高中数学选修内容知识点归纳

选修之1常用逻辑用语一、命题及其关系1.命题（1）用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．（2）对于“若p，则q”形式的例题，p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.2.四种命题原命题：若p，则q .逆命题：若q，则p .（2）如果q成立时，p一定成立，即q⇒p，则称p是q的必要条件；（3）如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件.三、简单的逻辑联结词1.联结词及记号逻辑联结词记号意义且p∧q p且q或p∨q p或q⌝非p非p（2）全称命题“对M中任意一个x，有p (x)成立”可用符号简记为∀∈，x M p x,()读作“对任意x属于M，有p (x)成立”.2.存在量词（1）短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题．注：常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等.（2）特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为∃∈，,()x M p x读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”.3.含有一个量词的命题的否定（1）全称命题:,().p x M p x∀∈否定:,().⌝∃∈⌝p x M p x（2）特称命题:,().∃∈p x M p x否定:,().⌝∀∈⌝p x M p x选修之2圆锥曲线一、椭圆1.定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2.标准方程（1）焦点在x轴上：22221 x ya b+=.二、双曲线1.定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2.标准方程（1）焦点在x轴上：22221 x ya b-=.（2）焦点在y轴上：22221 y xa b-=.说明：注意双曲线中c为a，b，c中的最大数，c2=a2+b2.性质 焦点在x 轴 焦点在y 轴 范围 x ≤－a 或x ≥a y ≤－a 或y ≥a对称性 关于x 轴、y 轴成轴对称， 关于原点成中心对称.顶点 A 1(－a , 0)，A 2(a , 0)A 1(0 , －B )，A 2(0 , b )渐近线 b y x a=±a y x b=±离心率c e a=c e a=（3）开口向上：x 2=2py . （4）开口向下：x 2=－2py . 性质 开口向左 开口向右 开口向上 开口向下 范围 x ≥0 x ≤0 y ≥0 y ≤0 对称性 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 O (0 , 0) O (0 , 0) O (0 , 0) O (0 , 0) 离心率 e =1e =1e =1e =1焦点 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p (0,)2p -准线方程2p x =-2p x =2p y =-2p y =四、直线与圆锥曲线的位置关系1.交点（1）将直线与圆锥曲线的方程联立得到方程组，则方程组的解就是交点的坐标.（2）消掉一个未知数后可得关于另一个未知数的一元二次方程，设此方程的判别式为Δ，则有相交⇔方程有两不同解⇔Δ>0；相切⇔方程有两相同解⇔Δ＝0；相离⇔方程无实数解⇔Δ＜0.2.弦长公式P＝{M | p (M)}；（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f (x , y)=0；（4）化方程f (x ,y)=0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．注：化简前后方程的解集一般是相同的，步骤（5）可省略不写.如果有的点其坐标满足求出的方程，但该点不在方程的曲线上，一定要注意排除．步骤（2）有时也可省略.3.求轨迹方程的常用方法（1）标准方程法：如圆、椭圆、抛物线等都有标准方程，如能知道轨迹是何种曲线则可套用标准方程.（2）待定系数法：有时标准方程中的参数不易直接计算求得，则可用待定系数法，即列方程（组）求之.（3）代入法：若一个动点P与一条已知曲线f (x , y)=0上的点Q有联系，则可先找出P (x , y )，Q (x 1 , y 1)的坐标之间的关系1112(,),(,),x x y y x y ϕϕ=⎧⎨=⎩然后代入f (x 1 , y 1)=0即可求出P 的轨迹方程f (φ1(x ,y ) , φ2(x ,y ))=0.选修之3 推理与证明一、推 理1.合情推理(1)由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．称为归纳推理(简称归纳)．(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．类比推理是由特殊到特征的推理.要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2.分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法.3.反证法假没原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.4.数学归纳法(理科)证明一个与正整数n有关的例题，可按下面步骤进行：1°(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立；2°(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.选修之4复数1.复数的概念（1）虚数单位：i2=－1.（2）形如a+b i的数叫复数，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部．（3）复数a+b i当且仅当b=0为实数，当且仅当b≠0时为虚数，当且仅当a=0，b≠0时为纯虚数，当且仅当a=b=0时为0．2.复数相等的条件a+b i=c+d i a=c，且b=d .复数一般不能比较大小，当且仅当两个复数都是实数时才能比较大小.3.复数的模及共扼复数数加法、乘法满足实数运算的所有运算律.实数的整数指数幂的运算性质在复数集中仍然成立．注：在复数集中，①分数指数幂的运算性质不再成立；②中学阶段不研究复数的开方；③一般地，|a|2≠a2.选修之5 统计案例一、回归分析1.线性回归分析（1）函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．（2）线性回归分析：方法是画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R 2越接近于1，表示回归的效果越好．如果对某组数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析，也可以通过比较几个R 2，选择R 2大的模型作为这组数据的模型．说明：r 只能用于线性模型，R 2则可用于任一种模型. 对线性回归模型来说，22=R r .二、独立性检验1.基本概念（1）对于性别变量，其取值为男和女两种．这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．（2）假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{}11x ,y 和{}12y ,y 其样本频数列联表称为2×2列联表：y1 y2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d（3）构造随机变量()()()()()()22+++-=++++a b c d ad bc K ,a b c d a c b d利用K 2的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，这种方法称为如：如果k ＞7.879，就有99.5％的把握认为“X 与Y 有关系”.选修之6 导数及其应用一、变化率与导数1.变化率 式子2121()()f x f x x x --叫做函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率. 记Δ x =x 2－x 1，Δ y =f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx .2.导数定义函数y = f (x )在x =x 0处的瞬时变化率0lim .x yx∆→∆∆ 称为函数y = f (x )在x = x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x = x 0，即000(+)()'()lim.x f x x f x f x x∆→∆-=∆（3）(sin x )′=cos x （4）(cos x )′=－sin x （5）(ax )′=ax ln a （6）(ex )′=ex（7）1(log )'ln a x x a =（8）1(ln )'x x=2.求导法则 （1）[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ) （2）[f (x )·g (x ) ]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x )（3）f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x ) ]2 （4）[Cf (x ) ]′=Cf ′(x )（C 为常数） 3.复合函数的导数（理科）（1）复合函数：对于两个函数y = f (u )和u = g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝ f (u )和u = g (x )的复合函数，记作y = f (g (x ))．（2）复合函数求导法则：'''x u x y y u =⋅即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．三、导数的应用1.单调性与导数（1）在某个区间(a , b )内，如果f ′(x )≥0，且f ′(x )=0仅在一些孤立点上成立，那么函数y =f (x )在(a , b )内单调递增；如果f ′(x )≤0，且f ′(x )=0仅在一些孤立点上成立，那么函数y =f (x )在(a , b )内单调递减.（2）用导数单调区间：①求f ′(x )；②解不等式f ′(x )≥0，可得f (x )的单调递增区间，解不等式f ′(x )≤0，可得f (x )的单调递减区间（注意定义域）.注意：上述定理的逆命题不成立. （3）求函数的极值的方法求函数y = f (x )在区间[a , b ]上的最值的步骤如下： ①解方程f ′(x )=0；②当f ′(x 0)=0时，如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．（4）求函数的最值的方法①求函数y = f (x )在(a , b )内的极值；②将函数y = f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．四、定积分（理科）1.定积分的概念函数f (x )在区间[a , b ]上连续，用分点a =x 0<x 1＜…<x i －1<x i ＜…<x n =b将区间[a , b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1 , x i ]上任取一点ξi (i =1，2，…，n )，作和式11()(),nni i i i b af x f n ξξ==-∆=∑∑当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分，记作()d ba f x x ⎰，即1()d lim (),nbi n ai b af x x f n ξ→∞=-=∑⎰这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a , b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．由y = f (x )，x =a ，x =b 和x 轴围成的曲边梯形的面积为()d .baS f x x =⎰注：对于稍复杂些的图形的面积，可通过向x 轴作垂线，转化为求几个曲边梯形的面积的和或差.（2）求变速直线运动的路程位移：()d ba s v t t =⎰路程：()d bas v t t =⎰，其中v (t )表示速率.（3）变力作功()d baW F x x =⎰，其中F (x )表示变力.选修之7 空间向量与立体几何（理科）一、空间向量及其运算空间向量的有关概念及运算与平面向量形式上完全相同，只是由平面拓展到空间.下面仅列举空间向量特有的内容.（1）平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.（2）向量共面的条件：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x , y )，使p =xa +yb .112233222222123123cos ,a b a b a b a a a b b b ⋅<>==++++二、立体几何中的向量方法1.用向量解决立体几何问题的一般步骤（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义． 2.用向量解决的几类立体几何问题 （1）证明平行或垂直①线线平行：证明直线的方向向量平行. ②线线垂直：证明直线的方向向量垂直.③线面平行：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. ④线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量平行. ⑤面面平行：证明两平面的法向量平行. ⑥面面垂直：证明两平面的法向量垂直. （2）计算距离①点到平面的距离：设v 是平面α的法向量，P 为α外一点，A 为α内任一点，P 到平③二面角：求两平面法向量的平角θ，二面角的大小可能是θ，也可能是180°－θ，可结合图形或其他条件确定.选修之8排列组合与二项式定理（理科）一、计数原理1.加法原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2.乘法原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，（3）排列数的计算()()()21=--+=-L m n n!A n n n m n m .123==⋅⋅L m n A n!n .0!＝1 2.组合（1）从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．（2）从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号mn C 表示．（3）组合数的计算()()()()121---+===-L mmn nm n n n n n m A n!C A m!m!n m !. （4）组合数的性质①-=m n mn n C C . ②11-+=+m m m n n n C C C .注：排列与的区别：排列有顺序，组合无顺序. 一种简便的判定方法是，任取一种情况，交换其中两个元素，如果变成了另一种情况，则是排列，如果仍是同一种情况或变成了一种不可能的情况，则是组合.两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．（3）各二项式系数的和．012+++++=L L k m nn n n n C C C C .注：二项式系数指的是0n C ，1n C ，L ，nn C ，而某一项的系数包含其他常数，要注意二者的区别.选修之9 随机变量及其分布（理科）一、离散型随机变量及其分布1.基本概念（1）随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.（2）所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 2.分布列（1）若离散型随机变量X 可能取的不同值为 x 1，x 2，…，x i ，…,x n ，X 取每一个值x i (i =1，2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，以表格的形式表示如下：（1）定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB ) = P (A ) P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）性质：如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立. 3.独立重复试验与二项分布（1）在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.（2）在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1),0,1,2,,.k kn k n P X k C p p k n -==-=⋅⋅⋅n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n , p )，并称p 为成功概率．三、离散型随机变量的均值与方差1.均值X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则称EX = x 1 p 1＋x 2 p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．（2）几个重要结论 ①E (aX +b )=aEx +b .四、正态分布（1）如果对于任何实数a <b ，随机变量X 满足,()()d baP a X b x x μσϕ<≤=⎰，则称X 的分布为正态分布．记作N (μ , σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ~N (μ , σ2)．（2）正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x = μ对称；③曲线在x = μ处达到峰值2σπ；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越瘦高，总体分布越集中；σ越大，曲线越矮胖，总体分布越分散.（3）3σ原则P (μ－σ < X ≤ μ+σ)=0.6826， P (μ－2σ < X ≤ μ+2σ)=0.9554，。