高中数学《平面的基本性质》教案

§1.2.1平面的基本性质
一、教学目标： 1、知识与技能
（1）借助生活中的实物，学生对平面产生感性的认识； （2）掌握平面的表示法，认识水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法
通过师生的共同讨论，学生经历平面的感性认识。

3、情感与价值
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。

二、教学重点、难点
重点：（1）平面的概念及表示；
（2）平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

三、学法与教学用具
（1）学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。

（2）教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板 四、授课类型：新授课 五、教学过程
（一）创设引入情景
生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象。

你们能举出更多例子吗？ 平面的含义是什么呢？ （二）建立模型 1、平面含义
以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。

2、平面的画法及表示
在平面几何中，怎样画直线？一条直线平移就得到了一个平面。

我们通常把一个“水平
放置的平面画成一个平行四边形，锐角画成450
，且横边画成邻边的2倍长”。

（如图）：
平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）
D C B A α β β
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。

若 点A 在平面α内，则记作：A ∈α；若点B 在平面α外， 则记作：B ∉α。

2.1-4 3、平面的基本性质
把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。

符号表示为
A ∈L
B ∈L => L α A ∈α B ∈α
说明：公理1可以用来判断直线是否在平面内。

教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义，从而归纳出公理2： 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L
说明：公理2作用：判定两个平面是否相交的依据 生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的
平板仪等等……，从而引导学生归纳出公理3：
公理3：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

说明：一是确定平面；二是可用其证明点、线共面问题
公理3的三个推论：
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 符号语言：A l ∉⇒有且只有一个平面α，使A ∈α，l α⊂．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．符号语言：a b A =⇒有且只有一个平面α，使a α⊂，b α⊂．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
符号语言：a ∥b ⇒有且只有一个平面α，使a α⊂，b α⊂．推论1～3的图形语言如下图所示：
说明：对于公理3的三个推论，需注意：①公理3的三个推论均是确定平面的依据；②关注“不在同一直线上”这个条件与条件“直线与直线外一点”、“两相交直线”、“两平行直线”的联系！
（三）解释应用
例1经过同一条直线上的3个点的平面（ ）
·B
·A
α
L
A
· α C · B
·
A · α P · α L
β ·B
αA
B
C l
α
a
b
α
a
b
A ．有且只有1个
B ．有且只有3个
C ．有无数个
D ．只有 0个
解：答案C
例2已知：A ∈l ，B ∈l ，C ∈l ，D ∉l ．求证：直线AD ，BD ，CD 共面． 解：因为D ∉l ，所以D 与l 可以确定平面α（推论1）． 又因为A ∈l ，所以A ∈α，
又D ∈α，所以AD α⊂（公理1）．同理，BD α⊂，CD α⊂，所以AD ，BD ，CD 在同一平面α内．
即直线AD ，BD ，CD 共面．
例3求证：两两平行的三直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面． 注意：这种纯文字题需要写已知、求证，然后方可去证明．
已知：a ∥b ∥c ，a d = A ，b d = B ，c d = C ．求证：a 、b 、c 、d
证明：因为a ∥b ，由推论3可知直线a ，b 可确定一个平面，设为α．因为a d = A ，b d = B ，所以A ∈a ，B ∈b ． 由公理1可知：d α⊂．
因为b ∥c ，由推论3可知直线b ，c 可确定一个平面，设为β． 同理可知：d β⊂．
因为平面α和平面β都包含直线b 和d ，且b d = B ，所以由推论2可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面．所以平面α和平面β重合． 所以a 、b 、c 、d 共面．
例4每两条都相交且不共点的四条直线，必在同一平面内．（例3拓展） 证明：设直线a b c d 、、、两两相交且不共点．
a d 、相交，a d ∴、共面．
b d 、相交，b d ∴、共面． a b 、相交，a b ∴、共面． a b d ∴、、共面．
同理b c d 、、共面，a c d 、、共面．a b c d ∴、、、在同一平面内．
(四)巩固练习：
（1）为什么许多自行车后轮旁装一只撑脚？
（2）用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”正确的是 （ Ｂ ） Ａ．,A l l α∈∉ Ｂ．,A l l α∈⊄ Ｃ．,A l l α⊂⊄ Ｄ．,A l l α⊂∉
（3）下列叙述中，正确的是 （ Ｄ ） Ａ．因为Ｐ∈α，Ｑ∈α，所以ＰＱ∈α Ｂ．因为Ｐ∈α,Ｑ∈β，所以α∩β＝ＰＱ
Ｃ．因为ＡＢ⊂α,Ｃ∈ＡＢ，Ｄ∈ＡＢ，所以ＣＤ∈α Ｄ．因为ＡＢ⊂α,ＡＢ⊂β，所以α∩β=ＡＢ . （4）下列说法正确的个数是 ( ) ①空间三点确定一个平面;
②平面α与平面β若有公共点, 就不止一个;
③因为平面型斜屋面不与地面相交, 所以屋面所在的平面不与地面相交.
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
（5）空间四点A、B、C、D共面而不共线, 那么这四点中( )
A.必有三点共线
B.必有三点不共线
C.至少有三点共线
D.不可能有三点共线
（6）若A∈α, B ∈α, A∈l , B∈l , 那么直线l与平面α有______个公共点（五）本课时小结：（师生互动，共同归纳）
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？
（2）三个公理的内容及作用是什么？
（六）作业布置
（1）复习本节课内容；
（2）预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系？
P T
（3）
272,4,6.。