人教版高中数学必修一《三角函数的应用》PPT教学课件

课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 思维辨析 随堂演练
变式训练2单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单
位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为 s=6sin
2����
+
π 6
.
(1)作出函数的图象;
(2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少?
(3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少?
三角函数
5.7 三角函数的应用
-1-
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课标阐释
思维脉络
1.了解三角函数是描述周期变化现象的 重要函数模型.
2.会用三角函数模型解决简单的实际问
题. 3.初步学会使用分析数据或图象特征进 行一些简单的函数拟合.
一二
课前篇 自主预习
一、三角函数的应用
1.简谐运动
(1)对于函数 y=Asin(ωx+φ),其最值、周期分别与哪些参数有关?
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延伸探究 本例(2)中,按照规定,该海滨浴场在每天上午对冲浪爱
好者开放之前,须首先对海滨浴场的各种设施进行全面详细的安全
检查,且检查工作必须在海浪高度低于
1-
3 4
米时进行,试问:海滨浴
场工作人员须在上午的哪个时段对设施进行安全检查?
解:依题意知,应当 y<1- 43时进行安全检查.
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三角函数模型在日常生活中的应用 例1心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别 称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数 120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列 问题: (1)求函数p(t)的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)画出函数p(t)的草图; (4)求出此人的血压在血压计上的读数. 分析:函数解析式已知,可根据周期公式以及周期与频率的关系 解决(1)(2).用“五点作图法”解决(3).由函数解析式或图象得出函数 的最大值以及最小值即得血压在血压计上的读数从而得(4).
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解:(1)因为 ω=160π,代入周期公式 T=2|���π���|,可得 T=1620ππ = 810(min),
所以函数 p(t)的周期为810 min. (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 f=���1���=80(次).
(3)列表:
t
∴A=0.5,b=1.∴y=12cosπ6t+1.
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(2)由题知,当y>1时才可对冲浪爱好者开放,
∴∴122ckoπs-ππ62t+<1π6>t<1.2∴kπc+osπ2π6(kt>∈0Z. ),
即12k-3<t<12k+3(k∈Z).①
∵0≤t≤24,故可令①中k分别为0,1,2,
如果一个简谐振动,其解析式是 y=3sin
����
+
π 6
,结合物理学知识,其
振幅、周期、初相分别是多少?
提示:函数 y=Asin(ωx+φ)的最值与 A 有关,周期与 ω 有关;对于简
谐振动 y=3sin
����
+
π 6
,其振幅等于 3,周期是 2,初相为π6.
一二
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(2)填空 在y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)(A>0,ω>0)中,各参数的物理意义.
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解:(1)由题图知,A=300.
T=610 −
-
1 300
= 510,
∴ω=2���π��� =100π.
∵
-
1 300
,0
是该函数图象的第一个零点,
∴∴-φ������=������=3-���0���30010=. π3.符合|φ|<π2,
∴I=300sin
三角函数模型在物理中的应用
例2已知表示电流强度I与时间t的函数关系式
I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0).
(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示,试根据图象写
出I=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)为了使 I=Asin(ωt+φ)
������
>
0,������
>
0,|������|
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一二
2.做一做
如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位:米)在某天
从0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式
为
.
解析:设 h 关于 t 的解析式为 h=Asin(ωt+φ), 则有 h(0)=0,即 sin φ=0,
因此可取 φ=0; 又2|���π���|=12,取 ω=π6, 则 故有 所求h=解A析sin式π6t,为又hh=(3-6)=siAnπs6itn. π2=A=-6, 答案:h=-6sinπ6t
)
A.13
,
π 2
,
π 5
B.13,8π,π5
C.-13,8π,π5
D.13,8π,45π
解析:因为
A=13,ω=14,所以周期
T=
2π
1
=8π,故振幅为13,初相
φ=π5.
4
答案:B
一二
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2.三角函数能够模拟现实中的许多周期现象,你能举出一些这样 的例子吗?
提示:物理中的匀速圆周运动、简谐振动、交变电流、海洋潮汐 和水车问题等都是日常生活中的一些周期现象.
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变式训练1某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图所示, 且满足y=Asin(ωt+φ)+b(ω>0,φ<0).
(1)根据图中数据求函数解析式; (2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个 高峰?
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<
π 2
中
t
在任意一段 1
100
秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值-A,则正整数ω
的最小值是多少?
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分析:对于(1),由于解析式的类型已经确定,只需根据图象确定参 数A,ω,φ的值即可.其中A可由最大值与最小值确定,ω可由周期确 定,φ可通过特殊点的坐标,解方程求得.对于(2),可利用正弦型函数 的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解.
得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.
∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时的时间可供
冲浪爱好者运动,即上午9:00至下午15:00.
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反思感悟 处理数据拟合和预测问题的几个步骤: (1)根据原始数据,绘出散点图; (2)通过散点图,作出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合 曲线; (3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式; (4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便 为决策和管理提供依据.
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解:(1)由图象可知 ymax=900,ymin=700,
且 A+b=ymax,-A+b=ymin,
∴A=������max2-������min = 9002-700=100, b∴将=ω(���7���m=,9aπ6x0+.20���)���m看in作=8函00数,且的T第=二12个=2���特π��� ,殊点应有π6×7+φ=π2.
振幅
周期 频率 相位
A
T=2ω������
f=T1
=
ω 2������
ωx+φ
它是简谐振动的物体离开平衡位置的 最大距离 它是物体往复运动一次所需要的时间
它是单位时间内往复运动的次数 其中 φ 为初相
一二
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(3)做一做
简谐振动 y=13sin
������ 4
+
π 5
的振幅、周期、初相分别为(
(2)5 s内的路程=位移=5A=5×20=100 cm.
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错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
提示:振子以O为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距20 cm,说
明振子离开平衡位置的最大值和最小值点相距20 cm,即振幅的2倍
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数据拟合三角函数模型问题 例3已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:米)是时间t(0≤t≤24,单 位:时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据.
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 (1)根据以上数据,求函数y=f(t)的函数解析式; (2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据 (1)的结论,判断一天内上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间 可供冲浪爱好者进行运动? 分析:作出散点图→判断形状构建模型→求参数
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解:(1)由表中数据描出各点,并把这些点用平滑的曲线连接起来
(如图),由图知,可设f(t)=Acos ωt+b,并且周期T=12,
∴ω=2���π���
=
2π 12
=
π6.
由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5;
由 t=3,y=1.0,得 b=1.0.
0
1
1
3
1
320
160
320
80
p(t)
115
140
115
90
115
描点、连线并向左右扩展得到函数 p(t)的简图如图所示:
(4)由图可知此人的收缩压为 140 mmHg,舒张压为 90 mmHg.
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反思感悟 在日常生活中呈周期变化的现象,可利用三角函数模 型y=Asin(ωx+φ)+b描述其变化规律,并结合各参数的实际意义解决 相关问题.
100����
+
π 3
(t≥0).
(2)问题等价于 T≤1010,即2���π��� ≤ 1010,
∴ω≥200π.
∴正整数 ω 的最小值为 629.
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反思感悟 三角函数在物理中的应用 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交流电电 流、电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最 多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和 表示方法.
3.填空 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用 来研究很多问题,在刻画周期规律、预测未来方面发挥重要作用.
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一二
二、应用三角函数模型解决问题的一般程序 1.填空 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题, 通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函 数模型,解决问题的一般程序如下: (1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系. (2)建模,分析题目周期性,选择适当的三角函数模型. (3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. (4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.
∴φ=-23π.
因此所求的函数解析式为 y=100sin
π 6
������-
2π 3
+800.
(2)由图可知,每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰,
又������
2
=
122=6.
∴从 7 月 1 日开始,每隔 6 天,种群数量就出现一个低谷或一个高峰.
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不能正确理解简谐运动的过程致误 典例 弹簧振子以点O为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距 20 cm,某时刻振子处在点B,经0.5 s振子首次达到点C.求: (1)振动的振幅、周期和频率; (2)振子在5 s内通过的路程及这时位移的大小. 错解(1)因为B,C相距20 cm, 所以振幅A=20 cm. 因为从点B经0.5 s振子首次达到点C, 所以周期 T=0.5 s,频率 f=���1���=2.
由12cosπ6t+1<1- 43,
可得 cosπ6t<- 23.
因为
0≤t≤24,所以56π
<
π6t<76π
或
17π 6
<
π6t<196π,
解得 5<t<7 或 17<t<19,
因为是在上午进行检查,所以应该在上午的 5 时至 7 时这一时间段
进行安全检查.
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(4)单摆来回摆动一次需多长时间?
解:(1)利用“五点法”可作出其图象,如图. (2)因为当 t=0 时,s=6sinπ6=3, 所以此时离开平衡位置 3 cm.
(3)离开平衡位置 6 cm.
(4)因为 T=22ππ=1,所以单摆来回摆动一次所需的时间为 1 s.
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