数字信号处理第四章

N / 2 1

r 0
kr k x1 (r )WN W /2 N
N / 2 1

r 0
kr x2 (r )WN /2
X 1 (k ) WNk X 2 (k )
N点DFT可以分解为两个N/2点的DFT并以下面两式进行运算：
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )
n 0 n 0
kn N

n N / 2 N / 2 1
x (n)W
x (n
N 1
kn N
N / 2 1
kn N

n 0
N k ( n N / 2) )WN 2
N / 2 1
kN / 2 [ x ( n ) W x (n N
N kn )]WN 2
其中： W
kN / 2 N
k ( 2 r 1 ) N
N / 2 1
k 2r N
W
x2 ( r )W
k 2r N
由于
W
2 kr N
e
j
2 2 kr N
e
2 j kr N 2
W
kr N /2
X (k )
N / 2 1 r 0
x1 ( r )W
kr N /2
W
k N
N / 2 1 r 0
X (k ) x(n)WNkn
n0
N 1
n pn1 n0
N n1 n0 , 4
= =
N / 4 1 3 n0 0

N k ( n1 n0 ) N x( n1 n0 )WN 4 4 n1 0 kn0 N
N / 4 1 n0 0 N / 4 1 n0 0
N
/4
l 0,1,..., N / 4 1
k X 1 (k ) X 3 (k ) WN /2 X 4 ( k ) N k 0,1,..., 1 N k 4 X 1 (k ) X 3 (k ) WN /2 X 4 (k ) 4
同理：
k X 2 (k ) X 5 (k ) WN N /2 X 6 ( k ) k 0,1,..., 1 N 4 k X ( k ) X ( k ) W X ( k ) 2 5 N /2 6 4
X 3 (k )
N /41

l 0
lk lk x3 (l )WN x ( l ) W 3 N /4 /4 l 0
1
k 0,1
0 X 3 (0) x3 (0)W20 W20 x3 (1) x(0) WN x(4) 0 1 0 X (1) x (0) W W x (1) x (0) W 3 2 2 3 N x (4) 3
N / 4 1
= =
n0 0 N / 4 1 n0 0

(4 k1 k0 ) n0 WN [ x(n0 ) x(
N N 3N n0 )W44 k1 k0 x( n0 )W42(4 k1 k0 ) x( n0 )W43(4 k1 k0 ) ] 4 2 4 N N 3N n0 )W4k0 x( n0 )W42 k0 x( n0 )W43k0 ] 4 2 4
N rn [ x(n) x(n )]WN /2 2
当k取奇数（k＝2r＋1， r=0,1,…，N/2-1)时
X (2r 1)
令
N / 2 1
N / 2 1

n 0
N ( 2 r 1) n [ x(n) x(n )]WN 2

n 0
N n rn [ x(n) x(n )]WN .WN /2 2
x(4) x(5) x(6) x(7)
x2(0) x2(1) x2(2) x2(3)
N/2 点 DFT
X(1) X(3) X(5) X(7)
频域抽取法与时域抽取法的区别 • 频域抽取法输入序列为自然序列，输出为倒序排列； • 蝶型运算先加减后相乘。
4.3 分裂基FFT算法
• 1984年法国杜梅尔(P.Dohamel)和霍尔曼(H.Hollmann)提出将基2分解和基 4分解糅合在一起的高效新算法.
时域抽取法与直接计算DFT运算量比较
• 时域抽取法有M级蝶形运算 M N 2 • 每一级都有N/2个蝶形运算 • 每一蝶形运算符都有一次复数乘法;两次复数加 法,所以M级运算共有复数乘法次数为:
N N .M log 2 N 2 2
共有复数加法次数为 N .M N log2 N
比较DFT mF ( DFT ) N2 2N mF ( FFT ) N log N log 2 N 2 2
1，k为偶数 cos(k ) (1) 1, k为奇数
k
将X(k)分解成偶数组和奇数组，当k取偶数（k＝2r， r=0,1,…，N/2-1)时
X ( 2r )
N / 2 1
N / 2 1

n 0
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N 2 rn [ x(n) x(n )]WN 2

n 0
(4 k1 k0 ) n0 WN [ x(n0 ) x(
X (4k1 k0 ) =
N / 4 1 n0 0

(4 k1 k0 ) n0 WN [ x(n0 ) x(
N N 3N n0 )W4k0 x( n0 )W42 k0 x ( n0 )W43k0 4 2 4
N X (k ) X 1 (k ) WNk X 2 (k ) 2
k 0,1,..., N / 2 1.
定义蝶形运算符号
分解后的运算量：
复数乘法 一个N / 2点DFT (N / 2)2 两个N / 2点DFT N 2 / 2 一个蝶形 N / 2个蝶形 1 N/2
时域抽取法 DIT－FFT
设序列x(n)的长度为N，且满足N＝2M，M为自然数。 按n 的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列：
x1 (r ) x(2r ), x2 (r ) x(2r 1), N r 0,1,..., 1 偶序列 2 N r 0,1,..., 1 奇序列 2
一
分裂基FFT算法原理
N 当n pq, 且p , q 4时, n可以表示为 4 N N n pn1 n0 n1 n0 , 0 n1 3, 0 n0 1 4 4
当n pq, 且p
N , q 4时, n可以表示为 4 0 n1 3, 0 n0 N 1 4

W
n1 0
x(
3
N n1 n0 )W4kn1 4 N N 3N n0 )W4k x( n0 )W42 k x ( n0 )W43k ] 4 2 4 N 1 0 k0 3, 4
WNkn0 [ x(n0 )W4k 0 x(
将上式中的k 表示为 : k 4k1 k0 , 0 k1 X (k ) X (4k1 k0 )
•解决办法 把长序列分解成几个短序列的DFT运算，并利用 WNkn 的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。
m lN 周期性表现为 ： WN e －m 对称性表现为： WN ＝e j j 2 ( m lN ) N
e
j
2 m N
m WN ;
2 m N
, e
j 2 m N
x(n)
N x1 (n) x(n) x(n ) 2
n WN
x(n+N/2)
N n x2 (n) [ x(n) x(n )]WN 2
x(0) x(1) x(2) x(3)
0 WN
1 WN 2 WN
3 WN
x1(0) x1(1) x1(2) x1(3)
N/2 点 DFT
X(0) X(2) X(4) X(6)
4.2 基2FFT算法
• 基 2 FFT 是指变换区间的长度N为2 的整数次幂，即N＝2M
一、直接计算DFT的特点 长度为N的序列x(n)的DFT为：
X (k ) x(n)W
n 0
N 1
kn N
,
k 0,1,..., N 1
考虑x(n)为复数序列的一般情况，对于某个k值，计 算X(k)值需要N次复数乘法、N－1次复数加法运算。因 此对所有N个k值，共需N2次复数乘法及N(N-1)次复数 加法运算。当N>>1时，N（N－1）≈N2。
则x(n)的DFT为
X (k )
n偶 数 N / 2 1 r 0
kn x ( n ) W N
n 奇 数
kn x ( n ) W N N / 2 1 r 0 k N
x( 2r )W x1 ( r )W
r 0
k 2r N

x( 2r 1)W
N / 2 1 r 0
频域抽取法 DIF－FFT
设序列x(n)的长度为N，且满足N＝2M，M为自然数。将x(n)前后对半 分开，得到两个子序列，其DFT可以表示如下：
kn X (k ) DFT[ x(n)] x(n)WN n 0 N 1

N / 2 1 n 0
x (n)W x (n)W
数字信号处理
第四章
4.1
引言
离散傅立叶变换（DFT）是信号分析与处理中的重 要变换，但其计算量与变换区间长度N的平方成正比，计 算量太大。直到1965年发现了DFT的快速算法——FFT （Fast Fourier Transform）以后，才为数字信号处理技术 的应用创造了条件，同时也大大推动了数字信号处理技 术的发展。
X 4 (k )
N /41

l 0
lk lk x4 (l )WN x ( l ) W 4 N /4 /4 l 0
1
k 0,1
0 X 4 (0) x4 (0)W20 W20 x4 (1) x(2) WN x(6) 0 1 0 X (1) x (0) W W x (1) x (2) W 4 2 2 4 N x (6) 4
WNN－m＝e
j
2 ( N m) N
,
－m WN WNN－m ;
WN
m
N 2
e
j
2 m N
e
j
2 N N 2
m WN .
FFT算法分为两类：
时域抽取法FFT（Decimation-In-Time) 频域抽取法FFT（Decimation-In-Frequency)
对k0 0,1, 2,3, 并用k 表示k1 ,用n表示n0 ,上式可以写出: N N 3N n ) x ( n ) x ( n)] 4 2 4 n 0 N / 4 1 N N 3N (4 k 1) n X (4k 1) = WN [ x(n) x( n)W41 x( n )W42 x( n)W43 ] 4 2 4 n 0 N / 4 1 N N 3N (4 k 1) n = WN [ x (n) jx ( n) x ( n) jx ( n)] 4 2 4 n 0 N / 4 1 N N 3N (4 k 2) n X (4k 2)= WN [ x ( n) x ( n) x ( n) x ( n)] 4 2 4 n 0 N / 4 1 N N 3N (4 k 3) n X (4k 3)= WN [ x(n) jx( n) x( n) jx( n)] 4 2 4 n 0 N 0 k 1 4 X (4k ) = WN4 kn [ x(n) x(
其中：
X 5 (k ) DFT [ x5 (l )] DFT [ x2 (2l )]
l 0,1,..., N / 4 1 X 6 (k ) DFT [ x6 (l )] DFT [ x2 (2l 1)]
k 2k 统一系数：WN W /2 N
这样逐级分解，直到2点DFT 当N = 2时，即分解到X3(k)，X4(k)，X5(k)， X6(k)，k = 0, 1
x2 ( r )W
kr N /2
X 1 (k ) W X 2 (k )
k N
其中： k 0,1,..., N / 2 1 X 1 ( k )、X 2 ( k )为x1 ( r )和x 2 ( r )的N / 2点DFT
又由于存在
W
k N / 2 N
W
k N
有
N / 2 1 N / 2 1 N ( k N / 2) r ( k N / 2) ( k N / 2) r X (k ) x1 (r )WN W x ( r ) W /2 N 2 N /2 2 r 0 r 0
N x1 ( n) x ( n) x ( n ) 2 N n x2 ( n ) [ x ( n ) x ( n )] WN 2
X ( 2r )
N / 2 1 n 0
rn x ( n ) W 1 N /2
X (2r 1)
N / 2 1 n 0
rn x ( n ) W 2 N /2
N2 /2 N /2 N /2
2
复数加法 N / 2 (N / 2 –1) N (N / 2 –1) 2 N
N N / 2 1 N N2 /2
总计
运算量减少了近一半
N / 2仍为偶数，进一步分解：N / 2
x1 (2l ) x3 (l ) 偶序列 x1 (2l 1) x4 (l ) 奇序列