二倍角公式的应用,推导万能公式
三角代换公式万能公式
三角代换公式万能公式一、三角代换公式。
（一）基本的三角代换形式。
1. 对于a^2-x^2（a>0）- 可令x = asinθ，θ∈<=ft[-(π)/(2),(π)/(2)]。
- 此时a^2-x^2=a^2-a^2sin^2θ=a^2(1 - sin^2θ)=a^2cos^2θ。
2. 对于a^2+x^2（a>0）- 可令x = atanθ，θ∈<=ft(-(π)/(2),(π)/(2))。
- 那么a^2+x^2=a^2+a^2tan^2θ=a^2(1+tan^2θ)=a^2sec^2θ。
3. 对于x^2-a^2（a>0）- 可令x = asecθ，θ∈<=ft[0,(π)/(2))∪<=ft((π)/(2),π]。
- 于是x^2-a^2=a^2sec^2θ - a^2=a^2(sec^2θ - 1)=a^2tan^2θ。
二、万能公式。
（一）公式内容。
1. sinα=(2tanfrac{α)/(2)}{1 + tan^2(α)/(2)}- 证明：- 由tan(α)/(2)=(sinfrac{α)/(2)}{cos(α)/(2)}。
- 根据二倍角公式sinα = 2sin(α)/(2)cos(α)/(2)，cosα=cos^2(α)/(2)-sin^2(α)/(2)。
- 又因为sin^2(α)/(2)+cos^2(α)/(2) = 1，将sinα分子分母同时除以cos^2(α)/(2)，可得sinα=(2tanfrac{α)/(2)}{1+tan^2(α)/(2)}。
2. cosα=frac{1-tan^2(α)/(2)}{1 + tan^2(α)/(2)}- 证明：- 同样由tan(α)/(2)=(sinfrac{α)/(2)}{cos(α)/(2)}。
- 根据二倍角公式cosα=cos^2(α)/(2)-sin^2(α)/(2)，将其分子分母同时除以cos^2(α)/(2)，得到cosα=frac{1-tan^2(α)/(2)}{1+tan^2(α)/(2)}。
三角函数二倍角公式大全
三角函数二倍角公式大全三角函数二倍角公式整理大全二倍角公式，其实是数学三角函数中常用的一组公式，通过角α的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角2α的三角函数值，二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。
下面小编给大家整理了关于三角函数二倍角公式大全的内容，欢迎阅读，内容仅供参考!三角函数二倍角公式1、正弦形式(1)公式(2)推导过程2、余弦形式(1)公式(2)推导过程3、正切形式(1)公式(2)推导过程三角函数变形公式1、降幂公式：2、升幂公式：三角函数相关公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)三倍角公式sin3a=3sina-4(sina)^3cos3a=4(cosa)^3-3cosatan3a=tana__tan(π/3+a)__tan(π/3-a)半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))其它公式a__sin(a)+b__cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]a__sin(a)-b__cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^21-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2如何记忆三角函数公式1、“奇变偶不变，符号看象限”：“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
高考数学万能公式
高考数学万能公式高考数学是高考中的重要科目之一，涉及到的知识点繁多，而公式在解题过程中起到了关键的作用。
下面是一些高考数学中常用和比较常见的公式，供参考使用：1.二次函数的解析式：-顶点形式：y=a(x-h)^2+k- 一般形式：y = ax^2 + bx + c- 根的求解公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a-零点的求解公式：x=-b/a2.三角函数：- 正弦函数：sinθ = 对边 / 斜边- 余弦函数：cosθ = 邻边 / 斜边- 正切函数：tanθ = 对边 / 邻边- 三角函数的和差化简公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB 3.幂指对数函数：- 幂函数：y = ax^n，其中a为常数，n为指数- 对数函数：y = loga(x)，其中a为底数，x为真数，y为底数为a 的对数- 指数和对数的相互转化公式：y = loga(x) ⇔ x = a^y4.三角恒等变换公式：- 万能三角恒等式：sin^2θ + cos^2θ = 1- 二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ，cos2θ = cos^2θ -sin^2θ- 和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB，cos(A ±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB5.统计学相关公式：-均值：平均值，计算公式为平均数=总和/总数- 方差：衡量数据的离散程度，计算公式为方差 = (∑(xi - x̄)^2) / n，其中xi为数据点，x̄为均值，n为数据总数-标准差：方差开平方，计算公式为标准差=√方差6.二项式定理：- (a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2+ ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n-C(n,k)为组合数，表示从n个元素中取k个元素的组合数，计算公式为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)7.等差数列和等比数列的求和公式：-等差数列的求和公式：Sn = (a1 + an) × n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数-等比数列的求和公式：Sn=a1×(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数这些公式是高考数学中较为常用且重要的公式，掌握了这些公式不仅有助于提高解题速度，也有助于深化对数学知识的理解。
三角函数的万能公式及其证明
三角函数的万能公式及其证明三角函数是数学中重要的概念，它们在几何学、物理学、工程学以及其他许多领域中都有广泛的应用。
三角函数的万能公式是一组基本的恒等式，用于将三角函数之间的关系相互转换。
本文将介绍三角函数的万能公式及其证明。
一、正弦函数的万能公式正弦函数的万能公式可以用来表示任意两个三角函数之间的关系。
假设a、b、c为实数，且a+b+c=π。
那么正弦函数的万能公式可表示为：sin(a + b + c) = sin a cos b cos c + cos a sin b cos c + cos a cos b sin c - sin a sin b sin c该公式的证明基于三角函数的和差化积公式和三角函数的倍角公式。
证明步骤如下：1. 根据和差化积公式，将sin(a + b + c)展开成和差形式，得到：sin(a + b + c) = sin((a + b) + c)2. 根据三角函数的和差化积公式，将sin((a + b) + c)展开，得到：sin((a + b) + c) = sin(a + b)cos c + cos(a + b)sin c3. 再次利用和差化积公式，将sin(a + b)和cos(a + b)展开，得到：sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin bcos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b4. 将上述展开结果带入步骤2中的公式，得到：sin((a + b) + c) = (sin a cos b + cos a sin b)cos c + (cos a cos b - sin a sin b)sin c5. 化简上式并合并同类项，得到：sin((a + b) + c) = sin a cos b cos c + cos a sin b cos c + cos a cos b sin c - sin a sin b sin c综上所述，我们证明了正弦函数的万能公式。
万能公式三角函数推导过程
万能公式三角函数推导过程三角函数是数学中非常重要的一个概念，而万能公式更是在解决三角函数问题时的得力工具。
那咱们就一起来瞧瞧这万能公式到底是怎么推导出来的。
还记得我读高中的时候，有一次数学考试，最后一道大题就是关于三角函数万能公式的应用。
当时我看到题目，心里那叫一个紧张啊，因为之前对万能公式的推导理解得不是特别透彻。
但没办法，硬着头皮也得上啊！我就开始回忆老师讲过的那些推导步骤。
咱先来说说万能公式到底是啥。
万能公式就是用同一个变量 t （通常是 tan(x/2) ）来表示正弦、余弦和正切函数。
具体来说，就是 sinx = 2tan(x/2) / (1 + tan²(x/2)) ，cosx = (1 - tan²(x/2)) / (1 + tan²(x/2)) ，tanx = 2tan(x/2) / (1 - tan²(x/2)) 。
那它们是怎么推导出来的呢？咱们先从正弦函数 sinx 开始。
根据三角函数的半角公式，sinx = 2sin(x/2)cos(x/2) 。
这时候咱们再利用同角三角函数的关系，把 sin(x/2) 和 cos(x/2) 用 tan(x/2) 表示出来。
因为sin(x/2) = tan(x/2) / √(1 + tan²(x/2)) ，cos(x/2) = 1 / √(1 + tan²(x/2)) ，所以sinx = 2tan(x/2) / (1 + tan²(x/2)) 。
接下来看看余弦函数 cosx 。
根据余弦函数的二倍角公式，cosx = cos²(x/2) - sin²(x/2) 。
还是把 sin(x/2) 和 cos(x/2) 用 tan(x/2) 表示，经过一番化简，就得到了 cosx = (1 - tan²(x/2)) / (1 + tan²(x/2)) 。
三角函数推导及公式应用大全
三角函数公式1、两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2、倍角公式tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A)Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos^2 A--Sin^2 A=2Cos^2 A—1=1—2sin^2 A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)^3;cos3A = 4(cosA)^3 -3cosAtan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a) 半角公式sin(A/2) = √{(1--cosA)/2}cos(A/2) = √{(1+cosA)/2}tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)}cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)}tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)3、和差化积sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB4、积化和差sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]5、诱导公式sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2-a) = cos(a)cos(π/2-a) = sin(a)sin(π/2+a) = cos(a)cos(π/2+a) = -sin(a)sin(π-a) = sin(a)cos(π-a) = -cos(a)sin(π+a) = -sin(a)cos(π+a) = -cos(a)tgA=tanA = sinA/cosA6、万能公式sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]^2}cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]^2}tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}7、其它公式a•sin(a)+b•cos(a) = [√(a^2+b^2)]*sin(a+c) [其中,tan(c)=b/a]a•sin(a)-b•cos(a) = [√(a^2+b^2)]*cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b]1+sin(a) = [sin(a/2)+cos(a/2)]^2;1-sin(a) = [sin(a/2)-cos(a/2)]^2;;8、其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)9、双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanαcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tanαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)三角函数公式大全锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα•cosβ•cosγ+cosα•sinβ•cosγ+cosα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•sinγcos(α+β+γ)=cosα•cosβ•cosγ-cosα•sinβ•sinγ-sinα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα•tanβ•tanγ)/(1-tanα•tanβ-tanβ•tanγ-tanγ•tanα)两角和差cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβcos(α-β)=cosα•cosβ+sinα•sinβsin(α±β)=sinα•cosβ±cosα•sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα•tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα•tanβ)和差化积sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ= -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2）/〔1+tan＾(α/2)〕cosα=〔1-tan＾(α/2)〕/1+tan＾(α/2)〕tanα=2tan(α/2)/〔1-tan＾(α/2)〕其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0一,诱导公式口诀:(分子)奇变偶不变,符号看象限.1. sin (α+k•360)=sin αcos (α+k•360)=cos atan (α+k•360)=tan α2. sin(180°+β)=-sinαcos(180°+β)=-cosa3. sin(-α)=-sinacos(-a)=cosα4*. tan(180°+α)=tanαtan(-α)=tanα5. sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosα6. sin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosα7. sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinα8*. Sin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinα9*. Sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+a)=-sinα10*.sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinα二,两角和与差的三角函数1. 两点距离公式2. S(α+β): sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβC(α+β): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ3. S(α-β): sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβC(α-β): cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ4. T(α+β):T(α-β):5*.三,二倍角公式1. S2α: sin2α=2sinαcosα2. C2a: cos2α=cos2α-sin2a3. T2α: tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)4. C2a': cos2α=1-2sin2αcos2α=2cos2α-1四*,其它杂项(全部不可直接用)1.辅助角公式asinα+bcosα=sin(a+φ),其中tanφ=b/a,其终边过点(a, b) asinα+bcosα=cos(a-φ),其中tanφ=a/b,其终边过点(b,a) 2.降次,配方公式降次:sin2θ=(1-cos2θ)/2cos2θ=(1+cos2θ)/2配方1±sinθ=[sin(θ/2)±cos(θ/2)]21+cosθ=2cos2(θ/2)1-cosθ=2sin2(θ/2)3. 三倍角公式sin3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3-3cosθ4. 万能公式5. 和差化积公式sinα+sinβ=sinα-sinβ=cosα+cosβ=cosα-cosβ=6. 积化和差公式sinαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]sinαsinβ-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]7. 半角公式另：三角函数口诀三角知识,自成体系,记忆口诀,一二三四.一个定义,三角函数,两种制度,角度弧度.三套公式,牢固记忆,同角诱导,加法定理.同角公式,八个三组,平方关系,导数商数.诱导公式,两类九组,象限定号,偶同奇余.两角和差,欲求正弦,正余余正,符号同前.两角和差,欲求余弦,余余正正,符号相反.两角相等,倍角公式,逆向反推,半角极限.加加减减,变量替换,积化和差,和奇互变.锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα•cosβ•cosγ+cosα•sinβ•cosγ+cosα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•sin γcos(α+β+γ)=cosα•cosβ•cosγ-cosα•sinβ•sinγ-sinα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•cos γtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα•tanβ•tanγ)/(1-tanα•tanβ-tanβ•tanγ-tan γ•tanα)两角和差cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβcos(α-β)=cosα•cosβ+sinα•sinβsin(α±β)=sinα•cosβ±cosα•sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα•tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα•tanβ)和差化积sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ= -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0。
三角函数中万能公式总结
三角函数中万能公式总结集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）两角和与差的三角函数三角函数基本公式总结1．和、差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； βαβαβαtg tg tg tg tg 1)(±=±． 2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； ααα2122tg tg tg -=． 3．降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=． 4．半角公式2cos 12sin αα-±=；2cos 12cos αα+±=；αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg ． 5．万能公式2122sin 2αααtg tg+=；2121cos 22αααtg tg +-=；21222αααtg tg tg -=． 6．积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=． 7．和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+；2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-；2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+；2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-． 倍角、半角的三角函数二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定.倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即， 进一步得到半角公式:降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即:，，这组公式叫做“万能”公式.教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.。
万能公式在解题中的应用
当q = b二 0
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.
三
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证 明了上述方法 的确 能将 全部格点 编 号
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,
二倍角万能公式
二倍角万能公式二倍角万能公式是高中数学中的一个重要公式，它在解决三角函数的问题中起到了至关重要的作用。
通过二倍角万能公式，我们可以快速求解复杂的三角函数问题，简化计算的过程。
二倍角万能公式的形式为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ，sin(2θ) = 2sinθcosθ，tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)。
其中，θ为任意角度。
让我们来看一下cos(2θ)的推导过程。
我们知道，根据三角函数的定义，cos(2θ)可以表示为cos(θ + θ)。
利用和角公式，我们可以将其展开为cos²θ - sin²θ。
接下来，让我们来看一下sin(2θ)的推导过程。
同样地，我们知道sin(2θ)可以表示为sin(θ + θ)。
利用和角公式，我们可以将其展开为2sinθcosθ。
让我们来看一下tan(2θ)的推导过程。
tan(2θ)可以表示为sin(2θ) / cos(2θ)。
根据之前的推导，我们可以将其转化为2tanθ / (1 - tan²θ)。
二倍角万能公式的应用非常广泛，可以用于解决各种与三角函数相关的问题。
下面，我们将通过一些例子来说明二倍角万能公式的具体应用。
例1：求解cos(120°)的值。
根据二倍角万能公式cos(2θ) = cos²θ - sin²θ，我们可以将120°表示为60°的二倍角。
即θ = 60°，代入公式中，cos(120°) = cos²60° - sin²60°。
由于60°是一个特殊角，我们可以直接得出cos(60°) = 1/2，sin(60°) = √3 / 2。
代入公式，cos(120°) = (1/2)² - (√3 / 2)² = -1/2。
三角恒等变换公式
三角恒等变换公式三角恒等变换公式如下：1、二倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]2、三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα3、半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα4、万能公式：半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]5、积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 6、和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]三角函数的起源：早期对于三角函数的研究可以追溯到古代，古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯，他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同），对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。
二倍角正弦余弦正切公式
二倍角正弦余弦正切公式好啦，今天咱们来聊一聊二倍角公式。
乍一听，“二倍角”这三个字就让人有点儿小紧张，好像马上要被一道复杂的数学题“砸”中了。
但说实话，二倍角公式其实比你想象的要简单得多，关键是要找到窍门，跟做菜一样，手法一到，什么难题都能轻松搞定。
你听我说，咱们先别急着跑，慢慢来，一步一步消化这些公式，包你轻松掌握。
说到二倍角公式，其实就是在原本的角度上，咱们加倍了，翻倍了，结果就有了一堆新的公式，帮咱们解决更多问题。
你想啊，如果我们已经掌握了常见的三角函数，像正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）这些，二倍角公式就像是给你开了个外挂，能帮你轻松算出翻倍后的角度值。
别看它们名字挺长，实际应用起来非常方便，最关键的是它们能让你在解三角题时不再手忙脚乱。
比如，二倍角正弦公式，它长得不怎么复杂——“sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)”，是不是看着有点眼熟？这其实就是正弦函数的“升级版”。
听起来像是一个被修饰过的原始公式，但它的意义可不小。
举个例子，假设你已经知道了角度θ的正弦值和余弦值，那么你就能立马算出2θ的正弦值。
不需要再去找复杂的三角表或者用计算器直接算，只需要这一个公式，解决了问题，事半功倍。
是不是很爽？再说，二倍角余弦公式，也就是“cos(2θ) = cos²(θ) sin²(θ)”。
看似复杂，其实就是余弦减去正弦的平方。
这种公式一旦掌握，你就能在很多场合下运用自如，甚至能省去很多繁琐的计算步骤。
说白了，它的作用就是帮你把大问题拆成小问题，好像是拆解一个难懂的难题，逐步击破。
二倍角公式还有一个神奇之处，就是它能转化成其他不同的公式。
比如，除了刚才说的标准版，你还可以通过一些小技巧，把它改成“cos(2θ) = 2cos²(θ) 1”或者“cos(2θ) =1 2sin²(θ)”。
这些看起来有点变化，但其实它们都能帮你解决不同类型的三角题目，简直是“百搭”。
二倍角公式及其推论
二倍角公式及其推论好嘞，以下是为您生成的关于“二倍角公式及其推论”的文章：在我们学习三角函数的奇妙世界里，二倍角公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开许多复杂问题的大门。
咱们先来说说二倍角的正弦公式，sin2α = 2sinαcosα 。
这就好比我们在搭积木，sinα 和cosα 就是两块基础的积木，通过巧妙的组合 2 倍的关系，就搭建成了新的形状。
记得我曾经给学生们讲这个公式的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这到底有啥用啊？”我笑了笑，给他出了一道题：已知一个角的正弦值和余弦值，让他求这个角二倍的正弦值。
小家伙一开始还抓耳挠腮，在我的引导下，运用这个公式，很快就得出了答案，那脸上露出的兴奋劲儿，就像发现了新大陆。
再看看二倍角的余弦公式，cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 -2sin²α 。
这就像是一个变形金刚，可以有多种形态的变化。
比如说，在解决三角形中的一些角度问题时，我们常常需要通过已知的角去求其二倍角的余弦值。
有一次课堂练习，题目给出了一个三角形的两个内角的正弦和余弦值，让求其中一个角二倍的余弦值。
同学们一开始有些迷茫，我就提醒他们可以从不同的形式去尝试运用二倍角的余弦公式，很快大家就找到了思路，算出了答案。
二倍角的正切公式，tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) 。
这个公式在求解涉及正切的问题时，威力可不小。
我想起有一次，学生们在做一道关于斜坡角度的实际应用题，需要通过已知的一个小角度的正切值去求其二倍角的正切值，从而得出斜坡在一定条件下的变化情况。
大家一开始被这道题难住了，觉得无从下手。
我就带着他们一步步分析，运用二倍角的正切公式，最终解决了问题。
当他们算出答案的那一刻，教室里充满了欢呼声。
这些二倍角公式的推论，也是非常有用的。
它们就像是公式家族的兄弟姐妹，各自有着独特的本领。
三角函数常用公式与结论
三角函数常用公式与结论三角函数常用公式与结论一、同角三角函数的关系：常用的同角三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。
它们之间存在倒数关系、商数关系和平方关系。
二、诱导公式：诱导公式是指通过已知角的正弦、余弦、正切或余切值，来求解其他角的正弦、余弦、正切或余切值的公式。
其中，奇变偶不变，符号看象限。
三、两角和与差、二倍角的正、余弦和正切公式：两角和与差公式可以用来求解两个角的正弦、余弦、正切或余切值之和或差的公式。
二倍角公式可以用来求解一个角的正弦、余弦、正切或余切值的两倍的公式。
四、降次公式：降次公式是指将高次三角函数降为低次三角函数的公式。
其中，将正弦的平方或余弦的平方表示为另一个三角函数的形式，可以方便计算和化简。
五、万能公式：万能公式是指将正弦、余弦和正切表示为同一种三角函数的公式。
这个公式可以方便计算和化简。
六、辅助角公式：辅助角公式是指通过正弦、余弦和正切函数，将一个角表示为另一个角的函数的公式。
这个公式可以用于求解一些复杂的三角函数问题。
七、弧长公式和扇形面积公式：弧长公式可以用来计算圆的弧长，扇形面积公式可以用来计算扇形的面积。
这些公式在几何学和物理学中都有广泛的应用。
八、正余弦函数的图像和性质：正弦函数和余弦函数的图像是周期性的波形，正弦函数的最大值为1，最小值为-1，余弦函数的最大值为1，最小值为-1.它们的定义域和值域可以通过公式计算得出。
这些函数在数学和物理学中都有广泛的应用。
以上是三角函数常用的公式和结论，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
周期为：＿＿＿＿＿＿正弦函数是周期为2π的函数，其图像关于y轴对称。
对称轴为：y=0对称中心为：(0,0)增区间为：(0,π)减区间为：(π,2π)余切函数的定义域为：x≠kπ，k∈Z余切函数的值域为：(-∞,∞)周期为：π是奇函数，其图像关于原点对称。
对称中心为：(0,0)在每个π区间上都是单调递增。
正切函数的定义域为：x≠(k+1/2)π，k∈Z正切函数的值域为：(-∞,∞)周期为：π是奇函数，其图像关于原点对称。
二倍角公式习题课PPT课件
一、复习公式 1.二倍角公式： sin2α＝2sin αcos α cos2 α＝cos2 α－sin2 α＝2cos2 α－1
＝1－2sin2 α
tan2 α＝ 2tan α 1 tan 2α
2.半角公式
2sin 2 α 1 cos α 2
2cos 2 α 1 cos α 2
2
3
求 cos 2 α β 的值。
2
解 co 2： s 1 co s) (
sin2 sin1
2
①
2
cos cos 1 ②
22 (co co s 3sis ni)n 1
cos()59
3
co2s13712
2 144
练习：已知三角函数
coαsβ1,sin αβ2 2 9 2 3
且 π2απ,0βπ2.求 cosα(β)的值。
si2 nx2si2n x28
1tax n
75
例8如图，A扇O的 形 B 半径 1，为 中心6角 00
PQR是S 扇 形 的 内 接 矩 形 ，
求矩P形 QR面S积的最大B 值。
解：连 OP 接 ，设 AOP
（0)
3
Q
P
o
R
SA
P SRsin ,R SO SOR
R Sco ssinco 6t00
5 13
sinπ 4(x)153
x(0,)
4
co(sπ 4x)1123 ta(nπ 4x)152
1taxn5 taxn 7
1taxn12
17
co2x s1ta2n x120 1ta2n x 169
cocso(2sxx)1162901531234
4
二倍角公式的应用推导万能公式
教材：续二倍角公式的应用，推导万能公式目的：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。
过程：一、解答本章开头的问题：（课本 P3）令∠AOB = θ , 则AB = a cos θ OA = a sin θ ∴S 矩形ABCD = a cos θ×2a sin θ = a 2sin2θ≤a 2 当且仅当 sin2θ = 1，即2θ = 90︒，θ = 45︒时, 等号成立。
此时，A,B 两点与O 点的距离都是a 22 二、半角公式在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的 例一、求证：α+α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222证：1︒在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α 即得： 2s i n 21c o s 2α-=α ∴2cos 12sin 2α-=α 2︒在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α 即得： 12c o s 2c o s 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3︒以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan 2 注意：1︒左边是平方形式，只要知道2α角终边所在象限，就可以开平方。
2︒公式的“本质”是用α角的余弦表示2α角的正弦、余弦、正切 3︒上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） 4︒还有一个有用的公式：αα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan （课后自己证） B Caθ A O D三、万能公式 例二、求证：2tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 证：1︒2tan 12tan 22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α 2︒2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α 3︒2tan 12tan 22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α 注意：1︒上述三个公式统称为万能公式。
运用二倍角公式解题的六技巧
运用二倍角公式解题的五技巧二倍角公式变化多姿， 在求值以及恒等变换中应用很广。
若熟练掌握二倍角公式以及变通公式并能灵活运用，则往往能出奇制胜，获得新颖别致的解法。
一、二倍角公式的直接运用例 1 若 sincos 1 0，求 sin 2cos2 的值。
，3cos 2 sin 2分析：由条件式两边平方，可求得sin 2 的值。
注意到 cos2(cossin )(cos sin) ， 还 需 求 c o ss i 的n 值 ， 于 是 先 求(cossin)2 (sincos )2 4sincos 的值，然后开方，从而要进一步界定的范围。
解：由 sin cos1 两边平方得 1 2sincos 143，所以 sin cos。
又99，所以 sin0 ，cos0 ，所以为钝角。
所以 sin 22sincos8 ，9cossin(sincos ) 2 2sin 21 2 ( 8) 17 ， 所 以9 93cos2cos 2sin 2(cossin )(cossin) 1 (17 ) 17 ， 从 而339sin 2cos2 817。
9点评：挖掘隐含得到 为钝角是解题的一个重要环节。
注意导出公式1 sin 2(sincos )2 。
二、二倍角公式的逆用例 2求 tancot 的值。
8 8sincossin 2cos 2 cos解： tancot8 88 8 1 42cot4 2 。
88cos sincos sin8sin88824点评：本题通分后逆用正弦与余弦的二倍角公式，从而转化为特殊角函数的求值问题。
三、二倍角公式的连用例 3 求 cos12 cos24 cos48 cos96 的值．分 析 ：2 4 2 ， 48 2 24，96 2 48 ，联想二倍角的正弦公式1 2sin 2 2 sin cos ，若逐步逆用将是一条通途．解： cos12 cos24 cos48 cos96 sin12 cos12 cos24 cos48 cos96sin12sin192 sin12 116sin1216sin12。
续二倍角公式的应用,推导万能公式
第二十三教时教材：续二倍角公式地应用，推导万能公式目地：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力. 过程：一、解答本章开头地问题：（课本 P3）令∠AOB = θ , 则AB = a cos θ OA = a sin θ ∴S 矩形ABCD = a cos θ×2a sin θ = a 2sin2θ≤a 2当且仅当 sin2θ = 1， 即2θ = 90︒，θ = 45︒时, 等号成立. 此时，A,B 两点与O 点地距离都是a 22二、半角公式在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对地例一、求证：α+α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222 证：1︒在α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α即得：2sin 21cos 2α-=α∴2cos 12sin 2α-=α2︒在1cos 22cos 2-α=α中，以α代2α，2α代α即得：12cos 2cos 2-α=α∴2cos 12cos 2α+=α 3︒以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan 2注意：1︒左边是平方形式，只要知道2α角终边所在象限，就可以开平方.2︒公式地“本质”是用α角地余弦表示2α角地正弦、余弦、正切3︒上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆）α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 4︒还有一个有用地公式：αα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan （课后自己证）三、万能公式例二、求证：2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 证：1︒2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α 2︒2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α 3︒2tan 12tan22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α 注意：1︒上述三个公式统称为万能公式.（不用记忆）2︒这个公式地本质是用半角地正切表示正弦、余弦、正切即：)2(tan αf 所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁3︒上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小例三、已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ地值.解：∵5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ∴cos θ≠ 0 (否则 2 = - 5 )∴53tan 1tan 2-=-θ+θ 解之得：tan θ = 2∴原式572122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(3222222=+⨯⨯++-=θ+θ⨯+θ+θ-= 四、小结：两套公式，尤其是揭示其本质和应用（以万能公式为主） 五、作业：《精编》P73 16补充：1．已知sin α + sin β = 1，cos α + cos β = 0，试求cos2α + cos2β地值.(1)B Ca θA O D（《教学与测试》P115 例二）2．已知π<α<π2，0<β<π-，tan α =31-，tan β =71-，求2α + β 地大小.)43(π- 3．已知sin x =54，且x 是锐角，求2cos 2sin xx ±地值.)55,553(- 4．下列函数何时取得最值？最值是多少？1︒x x y 2cos 2sin =)21,21(min max -==y y2︒x x y 2cos sin 2-=)21,23(min max -==y y3︒)7cos(2)722cos(π+-π+=x x y )23,3(min max -==y y5．若α、β、γ为锐角，求证：α + β + γ = 4π6．求函数x x x f sin cos )(2+=在]4,4[ππ-上地最小值.)221(-版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.DXDiT 。
三角函数公式推导和应用大全
三角函数公式推导和应用大全三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
三角函数看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在中文名三角函数公式外文名Formulas of trigonometric functions应用学科数学、物理、地理、天文等适用领域范围几何，代数变换，数学、物理、地理、天文等适用领域范围高考复习目录1 定义式2 函数关系3 诱导公式4 根本公式▪和差角公式▪和差化积▪积化和差▪倍角公式▪半角公式▪万能公式▪辅助角公式5 三角形定理▪正弦定理▪余弦定理三角函数公式定义式编辑锐角三角函数任意角三角函数图形直角三角形任意角三角函数正弦〔sin〕余弦〔cos〕正切〔tan或tg〕余切〔cot或ctg〕正割〔sec〕余割〔csc〕表格参考资料来源：现代汉语词典．三角函数公式函数关系编辑倒数关系：；；商数关系：；．平方关系：；；．三角函数公式诱导公式编辑公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如〔2k+1〕90°±α，那么函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，那么函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限〞意义：k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
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课题十：二倍角公式的应用，推导万能公式
教学第一环节：衔接阶段
回收上次课的教案，检查学生的作业，做判定。
了解家长的反馈意见
通过交流，了解学生思想动态，稳定学生的学习情绪
了解学生上次学习的情况，查漏补缺，为后面的备课方向提供依据 教学第二个环节：教学内容
一、解答本章开头的问题：
令AOB = , 则AB = a cos OA = a sin ∴S 矩形ABCD = a cos ×2a sin = a 2sin2
≤a 2 当且仅当 sin2 = 1， 即2 = 90， = 45时, 等号成立。
此时，A,B 两点与O 点的距离都是a 2
2 二、半角公式：在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的
例一、求证：α
+α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222 证：1在 α-=α2sin 212cos 中，以代2，2
α代 即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2
cos 12sin 2α-=α 2在 1cos 22cos 2-α=α 中，以代2，2
α代 即得： 12
cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3以上结果相除得：α
+α-=αcos 1cos 12tan 2 注意：1左边是平方形式，只要知道2
α角终边所在象限，就可以开平方。
2公式的“本质”是用角的余弦表示2
α角的正弦、余弦、正切 3上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin
4
还有一个有用的公式：α
α-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan （课后自己证）
三、万能公式 B C a A O D
例二、求证：2tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan 2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 证：12
tan 12tan 22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 2
22α+α=α+ααα=α=α 22
tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 2
2
2222α+α-=α+αα-α=α=α 32
tan 12tan 22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2
22α-α=α-ααα=αα=α 注意：1上述三个公式统称为万能公式。
（不用记忆）
2这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切
即：)2
(tan αf 所以利用它对三角式进行化简、求值、证明， 可以使解题过程简洁
3上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小 教学第三个环节：知识总结
万能公式：2
tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan 2sin 2
222α-α=αα+α-=αα+α=α 教学第四个环节：知识应用环节
已知5cos 3sin cos sin 2-=θ
-θθ+θ，求3cos 2 + 4sin 2 的值。
解：∵5cos 3sin cos sin 2-=θ
-θθ+θ ∴cos 0 (否则 2 = 5 ) ∴53tan 1tan 2-=-θ+θ 解之得：tan = 2 ∴原式572
122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(3222222=+⨯⨯++-=θ+θ⨯+θ+θ-= 教学第五个环节：布置作业
1、若、、为锐角，求证： + + = 4
π 2、求函数x x x f sin cos )(2+=在]4,4[ππ-上的最小值。