第七章单相交流电路

i 20 2 sin(314t 30) A
二、纯电阻电路中的电功率

1. 瞬时功率 电压瞬时值和电流瞬时值的乘积叫作瞬时功率。
设
uR U Rm sin t
i I m sin t
则瞬时功率
p＝uRi＝URmsint×Imsint＝URmImsin2t
瞬时功率曲线
2. 有功功率
３.
无功功率
把纯电感电路中瞬时功率的最大值定义为无功 功率，用以表示电感元件与电源交换能量的规 模。 纯电感电路的无功功率用QL表示，单位为乏 （var）。
数学表达式
U QL U L I I X L (Var) XL
2
2 L

例7-2-2 有一电阻可忽略，L＝0.7 H的电感线圈接在 u＝220sin(314t＋30) V的交流电源上。 求：（1）线圈的感抗XL； （2）电流有效值I及其瞬时值表达式； （3）电路的无功功率QL。

二、电压与电流的关系 频率关系―同频。
相位关系―电压uL超前电流i 90，即u＝i＋90
数量关系―UＬ=I XL 三、功率 有功功率：P=0
U (Var) 无功功率： QL U L I I X L XL
2
2 L
7-3 纯电容电路
（a）电路图
（b）波形图 图7-3-1 纯电容电路
解：（1）XL＝L＝314×0.7≈220（） （2）I＝UL/XL=220/220 ＝1（A）
i u 90 30 90 60
0 0 0
0
i 2 sin(314t 600 ) A
（3）QL＝ULI＝220×1＝220（var）
纯电感电路—小结
一、感抗
XL = UL / I = ωL = 2πf L
频率关系――同频
相位关系――u＝i–90
UC 数量关系――Ｉ= X C
2 U 2 C (Var) 无功功率― QC U C I I X C XC

三、电功率
有功功率―PC=0
7-4 电阻、电感和电容串联电路
（a）电路图 （b）相量图 图7-4-1 R-L-C串联电路
一、电压与电流的关系
Im I
C
得
UC 1 1 XC () I C 2fC
作用
容抗XC是用来表示电容元件对交流电所起阻碍作 用大小的物理量。其作用与“电阻”相同，均为 阻碍电流通过。
特点
容抗（ ）与频率f 成反比 当f=0时，XC为无穷大，说明直流电流不能通过 电容器。
XC 1 2fC
2. 电压与电流的频率与相位关系

（2） I＝
U XC
＝
220 （A） 1.375 160
i＝u＋90＝30＋90＝120
i＝1.375sin(314t＋120) A
（3）QC＝UCI＝220×1.375≈303（var）
纯电容电路—小结

一、容抗
1 1 UC XC = ＝ (Ω) C 2fC I

二、电压和电流的关系
3.
无功功率 把纯电容电路中瞬时功率的最大值定义为 无功功率，用以表示电容器与电源交换能 量的规模。 纯电容电路的无功功率用 QC 表示，单位为 乏（var）。 无功功率的数学表达式为 2
UC QC U C I I X C (Var) XC
2
例7-3-2 将C＝20 F的电容器接在u＝220sin(314t＋30) V 的交流电源上。求：（1）电容器的容抗XC。 （2）电流有效值I及瞬时值表达式。 （3）电路的无功功率QC。 1 1 160 ( ) 解：（1）XC＝ ＝ 6 C 314 20 10
（a）呈感性 （b）呈容性 （c）呈阻性 图7-4-3 R-L-C串联电路的性质
二、R-L-C串联电路的功率
R-L-C 串联电路中，由于既有储能元件（电感和 电容），又有耗能元件（电阻），所以既有有功 功率，又有无功功率。
1.
有功功率 有功功率是电阻上消耗的功率
因 uC U Cm sin(t 0 )
i I m sin(t 0 900 )
则在纯电容电路中 (1)电压uC与电流i是相同频率的正弦量。 (2) 电压Uc滞后于电流i 90，即u＝i–90
3、电压与电流的数量关系
由
UC XC＝ I
UC 知 I＝ 或 UC＝IXC XC
即 U Lm U L L
Im I
1、电感元件的感抗
定义
电感元件两端电压的有效值UL与流过其电流的有效 值I的比值，称为电感元件的电抗，简称感抗，用符 号XL表示，单位是。
公式
UL XL L 2fL() I
作用
感抗(XL)是一个表示电感元件对交流电起阻碍作用大 小的物理量。其作用与“电阻”相同，均为阻碍电流 通过。
设
i 2 I sin t
则
uR 2U R sin t U R IR
uL 2U L sin(t 900 ) U L IXL
uC 2UC sin(t 900 ) UC IXC
U U U U R L C
相量图
2 U UR (U L U C ) 2 I R 2 ( X L X C ) 2
U＝IZ
UR＝IR，UL＝IXL，UC＝IXC
3. 电流与电压的相位关系
（1）电路呈感性：
当XL >XC，电路呈感性，电路中总电压超 前电流 角，其相量图如图7-4-3（a）所示。 （2）电路呈容性： 当XL < XC ，电路呈容性，电路中总电压滞 后电流 角，其相量图如图7-4-3（b）所示。 （3）电路呈阻性： 当XL ＝ XC ，电路呈阻性，电路中总电压 与电流同相，其相量图如图7-4-3（c）所示。
有功功率等于最大瞬时功率的一半，即
有功功率：
U 1 2 P U Rm I m U R I I R 2 R
2 R
电阻在交流电一个周期内平均消耗的功率。
某电烙铁工作时的电阻R＝1100 ， 其两端电压为u＝311sin314t V。 求：（1）电流有效值I，电流的瞬时值表达式； （2）电烙铁的有功功率P。
U R2 (X L X C )2 I
电压三角形
1. 负载的阻抗
定义
负载两端的电压有效值与流过负载的电流有效 值之比，称为负载的阻抗，单位是欧姆（）。 作用 阻抗表示电路的负载对电流产生的阻碍作用的 大小。
公式
U 2 2 2 2 Z R (X L XC ) R X I
3、相位关系―――相同； u 二、有功功率
2
i
2 R
U P URI I R R
7-2 纯电感电路
（a）电路图
（b）波形图 图7-2-1 纯电感电路
（c）矢量图
一 、电压和电流的关系
设流过电感元件的电流 i I m sin(t 0 )
则电感元件两端的电压为
u L U Lm sin(t 0 900 ) LI m sin(t 0 900 )
电流为
Hale Waihona Puke Baidu
U 10 I 10 ( A ) XC 1
二、纯电容电路中的电功率
1.
瞬时功率 p＝uCi=UCmsint×Imsin(t＋90) t＝UCIsin2t
图7-3-2 纯电容电路的瞬时功率波形图
2.
有功功率 由图7-3-2可知，瞬时功率在一个周期内的 平均值为零，说明 纯电容电路的有功功率为零（PC＝0）。 这表明电容器在交流电路中不消耗电能， 但在电容器与电源间却进行着能量交换。
《电工技术》
第七章 单相交流电路
7-1 纯电阻电路
（a）电路图
（b）波形图 图7-1-1 纯电阻电路
（c）相量图
一、电压与电流的关系
设加在电阻两端的电压为 u R U Rm sin(t 0 )
则通过电阻的电流为
U Rm sin(t 0 ) R
i I m sin(t 0 )
Z＝ R 2 X 2
表明：
Z、R、X三者在数量关系上 组 成了阻抗三角形 。 总电压和电流的相位差 可由电 压三角形或 阻抗三角形计算出 来，角 也称为“阻抗角”。
U L UC X L XC arctan = arctan UR R
阻抗三角形
2. 电压与电流的数量关系
由
U Z 得 I
（c）相量图
一、电压和电流的关系
设
uC U Cm sin(t 0 )
则
i I m sin(t 0 900 ) CU Cm sin(t 0 900 )
即
U Cm U C 1 Im I C
1、电容元件的容抗
定义 电容器两端电压的有效值UC与流过电容器的电 流的有效值I的比值，称为电容元件的电抗， 简称容抗，用符号XC表示，单位是。 公式 U Cm U C 1 由
X＝XL－XC，称电路的“电抗”，单位为欧姆 （）。
在电感和电容串联的电路中，感抗和容抗的作用是 互相抵消的，它们的差值就叫“电抗”。
U R2 (X L X C )2 I
由
得
特点
R-L-C 串联负载的阻抗， 综合了电路的电阻、电感 和电容对交流电流的阻碍 作用。其大小只决定于电 路负载的参数（R、L、C） 和电源的频率f，而与电压 及电流的大小无关。
在纯电容电路中，电压、电流有效值和容抗三 者的数量关系符合欧姆定律。
例7-3-1
某电容量C＝1/100 F的电容器接 在U＝10 V，f＝50 Hz的交流电源上。
求电容器的容抗XC及通过电容器的电流I。
解：容抗为
XC＝
1 1 1 () 2 πfC 100 π 1 100 π
例7-1-2
解： U
Um 2

311 2
220（V）
U 220 I 0.2 （A） R 1 100
i 0.2 2 sin 314t（A）
P＝UI＝220×0.2＝44（W）
纯电阻电路------ 小结
一、电压与电流的关系
UR 1、数量关系――― I R
2、频率关系―――相同。
U 220 0.93 I＝ （A） X L 235.6
二、纯电感电路中的电功率
1.
瞬时功率 p＝u i＝ULmsin(t＋90)×Imsint＝ULIsin2t
L
图7-2-2 瞬时功率曲线
2.
有功功率 由图7-2-2可知，瞬时功率p在一个周期内的 平均值为零，即 纯电感电路的有功功率为零（PL＝0）。 这说明电感在交流电路中不消耗电能，但电 感与电源间却进行着能量交换。
3、电压与电流的数量关系
由XL=UL/I
得 UL＝IXL
UL I＝ 或 XL
可见 在纯电感交流电路中，电压、电流有效值和 感抗三者的数量关系符合欧姆定律。
例7-2-1
将电压有效值为U＝220 V，f＝50 Hz的正弦 交流电接到的L＝0.75 H的纯电感上，试计 算电感器的感抗XL及流过它的电流I。 解： XL＝2fL＝2×3.14×50×0.75＝235.6（）
U Rm U R R 即： Im I
1. 电压与电流的数量关系
U Rm U R 由： R Im I

U R 得： I R
2. 电压与电流的频率与相位关系
由： u R U Rm sin(t 0 )
U Rm i I m sin(t 0 ) sin(t 0 ) R
表明在纯电阻电路中：
（1）电压与电流的频率相同。 （2）电压与电流的相位相同。（ u i ）
例7-1-1
一个R＝11 的电阻，接到 u 220 2 sin(314t＋30) V的电源上。
求：流过电阻的电流瞬时值表达式，并画出电
压、电流的矢量图。
U 220 20 A 解： I R 11
特点 感抗与电源的频率成正比。(XL＝L＝2fL)
当f=0时，XL=0，说明电感线圈对直流电流无阻碍作用。
2、电压与电流的频率与相位关系
因 i I m sin(t 0 )
uL U Lm sin(t 0 900 )
则在纯电感电路中
(1)电压uL与电流i是相同频率的正弦量。 (2) 电压uL超前于电流i 90，即u＝i＋90