二项式定理各种题型解题技巧(2020年10月整理).pptx

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10
练：求 (x2 1 )9 展开式中 x9 的系数？ 2x
解： Tr 1
C9r (x 2 )9r
( 1 )r 2x
C xr 182r 9
(
1)r 2
x r
C 9r
1 (
)
r
x183r
2
，令18 3r 9 ,则 r 3
故
x9
的系数为C39(
1)3 2
21 。 2
题型三：利用通项公式求常数项；
④通项：展开式中的第r 1 项 Crnanrbr 叫做二项式展开式的通项。用 T r1 Cnranrbr 表示。
3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(n 1) 项。
②顺序：注意正确选择a , b ,其顺序不能更改。 (a b)n 与 (b a)n 是不同的。
③指数： a 的指数从 n 逐项减到 0 ，是降幂排列。 b 的指数从0 逐项减到 n ，是升幂排列。各项的 次数和等于n .
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C0 ,C1 ,C2 ,,Cr ,,Cn . 项的系
n nn
n
n
数是a 与 b 的系数（包括二项式系数）。4
．常用的结论：
令 a 1,b x, (1 x)n C0 C1 x C2 x2 L Cr xr L Cn xn (n N )
例：求二项式(x2 1 )10 的展开式中的常数项？ 2x
解：Tr 1
Cr (x2 )10r 10
(
1 2x
)r
C1r0
1 ( 2
)r
20 5r
x2
，令 20
5 2
r
0 ，得 r
8，所以T9
C81(0
)18 2
45 256
练：求二项式(2x 1 )6 的展开式中的常数项？ 2x
解： Tr 1
C 6r
为 A1,
A2 ,,
An 1
，设第r
1
项系数最大，应有AArr11
Ar Ar
2
，从而解出r 来。
6．二项式定理的十一种考题的解法：
题型一：二项式定理的逆用；
例： C1 C2 6 C3 62 L Cn 6n1 .
n
n
n
n
解： (1 6)n C0 C1 6 C2 62 C3 63 L Cn 6n 与已知的有一些差距，
C
3 n
L
C2r n
1
1 2n 2
2n1
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
1
(a x)n
C
0 n
a
n
x0
C1nan1 x C 2nan2 x2
L
C nna 0 xn a 0 a x11 a
x2 2 L
a
xn n
(x a)n C0a0 xn C1axn1 C 2a2 xn2 L Cnan x0 a xn L a x2 a x1 a
n
n
n
n
n
2
1
0
令x 1, 则a a a a L a (a 1)n ①
0
1
2
3
n
令x 1,则a a a a L a (a 1)n ②
0
1
2
3
n
① ②得, a0 a2 a4 L
an
(a 1)n (a 1)n (奇数项的系数和) 2
① ②得, a1 a3 a5 L an
二项式定理
1. 二项式定理：
(a b)n C0an C1an1b L Cranrbr L Cnbn (n N )，
n
n
n
n
2. 基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n 的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数C
r n
(r
0,1, 2,, n) .
③项数：共 (r 1) 项，是关于a 与 b 的齐次多项式
n
n
n
n
n
令 a 1,b x, (1 x)n C0 C1 x C2 x2 L Cr xr L (1)n Cn xn (n N )
n
n
n
n
n
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 C0 Cn ，···Ck Ck 1
n
n
n
n
②二项式系数和：令 a b 1,则二项式系数的和为C0 C1 C2 L Cr L Cn 2n ，
解：由条件知Cn2 45 ，即 C2 45 ，n2 n 90 0 ，解得n 9(舍去)或n 10 ，由
n
n
2
T r 1
Cr
( x 41
)10r
(x
2 3
)r
10
Cr x 10
10r 2r
4 3 ，由题意
10 r 2 r 3,解得r 6 ， 43
则含有 x3 的项是第7 项 T C6 x3 210x3 ,系数为210 。
(
2
x
)
6
r
(
1)r
(
1 2x
)
r
(
1)r
C
r 6
2
6
r
(
1) 2
r
x62r ，令 6 2r
0 ，得 r
3，所以
T (1)3 C3 20
4
6
练：若 (x2 1 )n 的二项展开式中第5 项为常数项，则 n
n
n
n
n
n
变形式C1 C2 L Cr L Cn 2n 1 。
n
n
n
n
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令 a 1,b 1 ，则 C0 C1 C2 C3 L (1)n Cn (11)n 0 ，
n
n
n
n
n
从而得到： Cn0
Cn2
C
4 n
C
2 n
r
C1n
n
n
Baidu Nhomakorabea
n
n
n
C
1 n
C
2 n
6
C
3 n
62
L
C
n n
6n1
1 6
(C1n
6
C
2 n
62
L
C
n n
6
n
)
1 6
(Cn0
C
1 n
6
C
2 n
62
L
C
n n
6n
1)
1 [(1 6
6)n
1]
1 (7n 6
1)
练： C1 3C2 9C3 L 3n1Cn .
n
n
n
n
解：设 S C1 3C2 9C3 L 3n1Cn ，则
n
n
n
n
n
3S C13 C2 32 C333 L Cn 3n C0 C13 C2 32 C333 L Cn 3n 1 (1 3)n 1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
(1 3)n 1 4n 1
Sn
3
3
题型二：利用通项公式求 xn 的系数；
例：在二项式( 4 1 3 x2 ) n 的展开式中倒数第3 项的系数为45 ，求含有 x 3的项的系数？ x
(a 1)n (a 1)n (偶数项的系数和) 2
n
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n
是偶数时，则中间一项的二项式系数C
2 n
取得最大值。
n1
n1
如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn 2 , Cn 2 同时
取得最大值。
⑥系数的最大项：求 (a bx)n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别