概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第3章 随机向量

解 ： X和Y的概率密度分别为:
由于X与Y相互独立，于是(X,Y)的概率密度为:
先求Z的分布函数FZ(z) 当z<0时 FZ(z)=0 当z≥0时
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所以 于是可得 的概率密度
概率论与数理统计
如果一随机变量的概率密度为上式，称该随机变量服从参数为的瑞利分布。
由题可知，若X,Y独立服从同一分布
P {Y

j|X
i}
p 2q pq
j2 i1

pq ji1
j i 1, i 2,L
概率论与数理统计
2. 二维连续型随机变量的条件分布
定义3.6
对固定的实数y，设对于任意给定的正数ε，P{y-ε<Y≤y+ε}>0, 且若对于任意实数x，极限
存在，则称此极限为在Y=y的条件下X的条件分布函数，
非负二元函数f(x,y),对于任意实数x,y，有
概率论与数理统计
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y
1
o
y
y=x 1x
O
1x
y
O
1x
y
O
1x
概率论与数理统计
二维均匀分布 设G是平面上的有界区域,其面积为S,若二维随机变量(X.,Y)的概率密度为
则称(X,Y)在区域G上服从均匀分布. 设(X,Y)在区域G上服从均匀分布,D为G内的一区域,即 DG,且D的面积为S(D),那么
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1. 二维离散型随机变量的边缘分布
概率论与数理统计
例题
概率论与数理统计
概率论与数理统计
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2. 二维连续型随机变量的边缘分布
设(X,Y)为二维连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，则
从而知，X为连续型随机变量且概率密度为
同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为
02
第2节 边缘分布
概率论与数理统计
X和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量(X,Y)关于X和Y的边缘分 布函数，分别记为FX(x), FY(y)。当已知(X,Y)的联合分布函数F(x,y)时，可 通过
求得两个边缘分布函数
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例题 设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为
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设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,… ，且(X,Y)取各对可能值的概率为 P{X=xi，Y=yj}=pij， i,j=1,2,…
称上式为(X,Y)的（联合）概率分布或（联合）分布律.离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律可用表3-1表示.
概率论与数理统计
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示:
与Y(e)是定义在同一样本空间上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为 上的二维随机向量或二维随机变量。简记为(X,Y).
定义3.2设 (X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y，称二元函数
F(x,y)=P{Xx，Yy} 为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数.
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例题
设X和Y都服从参数为1的指数分布，且相互独立，试求 P{X+Y<1}。
解 :设fX(x),fY(y)分别为X和Y的概率密度，则
由于X与Y相互独立，所以(X,Y)的概率密度为
于是
05
第5节 两个随机变量的函数的分布
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1. 二维离散型随机变量的函数分布
例例题： 设（X,Y）分布律为
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二维正态分布 若(X.,Y)的概率密度为
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4. n维随机变量
设E是一个随机试验,它的样本空间是=(e).设随机变量
是定义在同一样本空间上的n个随机变量，则称向
量
为n维随机向量或n维随机变量。简记为
设 数
为n维随机变量
是n维随机变量，对于任意实 ,称n元函数
的联合分布函数。
同理,X-Y的分布律为
XY
1
P
1/3
0
1
1/3
1/3
XY及X/Y的分布律分别为
XY
1
2
4
P
0
2/3
1/3
X/Y
1
P
0
2
4
2/3
1/3
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2. 二维连续型随机变量的函数分布
设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)， 又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情况下，Z是一连续型 随机变量。
表3-1
Y X y1 y2 … yj …
x1
p11 p12 … p1j …
x2
p21 p22 … p2j …
.
.. .
. .. .
xi
pi1 pi2
pij…
概率论与数理统计
由概率的定义可知 pij具有如下性质：
(1) 非负性: pij≥0，i，j=1，2…；
(2)规范性： pij 1 i ,j
则
服从参
数为的瑞利分布。
(1)和的分布
设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，现求Z=X+Y的概率密度。
令
源自文库
,则Z的分布函数为:
概率论与数理统计
固定z和y对积分
于是：
作换元法，令 x+y=u 得
概率论与数理统计
由概率密度定义，即得Z的概率密度为 由X与Y的对称性，又可得 当X与Y相互独立时，有
Y
1 X2
1
0
1/3
2
1/3
1/3
求 XY, XY ,XY及X/Y的分布.
解：先列出下表
概率论与数理统计
P
0
1/3
(X,Y)
(1,1)
(1,2)
XY
2
3
XY
0
1
XY
1
2
X/Y
1
1/2
于是X+Y的分布律为
X+Y
2
3
P
0
2/3
1/3
1/3
(2,1)
(2,2)
3
4
1
0
2
4
2
1
4 1/3
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1
2/20 1/20
2/20
1/2
4/20 2/20
4/20
解: X与Y的边缘分布律分别为
问X与Y相互独
X -1/2 1 1/2 pi. 1/4 1/4 1/2
Y -1 0 2
立吗？ 逐一验证可知，
pij= pi. ·p.j（i=1,2,3,j=1,2,3）。 从而X与Y相互独立。
p.J 2/5 1/5 2/5
结论推广：“若X与Y独立，则对于任意一维区间I1和I2，事件{X∈I1}与 {Y∈I2}相互独立”。
当（X,Y）为离散型或连续型随机向量时，可用它的分布律或概率密度来 判别X与Y的独立性。
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例题 设二维随机变量(X,Y)的分布律如表所示。
X
Y
-1 0
2
-1/2
2/20 1/20
2/20
其中
分别是X和Y的密度函数。
概率论与数理统计
设X，Y是相互独立且分别服从参数1,和 2, 的分布，即X，Y的概率
密度分别为
证明 ： X+Y服从参数为 证 ： 由定义，Z=X+Y的概率密度为
的 分布.
当z≤0时 fZ(z)=0
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当z>0时,
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综上所述，Z=X+Y的概率密度为
这正是参数为
的 分布的概率密度。
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概率论与数理统计
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概率论与数理统计
概率论与数理统计
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X
X
Y
Y
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解: (1)串联情况
X
Y
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(2)并联情况
X
Y
感谢聆听 批评指导
记作
或记为
.
同样,在X=x条件下随机变量Y的条件分布函数
概率论与数理统计
设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为f(x,y)。若在点(x,y)处f(x,y)连续，边缘 概率密度fY(y)连续，且fY(y)>0，则有：
亦即
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若记
为条件Y=y下X的条件概率函数，则由上式知：
类似地在相应条件下可得在X=x条件下Y的条件概率密度为
(4)对于任意(x1,y1)和(x2,y 2 )，x1 x 2 ,y1 y 2 ,有 F(x2,y 2 ) F(x2,y1) F(x1,y 2 ) F(x1,y1) 0
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2. 二维离散型随机变量
定义3.3 若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无
限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。
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例题
x
O
y
03
第3节 条件分布
概率论与数理统计
1. 二维离散型随机变量的条件分布律
定义3.5
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例题
一射手进行射击,每次射击击中目标的概率均为p(0<p<1)且 假设各次击中目标与否相互独立,射击进行到击中目标两次 为止.设以X表示到第一次击中目标所需要的射击次数,以Y 表示总共进行的射击次数.试求(X,Y)的联合分布律和条件分 布律.
为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数
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求解过程中，关键在于将事件{Z≤z}等价地转化为用(X,Y)表示的事件
{g(X,Y) ≤z}={(X,Y)
},其中
。
即首先找出上式右端的积分区域Dz。如果求得了FZ(z) ,那么可通过
求出Z的概率密度
。
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例题
设 独立，求
且X与Y相互 的概率密度。
第3章 随机向量
目录 CONTENTS
第1节 二维随机向量及其分布
第2节 边缘分布
第3节
条件分布
第4节 随机变量的独立性
第5节 两个随机变量的函数的分布
01
第1节 二维随机向量及其分布
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1. 二维随机向量及其分布函数
定义3.1 设E是一个随机试验，它的样本空间是={e}.设X(e)
由独立性定义可证 “若X与Y相互独立，则对于任意实数x1<x2,y1<y2,事件 { x1<X≤x2}与事件{ y1<Y≤y2}相互独立”。
概率论与数理统计
P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2} =F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1) =FX(x2) FY(y2)-FX(x2) FY(y1)-FX(x1) FY(y2)+FX(x1) FY(y1) =[ FX(x2)-FX(x1)][ FY(y2)-FY(y1)] = P{x1<X≤x2}P{y1<Y≤y2} 所以事件{x1<X≤x2}与{y1<Y≤y2}是相互独立的。
解: 由题意,{X=i}表示第i次首次击中目标,{Y=j}表示第j次击中目标,因而 i<j,{X=i, Y=j}表示第i次和第j次击中目标而其余j-2次均未击中目标.于是(X,Y) 的联合分布律为：
概率论与数理统计
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对于固定的
i 1,2 ,L ,
在条件 X i 下 Y 的条件分布律为
由古典概率计算可得
概率论与数理统计
于是(X,Y)的分布可用表示
Y
X
0
4/84
1
12/84
2
4/84
由(X,Y)的分布律,所 求概率为
0
18/84 24/84 3/84
1
2
3
12/84 1/84
6/84 0
0
0
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3. 二维连续型随机变量
定义3.4 设(X,Y)为二维随机向量,(X,Y)的分布函数为F(x,y).若存在
概率论与数理统计
例题
设随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)∣x2+y2≤1}上服从均匀分布，
求条件概率密度
。
解： (X,Y)的概率密度为
且有边缘概率密度 :
当－1<y<1时有：
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特别地，当y = 0和y = 时，条件概率密度分别为：
类似于条件概率的乘法公式，也有
04
第4节 随机变量的独立性
(X,Y)的分布函数满足如下基本性质：
(1) F(x,y)是变量x,y的不减函数. (2) 0F(x,y)1
对于任意的 y ,F(,y ) 0 对于任意的 x ,F(x ,) 0 F(,) 0，F(,) 1
(3)F(x ,y )关于x ,y是右连续的，即 F(x ,y ) F(x 0,y )，F(x ,y ) F(x ,y 0)
其中,和式是对一切满足 xi x, yi y 的 i, j 来求和的.
概率论与数理统计
从一个装有2个红球,3个白球和4个黑球的袋中随机地取3个
例题 球,设X和Y分别表示取出的红球数和白球数,求(X,Y)的分布
律,并求P{X≤1,Y<2},P{X+Y=2},及P{X=1}. 解:X的可能值为0,1,2,Y的可能为0,1,2,3.(X,Y)的所有可能值为 (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1).
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定义3.7 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y，事
件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随 机变量X与Y相互独立。 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数， (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布 函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式等价于