刻度尺三等分角
尺规作图三等分任意角
尺规作图三等分任意角（0°<α≤180°）黑龙江省巴彦县兴隆镇第二中学谭忠仁邮编：151801电话：150****5590目录关于三等分角的由来 (1)三等分任意角（0°<α≤180°） (2)已知：∠AOB (2)求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD (2)作法： (2)证明： (2)关于三等分角的由来众所周知，三等分角是著名的几何作图三大问题之一（另外两个问题是化圆为方、倍立方体），近两千年来，几十代人为这三大问题绞尽脑汁，希腊人的巧思、阿拉伯人的学识、文艺复兴时期大师们的睿智都曾倾注于此，却均以失败告终。
1837年范兹尔首先证明三等分角与倍立方体不能有限次使用尺规作出。
1895年，克莱因给出三大问题有限次使用尺规作图不可能的简单而清晰的证明，阿基米德在几何学上的造诣是很深的，从他的著作里可以看到他对三等分角问题的研究，他先采用在直尺上标注一个点的方法，然后把一个角三等分，显然，这一方法取消了直尺上无刻度的限制，此外，喜庇亚斯借助割圆曲线、尼克曼得斯借助于蚌线、巴普士借助于双曲线、帕斯卡借助于蚶线，解决了三等分角的问题，但所有这些曲线都不能仅用尺规来完成。
综上所述，尺规作图三等分任意角尚无先例，本人自1971年参加工作后，任初中数学教师，由于专业的需要、兴趣及其爱好，使我涉猎了大量数学方面的资料和相关知识，下决心研究三等分角问题，历尽40年时间，苦心钻研，现终得一法，并且给出了科学、严谨的证明，借此恳请数学专家和导师予以审核、验证，并提出宝贵意见。
注：本文所举资料，请详见《陕西中学数学》1991年第二期谭忠仁2011年5月10日三等分任意角（0°<α≤180°）已知：∠AOB求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD作法：1、以O为圆心，以任意长为半径作⊙O，交射线OA于A，交射线OB于B；2、连结AB，引直径EE1，并且使EE1⊥AB，垂足为H；3、连结BE，以B为圆心，以BE的长为半径画弧，交AB于F；4、连结EF并延长，交⊙O于G1，交BE1的延长线于T；5、以T为圆心，以TB的长为半径画弧，交⊙O于C1，连结TC1，交⊙O 于G；6、在⌒AB上截取⌒BC2，使⌒BC2=2⌒E1G；7、连结BC2，作BC2的垂直平分线T1D2，垂足为H2，交TB于T1，，连结T1 C2；8、作射线TP，在射线TP上依次截取TP1= P1P2= P2P3，连结T1P3，作T2P1∥T1P3，交TT1于T2；9、以T2为圆心，以T2B的长为半径画弧，交⊙O于C，连结T2C，交⊙O 于G2；10、连结BC，作BC的垂直平分线T2D，交⊙O于G3、D，垂足为H3，（T2D 必经过圆心O、必经过等腰三角形T2BC的顶角的顶点T2）；11、作射线OC，则射线OC、OD即为所求作的∠AOB的两条三等分射线。
探索尺规三等分任意角
1
2、以A点为圆心，取任意长r为半径画圆，交AB于D点，交AC于E点。
3、作外角∠DAE的角平分线AF。
4、作角∠FAE的角平分线AG。
5、作角∠FAG的角平分线HI，分别交圆⊙A于N点，J点两点。
6、作角∠HAG的角平分线AK，交圆⊙A于L点。
7、连接JL并延长JL至M点。
8、过A点，作HI的垂线OP，交JM于Q点。
9、以A点为圆心，等于AQ长为半径画圆弧，交AH于R点。
10、作角∠HAK的角平分线AU。
11、以N点为圆心，等于NA长为半径画圆弧，交NH于S点。
12、以R点为圆心，等于RS长为半径画圆弧，交AU于T点。
13、连接JT交圆⊙A于V点。
14、以V点为圆心，等于JV长为半径画圆弧，交JM于W点。
15、以A点为圆心，等于AW长为半径画圆，交AB于Y点，交AC于Z点。
16、以W点为圆心，等于WZ长为半径画圆弧，交弧⌒YW于X点。
17、连接AX，连接AW，得角∠YAX=角∠XAW=角∠WAZ=1/3角∠BAC=110°角。
研究员：中国化学工程第七建设有限公司---------泸州分公司---------木工---------王建华
2014.6.25。
角三等分
角三等分和平前言一百多年来，国内外数学界一致认为用尺规（尺指的是不带刻度的直尺，规指的是圆规，简称为尺规）作图将一任意角三等分已被证明了这是一个“作图不能问题”的结论是完全正确的。
其实这个结论肯定是错误的，我就能，肯定能推翻这个错误的结论。
下面我用角三等分和剖析角三等分及解两种不同的解题方法中的一种方法即角三等分来证明用尺规作图可将一任意角三等分，並对大小各不相等的角进行角三等分尺规作图达2470多次，装订成册24本，验证了这个理论是完全正确的。
让角三等分无解的结论彻底破灭，也为角的其他等分的解决打下基础，角三等分也是角尺规等分法中的一部分。
由于本人水平有限，如有错误和缺欠，恳请给以指正。
2011-4-3 和平一角三等分∠α为任意一个角，用尺规作图将∠α三等分。
以∠α角顶点o为圆心，以任意长为半径画圆为A圆（图中只画圆的一部分），见图3-1，A 圆交∠α两边分别是A点和B点，在A圆上作∠AOB=∠BOC=∠AOD=∠α=1/3∠DOC,设∠OCD=∠β,2∠β+3∠α=180°.如果3∠α大于或等于180°时，先将∠α缩小偶数倍的角再扩大3倍的角小于180°为止。
连接CD交OA线上G点，作∠AOB角平分线OH,∠AOH=∠HOB=1/2∠AOB=1/2∠α，连接BD交OH 线上H1点，连接BG並延长交OD线上P点，连接AP交CD线上F点，连接BF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、H1A、AD、AB、BC,求证：∠H1Gb2=1/3×1/2∠α=1/3∠GOH1=1/3×1/2∠AOB。
在△OGH1中，分别作OG和GH1边的垂直平分线交于O2点，连接O2O, 以O2点为圆心，以O2O为半径经过O、G、H1三点的圆为B圆（图中只画圆的一部分）,GD=GB,ABGD为菱形，H1A=H1G=H1B，证明省略，B圆也经过B点，∠H1GB=∠H1BG=∠GBD=1/2∠α，∠DH1G=∠H1GB+∠H1BG=∠α=∠GOB,∠DH1G=∠GOB, ∠GOB+∠GH1B=180°，O、G、H1、B四点共圆，又∵O、G、H1三点可确定一个圆均在B圆上，∴B点也在B圆上。
关于三等分任意角的方法探究
三等分任意角的方法探究西工大附中孙开锋三等分任意角的方法探究摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文关键词：只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。
纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。
然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。
找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB平分成了两部分。
用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。
但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。
很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。
直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。
但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。
一、利用工具三等分任意角如图1所示，叫做“三等分仪”吧 ，CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E.具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。
数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。
二、中考中的三等分角题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。
尺规三等分任意角画法和证明
〈〈用直尺和圆规把一个任意角分成三个相等的小角的画法和证明〉〉（1）在图[1]中，圆心角AOB，圆心是O，边OA=OB是半径，弧AB。
（2）在AB弧上任意截取一段AC弧，再任意截取一段BD弧，令BD弧=2AC 弧，剩余一段CD弧；剩余CD弧=AB弧-AC弧-BD弧=AB弧-3AC弧，（BD弧=2AC弧），请看图[1]。
（3）连C点和D点，CD线段为剩余弧CD的弦；因为剩余弧CD很短与CD 弦重合成一段线段，所以，我们只要把CD弦三等分，剩余弧CD也就被三等分了，请看图[1]。
（4）大家知道CD弦是一段线段，我们用“平行线等分线段定理”把CD弦等分成三段：CH=HK=KD，因为，剩余弧CD很短与CD弦重合成一段线段，所以，CD弧也被同时三等分为：CH弧=HK弧=KD弧，请看图[1]，H点和K点便是CD 弦上的两个三等分点同时也是剩余弧CD上的两个三等分点，所以，剩余弧CD=3CH 弧（CH弧=HK弧=KD弧），请看图[1]。
（5）因为，AB弧=AC弧+BD弧+CD弧=3AC弧+3CH弧（BD弧=2AC弧，剩余弧CD=3CH弧），所以，AB弧=3（AC弧+CH弧）=3AH弧，请看图[1]。
所以，1/3AB弧=AH弧，请看图[1]，所以，H点是AB弧上的一个三等分点，请看图[1]。
（6）以H点为原点、以HA弧长为标准长在BH弧上截取一段弧HM，截点为M，则M点和H点便是AB弧上的两个三等分点，所以，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，请看图[1]。
（7）连OH和OM，OH和OM把圆心角AOB分成三个小圆心角：小圆心角AOH、小圆心角HOM和小圆心角MOB，请看图[1]。
（8）在圆心角AOB中，依据圆心角、弧、弦的关系定理：因为：小圆心角AOH对应AH弧，小圆心角HOM对应HM弧，小圆心角MOB对应MB弧，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，所以：小圆心角AOH=小圆心角HOM=小圆心角MOB=1/3圆心角AOB（依据圆心角、弧、弦的关系定理，等弧对等角），请看图[1]，所以，任意角AOB被尺规三等分了。
角的三等分
角的三等分历史
• 公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。他凭借优越的地理环境， 发展海上贸易和手工艺，奖励学术。他建造了规模宏大的“艺神之 宫”，作为学术研究和教学中心；他又建造了著名的亚历山大图书馆， 藏书75万卷。托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义，他邀请 著名学者到亚历山大城，当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城 市。亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅 中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。别墅南北围墙各开了 一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。 国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主 再派人从南门取回居室。一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室， 和从北门到桥，哪一段路更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是 两段路一样远的。过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为 她修建一座别墅。小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样，有 河，有桥，有南北门。国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了， 当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎 样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？
谢谢观看！
研 究 步 骤
而三等分则不然。弦的三等分并不 是弧的三等分（如图）
弧的三等分与线段的三等分点的连线应该不是平行的。于是我们又开始 研究弧、弦与圆心角的关系。可是他们之间并不存在，或者只有很复杂 的关系，所以并不能通过弦与圆心角来画出弧的三等分。 但是我们又想到了π。π约等于三，所以在圆上，可以粗略地把圆周三 等分（如图）
A B
这样，只要求出所求角度与360°的关系， 再把圆规的半径缩小到同一倍数，也能近似 的三等分一个角。但是，这个方法受许多限 制，比如在缩小倍数时不能保证完全精确， 使本已近似的结果误差更大。有时倍数也不 能太复杂。所以，只有特殊角的三等分可以 用这种办法的。
尺规三平分角,角三等分
三等分角、三平分角1、废话部分先说明我没有破解，但是有很多很接近的作图方法，在这里都写出来，希望接下来有共同兴趣的人可以少一点的弯路。
因为这方面的书籍和讯息都很少，我的想法不知道会不会和以前的人的想法重合 另一个就是，利用双曲线的这种方法可以解决任意角度（︒︒360~0），相比我知道的几种工具解决三等分的办法是便捷了许多另外就是由这个三等分衍生出来的好多概念在以后应该会有价值，就不知道是多少年后， 最后对于想深入研究的人我奉劝一句|“放弃吧，很费脑细胞还有时间的”2、双曲线的由来取任意一个角度每一个角度，以顶点为圆心，以任意长度画圆，被这个角度的两条边截出一段弧这段弧会根据圆半径的长短，弧长会相应变化，但是圆心角是不会变化的我们只要三等分弧AB ，就能等到AOB ∠的三平分角，这点不证明把A 、B 为两点连接直线，从圆心O 点作直线AB 的垂线，我们会得到一个类似直角坐标系的图形（可能有人在这里要彪了，你这是要利用直角坐标系，不是的哈，乖乖看下去，我只如果A、B间距是固定的，随着圆心在垂线DE上下运动，我们就能得到任意一个角度我用几何画板作图，大家可以学一下这个软件，毕竟手工作图误差是很大的对于这个任意角度，我们反推，在已知弧AB的两个三等分点的情况下，得到三平分点随着圆心上下移动的轨迹这个是一条栓曲线的一部分图像，接下来我给出证明把两个三平分点与点A 、B 连接，我们会得到一个等腰梯形，并且线段AF=FG=GB因为F 、G 点事三平分点，GOB FOG AOF ∠=∠=∠,点A 、F 、G 、B 在同一圆上，所以AF=FG=GB接下来是证明线段FG 平行AB ，弧AF=弧GB （因为FG 是三平分点），所以线段FG 平行于AB ，线段FG 也是垂直于DE 的直线DE 垂直于AB ，FG 平行于AB ，又DE 平分线段AB ，所以直线DF 也是FOG ∠的平分线，最主要的，我们要得到线段HG=21GB ， FG=GB （相等角在同一个圆上所对应的弦是相等的），DE 平分线段FG , ∴ HG=21 FG=21GB ∴HG=21GBHG=21GB 圆心O 是直线DE 上任一点，恒有HG=21GB ，这个符合双曲线的第二个定义：平面内到一个定点B 和一条直线DF 的距离的比是常数e=2，e 〉1时的动点曲线轨迹叫做双曲线，∴∠AOB 的之中右边的三等分点的轨迹是一条双曲线，同理得证左边的三等分点也是一条双曲线3、接下来是推理出双曲线的解析式，求出解析式112422=-y x当∠AOB 是零度的时候, AB 的长度不随着圆点O 的变动而变动∴零度的弧就是与线段AB 重合，三等分点如图所示为i ，i 同时是线段AB 的三等分点，同时也是三等分点轨迹与线段AB 的轨迹的交点和双曲线的顶点之一设直线AB 与直线DE 的交点是j,假设线段ji 是一个距离单位，那么根据数量关系就有线段AB=6ji, iB=2ji B 点事双曲线的一个焦点我们假设双曲线的解析式是12222=-by a x ， 222c b a =+，原点到双曲线顶点的距离是a,原点到焦点的距离是c, iB=c-a=2ij 我们已经把ij 设为基本距离单位，∴c-a=2离心率e=ac =2 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧==-22ac a c 解得a=2,c=4, 222c b a =+ ∴b=32所以双曲线的方程式112422=-y x上边的是繁琐的一些证明，无非我们要得到的就是三等分点的轨迹是双曲线，要得到这条双曲线的相关的一些规律，希望这些规律能够在你尺规作图三等分角的时候有所帮助，现在我把我掌握的一些好玩的规律给大家介绍介绍。
刻度尺三等分角
刻度尺——简单而强大的作图工具（三）——三等分角
2010-08-09 14:43
三、三等分角
我们都知道，尺规作图是不可能三等分任意角的。
但是，刻度尺作图可以。
之前证明刻度尺作图可以完全代替尺规作图只用了作图公法一至九。
而作图公法一至九亦可以用尺规作图作出。
刻度尺作图要超越尺规作图，只能凭借作图公法十。
下面给出的三等分角的作图法是根据《数学题解辞典（平面解析几何）》（唐秀颖主编，上海辞书出版社出版，1983年）713页的第1165题的说明（1）里的方法改编而成。
作图法十五：已知角APB，可作其三等分线。
作法：在射线PB上取C点使PC=1。
作PC中点D。
过D点做射线PA的垂线m和平行线n。
过P作直线l使l与m、n分别交于E、F两点且EF=1。
l即为所求作的三等分线。
至此，我们已得到了结论——一把简单的刻度尺可以完全代替尺规作图并且可以三等分角。
任意角三等分角尺的发明原理及作图新方法
任意角三等分角尺的发明原理及作图新方法胡成锋作者简介：胡成锋：山东省鱼台县人，心中有些独到的科学思想。
第一节．三等分角尺的发明原理：用法：1.RO=OO′=O′R′OB,O′B′以O,O′绕转。
DV尺固定且垂直平分BO;PD′固定且垂直平分O′B2.假定所给任意角（原则上0°- 360°的作用范围）∠AQC，当∠AQC紧贴RB,B′,且DV,D′P尺相较于∠AQC的角心Q且，PV、D′P刻度相等，则O、O′就是∠AQC的三等分角点。
注意：利用此原理所制造的三等分角尺将不比现代所用的三等分角尺麻烦。
三等分角尺的启示：三等分角尺实质是由三个T形直角尺组合而成，根据此原理由几个T形直角尺组合，可五等分、七等分任意角。
第二节．三等分任意角的作图新方法做法：1.假定∠L1O1L1′是所给定的小于180°的任意角，作∠L1O1L1的作平分线并延长得线NS.2.过O1作NS的垂直线，在垂直线上截去MO1=O1S为半径，以O1为圆心画半圆。
3.作半圆∠MO1S的三等分点O,O′,以OO1=O′O为半径，以O,O′为圆心分别作图，并分别交∠L1O1L1′于C1，C1′两点。
4.分别作O1C1，O1C1′相切于⊙O,⊙O′的平行线得切点C2，C2′，角线L2，L2′角心O2.5.以O2为圆心，以O2O=O2O′为半径画圆，分别交∠L2O2L2′于P,P′两点。
6.连接OP,O′P′交⊙O,⊙O′于C3，C3′两点，并过C3，C3′点分别作平行于O2L2，O2L2′的平行线，得角心点O3及两角线L3，L3′。
7.此时C3,O,O′,C3′四点以O3为圆心共圆，即∠C3O3O=∠OO3O′=∠O′O3P′3又∵∠L1O1L1′=∠L2O2L2′=∠L3O3L3′∴∠L1O1L1′=∠C3O3C3′(作图完毕)最后说明：这个作图并不复杂，在有所有三等分任意角的尺规作图中不知能否代表一般，可以论证，上述作图只是良好的近似，且几乎是用肉眼很难观察得到的近似，如果需要还有更加近似的理论作图法，对全国信誓旦旦地声称解决了“三等分问题”的人们，这是一个很好的例证，他们给出的有理有据的证明，经不起细细的推敲，更不可能给出什么严格的证明，因为这本身就是不可能的论证，只是作图好像是这样的而已，无法经得起高精度作图仪器的直接验证，就像上述作图一样，甚至于用肉眼都很难观察。
三等分角
三等分任意角度的最佳方法----兼论三大几何难题之解三等分任意角度是世界著名的三大几何难题之一(还有化圆为方和二倍立方体)，早在１７７５年德国科学院就向世界宣布：三大几何难题无解。
下面首先推出三等分任意角度的最佳方法。
用无刻度直尺和圆规（这是最古老的尺规作图法）二等分任意角度，作平行线，多等分直线段等都是可行的；也可以对已知的９０°及其整倍数的角度,乃至小于９０°的特殊角度进行三等分。
但对未知的一般任意角度如何进行三等分呢？先看一下，已知任意直线段ＯB（如图1），是如何被三等分的：过Ｏ点作直线，取ＯC＝CＥ＝EＡ，得直线段ＯA。
连接ＡＢ，过C 和E点分别作ＡＢ的平行线CＤ和EＦ，则：ＯＤ＝ＤＦ＝ＦＢ。
简要证明：过Ｄ和Ｆ点分别作ＯＡ的平行线ＤＨ和ＦＫ，∵△ＯＣＤ，△ＤＨＦ和△ＦＫＢ皆为全等三角形，∴ＯＤ＝ＤＦ＝ＦＢ。
仿照上述三等分任意直线段的方法，对任意角度进行三等分：绘制任意角度∠ＡＯＢ（如图２），以Ｏ为圆心，以ＯＡ为半径画弧交ＯＢ于Ｂ点，并连接弦ＡＢ。
延长ＯＡ至Ｑ，使ＱＡ＝ＯＡ，以Ｑ为圆心，以ＱＡ为半径画弧，在弧上取弦ＡＣ＝ＣＤ＝ＤＧ，分别连接QＣ、QＤ和QＧ三个半径，并连接弦ＡＧ分别交中间两个半径于Ｅ和Ｆ点。
连接ＢＧ，过Ｅ和Ｆ点分别作ＢＧ的平行线交ＡＢ于Ｈ和Ｍ点，连接OＨ和OＭ点作半径ＯＫ和ＯＮ，则∠ＡＯＢ被近似三等分：即∠ＡＯＫ＝∠ＮＯＢ≌∠ＫＯＮ。
对该绘图方法的精度分析：（１）当所取AG=AB时，则∠ＡＯＫ＝∠ＮOＢ＝∠ＫＯＮ，因为对过Ａ点相对于ＯＱ的垂线（未画出）而言，其两侧图的所有点都是对称的。
虽然所取AG等于ＡＢ的几率很小，但在理论上它是存在的。
（２）当所取AG≠AB时，则∠ＡＯＫ＝∠ＮOＢ≈∠ＫＯＮ。
按照三等分直线段的方法，其对应线段的比例关系是不变的：即ＡＥ︰ＦＧ＝ＡＨ︰ＭＢ；ＡＥ︰ＥＦ＝ＡＨ︰ＨＭ。
∵△ＡＱＥ和△ＧＱＦ为全等三角形，∴ＡＥ＝ＦＧ，则ＡＨ＝ＭＢ故∠ＡＯＫ＝∠ＮOＢ；虽然ＡＥ︰ＥＦ＝ＡＨ︰ＨＭ，在表示线段成比例时是对的，但在AG≠AB的条件下，将其分别转换成相对应的角度以后不可能相等，必然会产生误差，只能得到：∠ＡＯＫ≈∠ＫＯＮ。
三等分角问题
１ Ｄ 历 Ｅ＝ ； （ ２ ） Ｄ Ｅ： Ｄ Ｆ
．
证 、
‘ ： 髓 ｆ ｆ Ｄ Ｆｆ ｆ ＭＮ
Ｆ Ｅ村Ｈ Ｄ．
． ｆ ， 一 一 、
‘ 。ＦＢ — ＤＢ — ＥＢ ’
／
／／ ＼ ＼ ＼
图 ２～１
、
一
・
． ．
㈩ 历 Ｄ Ｅ＝
，
④
（
△ Ｄ雎 ｎ△ Ａ ＨＤ，
・ ．
．
（ ２ ） Ｄ Ｅ：Ｄ Ｆ ．
⑥
证
在 半 圆上 ， ０为 圆 心 ， ＭＮ 为直 径 ， Ｏ Ｒ为半 径 ， 设
（
引理 ２ 过 ， ４ 作直 线 Ａ Ｃ 交直线 ＭＮ 于 Ｃ ， 且交 Ｏ Ｒ上 二 点， 如果 Ａ Ｃ ＝ ４ ｃ＋Ｄ Ｆ ， 则该直线在 Ｏ Ｒ上 的交点 与 ｃ 点 的距离 等于 Ａ Ｃ一 ４ Ｈ
Ａ Ｃ＝ Ａ 日＋ ２ Ｒ ． ２ ． 在Ａ Ｃ上取一点 使 Ａ Ｋ＝ Ａ
②
。 ： ＫＫｆ ｆ Ｈ ＇ Ｃｆ ＨＥ Ｈ Ｄ
⑧
１ ． 以已知 ＡＭＯ Ａ（＜ ９ ０ 。 ） 的角顶 ０为圆心 ， 半径等于 作半 圆 ， 半径 Ｏ Ｒ上ＭＮ， ＭＮ 为 直 径 ， 弦
干 Ｈ．
—Ａ Ｍ
：
延长 Ａ Ｃ至 Ｋ使 Ｃ Ｋ＝Ｄ Ｅ ＝ Ｄ Ｅ＝Ｄ Ｆ ． 过 Ｃ、 Ｋ作 Ｈ Ｄ的平 行 线 ｃ 、 Ｋ， 分别 交 直 线
精力 ， 力 图解决这 三个 问题 ， 至今 没 能如 愿． 也 有 人经 详细
证 明得 出结 论 ： 这 三 个 问题 不 能 用 尺 规 作 图 ．
Ｄ Ｆ ／ ／ Ｍ Ｎ交 Ｏ Ｒ于 Ｆ （ 图 ２— ２ ） ．
如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题
如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题？
1）.先说明尺规作图可能问题：
一个作图题中的所作的未知量，若能由若干已知量经过有限次的有理运算及开平方算出时，这个作图题便能由尺规作出。
2）.定理：
一个一元三次方程若它没有有理根，则长度等于它的任何实数根的线段是不能用尺规作出的。
3）.证明尺规作图三等分任意角是不可能的：
如图：设已知角为3a ,平分后的每一个角为a ,作单位圆交角于A、B、C
过B作BD⊥OA于D，过C作CE⊥OA于E ，
令OD＝m ,OE=x ,则m=cos(3a) ,x=cosa ,代入三角恒等式中：
cos(3a)= 4*(cosa)^3 - 3*cosa 得：4x^3 -3x -m = 0
由于在一般的情况下4x^3 -3x -m = 0 不是都有有理根(艾森斯坦因判别法)
所以根据上面的定理，任意三等分角用尺规作出是不可能的。
林浩南。
尺规作图三等分角[整理]
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尺规作图三等分角——致中国数学界大师们的一封公开信尊敬的中国数学界大师们：你们好！几何学发展至今，虽为完备，但仍有缺憾，尺规三分角就是其一。
数学先哲们曾断言定论，尺规三分角是尺规不能问题。
不才无学，但也相信科学和尊重客观事实，现为一村学教师。
在闲暇之际，偶生兴趣，突发灵感，得一妙法，可将任意角二分为三。
后附详细作法和证明。
万望大师们慧眼识宝，将此妙法推广，让国人之智慧得以光大。
（注：该方法在相关机构已注册、立案。
垂询：131****9044，鄙人常居山野，不便上网，且莫发邮件，也望各类媒体关注。
）三等分线段(角)的尺规作图法崔谧（安定区风翔学区小西岔小学甘肃定西 743000）几何学从诞生到发展，再到逐步完善，除一些特殊角（直角、平角和圆周角）外，至今还没有一种严格的几何方法能将任意一个角三等分。
经过长期的探究，本人发现有一种严格的几何方法可以将一个任意角三等分(包括直角、平角和圆周角)。
该方法分小于180°的角和大于180°而小于360°的角两种情况论述。
为了简单明了起见，在陈述该方法之前，先详细介绍一种用尺规作图将一条线段三等分的新方法。
作法：1.画一条线段AB,用尺规作图法求其中点C。
2.用尺规作图法求线段AC的中点D。
3.在点D和点C之间任取一点E,使得线段AE的长度大于线段AC的三分之二而小于线段AC的长度，用尺规作图法求线段AE的中点F。
4.以点A为圆心，以线段AE的长度为半径画弧线，以点C为圆心，以线段AF的长度为半径画弧线，使得两条弧线相交与点G；以点A为圆心，以线段AC的长度为半径画弧线，以点C为圆心，以线段AD的长度为半径画弧线，使两条弧线相交于H点。
（确保点G和H在线段AB的同侧）5.连接GH，用尺规做图法求其中垂线IJ，延长IJ交AB于点K。
6.以点K为圆心，以线段BK的长度为半径画弧交线段AB于点L。
则点L和点K将线段AB三等分。
如下图所示：依据以上将一条线段三等分的尺规作图法的新方法，也可以将一条弧线三等分，即将一个角三等分。
尺规三等分角不能的向量证明
尺规三等分角不能的向量证明第一篇：尺规三等分角不能的向量证明定义：设S={Z0=1，Z1，...Zn}是n+1个复数，将(1)Z0=1，Z1，...Zn叫做S-点；(2)过两个不同的S-点的直线叫S-直线，以一个S-点为圆心、任意两个S-点之间的距离为半径的圆叫S-圆；(3)由S-直线与S-直线、S-直线与S-圆、S-圆与S-圆相交的点也叫S-点。
上面这个定义完全刻画了尺规作图过程，如果以P表示全体S-点的集合，那么P也就是从S={Z0=1，Z1，...Zn}出发通过尺规作图所得到的全部复数。
定理：设Z1，...Zn(n≥0)为n个复数。
设F= Q(Z1，...Zn，Z1'，...Zn')，(Z'代表共轭复数)，那么，一个复数Z可由S={Z0=1，Z1，...Zn}作出的充要条件是 Z属于F(u1，...un)。
其中u12属于F, ui2 属于F(u1，...ui-1)。
换言之，Z含于F的一个2次根号扩张。
系：设S={Z0=1，Z1，...Zn}，F= Q(Z1，...Zn，Z1'，...Zn')，Z 为S-点，则 [ F(z)：F] 是2的方幂。
以下证明三等分任意角不可能性，证明尺规作图不能三等分60度角：证明：所谓给了60度角，相当于给了复数Z1=1/2+√3/2 i。
从而S={Z0=1, Z1}，F=Q(z1, z1')=Q(√-3)。
如果能作出20度角，当然也能得到cos20，但是cos20满足方程4x3-3x-1/2=0，即8x3-6x-1=0。
由于8x3-6x-1在Q[x]中不可约，从而[Q(cos20)：Q]=3，于是6=[ Q(cos20, √-3)：Q] = [F(cos20)：Q]=[F(cos20)：F] [F：Q] 由于[F：Q]=[Q(√-3)：Q]=2，所以[F(cos20)：F]=3，根据上面的系可知cos20不是S-点，从而20度不可能三等分。
三等分角Word
三等分任意角度的最佳方法----兼论三大几何难题之解三等分任意角度是世界著名的三大几何难题之一(还有化圆为方和二倍立方体)，早在１７７５年德国科学院就向世界宣布：三大几何难题无解。
下面首先推出三等分任意角度的最佳方法。
用无刻度直尺和圆规（这是最古老的尺规作图法）二等分任意角度，作平行线，多等分直线段等都是可行的；也可以对已知的９０°及其整倍数的角度,乃至小于９０°的特殊角度进行三等分。
但对未知的一般任意角度如何进行三等分呢？先看一下，已知任意直线段ＯB（如图1），是如何被三等分的：过Ｏ点作直线，取ＯC＝CＥ＝EＡ，得直线段ＯA。
连接ＡＢ，过C 和E点分别作ＡＢ的平行线CＤ和EＦ，则：ＯＤ＝ＤＦ＝ＦＢ。
简要证明：过Ｄ和Ｆ点分别作ＯＡ的平行线ＤＨ和ＦＫ，∵△ＯＣＤ，△ＤＨＦ和△ＦＫＢ皆为全等三角形，∴ＯＤ＝ＤＦ＝ＦＢ。
仿照上述三等分任意直线段的方法，对任意角度进行三等分：绘制任意角度∠ＡＯＢ（如图２），以Ｏ为圆心，以ＯＡ为半径画弧交ＯＢ于Ｂ点，并连接弦ＡＢ。
延长ＯＡ至Ｑ，使ＱＡ＝ＯＡ，以Ｑ为圆心，以ＱＡ为半径画弧，在弧上取弦ＡＣ＝ＣＤ＝ＤＧ，分别连接QＣ、QＤ和QＧ三个半径，并连接弦ＡＧ分别交中间两个半径于Ｅ和Ｆ点。
连接ＢＧ，过Ｅ和Ｆ点分别作ＢＧ的平行线交ＡＢ于Ｈ和Ｍ点，连接OＨ和OＭ点作半径ＯＫ和ＯＮ，则∠ＡＯＢ被近似三等分：即∠ＡＯＫ＝∠ＮＯＢ≌∠ＫＯＮ。
对该绘图方法的精度分析：（１）当所取AG=AB时，则∠ＡＯＫ＝∠ＮOＢ＝∠ＫＯＮ，因为对过Ａ点相对于ＯＱ的垂线（未画出）而言，其两侧图的所有点都是对称的。
虽然所取AG等于ＡＢ的几率很小，但在理论上它是存在的。
（２）当所取AG≠AB时，则∠ＡＯＫ＝∠ＮOＢ≈∠ＫＯＮ。
按照三等分直线段的方法，其对应线段的比例关系是不变的：即ＡＥ︰ＦＧ＝ＡＨ︰ＭＢ；ＡＥ︰ＥＦ＝ＡＨ︰ＨＭ。
∵△ＡＱＥ和△ＧＱＦ为全等三角形，∴ＡＥ＝ＦＧ，则ＡＨ＝ＭＢ故∠ＡＯＫ＝∠ＮOＢ；虽然ＡＥ︰ＥＦ＝ＡＨ︰ＨＭ，在表示线段成比例时是对的，但在AG≠AB的条件下，将其分别转换成相对应的角度以后不可能相等，必然会产生误差，只能得到：∠ＡＯＫ≈∠ＫＯＮ。
尺规角三等分与垂足弧弦切分角
尺规角三等分与垂足弧弦切分角发布时间：2021-06-16T11:43:31.590Z 来源：《现代中小学教育》2021年6月作者：冯国义[导读] 我发明的用无刻度直尺和圆规，可以对任意角进行任意等份的平分方法。
破解了2500年前由古希腊人提出来的，用尺规作图三等分角无解的世界难题。
创作者：冯国义我发明的用无刻度直尺和圆规，可以对任意角进行任意等份的平分方法。
破解了2500年前由古希腊人提出来的，用尺规作图三等分角无解的世界难题。
两千五百年来，无数先人对尺规作图三等分角不断的研究，或画图或演算都没能给予答案，被公认为无解题。
十九世纪法国数学家皮埃尔·旺策尔就曾宣布尺规作图三等分角无解。
我国著名数学家华罗庚曾说过：“用圆规直尺三等分任意角就如同步行上月球一样，是不可能的”。
然而，我经数年攻关研究，终于在1995年11月13日为这个世界难题划上了句号。
非但对任意角三等份，可以五等份，七等份及任意等份的平分。
用我发明的垂足弧弦切分任意角方法，就可以做出任何一个度数的角。
而不用解析几何，函数计算，免除用弧长公式计算查表画图的麻烦。
这一方法定会给工业生产、科研、教学的角平分方面带来方便利好。
第一部分垂足弧弦切分分角方法的做法1、用一个无刻度直尺和圆规和画图用纸，首先在纸面上画两条交叉的直线，相交于一点0。
2、用圆规设一任意长，以0点为圆心在任意角上划弧相交于任意角的两条边线上A点和B点，形成任意角上的弧叫单位弧，所设半径叫单位半径。
3、用直线连接AB两点，形成AB弧上的弦叫单位弦。
4、用圆规以单位半径为单位，在任意角B侧边线上，向0到B从B点向远方再截切二段单位半径长。
交于0B一侧任意角边线上一点B1。
5、用圆规以0点为圆心，以0B1为半径，从B1向0A一侧边线划弧交于0A一侧边线上一点A1，形成A1B1弧叫任意角分角原始弧。
6、从B1点起，以AB弦长为单位用圆规在A1B1弧上截切三段，形成1.2.3点，有余弧没有分完，把余弧分为平分的两份。