数学 一元二次方程的专项 培优 易错 难题练习题含答案解析
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∴[x（x+1）]3=203，
∴x（x+1）=20，
∴x1=4，x2=-5（不合题意，舍去）
∴4×4×4=64
所以组成这个正方体的小立方块的个数是64．
【点睛】
解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．
6．已知关于x的一元二次方程 ．
若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；
4．解方程：
【答案】
【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.
试题解析：因式分解，得
开平方，得
，或
解得
5．（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？
（探究）
探究一：
（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2= =3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3．
【详解】
(1)∵关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+ ＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝(k+1)2﹣4× k2＞0，
∴k＞﹣ ；
(2)∵k取最小整数，
∴k＝0，
∴原方程可化为x2+x＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【答案】（1）至多销售 品牌的建材56件;(2) 的值是30.
【解析】
【分析】
（1）设销售 品牌的建材 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可.
【详解】
（1）设销售 品牌的建材 件.
根据题意，得 ，
解这个不等式，得 ，
答：至多销售 品牌的建材56件.
则图中长方体的个数为 ×6×1=3a（a+1），
故答案为3a（a+1）；
（6）棱AB上有 条线段，棱AC上有 条线段，棱AD上只有1条线段，
则图中长方体的个数为 × ×1= ，
故答案为 ；
探究三：（8）棱AB上有 条线段，棱AC上有 条线段，棱AD上有6条线段，
则图中长方体的个数为 × ×6= ，
故答案为 ；
探究二：
（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有 条线段，棱AC上有1+2= =3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为 ×3×1= ．
（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有 条线段，棱AC上有1+2+3= =6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为______．
∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．
10．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量 （单位：件）是关于时间 （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：
3．解方程：（3x+1）2=9x+3．
【答案】x1=﹣ ，x2= ．
【解析】
试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.
试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，
分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，
可得3x+1=0或3x﹣2=0，
解得：x1=﹣ ，x2= ．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.
8．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.
【解析】
试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.
【解析】
【分析】
（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；
（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；
（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；
（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；
(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；
（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．
【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
【解析】
分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；
（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，
第2个图中3为一块，分为6块，余1；
（结论）如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
（拓展）
如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．
【答案】探究一：（3） ；探究二：（5）3a（a+1）；（6） ；探究三：（8） ；【结论】：① ；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．
【答案】（1）k＞ ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为 ，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.
(结论)棱AB上有 条线段，棱AC上有 条线段，棱AD上有 条线段，
则图中长方体的个数为 × × = ，
故答案为 ；
(应用)由(结论)知， ，
∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为 =180，
故答案为为180；
拓展：设正方体的每条棱上都有x个小立方体，即a=b=c=x，
由题意得
=1000，
第3个点阵中有：3×6+1=17个，
第4个点阵中有：4×9+1=37个，
第5个点阵中有：5×12+1=60个，
…
第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
故答案为：60，3n2﹣3n+1；
（2）3n2﹣3n+1=271，
n2﹣n﹣90=0，
（n﹣10）（n+9）=0，
n1=10，n2=﹣9（舍），
若此方程的两个实数根为 ， ，且满足 ，求m的值．
【答案】（1） 的最小整数值为 ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个实数根得 ,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.
【详解】
（1）解：
方程有两个实数根
，即
的最小整数值为
（2）由根与系数的关系得： ，
由 得：
，
【点睛】
本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．
请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．
(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；
(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】
解：探究一、（3）棱AB上共有 线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，
则图中长方体的个数为 ×1×1= ，
故答案为 ；
探究二：（5）棱AB上有 条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．某建材销售公司在2019年第一季度销售 两种品牌的建材共126件， 种品牌的建材售价为每件6000元， 种品牌的建材售价为每件9000元.
（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售 种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调 ， 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨 ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比， 种品牌的建材的销售量增加了 ， 种品牌的建材的销售量减少了 ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加 ，求 的值.
时间 /天
1
3
10
20
日销售量 /件
98
94
80
60
这20天中，该产品每天的价格 （单位：元/件）与时间 的函数关系式为： （ 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）直接写出 关于 的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠 元（ ）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间 的增大而增大，求 的取值范围.
（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
探究三：
（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB上有 条线段，棱AC上有
条线段，棱AD上有1+2= =3条线段，则图中长方体的个数为 × ×3= ．
（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB上有 条线段，棱AC上有 条线段，棱AD上有1+2+3= =6条线段，则图中长方体的个数为______．
【详解】
（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，
∴k＞ ；
(2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0，
设方程的两个根为m，n，
∴m＋n＝5，mn＝5，
∴矩形的对角线长为： .
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．
（2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3= =6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6．
（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+…+a= 线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______．
按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．
详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，
故答案为：60个，6n个；
（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，
第2个点阵中有：2×3+1=7个，
（2）在（1）中销售额最低时， 品牌的建材70件，
根据题意，得
，
令 ，整理这个方程，得 ，
解这个方程，得 ，
∴ （舍去）， ，
即 的值是30.
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
2．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．
7．已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+ ＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k取最小整数时，求此时方程的解．
【答案】(1)k＞﹣ ；(2)x1＝0，x2＝﹣1．Байду номын сангаас
【解析】
【分析】
(1)由题意得△＝(k+1)2﹣4× k2＞0，解不等式即可求得答案；
(2)根据k取最小整数，得到k＝0，列方程即可得到结论．
试题解析：
设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，
即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.
9．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？
∴x（x+1）=20，
∴x1=4，x2=-5（不合题意，舍去）
∴4×4×4=64
所以组成这个正方体的小立方块的个数是64．
【点睛】
解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．
6．已知关于x的一元二次方程 ．
若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；
4．解方程：
【答案】
【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.
试题解析：因式分解，得
开平方，得
，或
解得
5．（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？
（探究）
探究一：
（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2= =3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3．
【详解】
(1)∵关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+ ＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝(k+1)2﹣4× k2＞0，
∴k＞﹣ ；
(2)∵k取最小整数，
∴k＝0，
∴原方程可化为x2+x＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【答案】（1）至多销售 品牌的建材56件;(2) 的值是30.
【解析】
【分析】
（1）设销售 品牌的建材 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可.
【详解】
（1）设销售 品牌的建材 件.
根据题意，得 ，
解这个不等式，得 ，
答：至多销售 品牌的建材56件.
则图中长方体的个数为 ×6×1=3a（a+1），
故答案为3a（a+1）；
（6）棱AB上有 条线段，棱AC上有 条线段，棱AD上只有1条线段，
则图中长方体的个数为 × ×1= ，
故答案为 ；
探究三：（8）棱AB上有 条线段，棱AC上有 条线段，棱AD上有6条线段，
则图中长方体的个数为 × ×6= ，
故答案为 ；
探究二：
（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有 条线段，棱AC上有1+2= =3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为 ×3×1= ．
（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有 条线段，棱AC上有1+2+3= =6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为______．
∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．
10．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量 （单位：件）是关于时间 （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：
3．解方程：（3x+1）2=9x+3．
【答案】x1=﹣ ，x2= ．
【解析】
试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.
试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，
分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，
可得3x+1=0或3x﹣2=0，
解得：x1=﹣ ，x2= ．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.
8．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.
【解析】
试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.
【解析】
【分析】
（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；
（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；
（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；
（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；
(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；
（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．
【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
【解析】
分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；
（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，
第2个图中3为一块，分为6块，余1；
（结论）如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
（拓展）
如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．
【答案】探究一：（3） ；探究二：（5）3a（a+1）；（6） ；探究三：（8） ；【结论】：① ；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．
【答案】（1）k＞ ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为 ，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.
(结论)棱AB上有 条线段，棱AC上有 条线段，棱AD上有 条线段，
则图中长方体的个数为 × × = ，
故答案为 ；
(应用)由(结论)知， ，
∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为 =180，
故答案为为180；
拓展：设正方体的每条棱上都有x个小立方体，即a=b=c=x，
由题意得
=1000，
第3个点阵中有：3×6+1=17个，
第4个点阵中有：4×9+1=37个，
第5个点阵中有：5×12+1=60个，
…
第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
故答案为：60，3n2﹣3n+1；
（2）3n2﹣3n+1=271，
n2﹣n﹣90=0，
（n﹣10）（n+9）=0，
n1=10，n2=﹣9（舍），
若此方程的两个实数根为 ， ，且满足 ，求m的值．
【答案】（1） 的最小整数值为 ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个实数根得 ,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.
【详解】
（1）解：
方程有两个实数根
，即
的最小整数值为
（2）由根与系数的关系得： ，
由 得：
，
【点睛】
本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．
请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．
(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；
(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】
解：探究一、（3）棱AB上共有 线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，
则图中长方体的个数为 ×1×1= ，
故答案为 ；
探究二：（5）棱AB上有 条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．某建材销售公司在2019年第一季度销售 两种品牌的建材共126件， 种品牌的建材售价为每件6000元， 种品牌的建材售价为每件9000元.
（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售 种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调 ， 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨 ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比， 种品牌的建材的销售量增加了 ， 种品牌的建材的销售量减少了 ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加 ，求 的值.
时间 /天
1
3
10
20
日销售量 /件
98
94
80
60
这20天中，该产品每天的价格 （单位：元/件）与时间 的函数关系式为： （ 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）直接写出 关于 的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠 元（ ）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间 的增大而增大，求 的取值范围.
（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
探究三：
（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB上有 条线段，棱AC上有
条线段，棱AD上有1+2= =3条线段，则图中长方体的个数为 × ×3= ．
（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB上有 条线段，棱AC上有 条线段，棱AD上有1+2+3= =6条线段，则图中长方体的个数为______．
【详解】
（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，
∴k＞ ；
(2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0，
设方程的两个根为m，n，
∴m＋n＝5，mn＝5，
∴矩形的对角线长为： .
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．
（2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3= =6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6．
（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+…+a= 线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______．
按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．
详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，
故答案为：60个，6n个；
（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，
第2个点阵中有：2×3+1=7个，
（2）在（1）中销售额最低时， 品牌的建材70件，
根据题意，得
，
令 ，整理这个方程，得 ，
解这个方程，得 ，
∴ （舍去）， ，
即 的值是30.
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
2．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．
7．已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+ ＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k取最小整数时，求此时方程的解．
【答案】(1)k＞﹣ ；(2)x1＝0，x2＝﹣1．Байду номын сангаас
【解析】
【分析】
(1)由题意得△＝(k+1)2﹣4× k2＞0，解不等式即可求得答案；
(2)根据k取最小整数，得到k＝0，列方程即可得到结论．
试题解析：
设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，
即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.
9．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？