数形结合法解一元二次不等式的教学设计-
一元二次不等式及其解法(优秀教案1)
一元二次不等式及其解法（第一课时）一、 课标要求1、使学生深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式地关系；2、使学生熟练掌握一元二次不等式地解法，掌握数形结合地思想；3、提高学生地运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析、解决问题地能力. 教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式地解法展开，突出体现数形结合地思想.教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集地关系. 三、教学方法：自主探究法 四、 教学过程（一）导入新课：教材P76页地问题（二）预学案导学1、解一元二次方程250x x -=，并作出25y x x =-地图象2、填表：二次函数2(0)y ax bx c a =++>与二次方程20(0)ax bx c a ++=>地关系 （完成“四、合作展示”中表格地第一、二行）3、一元一次不等式是如何定义地？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是1地不等式称为一元二次不等式.其数学表达形式为4、画出函数27y x =-地图象，并由图象观察，填空：当x=3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x<3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x>3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0可知，2x-7> 0地解集为_______________2x-7< 0地解集为_______________思考：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间有怎样地联系？小结：函数图象与X 轴交点地横坐标为方程地根，不等式地解集为函数图象落在X 轴上方（或下方）部分对应地横坐标.（三） 合作展示0(000)(0)ax b a +>≥<≤≠或或1、自主探究：（1） 类比一元一次不等式地定义，你能给出一元二次不等式地定义吗？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是2地不等式，称为一元二次不等式.其数学表达形式为（2） ①利用预学案第1题，观察图象填空：当x___________________，y=0，即25x x -_____0当x__________________，y>0，即25x x -_____0当x___________________，y<0，即25x x -_____0②不等式25x x ->0地解集是_________________不等式25x x -<0地解集是_________________2、合作探究：（1）类比三个“一次”地关系，探究一元二次不等式地解法，并完成下表：小结：一元二次不等式解集地端点就是对应函数地零点，对应方程地根.（2） 当0a <时，如何解不等式20(0)(0)ax bx c a ++><>或结论：利用不等式地性质，在不等式地两边同时乘以-1，使二次项系数变为正数.（3）如果不等式为20(0)(0)ax bx c a ++≥≤>或，其解集又是什么？（四）应用探究：例：解不等式22320x x -->变式：若不等式改为22320x x --<，则解集为_______________小结：利用二次函数解一元二次不等式地方法步骤？变式练习：1、解不等式24410x x -+>2、解不等式2230x x -+->五、 知识整理：本节课我们学习了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？六、 训练评估1、解下列不等式222(1)40(2)4321x x x x -<+->+2、求函数y =课后作业：教材P80 A 组 第1、2、3、4题版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.DXDiT。
数形结合法在一元二次不等式解法教学中的应用
、
数 形 结合 的 内 涵
恩 格 斯 认 为 ： 数 学 是 研 究 现 实 世 界 的 量 的 关 系 与 宅 问 “
形 式 的科 学．” 与 形 是 数 学 中 的 两 个 最 古 老 ， 是 最 基 ｌ 数 也 本 的研 究 对 象 ， 们 在 一 定 条 件 下 可 以 相 互 转 化 ．“数 ”与 它 “ ” 映 了事 物 两 个 方 面 的 属 性 ， 形 结 合 主 要 指 的 是 数 形 反 数
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化 ｒ解 题 过 程 ． 教 学 中要 培 养 学 生 数 形 结 合 的 思 想 意 识 ， 在 做 到胸 巾 有 图 ， 数 想 图 ， 开 阔 他 们 的思 维 视 野 ． 见 以 下 面 着 重 探 讨 数 形 结 合 法 在 一 元 二 次 不 等 式 解 法 教 学 中 的应 用．
即求 方 程 一 一１ ０的 实根 ， 后 通 过 观 察 二 次 函 数 Ｙ ２＝ 然 ＝
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二 、 形 结 合 的 意 义 数 我 国著 名数 学 家 华 罗 庚 曾 说 过 ： 数 形 结 合 百 般 好 ， “ 隔
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高一数学上册《一元二次不等式的解法》教案、教学设计
2.选做题（针对学有余力的学生）：
（1）研究一元二次不等式的性质，如单调性、奇偶性等，并举例说明。
（2）探讨一元二次不等式解法在生活中的应用，撰写一篇小论文，分享自己的观点和心得。
3.小组合作作业：
（1）小组内分工合作，共同探讨并总结一元二次不等式的解法技巧。
2.引导学生运用数形结合的思想，将一元二次不等式与图像相结合，培养学生的直观想象能力和逻辑思维能力。
3.通过对一元二次不等式解法的讨论，培养学生分类讨论、逐步推进的思维习惯。
4.结合实际例题，引导学生总结一元二次不等式的解法技巧，提高解题效率。
5.鼓励学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的创新意识和应用能力。
（4）将一元二次不等式解法应用于解决实际问题，培养学生数学建模和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学，引导学生通过观察、猜想、验证、总结等环节，自主探究一元二次不等式的解法。
（2）结合图像法，利用多媒体教学手段，形象直观地展示一元二次不等式的解法过程。
（3）小组合作学习，让学生在讨论、交流中相互学习、共同提高，培养学生的团队协作能力。
5.引导学生正确看待数学学习中的成功与失败，形成积极向上的心态，为未来的学习奠定坚实基础。
本教学设计旨在帮助学生在掌握一元二次不等式解法的基础上，提高数学思维能力、解决问题的能力以及情感态度与价值观的培养。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在学习中收获成长。
二、学情分析
作业要求：
1.学生需独立完成作业，确保作业质量。
2.作业完成后，认真检查，及时纠正错误。
一元二次不等式教案
一元二次不等式教案一元二次不等式教案1教学目标:(1)透彻理解、掌握一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的内在联系,会解一元二次不等式;(2)培养学生数学的数形结合思想和转化能力,学会主动探求问题和寻找解决问题的方法。
教学重点:一元二次不等式的解法(图象法)教学难点:(1)一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系;(2)数形结合思想的渗透教学方法与教学手段:尝试探索教学法、归纳概括。
教学过程:一、复习引入1.复习一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系[师]前面我们已经学习了绝对值不等式的解法,今天开始研究一元二次不等式的解法。
(板书课题)记得在初中我们已学习了一元一次不等式的解法,还记得是用什么方法解的吗?学生可能回答是代数方法,也可能说是利用直线图象。
[师]初中学习了一次函数的图象,使得我们对一元一次不等式的解法有了更深入的了解。
首先请同学们画出 y=2x-7[师]请同学们画出图象,并回答问题。
一次函数y=2x-7的图象如下:填表:当x 时,y = 0,即 2x-7 0;当x 时,y < 0,即 2x-7 0;当x 时,y > 0,即 2x-7 0;注:(1)引导学生由图象得出结论(数形结合)(2)由学生填空(一边演示y<0,y>0部分图象)从上例的特殊情形,你能得出什么结论?注:教师引导下学生发现其结论,并由学生尝试叙述:一元一次方程ax+b=0的根实质上就是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标;一元一次不等式ax+b>0(或ax+b<0)的解集实质上就是使得函数的图象在x轴上方还是下方时x的取值范围。
2.新课导入[师]我们可以利用一次函数的图象快速准确地求出一元一次不等式的解集,那能否也可以借助二次函数的图象来解一元二次不等式呢?二、讲解新课1、一元二次不等式解法的探索[师] 你知道二次函数的草图是怎样画出的吗?(用"特殊点法"而非课本上的"列表描点法")你能回答以下问题吗?二次函数 y=x2-4x+3的图象如下:填表:方程x2-4x+3=0(即y=0)的解是不等式x2-4x+3>0(即y>0)的解集是不等式x2-4x+3<0(即y<0)的解集是注:学生类比前面的知识,能根据二次函数的图象确定与x轴的交点,确定对应的一元二次方程的根,从而确定一元二次不等式的解集。
高一数学上册《一元二次不等式的解法》优秀教学案例
（五）作业小结
为了巩固本节课所学知识，我会布置以下作业：
1.根据课堂所学，完成课后练习题，加深对一元二次不等式解法的理解。
2.结合实际生活，找出一元二次不等式的应用实例，并尝试用所学知识解决问题。
3.撰写学习心得，总结自己在学习一元二次不等式过程中的收获和困惑。
小组合作是提高学生团队合作能力和自主学习能力的重要途径。在教学过程中，我将根据学生的认知水平和个性特点，合理分组，让每个学生都能在小组中发挥自己的优势。通过设置小组讨论、小组竞赛、小组报告等形式，引导学生共同探究一元二次不等式的解法，并在合作中相互学习、共同成长。
（四）反思与评价
反思与评价是教学过程中的重要环节，旨在帮助学生巩固知识、提高能力、调整学习方法。在教学过程中，我将注重以下几个方面：
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一元二次不等式的定义，掌握其标准形式和一般形式。
2.学会运用数形结合法、图像法、符号法等方法求解一元二次不等式，并掌握求解过程中的关键步骤。
3.能够将一元二次不等式与实际问题相结合，运用数学建模的思想解决问题，提高学生的应用能力。
4.熟练运用数学符号、逻辑推理和证明方法，对一元二次不等式的性质进行证明和推导。
4.根据学生的反馈，调整教学策略和内容，使教学更加符合学生的实际需求。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课的环节，我将首先提出一个与学生生活息息相关的问题：“在一次购物活动中，商家提出了满100减30的优惠活动。那么，小明购买商品时，如何计算他需要支付的最低金额呢？”通过这个问题，引导学生思考一元二次不等式在生活中的应用，从而自然导入本节课的主题。
一元二次不等式的解法(1)教学设计[1]
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《一元二次不等式的解法》教学设计本节课的所有内容以题组的形式展现给学生,学生始终在解题中探究,在解题中发现,学生参与教学的全过程,成为 课堂教学的主体和学习的主人,而教师时刻关注学生的活动过程,不时给予引导,及时纠偏。
1：熟练掌握一元二次不等式的两种解法；理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系。
2：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力。
3: 在自主探究与讨论交流过程中，培养学生的合作意识和创新精神。
教学重点: 一元二次不等式的解法教学难点: 一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系在本节课的教学过程中，我围绕：教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动，设计了 ① 创设情景——引入新课，②交流探究——发现规律，③启发引导——形成结论，④练习小结——深化巩固， ⑤思维拓展——提高能力,五个环环相扣、层层深入的教学环节，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学 生积极参与教学过程的每个环节。
(一)引入新课问题1：画出一次函数y=2x-7的图象，填空：2x-7=0的解是 .不等式 2x-7>0的解集是 .不等式 2x-7<0的解集是请同学们注意,一元一次方程、一元一次不等式和一元一次函数有什么关系?(“三个一次”关系，旨在为后面探讨 “三个二次”的关系提供方法和思路)。
并针对图像跟同学们进一步的探究，这里我省去此环节，不做重点问题2：二次函数)(,2R x c bx ax y ∈++=的部分对应值如下表：引导学生运用解决问题1的方法,画出二次函数y=ax 2+bx+c 的图象求解.并请学生说出不等式ax 2+bx+c<0的解集和方 程ax2+bx+c=0的解集,同时注意一元二次方程、一元二次不等式和二次函数有什么关系?(“三个二次”关系)。
(二)讲授新课1.问题2的解决表明,一元二次不等式的解集可以画出对应二次函数的图象写出. 请同学们解下面两组题:题组1 （1）解不等式2x 2-3x-2>0 （2）解不等式-3x 2+6x>2学生根据问题2的方法画图求解,教师巡回指导,提醒学生注意掌握画二次函数图象的要领和方法。
一元二次不等式的解法教案
§1.5 一元二次不等式的解法教学目标(1)、复习初中学过的二次函数，借助二次函数的图像，来求解一元二次不等式； (2)、掌握数形结合思想，并会用来解一元二次不等式. 教学难点和重点难点:特殊一元二次不等式以及含参一元二次不等式的求解； 重点:数形结合思想的理解.教学方法探究研讨法，讲练结合法，谈话法等.教学准备(教具)直尺，小黑板.课型新授课.教学过程设计(一)、复习引入我们在中学的时候己经学过二次函数一些重要性质，那么下面，请同学们跟我一起来复习一下函数26y x x =--的性质。
首先，它是一个二次函数，其图象为一条抛物线，抛物线便具有顶点坐标、对称轴、开口方向、与x 轴相交情况等重要性质。
这里，这个二次函数顶点坐标，对称轴方程等分别为:顶点坐标:24(,)24b ac b a a--即125(,)24- 对称轴方程:122b x a =-= 开口方向:向上与x 轴相交情况:1460∆=+⨯>与x 轴有两个交点：(3,0)-20（，）（这里，3和-2都是对应一元二次方程的根） 则函数图象如下：x () = x 2-x -6(二)、讲解新课以上是我们以前所学的二次函数有关知识，它与我们今天要讲的一元二次不等式的解法有什么联系呢？请同学们跟我一起来观察它的图象:当3x >或2x <-它的函数图象全部在x 轴下方，也就是说260y x x =-->而当x 在两者之间时，其函数图象全部在x 轴下方，即260y x x =--<，当2x =或3x =-时，260y x x =--=与x 轴相交，所以我们得到：1、当2x =或3x =-时260y x x =--=2、当3x >或2x <-时260y x x =-->3、当23x -<<时260y x x =--<现在，请同学们观察上面的式子，我们可以很直观地看到，当3x >或2x <-时，有260y x x =-->那么反过来，我们是否可以说260y x x =-->的解也就是3x >或2x <-呢？答案是肯定的。
《一元二次不等式的解法》教学设计
一元二次不等式的解法教学设计一、教学目标1．知识目标：熟练掌握一元二次不等式的两种解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。
2．能力目标：培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力。
3．德育目标：通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想。
在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。
二、学生分析学生在初中已经学过一元一次方程、一元一次不等式、一次函数和一元二次方程、一元二次不等式、二次函数，但学生并不知道它们三者之间的关系。
考虑到高二年级的学生知识掌握很好，但在思维上还是比较依赖老师，这个时候教师就要起引导作用，让学生自己去发现问题，通过自主探究和合作学习来解决问题。
三、教材分析1本节课内容在整个教材中的地位和作用概括地讲，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。
一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，也与后面的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。
许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。
因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。
2.教学重难点教学重点：一元二次不等式的解法；教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系。
3.课时安排：第一课时四、教学理念以人为本，以学定教五、教学过程1．创设情景——引入新课。
根据教材内容的安排，我以学生熟悉的画一次函数图象、求一次方程和一次不等式的解为背景知识切入，设置一个练习题组，一方面让学生总结复习已有知识，为后面学习二次不等式的解法打下基础，做好铺垫，另一方面，使学生在自己熟悉的问题中首先获得解题成功的快乐体验，然后以2004年江苏省的一道高考试题为引子，引入本节课的新授内容。
一元二次不等式及其解法 优秀教学设计
3.2一元二次不等式及其解法邵武一中 黄婉芬教学目标（1）正确理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，从而掌握图象法解一元二次不等式，并能解决一些有关不等式的简单问题。
（2）通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，从特殊到一般的思维方式。
培养学生观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力。
教学重点：一元二次不等式解法。
教学难点：“三个二次”的关系。
数形结合，分类转化等数学思想的理解和运用。
教学过程一、复习引入一元一次不等式：只含有一个未知数,并且未知数最高次数为1的不等式. 由学生给出一元二次不等式定义：只含有一个未知数,并且未知数最高次数为2的不等式. 点出课题：一元二次不等式及其解法.回顾一元一次不等式的解法代数法：用不等式的基本性质求出解集图像法：利用一次函数y=3x-15的图像求解图像在x 轴上方，表示3x-15>0 图像在x 轴下方，表示3x-15<0问题1：类比一元一次不等式的解法，能否也用图像法数形结合解一元二次不等式？二、探究新知（1）特殊的一元二次不等式画出分析图像：2222306023060.23060x x y x x x x x y x x x xy x x =-==--=<->>-->-<<<--<当或时，即当或时，图像在轴上方，此时即当时，图像在轴下方，此时即{}{}2260|2360|23x x x x x x x x x ∴--><->--<-<<解集或解集260x x -->26y x x =--的图像我们知道一元二次方程的根就是其相应二次函数的零点，即二次函数图像与x 轴交点的横坐标，利用二次函数图像可以求出一元二次不等式的解集，即图像在x 轴上方或下方时，x 的取值范围。
问题2：上述方法可以推广到一般的一元二次不等式吗？学生自主完成书本77页表格。
教案：一元二次不等式恒成立的问题
一元二次不等式恒成立的问题教学目标1. 会解决一元二次不等式恒成立的问题。
2. 进一步掌握一元二次不等式的解法。
3. 培养学生的分类讨论思想和数形结合思想。
教学重点：加强学生的分类讨论思想意识教学难点：提高学生利用数形结合的方法解决问题的能力教学过程：一、复习1．回顾一元二次不等式的解法，即“三个二次”之间的联系。
2．解一元二次不等式的步骤：一看（看是否标准型，非标准型须转化为标准型），二算（计算判别式及对应方程的解），三写（写出不等式的解集）。
3．解不等式(1)03532-2<-+x x (2)03-2<-+x x二、新授前面我们已经学习了一元二次不等式的解法，那现在看看一元二次不等式的 综合问题。
今天，我们就通过一个典型例题来研究不等式恒成立的问题。
典例：例、 关于的x 不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：（一）讨论系数① 当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式变成常数不等式 。
② 当0)2(≠-a 时，原不等式是一元二次不等式。
（二）分类讨论①当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式可化为04<-，∴2=a 时，不等式恒成立。
② 当0)2(≠-a 时，不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 是一个一元二次不等式，此时对应方程04)2(2)2(2=--+-x a x a 应满足⎩⎨⎧<∆<-002a （这一充要条件是通过借助函数4)2(2)2(y 2--+-=x a x a 的图像，在图像上找出x 时0y <取什么值，而得到的。
强调数形结合思想。
）练习：不等式012<--kx kx 的解集为全体实数，求k 的取值范围。
举一反三：（提问，学生思考）1. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≤--+-x a x a 呢？2. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2>--+-x a x a 呢？3. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≥--+-x a x a 呢？ （以上三个问题由学生来完成）三、小结通过典例，得到以下结论：不等式02<++c bx ax 对一切实数恒成立（解集为R ），则系数应满足的条件：⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a （其他三种形式的不等式所得结论由学生自己归纳）。
一元二次不等式及其解法 优秀教学设计
3.2 一元二次不等式及其解法（1）【教学目标】1．知识与技能: 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法:经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想．【教学重、难点】重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法．难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系．【教学过程】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：课本P76互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：（1）一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．(2)二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系。
二次函数2=++y ax bx ca>的图象(0)一元二次方程20++=ax bx c20++>ax bx ca>的解集(0)20++<ax bx ca>的解集(0)例1：如何求一元二次不等式x2-7x+6 >0的解集?例2.解不等式4x2－4x＋1 > 0例3.求－x2 ＋2x -3＞0的解集变式训练1：求不等式x2-7x+6 <0的解集变式训练2.求4x2－4x＋1 <0的解集变式训练3.求－x2 ＋2x -3<0的解集1.求不等式x2-9 <0的解集2.求不等式x2-2x+3 > 0的解集3.求不等式-x2+4x-3 <0的解集4.求不等式--2x2+12x-18 0的解集≥(1)你学会了什么知识？(2)你收获了哪些学习方法？(3)还有哪些疑问？分层 A.书习题3.2 1，2B.三导 8，9一．定义二.例题。
一元二次不等式教案
一元二次不等式教学目标1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2．掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法 教学重点1. 一元二次不等式的解法2. 掌握解含参不等式的方法1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
基本形式为02>++c bx ax ，其中0≠a 。
例1、判断下列不等式那些是一元二次不等式：⑴0632≤+-bx x ； ⑵022>+--m x x ；⑶052<+mx ； ⑷052≤-+nx mx ； （5）052<-y mx ；2、分析一个例子：54,44-32222+-=+=--=x x y x x y x x y ，一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<φφ解一元二次不等式的步骤：(1).将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2>0(或0<)(a 0>)(2). 先令不等式等于0，尝试用“十字相乘法”分解因式求根（零点） (3).计算判别式∆，分析不等式的解的情况： ⅰ.∆>0时，用求根公式求根1x <2x ，⎩⎨⎧<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩⎪⎨⎧=≤∈<≠>.00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φⅲ.∆<0时，方程无解，⎩⎨⎧∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；，则若(4).用集合或区间写出解集.区间：设,a b R ∈,且a b <.规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ；（2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(),a b ；（3）满足不等式a x b ≤< 或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示[,)a b ，(,]a b例2、（1）2320x x -+< （2）256x x -+< （3）2176032x x --> （4）()()123++≥-x x x x 练习1、不等式()()021≤-+x x 的解集为（ ）.(A)[]1,2- (B)[]2,1- （C ）(][)+∞⋃-∞-,21, （D ）(][)+∞-⋃-∞-,12, 练习2、不等式0262≥-+x x 的解集是（ ）. （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-2132x x （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2132x x x 或 （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥21x x （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤32x x 练习3、设集合{}20<≤=x x M ，集合{}0322<--=x x x N ，集合N M ⋂等于（ ）.（A ）{}10<≤x x （B ）{}20<≤x x （C ）{}10≤≤x x （D ）{}20≤≤x x练习4、若集合{}()(){}052,0342<--=<+-=x x x B x x x A ，则=⋂B A .3、含参不等式的解法（1）带参数的恒成立问题例3、 不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是练习5、不等式22412ax x a x ++>-对一切x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是_______．练习6、如果22(2)0kx kx k +-+<恒成立，则实数k 的取值范围是＿＿＿. A. 10k -≤≤ B. 10k -≤< C. 10k -<≤ D. 10k -<<练习7、若关于x 的不等式()∞∞->--,02的解为a ax x ，则实数a 的取值范围是 .（2）已知不等式的解，求不等式里面的参数。
《一元二次不等式》教案
芯衣州星海市涌泉学校一元二次不等式教学目的：通过由图象找解集的方法进步学生逻辑思维才能，浸透数形结合思想，进步运算(变形)才能，浸透由详细到抽象思想.教学重点：一元二次不等式解法教学难点：一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系.数形结合思想浸透.教学过程：Ⅰ.复习回忆1.｜x｜＞a及｜x｜＜a(a＞0)型不等式解法.2.｜ax＋b｜＜c及｜ax＋b｜＞c〔c＞0〕解的结果.3.绝对值符号去掉的根据是什么Ⅱ.讲授新课1.“三个一次〞关系在初中我们学习了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数.它们之间具有什么关系呢我们一一共同来看下面问题：y＝2x－7其部分对应值表x2345y－3－2－10123图象：填表：当x＝时，y＝0，即2x－7＝0当x＜时，y＜0，得2x－7＜0当x＞时，y＞0，得2x－7＞0注：(1)引导学生由图象得结论.(数形结合)，(2)由学生填空.从上例的特殊情形，可得到什么样的一般结论？教师引导下让学生发现其结论.一般地，设直线y＝ax＋b与x轴的交点是(x0，0)就有如下结果.一元一次方程ax＋b＝0的解集是{x｜x＝x0}一元一次不等式ax＋b＞0〔＜0)解集(1)当a＞0时，一元一次不等式ax＋b＞0的解集是{x｜x＞x0}，一元一次不等式ax＋b＜0的解集是{x｜x＜x0}.(2)当a＜0时，一元一次不等式ax＋b＞0的解集是{x｜x＜x0}；一元一次不等式ax＋b＜0的解集是{x｜x＞x0}.2.“三个二次〞的关系一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间关系.从下面特例寻求“三个二次〞关系.举例：y＝x2－x－6，对应值表x－3－2－101234y60－4－6－6－406图象：方程x2－x－6＝0的解x＝－2或者者x＝3不等式x2－x－6＞0的解集{x｜x＜－2或者者x＞3}不等式x2－x－6＜0的解集{x｜－2＜x＜3}结合函数的对应值表，可以确定函数的图象，与x轴交点的坐标，进而确定对应的一元二次方程x2－x－6＝0的根.要确定一元二次不等式x2－x－6＞0与x2－x－6＜0的解集，那么就要在一元二次方程根的根底上结合图象完成.我们仿“三个一次〞关系，y＝ax2＋bx＋c〔a＞0〕与x轴相关位置，情形如下：y＝ax2＋bx＋c〔a＞0〕与x轴相关位置，分三种情况：以上三种情况，从图象我们可以发现其与Δ有关.由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac的三种情况(Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0〕来确定.师引导学生发现：要分三种情况讨论，以寻求对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0的解集.请同学们考虑，假设a＜0，那么一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0及ax2＋bx＋c＜0其解集如何，课后仿上表给出结果.3.例题解析［例1］解不等式2x2－3x－2＞0解析：由“三个二次〞关系，相应得到所求解集.解：由2x2－3x－2＝0知Δ＝9＋16＞0，a＝2＞02x2－3x－2＝0的解集为{x｜x1＝－或者者x2＝2}∴2x2－3x－2＞0的解集为{x｜x＜－或者者x＞2}由例1解题过程可知，问题要顺利求解，应先考虑对应方程的判别式及二次项系数是否大于零，然后按照不等式解集情况求得原不等式的解集.［例2］解不等式－3x2＋6x＞2.解析：通过观察－3x2＋6x＞2与表格中不等式形式比较可发现，它们不同地方在于二次项系数.故首先将其变形为二次项系数大于零情形，转化为熟知类型，然后求解.解：原不等式－3x2＋6x＞2变形为3x2－6x＋2＜03x2－6x＋2＝0对应的Δ＝36－24＞0，3＞0方程3x2－6x＋2＝0解得：x1＝1－，x2＝1＋所以原不等式的解集是{x｜1－＜x＜1＋}［例3］解不等式4x2－4x＋1＞0解析：因4＞0解法同例1解：因4x2－4x＋1＝0对应的Δ＝16－16＝0那么方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝所以，原不等式的解集是{x｜x≠}［例4］解不等式－x2＋2x－3＞0.解：将原不等式变形为：x2－2x＋3＜0因x2－2x＋3＝0对应Δ＝4－12＜0故x2－2x＋3＝0无实数解，即其解集为∅那么原不等式解集是∅上述几例每一例都有各自特点，反映在两个方面：一是二次项系数，二是判别式Δ对于二次项系数不大于零的要化成大于零的式子，然后求解.[例5]假设不等式＜0对一切x恒成立，务实数m的范围.解析：合理等价变形，正确分类是解决问题关键.解：由题x2－8x＋20＝〔x－4〕2＋4＞0那么原不等式等价于mx2－mx－1＜0成立那么，①当m＝0时，－1＜0不等式成立；②当m≠0时，要使不等式成立，应有，解之得：－4＜m＜0由①②可知，－4＜m≤0[例6]设不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜α＜x＜β}(0＜α＜β}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.解：由题,α·β＝))得：＋＝－,·＝))故cx2＋bx＋a＜0的解集是{x｜x＜}∪{x｜x＞}Ⅲ.课堂练习课本P71练习1～4Ⅳ.课时小结一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系，给出理解一元二次不等式的方法.即解一元二次不等式的步骤：先把二次项系数化成正数，再解对应的一元二次方程，最后，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集.Ⅴ.课后作业课本：P73习题1，2，3。
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数形结合法解一元二次不等式的教学设计
教师面对的是一个个鲜活的生命个体，怎样让我们的课堂充分体现出学生的主观能动性，为每个学生创设出动脑、动口、动手的机会，创设和谐、宽松、高效的课堂教学是每个教师都在思考并希望解决的问题。
因此，教学设计需要从学生熟悉的内容出发，根据数学的学科特点和学生的实际情况，深入钻研教材，分析教学任务，有针对性地设计教学方案。
1客观分析教材
1．1学习一元二次不等式的重要性
在幼儿师范学校，数学是一门重要的文化课程。
为提高学前教育专业学生的数学素养，必须努力提高数学课堂教学质量，使学生切实掌握从事幼儿教育工作和进一步学习所需要的数学基础知识和基本技能，进一步提高学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力；结合数学教学进行思想教育，进一步培养学生的良好的个性品质、辩证唯物主义观点和科学态度。
解一元二次不等式需要通过讨论一元二次方程的解的情况、画出对应二次函数的示意图、观察函数图象得出一元二次不等式的解集。
因此，理解和掌握数形结合法求解一元二次不等式可以有效提高学前教育专业学生的数学思维能力、运算能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。
1．2教学内容分析
教材是学生学习的重要载体，是教师教学的客观依据。
一元二次不等式及其解法这一部分内容编排在二次函数的图象和性质之后，接下来是一元一次不等式组、绝对值不等式的解法，再是一元二次不等式的解法。
本节内容教学重、难点：数形结合法解一元二次不等式。
为此，可以将求解一元二次不等式的相关内容归纳如下：1、将具体例子进行细化，分步进行：第一步，确定方程的根的情况；第二步，画出对应二次函数的对应图形；第三步，观察图形，结合二次函数的图象的意义确定一元二次不等式的解集。
2、数学的学习方法之一是数形结合，用此方法形象直观，容易掌握，多给学生强调此方法，让学生习惯于数形结合法解决数学问题，因此不要求学生记忆书上结论，避免学生死记硬背。
3、举例强化。
2深入了解学生
2．1学生的学习风格
学前教育专业学生是一个特殊的群体，男女比例严重失调，女生人数占绝大多数。
她们的数学基础差，学习意志薄弱，对数学不感兴趣，学习数学感到吃力，她们认为数学是“豆芽学科”，在幼儿园中组织各项活动不会用到现在所学的数学；他们的“专业思想”狭隘，偏科现象十分严重。
我校周洪老师曾采用《所罗门学习风格自测问卷表》进行过问卷调查，通过对调查问卷的整理分析，发现学前教育专业学生的学习具有倾向性特征，她们的学习风格倾向于序列型学习者，习惯于按线性步骤理解问题，每一步都合乎逻辑地紧跟前一步，倾向于按部就班地寻找答案；序列型学习者能对主题的特殊方面知道许多，但联系到同一主题的其他方面或不同的主题时，她们就表现得很困难，同时她们不喜欢抽象概念的学习，因此畏惧数学。
同时，学前教育专业学生非常活跃，她们喜欢在集体讨论中学习，所以，在数学教学中，需要对学生的学习方法进行指导，培养良好的数学学习习惯，用日常学习行为（记笔记、做作业、认真听课）的变化去影响和改变她们对数学学科的认识；需要顺应学生的数学学习风格，加强师生之间、同学之间的互动和交流，为学生创设和谐、宽松的数学教学情境。
2．2学生的知识储备情况
用数形结合法解一元二次不等式需要用到确定一元二次方程的根的情况、画出二次函数的大致图象，因此，需要了解学生对以上知识的储备情况。
虽然学前教育专业学生以女生为主，多数学生的初中数学底子薄、基础差，但是一元二次方程是初中数学非常重要的内容之一，绝大多数同学都能够利用判别式来判断一元二次方程的根的情况并利用求根公式去求解。
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，当a＞0时，抛物线的开口向上，当a＞0时，抛物线的开口向下，学生对此了如指掌。
但是，什么情况下抛物线与x轴有交点，有几个交点，什么情况下抛物线与x轴无交点就不明白了。
为了能够解决这一问题，我们需要把一元二次方程的根的情况和二次函数的图象与坐标轴的交点结合起来，二者相联系即可达到目的。
3教学目标
教学目标是师生通过教学活动预期达到的结果或标准，是对学习者通过教学以后将能做什么的一种明确的、具体的表述，主要描述学习者通过学习后预期产生的行为变化。
本节内容的教学目标是理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握数形结合法解一元二次不等式；培养学生数形结合的能力和分类讨论的思想，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力；激发学生的学习热情，培养学生勇于探索的精神、勇于创新的精神，同时领会事物之间普遍联系的辩证思想。
4教学方法
教学方法是教师和学生为了实现共同的教学目标，完成共同的教学任务，在教学过程中运用的方式与手段的总称。
教学时涉及到用语言传递信息、通过引导探究、分组讨论寻求解答、以实际训练解决问题等方法，故使用谈话法、探究法、讨论法、练习法，
5教学过程
教学过程，指教学活动的展开过程，是教师根据一定的社会要求和学生身心发展的特点，借助一定的教学条件，指导学生主要通过认识教学内容从而认识客观世界，并在此基础之上发展自身的过程，合理设计教学过程，有助于学生进行知识系统深化。
此内容紧紧围绕教师组织，学生探究，知识运用的顺序开展教学活动。
5.1引入
由一元一次不等式（组）引入一元二次不等式，让学生用解不等式组的方法结合两数相乘的符号的确定方法解答一元二次不等式。
根据学生的解答情况进行讲评，说明用解不等式组的方法解答一元二次不等式的不便之处，引入新的解答方法——数形结合法。
5.2教学准备。