高中数学《平面的基本性质》教案
§1.2.1平面的基本性质
一、教学目标: 1、知识与技能
(1)借助生活中的实物,学生对平面产生感性的认识; (2)掌握平面的表示法,认识水平放置的直观图; (3)掌握平面的基本性质及作用; (4)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法
通过师生的共同讨论,学生经历平面的感性认识。 3、情感与价值
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点
重点:(1)平面的概念及表示;
(2)平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点:平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具
(1)学法:学生通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,师生共同讨论等,从而较好地完成本节课的教学目标。
(2)教学用具:投影仪、投影片、正(长)方形模型、三角板 四、授课类型:新授课 五、教学过程
(一)创设引入情景
生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印象。你们能举出更多例子吗? 平面的含义是什么呢? (二)建立模型 1、平面含义
以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示
在平面几何中,怎样画直线?一条直线平移就得到了一个平面。我们通常把一个“水平
放置的平面画成一个平行四边形,锐角画成450
,且横边画成邻边的2倍长”。(如图):
平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。
如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画(打出投影片)
D C B A α β β
平面内有无数个点,平面可以看成点的集合。若 点A 在平面α内,则记作:A ∈α;若点B 在平面α外, 则记作:B ?α。
2.1-4 3、平面的基本性质
把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌面上,用事实引导学生归纳出以下公理
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内。 符号表示为
A ∈L
B ∈L => L α A ∈α B ∈α
说明:公理1可以用来判断直线是否在平面内。 教师用正(长)方形模型,让学生理解两个平面的交线的含义,从而归纳出公理2: 公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。
符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L
说明:公理2作用:判定两个平面是否相交的依据 生活中,我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的
平板仪等等……,从而引导学生归纳出公理3:
公理3:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A
∈α、B ∈α、
C ∈α。
说明:一是确定平面;二是可用其证明点、线共面问题
公理3的三个推论:
推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 符号语言:A l ??有且只有一个平面α,使A ∈α,l α?.
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.符号语言:a b A =? 有且只有一个平面α,使a α?,b α?.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
符号语言:a ∥b ?有且只有一个平面α,使a α?,b α?.推论1~3的图形语言如下图所示:
说明:对于公理3的三个推论,需注意:①公理3的三个推论均是确定平面的依据;②关注“不在同一直线上”这个条件与条件“直线与直线外一点”、“两相交直线”、“两平行直线”的联系!
(三)解释应用
例1经过同一条直线上的3个点的平面( )
·B
·A
α
L
A
· α C · B
·
A · α P · α L
β ·B
A .有且只有1个
B .有且只有3个
C .有无数个
D .只有 0个
解:答案C
例2已知:A ∈l ,B ∈l ,C ∈l ,D ?l .求证:直线AD ,BD ,CD 共面. 解:因为D ?l ,所以D 与l 可以确定平面α(推论1). 又因为A ∈l ,所以A ∈α,
又D ∈α,所以AD α?(公理1).同理,BD α?,CD α?,所以AD ,BD ,CD 在同一平面α内.
即直线AD ,BD ,CD 共面.
例3求证:两两平行的三直线如果都与另一条直线相交,那么这四条直线共面. 注意:这种纯文字题需要写已知、求证,然后方可去证明.
已知:a ∥b ∥c ,a d = A ,b d = B ,c d = C .求证:a 、b 、c 、d
证明:因为a ∥b ,由推论3可知直线a ,b 可确定一个平面,设为α.因为a d = A ,b d = B ,所以A ∈a ,B ∈b . 由公理1可知:d α?.
因为b ∥c ,由推论3可知直线b ,c 可确定一个平面,设为β. 同理可知:d β?.
因为平面α和平面β都包含直线b 和d ,且b d = B ,所以由推论2可知:经过两条相交直线,有且只有一个平面.所以平面α和平面β重合. 所以a 、b 、c 、d 共面.
例4每两条都相交且不共点的四条直线,必在同一平面内.(例3拓展) 证明:设直线a b c d 、、、两两相交且不共点. a d 、相交,a d ∴、共面.
b d 、相交,b d ∴、共面. a b 、相交,a b ∴、共面.
a b d ∴、、共面.
同理b c d 、、共面,a c d 、、共面.a b c d ∴、、、在同一平面内.
(四)巩固练习:
(1)为什么许多自行车后轮旁装一只撑脚?
(2)用符号表示“点A 在直线l 上,l 在平面α外”正确的是 ( B ) A.,A l l α∈? B.,A l l α∈? C.,A l l α?? D.,A l l α??
(3)下列叙述中,正确的是 ( D ) A.因为P∈α,Q∈α,所以PQ∈α B.因为P∈α,Q∈β,所以α∩β=PQ
C.因为AB?α,C∈AB,D∈AB,所以CD∈α D.因为AB?α,AB?β,所以α∩β=AB .
(4)下列说法正确的个数是 ( ) ①空间三点确定一个平面;
②平面α与平面β若有公共点, 就不止一个;
③因为平面型斜屋面不与地面相交, 所以屋面所在的平面不与地面相交.
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
(5)空间四点A、B、C、D共面而不共线, 那么这四点中 ( ) A.必有三点共线 B.必有三点不共线
C.至少有三点共线
D.不可能有三点共线
(6)若A∈α, B ∈α, A∈l , B∈l , 那么直线l与平面α有______个公共点
(五)本课时小结:(师生互动,共同归纳)
(1)本节课我们学习了哪些知识内容?
(2)三个公理的内容及作用是什么?
(六)作业布置
(1)复习本节课内容;
(2)预习:同一平面内的两条直线有几种位置关系?
P T
(3)
272,4,6.
教师资格证试讲高中数学教案二
教案二 (人教版必修一第一单元课时2:集合间的基本关系) 一、题目:集合间的基本关系 二、教学时间:45分钟 三、授课人数: 四、课时:1课时 五、课型: 六、教学目标: 1.知识与技能 (1)了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. (2)理解子集、真子集的概念. (3)能使用venn图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 让学生通过观察身边的实例,发现集合间的基本关系,体验其现实意义. 3. 情感.态度与价值观 (1)树立数形结合的思想. (2)体会类比对发现新结论的作用. 七、教学重点、难点: 重点:集合间的包含与相等关系,子集与真子集的概念. 难点:难点是属于关系与包含关系的区别. 八、学法与教学用具: 1.学法:让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论,发现集合间的基本关系. 2.学用具:投影仪. 九、教学思路: (—)创设情景,揭示课题 问题l:实数有相等.大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢? 让学生自由发言,教师不要急于做出判断。而是继续引导学生;欲知谁正确,让我们一起来观察.研探. (二)研探新知 投影问题2:观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系了吗? (1){1,2,3},{1,2,3,4,5} ==; A B
(2)设A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B 为这个班学生的全体组成的集合; (3)设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形 (4){2,4,6},{6,4,2}E F ==. 组织学生充分讨论.交流,使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系,从而类比得出两个集合之间的关系: ①一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为B 的子集. 记作:()A B B A ??或 读作:A 含于B(或B 包含A). ②如果两个集合所含的元素完全相同,那么我们称这两个集合相等. 教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处,强化学生对符号所表示意义的理解。并指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn 图。如图l 和图2分别是表示问题2中实例1和实例4的Venn 图. 图1 图2 投影问题3:与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比,在集合中,你能得出什么结论? 教师引导学生通过类比,思考得出结论: 若,,A B B A A B ??=且则. 问题4:请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例,并用Venn 图表示. 学生主动发言,教师给予评价. (三)学生自主学习,阅读理解 然后教师引导学生阅读教材第7页中的相关内容,并思考回答下例问题: (1)集合A 是集合B 的真子集的含义是什么?什么叫空集? (2)集合A 是集合B 的真子集与集合A 是集合B 的子集之间有什么区别? (3)0,{0}与?三者之间有什么关系? (4)包含关系{}a A ?与属于关系a A ∈正义有什么区别?试结合实例作出解释. (5)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗? B E (F )
新人教版高中数学算法与程序框图教案必修三
第一章算法初步 本章教材分析 算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学的一个重要方面.学生学习算法的应用,目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题.通过算法的学习,对完善数学的思想,激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力,增强进行实践的能力等,都有很大的帮助. 本章主要内容:算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉的算法入手,通过研究程序框图与算法案例,使算法得到充分的应用,同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切关系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性,也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶,激发学生的学习热情. 在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活,从生活中学习数学,使数学在社会生活中得到应用和提高,让学生体会到数学是有用的,从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点. 本章还是数学思想方法的载体,学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”,从而提高自己数学能力.因此应从三个方面把握本章: (1)知识间的联系; (2)数学思想方法; (3)认知规律. 本章教学时间约需12课时,具体分配如下(仅供参考):
§1.1 算法与程序框图 §1.1.1 算法的概念 一、教材分析 算法在中学数学课程中是一个新的概念,但没有一个精确化的定义,教科书只对它作了如下描述:“在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念,教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发,归纳出了二元一次方程组的求解步骤,这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中,应从学生非常熟悉的例子引出算法,再通过例题加以巩固. 二、教学目标 1、知识与技能: (1)了解算法的含义,体会算法的思想。 (2)能够用自然语言叙述算法。 (3)掌握正确的算法应满足的要求。 (4)会写出解线性方程(组)的算法。 (5)会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。 (6)会应用Scilab求解方程组。 2、过程与方法: 通过求解二元一次方程组,体会解方程的一般性步骤,从而得到一个解二元一次方程组的步骤,这些步骤就是算法,不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同,同一个问题也可能有多个算法,能模仿求解二元一次方程组的步骤,写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。 3、情感态度与价值观: 通过本节的学习,使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解,明确算法的要求,认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具,进一步提高探索、认识世界的能力。 三、重点难点 教学重点:算法的含义及应用. 教学难点:写出解决一类问题的算法. 四、课时安排 1课时 五、教学设计 (一)导入新课 思路1(情境导入) 一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可容纳一个人和两只动物,没有人在的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请同学们写出解决问题的步骤,解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法. 思路2(情境导入) 大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧,宋丹丹说了一个笑话,把大象装进冰箱总共分几步? 答案:分三步,第一步:把冰箱门打开;第二步:把大象装进去;第三步:把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法,今天我们开始学习算法的概念. 思路3(直接导入) 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础.在现代社会里,计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始. (二)推进新课、新知探究、提出问题 (1)解二元一次方程组有几种方法?
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
高中数学教师资格面试函数的单调性教案
高中数学教师资格面试函数的单调性教案 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
高中数学教师资格面试《函数的单调性》教案: 函数的单调性 课题:函数的单调性 课时:一课时 课型:新授课 一、教学目标 1.知识与技能: (1)从形与数两方面理解单调性的概念。 (2)绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。 2.过程与方法: (1)通过对函数单调性定义的探究,提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高推理论证能力。 (2)通过对函数单调性定义的探究,体验数形结合思想方法。 (3)经历观察发现、抽象概括,自主建构单调性概念的过程,体会从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程。
3.情感态度价值观: 通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;感受用辩证的观点思考问题。 二、教学重点 函数单调性的概念形成和初步运用。 三、教学难点 函数单调性的概念形成。 四、教学关键 通过定义及数形结合的思想,理解函数的单调性。 五、教学过程 (一)创设情境,导入新课 教师活动:分别作出函数y=2x,y=-2x和y=x2+1的图象,并且观察函数变化规律,描述前两个图象后,明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。然后提出两个问题:问题一:二次函数是增函数还是减函数问题二:能否用自己的理解说说什么是增函数,什么是减函数 学生活动:观察图象,利用初中的函数增减性质进行描述,y=2x的图象自变量x 在实数集变化时,y随x增大而增大,y=-2x的图象自变量x在实数集变化时,y随x增