圆中的最值问题
有关圆的最值问题几种类型及方法
有关圆的最值问题几种类型及方法圆形是初中数学中常见的图形，它有很多特殊的性质。
其中一项重要性质就是它具有最小和最大值。
在圆形的几何学中，有不同的最值问题类型，本文将介绍其中几种类型和解决方法。
问题类型1. 半周长最大问题描述：在一个固定的圆中，找到一个周长为定值的最大圆。
解决方法：利用相似三角形比值和性质，通过求出最大圆的半径得出周长最大的圆。
2. 面积最大问题描述：在一个固定的圆中，找到面积最大的圆。
解决方法：通过对已知条件进行约束，运用微积分的极值问题求解最大面积圆的面积。
3. 离心率最大问题描述：在一个固定的圆中，找到一点使得其到圆的距离与到圆心的距离之比最大。
解决方法：通过对于点到圆心的距离公式的推导，结合相关性质，使用数学分析方法解决问题。
4. 切线长度最短问题描述：如何从一个外圆割出一个内接圆的形状，且切线的长度最短。
解决方法：通过运用切线长度公式和勾股定理，推导出最短切线的长度公式，通过微积分求解最小值。
解决方法方法1：运用几何知识在解决这些最值问题时，通过几何知识、特殊性质、面积比和相似性质等直观的方法，可以解决一些简单的最值问题。
例如，第一类问题可以通过找到两个相似三角形的比值，解出最大圆的半径；第二类问题可以通过勾股定理求出直角三角形的面积比例。
方法2：微积分方法对于一些复杂的最值问题，采用微积分的方法计算可能更为简便。
通过设出方程，运用微积分的极值问题方法求出函数的最值点，并验证其确为最值点，就可以直接求解最大或最小值。
例如，第二类问题就是一个极大值问题，可以通过设定面积函数，求该函数的一阶和二阶导数，分析得出最大值点的位置和最大面积值。
方法3：从物理学的角度出发物理学的一些基本定理也可以用来解决圆的最值问题。
例如，第一类问题中，最大圆对应的角速度是圆心角的一半，这是由圆周运动的基本物理定律所得。
将圆周运动和相似三角形的比例性质联系起来，可以解出最大圆的半径。
圆是初中数学中比较基础的图形，但在解决圆的最值问题时，需要综合运用几何知识、微积分知识和物理学知识等多方面的知识。
借助几何性质解决圆中的最值问题
类型四 利用“数形结合方法”解决直线与圆的问题
例4 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点. (1)求xy－－21的最大、最小值； 解 法一 设 k＝xy－－21， 则 y－2＝kx－k，即 kx－y＋2－k＝0. ∵P(x，y)为圆 C 上任一点， ∴圆心(－2，0)到直线 kx－y＋2－k＝0 的距离 d＝|－2k1＋＋2k－2 k|＝|21－＋3kk2|≤1，
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∴3t＋＋1t＝－12.∴t＝－73， ∵CA＝ 1＋4＝ 5， ∴直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值为 2 9－5＝4.
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思维升华
当直线与圆相交时，弦长最短，需使弦心距最大，然后根据垂径定理由垂直 得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾 股定理解决问题.
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借助几何性质解决圆中的最值问题
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高中数学中，在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把 常见的与圆相关的最值问题总结如下.希望对学生有些启发.
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类型一 “圆上一点到直线距离的最值”问题
例 1 已知圆 C 经过(2，5)，(－2，1)两点，并且圆心 C 在直线 y＝21x 上. (1)求圆 C 的方程； 解 点(2，5)与点(－2，1)连线的中点为(0，3)，中垂线方程为 y＝－x＋3，
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即|2－3k|≤ 1＋k2， 平方得 8k2－12k＋3≤0， 解得3－4 3≤k≤3＋4 3， 故xy－－21的最大值为3＋4 3，最小值为3－4 3；
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(2)求x－2y的最大、最小值.
解 设b＝x－2y，即x－2y－b＝0. ∵P(x，y)为圆C上任一点， ∴圆心(－2，0)到直线的距离 d＝ 12|＋－（2－－b2| ）2＝|b＋52|≤1，即|b＋2|≤ 5， 则－2－ 5≤b≤ 5－2，
(完整版)圆最值问题题型归纳
x圆中最值问题类型一 圆上一点到直线距离的最值问题例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 .变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S 的最小值为 .变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大．变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义）例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解？类型三：转化成函数或不等式求最值例4已知圆O ：221x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值为例5已知圆C ：22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点，（1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．6、已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q 为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.7、如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，以A 为圆心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部分）（Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分矩形ABCD 的面积；（Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切，试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆．l P E C M。
数学圆和(面积)的最值问题
数学圆和(面积)的最值问题数学圆的最值问题引言数学中，圆是一个重要的几何概念。
在研究圆的性质和应用时，我们经常会遇到关于圆的最值问题，即在一定的条件下，如何找到圆的面积或其他性质的最大值或最小值。
本文将探讨数学圆的最值问题，并介绍一些解决这类问题的方法和策略。
圆的面积最值问题在圆的最值问题中，我们常常涉及到最大面积和最小面积两种情况。
下面分别讨论这两种情况。
圆的最大面积当我们固定圆的半径时，要找到圆的最大面积，需要确定这个半径的取值范围。
根据数学知识，圆的面积公式为：A = πr²，其中π是一个常数，r代表半径。
当半径r取值为正数时，圆的面积是一个关于r的增函数。
因此，我们可以通过求导数的方法来找到最大面积。
具体步骤如下：1.对面积公式A = πr²求导，得到A' = 2πr。
2.令A' = 0，解方程得到r的临界点。
3.将临界点带入面积公式，找到最大面积。
圆的最小面积当我们固定圆的周长时，要找到圆的最小面积，也需要确定周长的取值范围。
根据数学知识，圆的周长公式为：C = 2πr。
由于周长是一个固定值，我们可以将周长公式改写为：r = C / (2π)，然后将该式代入圆的面积公式A = πr²中，得到面积的表达式只包含C一个变量。
通过对这个新的面积表达式进行求导和求临界点，可以找到圆的最小面积。
结论数学圆的最值问题是一个有趣且实用的数学问题。
通过应用求导等数学方法，我们可以找到圆的最大面积和最小面积。
在实际应用中，我们可以将这些方法应用于设计圆形物体的最优尺寸、优化圆形线路的长度等问题中，为实际生活带来便利和效益。
参考文献：数学圆的性质与应用，XXX，XX出版社，20XX年。
数学分析教程，XXX，XX出版社，20XX年。
以上是本文对数学圆的最值问题的讨论和总结，希望对读者有所帮助。
圆中最值问题10种求法
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策,主要原因就是对求最值的方法了解不多,思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图:⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB，∠AOC=60°,P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]:延长AO交⊙O于D,连接CD交⊙O于P,即此时PA+PC最小,且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D,连接CD交OB于P连接PA,过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中 cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图:在直角坐标系中，点A的坐标为（－3，－2）,⊙A的半径为1,P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q,则PQ长度的最小值为 .[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=,求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2。
解:连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2） ,根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6,D为PB的中点,一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2 C．3 D．3［分析］：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值,要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2,连接AB根据题意得:弧AC的长为2πr=2π·2=4π,PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C。
与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．【与圆有关的最值类型】①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值.处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径.例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ).A.6；3.B.6；4.C.5；3.D.5；4.(2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____． 解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d=25√32+42=5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B.法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′， 则 d ′=|3cosθ+4sinθ−25|5=|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是6和4.故应选B.(2)法1. ① 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距离d=√5，① 5−√5≤√a 2+b 2≤5+√5,⇒30−10√5≤a 2+b 2≤30+10√5. 因此，a 2＋b 2的最小值是30－10 5.法2. ① 点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，可设P(1+5cos θ，-2+5sin θ)， ① a 2＋b 2=(1+5cos θ)2+(-2+5sin θ)2=30+10√5sin (θ+φ)，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① a 2＋b 2的最小值是30－10 5.例2.在圆x 2+y 2=4上且与直线4x+3y -12=0距离最小的点的坐标是( ). A.(85，65). B.( 85，−65). C.( −85，65) D.( −85，−65). 解:法1.过原点且与直线4x+3y -12=0垂直的直线为3x -4y=0， 联立{x 2+y 2=4,3x −4y =0,⇒{x =85y =65或{x =−85y =−65.结合图4.7—1知选A. xyO 4x+3y -12=0CAE FGHxOM N y 图3.7—2法2.由圆的几何性质可知，所求点为与直线4x+3y -12=0平行且与圆x 2+y 2=4相切的切点.设切线方程为4x+3y+c=0，由|c|5=2,⇒c =∓10.结合图3.7—1 知，c=10.联立{4x +3y −10=0,x 2+y 2=4,⇒{x =85y =65, 故应选A. 法3.对于选择题，可结合图形知所求点应在第一象限内，再看选择支，极易确定选A.想一想①：1.圆x 2+y 2=1上与直线4x -3y -12=0距离最短的点坐标是 .2.已知A (0，1)，B (2，3).Q 为圆C:(x -3)2+y 2=1上任一点，则S ΔOAB 的最小值为 .3.若实数x 、y 满足x 2+y 2+2x -4y=0，求x -2y 的最大值．例2.(1)已知a 、b 是单位向量且a ①b.若向量c 满足|c -a -b |=1，则|c |的取值范围是 .(2)已知点A(-1，1)和圆C ：(x -5)2+(y -7)2=4.一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是( ).A.10.B.2√6.C.4√6.D.8. 解:(1) ① a 、b 是单位向量且a ①b ，可设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x ，y)，又① |c -a -b |=1，① (x -1)2+(y -1)2=1. ① 原点O 到圆心(1，1)的距离为√2.① |c | =√x 2+y 2∈[√2−1，√2+1].(2)由光学原理知，点A 关于x 轴的对称点A ′(-1，-1)在反射线上，① 光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是过A ′且与圆相切的切线段长|A ′T|=√(−1−5)2+(−1−7)2−4= 4√6.应选C.例3.已知圆C ：(x+2)2+y 2=4，过点A(-1，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交圆C 与E 、F两点，l 2交圆C 与G 、H 两点.(1)EF+GH解:(1)令圆心C 到弦EF 的距离为d 1，到弦GH 则EF +GH =2(√4−d 12+√4−d 22)，又d 12+d 22=CA 2=1由：√4−d 12+√4−d 222≤√8−(d 12+d 22)2=√8−12= √142，(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).故EF +GH ≤√14. (2)① EF ⊥GH ，① S 四边形EFGH =12EF ×GH =2(√4−d 12√4−d 22 ≤2×8−(d 12+d 22)2=7.(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).例4(1)如图3.7—3(1).点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan①BOC=m ，则m 的取值范围是_________．(2)如图3.7—3(2).在边长为1的等边①OAB 中，以边AB 为直径作①D ， C 为半圆弧AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合).BC=a ，AC=b ，求a+b 的最大值.(3)如图3.7—3(3).线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边①ACD 和等边①BCE ，①O 外接于①CDE ，则①O 半径的最小值为( ). A.4. B. 2√33. C. √33. D.2._ B_y_ COED解:(1)由已知，点C 是第一象限内在圆(x -3)2+y 2=4点，结合图2.8—4(1)知，tan①AOC ∈(0，2√55]，∵①AOC 与①BOC 互余，① m ≥√52. (2)① AC 2+BC 2=AB 2，即a 2+b 2=1 由柯西不等式得，(12+12)(a 2+b 2)≥(a+b)2， ① (a+b)≤√2，故 a +b 的最大值为√2.(3)设外接圆的半径为R ，由已知可得∠DOE =600.再由正弦定理知DE=2Rsin600,① R=√33DE .在∆DCE 内由余弦定理可得DE 2=DC 2+CE 2-DC ∙CE =(DC+CE)2-3DC ∙CE =16-3DC ∙CE ≥16-3(DC+CE 2)2=4，即DE ≥2. ① R=√33DE ≥2√33.应选B.想一想①：1.如图3.7—4.①M ，①N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为①M 上的任意一点，Q 为①N 上的任意一点，直线PQ 与连心线所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α的最大值为( ).A.√612B.43.C.√33.D.34.2.如图3.7—5.①BAC=600，半径长为1的圆O 与①BAC 的两边相切， P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A.3. B.6. C. .3√32.D. 3√3.例5.(1)过点M(−2，,0)的直线l 与曲线y=√4−x 2相交于A ，B 两点，当∆ABO (O 为坐标原点)的面积最大时，直线l 的斜率为 . (2)两个圆C 1：x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R )与圆C 2：x 2+y 2-2by+b 2-1=0(b ∈R )恰有三条公切线，则a+2b 的取值范围为 . 解:(1) ① 曲线y=√4−x 2的方程可变形为x 2+y 2=4(y ≥0)，① 此曲线表示以原点为圆心，2为半径，在x 轴及其上方的半圆，如图3.7—6.① S ∆ABO =12OA ×OB ×sin∠AOB =2sin∠AOB ， 当∆ABO 的面积最大时，∠AOB =900，此时∆ABO为等腰直角三角形，① 点O 到直线AB 的距离为√2. 设直线AB 的方程为 y=k(x+2√2)，即kx -y+2√2k =0， ①2√2k √1+k 2=√2，解得k=±√33，又由已知k>0，① k= √33.(2) ① 圆C 1的圆心为C 1(-a ，0)，半径为2；圆C 2的圆心为C 2(0，b)，半径为1.l xy MABO 图3.7—6图3.7—4P QMNA D E BCP. . O图3.7—5由已知两圆外切，① | C 1 C 2|=2+1=3，即a 2+b 2=9.令a+2b=m ，则 √1+4≤3，解得 −3√5≤m ≤3√5，① a+2b 的取值范围为[−3√5，3√5].习题3.71.已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，①C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是①C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则①ABE 面积的最大值是( ).A.3.B. 103. C.103. D.4. 2.圆x 2+y 2-2x -2y+1=0上的点到直线2x y -=距离的最大值是( ).A.2.B.1+√2.C.2+√22. D.1+2√2.3.由直线y=x +1上一点向圆C :(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 .4.已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：(x -3)2+y 2=1的切线PA ，PB(A 、B 为切点)，则四边形PACB 面积的最小值为 .5.求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x -4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.①过原点；①有最小面积.6.求圆(x -2)2+(y+3)2=4上的点到直线x -y +2=0最远和最近的距离.7.已知圆M 过两点C(1，-1)，D(-1，1)，且圆心M 在x+y -2=0上. (1)求圆M 的方程. (2)设P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点.求四边形PAMB 面积的最小值.8.在平面直角坐标系中，M(3，4)，P 是以M 为圆心，2为半径的①M 上一动点，A(-1，0)、B(1，0)，连接PA 、PB ，求PA 2+PB 2最大值.9.过定点M 的直线l 1：ax+y -1=0与过定点N 的直线l 2：x - ay +2a -1=0交于点P.求|PM|∙|PN|的最大值.【参考答案】想一想①：1. (45，−35). 2.4+√2. 3.10.想一想①：1.D.考虑PQ 为两圆的内公切线时的情形.2.在△ADE 中，由正弦定理得|DE|=2Rsin600，其中R 为△ADE 的外接圆半径.如图2.8—4(3)知，AP 的最大值为|OP|+1=3，① |DE|max =3√3. 故应选D.习题3.71. A.2. B.3. √7.4. √7.5.(1)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① 所求圆过原点，得λ=−14. ①x 2+y 2+32x+74y =0为所求.(2)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① R 2=D 2+E 2−4F 4=5λ2−16λ+164，① 当 λ=85时R 2最小. ① x 2+y 2+265x −125y +375=0为所求6.7√2−42;7√2+42. 7.(1)设圆M 的方程为:(x -a)2+(y -b)2=r 2(r >0).根据题意得， {(1−a)2+(1+b)2=r 2,(−1−a)2+(1−b)2=r 2,a +b −2=0. 解得a=b=1，r=2.故所求圆M 的方程为(x -1)2+(y -1)2=4.(2)① 四边形PAMB 的面积S=S ①PAM +S ①PBM =|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，① S=2|PA|,而|PA|=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−4， 即S=2√|PM|2−4.因此要求S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小, ① |PM|min =√32+42=3.因此，四边形PAMB 面积的最小值为S=2√|PM|2−4=2√5.8.设P(3+2cos θ，4+2sin θ)，则PA 2+PB 2=60+24cos θ+32sin θ=60+40sin(θ+φ)≤100. ① PA 2+PB 2最大值为100.9. 1. 由已知有，直线l 1过定点M(0，1)，直线l 2过定点N(1，2)，且|MN|=√2，l 1⊥l 2.由平面几何的知识知，点P 在以MN 为直径的圆上运动.设点P 到MN 的距离为PD ，则有|PM|∙|PN|=|MN||∙|PD| =√2∙|PD|，∴ 当|PD|取最大值√22 时，(|PM|∙|PN|)max =√2∙√22=1.。
圆中最值的十种求法
所以 所以CQ=CP
因为CP是⊙O的动弦 最大值为⊙O的直径
所以CP的最大值为5
此时当点P运动到CP为⊙O的直径时
CQ的最大值为×5=
五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值
5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.
[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.
解 所以PQ⊥AQ
在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2
即PQ=
又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2
所以PQ的最小值=
三、利用两点之间线段最短求最值
3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )
A． B．2 C．3 D．3
1
连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E
在△OCD中，因为∠AOC=60° 所以∠D=∠C=30°
在Rt△ODE中 cos30°=
即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2
即PA+PC的最小值为2.
二、利用垂线段最短求最值
2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为 .
[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.
圆中的最值问题运动轨迹
圆中的最值问题运动轨迹圆中的最值问题运动轨迹引言：圆是一种几何学中常见的形状，它具有许多独特的性质和特点。
在数学中，研究圆的最值问题既有理论意义，又有实际应用。
本文将讨论圆中的最值问题，并探索与之相关的运动轨迹。
通过对这些问题的分析和求解，可以帮助我们更深入地理解圆的性质和运动规律。
一、圆的最值问题1. 最大面积问题圆的面积公式为S=πr²，其中r为圆的半径。
那么，在给定周长的情况下，如何确定圆的半径以使其面积最大化？解法：根据周长公式C=2πr，可得r=C/(2π)，将该值代入面积公式得到S=π(C/(2π))²=(C²/(4π))π=(C²π/4π)=C²π/4。
所以，当给定周长时，圆的面积最大值为C²π/4。
2. 最小周长问题如果圆的面积是固定的，如何确定圆的半径以使其周长最小化？解法：根据面积公式S=πr²，可得r=√(S/π)，将该值代入周长公式得到C=2π(√(S/π))=2√(πS)。
所以，当给定面积时，圆的周长最小值为2√(πS)。
3. 最大周长问题在给定面积的情况下，如何确定圆的半径以使其周长最大化？解法：根据面积公式S=πr²，可得r=√(S/π)，将该值代入周长公式得到C=2π(√(S/π))=2√(πS)。
所以，当给定面积时，圆的周长最大值为2√(πS)。
二、圆的运动轨迹1. 圆的滚动轨迹当一个圆沿着另一个圆或者直线滚动时，滚动圆上一点的轨迹称为圆的滚动轨迹。
滚动轨迹通常是一条曲线，而滚动圆上的所有点都具有相似的运动特性。
2. 圆上的运动轨迹假设一个小球在一个固定大小的圆上运动，小球在圆上的位置随时间变化而改变。
小球在圆上的运动轨迹通常是一条曲线，其形状取决于小球在圆上的起始位置、运动速度和加速度等因素。
结论：圆中的最值问题涉及到圆的面积和周长，通过合理选择圆的半径，可以确定面积最大、周长最小或周长最大的圆。
圆的几何意义求最值的题型
圆的几何意义求最值的题型
在圆的几何意义中，有一种常见的求最值的题型，即求解圆内和圆外某点到圆心的距离之和的最大值或最小值。
这种题型常常需要利用几何性质和数学方法来解决。
以下是两个典型的例题：
1.求在圆外给定一个点P，如何选择点P，使得点P到圆心
的距离之和最小。
解答：根据几何性质，圆上任意一点到圆心的距离是常量，所以点P到圆心的距离之和最小的位置是直径的中点。
因此，点P应该选择直径的中点。
2.求在圆内给定一个点P，如何选择点P，使得点P到圆心
的距离之和最大。
解答：根据几何性质，圆上任意一点到圆心的距离是常量，而圆内的点到圆心的距离之和最大的位置是圆的边界上的点P。
因此，点P应该选择圆的边界上与圆心相连的点。
这些题目常常需要根据已知条件和几何性质进行分析，并利用数学方法解决。
计算距离、应用三角关系、利用几何等价性和最值性质等技巧都可以在解决这类问题时发挥作用。
圆中的最值问题
例析圆中的最值问题学习《圆》,我们会遇到不少与圆有关的最值问题. 几何最值问题一般转化为代数问题处理，或结合图形的特点利用数形结合的方法处理，与圆有关的最值一般与圆的切线或圆心和半径有联系．例1.已知A(3,0)，求圆x 2+y 2=4上的点与A 的最大距离和最小距离．分析：本题考查点与圆的位置关系及函数的最值问题，可列出距离的函数关系求解． 解：设P(x ，y)是圆上任意一点，∴|PA|2=(x-3)2+y 2=(x-3)2+4-x 2=13-6x.∵-2≤x ≤2，∴当x=-2时,25||2max =PA ,则|PA|max =5,当x=2时，1||2min =PA ，则|PA|min ＝1．即圆上的点与A 的距离的最大值为5，最小值为1.点评：列出函数式，然后由函数式的特点选择求最值的方法，这是求最值的常用解法．例 2.已知圆C ：(x-3)2+(y-4)2=1,点A(0,-1)，B(0,l)，设P 是圆C 上的动点，令d=|PA|2+|PB|2，求d 的最大值及最小值．分析：本题考查点与圆的位置关系和数形结合的思想方法，可列出函数关系式，然后借助图形特点解决问题．解：设P 点坐标为(x 0,y 0)，∴20202020)1()1(-++++=y x y x d2)(22020++=y x2||22+=PO .问题转化为求P 点到原点0的距离的最值，如图，∵O 在圆外，∴|OP|max =|CO|+1＝5+1＝6，|PO|min ＝|CO|-1=5-1＝4.∴d max ＝2×62+2=74，Dmin=2×42+2=34.点评：将问题合理转化是解本题的关键，利用数形结合的方法是寻找突破口和切入点的好方法，并且可以简化解析几何中的运算．例 3.设}0,)3()1(|),{(},0,2|),{(22222>=-+-=>-==a a y x y x B a x a y y x A 且∅≠B A ，求a 的最大值和最小值．分析：本题考查集合知识和数形结合的方法，可画出集合A 、B 所表示的图形，从图形上寻找∅≠B A 时，a 的取值范围．解：如图，集合A 中元素构成的图形表示以点0(0，0)为圆心，半径为a 2的半圆．集合B 中元素构成的图形是以点)3,1(O '为圆心，a 为半径的圆．∵∅≠B A ．∴半圆O 和O '圆有公共点，∴当半圆O 和圆O '外切时a 最小，内切时a 最大， 此时2||2='=+O O a a 小小,∴,222-=小a 又2||2='=-O O a a 大大，∴222+=大a .点评：数形结合作为一种数学思想方法，在数学中无处不在，它可以将抽象的代数问题转化为直观的几何问题，也可将几何问题转化为简单的代数运算．例4.已知实数x,y 满足x 2+y 2=1，求12++x y 的取值范围. 解析：将12++x y 看成是过(x,y)与(-l ，-2)两点的直线的斜率，即可求得． 解：如图，设P(x,y)是圆x 2+y 2=1上的点，则12++x y 表示过P(x,y)和Q(-1,-2)两点的直线PQ 的斜率．过点Q 作圆的两条切线QA, QB,由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA . 设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y+2=k(x+1)，由圆心到QA 的距离为1，得11|2|2=+-k k ，解得43=k ． ∴12++x y 的取值范围是),43[+∞. 点评：求关于x ，y 的代数式的范国问题，如y x b x a y +--,及(x-3)2+y 2等，常借助它们的几何意义，用数形结合法求解．。
与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题∴点A（2，2）离点P（2，2）最近，且最近距离为22-2。
变式1：在例1的条件下，求一点B，使得离P最远，并求最远距离。
变式2：已知圆x2+y2=4，点P（1，1），在圆上求一点A，使得A离P最远，并求最远距离。
小结：在圆上找一点P，使得P离点A最近或最远，并求最值距离，分两类情况：设圆心到点A的距离为d，当点A在圆内时，|PA|max=r+d，|PA|min=r-d。
当点A在圆外时，|PA|max=d+r，|PA|min=d-r。
二、圆上点与圆的相离直线的最值问题例2：已知圆：x2+y2=4，直线L：x+y-3=0。
在圆上求一点A，使得A到L的距离最短，并求最短距离。
解：（如图）过O作直线OA垂直L，则点A为所求。
直线OA的斜率为1，对应方程为：y=x。
由得。
∴点A（2，2）到L的距离最短，最短距离为2－２。
变式：在例2条件下，求一点B，使得B到L的距离最远，并求最远距离。
小结：对于圆上点与圆的相离直线的最值问题，在处理时先作出过圆心且垂直于该直线的直线，这条直线与圆交于两点，则这两点为所求。
设圆心到直线的距离为d，则：最短距离=d-r，最远距离=d+r。
三、过圆内点的最短弦问题例3：已知点P（1，1），圆x2+y2=9，求过点P且被圆截得的弦长最短的直线L的方程。
解：（如图）当直线L与直线OP垂直时所截得的弦最短，直线OP的斜率为1，则L的斜率为-1；代入点斜式得所求直线方程为：x+y-2=0。
变式1：已知圆（x-3）2+（y-4）2=4和直线kx-y-4x+3=0，当圆被直线截得的弦最短时，求k 值。
变式2：求过点P（1，2）且把圆（x-2）2+y2=9分成两个弓形，当其中的劣弧最短时的直线L的方程。
小结：对于过圆内点的最短弦问题，在处理时应先作出以该点和圆心为垂径的弦，则该弦所在直线为所求直线。
四、利用圆的参数方程求最值例4：已知圆x2+y2=9，求x+y的最值。
解：设圆的参数方程为,则：x+y=3cosθ+3sinθ=32sin（θ+），∴x+y的最大值为32，最小值为-32。
圆的最值问题类型归纳
圆的最值问题类型归纳与圆相关的最值问题在高中数学中，圆是最常见的一种曲线。
研究圆的相关问题时，最值问题是一个重点和热点，本文将总结常见的与圆相关的最值问题，希望能给读者一些启发。
类型一：“圆上一点到直线距离的最值”问题对于求圆上一点到直线距离的最值问题，我们总是将其转化为求圆心到定直线的距离问题来解决。
1.求圆C: (x-2)²+(y+3)²=4上的点到直线x-y+2=0的最大、最小距离。
2.求圆C: (x-1)²+(y+1)²=2上的点与直线x-y+4=0距离的最大值和最小值。
3.圆x²+y²=2上的点到直线3x+4y+25=0的距离的最小值为多少？类型二：“圆上一点到定点距离的最值”问题本质上，这是一个两点间距离的问题。
对于与圆相关的两点的距离，我们总是将其转化为圆心与定点距离问题来解决。
1.已知点P(x,y)是圆x²+y²-2x-4y+4上的一点，求P到原点的最大最小距离。
2.已知圆C：x²+y²-4x-14y+45及点Q(-2,3)，若M是圆C 上任一点，求MQ的最大值和最小值。
3.已知x,y满足条件x²+y²-2x-4y+4=0，求x²+y²的范围。
4.已知x,y满足圆x²+y²-2x-4y+4=0，求(x+2)²+(y+2)²的范围。
5.已知x,y满足圆x²+y²-2x-4y+4=0，求x²+y²+2x+2y的范围。
6.已知圆C:(x-3)²+(y-4)²=1，点A(-1，-2)，B(1，-2)，点P 为圆上的一动点，求d=PA+PB的最大值和最小值及对应的P 点坐标。
类型三：“过定点的弦长”问题1.已知直线l:2mx-y-8m-3和圆C:x²+y²-6x+12y+20，(1)当m∈R时，证明l与C总相交。
圆中最值问题(解析版)
圆中最值问题一、点到直线的最值问题原理：垂线段最短．1、如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）．A. B. C. 3 D. 2答案：B解答：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2-OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2-4，即，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ选B.2、在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点)，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC 的长的最小值为（）．A. 5B.C.D.答案：D解答：直线y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦．∵点D的坐标是(3,4)，∴OD=5．∵以原点O为圆心的圆过点，∴圆的半径为BC的长的最小值为3、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为______．答案：3解答：当OM⊥AB时，OM最小，此时．4、如图，在Rt△AOB中，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ （点Q为切点），切线PQ的最小值为______．解答：连接OP，OQ，如图所示，∵PQ是O的切线，∴OQ⊥PQ，根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，，∴OA=8，∴S△AOB=12OA·OB=12AB·OP，即OP=OA OBAB⋅=4，∴5、如图，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，若⊙O的半径为13，求弦BC长度的最小值．答案：24．解答：y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦BC是过点D且与该圆直径垂直的弦，∴OD=5，OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24．二、点到圆的最值问题原理：定点与圆上的动点之间的距离：当定点、动点和圆心三点共线时有最大或最小值．AP max=OA+r，AP min=|OA-r|．6、已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的的半径为（）．A. 2或3B. 3C. 4D. 2或4答案：A解答：当点P在圆内，则圆的直径=5+1=6，所以圆的半径=3；当点P在圆外，则圆的直径=5-1=4，所以圆的半径=2．通常构造辅助圆求点到圆的最值问题7、（2021·南平延平区模拟）如图，Rt△ABD中，∠D=90°，AB=8，BD=4，在BD延长线上取一点D，使得DC=BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠P AD=∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为______．答案：解答：如图，取AD的中点O，连接OP，OC.∵∠P AD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°，∴∠P AD+∠ADP=90°，∴∠APD=90°．∵AO=OD，∴PO=OA=OD.∵AD==∴OP=∵BC=CD=4,OD=∴OC===∵PC≤OP+OC∴PC≤∴PC的最大值为8、（2021·佛山三水区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是△ABC内部的一个动点，且满足∠ACD=∠CBD，则AD的最小值为______．答案：2解答：∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠DCA=90°．∵∠DBC=∠DCA，∴∠CBD+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴点D在以BC为直径的☉O上，连接OA交☉O于点D，此时DA最小，在Rt△CAO中，∵∠OCA=90°，AC=4，OC=3，OA==∴5∴DA=OA-OD=5-3=2.故答案为29、如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC＝90°，连接AP，求线段AP的最小值和最大值．答案：解答：解：如图，以BC为直径作圆O，连结AO交圆于两点P1，P2，则AP 1最小，AP 2最大．∵AP 1•AP 2＝AC 2，AC ＝2，P 1P 2＝2，∴AP 1（AP 1+2）＝4，解得AP 1＝51±-（负值舍去），∴AP 2＝51251+=++-．故线段AP 的最小值和最大值分别是51+-和51+．10、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将△AMN 沿MN 所在直线折叠，得到△A ′MN ，连接A ′C ，求线段A ′C 的最小值．答案：解答：解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2，∵M 是AD 边的中点，∴AM ＝MD ＝1∵将△AMN 沿MN 所在直线折叠，∴AM ＝A 'M ＝1∴点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴如图，当点A '在线段MC 上时，A 'C 有最小值， ∵1022=+=CD MD MC ，∴A ′C 的最小值＝MC -MA '＝110-．11、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，请求出A ′B 长度的最小值．答案：解答：解：如图，由折叠知A ′M ＝AM ，又M 是AD 的中点，可得MA ＝MA ′＝MD ，故点A ′在以AD 为直径的圆上，由模型可知，当点A ′在BM 上时，A ′B 长度取得最小值，∵边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，∴BM ＝3122=-，故A ′B 的最小值为13-12、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，求四边形AGCD 的面积的最小值．答案：解答：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∠ABC ＝∠D ＝90°，根据勾股定理得，AC ＝5，∵AB ＝3，AE ＝2，∴点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为，∵S 四边形AGCD ＝S △ACD +S △ACG ＝AD ×CD +AC ×＝×4×3+21×5×h ＝25h +6， ∴要四边形AGCD 的面积最小，即h 最小，∵点G 是以点E 为圆心，BE ＝1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点，h 2121h 21∴EG ⊥AC 时，h 最小，即点E ，点G ，点H 共线． 由折叠知∠EGF ＝∠ABC ＝90°，延长EG 交AC 于H ，则EH ⊥AC ，在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝54=AC BC ， 在Rt △AEH 中，AE ＝2，sin ∠BAC ＝54=AE EH ， ∴EH ＝54AE ＝58， ∴h ＝EH -EG ＝58-1＝53，∴S 四边形AGCD 最小＝25h +6＝5325⨯+6＝215．。
圆中最值问题10种求法(供参考)
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为.[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2C．3D．3[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C.四、利用直径是圆中最长的弦求最值4．如图：半径为2.5的⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，（1）求∠P的正切值；（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.[分析]：易证明△ACB∽△PCQ，所以，即CQ=PC. 当PC最大时，CQ最大，而PC是⊙O 的动弦，当PC是⊙O的直径时最大.五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.[分析]：设BC边上的高为h因为S△ABC=BC h=×2h=h当h最大时S△ABC最大，当点A在优弧的中点时h最大.解：当点A为优弧的中点时，作AD⊥BC于D连接BO 即BD=CD=在Rt△BDO中，OD2=OB2－BD2=22－()2=1所以OD=1 所以AD=2+1=3所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3即△ABC面积的最大值为3六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值6．用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.[分析]：周长一定的几何图形，圆的面积最大.解：围成圆形场地的面积较大设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积则S1=()2=144 S2=π·()2=因为π＜4 所以＞所以＞=144 所以S2＞S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大七、利用判别式求最值7．如图：在半径为1的⊙O中，AB是弦，OM⊥AB，垂足为M，求OM+AB的最大值.[分析]：可设AM=x，把OM用x的代数式表示出来，构造关于x的一元二次方程，然后利用判别式来求最值.解：设AM=x，在Rt△OAM中OM=所以OM+AB=+2x=a整理得：5x2－4ax+(a2－1)=0因为△=(－4a)2－4×5×(a2－1)≥0即a2≤5 所以a≤所以OM+AB的最大值为八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值8．如图：海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB=80°，为避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为.[分析]：连接AC，易知∠ACB=∠AOB=40°，又因为∠ACB≥∠P，所以∠P的最大值为40°.解：如图：连接AC，根据圆周角定理可知∠ACB=∠AOB=×80°=40°又因为∠ACB≥∠P 即∠APB≤40°所以∠APB的最大值为40°九、利用经过⊙O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值9．如图：⊙O的半径为5cm，点P为⊙O内一点，且OP=3cm，则过点P的弦AB长度的最小值为cm.[分析]：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则AB的长最小.解：在Rt△OAP中，AP=所以AB=2AP=2×4=8所以AB的最小值为8十、利用经过圆外一点与圆心的直线与⊙O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值10．如图：点P为⊙O外一点，PQ切⊙O于点Q，⊙O的半径为3cm，切线PQ的长为4cm，则点P与⊙O上各点的连线长度的最大值为，最小值为.[分析]：过P、O两点作直线交⊙O于A、B，则PA的长度最大，PB的长度最小.解：连接OQ 因为PQ切⊙O于Q所以OQ⊥PQ在Rt△PQO中PQ2+OQ2=OP2即42+32=OP2 所以OP=5所以PB=5－3=2 PA=6+2=8所以点P与⊙O上各点连线长度的最大为8cm，最小值为2cm.。
高中数学期末备考：解析几何03圆中最值问题含解析
3.圆最值问题一．重要结论1.圆中与距离最值有关的常见的结论：结论1.圆外一点A 到圆上距离最近为AO r ，最远为AO r ；结论2.过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦；结论3.直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r ,最近为d r ；2.圆中与面积有关的最值结论：结论4.圆的内接三角形面积最大当且仅当其为等边三角形；结论5.过圆外一点P 向圆O 引两条切线，切点记为B A ,，则四边形ABPO 面积的最值等价于圆心到点P 的距离最值.3.圆中与角度有关的最值问题.结论6.圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大.结论7.圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.结论8.圆上一点、圆外两点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.结论9.圆内两点，圆上一点（圆上点为顶点）的最大夹角问题（米勒圆问题）.4.其他与圆有关的最值问题结论10．两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.二．强化练习1．已知圆P 的方程为22680x y x y ，过点 1,2M 的直线与圆P 交于A ，B 两点，则弦AB 的最小值为（）A．B．10C．D．52．在圆22:230M x y x 中，过点 0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A．B．C．D．3．已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y 上的动点，则x y 的最大值为（）A．5B．5C．6D．54．已知方程22220x y kx y k 表示的圆中，当圆面积最小时，此时k （）A．-1B．0C．1D．25．直线 1210m x my m 与圆229x y 交于,M N 两点，则弦长MN 的最小值为（）A．1B．26．设A 是圆22(1)9x y 上的动点，PA 是圆的切线，且4PA ，则点P 到点 5,8Q 距离的最小值为（）A．4B．5C．6D．157．已知P 为抛物线24y x 上一个动点，Q 为圆 22241x y 上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．6B．5C．4D．38．已知点M ，N 分别在圆 221:129C x y 与圆 222:2864C x y 上，则MN 的最大值为（）11B．1711D．159．已知P 是半圆C x 上的点，Q 是直线10x y 上的一点，则PQ 的最小值为（）1110.（2021新高考1卷）．已知点P 在圆 225516x y 上，点 4,0A ， 0,2B ，则（）A．点P 到直线AB 的距离小于10B．点P 到直线AB 的距离大于2C．当PBA 最小时，PBD．当PBA 最大时，PB 参考答案1．已知圆P 的方程为22680x y x y ，过点 1,2M 的直线与圆P 交于A ，B 两点，则弦AB 的最小值为（）A．B．10C．D．5【答案】A2．在圆22:230M x y x 中，过点 0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A．B．C．D．【答案】B3．已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y 上的动点，则x y 的最大值为（）A．5B．5C．6D．5【答案】A4．已知方程22220x y kx y k 表示的圆中，当圆面积最小时，此时k （）A．-1B．0C．1D．2【答案】B5．直线 1210m x my m 与圆229x y 交于,M N 两点，则弦长MN 的最小值为（）A．1B．2【答案】D6．设A 是圆22(1)9x y 上的动点，PA 是圆的切线，且4PA ，则点P 到点 5,8Q 距离的最小值为（）A．4B．5C．6D．15【答案】B7．已知P 为抛物线24y x 上一个动点，Q 为圆 22241x y 上一个动点，那么点P到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．6B．5C．4D．3【答案】C8．已知点M ，N 分别在圆 221:129C x y 与圆 222:2864C x y 上，则MN的最大值为（）11 B．1711D．15【答案】C9．已知P 是半圆C x 上的点，Q 是直线10x y 上的一点，则PQ 的最小值为（）2112D．22【答案】D 10．ACD解析：圆 225516x y 的圆心为 5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y，即240x y ，圆心M 到直线AB4 ，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为425 ，最大值为4105，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA 最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ，BM4MP ，由勾股定理可得BP CD 选项正确.故选：ACD.多圆最值问题研究一．基本原理1.将军饮马模型：如图，动点C 为直线l 上一点，B A ,为直线l 一侧的两个定点，那么CA CB 的最小值即为做点B 关于l 的对称点'B ，然后连接'BB 后其长度.2.三角不等式：任意两边之和大于等于第三边，任意两边之差小于等于第三边，取等条件当且仅当三点共线.如图动点P 为直线l 上一点，B A ,为直线l 一侧的两个定点，那么P A PB 的最大值当且仅当B A P ,,三点共线.倘若B A ,在l 两侧，则需先利用对称将其搬到一侧再寻找最大值！此时，P A PB 的最小值为0，即P 为AB 中垂线与l 的交点.总结：“和最小，化异侧，差最大，转同侧”二．典例分析1.距离和的最小值（公众号：凌晨讲数学）例1．已知圆221:430C x y y ，圆222:6260C x y x y ，M N ，分别为圆1C 和圆2C 上的动点，P 为直线:1l y x 上的动点，则||MP NP 的最小值为A．3 B．333解析：由圆 221:21C x y ，圆 222314C x y ，可知圆1C 圆心为 0,2 ，半径为1，如图，圆2C 圆心为 3,1 ，半径为2，圆1C 关于直线:1l y x 的对称圆为圆 221':311C x y ，连结12'C C ，交l 于P ，则P 为满足使PM PN 最小的点，此时M 点为1'PC 与圆1'C 的交点关于直线l 对称的点，N 为2PC 与圆2C 的交点，最小值为 12'21C C ，而12'C C ，PM PN 的最小值为3 ，故选A.2.距离差的最大值（公众号：凌晨讲数学）例2．已知圆 221:111C x y ，圆 222:459C x y ，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM 的最大值是（）A．4B．9C．7D．2解析：圆 221:111C x y 的圆心为 11,1C ，半径为1，圆 222:459C x y 的圆心为 24,5C ，半径为3．max min maxPN PM PN PM ∵，又2max 3PN PC ，1min1PMPC ，2121max314PN PMPC PC PC PC ．点 24,5C 关于x 轴的对称点为24,5C ，2121125PC PC PC PC C C，所以，max549PN PM ，故选：B．3.逆用阿波罗尼斯圆1.阿氏圆定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,|||| PB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ，圆心为)0|,|11(22AB .（公众号：凌晨讲数学）2.结论：已知圆222)()(r b y a x 上任意一点P 和坐标轴上任意两点B A ,，求形如)(PB P A PB P A 的最值问题，可逆用阿氏圆转化为三点共线最值计算.例3．已知圆C 是以点 2,M 和点 6,N 为直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点2,0A ，点 1,1B ，则2PA PB 的最大值为（）B．4C．8解析：由题设，知：(4,0)C 且||8MN ，即圆C 的半径为4，∴圆C ：22(4)16x y ，如上图，坐标系中(4,0)D 则24OD AC CP OC ，∴12AC PC CP DC ，即△APC △PCD ，故12PA PD ，（亦可逆用阿氏圆，其实就是阿氏圆的几何推导）.∴2||||PA PB PD PB ，在△PBD 中||||||PD PB BD ，∴要使||||PD PB 最大，,,P B D 共线且最大值为||BD 的长度.∴||BD 故选：A例4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在圆22:(8)16C x y -+=上运动，(6,0),(6,1),A B 则2PB PA 的最小值为（）B．6C．D．2解析：P 为圆C 上任意一点，圆的圆心 8,0C ，半径4r ，如下图所示，4PC ∵，8OC ，2AC 12AC PC PC OC ，PAC OPC 12PA OP，即2OP PA ，2PB PA PB OP ，又PB OP OB （当且仅当P 为线段OB与圆C 的交点时取等号），2PB PA OB 2PB PA本题正确选项：A三．练习题（公众号：凌晨讲数学）1．已知,P Q 分别是直线:20l x y 和圆22:1C x y 上的动点，圆C 与x 轴正半轴交于点(1,0)A ，则PA PQ 的最小值为2B．251210122．已知P ，Q 分别是圆 22:48C x y ，圆 22:41D x y 上的动点，O 是坐标原点，则22PQ PO的最小值是______．3．平面直角坐标系中，点3,3A 、 3,3B 、23,0C ，动点P 在ABC 的内切圆上，则12PC PA 的最小值为_________.4．在平面直角坐标系xOy 中，若(0,1)A ，点B 是圆:C 22230x y x 上的动点，则2AB BO 的最小值为__________.。
圆中最值问题
圆中最值问题与圆相关的最值问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2.设tan∠BOC=m，则m的取值范围是什么？引例2：在边长为1的等边三角形OAB中，以边AB为直径作圆D，以O为圆心OA长为半径作圆O。
C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交圆O 于点E，BC=a，AC=b。
求a+b的最大值。
引例3：在如图所示的情况中，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切。
P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE。
求线段DE长度的最大值。
本题考察了圆中的动点问题和最值问题，需要掌握圆的基本知识、基本技能和基本思维方法，同时注重了初、高中知识的衔接。
1.引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用。
2.引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用。
3.引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用。
解题策略：1.画出图形以获得直观感觉；2.比较特殊位置的结果；3.分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化。
1、在正方形ABCD的边AD上，有两个动点E、F，满足AE=DF。
连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H。
圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题
圆的问题探究安阳市龙安高级中学 段可贺高中数学中，研究最多的一种曲线是圆。
在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下。
希望对读者有些启发。
类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。
1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线l ：x-y+2=0的最大、最小距离. 解析：作CH l ⊥交于H ，与圆C 交于A ，反向延长与圆交于点B 。
所以max min 2; 2.CH BH AH d d d d d =====-2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线l ： x-y+4=0距离的最大值和最小值. 解析:方法同第一题, max min BH d d d ===== 3、圆222=+y x 上的点到直线l ：02543=++y x 的距离的最小值为________________.解析:方法同第一题, min 5d =类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题分析：本质是两点间距离。
涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。
1.已知点P （x,y ）是圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离.解析:连接OC 与圆交于A ,延长OC 交于B.max min 1;1.OC OC d d r d d r =+==-=2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求MQ 最大值和最小值. 解析:方法同第一题,max Q min Q C C d d r d d r =+===-==3 .已知x,y 满足条件 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22y x +范围.解析:方程看作是圆C ,表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与(0,0)距离的范围,求max min ,d d 即可,与第一题答案相同.4.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22)2()2(+++y x 范围. 解析: 表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-2,-2)距离的最值的平方.max min 22maxmin5,6, 4.36,16.[16,36].CP d d dd=====所以范围是5.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求z=x 2＋y 2+2x+2y 范围.解析: 22(1)(1)2z x y =+++-表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-1,-1)距离的最值的平方减去2.max min 22max min 2121)212[12CP d d z z ====-=+=-=--+所以范围是 6.已知圆()()143:22=-+-y x C ，点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上一动点，求22PB PA d +=的最大值和最小值及对应的P 点坐标. 解析:222222max min 2()2,.2(51)274;2(51)234.[34,74].d PA PB x y d d =+=++=++==-+=几何意义是点P 与原点O 距离的平方2倍加2|OC|=5,所以答案类型三、“过定点的弦长”问题1：已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。
解题技巧专题：圆中的最值问题(含隐圆问题)
8．如图，已知⊙O的半径为m，点C为直径AB延 长线上一点，BC＝m.过点C任作一直线l，若l上总 存在点P，使过P所作的⊙O的两切线互相垂直， 则∠ACP的最大值等于 45°.
解析：设PM、PN是过P所作的⊙O的两切线且互 相垂直，则∠MON＝90°.∴四边形PMON是正方 形．根据勾股定理求得OP＝ 2m.∴P点在以O为圆 心，以 2m长为半径的大圆⊙O上．过C点作大 ⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值， 如图所示．∵PC是大圆⊙O的切线， ∴OP⊥PC.∵OC＝2m，OP＝ 2 m， ∴PC＝ OC2 OP2＝ 2m.∴OP＝PC. ∴∠ACP＝45°. ∴∠ACP的最大值等于45°.故答案为45°.
(2)解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF.
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线． ∴OF＝ 1 BC＝3.
2 ∴DF＝OD－OF＝5－3＝2.
(3)若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段 AB上任意一点，试求出PC＋PD的最小值． (3)解：作C点关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于 P，连接OC，如图． ∵PC＝PC′， ∴PD＋PC＝PD＋PC′＝DC′. ∴此时PC＋PD的值最小． ∵ AD＝CD，∴∠COD＝∠AOD＝80°.
9．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2， AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝ 2 3 .
解析：以AB为直径作半圆O，连接OD，与半圆O交 于＝＝O2点BP2＝，′，12∠当AAB点D＝PO2与＝.∵P∠′A重ADO合＝D时2＝，，∠∠DOBPDA最CD短＝＝，4950则°°A.，∴O∴＝DPOO′＝DP′ OD－OP′＝2 2－2.过P′作P′E⊥CD于点E，则易得 P′E＝DE＝2－ 2.∴CE＝CD－ DE＝ 2＋2.∴CP′＝ PE2 CE2 ＝2 3.故答案为2 3.
与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题最值问题是数学中经常遇到的一类问题，也是我们在生活和工作中经常需要解决的问题。
与圆有关的最值问题较为常见，下面我们就来详细讲解一下与圆有关的最值问题。
1、圆的面积最大值问题对于一个给定的周长，圆的面积大小是有限制的，那么圆的面积能达到最大值吗？答案是肯定的。
如何求得圆的面积最大值呢？可以利用圆形是周长相等的图形之中，面积最大的形状，这一性质来进行求解。
根据圆形的定义可知，圆形是以线段为半径作为圆心所在的圆周所包括的区域，而圆弧是圆周上的一段线段，用圆弧代替直线段，使得圆与圆弧缩短弧长，从而面积更大。
所以，圆的面积最大时，其圆弧的长度正好等于圆的周长的一半。
2、圆的周长最大值问题圆的周长与圆的半径成正比，所以圆的周长最大时，其半径也最大。
因此，圆的周长最大值问题可转化为半径最大值问题。
但是一般情况下，圆的半径是有限制条件的，比如半径必须小于一定数值，这时我们需要用到极值的判定方法来求解。
3、圆内切正方形的最大面积若题目给出一个圆，要在圆内切一个面积最大的正方形，该如何求解？首先可以画出该图形的示意图，现在有一个边长等于圆的直径的正方形，在其中画出一个圆，且与正方形的四个顶点相切，如图。
将图形旋转一定角度，使正方形的一条边与水平线重合，则圆的直径同样水平，则圆的直径就是正方形的边长，此时，圆内切正方形的面积为(半径的平方)÷2。
4、圆外接正方形的最小边长同样地，若题目给出一个圆，要在圆周上找到一个最小边长的正方形，该如何求解？先画出一个圆外接正方形的示意图，即在圆上取四个点，使得这四个点构成一个正方形(如图)。
要求这个正方形的最小边长，就是要求这个正方形的最小周长。
由于正方形的边长相等，所以可以将正方形的周长都化为边长l的形式来表示。
根据边长l和圆的半径r的关系，可以列出如下方程：2l + 2√2l = 2πr将方程进行化简，得：l = r(π - 2√2)所以，圆外接正方形的最小边长为r(π - 2√2)。
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圆中的最值问题 Prepared on 24 November 2020圆中的最值问题【考题展示】题1 (2012年武汉中考)在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．题2 (2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a b+的最大值.（有修改）题3 (2013年武汉四调)如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为_________．题4 (2013年武汉五模)在△ABC中，120ABC=．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最∠=︒，6大值为_________．（有修改）题5 (2013年武汉中考)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_________．题1图题2 图题3 图题4图题5图【典题讲练】类型1（相关题：题5）如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距离的最大值是_________．在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图），求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件．如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动．（1）当A在原点时，求点B的坐标；（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；（3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．边长为2的等边△ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动，顶点B在射线OD上移动，∠AOD=45°，则顶点C到原点O的最大距离为_________．如图，⊙O的直径为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧AB向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为_________；（2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为_________．DOCBA如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是_________．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD 的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_________．AMD类型2（相关题：题4）如图，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点，连接AC、BC，∠C=60°，⊙O的半径为2，则△ABC面积的最大值是_________．如图，已知直线MN经过⊙O上的点A，点B在MN上，连OB交⊙O于C点，且点C是OB的中点，AC=OB，若点P是⊙O上的一个动点，当AB=时，△APC的面积的最大值为_________．如图，半圆O的半径为1，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=1，BD=3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC面积的最大值是_________．已知Rt△ABC中，斜边AB=5，则斜边上的高的最大值为_________．如图，若Rt△ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r，则r的最大值为_________．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是_________．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为_________．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为_________．类型3（相关题：题3）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF．（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；（2）求出该最小值．如图，在△ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=7，动点P、Q分别在边AB、AC上，使△APQ的外接圆与BC相切，则线段PQ的最小值等于_________．类型4（相关题: 题2）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD⊥AB于P，设AP=a，PB=b．（1）求弦CD的长；（2）如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此时a，b的值．(参考、）如图，半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，则AB2+CD2=_________．如图，⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP=，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为_________．如图，以O为圆心，1为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ，RS．求PQ+RS取值范围．如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O 外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为 .ODCEA B在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，线段AB长度的最小值是 .类型5（相关题：题1）如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是_________．O AB C O A B xy P如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .在坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点B 是y 轴右侧一点，且AB=2，点C 上直线y=x+1上一动点，且CB ⊥AB 于点B ，则tan ACB m ∠=，则m 的取值范围是 .E BO DB OyAxPB OyAxPB OyAxP如图，A点的坐标为（-2，1），以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P()a b，为⊙A上的一个动点，请分别探索：①b a+的最大值；②b a+的最小值；③b a-的最大值；④b a-的最大值；【拓展延伸】：①2b a+的范围；②2b a-的范围；类型6如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=4时，求：（1）AP+BP的最小值．（2）AP﹣BP的最大值．如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为_________．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_________．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B方向运动，设运动时间为t（s），连接EF、CE，当t为_________秒时，CE+EF最小，其最小值是_________．四边形ABCD内接于圆，已知∠ADC=90°，CD=4，AC=8，AB=BC．设O是AC的中点．（1）设P是AB上的动点，求OP+PC的最小值；（2）设Q，R分别是AB，AD上的动点，求△CQR的周长的最小值．补充练习（与例题类型不完全对应）1. 如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围为_________．lQ P N M AB C F ECB A O G D O A B DC P 2．已知：如图，Rt ΔABC 中，∠B=90o ，∠A=30o ，BC=6cm ，点O 从A 点出发，沿AB 以每秒3cm 的速度向B 点方向运动，当点O 运动了t 秒(t ＞0)时，以O 点为圆心的圆与边AC 相切于点D ，与边AB 相交于E 、F 两点，过E 作EG ⊥DE 交射线BC 于G.（1）若点G 在线段BC 上，则t 的取值范围是_________．（2）若点G 在线段BC 的延长线上，则t 的取值范围是_________．3．如图，⊙M ，⊙N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为⊙M 上的任意一点，Q 为⊙N上的任意一点，直线PQ 与连心线l 所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α∠的最大值为_________．4．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD 的中心，以D 为圆心1为半径作⊙D ，P 为⊙D 上的一个动点，连接AP 、OP ，则△AOP 面积的最大值为_________．5．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是_________．AQC PBO AE F6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为_________．7．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是_________．8．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为_________．9．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（m n，）是第一象限内一点，且AB=2，则m n的范围为_________．10．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是_________．11. 如图所示，AC⊥AB，AB=6，AC=4，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB=α，（0°＜α＜90°）．若要使点E在线段OA上（包括O、A两点），则tanα的取值范围为_________．。