培优8二元一次方程组

第八讲 二元一次方程组方程

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二元一次方程组是在一元一次方程的基础上发展的．“消元”是解方程组的基本思想，即通过消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解，代人法和加减法是常见的消元方法．

解未知数系数较大、方程个数较多等复杂的方程组时，常用到整体叠加、整体叠乘、换元转化、辅助引参等技巧方法，这些技巧方法的运用是建立在对方程组系数特点的观察和对方程组整体特征的把握基础上的．

方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，代解法、求解法是处理方程组的解的基本方法，对于含有字母系数的二元一次方程组，可进一步探究解的个数、解的特征，基本思路是在消元的基础上，把方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论．

例题与求解

【例1】二元一次方程（组）特殊解： 1、方程2x +3y ＝17的正整数解为_____

2、求使方程组⎩

⎨⎧=-=+0318

3y x my x 有正整数解时自然数m 的值.

【例2】含参方程组求参(或消参） 1、若m 使方程组⎩⎨

⎧=+=-m

y x y x 22

的解x ，y 的和为6，则m ＝______________．

2、已知关于x,y 的方程组⎩⎨⎧-=-+=+5

423

232k y x k y x 的解满足x+y=2,求k 的值.

3、已知⎩

⎨⎧-=+=143

2m x m y ，用含x 的代数式表示y ：__________________

【例3】方程组同解、错解问题

1．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝20，ax ＋by ＝1 与⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5，bx ＋ay ＝6

有相同的解，则a ＋b ＝______．

2. 在解方程组134ax by cx y -=⎧⎨-=⎩时，小明因看错了b 的符号，从而求得的解为3

2x y =⎧⎨=⎩；小芳因看漏了c ，

求得的解为5

1x y =⎧⎨=⎩

，则a +b +c 的值为_________.

【例4】 解方程组 利用叠加法 换元法 辅助设元法 （1）叠加（减）法解轮换对称式方程组⎩⎨

⎧=+=+2

1

c ay bx c by ax

1、解方程组⎩⎨⎧=+=+883.57.41127.45.3y x y x （2）⎩

⎨⎧=+=+19811716

1514y x y x

（2）换元法

阅读下列材料，解答问题：

材料：解方程组5()3()2

2()4()6x y x y x y x y +--=⎧⎨++-=⎩，若设(x +y )＝m ，(x －y )＝n ，则原方程组可变形为

532246m n m n -=⎧⎨+=⎩，用加减消元法解得11m n =⎧⎨=⎩，所以11x y x y +=⎧⎨-=⎩，再解这个方程组得10x y =⎧⎨

=⎩

.由此可以看出，在上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法.

问题：请你用上述方法解方程组623

2()3324

x y x y

x y x y +-⎧+=⎪

⎨⎪+-+=⎩

（3）辅助设元法 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=

=3

432654z y x z y x

【例5】方程组是否有解问题

1．已知方程组⎩

⎪⎨⎪⎧x －y ＝5，

ax ＋3y ＝b －1. 求方程组在①无数个解；②唯一解；③无解这三种情况下a ，b 的值．

【例6】公共解问题

1、已知关于x ，y 的二元一次方程（a －3）x ＋（2a －5）y ＋6－＝0，当a 每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解． （1）求出这个公共解．

（2）请说明，无论a 取何值，这个公共解都是二元一次方程（a －3）x ＋（2a －5）y ＋6－＝0的解．

（2013年“实中杯”数学竞赛试题）

【例7】叠乘法

已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足

4=a bcdef ，9=b acdef ，16=c abdef ，4

1

=d abcef ， 9

1=e abcdf ，161

=f abcde ．求)()(f d b e b a ++-++的值． （“CADIO ”武汉市竞赛试题）

解题思路：利用叠乘法求出abcdef 的值．

【例8】倒数法：解方程组：⎪⎪⎪⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧=+=+=+324

356a c ca c b bc

b a ab

基础巩固：

1．已知24

328a b a b +=⎧⎨+=⎩

，则a b +=_______．

2．已知方程组42ax by ax by -=⎧⎨+=⎩的解为2

1x y =⎧⎨=⎩

，则23a b -的值为________．

3．如果()2230x x y -+-+=，那么()2

x y +的值为________．

4．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5k ＋2，

x －y ＝4k －5 的解满足x ＋y ＝11，则k 的值为______．

5．已知方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解为8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组()()()()223113

325130.9x y x y ⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩

的解是

_____．

6．若关于,x y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为5

6x y =⎧⎨=⎩，则关于,x y 的方程组111222

534534a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的

解为 . 7．若

1235x y z ++=，3217x y z ++=，则111

x y z

++=_______． 8．已知x =2t +1,y -3t =2,用含x 的代数式表示y ：_______．

9．若关于x 、y 的方程组3921

ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，则a 的值为（ ）

A ．6-

B ．6

C ．9

D ．30

10．已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组3

5

22

ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，求2a b +的值．

11．在解关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨

⎪⎧ax ＋3y ＝7，

4x －by ＝－13 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，得到的解为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝－5，

y ＝－1；

乙看错了方程组中的b ，得到的解为⎩

⎪⎨⎪

⎧x ＝8，y ＝5.

(1)甲把a 看成了什么？乙把b 看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解．