2016年全国高中数学竞赛湖北省预赛(word高一含答案)

2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高一)

一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）

1.已知函数f (x )满足：f (1) = 2，()()1(1)1f x f x f x ++=

-对定义域内任意x 都成立。那么f (2016)=____。答案：13

。 2.等式213328x x +-+≥的解集为_____________。

答案：(,2][1,)-∞-+∞ 。

3.从五个正整数a , b , c , d , e 中任取四个求和，得到的和值构成集合{44, 45, 46, 47}则a + b + c + d + e = _____________。

答案：57。

4.求值：97cos 95cos 93cos 9cos

ππππ+++=_____________。 答案：12

。 5.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，D 是BC 的中点，若a = 4，AD = c -b ，则△ABC 的面积的最大值为_______________。

答案：

6.如果存在实数a ，使得关于x 的不等式a cos x +b cos2x >1无实数解，则实数b 的最大值为_________。 答案：1。

7.已知质数p ,q 满足q 5- 2p 2=1，则p + q = 。

答案：14。

8.已知实数x , y 满足：2315112

23,83282x y x y x y --+=+≤-≥，那么，xy = 。 答案：45

。 9.已知MN 是边长为62的等边△ABC 的外接圆的一条动弦，MN ＝4，P 为△ABC 的边上的动点，则MP PN ⋅ 的最大值为_________。

答案：4。

10.设[a ]表示不大于a 的最大整数，则方程178x x ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

的最大正整数解为_________。 答案：104。

二、解答题（本题满分60 分，每小题20 分。）

11.已知△ABC 的三边长a ，b ，c （a ≤ b ≤ c ）均为整数，且满足：（1）a ，b ，c 构成等比数列；

（2）a ，b ，c 中至少有一个等于100，求符合要求的三元数组(a ，b ，c )的个数。

12.已知二次函数f (x) = ax 2+bx +c满足条件：（1）-4a ≤ b < -2a；（2）当| x |≤1时，| f (x) |≤1。

证明：当| x |≤ 2时，()4 5

f x≥。

13.已知定义在R上的函数f (x)满足：()10

1

3

f=，且对任意实数x，y，恒有

f (x) f (y) = f (x + y) + f (x - y) ①若数列{a n}满足a n = 3f (n)- f (n-1)，n∈N*。（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）令()22438n n n a b a =-，n ∈N*，S n 是数列{b n }的前n 项和，求证：S n < 1。