第十章(第三部分)曲线积分习题解答

第十章 曲线积分与曲面积分

（第三部分）曲线积分习题解答

一、对弧长的曲线积分

1．计算⎰

=

L

yds I ，其中L 为摆线)cos 1( ),sin (t a y t t a x -=-=的一拱

)20 ,0(π≤≤>t a ．

解 由于⎩

⎨⎧-=-=)c o s 1()s i n

(:t a y t t a x L , )20 (π≤≤t ；而

dt t a dt y x ds 2

1

2

2)cos 1(2-='+'=，)20 (π≤≤t

故 ⎰

⎰

π

-⋅-=

=

2 0

2

1

)c o s 1(2)c o s 1(dt t a t a yds I L

⎰

π

=2 0

3

22

sin 4dt t

a ⎰π= 0 32sin 8udu a

⎰

π=2

0 32

sin 16udu a

2

2

32a =

. 2．计算曲线积分⎰

+L

ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22．

解 圆周ax y x =+22在极坐标下的方程为θ=ρc o s a )2

2(π

≤θ≤π-

，则 θ=θρ'+ρ=ad d ds 22. 故

⎰

+L

ds y x 22

⎰

π

π-⋅ρ=2

2 ads ⎰

ππ-θ⋅θ=2

2 cos ad a ⎰

πθθ=2

0 2

cos 2d a

22a =.

3． 计算⎰+=L

y x ds e

I 2

2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内

所围成的扇形的整个边界．

解 积分曲线L 为闭曲线（如右图），可分解为321L L L L ++=，其中

)0( ,0 :1a x y OA L ≤≤==；

)4

0( , :2π

≤

θ≤==a r AB L ；

)2

0( , :3a x x y OB L ≤

≤==.

故 ⎰⎰⎰+++++=3

2

222

212

2 L y x L y x L y x ds e

ds e

ds e

I

⎰⎰⎰'++θ'++'+=π2

224

0 2

2 0

2

)(1)()0(1a x

a a

x

dx x e

d a a e

dx e

⎰⎰⎰

+θ+=

π2

24

0 0

2a x

a

a

x

dx e

d a

e dx e

2)4

2(-π

+

=a e a . 4. 设螺旋线弹簧一圈的方程为t a x cos =，t a y sin =，kt z =，其中π≤≤20t ，它的线密度222) , ,(z y x z y x ++=ρ. 求此线关于z 轴的转动惯量z I .

分析 本题为对弧长的曲线积分在物理中的应用问题，应首先将所求的转动惯量用对弧长的曲线积分⎰ρ+=L

z ds z y x y x I 22) , ,()(表示，然后计算积分即可。

解 所求的转动惯量为⎰ρ+=L

z ds z y x y x I 22) , ,()(，而

dt t z t y t x ds )()()(222'+'+'=

dt k a 22+=，

故 ⎰ρ+=L

z ds z y x y x I 22) , ,()(⎰+++=L

ds z y x y x 22222))((

⎰

π

++=2 0

222222)(dt k a t k a a )43(3

222222

2k a k a a π++π=

. 二、对坐标的曲面积分

1. 计算曲线积分⎰---=

L

x dy y y dx y e I ])sin ()cos 1[(，其中L 为区域x y x sin 0 ,0≤≤π≤≤的边界，取逆时针方向。

解 令)c o s

1(y e P x -=，)s i n (y y e Q x --=．则 y e y P x sin =∂∂，)sin (y y e x

Q

x --=∂∂． 即

x

Q y P ∂∂≠∂∂. 由于π≤≤≤≤x x y D 0 ,sin 0 :． 故利用格林公式，得

⎰⎰∂∂-∂∂=

D

dxdy y P

x Q I )(

⎰⎰-=D

x dxdy ye ⎰

⎰π

-=x

x ydy e dx sin 0

)1(5

1

π-=

e . 2. 计算曲线积分[]⎰

---=

L

x dy y y dx y e I )sin ()cos 1(．其中L 为曲线x y sin =上从点

)0 ,(πA 到点)0 ,0(O 的一段弧。

解 补直线段OA L ='：0=y ，x 从0变到π；并设闭曲线L L '+所围区域为D （如图所示），则由Green 公式，得：

⎰

'

+---L

L x

dy y y dx y e ])sin ()cos 1[( ⎰⎰∂∂-∂∂=

D

dxdy y P

x Q )(

⎰⎰-=D

x dxdy ye ⎰

⎰π

-=x

x ydy e dx sin 0

)1(5

1

π-=

e . 又

[]0)s i n ()c o s 1( =---⎰

'

L

x

dy y y dx y e （OA L ='：0=y ，x 从0变到π）， 故 []dy y y dx y e I x L L L )sin ()cos 1()( ----=⎰

⎰

'

'

+

0)1(51--=

πe )1(5

1

π-=e . 3. 设L 是一条封闭的光滑曲线，方向为逆时针，计算曲线积分⎰+-L

y

x xdy

ydx 2

24. 分析 因224) ,(y x y y x P +=

，224) ,(y x x

y x Q +-=，则

2

2222)

4(4y x y x y P +-=∂∂，2222

2)4(4y x y x x Q +-=∂∂. 故

x

Q

y P ∂∂=∂∂. 由于) ,(y x P 与) ,(y x Q 在原点)0 ,0(处不连续，因此可知：（1）若给定的曲线L 所围成的闭区域不包括原点)0 ,0(，则在此区域内曲线积分与路径无关；（2）若给定的曲线L 所围成的闭区域包括原点)0 ,0(，那么P 、Q 在L 所围成的闭区域上不满