复变函数期末试卷()

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复变函数考卷及答案

复变函数考卷及答案

浙江海洋学院2012-2013学年第2学期《复变函数》课程期末考试卷(A )(适用班级: B11数学 考试时间:120分钟1. 设1cos +isin33z ππ=+,则arg z =( B )A. 3π-B.6πC. 3π D. 23π2. 设C 为正向圆周1z =,sin 2nC zdz i z π=⎰,则整数n 为( D ) A. 1- B. 0 C. 1D. 23. 设2()32f z z iz =+-, 则)(z f 的零点个数为( C )A. 0B. 1C. 2D. 3 4. 2sin i =( C )A. 1()e e i --B. 1()e e i -+C. 1()e e i --D. 1e e -+5. z =∞是函数1()1zze f z e-=+的( D ) A. 可去奇点 B. 一阶极点 C. 本质奇点 D. 非孤立奇点二. 判断题(4×2分=8分)(1)如果(,), (,)u x y v x y 在区域D 内都可导, 则函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内可导.(2)因为1()f z z =在圆域112z -<内解析, 所以)(z f 是该圆域内的整函数.(3)设12(), ()f z f z 在区域D 内解析, {}n z D ⊂,且12()(), (1,2,)n n f z f z n == ,则1()f z 与2()f z 在区域D 内恒等.(4)方程52590z z ++=在单位圆1z <内无根.三.填空题(4⨯4分=16分)1.复数z =的三角表示式为 c o s s i n 33i ππ+ .2. 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数,若(,)u x y y =,则()f z '= i - .3. 若在幂级数n n n c z ∞=∑中,1lim34n n nc i c +→∞=+,则该幂级数的收敛半径为__15__________.4. 2401Re zz e s z=-=____43-___________. 四. 如果函数()i f z u v =+在区域D 内解析,证明()i f z 在区域D 内也解析. (7分)证明:因为函数()i f z u v =+在区域D 内解析, 所以, ,u v 在D 内具有连续的偏导数, 且, x y y x u v u v ==-. 而()i f z v iu =-,所以, ,v u -在D 内具有连续的偏导数, 且(), ()x y y x v u v u =-=--. 满足C-R 方程. 即()i f z 在区域D 内也解析.五. 计算积分(5分⨯4=20分)1.22sin4d 1z zz z π=-⎰解:22221111sinsinsinsinsin44444d 2(Re Re )2()11122z z z z z z z z zzz i s s i z z z zzπππππππ===-==-=+=+---⎰i =2.1522433d (1)(2)z z z z z =++⎰解:1515224322433d 2Re (1)(2)(1)(2)z z z z z i s z z z z π==∞=-++++⎰152224300224311()12Re 2Re (1)(21)(()1)(()2)t t t t i s i s t t t t tππ==⋅===++++2i π 3. 设C 为正向圆周2z =, sin3()Cf z d zπζζζ=-⎰, 求(1)f '解:sin3()2sin , (<2)3Cf z d i z z z πζπζπζ==-⎰所以()2cos, (<2)33f z i z z πππ'=⋅即2(1)3f i π'=4. 求积分e d zz z Γ⎰ 的值, 其中Γ为正向单位圆周: 1z =.从而证明cos 0e cos(sin )d πθθθπ=⎰.解:0e d 22z zz z i e i zππ=Γ=⋅=⎰ .1z =的参数方程为, -<i z e θπθπ=<,cos sin cos e e d e (cos(sin )sin(sin ))z i i i z ie d i i d z e θθππθθθππθθθθ+Γ--==+⎰⎰⎰c o s c o se (c o s (s i n )e s i n (si n ))i d d ππθθππθθθθ--=-⎰⎰所以cos e (cos(sin )2d πθπθθπ-=⎰从而cos 0e cos(sin )d πθθθπ=⎰.六.将函数21()1()(2)2f z z z z =--在圆环102z <<内展为洛朗级数. (8分)22212101121112111()()(2)11323212()(2)122221 (2)32 n n n n f z z z z z z z z z z z∞+-+===⋅-=⋅-⋅+------=-∑ 七.(15分) (1)求i 22e ()(1)(4)zf z z z =++在上半z 平面的所有孤立奇点;并说明它们的类型;(2)求()f z 在上半平面内各个孤立奇点的留数; (3)利用以上结果计算积分22cos d (1)(4)xI x x x +∞=++⎰解: (1), 2z i z i ==各为一阶极点(2) 12Re ()()(4)6iz z i z i e e s f z z i z i -====++, 2222Re ()(2)(1)12iz z i z i e e s f z z i z i -====++- (3)222d 2(Re ()Re ())(1)(4)ixz i z i e x i s f z s f z x x π+∞-∞===+++⎰12122()(2)6126e e i e e i i ππ----=+=--. 所以 22cos d (1)(4)x I x x x +∞=++⎰12(2)12e e π--=-. 八.(6分)设函数()f z 在z R <内解析,令()max () (0<r<R)z rM r f z ==. 试证:()M r 在区间[]0,R 上是一个上升函数,且若存在1r 及212 (0,)r r r R ≤<,使得12()()M r M r =,则()f z ≡常数.证明: 由最大模原理, 显然()M r 在区间[]0,R 上是一个上升函数. 若存在12r r <,使得12()()M r M r =,即在2z r <内存在点1z ,使得12()()f z M r =,即在内点取得最大模,由最大模原理,()f z ≡常数.。

复变函数_期末试卷及答案

复变函数_期末试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.下列复数中,位于第三象限的复数是( )A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2.下列等式中,不成立的等式是( ) 3.下列命题中,正确..的是( ) A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4.关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是( ) A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5.下列函数中,在整个复平面上解析的函数是( ) 6.在复平面上,下列命题中,正确..的是( )A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =7.在下列复数中,使得ze i =成立的是( ) 8.已知31z i =+,则下列正确的是( ) 9.积分||342z dz z =-⎰的值为( )A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10.设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于( ) A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11.以下关于级数的命题不正确的是( )A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内,幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上,条件收敛12.0=z 是函数(1cos )ze z z -的( )A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13.1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为( )A. 0.1BC.12D. 12-14.设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于( )A .2πB .2πiC .0D .-2π 15.已知()[()]F f t ω=F ,则下列命题正确的是( ) A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 16. 设121,1z i z =-=,求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导,则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰,则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=,则映射在01z i =+处的旋转角为____________,伸缩率为____________. 20. 设函数2()sin f t t t =,则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题(本大题共4小题,每题7分,共28分) 21.设C 为从原点到3-4i 的直线段,计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域,(2)求).(z f ' 24.已知22(,)4u x y x y x =-+,求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+,并使(0)3f =。

复变函数期末考试题大全(东北师大)

复变函数期末考试题大全(东北师大)

____________________________________________________________________________________________________一、填空题(每小题2分)1、复数i 212--的指数形式是2、函数w =z1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是3、若01=+z e ,则z =4、()ii +1=5、积分()⎰+--+idz z 2222=6、积分⎰==1sin 21z dz zzi π 7、幂级数()∑∞=+01n n nz i 的收敛半径R=8、0=z 是函数ze z 111--的 奇点 9、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题(每小题2分) 1、设α为任意实数,则α1=( )A 无意义B 等于1C 是复数其实部等于1D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是( )A i i 2<B 零的辐角是零C 仅存在一个数z,使得z z -=1D iz z i=13、下列命题正确的是( ) A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是( )Ai 2321- B 223i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是( )A z1sin 1B z 1cosC zctg e 1D Lnz6、下列积分之值不等于0的是( )A ⎰=-123z z dzB ⎰=-121z z dzC⎰=++1242z z z dzD ⎰=1cos z z dz7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为( )A ()∑∞=+-02121n n nn z (z <1) B ()∑∞=+-01221n n n n z(z <1)C ()∑∞=++-012121n n nn z (z <1) D ()∑∞=-0221n n n n z(z <1)8、幂级数n n n z 201)1(∑∞=+-在1<z 内的和函数是( )A211z - B 211z + C 112-z D 211z+- 9、设a i ≠,C :i z -=1,则()=-⎰dz i a zz C2cos ( )A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是( )A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a za az e w i β____________________________________________________________________________________________________C )1(>--=a a z a z ew i βD )1(<--=a az az e w i β 三、判断题(每小题2分) 1、( )对任何复数z,22z z =成立2、( )若a 是()z f 和()z g 的一个奇点,则a 也是()()z g z f +的奇点3、( )方程01237=+-z z 的根全在圆环21<<z 内4、( )z=∞是函数()=z f ()251z z-的三阶极点5、( )解析函数的零点是孤立的四、计算题(每小题6分)1、已知())(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在z S 上解析,求a,b,c,d 的值2、计算积分⎰=--22)1(25z dz z z z 3、将函数()11+-=z z z f 在1=z 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围4、计算实积分I=⎰∞+++0222)4)(1(dx x x x5、求211)(zz f +=在指定圆环+∞<-<i z 2内的洛朗展式 6、求将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =,使符合条件()0=i L ,()0>'i L五、证明题(每小题7分)1、设(1)函数)(z f 在区域D 内解析(2)在某一点D z ∈0有0)(0)(=z fn ,( ,2,1=n )证明:)(z f 在D 内必为常数2、证明方程015=++n z z e 在单位圆1<z 内有n 个根一填空题(每小题2分,视答题情况可酌情给1分,共20分) 1 i eπ654-,2 21=u , 3 (2k+1)i π,(k=0, 2,1±±), 4 ⎪⎭⎫⎝⎛+-ππk i e e 242ln (k=0, 2,1±±)5 3i -,6 0 ,7 21 , 8 可去, 9 2e , 10 z 1-二 单选题(每小题2分,共20分)1 D2 D3 A4 A5 B6 B7 C8 D9 A 10 A 三 判断题(每小题2分,共10分)1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ∨ 5 ⨯ 四 计算题(每小题6分,共36分)1解:22by axy x u ++=,22y dxy cx v ++= 3 分 y x v u = y dx ay x 22+=+x y v u -= dy cx by ax --=+22 …5分解得:1,2-====c b d a 6 分2 解:被积函数在圆周的2=z 内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1 2 分2)1(25)(Re 02-=--===z z z z z f s2225)(Re 1211=='⎪⎭⎫⎝⎛-====z z z z z z z f s 分5⎰=--22)1(25z dz z z z =π2i(-2+2)=0 6 分____________________________________________________________________________________________________3 解:()11+-=z z z f = ()nn nz z z 1211211111210-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=+-∑∞= …4分 (1-z <2) …6分 4 解: 被积函数为偶函数在上半z 平面有两个一阶极点i,2i …1分I=⎰∞+∞-++dx x x x )4)(1(21222…2分 =[])(Re )(Re 2212z sf z f s i iz i z ==+π …3分=]iz iz i z z z z i z z i 22222)2)(1()4)((==+++⎢⎣⎡++π …5分=6π…6分 5 解:))((1)(i z i z z f +-=…1分=iz i i z -+-211)(12…3分=∑∞=---02)()2()1()(1n nnni z i i z +∞<-<i z 2 …6分 6 解: w =L(i)=kiz iz +- 2 分 2)(2i z ikw +=' …3分0)(=>'='i L w i k =∴ …4分 iz iz iw +-= …6分 五 证明题(每小题7分,共14分)1 证明:设)(:0D k R z z k ⊂<- )(z f 在0z 解析 由泰勒定理 ∑∞=-=000)()(!)()(n n n z z n z fz f )(D k z ⊂∈ …2分 由题设 0)(0)(=z fn ∴)()(0z f z f ≡ ,)(D k z ⊂∈ …4分由唯一性定理 )()(0z f z f ≡ )(D z ∈ …7分 2 证明:令n z z f 5)(= ,1)(+=z e z ϕ 2 分 (1)()z f 及()z ϕ在1≤z 解析 (2)1=z 上,()55==n z z f()1111+=+≤+≤+=e e e e z zz z ϕ<5 4 分故在1=z 上()()z z f ϕ>,由儒歇定理在1=z 内()()()n z z f N z z z f N ====+)1,()1,(ϕ …7分一、填空题(每小题2分)1、()()323sin 3cos 5sin 5cos ϕϕϕϕi i -+的指数形式是 2、i i = 3、若0<r<1,则积分()⎰==+rz dz z 1ln4、若v 是u 的共轭调和函数,那么v 的共轭调和函数是5、设0=z 为函数)(z f =33sin z z -的m 阶零点,则m =6、设a z =为函数()z f 的n 阶极点,那么()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=z f z f s a z Re = 7、幂级数∑∞=0!n nn z 的收敛半径R=____________________________________________________________________________________________________8、0=z 是函数zz 1sin 5的 奇点9、方程01237=+-z z 的根全在圆环 内 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w二、单选题(每小题2分)1、若函数()z f 在区域D 内解析,则函数()z f 在区域D 内( )A 在有限个点可导B 存在任意阶导数C 在无穷多个点可导D 存在有限个点不可导 2、使22z z =成立的复数是( )A 不存在B 唯一的C 纯虚数D 实数 3、⎰==-22)1(cos z dz z z( )A -i πsin1B i πsin1C -2i πsin1D 2i πsin1 4、根式3i 的值之一是( )A223i - B 223i -- C i D i - 5、π=z 是π-z zsin 的( )A 可去奇点B 一阶极点C 一阶零点D 本质奇点6、函数()()()411++=z z z z f ,在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个,则m=( )A 1B 2C 3D 4 7、下列函数是解析函数的为( )A xyi y x 222--B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +-+-D 33iy x + 8、在下列函数中,()0Re 0==z f s z 的是( )A ()21z e z f z -=B ()zz z z f 1sin -=C ()z z z z f cos sin +=D ()ze zf z 111--= 9、设a i ≠,C :i z -=1,则()=-⎰dz i a zz C2cos ( )A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是( )A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a z a az e w i β C )1(>--=a a z a z e w i βD )1(<--=a az az e w i β三、判断题(每小题2分)1、( )幂级数∑∞=0n n z 在z <1内一致收敛2、( )z=∞是函数2cos 1z z-的可去奇点 3、( )在柯西积分公式中,如果D a ∉,即a 在D 之外,其它条件不变,则积分()=-⎰dz az z f i C π210,()D z ∈ 4、( )函数()=z f zctge1在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数5、( )解析函数的零点是孤立的 四、计算题(每小题6分)1、计算积分()⎰+-Cdz ix y x 2,C :i →1+i 的直线段____________________________________________________________________________________________________2、求函数()()()211+-=z z zz f 在所有孤立奇点(包括∞)处的留数3、将函数()iz i z z f --+=11在i z =的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域 4、计算积分()⎰+Cz z dz122 , C:1222+=+y y x , 5、计算实积分I=⎰+πθθ20cos a d )1(>a6、求将单位圆1<z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =使符合条件021=⎪⎭⎫⎝⎛L ,()11-=L五、证明题(每小题7分)1、设函数()z f 在区域D 内解析,证明:函数()z f i 也在D 内解析2、证明:在0=z 解析,且满足的n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,nn f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛( 2,1=n )的函数()z f 不存在一填空题(每小题2分,视答题情况可酌情给1分,共20分) 1 ϕ19i e ,2 ππk e22--(k=0,±…) , 3 0, 4 u -, 5 96 n - ,7 ∞+ ,8 本质,9 21<<z , 10 z 1-二 单选题(每小题2分,共20分)1 B2 D3 C4 D5 A6 C7 C8 D9 A 10 A 三 判断题(每小题2分,共10分)1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ⨯ 5 ⨯ 四 计算题(每小题6分,共36分)1解:C 的参数方程为: z=i+t, 01≤≤t dz=dt 3 分 ()⎰+-Cdz ix y x 2=()⎰+-121dt it t =321i+-6 分 2解: 1=z 为()z f 一阶极点 1 分1-=z 为()z f 二阶极点 2 分()411Re 11-='⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=z z z z z f s 3 分()()411Re 121=+===z z z zz f s 5 分 ()0Re =∞=z f s z …6分3 解:()iz i z z f --+=11=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--i i z i i z 211211 …2分 = ()()()10211+∞=--+--∑n nn n i i z i z …5分 (0<i z -<2) …6分 4 解:在C 内()z f 有一个二阶极点z =0和一个一阶极点i z = …1分()011Re 020='⎪⎭⎫⎝⎛+===z z z z f s …3分()ii z z z f s iz iz 21)(1Re 2-=+=== …5分 所以原式=π2i π-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-i 210 …6分5 解:令θi e z =____________________________________________________________________________________________________iz dzz z a I z ⎰=-++=1121 …1分=[][]⎰=-----+--122)1()1(2z a a z a a z dzi …3分被积函数在1=z 内的有一个 一阶极点12-+-=a a z121)(Re 212-=-+-=a z f sa a z …5分I=121212222-=-a a i iππ …6分6解:2212112121--=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=z z k z z kL w 2 分 ()121212111-=-=--=k kL 所以2=k 4 分 于是所求变换 2122212--=--=z z z z w 6 分 五 证明题(每小题7分,共14分)1 证明: 设f(z)=u (x ,y )+iv (x ,y ))(z f = u (x ,y )-iv (x ,y ))(z f i = v (x ,y )-i u (x ,y ) 2 分 f (z )在D 内解析,x y y x v u v u -==,)(z f i 四个偏导数为 v x ,v y ,-u x ,-u y 4 分比较f (z )的C -R 方程 )(z f i 也满足C-R 方程且四个偏导数在D 内连续 ∴)(z f i 在D 内解析 7 分2 证明:假设在0=z 解析的函数()z f 存在且满足n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛( 2,1=n ) 2 分 点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21=n 21以0=z 为聚点在点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21上,n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛由解析函数的唯一性定理在0=z 的邻域内()z f =z 5 分但在这个邻域内又有n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-矛盾 ∴在0=z 解析的函数()z f 不存在 7 分《复变函数论》试题库梅一A111《复变函数》考试试题(一)1、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.(n 为自然数) 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.____________________________________________________________________________________________________5.幂级数0nn nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d zz f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)二. 填空题. (20分) 1. 设i z-=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________.3. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.____________________________________________________________________________________________________《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数期末考试及答案(珍藏版)

复变函数期末考试及答案(珍藏版)

一、填空题1、设12z =,则||z = 1 ,Argz =2,0,1,3k k ππ-+=± . 2、曲线422=+y x 在映射z1=ω下的象为2214u v +=.(写出象曲线的方程) 3、设(1)(1,2,)4n n ni n n α-+==+ 则lim n n α→∞=i . 4、=Z k k i k ∈+),32sin()32cos(ππ.5、函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的 必要不充分 条件.(填充分必要性)6、若幂级数0n nn c z ∞=∑在12z i =+处收敛,则该级数在2z =处的敛散性为绝对收敛 .7、|2|12zz e dz z -==-⎰22ie π. 8、0=z 是函数5sin )(z z z z f -=的 2 阶极点。

9、若1()sin f z z =,则0Res ()z f z == 1 。

二、计算题1、设C 为连接0到2a π的摆线,(sin ),(1cos )x a y a θθθ=-=-,求积分2(281)C z z dz ++⎰.解:由于函数2281z z ++在整个z 平面上解析,故 2220(281)(281)a C z z dz z z dz π++=++⎰⎰3223320216(4)|16233a a z z z a a a ππππ=++=++2、判别级数∑∞=1n nn i 是否绝对收敛,是否收敛.解:因为:∑∑∞=∞==111||n n n n n i 发散,故级数 ∑∞=1n n n i 不绝对收敛.由于∑∑∑∞=∞=∞=+==11212sin 2cos )(n n n in n n n i n n e n i πππ ∑∑∞=∞=+=112s i n 2c o s n n n n i n n ππ 而∑∞=12cos n n n π,∑∞=12sin n n n π都为收敛级数,所以原级数收敛, 故原级数条件收敛。

(完整版)《复变函数》有答案(期末考试)试卷

(完整版)《复变函数》有答案(期末考试)试卷

浙江师范大学《复变函数》(期末考试)试卷(2004-2005学年第一学期)考试类别: 考试 使用学生: 初阳学院数学专业02级 考试时间:150分钟 出卷时间2004年12月25日 说明:考生应将全部答案都写在答题纸上,否则作无效处理.一、(18%)填空题 1、在01z <<内,函数1(2)(1)z z z -+的罗朗展式是 ① .2、解析分支1z-在1z =处的留数是 ② . 3、 问是否存在解析函数()f z 使111()()2122f f n n n==- ? ③ (只需回答是或否).4、若解析函数()f z 的实部是(cos sin )x e x y y y -,则f()z = ④ .5、已知分式线性函数()f z 把上半平面变为单位圆,则()f z = ⑤ .6、21|2|2d (1)(2)z z zz z -=--⎰的值是 ⑥ . 二、(24%)计算题1、若以上半虚轴为割线,确定Ln z 的一个解析分支ln z .并且分别求出ln w z =在上半虚轴的左沿和右沿,当z i =时的值.2、计算积分0d I (1)xx xα+∞=+⎰,(α为常数,且01α<<). 三、(36%)解答题1、求2Ln 1z z -的解析分支和孤立奇点,并讨论这些奇点的类型.2、在z 平面的上半平面上,从原点起,沿虚轴作一条长为3的割线,试作一个单叶解析函数,把在上述半平面去掉割线而得到的开区域保形映射成w 平面的上半平面(不包括实轴).3、试作一个解析函数,它把上半平面Im 0z>保形双射成w 平面的半带域Re 22w ππ-<<,Im 0w > .四、(22%)证明题1、若1231z z z ===,1230z z z ++=,则122313z z z z z z -=-=- .2、若在1z <内,()f z 解析,并且1()1f z z≤-, 则()(0)(1)!n f e n <+ .浙江师范大学《复变函数》试题答案与评分参考05.1.17一、填空题(每空格3分,共18分)① 101(1)112362n n n n z z ∞+=⎛⎫--+- ⎪⎝⎭∑ ②1± ③否④e i zz c + ⑤ i 000e ()(Im 0)z z z z z θ->- ⑥ 2πi -二、(24%)计算题1、若以上半虚轴为割线,确定Ln z 的一个解析分支ln z .并且分别求出ln w z =在上半虚轴的左沿和右沿,当z i =时的值.解 Ln ln ||iarg 2πi z z z k =++ 3ππarg ,22z k -⎛⎫<<∈⎪⎝⎭¢ (6分) 令ln ln ||iarg 2πi z z z k =++ 3ππ<arg 22z ⎛⎫-< ⎪⎝⎭ (8分)则在上半虚轴的右沿,当i z =时,πln i i 2w ==在上半虚轴的左沿,当i z =时,3ln i πi 2w ==- (12分)2、计算积分0d I (1)xx xα+∞=+⎰,(α为常数,且01α<<). 解因01α<<,故1()(1)F z z z α=+为多值函数,取正实轴为割线且单值解析分支()i arg 11()0arg 2π1||e zf z z z z αα=<<+(4分)(如图)设01r ε<<<<+∞,则2πd ()d (1e )()d ()d (1)rrrrc c c c c c xf z z f z z f z z x x εεεααε+-+--+Γ+Γ+ΓΓ=+++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 由2π|()d |(1)c f z z εαεεε≤-⎰知0lim ()d 0c f z z εε→=⎰ (8分) 由i 12πi i 0ie d 2π|()d |||(1e )e 1rc r r f z z r r r θαθααθθ-=≤+⋅-⎰⎰知lim ()d 0rr c f z z →+∞=⎰故πi 2πi 0d 2πie π(1)1e sin πx x x αααα-+∞-==+-⎰(12分)三、(36%)解答题1、求2Ln 1z z -的解析分支和孤立奇点,并讨论这些奇点的类型.解因0和+∞是支点,故0和+∞不是孤立奇点. 因此,孤立奇点为1-和1,故可取上半虚轴作割线,因此,解析分支()22ln 1ln ||i(2π+arg )11z z k z z z =+--k ∈¢,3πarg 22z π-<< (6分)(1) 当0k =时,1z =是可去奇点 (2) 当0k ≠时,1z =是一阶极点(3) 1z =-是一阶极点 (12分)2、在z 平面的上半平面上,从原点起,沿虚轴作一条长为3的割线,试作一个单叶解析函数,把在上述半平面去掉割线而得到的开区域保形映射成w 平面的上半平面(不包括实轴).解 (1)若区域D 表示在z 平面的上半平面,从原点起沿虚轴去掉一条长为3的割线,则29z ω=+将区域D 变为()ω平面除去正实轴的开区域1D (6分)(2)w =1D 变为w 平面的上半平面Im 0w >因此w = (12分)3、试作一个解析函数,它把上半平面Im 0z>保形双射成w 平面的半带域Re 22w ππ-<<,Im 0w > .解 由多角形映射公式知1zw c c -=+⎰由π(1)2w --=知1π2c =- 因111arcsin πt --==⎰,故由π(1)2w =知πππ22c -= 所以1c = (6分)因此πarcsin 2zw z -==⎰于是arcsin w z =即为所求. (12分)四、(22%)证明题1、若1231z z z ===,1230z z z ++=,则122313z z z z z z -=-=- . 证法1因1230z z z ++=,3||1z =,故22123()||1z z z +=-=即1212()()1z z z z ++=,即12121z z z z +=-(6分)因此121211121222()()3z z z z z z z z z z z z --=--+=即12||z z -=23||z z -=,12||z z -= (11分)证法2 由平行四边形公式 2222131313||||2(||||)z z z z z z ++-=+知,2222131313||2(||||)||z z z z z z -=+-+,而1230z z z ++=, (6分)因此222213132||2(||||)||413z z z z z -=+--=-=,13||z z -,同理23||z z -,12||z z -= (11分) 2、若在1z <内,()f z 解析,并且1()1f z z≤-, 则()(0)(1)!n f e n <+ 证 因()1||1!()(0)d 2πin n n z n n f z f z z+=+=⎰(3分) 故11||1||1!|(0)||d |2π||z (n)n n z n n f z z -+=+≤⎰(6分)11111!n2π2π()n+1nn n n n n +-++≤(8分) 1(1)!1e(1)!nn n n ⎛⎫=++<+ ⎪⎝⎭ (11分)。

复变函数期末试题及答案

复变函数期末试题及答案

复变函数期末试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 若复数 \( z = a + bi \)(其中 \( a, b \) 为实数),则\( \bar{z} \) 表示()A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案:A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \),以下说法正确的是()A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案:A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导,则下列说法中正确的是()A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案:C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数,且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点,则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是()A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 若 \( z = x + yi \),且 \( |z| = 2 \),则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。

答案:42. 设 \( f(z) = z^2 \),则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。

答案:-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析,则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。

复变函数期末考试复习题及答案详解

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题(一)三 . 计算题( 40 分):dz1、|z z 0 | 1 ( z z )n__________. ( n 为自然数)f ( z)12.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z 2 1 ,则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析,则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n,则 nn ______________.Res(ez8.n,0)z________,其中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若zlimf (z) ___是f (z) 的极点,则z z.1. 设( z 1)( z 2) ,求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}内的罗朗展式 .1dz.2.|z| 1cos zf ( z) 3 2 71,其中 C { z :| z |3} ,试求 f '(1 i ).3.d设Czwz 14. 求复数 z 1 的实部与虚部 .四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数, 那么它在 D 内为常数 .2. 试证 :f (z)z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1 的值 .《复变函数》考试试题(二)二. 填空题 . (20 分)1.设z i ,则| z |__,arg z__, z__2.设 f ( z)(x2 2 xy) i (1 sin( x2y2 ), z x iy C,则lim f (z)________.z1idz_________. (n为自然数)3.|z z0 |1 ( z z )n4.幂级数nz n的收敛半径为 __________ .n05.若 z0是 f(z) 的 m 阶零点且 m>0,则 z0是f ' ( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.18.设 f ( z)1z2,则 f ( z) 的孤立奇点有_________.9.函数 f (z)| z |的不解析点之集为________.10.Res( z41,1)____ . z三.计算题 . (40 分)1.求函数sin(2z3)的幂级数展开式 .2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i 处的值.计算积分: Ii1)单位圆(| z |1)3.| z | dz,积分路径为(i的右半圆 .sin zdzz22( z)4.求2.四. 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z) 在区域 D 内解析,试证:f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z)在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题(三)二. 填空题 .(20 分)11.设 f ( z),则f(z)的定义域为___________.z212.函数 e z的周期为_________.3.若 z nn 2 i (1 1 )n,则 lim z n __________.1 nn n4. sin 2 z cos 2z___________.dz5.|z z 0 | 1 ( z z )n_________. ( n 为自然数)6.幂级数nx n的收敛半径为 __________.n 07.设f (z)1,则 f ( z ) 的孤立奇点有 __________.z218. 设ez1,则 z___ .9.若z 0 是 f (z) 的极点,则 limf ( z) ___ .z z 010.Res( e z,0)____.z n三. 计算题 . (40分)11.将函数 f ( z)z 2e z在圆环域 0z内展为 Laurent 级数 .n!n2. 试求幂级数nnz的收敛半径 .n3. 算下列积分:e zdz,其中C 是| z| 1.Cz 2 (z29)4. 求z 9 2z 6z28z 2 0 在 | z |<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2.设f (z) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及 M ,使得当| z|R 时| f (z) |M | z |n ,证明f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

复变函数期末试卷(含答案)

复变函数期末试卷(含答案)

解:令,则
因在处连续,故在处连续。
又,故在处不可导。
16.设在区域内解析,且。试证在内必为常数。
证:因在内解析,故
已知等式两边分别对求偏导,并用上式得:
同理可得,故均为常数,进一步有在内必为常数。
17.计算积分,其中为不过和的任一简单闭曲线。
解:①均在的外部,在所围的闭区域上解析,故
②在内部,在外部,由高阶导数公式
《复变函数》期末试卷
1、 单项选择题(每题2分,共20分)
1. 以下命题正确的是
A.
B.零的辐角为零
C.
D.对任意复数有 [ A ]
2.若,则
A.
B.
C.
D.
[D ]
3.设在区域内解析,则
A.
B.
C.
D.
[B]
4.下列说法正确的是
A.如果存在,则在处解析
B.如果和在区域内可微,则在区域内解析
C.如果在区域内处处可导,则在区域内解析
[ A]
B.二级零点
C.三级零点 10.设则 A.
D.四级零点 B.
[C ] [C]
C.
D.
[D ]
Hale Waihona Puke 二、填空题(每空2分,共10分)
11.
12.设为包围的任一简单闭曲线,为整数,则 或0
13.的主值等于
14.函数在处的主要部分为

在处的主要部分为
0
2、 解答题
15.讨论函数在原点的连续性与可导性。
D.如果在区域内解析,则在区域内一定不解析
5.下列等式中不正确的是
A. (为整数) B.
C. (为整数)
D. [ B ]
6.设在复平面内处处解析(其中为常数),则

(完整版)《复变函数》期末试卷及答案(A卷)(可编辑修改word版)

(完整版)《复变函数》期末试卷及答案(A卷)(可编辑修改word版)

a - b1- abn (z -1) n (z -1) XXXX 学院 2016—2017 学年度第一学期期末考试复变函数 试卷7.幂级数∑(-1)n n =0z n2nn !的和函数是()学号和姓名务必正确清 A. e -zz B. e2- zC. e2dzD. sin z楚填写。

因填写错误或不清 8. 设C 是正向圆周 z = 2 ,则⎰C z2=()楚造成不良后果的,均由本 A. 0 B. - 2i C. iD. 2i人负责;如故意涂改、乱写 的,考试成绩 答一、单项选择题(本大题共 10 小题,每题 3 分,共 30 9. 设函数 f (z ) 在0 < z - z 0 < R (0 < R ≤ +∞) 内解析,那么 z 0 是 f (z ) 的极点的充要条件是()A. lim f (z ) = a ( a 为复常数)B. lim f (z ) = ∞视为无效。

题分,请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项,z → z 0z → z 0请勿1.Re(i z ) =并将其前面的字母填在题中括号内。

)()10. 10. C. lim f (z ) 不存在D.以上都对z → z 0ln z 在 z = 1处的泰勒级数展开式为 ()超 A. - Re(i z )B. Im(i z )∞(z -1)n +1∞ (z -1)n A. ∑(-1)n, z -1 < 1B. ∑(-1)n, z -1 < 1过C. - Im z此 D. Im zn =1∞n +1n +1n =1 n∞n2. 函数 f (z ) =z 2在复平面上()C. ∑(-1) , z -1 < 1D. ∑(-1) , z -1 < 1密 封 A.处处不连续B.处处连续,处处不可导线 C.处处连续,仅在点 z = 0 处可导D.处处连续,仅在点 z = 0 处解析,3. 设复数 a 与b 有且仅有一个模为 1,则的值()n =0n +1 n =0n 否 则 A.大于 1 B.等于 1 C.小于 1D.无穷大视 4. 设 z = x + i y ,f (z ) = - y + i x ,则 f '(z ) = ()二、填空题(本大题共 5 小题,每题 3 分,共 15 分)为A.1+ i无B. isin zC. -1D. 011. z = 1+ 2i 的5. 设C 是正向圆周 z = 1 , ⎰C dz = 2i ,则整数n 等于 ()zn A. -1B. 0e z -1C.1D. 26. z = 0 是 f (z ) =的()z2A.1阶极点B. 2 阶极点C.可去奇点D.本性奇点∞系别专业姓名班级学号(最后两位)总分 题号 一 二 三四统分人 题分 30203030复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人⎰18.求在映射 w = z 2 下, z _ _ _ _ 平面上的直线 __ _z = (2 + i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.12.设 z = (2 - 3i)(-2 + i) ,则arg z =.13.在复平面上,函数 f (z ) = x 2 - y 2 - x + i(2xy - y 2 ) 在直线上可导.cos 5z.19.求e z 在 z = 0 处的泰勒展开式.14. 设C 是正向圆周 z = 1 ,则 ⎰Cdz = .z∞ ∞∞15. 若级数∑ zn 收敛,而级数∑ zn 发散,则称复级数∑ zn 为.n =1n =1n =1三、计算题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分)16. 利用柯西-黎曼条件讨论函数 f (z ) = z 的解析性.20.计算积分1+iz 2dz .2017 + n i 17.判断数列 z n = n +1的收敛性. 若收敛,求出其极限.三、证明题(本大题共1 小题,每小题15 分,共15 分)nn !⎩ 21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z ) 在圆C : z - z 0 = R 所围的区域内解析,且在C因此在任何点(x , y ) 处, ∂u ≠∂v,所以 f (z ) 在复平面内处处不解析。

复变函数期末考试试题

复变函数期末考试试题

复变函数期末考试试题一、单项选择题(每题3分,共30分)1. 若函数f(z)在z=a处解析,则以下哪个选项是正确的?A. f(z)在z=a的邻域内解析B. f(z)在z=a的任何邻域内解析C. f(z)在z=a处可导D. f(z)在z=a处连续2. 以下哪个函数是解析的?A. |z|B. z^2C. Re(z)D. Im(z)3. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则以下哪个条件是f(z)解析的必要条件?A. u_x=v_yB. u_y=-v_xC. u_x=v_y且u_y=-v_xD. u_x=v_y或u_y=-v_x4. 以下哪个函数是整函数?A. e^zB. sin(z)C. z/(z-1)D. 1/z5. 若f(z)和g(z)都是解析函数,则以下哪个函数也是解析的?A. f(z)+g(z)B. f(z)-g(z)C. f(z)g(z)D. f(z)/g(z)(g(z)≠0)6. 以下哪个函数是调和函数?A. e^zB. z^2C. Re(z)D. Im(z)7. 若f(z)是解析函数,则以下哪个函数也是解析的?A. f(z)的实部B. f(z)的虚部C. f(z)的共轭复数D. f(z)的逆函数8. 若f(z)在z=a处有极点,则以下哪个选项是正确的?A. f(z)在z=a处解析B. f(z)在z=a处有界C. f(z)在z=a处无界D. f(z)在z=a处有界且解析9. 若f(z)是解析函数,则以下哪个函数是f(z)的导数?A. u_x+iv_xB. u_x-iv_xC. u_y+iv_yD. u_y-iv_y10. 若f(z)是解析函数,则以下哪个函数是f(z)的积分?A. ∫(u_x+iv_x)dxdyB. ∫(u_x-iv_x)dxdyC. ∫(u_y+iv_y)dxdyD. ∫(u_y-iv_y)dxdy二、填空题(每题4分,共20分)1. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则f(z)的柯西-黎曼方程为________。

(完整版)《复变函数》考试试题与答案各种总结

(完整版)《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f (z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z )在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数。

( ) 3。

若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f (z )在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6。

若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。

( ) 7。

若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f (z)的可去奇点. ( )8。

若函数f (z )在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠。

( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z )在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数。

( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2。

=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________。

5。

幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。

6.若函数f (z )在整个平面上处处解析,则称它是__________。

7。

若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8。

=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数。

9. zz sin 的孤立奇点为________ .10。

复变函数 期末试题及答案

复变函数 期末试题及答案

复变函数期末试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是复变函数的定义?A. 函数表达式包含复数部分和常数部分。

B. 函数的定义域为复数集合。

C. 函数表达式只包含实数。

D. 复变函数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

答案:C2. 设函数 f(z) = z^2 - 2z。

那么 f(z) 在 z = 1 处的导数是多少?A. 0B. -1C. 2D. 4答案:B3. 设函数 f(z) = sin(z)。

则它的周期是多少?A. 2πB. πC. 2D. 1答案:A二、填空题1. 复数的共轭是指实数部分相等,虚数部分______的两个复数。

答案:相反2. 设 z = a + bi 是一个复数,其中 a 和 b 分别表示实部和虚部。

那么实部 a = ______,虚部 b = ______。

答案:a,b三、计算题1. 计算复数 z = 2 + 3i 和 w = -1 - 4i 的和 z + w。

解答:z + w = (2 + 3i) + (-1 - 4i)= 1 - i答案:1 - i2. 计算复数 z = 1 + 2i 和 w = 3 - i 的乘积 z × w。

解答:z × w = (1 + 2i)(3 - i)= 3 + 6i - i - 2i^2= 3 + 5i + 2= 5 + 5i答案:5 + 5i四、问答题1. 复数的解析函数具有什么特点?答:复数的解析函数具有以下特点:- 函数的实部和虚部都是解析函数。

- 函数的导数在定义域内处处存在。

- 函数满足柯西-黎曼方程。

2. 复数在数学和实际应用中有什么作用?答:复数在数学和实际应用中具有广泛的作用,包括但不限于以下几个方面:- 复数可以用于表示电路中的交流电信号。

- 复数可以用于解决数学方程中的平方根问题。

- 复数可以用于描述波的传播和干涉现象。

- 复数可以用于解析几何中的向量运算。

以上为复变函数期末试题及答案,希望能对您有所帮助。

复变函数期末考试题大全

复变函数期末考试题大全

____________________________________________________________________________________________________一、填空题〔每题2分〕1、复数i 212--的指数形式是2、函数w =z1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是3、假设01=+z e ,那么z =4、()ii +1=5、积分()⎰+--+idz z 2222=6、积分⎰==1sin 21z dz zzi π 7、幂级数()∑∞=+01n n nz i 的收敛半径R=8、0=z 是函数ze z 111--的 奇点 9、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单项选择题〔每题2分〕 1、设α为任意实数,那么α1=〔 〕A 无意义B 等于1C 是复数其实部等于1D 是复数其模等于1 2、以下命题正确的选项是〔 〕A i i 2<B 零的辐角是零C 仅存在一个数z,使得z z -=1D iz z i=13、以下命题正确的选项是〔 〕 A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛D 如果v 是u 的共轭调和函数,那么u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是〔 〕Ai 2321- B 223i - C 223i +- D i 2321+- 5、以下函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是〔 〕A z1sin 1B z 1cosC zctg e 1D Lnz6、以下积分之值不等于0的是( )A ⎰=-123z z dzB ⎰=-121z z dzC⎰=++1242z z z dzD ⎰=1cos z z dz7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为〔 〕A ()∑∞=+-02121n n nn z 〔z <1〕 B ()∑∞=+-01221n n n n z〔z <1〕C ()∑∞=++-012121n n nn z 〔z <1〕 D ()∑∞=-0221n n n n z〔z <1〕8、幂级数n n n z 201)1(∑∞=+-在1<z 内的和函数是〔 〕A211z - B 211z + C 112-z D 211z+- 9、设a i ≠,C :i z -=1,那么()=-⎰dz i a zz C2cos 〔 〕A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是〔 〕A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a za az e w i β____________________________________________________________________________________________________C )1(>--=a a z a z ew i βD )1(<--=a az az e w i β 三、判断题〔每题2分〕1、〔 〕对任何复数z,22z z =成立2、〔 〕假设a 是()z f 和()z g 的一个奇点,那么a 也是()()z g z f +的奇点3、〔 〕方程01237=+-z z 的根全在圆环21<<z 内4、〔 〕z=∞是函数()=z f ()251z z-的三阶极点5、〔 〕解析函数的零点是孤立的四、计算题〔每题6分〕1、())(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在z S 上解析,求a,b,c,d 的值2、计算积分⎰=--22)1(25z dz z z z 3、将函数()11+-=z z z f 在1=z 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围4、计算实积分I=⎰∞+++0222)4)(1(dx x x x5、求211)(zz f +=在指定圆环+∞<-<i z 2内的洛朗展式 6、求将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =,使符合条件()0=i L ,()0>'i L五、证明题〔每题7分〕1、设〔1〕函数)(z f 在区域D 内解析〔2〕在某一点D z ∈0有0)(0)(=z fn ,〔 ,2,1=n 〕证明:)(z f 在D 内必为常数2、证明方程015=++n z z e 在单位圆1<z 内有n 个根 一填空题〔每题2分,视答题情况可酌情给1分,共20分〕 1 i eπ654-,2 21=u , 3 (2k+1)i π,(k=0, 2,1±±), 4 ⎪⎭⎫⎝⎛+-ππk i e e 242ln (k=0, 2,1±±)5 3i -,6 0 ,7 21 , 8 可去, 9 2e , 10 z 1-二 单项选择题〔每题2分,共20分〕1 D2 D3 A4 A5 B6 B7 C8 D9 A 10 A 三 判断题〔每题2分,共10分〕1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ∨ 5 ⨯ 四 计算题〔每题6分,共36分〕1解:22by axy x u ++=,22y dxy cx v ++= 3 分 y x v u = y dx ay x 22+=+x y v u -= dy cx by ax --=+22 …5分解得:1,2-====c b d a 6 分2 解:被积函数在圆周的2=z 内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1 2 分2)1(25)(Re 02-=--===z z z z z f s2225)(Re 1211=='⎪⎭⎫⎝⎛-====z z z z z z z f s 分5⎰=--22)1(25z dz z z z =π2i(-2+2)=0 6 分____________________________________________________________________________________________________3 解:()11+-=z z z f = ()nn nz z z 1211211111210-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=+-∑∞= …4分 〔1-z <2〕 …6分 4 解: 被积函数为偶函数在上半z 平面有两个一阶极点i,2i …1分I=⎰∞+∞-++dx x x x )4)(1(21222…2分 =[])(Re )(Re 2212z sf z f s i iz i z ==+π …3分=]iz iz i z z z z i z z i 22222)2)(1()4)((==+++⎢⎣⎡++π …5分=6π…6分 5 解:))((1)(i z i z z f +-=…1分=iz i i z -+-211)(12…3分=∑∞=---02)()2()1()(1n nnni z i i z +∞<-<i z 2 …6分 6 解: w =L(i)=kiz iz +- 2 分 2)(2i z ikw +=' …3分0)(=>'='i L w i k =∴ …4分 iz iz iw +-= …6分 五 证明题〔每题7分,共14分〕1 证明:设)(:0D k R z z k ⊂<- )(z f 在0z 解析 由泰勒定理 ∑∞=-=000)()(!)()(n n n z z n z fz f )(D k z ⊂∈ …2分 由题设 0)(0)(=z fn ∴)()(0z f z f ≡ ,)(D k z ⊂∈ …4分由唯一性定理 )()(0z f z f ≡ )(D z ∈ …7分 2 证明:令n z z f 5)(= ,1)(+=z e z ϕ 2 分 (1〕()z f 及()z ϕ在1≤z 解析 (2〕1=z 上,()55==n z z f()1111+=+≤+≤+=e e e e z zz z ϕ<5 4 分故在1=z 上()()z z f ϕ>,由儒歇定理在1=z 内()()()n z z f N z z z f N ====+)1,()1,(ϕ …7分一、填空题〔每题2分〕1、()()323sin 3cos 5sin 5cos ϕϕϕϕi i -+的指数形式是 2、i i = 3、假设0<r<1,那么积分()⎰==+rz dz z 1ln4、假设v 是u 的共轭调和函数,那么v 的共轭调和函数是5、设0=z 为函数)(z f =33sin z z -的m 阶零点,那么m =6、设a z =为函数()z f 的n 阶极点,那么()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=z f z f s a z Re = 7、幂级数∑∞=0!n nn z 的收敛半径R=____________________________________________________________________________________________________8、0=z 是函数zz 1sin 5的 奇点9、方程01237=+-z z 的根全在圆环 内 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w二、单项选择题〔每题2分〕1、假设函数()z f 在区域D 内解析,那么函数()z f 在区域D 内〔 〕A 在有限个点可导B 存在任意阶导数C 在无穷多个点可导D 存在有限个点不可导 2、使22z z =成立的复数是〔 〕A 不存在B 唯一的C 纯虚数D 实数 3、⎰==-22)1(cos z dz z z〔 〕A -i πsin1B i πsin1C -2i πsin1D 2i πsin1 4、根式3i 的值之一是〔 〕A223i- B 223i -- C i D i - 5、π=z 是π-z zsin 的〔 〕A 可去奇点B 一阶极点C 一阶零点D 本质奇点6、函数()()()411++=z z z z f ,在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个,那么m=( )A 1B 2C 3D 4 7、以下函数是解析函数的为〔 〕A xyi y x 222--B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +-+-D 33iy x + 8、在以下函数中,()0Re 0==z f s z 的是〔 〕A ()21z e z f z -=B ()zz z z f 1sin -=C ()z z z z f cos sin +=D ()ze zf z 111--= 9、设a i ≠,C :i z -=1,那么()=-⎰dz i a zz C2cos 〔 〕A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是〔 〕A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a z a az e w i β C )1(>--=a a z a z e w i βD )1(<--=a az az e w i β三、判断题〔每题2分〕1、〔 〕幂级数∑∞=0n n z 在z <1内一致收敛2、〔 〕z=∞是函数2cos 1zz-的可去奇点 3、〔 〕在柯西积分公式中,如果D a ∉,即a 在D 之外,其它条件不变,那么积分()=-⎰dz az z f i C π210,()D z ∈ 4、〔 〕函数()=z f zctg e1在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数5、〔 〕解析函数的零点是孤立的 四、计算题〔每题6分〕1、计算积分()⎰+-Cdz ix y x 2,C :i →1+i 的直线段____________________________________________________________________________________________________2、求函数()()()211+-=z z zz f 在所有孤立奇点〔包括∞〕处的留数3、将函数()iz i z z f --+=11在i z =的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域 4、计算积分()⎰+Cz z dz122 , C:1222+=+y y x , 5、计算实积分I=⎰+πθθ20cos a d )1(>a6、求将单位圆1<z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =使符合条件021=⎪⎭⎫⎝⎛L ,()11-=L五、证明题〔每题7分〕1、设函数()z f 在区域D 内解析,证明:函数()z f i 也在D 内解析2、证明:在0=z 解析,且满足的nn f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛〔 2,1=n 〕的函数()z f 不存在一填空题〔每题2分,视答题情况可酌情给1分,共20分〕 1 ϕ19i e ,2 ππk e22--(k=0,±…) , 3 0, 4 u -, 5 96 n - ,7 ∞+ ,8 本质,9 21<<z , 10 z 1-二 单项选择题〔每题2分,共20分〕1 B2 D3 C4 D5 A6 C7 C8 D9 A 10 A 三 判断题〔每题2分,共10分〕1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ⨯ 5 ⨯ 四 计算题〔每题6分,共36分〕1解:C 的参数方程为: z=i+t, 01≤≤t dz=dt 3 分 ()⎰+-Cdz ix y x 2=()⎰+-121dt it t =321i+-6 分 2解: 1=z 为()z f 一阶极点 1 分1-=z 为()z f 二阶极点 2 分()411Re 11-='⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=z z z z z f s 3 分()()411Re 121=+===z z z zz f s 5 分 ()0Re =∞=z f s z …6分3 解:()iz i z z f --+=11=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--i i z i i z 211211 …2分 = ()()()10211+∞=--+--∑n nn n i i z i z …5分 〔0<i z -<2〕 …6分 4 解:在C 内()z f 有一个二阶极点z =0和一个一阶极点i z = …1分()011Re 020='⎪⎭⎫⎝⎛+===z z z z f s …3分()ii z z z f s iz iz 21)(1Re 2-=+=== …5分 所以原式=π2i π-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-i 210 …6分5 解:令θi e z =____________________________________________________________________________________________________iz dzz z a I z ⎰=-++=1121 …1分=[][]⎰=-----+--122)1()1(2z a a z a a z dzi …3分被积函数在1=z 内的有一个 一阶极点12-+-=a a z121)(Re 212-=-+-=a z f sa a z …5分I=121212222-=-a a i iππ …6分6解:2212112121--=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=z z k z z kL w 2 分 ()121212111-=-=--=k kL 所以2=k 4 分 于是所求变换 2122212--=--=z z z z w 6 分 五 证明题〔每题7分,共14分〕1 证明: 设f(z)=u 〔x ,y 〕+iv 〔x ,y 〕)(z f = u 〔x ,y 〕-iv 〔x ,y 〕)(z f i = v 〔x ,y 〕-i u 〔x ,y 〕 2 分 f 〔z 〕在D 内解析,x y y x v u v u -==,)(z f i 四个偏导数为 v x ,v y ,-u x ,-u y 4 分比拟f 〔z 〕的C -R 方程 )(z f i 也满足C-R 方程且四个偏导数在D 内连续 ∴)(z f i 在D 内解析 7 分2 证明:假设在0=z 解析的函数()z f 存在且满足n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛〔 2,1=n 〕 2 分 点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21=n 21以0=z 为聚点在点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21上,n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛由解析函数的唯一性定理在0=z 的邻域内()z f =z 5 分但在这个邻域内又有n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-矛盾 ∴在0=z 解析的函数()z f 不存在 7 分【复变函数论】试题库梅一A111【复变函数】考试试题〔一〕1、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.〔n 为自然数〕 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,那么)(z f 的孤立奇点有__________.____________________________________________________________________________________________________5.幂级数0nn nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.假设函数f(z)在整个平面上处处解析,那么称它是__________.7.假设ξ=∞→n n z lim ,那么=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.假设0z 是)(z f 的极点,那么___)(lim 0=→z f z z .三.计算题〔40分〕:1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d zz f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.【复变函数】考试试题〔二〕二. 填空题. (20分) 1. 设i z-=,那么____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,那么=+→)(lim 1z f iz ________.3. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.〔n 为自然数〕 4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 假设z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,那么z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,那么)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为〔1〕单位圆〔1||=z 〕的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数根本定理.____________________________________________________________________________________________________【复变函数】考试试题〔三〕二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,那么f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 假设n n n i n n z )11(12++-+=,那么=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.〔n 为自然数〕 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,那么f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ,那么___=z .9. 假设0z 是)(z f 的极点,那么___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算以下积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数期末考试试卷及答案详解

复变函数期末考试试卷及答案详解

复变函数期末考试试卷及答案详解《复变函数》考试试题(一) 三.计算题(40分):dz1,1、 __________.(为自然数)nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,1}(z,1)(z,2)f(z),求在1. 设22sinz,cosz,2. _________. 内的罗朗展式.1sinz3.函数的周期为___________. dz.,|z|,1cosz2. 12f(z),,,,,3712,f(z)fzd,()z,1C,{z:|z|,3}f'(1,i).,C4.设,则的孤立奇点有__________. ,z,3. 设,其中,试求,z,1nw,nz5.幂级数的收敛半径为__________. ,z,14. 求复数的实部与虚部. n0,6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 四. 证明题.(20分)zzz,,...,1. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常数,f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若,则______________.D那么它在内为常数. zesRe(,0),n0Re1,,z2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两zfzzz()(1),,z8.________,其中n为自然数.z,,10Re1,,z个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在sinz的值.9. 的孤立奇点为________ .《复变函数》考试试题(二) z二. 填空题. (20分)limf(z),___zf(z)z,z0010.若是的极点,则.13sin(2z)1. 设,则 z,,i|z|,__,argz,__,z,__的幂级数展开式. 1. 求函数2222.设,则f(z),(x,2xy),i(1,sin(x,y),,z,x,iy,C2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正z实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点________. limf(z),z,1,i处的值. z,idz,3. _________.(为自然数) inn,|z,z|,10(zz),0I,|z|dz3. 计算积分:,积分路径为(1)单位圆()|z|,1,,i,nnz4. 幂级数的收敛半径为__________ . 的右半圆. ,n0,sinzdz,z,25. 若z是f(z)的m阶零点且m>0,则z是的_____零点. ,f'(z)002(,)z24. 求 .z6. 函数e的周期为__________.四. 证明题. (20分) 537. 方程在单位圆内的零点个数为________. 2z,z,3z,8,0f(z)1. 设函数f(z)在区域D内解析,试证:f(z)在D内为常数的充要条件是1f(z),8. 设,则的孤立奇点有_________. f(z)2在D内解析. 1,z2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 9. 函数的不解析点之集为________.f(z),|z|《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) z,1110. . Res(,1),____f(z),1. 设,则f(z)的定义域为___________. 42z,1zz三. 计算题. (40分) 2. 函数e的周期为_________.2n,21n,,z,,i(1,)3. 若,则__________. limz,nnn!n,,1,nnn的收敛半径.2. 试求幂级数z,n22n4. ___________. sinz,cosz,n,dzzedz,5. _________.(为自然数) nn,|z,z|,13. 算下列积分:,其中是.C|z|,10(zz),22,0Cz(z,9),nnx6. 幂级数的收敛半径为__________. ,962n,0z,2z,z,8z,2,04. 求在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1f(z),7. 设,则f(z)的孤立奇点有__________. 21. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常f(z)|f(z)|z,1z数,那么它在D内为常数. 8. 设,则. z,___e,,12. 设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数f(z)z9. 若是的极点,则. f(z)limf(z),___0z,z0R及M,使得当时 |z|,Rzen10. Res(,0),____. n|f(z)|,M|z|, z三. 计算题. (40分) 证明是一个至多n次的多项式或一常数。

复变函数14套题目和答案

复变函数14套题目和答案

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分) 1.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)1、 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dz z zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( )8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.×2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.×8.×9.×10.× 二.填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 2. 1; 3. 2k π,()k z ∈; 4. z i =±; 5. 16. 整函数;7. ξ;8. 1(1)!n -; 9. 0; 10. ∞.三.计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a b i a b w z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =. 令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x y y uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()(1)f z z z =-的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)22i f e i π-==.《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f i z ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题.1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.×6.×7.×8.√ 9.×10.×. 二. 填空题1.1,2π-, i ; 2. 3(1sin 2)i +-; 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4. 1; 5. 1m -.6. 2k i π,()k z ∈.7. 0;8. i ±;9. R ; 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑. 2. 解 令i z re θ=. 则22(),(0,1)k if z z rek θπ+===.又因为在正实轴去正实值,所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)nn n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00n a z = 有相同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R < 内有n 个根.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( )8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nzze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

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《复变函数论》期末考试试题-A 卷答案
一、 选择题(每小题4分,共20分)
⒈ 21|z |<z >且Im 表示的轨迹为( B )
A 、有界闭区域
B 、有界开区域
C 、无界开区域
D 、无界闭区域 ⒉ 右半平面Re z >0 在映射 ω=i z +i 下的象为( D )
A 、ωIm >0
B 、ωRe >0
C 、ωRe >1
D 、ωIm >1 ⒊ )43(i Ln +-= (C )
A 、)34(5ln arctg i -+π
B 、)3
42(5ln arctg k i -+π
C 、)342(5ln arctg k i -++ππ
D 、)342(5ln arctg k i +++ππ

()=f z ( D )
A 、1,2,=∞z
B 、0,1,2=z
C 、0,1,2,=z ∞
D 、0,=z ∞
⒌ 0z = 0 为函数 21cos ()z f z z -=的( A ) A 、可去奇点 B 、本性奇点 C 、一阶极点 D 、二阶极点
二、填空题(每小题4分,共36分)

设ω=,则()i ω-=( )
⒉ 设 ⎰=-++=3
2173)(z z z f ξξξξd ,则 )1('i f +=)136(2i +-π 3.
⎰=+1)2ln(z z dz = 0 4. ⎰
=++223
4sin z z z z πdz = 0 5. 10⎰423z =3
(2)()z dz z +z -2= 2i π 6.将函数2
1()(2)f z z =+展成1z -的幂级数,则其收敛圆为(|1|3z -<). 7.||z e 在闭圆|1|1z -≤上的最大值为( 2e )
8. 级数 ∑∞
=+12)1sin(n n n n i ___绝对收敛(发散,收敛,绝对收敛) 9. 函数 2
()f z z = 在z i = 处的伸缩率为_2_ 三、(8分)求函数221()(4)
z f z z z -=
+的所有奇点,并确定它们的类型;如果是孤立奇点,计算其留数 四、(7分) 将函数 ()12n
n z f z =+z
在环域 r <z <∞(r >1) 内展成Laurent 级数,并由此计算积分3=⎰d 12n
n z z z +z 。

解:在环域(1)r z <<<∞内,由于1z >,从而11z
<,因此 当n=1时, 33(6')π==⎰⎰d d 112n
2n z z z z z =z =2i --------+z +z 五、(8分)计算积分 0
()()+∞⎰cos d 1922x x x +x + 。

解: 由于22cos ()(1)(9)x f x x x =
++ 为偶函数, 因此
22220cos 1cos (1)(9)2(1)(9)xdx xdx x x x x +∞+∞-∞=++++⎰⎰-----------(1) ()()
+∞-∞⎰cos d 1922x x x +x + 为()()+∞-∞⎰e d 19ix 22x x +x +的实部,-------(2) 22()(1)(9)
iz
e f z z z =++ 在上半平面有两个一级极点z i =和3z i = --------(3)
且 1Re [(),]16e s f z i i -=,---(5) 3
Re [(),3]48e s f z i i
--=--(7) 利用留数定理在实积分中的应用定理有
()()+∞-∞⎰e d 19ix 22x x +x +=132231
2Re [(),]2()(31)164824i i e e i s f z z i e i i e πππ--==-=-∑
-----------------------(9) 从而 0()()+∞⎰cos d 1922x x x +x +=23(31)48e e
π- ----------(10) 六、(7分)验证函数22),(y xy x y x u -+= 为调和函数,并求),(y x v ,使iv u z f +=)( 为解析函数,且 i i f +-=1)(。

⑴证明:2,22222-=∂∂=∂∂y
u x u 02222=∂∂+∂∂∴y u x u 即),(y x u 为调和函数.--------------(3’) ⑵ 解: y x u y x u y x 2,2-=+=
----------------(6’) 由i i f +-=1)(, 可得2
1=c ----------------(7’) 2
12)(22++=∴z i z z f ----------------(8’) 七、(7分)设 )(z f 在区域D 内解析,且)(z f 在D 内为常数,证明)(z f 在D 内为常数。

证明:设),(),()(y x iv y x u z f +=
即 222C v u =+
上式两边分别对x,y 求导,有
022,022=+=+y y x x vv uu vv uu ①
)(z f 在D 内解析,又有x y y x v u v u -==, ②
由①② 解得 0,0====y x y x v v u u
故 ),(),,(y x v y x u 为常数,分别记为 21,c v c u ==
所以,21)(ic c iv u z f +=+=为一复常数.
八、(7分) 试证:当 |a |>e 时,方程0z n e -az = 在单位圆 1|z |<内有n 个根。

证明:在单位圆周=||1z 上,有
>||||>=|n z Rez z |-az =|a e =e
e |e ----------(4) 而函数z e 和-n az 均在单位闭圆≤1|z |上解析,故由儒歇定理
即方程0z n e -az = 在单位圆 1|z |<内有n 个根。

---------(7)。

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