复数的知识点总结与题型归纳

复数的知识点总结与题型归纳

一、知识要点 1．复数的有关概念

我们把集合C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．

全体复数所成的集合C 叫做复数集．

复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．

对于复数z ＝a ＋b i ，以后不作特殊说明都有a ，b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．

说明：

(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，其中0＝0＋0i.

(2)复数的虚部是实数b 而非b i.

(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等

在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .

3．复数的分类

对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：

复数z ⎩⎪⎨⎪⎧

实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).

说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

4．复数的几何意义

(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应

复平面内的点Z (a ，b ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→. 5．复数的模

(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)． 说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系

实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．

6．复数的加、减法法则

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，

则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 7．复数加法运算律

设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 8．复数加、减法的几何意义

设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→

的终点并指向OZ 1――→

的向量所对应的复数．

它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

9．复数代数形式的乘法法则

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.

10．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有

11.共轭复数

已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 12．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝

a ＋

b i

c ＋

d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad

c 2＋

d 2

i(c ＋d i ≠0)． 说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．

二、题型总结

题型一：复数的概念及分类

[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6

x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)

虚数？(3)纯虚数？

[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧

x 2－2x －15＝0，

x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．

(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧

x 2－2x －15≠0，

x ＋3≠0，

即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．

(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧

x 2－x －6

x ＋3

＝0，x 2

－2x －15≠0，

x ＋3≠0，

即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．

复数分类的关键

(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式.

(2)注意分清复数分类中的条件

设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0

题型二、复数相等

[典例] 已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．

[解析] 设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝1

12.

题型三：复数与点的对应关系

[典例] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6

a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的

点Z 满足下列条件：

(1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x 轴上方．