概率论与随机过程复习

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3
)
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3)设X 与Y 独立,且X ~ N ( , ), ２３ Y ~ N (1, 42 ), 则() 1 1 (A)P{ X Y 3} , (B)P{ X Y 3} 2 2 (C)P{ X Y 1} 0, (D)P{ X Y 1} 0
。
瘦者患高血压的概率为10%,瘦者患高血压的概率为5%,试求：
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3、分布函数及其性质
1)设随机变量X 的概率密度函数 Ae 2 x , x 0 f ( x) 0, x 0 求(1)常数A,(2)分布函数F(x ),(3)P{1 X 4} ２设随机变量X的概率密度函数 ) Ae 3 x , x 0 f X ( x) 0, x 0 (1)确定常数A (2)求X 的分布函数F(x ) (3)计算E(Y )和D(-3Y -1)
(2)设A与B两事件独立，且P(A)=0.4,P(A B)=0.7,
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4) (1)设随机事件A与B互不相容,P(A)>0,P(B>0)， 则( ) (B)P(AB)=P(A)P(B), (D)P(AB)=1. (A)P(A)=1-P(B), (C)P(A B)=1,
1 1 2 (2)设P(A)= ,P(A|B)= ，P(B|A)= ， 4 2 3 求P(AB)，P(B)，P(A B)。
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5) (1)设事件A与B互不相容,则有( (A)P(AB)=P(A)P(B), ) (B)P(AB)=P(B),
(C)P(AB)=P(B)-P(A), (D)P(AB)=P(A)-P(B).
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1)
2、古典概率的计算
(1)有三个形状相同的袋子，第一个里有1个 白球3个黑球，第二个里有3个白球1个黑球，第三 个里有2个白球2个黑球。某人随机取一袋，再从袋 中任取一球，求该球是白球的概率。 (2)甲、乙、丙三人各射一次靶，他们各自中 靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分 别为0.5,0.6,0.8,求下列事件的概率： (1)恰有一人中靶； (2)至少有一人中靶。
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5) (1)一批产品共有10个正品和2件次品,随意抽取两次, 每次取一个,取后不放回,则第二次取到次品的概率为 (2)设某地区成年居民中肥胖者占10%，不胖不瘦者占 82%，瘦者占8%，又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不 1)该地区居民患高血压病的概率； 2)若知某人患高血压，则他属于肥胖者的概率有多大？
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5) (1)下列函数中，为某随机变量X 的概率密度的是( ) 3 3 sin x, x cos x, x (A)f1 ( x) (B)f 2 ( x) 2 2 0, 其它 0, 其它 3 3 sin x, x 1 cos x, x (C)f 3 ( x) 2 (D)f 4 ( x) 2 0, 其它 0, 其它 (2)已知随机变量X 的概率密度为 Ae 2 x , x 0 f ( x) 0, x 0 求：1)常数A的值； 2)X 的分布函数；
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2) (1)甲、乙、丙三人射击同一目标,各发一枪， 1 1 1 三人的命中概率依次为 , , ,求： 2 3 4 (1)目标至少中一枪的概率； (2)目标只中一枪的概率。 (2)一批产品共有10个正品和2件次品,任意抽 取两次,每次从中任取一个,且取后不放回,试求下 列事件的概率： (1)前两次均取到正品； (2)第二次取到次品。
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5、随机变量数字特征的计算
1(1)设X ～U (0,1), 求： ) (1)X 的概率密度函数f ( x)。 (2)Y 2 X 的数学期望。 (2)设盒中有5个球，2个白球，3个黑球，从中 随意抽取3个球，计X为抽取到的白球数。求D( X ). 2)设随机变量X 服从二项分布b(3, 0.4)， 求随机变量Y 2 X 1的数学期望和方差。
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3、设连续型随机变量(X , Y )的概率密度为 ８ 0 xy, x 1, 0 y x f ( x, y ) 0, 其它 求：(1)求概率P{X＋Y 1}; (2)求X、Y的边缘概率密度f X(x),f Y(y ); (3)判别X与Y的独立性.
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3)设随机变量X 的概率密度函数 0 Ax, x 1 f ( x ) 2 x, 1 x 2 0, 其它 求(1)常数A, (2)X 的分布函数F(x ) 4)设X 的密度函数 Ax 2 , 0 x 1 f ( x) 0, 其它 １ 试求：(1)常数A, (2)P{ X 1}, ２ (3)X 的分布函数F(x )。
15 3)概率P{-1<x<1}; 4)随机变量Y e x的概率密度。
4、多维随机变量及其函数的分布函数
1)设(X , Y )是连续型随机变量，联合密度函数 x y, 0 x 1, 0 y 1 f ( x,y ) 0, 其它 (1)求关于X 、Y的边缘概率密度。 (2)判别X 与Y 是否独立(请说明理由)。 (3)计算概率P{Y X } 2)设(X , Y )是连续型随机变量，联合密度函数 x y, 0 x 1, 0 y 1 f ( x,y ) 0, 其它 求(1)关于X 、Y的边缘密度函数f X ( x)、fY ( y )。 (2)P{Y X }
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３求下表中的pij , 并判断 ) X 与Y 是否相互独立。
X -1 Y -3 1 1/6
0
2
p. j
p21
1/2
p12 1/18 1/3 p22 1/3 2/3
1/9 7/18 1
pi.
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１、设(X , Y )的联合分布律为
X
1
１ ３
2
１ ３
１ ３
Y 0
1
0
则X和Y的下列关系中正确的是() (A)独立，不相关； (B)不独立，相关； (C)不独立，不相关； (D)独立，相关。 ２、设(X , Y )的联合概率密度为 0 4 xy, x 1, 0 y 1 f ( x, y ) 0, 其它 求：(1)边缘概率密度f X(x),f Y(y ); (2)概率P{X Y }.
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１、设随机变量(X , Y )的联合分布律用下列表格给出：
(1,-1) (1,0) (1,1) (1,-1) (2,0) (2,0)
(X,Y) p
１ 6
１ 9
１ 18
１ ３


且X和Y独立，则 = ， = 。 ２、设随机变量X 和Y 相互独立，其概率分布为 2 2 1 1 X ~ Y ~ 1/ 3 2 / 3 1/ 3 2 / 3 则下列命题正确的是( ) (A)P{X=Y}=1/3; (C)P{X=Y}=1; (B)P{X=Y}=2/3; (D)P{X=Y}=5/9.
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四、复习题
1、事件的关系及概率运算
1)已知P(A)=0.4,P(B)=0.25,P(A-B)=0.25, 求P(AB),P(A B),P(B-A),P(AB).
2)设A、B为随机事件,已知 P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(AB),P(AB).
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3) (1)设A、B为两个事件,则P(A-B)=( ) (A)P(A)-P(B), (C)P(A)-P(AB), 则P(B)=( ) (A)0.7, (B)0.6, (C)0.5, (D)0.4 (B)P(A)-P(B)+P(AB), (D)P(A)+P(B)-P(AB)
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５)对任意两个随机变量X 和Y，若 E ( XY ) E ( X ) E (Y ), 则( ) (A)D( XY ) D ( X ) D (Y ); (B)D ( X Y ) D ( X ) D (Y ); (C)X 与Y 相互独立; (C)X 与Y 不独立.
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6、有关常用分布的性质与概率计算
1)设X ~ N (3, 4), 求： (1)P{ X 3}, (2)P (| X | 2)。 2) (1)设X ~ N (0,1), Y ~ N (1,1), 且X 与Y 独立，则( ) 1 1 (A)P{ X Y 1} , (B)P{ X Y 0} 2 2 1 1 (C)P{ X Y 0} , (D)P{ X Y 1} . 2 2 3 1 2 (2)设X i ~ N ( , ), i 1, 2,3, 且独立，Z X i 3 i 1 则E ( Z ), D ( Z ) ( ) (A)( ,3 2 ) (B)(3 , 2 ) (C)(3 ,3 2 ) (D)( ,
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4)设离散型r.v.X 的分布律为 k P{X k} 2 ( k 1, 2,), 则为( ) (A) ０的任意实数； (B) ３； １ (C) ； (D) １. ３
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５ ) (1)一射手向同一目标独立射击4次，每次的命 中率为p，X ＝{击中目标的次数}已知至少命中一次 , 80 的概率为 ,则X的分布律为 。 81 (２)设X ~ N (1, 2), Y ~ N (1,3),且X 与Y 相互独立， 则X+2Y～ 。 (３)设随机变量X 服从参数为n、p的二项分布， 且E ( X ) 8, D ( X ) 1.6，则参数n 、 。 p
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3) (1)设一系统由三个相互独立工作的元件组成, 元件的可靠度均为p (0 p 1), 试求系统的可靠度 (即系统正常运行的概率).
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4)(1)三人独立地去破译密码，已知各人能译出 的概率分别为0.4,0.5,0.7,试求： (1)三人都能将此密码译出的概率； (2)三人中至少有一人能将此密码译出的概率。 (2)设有两台机床加工同样的零件，第一台机 床出废品的概率为0.03，第二台机床出废品的概 率为0.02，加工出来的零件混在一起,并且已知第 一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。 (1)求任取一个零件是合格品的概率； (2)若任取一个零件经检验后发现是废品，则 它是第二台机床加工的概率。
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3) (1)设X ～U (1,1), 求： 1)E(X ), D ( X ); 2)Y X 2的概率密度。 (２)设X ～b(6, 0.25), 求Y 4 X 3的期望和方差。 ４)设D(X ) 4, D (Y ) 1, D ( X Y ) 4, 则XY ( ) 1 (A)- ; 4 1 (C) ; 2 1 (B) ; 4 (C)1.
概率论与随机过程
期末考试复习辅导
2013年12月29日
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二 题型
• • • • • • 填空题 单项选择题 计算题 证明题 综合题 应用题
三、重要知识考点
1、事件的关系及其运算,概率计算的加法公式,乘法公式,全概率 公式和Bayes公式。 2、古典概型,Bernoulli概型,条件概率,事件的独立性。 3、随机变量的分布函数,随机变量函数的分布。 4、常用的两点分布、二项分布、泊松分布、指数分布、均匀分 布 和正态分布。 5、多维随机变量的分布,边沿分布、条件分布、随机变量独立性。 6、二维随机变量的和、差、积等常见函数的分布。 7、随机变量的数字特征计算：期望、方差、协方差与相关系数。 8、随机过程的均值函数和自相关函数