第3章 微分方程

dxdydz t
流出-流入 积累率
( u ) ( u ) ( u ) x y z dxdydz x y z
dxdydz t
( u x ) ( u y ) ( uz ) 0 x y z t
P38
柱坐标中的表达式：
1 1 rur u uz 0 t r r r z
式中： r 径向坐标；z 轴向坐标；θ方位角
（2-14）
d u r dt
表示线速度
直角坐标系与柱坐标系的关系
P38
图2-2b 示出球坐标系与直角坐标系的关系。
x 向质量净出率：
x 向增加量
( u x )dx dydz x
① 质量净出率
x 向质量净出率： y 向质量净出率：
z 向质量净出率：
三向六面净出率：
（kg/s）
( u x )dx dydz x
( u y )dy dxdz y
( uz )dz dxy z
本节内容：
1.能量方程（ E.E. ）的建立 2. 其他坐标系下的形式 3. E.E.的简化
4. E.E.的应用举例
1. 方程的建立 ( E.E. )
衡算根据：热力学第一定律，即某过程中体系从环境中所吸
收的热量减去对体系所作功之差，等于该体系在过程前后的能量 变化，其数学表达式为：
在传热、传质过程中往往伴随有流体流动，因
此均需要用到C.E.。
2．连续性方程的另一表达式
( u ) 0 t
引入随体导数的概念，上式可写为：
( u ) 0 u u t t
或
D u 0 Dt
① 稳态时
（以直角坐标为例）
( u ) 0 C . E . t
0 或 t
( u) 0
② 不可压缩（均质）流体 ( const )
u 0
(2-13)
5. 方程衡算的应用举例
【例】导出流体在圆管中作轴对称二维（径向、轴向） 流动时的连续性方程。
⑤ 恒密度，恒物性流体。
能量衡算图
1）流动带来的内能变化 2）导热带来的能量变化 3）流动功带来的变化 4）能量积累
U - 1kg质量所含的内能
( Udxdydz ) t
1）能量净出率 2)吸热率
( U u)dxdydz
(J/s)
( q )dxdydz
( pu)dxdydz
(2-7b)
讨论上述连续性方程中两项的物理意义。
D u 0 Dt
讨论方程的两项物理意义 第一项：
D u Dt t
其中
密度的随体导数
t
为密度的局部变化率。
表明在空间某一固定点处，密度随时间的变化速率，
反映了密度场的不稳定性。
D u Dt t
相加，整理得：
(2-6a)
矢量式
( u ) 0 t
(2-6b)
微分质量衡算方程（连续性方程）
在连续性方程的推导过程中没有做任何假定，
所以方程是通用方程，可用于：

牛顿流体 或 非牛顿型流体；
理想流体 或 真实流体；
可压缩流体 或 不可压缩流体。
连续性方程是描述速度分布的基本方程。
其中
i j k x y z
密度梯度
表明在不同位置上密度的变化率，反映了密度场的不均匀性。
u u x uy uz x y z
密度迁移变化率
表明当流体运动时，由于密度场的不均匀性造成的密度变化率
又称之为密度的对流变化率。速度越快，场越不均匀，对流变化率就越大。
t

u
u

3．其他坐标系连续性方程的表达式
在某些实际场合，应用柱坐标或球坐标来表达连
续性方程或其他微分衡算方程要比直角坐标系方便。
例如在研究管内的流体流动时，在相同半径上的所
有各点有相同的速度及其它物理量，在此情况下采用 柱坐标表达连续性方程最为方便。
又如流动系统的范围面为球形或球形的一部分时，则
3．其他坐标系下的表达式 4、方程的简化 5、方程的应用举例
1．连续性方程的建立
衡算根据：质量守恒原理 研究对象：微元控制体（记为C.V.），见下图
衡算原则 ：
流出C.V. 质量流率
-
流入C.V. 质量流率
+
C.V.内 质量积累率
=0
在流动的流体中，取 P 点，在P点旁分别截取 dx、dy、dz，构成微元体积。
x ( u x ) y ( u y ) z ( uz ) dxdydz
② 质量积累率 （kg/s）
t 时刻C.V.质量为：
dxdydz
经过 dt 时间后，C.V. 内的质量变化量为：
( dt )dxdydz t
dt 时间内，C.V. 质量平均积累率为：
包围控制体的6个控制面分别为上下、左右、前后面。
微元控制体 C.V.中的质量衡算
C.E.方程的建立
① 质量净出率 （kg/s） 在 x 处， t 时刻流入的质量通量为：
u x
kg m2 s
kg m2 s
在 x+dx 处, t 时刻流出的质量通量为：
( u x ( u x )dx) x
得：
i ni ri 0 t
组元微分质量衡算方程
i ni ri 0 t
式中：
ni ( ji i u)
对此项求导
ji i u u i D i i 合并为： u i 随体导数 Dt t
所以 组元微分质量衡算方程 还可以写成：
D i i u ji ri 0 Dt
（9-41）
D i i u ji ri 0 Dt
组元微分质量衡算方程的简化
1）不可压缩流体
u 0
D i ji ri 0 Dt
ni dxdydz
净出C.V. 组元A流率
+
C.V.内 组元A积累率
-
C.V.内 组元A生成率
=0
第一项
ni dxdydz
( i dxdydz ) i dxdydz t t
第二项 组元积累率: 第三项 组元生成率：
ri dxdydz
三项相加消去dxdydz
2）静止流体
i Dij 2 i ri t
当无化学变化时
i Dij 2 i t
费克第二定律（Fick’s second law）
三、能量微分衡算方程
在工程实践中，有一类很重要的问题，就是流体与壁
面、流体内部、固体内部的热量传递现象。
解析这类问题要利用微分能量衡算方程。
E q W
衡算原则：
能量净出率 + 能量积累率 = 吸热率
-
对外做功率
方程的建立
假定：
① 研究对象是微元控制体，所以动能，位能忽略不计,
只计内能：
△ U = q - △ (pv)
② 温度不是很高，不计辐射热，只计导热和对流传热。 ③ 对于微元控制体，不包含轴功，只计流动功。
④ 不涉及高粘度流体或是高速 (超音速) 下运动的流体， 因此忽略摩擦损耗功率。
研究对象： 微元控制体 衡算根据： 质量守恒 衡算原则：
净出C.V.
组元 流率
+
C.V.内 组元 积累率
-
C.V.内 组元 生成率
=0
绕微元控制体对组元衡算，对上述三项分别加以衡算。 用
ni 代表通过控制面的组分i 的质量通量。
ni i u ji
nix dx x
x 向组元质量通量净变化率
薄壳C.V.内质量累积率为：
ur 2rdz
2rdrdz t
三项相加 ,略去高阶无穷小 ,得到沿管流动的连续性方程
1 ( rur ) ( u z ) 0 t r r z
二、组元微分质量衡算方程（质量基准）
建立多组分流体的微分质量衡算方程。
体系的扩散传质过程。
改写成以温度表示的能量方程，具体步骤为
在左侧第一项中，根据焓与内能的关系，写成 Uu pu u(U p ) Hu CpTu 在左侧第二项中，对于恒密度流体
U CvT CpT
采用球坐标系的连续性方程描述最为适宜。
其他坐标系
柱坐标和球坐标系中的连续性方程和其它传递方
程的推导，原则上与直角坐标系相类似，可采用
直接推导获得。
也可以通过坐标系的对应关系由直角坐标间接
转换而得到相关方程，但由于运算繁杂，一般
不宜采用。
图2－2a 表示柱坐标系与直角坐标系的关系。 连续性方程在柱坐标系的表达式为：
传递微分衡算方程
一、质量微分衡算方程 C.E. 二、组元微分衡算方程 C.EA. 三、能量微分衡算方程 E.E. 四、动量微分衡算方程 N-S
它们是传递过程数学模型的主要内容； 是从理论上研究传递过程的基础。
一．微分质量衡算方程
（连续性方程 C.E. ）
1．连续性方程的建立
2．连续性方程的另一表达式
P213
在后面的章节中主要考虑双组分（A，B） 考虑可能有化学反应的存在的情况。
衡算时传质包括两部分：
1.由于流体流动引起的 组分
2.由于浓度梯度引起的 组分 这两部分传质表示为：