逻辑斯蒂方程及经济

逻辑斯蒂方程及经济学应用

梁美娟，生物0801,20080205035

摘 要：逻辑斯蒂方程是一种非线性微分方程，其数学模型S 型曲线模型被广泛应用于描述事物的增长，本文系统的阐述了该方程的历史和演变，分析其生态学意义，并说明了该模型在经济学上的应用。

关键词：逻辑斯蒂方程；Lotka-V olterra 模型；前景理论；S 型曲线

一 前言

逻辑斯蒂方程广泛应用于描述客观事物的S 型变化现象。逻辑斯蒂数学模型是一条单调递增的，单参数k 为渐近线的S 型曲线。基本数量特征是当t 很小的时，呈指数增长，而当t 很大时，增长速度下降，且接近一个值（k ）趋于平稳。利用它我们可以表征种群的数量动态，描述客观事物增长过程，还可以对满足该方程的现象进行预测，有助于相关政策的制定。另外，logistic 方程还可以作为其它模型如Lotka-V olterra 竞争模型的理论基础。

二．逻辑斯蒂方程的历史和演变

最早在1798年，英国统计学家Malthus(1766-1843)的《人口原理》中提出闻名于世的Malthus 人口模型。假设：在人口自然增长过程中，相对净增长率（出生率减死亡率）为常数，即单位时间人口的增长是与人口正比例，比例系数r 。 ⎪⎩⎪⎨⎧==0

)(0N N rN dt dN t （1） 该模型准确反映了1700-1964年的人口增长，表明人口以指数规律随时间无限增长。但不是适应与以后的增长。因地球上各资源只可供一定数量的人生活，人口增加，环境的限制越来越明显，r 减少。1838年，比利时数学家P.F.Verhulst 引入N m ，表示自然条件所能容纳的最大人口数，Verhulst 假设的有限环境的物种相对增长率为

⎪⎩⎪⎨⎧=-=0

)(0)1(N N N K N r dt dN t (2) 由曲线得出以下结论：不管初值为多少，人口总量最终接近于极限值K ，极限值的一半（即r/2K ）前，是加速生长的时候，过了这一点以后，增长速度减少，并且迟早会达到零。

三、逻辑斯蒂方程的生态学应用

1、在种群生态学中，种群的增长是一个复杂的问题，，由于种群手到诸多因素的影响，如环境条件、营养条件、出生率、死亡率、个体基数及时代特征等。

⎪⎩⎪⎨⎧=-=0

)(0)1(N N N K N r dt dN t (3) 逻辑斯蒂模型中各参数的生态意义：K 为环境容纳量,它表示每个个体在没有收到抑制作用使得最大增长率，N 代表当时种群的数量。逻辑斯蒂方程也可以作以下理解：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均所需要的资源为总资源的1/K 。在t 时刻Nt 个个体共消耗总资源的Nt/K ，此时剩余1-Nt/K 。因此逻辑斯蒂方程反映了种群的相对增长率与当时所剩的资源份量呈正比。当一个物种迁入到一个新生态系统中后,其数量会发生变化.假设该物种的起始数量小于环境的最大容纳量,则数量会增长.增长方式有以下两种：（1） J 型增长若该物种在此生态系统中无天敌,且食物空间等资源充足(理想环境),则增长函数为N(t)=n(p^t).其中,N(t)为第t 年的种群数量,t 为时间,p 为每年的增长率(大于1).图象形似J 形。（2） S 型增长若该物种在此生态系统中有天敌,食物空间等资源也不充足(非理想环境),则增长函数满足逻辑斯谛方程。图象形似S 形

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图1 逻辑斯蒂模型

在物种竞争中的应用---Lotka-V olterra 模型。

有物种A 、B,共同生活在同一环境中，两个物种的环境容纳量分别为K A 和K B ,但因两物种为竞争关系，一个物种的存在会对另一物种产生影响，影响系数分别为βα、，两个物种的增长按逻辑斯蒂方程所描述：

A 在竞争中种群的增长方程为:

()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=A B A A A A A K N N K N r dt dN α (4) B 在竞争中种群的增长方程为:

()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=B B B B B B B K N N K N r dt dN β (5) 因两物种在个体大小、生活方式、生物学特征及竞争方面均有差别，所以

KA和KB、α和β数值均不同。而两物种的竞争结果由它们的竞争系数和环境容载量的比值关系决定。产生四种结果：

表1 竞争结果

向不同的生态位发展，因为生态位是多维的，这样使得两物种的竞争减少。

四逻辑斯蒂方程的经济学应用

“前景理论”(prospect theory)翻译为“预期理论”，在不同的风险预期条件下，人们的行为倾向是可以预测的。预期理论的一个重要特点就是价值是由财富的变化决定的而不是个体的最终财富。也就是说，在不确定的条件下，人们的偏好是由财富的增量而不是总量决定的，所以人们对于损失的敏感度要高于收益，这种现象称作损失规避（loss aversion）。在此，Kahneman和Tversky 用价值函数(value function)取代了传统效用理论中的效用函数，价值函数表现在正的增量是凹的，表现在负的增量则是凸的。也就是，人们在盈利的情况下表现为风险厌恶者，而在已经损失的情况下表现为风险追求者，而不是一直都是风险厌恶者。现实生活中，我们发现在上一轮赌局中遭受损失的人会更有参加下一轮赌局的冲动，此时他成为风险追求者。前景理论是描述性范式的一个决策模型，它假设风险决策过程分为编辑和评价两个过程。

在编辑阶段，个体凭借“框架”（frame）、参照点（reference point）等采集和处理信息，在评价阶段依赖价值函数（value function）和（主观概率）的权重函数（weighting function)对信息予以判断。在价值函数是经验型的，它有三个特征，一是大多数人在面临获得时是风险规避的；二是大多数人在面临损失时是风险偏爱的；三是人们对损失比对获得更敏感。因此，人们在面临获得时往往是小心翼翼，不愿冒风险；而在面对失去时会很不甘心，容易冒险。人们对损失和获得的敏感程度是不同的，损失时的痛苦感要大大超过获得时的快乐感。

图2 价值函数