2018年陕西预赛】已知函数．（1）证明：，直线都不是曲线的切线；（2）若，使成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）若直线与曲线相切，因直线过定点，若设切点则可得①，又上单调递增，当且仅当时，①成立，这与矛盾,结论得证.（2）可转化为，令，分类讨论求的最小值即可.试题解析：（1）的定义域为，直线过定点，若直线与曲线相切于点），则，即①，设，则，所以上单调递增，又，从而当且仅当时，①成立，这与矛盾.所以，，直线都不是曲线的切线；（2），令，则，使成立，.（i）当时，上为减函数，于是，由，满足，所以符合题意；（ii）当时，由的单调性知上为增函数，所以，即.①若，即，则，所以为增函数，于是，不合题意；②若，即，则由的单调性知存在唯一，使，且当时，为减函数；当时，为增函数；所以，由，这与矛盾，不合题意.综上可知，的取值范围是.8．【2018年广东预赛】设函数.⑴求在区间（n为正整数）上的最大值；⑵令（n、k为正整数）.求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】⑴因为，所以当时，，即上是增函数，故上的最大值为.⑵由⑴知.因为，所以.又容易证明.所以所以. 即.9．【2018年甘肃预赛】设函数）．（1）讨论的单调性；（2）如果有两个极值点，我们记过点的直线斜率为．问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）不存在【解析】（1）f(x)的定义域为，。
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)一试预测卷二(含解析)
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试仿真模拟卷（二）一、填空题（每题8分，共64分）1．若sin cos sin 222θθα⋅=，sin sin cos θβθ、、成等比数列，则2cos cos2αβ-=________. 2．已知正实数列{}n a 满足：11a =，27a =，21214(2,3,)12n n nn n a a a a n a +-+==+，则2018a =________.3．已知定义在R 上的函数()y f x =（x ），对任意满足222p q r +=的p 、q 、r 均有()f p +()()0f q f r +=，M 、m 分别为函数()()tan 3g x f x x =++，在(),22x ππ∈-上的最大值和最小值，则M m +=________.4．在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB BC ==，1BB =90ABC ∠=︒，E 、F 分别为边111AA B C 、的中点，则点E 沿棱柱的表面到点F 的最短路径的长度为________.5．设复数123z z z 、、满足1232018z z z ===．则123123111z z z z z z ++++的值为________.6．已知：211111()11121212n n a n +-=++++∈++++N ，则[]20181k k a ==∑________. 7．已知1F 、2F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其中的一个公共点，且123F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e 和2e ，则2212e e +的最小值为________.8．用1、2、3、4、5、6、7这七个数字组成没有重复数字的七位数，使其恰好是11的倍数的概率为________. 二、解答题（共56分）9．（16分）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11112111n n n a a a n n ++++<<-+12na +．求数列{}n a 的通项n a ．10．（20分）如图，设动点P 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使0OM ON ⋅=，其中点O 为坐标原点．11．（20分）已知函数()f x =(0,)x ∈+∞． （1）当8a =时，求()f x 的单调区间； （2）对任意正数a ，证明：1()2f x <<．2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试仿真模拟卷（二）详细解析1．1-．解：由题意得：sin sin cos αθθ=+，2sin sin cos βθθ=⋅． 故222222cos cos21sin (12sin )sin 2sin (sin cos )2sin cos 1.αβαβαβθθθθ-=---=-+=-++⋅=-2．201832-．解：由题意得，()2111112222722(2,3,)3222212n n n n n n n n n a a a a a n a a a a +++--+++++=-⇒==⇒==+++++． 故数列{}2n a +是以123a +=为首项，3q =为公比的等比数列． 从而，1332n n a -=⨯-．故2018201832a =-．3．6．解：令0p q r ===，则(0)0f =．令0q =，p x =，r x =-，则()(0)()0()()f x f f x f x f x ++-=⇒=--． 所以()f x 为奇函数．故()3y g x =-也为奇函数．因此，6M m +=．4．32．解：比较以下三种情形下的线段EF 的长度：分别将以下三个二面角11111111A A B C A BB C A AC B ------、、展成平面， 利用余弦定理计算即可． 5．14072324．解：因为2018(1,2,3)i z i ==，所以22018i i z z =．从而，212018i i z z =．故原式12312322221231231120182018201820184072324z z z z z z z z z z z z ++++===++++． 6．2016．解：一方面，211111112212222n n n a --<++++=-<． 另一方面，当3n ≥时，11111111123512235n n a -=++++≥++>+．所以当3n ≥时，[]1n a =．又112a =，256a =，从而12[][]0a a ==．故[]201812016k k a ==∑．7．12+．解： 设1PF x =，2PF y =（不妨x y >），椭圆的长轴长为2m ，双曲线的实轴长为2n ，122F F c =．则2x y m +=，2x y n -=，2224x y xy c +-=．故22234m n c+=，所以2212134e e +=． 于是，222212122212134()()4e e e e e e ⎛⎫+=++≥+ ⎪⎝⎭．所以221212e e +≥+． 当221222213e e e e =，且2212134e e +=，即2114e =，2234e =时，2212min ()12e e +=+． 8．435．解：注意到，一个正整数被11整除当且仅当其奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差被11整除．记七位数为7654321a a a a a a a ．则满足题意的七位数共有7!个． 又()()75316420(mod11)a a a a a a a +++-++≡． 而()()7531642max 456712316a a a a a a a +++-++=+++---=．故只能是7531642a a a a a a a +++=++， 即：753164214a a a a a a a +++=++=．于是，分组只能是：{2,3,4,5}和{1,6,7}，{1,2,4,7}和{3,5,6}，{1,2,5,6}和{3,4,7}，{1,3,4,6}和{2,5,7}．和共四种情形．每种情形可以组成4!3!⨯个被11整除的七位数．故所求的概率为44!3!47!35⨯⨯=． 9．解法一：易得：11a =，24a =，39a =，猜想：n a n =． 下面用数学归纳法证明．（1）当1n =，2时，易知2n a n =均成立； （2）假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，且满足1111122111k k k ka a a a k k ++++<<+-+ ①当1n k =+时， 由①得221122122221211112(1)2(1)(1)11(1)1(1)(1).11k k k k k k a ka k k k k k k a k k k k k a k k k ++++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭++-⇒<<-+-+⇒+-<<+++- 因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以22(1)(0,1]1k k +∈+． 又11k -≥，所以1(0,1]1k ∈-． 又*1k a +∈N ，所以221(1)(1)k k a k ++≤≤+． 故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由（1），（2）知，对任意*n ∈N ，2n a n =．解法二：易得：11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =.. 下面用数学归纳法证明（1）当1n =，2时，易知2n a n =均成立； （2）假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，且满足1111122111k k k ka a a a k k ++++<<+-+ ①当1n k =+时， 由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭． ①即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+． ②由②左式，得2111k k k k k a +-+-<，即321(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数， 则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-≤+--=+-于是21(1)k a k +≤+．③又由②右式，22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k +++-+-+<=． 则231(1)(1)k k k a k k +-+>+．因为两端为正整数，则2431(1)1k k k a k k +-+≥++，所以4321221(1)11k k k ka k k k k k +++≥=+--+-+．又因2k ≥时，1k a +为正整数，则21(1)k a k +≥+．④据③④得，21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立． 由（1），（2）知，对任意*n ∈N ，2n a n =．10．解法一：（1）在△P AB 中，||2AB =，即222121222cos2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A 、B为焦点，实轴长2a =的双曲线，方程为：2211x y λλ-=-． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(1,1)M 和(1,1)N -在双曲线上．即111λλ-=-211102λλλ-⇒+-=⇒=，因为01λ<<，所以12λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩，得：2222[(1)]2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ--+---+=， 由于该方程有两个不同的解，故2[(1)]0k λλ--≠，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--．于是，22212122(1)(1)(1)k y y k x x kλλλ=--=--． 因为0OM ON ⋅=，且M 、N 在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+==⎧-⎧⎪>⇒<<⎪⎪+-+>⇒⇒⎨⎨⎨+--⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎩-．由①②知，1223λ-≤<． 解法二：（1）同解法一（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，MN 的中点为()00,E x y ①当121x x ==时，22||1101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，因为01λ<<．所以λ=②当12x x ≠时，22110222211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⋅⎨-⎪-=⎪⎩-． 又001MN BE y k k x ==-所以22000(1)y x x λλλ-=-； 由2MON π∠=得()2220||2MN x y +=，第二定义得()()221220200||2221(1)21.MN e x x a x x x λλ+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=-=+---所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ-=-⎧⎨-=--+-⎩ 得20(1)23x x λ-=-．因为01x >，所以2(1)123x x ->-，又01λ<<，解得：1223λ-<<由①②知1223λ≤<． 11．（1）当8a =时，11()33f x =+=+．则(1)(1()1x f x x+⋅=+=='''令()0f x '>，结合0x >，解得01x <<．故()f x 在(0,1)单调递增，同理()f x 在(1,)+∞单调递减．所以8a =时，()f x 单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞．（2）对任意给定的0a >，0x >因()f x =，若令8b ax=，则8abx =． ①则()f x =②先证()1f x >：因为11x >+11a >+11b >+．又由28a b x +++≥=，从而6a b x ++≥．所以111()11132()9()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)1()() 1.(1)(1)(1)f x x a ba b x ab bx ax a b x ab bx ax x a b x a b a b x ab bx ax abx x a b =+>+++++++++++++++++=≥+++++++++++++==+++ 再证：()2f x <：由①、②的关于x 、a 、b 的对称性，不妨设x a b ≥≥，则02b <≤，1°当7a b +≥，则5a ≥，从而5x a ≥≥，1<1≤=<．所以()2f x =++<． 2°若7a b +<，由①得8x ab=，则=因为222111114()2(1)b b b b b a b b ⎛⎫<-+=- ⎪++++⎝⎭．12(1)bb <-+．12(1)a a <-+，于是1()2211a b f x a b ⎛<-+- ++⎝．现证明11a b a b +>++因为11a b a b +>++> 只要(1)(1)8a b ab ++<+，即证18a b ab ab +++<+，即7a b +<，由假设知该式成立．综上，对任意正数a ，1()2f x <<．。
全国高中数学联赛预赛试题汇编
函数值域与最值1、 (20XX 年江西省预赛试题)函数21)(2+-=x x x f 的值域是2、 (20XX 年安徽省预赛试题)函数242)(x x x x f --=的值域是3、 (20XX 年山西省预赛试题)若],0[π∈x ，函数xx xx y cos sin 1cos sin ++=的值域是4、 (20XX 年辽宁省预赛试题)函数|cos |3|sin |2)(x x x f +=的值域是5、 (20XX 年全国联赛一试试题)函数x x x f 3245)(---=的值域是6、(20XX 年河北省预赛试题)已知关于x 的不等式k x x ≥-+2有实数解，则实数k 的取值范围是7、(20XX 年江西省预赛试题)设多项式)(x f 满足：对R x ∈∀，都有x x x f x f 42)1()1(2-=-++，则)(x f 的最小值是8、(20XX 年四川省预赛试题)已知函数424)42()(24224+++-++=x x x k k x x f 的最小值是0，则非零实数k 的值是9、(20XX 年全国联赛一试试题)已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是10、(20XX 年全国联赛一试试题)函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是11、(20XX 年福建省预赛试题)已知函数|2|)(a x x x f -=，试求)(x f 在区间]1,0[上的最大值)(a g12、(20XX 年辽宁省预赛试题)已知131≤≤a ，若12)(2+-=x ax x f 在]3,1[上的最大值为)(a M ，最小值为)(a N ，令)()()(a N a M a g -=（1）求)(a g 的函数表达式； （2）求证：21)(≥a g 恒成立。
1、(20XX 年河北省预赛试题)函数)1(+=x f y 的反函数是)1(1+=-x f y ，且4007)1(=f ，则=)1998(f2、(20XX 年山西省预赛试题) 函数2)(2-=ax x f ，若2))2((-=f f ，则=a3、(20XX 年辽宁省预赛试题)不等式x x 256log )1(log >+的整数解的个数为4、(20XX 年吉林省预赛试题)已知1)1,1(=f ，),(),(**N n m N n m f ∈∈，且对任意*,N n m ∈都有：①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+，则)2008,2010(f 的值为5、(20XX 年山东省预赛试题)若函数x e ex x f -=ln )(，则=∑=)2011(20101k kef6、(20XX 年山东省预赛试题)函数432)(23+++=x x x x f 的图像的对称中心为7、(20XX 年山东省预赛试题)已知函数)0(4321)(2>--=a x ax x f ，若在任何长度为2的闭区间上总存在两点21,x x ，使41|)()(|21≥-x f x f 成立，则a 的最小值为 8、(20XX 年福建省预赛试题)函数)(cos sin )(*22N k x x x f k k ∈+=的最小值为 9、(20XX 年河南省预赛试题)设11)(+-=x x x f ，记)()(1x f x f =，若))(()(1x f f x f n n =+，则=)(2010x f10、(20XX 年湖北省预赛试题)对于一切]21,2[-∈x ，不等式0123≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为11、(20XX 年甘肃省预赛试题)设0>a ，函数|2|)(a x x f +=和||)(a x x g -=的图像交于C 点且它们分别与y 轴交于A 和B 点，若三角形ABC 的面积是1，则=a 12、(20XX 年甘肃省预赛试题)函数R R f →:对于一切R z y x ∈,,满足不等式)2(3)()()(z y x f x z f z y f y x f ++≥+++++，则=-)0()1(f f13、(20XX 年黑龙江省预赛试题)设)(x f 是连续的偶函数，且当0>x 时是严格单调函数，14、(20XX 年贵州省预赛试题)已知函数2232)(a ax x x f --=，且方程8|)(|=x f 有三个不同的实根，则实数=a15、(20XX 年安徽省预赛试题)函数=y 的图像与x e y =的图像关于直线1=+y x 对称16、(20XX 年浙江省预赛试题)设442)1()1()(x x x x k x f --+-=，如果对任何]1,0[∈x ，都有0)(≥x f ，则k 的最小值为17、(20XX 年湖南省预赛试题)设函数x xx x f 2cos )24(sin sin 4)(2++⋅=π，若2|)(|<-m x f 成立的充分条件是326ππ≤≤x ，则实数m 的取值范围是 18、(20XX 年新疆维吾尔自治区预赛试题)已知函数221)(x x x f +=，若)1011()1001(...)31()21(),101(...)2()1(f f f f n f f f m ++++=+++=，则=+n m19、(20XX 年河北省预赛试题)已知函数)1)(1ln(1221)(2≥+++-=m x x mx x f（1）若曲线)(:x f y C =在点)1,0(P 处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求m 的值； （2）求证：函数)(x f 存在单调递减区间],[b a ，并求出单调递减区间的长度a b t -=的取值范围。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 立体几何与空间向量(省赛试题汇编)(原卷版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题17立体几何与空间向量强化训练(省赛试题汇编) 1．【2018年河北预赛】若的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B、C、D，将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD的平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是________.2．【2018年四川预赛】在三棱锥中，三条棱两两垂直，且.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为______.3．【2018年浙江预赛】四面体P-ABC，,则该四面体外接球的半径为________.4．【2018年辽宁预赛】四面体ABCD中，已知，则异面直线AC与BD 所成角的正弦值是_____.5．【2018年江西预赛】四棱锥的底面是一个顶角为的菱形，每个侧面与底面的夹角都是，棱锥内有一点到底面及各侧面的距离皆为1，则棱锥的体积为______．6．【2018年山西预赛】四面体ABCD中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为___ _.7．【2018年湖南预赛】已知二面角为60°，动点P、Q分别在面内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为．8．【2018年湖南预赛】四个半径都为1的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体，其下底与桌面重合，上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触，则该正方体的棱长为_____ _____.9．【2018年福建预赛】如图，在三棱锥中，都是边长为6的等边三角形．若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的面积为______．10．【2016年吉林预赛】一个几何体的三视图如图.则此几何体的体积为_____11．【2016年浙江预赛】已知两个底面重合的正四面体、正四边形分别为的重心。
记。
若点满足，则实数__________，__________，__________。
全国各省省高中数学竞赛试题及参考答案汇编
1、浙江省高中数学竞赛试题2、河北省高中数学竞赛试题3、全国高中数学联赛广东省预赛4、全国高中数学联赛江苏赛区初赛题5、浙江省高中数学竞赛试题6、湖北省高中数学竞赛试题7、全国高中数学联合竞赛一试试题8、二Ｏ一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题9、全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷10、全国高中数学联赛山东省预赛试题11、全国高中数学联赛江西省预赛试题12、全国高中数学联赛山西省预赛13、全国高中数学联赛甘肃省预赛试题14、全国高中数学联合竞赛（四川初赛）15、全国高中数学联赛安徽省预赛试题16、新知杯上海市高中数学竞赛试题17、湖南省高中数学竞赛试卷A卷浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知53[,]42ππθ∈） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ ）A. 2B. C. 2±D. ±3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ ）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ ） A.B.C. 3D.21243400,3x x x x AB -=⇒==⇒==。
正确答案为C 。
5. 函数150()51xxx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（ ）A. 单调增加函数、奇函数B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数D. 单调递减函数、奇函数 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）2212231A. 4+52π B. 4+32π C. 4+2π D. 4+π 7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依 次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．88. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A. 4B.8C. 16D. 32 9. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ） A. 1, 12⎛⎫⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ）A. 3x >或2x <B. 2x >或1x <C. 3x >或1x <D. 13x <<二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数()2sin2xf x x =的最小正周期为______ ____。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛加试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12． 又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分 情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数 ，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ． 事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102． 注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ． 若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分 另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求． 从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分 同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA． 又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ． 所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格， 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分 下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ， 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分 设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）． 另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。
全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编含答案
2012各省数学竞赛汇集2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为，则直线的斜率为___12____.6、已知a 是正实数，lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为____________.8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.（*n N ∈）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b C c B a +=（2）22sin cos cos 2C A Ba bc+=+12、已知,a b为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. （1）求实数,a b ； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 集合(解析版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题1．【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为.【答案】【解析】由题意知，x为负值，.2．【2018年全国联赛】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为【答案】24【解析】由条件知，.故B∩C的元素个数为24.3．【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为______. 【答案】-5【解析】易知，.当时，；当时，.因此，集合.从而，集合中所有元素的和为.4．【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合______.【答案】【解析】显然，在集合的所有三元子集中每个元素均出现了3次.于是，.从而，集合的四个元素分别为.因此，集合.故答案为:5．【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.【答案】【解析】我们来证明一个更为一般的引理：简单连通图H有n个顶点，m条边，则一定可以将其边集划分为个二元子集，二元子集之间不交且每个二元子集内的边有公共端点。
证明：归纳对m，m=1，2，3，显然成立.设结论对m≤k成立，k≥3，则m=k+1时，考虑所有叶子顶点，若有两片叶子连在同一顶点B上，则将A i B与A j B分为二元子集，对其余m-2条边由归纳假设，可分为个二元子集且两两不相交，结论成立，否则设分别接在顶点上，若存在度为2，设B i与A i，C相连，将与B i C取下，同理由归纳假设结论成立，否则对任意，将去掉，得图，则在中没有叶子结点，连通，则为一个环，此时设B1在环上与C，D相连，在H中把与B1C去掉，图依然连通，由归纳假设同理可证，引理证毕.故原命题成立.6．【2015年全国联赛】设为四个有理数，使得.求的值.【答案】【解析】由条件知为六个互不相同的数，且其中没有两个为相反数.于是的绝对值互不相等. 不妨设.则中最小的、次小的两个数分别为.故.结合，只可能.由此易知.经检验，两组解均满足条件.从而，.7．【2015年全国联赛】设，其中，个互不相同的有限集合，满足对任意，均有.若表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.【答案】见解析【解析】不妨设.设在中与不相交的集合有个，重新记为；设包含的集合有个，重新记为.由已知条件，得，即.于是，得到一个映射.显然，为单射.从而，.设.在中除去后，在剩下的个集合中，设包含的集合有个，由于剩下的个集合中，设包含的集合有个，由于剩下的个集合中每个集合与的交非空，即包含某个，从而，. ①不妨设.则由式①知，即在剩下的个集合中，包含的集合至少有个.又由于，故均包含.因此，包含的集合个数至少为.8．【2014年全国联赛】设.求最大的整数，使得集合S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.【答案】【解析】对有限非空实数集A，用分别表示集合A的最小元素与最大元素.考虑集合S的所有包含1且至少有两个元素的子集.注意到，，故.于是，这样的子集一共个.显然满足要求.接下来证明：当时，不存在满足要求的k个子集.用数学归纳法证明：对整数，在集合的任意个不同非空子集中，存在两个子集，满足，且. ①显然，只需对的情形证明上述结论.当时，将的全部七个非空子集分成三组，第一组：｛3｝，｛1，3｝，｛2，3｝；第二组：｛2｝，｛1，2｝；第三组：｛1｝，｛1，2，3｝.由抽屉原理，知任意四个非空子集必有两个在同一组中，取同组中的两个子集分别记为，在排在前面的记为，则满足结论①.假设结论在时成立.考虑时的情形.若中至少有个子集不含，对其中的个子集用归纳假设，知存在两个子集满足结论①.若至多有-1个子集不含，则至少有+1个子集含，将其中+1个子集均去掉，得到｛1，2，…，n｝的+1个子集.由于｛1，2，…，n｝的全体子集可分为组，每组两个子集互补，故由抽屉原理，知在上述+1个子集中一定有两个属于同一组，即互为补集.因此，相应地有两个子集满足，这两个集合显然满足结论①.于是，时结论成立.综上，.9．【2013年全国联赛】一次考试共有道试题，名学生参加，其中为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有名学生没有答对，则每名答对该题的学生得分，未答对的学生得零分.每名学生的总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为.求的最大可能值.【答案】m(n-1)【解析】对，设第题没有答对者有人.则第题答对者有人.由得分规则，知这个人在第题均得分.设名学生的得分之和为.则.因为每一个人在第道题上至多得分，所以，.由，知.则.由柯西不等式得.故.另一方面，若有一名学生全部答对，其他名学生全部答错，则.综上，的最大值是.10．【2012年全国联赛】试证明：集合满足（1）对每个，若，则一定不是的倍数；（2）对每个表示中的补集），且，必存在，使的倍数.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）对任意，设.则.若是任意一个小于的正整数，则.由于中，一个为奇数，它不含质因子2，另一个为偶数，它含质因子2的幂的次数最多为，因此，一定不是的倍数.（2）若，且，设，其中，为大于1的奇数.则.下面给出三种证明方法.方法1 令.消去.由，知方程必有整数解其中，为方程的特解.记最小的正整数解为.则.故，使得的倍数.方法2 注意到，，由中国剩余定理，知同余方程组在区间上有解，即存在，使得的倍数.方法3 由，总存在，使得.取，使得.则.存在，使得.此时，.从而的倍数.1．【2018年江苏】在1，2，3，4，…，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有________个。
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2012各省数学竞赛汇集目录1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页2. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页3. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页4. 20XX年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页5. 20XX年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页6. 20XX年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页7. 20XX年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页8. 20XX年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页9. 20XX年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页10. 20XX年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页11. 20XX年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页12. 20XX年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页13. 20XX年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页14. 20XX年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页15. 20XX年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为，则直线的斜率为___12____. 6、已知a 是正实数，lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为_____8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n-+___.（*n N ∈）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：（1）cos cos b C c B a +=（2）22sin cos cos 2CA B a b c+=+12、已知,a b为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+.（1）求实数,a b ； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.20XX 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．已知集合∈>=≤=b a b x x B a x x A ,},|{},|{N ，且 B A N }1{=，则=+b a 1 ．2．已知正项等比数列}{n a 的公比1≠q ，且542,,a a a 成等差数列，则=++++963741a a a a a a 35-．3．函数741)(2+++=x x x x f 的值域为6[0,6． 4．已知1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，则=+)(2cos βα13-． 5．已知数列}{n a 满足：1a 为正整数，⎪⎩⎪⎨⎧+=+,,13,,21为奇数为偶数n n n nn a a a a a 如果29321=++a a a ，则=1a 5 ．6．在△ABC 中，角C B A ,,的对边长c b a ,,满足b c a 2=+，且A C 2=，则=A sin 7．7．在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC ．设O 是△ABC 的内心，若AC q AB p AO +=，则qp 的值为32． 8．设321,,x x x 是方程013=+-x x 的三个根，则535251x x x ++的值为 －5 ．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列}{n a=11a =，28a =，求}{n a 的通项公式．解 在已知等式两边同时除以1+n n a a ，得3141112++=++++nn n n a aa a ， 所以11)=． ------------------------------------------4分 令111++=+nn n a a b ,则n n b b b 4,411==+，即数列}{n b 是以1b ＝4为首项,4为公比的等比数列，所以nn n b b 4411=⋅=-.------------------------------------------8分所以n nn a a 4111=+++,即 n n n a a ]1)14[(21--=+. ------------------------------------------12分 于是，当1>n 时,22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(-------⋅--=--=n n n n n n a a a∏∏-=--=---=--==112111121]1)14[(]1)14[(n k k n k k a ，因此,⎪⎩⎪⎨⎧≥--==∏-=-.2,]1)14[(,1,11121n n a n k k n ------------------------------------------16分10．已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的最小值． 解 令cos ,sin a b θθ==，02πθ<<，则322333)1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm ．----------------------------------------5分令θθsin cos +=x ，则]2,1()4sin(2∈+=πθx ，且21sin cos 2-=x θθ．------------------------------10分 于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332-+=+-=+-+=+-+=++--=x x x x x x x x x x x x m ． ------------------------------15分因为函数21)1(23)(-+=x x f 在]2,1(上单调递减，所以)1()2(f m f <≤．因此，m 的最小值为2423)2(-=f ． ------------------------------------------20分11．设)3(log )2(log )(a x a x x f a a -+-=，其中0>a 且1≠a ．若在区间]4,3[++a a 上1)(≤x f 恒成立，求a 的取值范围．解 22225()log (56)log [()]24a a a a f x x ax a x =-+=--．由⎩⎨⎧>->-,03,02a x a x 得a x 3>，由题意知a a 33>+，故23<a ，从而53(3)(2)022a a a +-=->，故函数225()()24a a g x x =--在区间]4,3[++a a 上单调递增.------------------------------------------5分（1）若10<<a ，则)(x f 在区间]4,3[++a a 上单调递减，所以)(x f 在区间]4,3[++a a 上的最大值为)992(log )3(2+-=+a a a f a ．在区间]4,3[++a a 上不等式1)(≤x f 恒成立，等价于不等式1)992(log 2≤+-a a a 成立，从而a a a ≥+-9922，解得275+≥a 或275-≤a ． 结合10<<a 得10<<a ． ------------------------------------------10分（2）若231<<a ，则)(x f 在区间]4,3[++a a 上单调递增，所以)(x f 在区间]4,3[++a a 上的最大值为)16122(log )4(2+-=+a a a f a .在区间]4,3[++a a 上不等式1)(≤x f 恒成立，等价于不等式1)16122(log 2≤+-a a a 成立，从而a a a ≤+-161222，即0161322≤+-a a ，解得4411344113+≤≤-a ．易知2344113>-，所以不符合． ------------------------------------------15分综上可知：a 的取值范围为(0,1)． ------------------------------------------20分20XX 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。