数字信号处理第四章
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数字信号处理第四章 模拟滤波器频率变换、冲激响应不变法、双线性变换法
4.4 冲激响应不变法
一、基本原理
＝
x(t)
y(t)
取样
取样
x(n) = x(nT)
?
y(n) = y(nT)
?
＝
响应不变
4.4 冲激响应不变法
一、基本原理
其中
取样
其中
另，根据数字系统响应
冲激响应不变原则！
4.4 冲激响应不变法
一、基本原理
模拟滤波器：
（M<N）
部分分式分解
冲激响应不变准则：
数字滤波器：
因此，双线性变换不改变系统稳定性
4.4 双线性变换法
4、频率预畸变
0
高频进行压缩
无混叠，有畸变
频率越高，畸变越大
预畸变
预畸变公式：
根据数字滤波器设计指标，求对应模拟滤波器设计指标时，需预先进行畸变
4.4 双线性变换法
5、双线性变换法设计滤波器步骤
（1）确定数字滤波器技术指标
（Hz表示）
（弧度表示）或
1）带通：计算几何中心
0
若
，则
代替
若
，则
代替
若
，则令
4.2.4 模拟滤波器的频率变换
带通带阻滤波器衰减参数选择
几何对称：
若实际给出的指标不满足几何对称，如何应对？
2）带阻：计算几何中心
0
若
，则
代替
若
，则
代替
若
，则令
固定靠近
的两个值
以让过渡带更窄为选择标准（靠近中心，指标更严）
模拟转数字滤波器
已知一个模拟滤波器H(s)，如何得到数字滤波器H(z)？
3）设计归一化低通滤波器，得到传输函数
数字信号处理DSP第4章
G[3] 1
k 0,1, , N 1
2
13
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
将系数统一为 WNk 2 WN2k ,则可得
x[0]
N 4点
x[4]
DFT
G[0]
X [0]
G[1]
X [1]
x[2]
N 4点
WN0
x[6]
DFT
WN2
G[2]
1 G[3]
1
X [2] X [3]
x[1]
N 4点
X m1[i] WNr X m1[ j] , X m1[i] WNr X m1[ j]
m 1, 2 ,
每一个蝶形需要一次复数乘法和两次复数加法。
17
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
N点的DIT-FFT计算量为
复数乘法：
1
N 2
log2
N
N 2
复数加法：
2
N 2
log2
N
N
例： 如果每次复数乘法需要100us，每次复数加法需要20us，来 计算N=1024点DFT，则需要
12
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
同理
( N 4)1
( N 4)1
G[k] DFT[g[r]]
g[2l]WN2lk2
g[2l 1]WN(22l1)k
l 0
l 0
( N 4)1
( N 4)1
g[2l]WNlk 4 WNk 2
g[2l 1]WNlk 4 ,
l 0
l 0
k 0,1,
(3) WN0 WN4 WN8 WN12 WN16 WN20 WN24 WN28
或 WN4i i 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (dm 1)
k 0,1, , N 1
2
13
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
将系数统一为 WNk 2 WN2k ,则可得
x[0]
N 4点
x[4]
DFT
G[0]
X [0]
G[1]
X [1]
x[2]
N 4点
WN0
x[6]
DFT
WN2
G[2]
1 G[3]
1
X [2] X [3]
x[1]
N 4点
X m1[i] WNr X m1[ j] , X m1[i] WNr X m1[ j]
m 1, 2 ,
每一个蝶形需要一次复数乘法和两次复数加法。
17
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
N点的DIT-FFT计算量为
复数乘法：
1
N 2
log2
N
N 2
复数加法：
2
N 2
log2
N
N
例： 如果每次复数乘法需要100us，每次复数加法需要20us，来 计算N=1024点DFT，则需要
12
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
同理
( N 4)1
( N 4)1
G[k] DFT[g[r]]
g[2l]WN2lk2
g[2l 1]WN(22l1)k
l 0
l 0
( N 4)1
( N 4)1
g[2l]WNlk 4 WNk 2
g[2l 1]WNlk 4 ,
l 0
l 0
k 0,1,
(3) WN0 WN4 WN8 WN12 WN16 WN20 WN24 WN28
或 WN4i i 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (dm 1)
数字信号处理 第4章 FFT基本思想和2种基本的FFT
= −W
W的对称性
W的可约性
2 rk WN rk = WN / 2
长序列变成短序列 若N → 2个N / 2
2 则N 2次复述乘法 →（N / 2）= N 2 / 2次复数乘法 2
从信号的特殊性上考虑
– 如奇、偶、虚、实性
W 0 X (0) X (1) W 0 = X (2) W 0 0 X (3) W
对 N = 2M ， 共可分 M 次，即 m = 0,1,L , M − 1，
8点FFT时间抽取算法信号流图
每一级有 N/2 个如下的“蝶形”单元：
xm ( p )
xm +1 ( p )
W
r N
xm (q)
−1
xm +1 (q )
算法讨论（ “级”的概念、碟形单元、 “组” 的概念、旋转因子的分布、码位倒置）
r =2l ,r =2l +1
A(k ), B(k )
C(k) = D(k) =
N / 4−1 l =0
∑x(4l)W
l =0
lk N/4
, k = 0,1,..., N / 4 −1
N / 4−1
lk x(4l + 2)WN / 4 , k = 0,1,..., N / 4 −1 ∑
k A(k) = C(k) +WN / 2 D(k), k = 0,1,..., N / 4 −1 k A(k + N / 4) = C(k) −WN / 2 D(k), k = 0,1,..., N / 4 −1
x(6)
n N
N n = 0,1,L , 2
由此得到基本 运算单元
g (0) g (1) g (2) g (3)
数字信号处理课件第四章资料
k 0,1,..., N 1 2
5、时间抽取蝶形运算流图符号
X1(k)
X1(k) WNk X 2 (k)
X 2 (k )
WNk
1 X1(k) WNk X 2 (k)
返回DIF 返回例题
设 N 23 8
X1(k)
X 2 (k )
WNk
k 0
W80
1
W81
2
W82
3
W83
X (k)
k 0,1,,7
l0
l 0
X1(k) X 3(k) WNk X 4 (k)
2
X1(k
N 4
)
X 3 (k )
W Nk
2
X
4
(k)
k 0,1,..., N 1 4
x2(r)也进行同样的分解：
x5 (l) x2 (2l)
x6 (l) x2 (2l 1)
l 0,1,..., N 1 4
)
N
/ 21
x1(r)WNrk/ 2
X1(k)
r 0
r 0
X2(k N / 2) X2(k) X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
W (kN N
/
2)
WNkWNN
/
2
WNk
N点X(k)可以表示成前 N点和后 点N 两部分：
2
2
前半部分X(k)：
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
N 1
X (k) x(n)WNnk k = 0, 1, …, N-1
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n = 0, 1, …, N-1
二者的差别只在于WN 的指数符号不同，以及差一 个常数因子1/N，所以IDFT与DFT具有相同的运算量。
5、时间抽取蝶形运算流图符号
X1(k)
X1(k) WNk X 2 (k)
X 2 (k )
WNk
1 X1(k) WNk X 2 (k)
返回DIF 返回例题
设 N 23 8
X1(k)
X 2 (k )
WNk
k 0
W80
1
W81
2
W82
3
W83
X (k)
k 0,1,,7
l0
l 0
X1(k) X 3(k) WNk X 4 (k)
2
X1(k
N 4
)
X 3 (k )
W Nk
2
X
4
(k)
k 0,1,..., N 1 4
x2(r)也进行同样的分解：
x5 (l) x2 (2l)
x6 (l) x2 (2l 1)
l 0,1,..., N 1 4
)
N
/ 21
x1(r)WNrk/ 2
X1(k)
r 0
r 0
X2(k N / 2) X2(k) X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
W (kN N
/
2)
WNkWNN
/
2
WNk
N点X(k)可以表示成前 N点和后 点N 两部分：
2
2
前半部分X(k)：
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
N 1
X (k) x(n)WNnk k = 0, 1, …, N-1
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n = 0, 1, …, N-1
二者的差别只在于WN 的指数符号不同，以及差一 个常数因子1/N，所以IDFT与DFT具有相同的运算量。
《数字信号处理》第四章 相关分析
r12 ( )
x1
(t
)
x2
(t
)dt
x1 (t
)x2 (t)dt
r21( )
x1
(t
)x2 (t)dt
x1
(t
)
x2
(t
)dt
以及
rxx ( )
x(t)x (t )dt x (t)x(t )dt
一、自相关函数的性质
1、自相关函数rxx(τ)的极大值在τ=0处，是实数。
rxx ( ) rxx (0)
证明：
rxx ( )
x(t)x (t )dt
x2 (t)dt x2 (t )dt
x2 (t)dt
x2 (u)du
y2 (t)dt
将其代入均方误差，得到这种近似的最小均方误差为
min
xe2 (t)
x2 (t)dt
x(t
)
y(t
)dt
2
y2 (t)dt
第一节 相关
式中右边第一项 x2 (t)dt表示了原信号x(t)的能量。
若将上式用原信号能量归一化成为相对误差，则有
第二节 相关函数的性质
这是由于：
① r(τ)完全由它的能量谱或功率谱P(f )来决定； ② P(f ) =∣X(f )∣2
具有相同的振幅谱而不同相位谱的信号，可以 有相同的自相关函数。
第一节 相关
此时，相关函数r(τ)具有如下性质：
r12 ( ) r21( )
数字信号处理_程佩青_PPT第四章
第四章 快速傅里叶变换 （FFT）
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
又WN
k
N 2
W
N /2 N
W W
k N
k N
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1 (2) X ( N k ) X ( N k ) W ( N / 2 k ) X ( N k ) 1 N 2 2 2 2 k X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1
n为偶
n为奇
N / 2 1
rk k rk x ( r ) W W x ( r ) W 1 N /2 N 2 N /2 r 0 r 0 X1 ( k )
N / 2 1
2 rk rk （这一步利用： WN WN /2
） r , k 0,1,...N / 2 1
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。
将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
x1 (r ) x(2r ) ，r 0， 1， 2， ...N/ 2 1 x2 (r ) x(2r 1)
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
又WN
k
N 2
W
N /2 N
W W
k N
k N
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1 (2) X ( N k ) X ( N k ) W ( N / 2 k ) X ( N k ) 1 N 2 2 2 2 k X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1
n为偶
n为奇
N / 2 1
rk k rk x ( r ) W W x ( r ) W 1 N /2 N 2 N /2 r 0 r 0 X1 ( k )
N / 2 1
2 rk rk （这一步利用： WN WN /2
） r , k 0,1,...N / 2 1
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。
将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
x1 (r ) x(2r ) ，r 0， 1， 2， ...N/ 2 1 x2 (r ) x(2r 1)
数字信号处理第四章-数字滤波器的结构
3).H (z)
Y (z) X (z)
(1 bz1) (1 az1)
y(n) ay(n 1) x(n) bx(n 1)
9
10
11
w w
12
转置流图：
w(n) y(n)
原流图：
w(n) ay(n 1) x(n) bx(n 1) 两边作Z变换：
w(n) x(n) aw(n 1) y(n) w(n) bw(n 1) 两边作Z变换：
乘法系数为复数，运算量增加； 系统的稳定性依赖于零、极点相互抵消，对实
现的精度要求很高。在存在有限字长效应的情 况下，有可能造成系统不稳定。
54
确保所有零点、极点在单位圆内。 55
（h(n)为实数）
第k对 极点， 即第k 个与第 N-k个 谐振器 合并
56
谐振频 率不变
还有两点需要注意：（存在实根） 57
1
前言
线性时不变系统用单位冲击响应来表示 系统函数实际上单位冲击响应的Z变换 系统函数反映线性时不变系统的特性 大多数的信号处理可看成是对信号的滤波操作 数字滤波器实际上就是线性时不变系统
因此数字滤波器可以表示为：
2
前言
M
bk zk
H(z) Y(z) / X (z)
k 0 N
1 ak zk
从信号流图中：
可以清楚地看到系统中的运算步骤和运 算结构。FFT时用到了该特点。
运算结构可以直观反映所需的存储单元 和运算次数。由于是数字实现，必然存 在系统误差，运算结构同时也可以反映 系统误差的累积问题。 下面讨论的IIR和FIR滤波器结构将涉及 上述问题。
14
1
15
无限冲击响应滤波器的特点
82
数字信号处理-第四章(加绪论共八章)精品PPT课件
= 2- (cosω+cos2ω)
21
4.1.2 小结
• 四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于 h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。 •幅度特性取决于h(n)。 •设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的 条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。
注意：当H(ω)用│H(ω)│表示时，当H(ω)为 奇对称时，其相频特性中还应加一个固定 相移π。
22
4.1.3 线性相位FIR滤波器的零点特性
h(n) h(N 1 n)
H z zN1H z1
N 1
N 1
H z hnzn hN 1 nzn
N 1 n0
n0
N 1
h(m)z N 1m z N 1 h m z m
m0
m0
zN 1H z1
1）若 z = zi 是H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点
4.1.1 线性相位的条件 线性相位意味着一个系统的相频特性是 频率的线性函数，即 ()
式中为常数，此时通过这一系统的各频率分
量的时延为一相同的常数，系统的群时延为
g
d () d
5
线性相位FIR滤波器的DTFT为
N1
H e j h n e jn H e j () H ()e j
26
截短并移位的脉冲响应
过渡带带宽＝阻带边缘频率－通带边缘频率 设计中用的通带边缘频率=所要求的通带边缘频率+(过渡带带宽/2) 27
20
例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求 幅度函数H (ω)。
解 Ｎ为奇数并且h(n)满足偶
对称关系 a (0) = h (2) = 2 a (1) = 2 h (3) = -1 a (2) = 2 h (4) = -1 H (ω) = 2 - cosω- cos2ω
21
4.1.2 小结
• 四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于 h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。 •幅度特性取决于h(n)。 •设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的 条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。
注意：当H(ω)用│H(ω)│表示时，当H(ω)为 奇对称时，其相频特性中还应加一个固定 相移π。
22
4.1.3 线性相位FIR滤波器的零点特性
h(n) h(N 1 n)
H z zN1H z1
N 1
N 1
H z hnzn hN 1 nzn
N 1 n0
n0
N 1
h(m)z N 1m z N 1 h m z m
m0
m0
zN 1H z1
1）若 z = zi 是H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点
4.1.1 线性相位的条件 线性相位意味着一个系统的相频特性是 频率的线性函数，即 ()
式中为常数，此时通过这一系统的各频率分
量的时延为一相同的常数，系统的群时延为
g
d () d
5
线性相位FIR滤波器的DTFT为
N1
H e j h n e jn H e j () H ()e j
26
截短并移位的脉冲响应
过渡带带宽＝阻带边缘频率－通带边缘频率 设计中用的通带边缘频率=所要求的通带边缘频率+(过渡带带宽/2) 27
20
例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求 幅度函数H (ω)。
解 Ｎ为奇数并且h(n)满足偶
对称关系 a (0) = h (2) = 2 a (1) = 2 h (3) = -1 a (2) = 2 h (4) = -1 H (ω) = 2 - cosω- cos2ω
《数字信号处理教学课件》第四章 快速傅立叶变换
l
)W
( 2l 1) N /2
k
l0
l0
N / 41
N / 41
x5
(l
)W
lk N/
4
Wk N /2
x6
(l
)W
lk N/
4
l0
l0
X
5
(
k
)
W
K N/
2
X
6
(
k
)
X2(k)
X
5
(k
)
W
k N
/
2
X
6
(
k
)
X 2 (k
N 4)
X
5
(
k
)
W
k N
/
2
X
6
(
得到：
x(2r) x1(r) x(2r 1) x2(r)
r 0,..., N 2 1
带入DFT中
X (k) DFT[ x(n)]
N 1
x(n)WNnk n0
N 1
N 1
x(
n)W
nk N
x(n)W
nk N
n0
n为 偶 数
n0
n为 奇 数
N点 DFT
复乘：
N2
N/2点 DFT
N/2点 DFT
N/4点 DFT N/4点 DFT N/4点 DFT N/4点 DFT
…….
N
2
N
2
2 2
N2 2
N
数字信号处理_程佩青_PPT第四章
第四章 快速傅里叶变换 （FFT）
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
nk / m N /m
nk N
j
e e j 1 e 0 ( k N / 2) k 特殊点： WN 1 WNN / 2 1 WN WN
2 mnk mN
W
mnk mN
W
nk N
W
j
2 N N 2
FFT 算法的基本思想： 利用DFT 系数的特性，合并DFT 运算中的某些项， 把长序列DFT 短序列DFT，从而减少其运算量。
倒位序
x(n) n (n2n1n0 ) 2
倒位序
000 100 010 0 4 2
自然序
0 1 2 000 001 010
110
001 101
6
1 5
3
4 5
011
100 101
011
111
3
7
6
7
110
111
例 计算
x(n) 0,1,2....31 。计算 N 32 点FFT。用时间抽取输入倒序算法，
x3 (l )
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
nk / m N /m
nk N
j
e e j 1 e 0 ( k N / 2) k 特殊点： WN 1 WNN / 2 1 WN WN
2 mnk mN
W
mnk mN
W
nk N
W
j
2 N N 2
FFT 算法的基本思想： 利用DFT 系数的特性，合并DFT 运算中的某些项， 把长序列DFT 短序列DFT，从而减少其运算量。
倒位序
x(n) n (n2n1n0 ) 2
倒位序
000 100 010 0 4 2
自然序
0 1 2 000 001 010
110
001 101
6
1 5
3
4 5
011
100 101
011
111
3
7
6
7
110
111
例 计算
x(n) 0,1,2....31 。计算 N 32 点FFT。用时间抽取输入倒序算法，
x3 (l )
数字信号处理 第4章 信号与系统的复频域分析
有的零点和极点以及比例因子bm，就可以 确定系统函数。因此，系统函数的零点和
极点的分布反映了系统的各种特征。
系统函数往往用零点和极点在S平面上的分 布图来表示，以”○”表示零点，以”×” 表示极点，以“⊙”表示重零点，以”*” 表示重极点。
jω
×
1
○
*
-2
-1
○
01
○
2
σ
×
-1
H
(s)
s(s (s2 2s
求上式的拉氏反变换，就可以得到系统的
冲激响应为：
n
h(t) bm kie pit i 1
每一极点对应一分量 epit ,(有r重极点时对 应 t e r1 pit ），极点位置就决定了该分量 的时域性质。
在H(s)的系数都为实数时，如果有一极点
为复数，必有另一极点是该极点的共轭复 数，同时系数k也将为共轭复数，一对共轭 极点组成的响应分量仍然为实数。
系统稳定性：对于任何一个有界的激励， 稳定系统产生的响应在任何时候都是有界 的。也就是要求系统的冲激响应有界（随 着t→∞，|h(t)|将逐渐衰减到零）。系统的 冲激响应的时域性质可由系统函数的极点 位置确定，因此，系统的稳定性可由系统 函数的极点位置来判断。
1、系统函数的极点全部位于左半S平面时， 随着t→∞将逐渐衰减到零，系统稳定。因
1
F (s)estds F (s)estds
2 j C0 Ci
Ci
0
k
Re
s(sk
)
1
2
j
Ci
F
(s)e st ds
F (s)estds 0 t 0
C1
F (s)estds 0 t 0
C2
极点的分布反映了系统的各种特征。
系统函数往往用零点和极点在S平面上的分 布图来表示，以”○”表示零点，以”×” 表示极点，以“⊙”表示重零点，以”*” 表示重极点。
jω
×
1
○
*
-2
-1
○
01
○
2
σ
×
-1
H
(s)
s(s (s2 2s
求上式的拉氏反变换，就可以得到系统的
冲激响应为：
n
h(t) bm kie pit i 1
每一极点对应一分量 epit ,(有r重极点时对 应 t e r1 pit ），极点位置就决定了该分量 的时域性质。
在H(s)的系数都为实数时，如果有一极点
为复数，必有另一极点是该极点的共轭复 数，同时系数k也将为共轭复数，一对共轭 极点组成的响应分量仍然为实数。
系统稳定性：对于任何一个有界的激励， 稳定系统产生的响应在任何时候都是有界 的。也就是要求系统的冲激响应有界（随 着t→∞，|h(t)|将逐渐衰减到零）。系统的 冲激响应的时域性质可由系统函数的极点 位置确定，因此，系统的稳定性可由系统 函数的极点位置来判断。
1、系统函数的极点全部位于左半S平面时， 随着t→∞将逐渐衰减到零，系统稳定。因
1
F (s)estds F (s)estds
2 j C0 Ci
Ci
0
k
Re
s(sk
)
1
2
j
Ci
F
(s)e st ds
F (s)estds 0 t 0
C1
F (s)estds 0 t 0
C2
数字信号处理 第四章
线性相关的FFT算法
1. 2. 3. 4.
计算步骤： X 求N点FFT， ( k ) DFT x ( n ) ； Y 求N点FFT， ( k ) DFT y ( n ) ； 求乘积，R ( k ) X ( k )Y ( k ) ； r 求N点IFFT， ( n ) IDFT R ( k ) 。 同样，可以利用已有的FFT程序计算IFFT， 求 1 1
mF 3 2 N log
2
3 N N N 1 log 2
2
N
线性卷积的FFT算法
[结论]：用线性相位FIR滤波器来比较直接计算 线性卷积和FFT法计算线性卷积这两种方法 的乘法次数，得
Km md mF ML 3 2 N 1 log 2 N 2 ML 3 2M L 11 log 2 M L 1 2
算法原理 运算量 按时间抽选的FFT算法的特点
按时间抽选的FFT算法的特点
原位运算（同址运算）
运算规律：每级（每列）计算都是由N/2个蝶形运 算构成，每一个蝶形结构完成下述基本迭代运算：
X m ( k ) X m 1 ( k ) X m 1 ( j )W Nr r X m ( j ) X m 1 ( k ) X m 1 ( j )W N
第4章 快速Fourier变换(FFT)
4.1 引言 4.2 直接计算DFT的问题及改进的途径 4.3 按时间抽选(DIT)的基－2FFT算法(库利－ 图基算法) 4.4 按频率抽选(DIF)的基－2 FFT算法（桑德 －图基算法） 4.5 离散Fourier反变换(IDFT)的快速计算方法 4.10 线性卷积与线性相关的FFT算法
《数字信号处理》 第4章
造成倒位序的原因： 将其按标号的偶奇的不断分组， 每次分解总是将偶序列放在上面， 把奇序列放在下面。 首先最低位按0、1分为偶、奇两组， 接着次低位也按0、1分组， 依此类推
右图为描述倒位序的树状图(N=8)
5 倒位序的实现
对照表
变址功能
产生倒序数的十进制运算规律 N=2M，用M位二进制数表示，则从左至右的十进制权值为：
N 1 4
x1(2l)WNk22l
N 1 4
x1(2l
1)WNk22l1
r0
l0
l0
N1
N1
4
4
x3(l)WN kl4WN k2 x4(l)WN kl4
l0
l0
X 3(k) W N k2X 4(k),k0 ,1 ,
,N 1 2
式中
N1 4
N1 4
X3(k)DFTx3(l) x3(l)WN kl4 X4(k)DFTx4(l) x4(l)WN kl4
47线性调频变换chirp变换算法471算法原理已知序列xn0nn1是有限长序列其z变换为为适应z可沿z平面更一般的路径取值就沿z平面上的一段螺线作等分角的采样z的这些采样点zk为因此有其中a决定起始采样点z0的位置a0表示z0的矢量半径长度通常取a010表示z0的相角0表示两相邻采样点之间的角度差w0一般为正值表示螺线的伸展率图471线性调频变换在平面的螺线采样当mn即时各采样点zk就均匀等间隔地分布在单位圆上这就是求序列的dft
N
W N k(N n)W N (N k)nW N kn,
W
2 N
1
N
k
WN 2
WNk
利用这些特性，使DFT运算中有些项可以合并，并且可以 将长序列的DFT分解为几个短序列的DFT，以减少DFT的运算 次数。
右图为描述倒位序的树状图(N=8)
5 倒位序的实现
对照表
变址功能
产生倒序数的十进制运算规律 N=2M，用M位二进制数表示，则从左至右的十进制权值为：
N 1 4
x1(2l)WNk22l
N 1 4
x1(2l
1)WNk22l1
r0
l0
l0
N1
N1
4
4
x3(l)WN kl4WN k2 x4(l)WN kl4
l0
l0
X 3(k) W N k2X 4(k),k0 ,1 ,
,N 1 2
式中
N1 4
N1 4
X3(k)DFTx3(l) x3(l)WN kl4 X4(k)DFTx4(l) x4(l)WN kl4
47线性调频变换chirp变换算法471算法原理已知序列xn0nn1是有限长序列其z变换为为适应z可沿z平面更一般的路径取值就沿z平面上的一段螺线作等分角的采样z的这些采样点zk为因此有其中a决定起始采样点z0的位置a0表示z0的矢量半径长度通常取a010表示z0的相角0表示两相邻采样点之间的角度差w0一般为正值表示螺线的伸展率图471线性调频变换在平面的螺线采样当mn即时各采样点zk就均匀等间隔地分布在单位圆上这就是求序列的dft
N
W N k(N n)W N (N k)nW N kn,
W
2 N
1
N
k
WN 2
WNk
利用这些特性，使DFT运算中有些项可以合并，并且可以 将长序列的DFT分解为几个短序列的DFT，以减少DFT的运算 次数。
《数字信号处理》课件第4章
2
N 1
N2 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
复数加法次数为
N N 1 2N N 2 2 2 2
由此可见，仅仅经过一次分解，就使运算量减少近一半。 既然这样分解对减少DFT的运算量是有效的，且N=2M, N/2仍然是偶数，故可以对N/2点DFT再作进一步分解。
J 0, 1, 2, 3
这种算法使DFT的运算效率提高了1 ~ 2个数量级， 为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造 了条件，大大推动了数字信号处理技术的发展。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
人类的求知欲和科学的发展是永无止境的。多年来， 人们继续寻求更快、更灵活的好算法。1984年，法国的 杜哈梅尔(P. Dohamel)和霍尔曼(H. Hollmann)提出的分裂 基快速算法，使运算效率进一步提高。本章主要讨论基 2FFT
x1
(2l
1)WNk
( /
2l 2
1)
l 0
l 0
N / 41
N / 41
x3 (l)WNkl/ 4 WNk / 2
x4
(l
)WNk
l /
4
l 0
l 0
X 3 (k ) WNk/ 2 X 4 (k )
k 0， 1， ， N 1 2
(4.2.9)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
式中
N / 41
204.8
N lbN 5120
2
这样，就使运算效率提高200多倍。图4.2.5为FFT算法
和直接计算DFT所需复数乘法次数CM与变换点数N的关 系曲线。由此图更加直观地看出FFT算法的优越性，显
然，N
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
数字信号处理第四章
第四章线性时不变离散时间系统的频域分析一、传输函数和频率响应clear;M = input('Enter the filter length M: ');w = 0:2*pi/1023:2*pi;num = (1/M)*ones(1,M);den = [1];h = freqz(num, den, w);subplot(2,1,1)plot(w/pi,abs(h));gridtitle('Magnitude Spectrum |H(e^{j\omega})|')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');subplot(2,1,2)plot(w/pi,angle(h));gridtitle('Phase Spectrum arg[H(e^{j\omega})]')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Phase in radians');M=2 M=10 M=15幅度谱为偶对称，相位谱为奇对称，这是一个低通滤波器。
M越大，通带越窄且过渡带越陡峭。
使用修改后的程序P3.1，计算并画出当w=[0,pi]时传输函数的因果线性时不变离散时间系统的频率响应。
它表示哪种类型的滤波器？w = 0:pi/511:pi;num = [0.15 0 -0.15];den = [1 -0.5 0.7];如下列图1这是一个带通滤波器。
图1 图2Q4.3对下面的传输函数重做习题Q4.2：，式〔4.36〕和式〔4.37〕给出的两个滤波器之间的区别是什么？你将选择哪一个滤波器来滤波，为什么？w = 0:pi/511:pi;num = [0.15 0 -0.15];den = [0.7 -0.5 1];如上图2也是一个带通滤波器，这两个滤波器的幅度谱是一样的，相位谱不太一样，我会选择第一个带通滤波器，因为它的相位谱更加平滑，相位失真小。
精品文档-数字信号处理(吴瑛)-第4章
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
由于1点序列的DFT值为其序列本身，因此在最后一次分
解后，流图中已经没有直接计算DFT的环节。第三次分解旋转
因子为
W20 ，WN运0 算流图如图4.3.4
由以上例子我们可以看出，由于每一次分解都是按输入序
列在时域上的次序是偶数还是奇数来抽取的，最终分解成N个1
点DFT，因此称为基2时分FFT。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言 4.2 提高DFT运算效率的基本途径 4.3 基2时分FFT算法 4.4 基2频分FFT算法 4.5 IDFT的快速算法 4.6 实序列DFT的有效计算方法 4.7 线性调频Z(Chirp-Z)变换算法 习题与上机题
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引 言
利用旋转因子的可约性，即
W nkm Nm
WNnk
，
X(k)
X
(k)
N 2
1
x1
(r
)WNrk/
2
WNk
N 2
1
x2
(r
)WNrk/
2
,
0 k N 1
r 0
r 0
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
由于X1(k)和X2(k)都隐含周期性，周期为 N ，因此上式 2
X (k) X~1(k) WNk X~2 (k), 0 k N 1
N 2
)
X1(k
)
WNk
X
2
(k
)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
X (k) X1(k) WNk X 2 (k),
0 k N 1 2
X
(k
N 2
)
X1(k
数字信号处理 第二版 第四章
02
12
Z 12
1
H 2 (Z )
22
Z 1
图4-10 三阶IIR滤波器并联结构
30
并联型的特点： ①系统实现简单； ②极点位置可单独调整； ③运算速度快（可并行进行）； ④各二阶网络的误差互不影响，总的误差小， 对字长要求低。 缺点： 不能直接调整零点。
31
三、转置结构 如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将 输入和输出交换，其系统图表示
9
§4-2 IIR数字滤波器的结构
一、IIR滤波器的特点 1、单位冲激响应 h(n) 是无限长的。 2、系统函数 H ( z)在有限Z平面（0 z ）
上有极点存在。 3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入 的反馈。
10
二、基本结构 1、直接I型
π
ω
3
数字滤波器的实现方法： a.利用通用计算机编程，即软件实现；
b.数字信号处理器（DSP）即专用硬件实现。
二、数字滤波器的系统函数与差分方程 1、系统函数 一个数字滤波器的系统函数一般可表示 为有理函数形式：
Y ( z) H ( z) X ( z)
b z
k
M
k
1 ak z k
k b z k
M
1 ak z
k 1 M1
k 0 N
k
A
(1 p z ) (1 q z
1
k k
M2
1
)(1 qk z )
1
1 1 1 (1 c z ) (1 d z )(1 d z ) k k k k 1 k 1
k 1 N1
第四章 数字滤波网络
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一
分裂基FFT算法原理
N 当n pq, 且p , q 4时, n可以表示为 4 N N n pn1 n0 n1 n0 , 0 n1 3, 0 n0 1 4 4
当n pq, 且p
N , q 4时, n可以表示为 4 0 n1 3, 0 n0 N 1 4
数字信号处理
第四章
4.1
引言
离散傅立叶变换（DFT）是信号分析与处理中的重 要变换，但其计算量与变换区间长度N的平方成正比，计 算量太大。直到1965年发现了DFT的快速算法——FFT （Fast Fourier Transform）以后，才为数字信号处理技术 的应用创造了条件，同时也大大推动了数字信号处理技 术的发展。
N / 2 1
r 0
kr k x1 (r )WN W /2 N
N / 2 1
r 0
kr x2 (r )WN /2
X 1 (k ) WNk X 2 (k )
N点DFT可以分解为两个N/2点的DFT并以下面两式进行运算：
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )
N
/4
l 0,1,..., N / 4 1
k X 1 (k ) X 3 (k ) WN /2 X 4 ( k ) N k 0,1,..., 1 N k 4 X 1 (k ) X 3 (k ) WN /2 X 4 (k ) 4
同理：
k X 2 (k ) X 5 (k ) WN N /2 X 6 ( k ) k 0,1,..., 1 N 4 k X ( k ) X ( k ) W X ( k ) 2 5 N /2 6 4
频域抽取法 DIF－FFT
设序列x(n)的长度为N，且满足N＝2M，M为自然数。将x(n)前后对半 分开，得到两个子序列，其DFT可以表示如下：
kn X (k ) DFT[ x(n)] x(n)WN n 0 N 1
N / 2 1 n 0
x (n)W x (n)W
x(n)
N x1 (n) x(n) x(n ) 2
n WN
x(n+N/2)
N n x2 (n) [ x(n) x(n )]WN 2
x(0) x(1) x(2) x(3)
0 WN
1 WN 2 WN
3 WN
x1(0) x1(1) x1(2) x1(3)
N/2 点 DFT
X(0) X(2) X(4) X(6)
时域抽取法 DIT－FFT
设序列x(n)的长度为N，且满足N＝2M，M为自然数。 按n 的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列：
x1 (r ) x(2r ), x2 (r ) x(2r 1), N r 0,1,..., 1 偶序列 2 N r 0,1,..., 1 奇序列 2
(4 k1 k0 ) n0 WN [ x(n0 ) x(
X (4k1 k0 ) =
N / 4 1 n0 0
(4 k1 k0 ) n0 WN [ x(n0 ) x(
N N 3N n0 )W4k0 x( n0 )W42 k0 x ( n0 )W43k0 4 2 4
X 4 (k )
N /41
l 0
lk lk x4 (l )WN x ( l ) W 4 N /4 /4 l 0
1
k 0,1
0 X 4 (0) x4 (0)W20 W20 x4 (1) x(2) WN x(6) 0 1 0 X (1) x (0) W W x (1) x (2) W 4 2 2 4 N x (6) 4
N / 4 1
= =
n0 0 N / 4 1 n0 0
(4 k1 k0 ) n0 WN [ x(n0 ) x(
N N 3N n0 )W44 k1 k0 x( n0 )W42(4 k1 k0 ) x( n0 )W43(4 k1 k0 ) ] 4 2 4 N N 3N n0 )W4k0 x( n0 )W42 k0 x( n0 )W43k0 ] 4 2 4
N x1 ( n) x ( n) x ( n ) 2 N n x2 ( n ) [ x ( n ) x ( n )] WN 2
X ( 2r )
N / 2 1 n 0
rn x ( n ) W 1 N /2
X (2r 1)
N / 2 1 n 0
rn x ( n ) W 2 N /2
n 0 n 0
kn N
n N / 2 N / 2 1
x (n)W
x (n
N 1
kn N
N / 2 1
kn N
n 0
N k ( n N / 2) )WN 2
N / 2 1
kN / 2 [ x ( n ) W x (n N
N kn )]WN 2
其中： W
kN / 2 N
WNN－m＝e
j
2 ( N m) N
,
－m WN WNN－m ;
WN
m
N 2
e
j
2 m N
e
j
2 N N 2
m WN .
FFT算法分为两类：
时域抽取法FFT（Decimation-In-Time) 频域抽取法FFT（Decimation-In-Frequency)
4.2 基2FFT算法
• 基 2 FFT 是指变换区间的长度N为2 的整数次幂，即N＝2M
一、直接计算DFT的特点 长度为N的序列x(n)的DFT为：
X (k ) x(n)W
n 0
N 1
kn N
,
k 0,1,..., N 1
考虑x(n)为复数序列的一般情况，对于某个k值，计 算X(k)值需要N次复数乘法、N－1次复数加法运算。因 此对所有N个k值，共需N2次复数乘法及N(N-1)次复数 加法运算。当N>>1时，N（N－1）≈N2。
时域抽取法与直接计算DFT运算量比较
• 时域抽取法有M级蝶形运算 M N 2 • 每一级都有N/2个蝶形运算 • 每一蝶形运算符都有一次复数乘法;两次复数加 法,所以M级运算共有复数乘法次数为:
N N .M log 2 N 2 2
共有复数加法次数为 N .M N log2 N
比较DFT mF ( DFT ) N2 2N mF ( FFT ) N log N log 2 N 2 2
k ( 2 r 1 ) N
N / 2 1
k 2r N
W
x2 ( r )W
k 2r N
由于
W
2 kr N
e
j
2 2
W
kr N /2
X (k )
N / 2 1 r 0
x1 ( r )W
kr N /2
W
k N
N / 2 1 r 0
则x(n)的DFT为
X (k )
n偶 数 N / 2 1 r 0
kn x ( n ) W N
n 奇 数
kn x ( n ) W N N / 2 1 r 0 k N
x( 2r )W x1 ( r )W
r 0
k 2r N
x( 2r 1)W
N / 2 1 r 0
N2 /2 N /2 N /2
2
复数加法 N / 2 (N / 2 –1) N (N / 2 –1) 2 N
N N / 2 1 N N2 /2
总计
运算量减少了近一半
N / 2仍为偶数，进一步分解：N / 2
x1 (2l ) x3 (l ) 偶序列 x1 (2l 1) x4 (l ) 奇序列
对k0 0,1, 2,3, 并用k 表示k1 ,用n表示n0 ,上式可以写出: N N 3N n ) x ( n ) x ( n)] 4 2 4 n 0 N / 4 1 N N 3N (4 k 1) n X (4k 1) = WN [ x(n) x( n)W41 x( n )W42 x( n)W43 ] 4 2 4 n 0 N / 4 1 N N 3N (4 k 1) n = WN [ x (n) jx ( n) x ( n) jx ( n)] 4 2 4 n 0 N / 4 1 N N 3N (4 k 2) n X (4k 2)= WN [ x ( n) x ( n) x ( n) x ( n)] 4 2 4 n 0 N / 4 1 N N 3N (4 k 3) n X (4k 3)= WN [ x(n) jx( n) x( n) jx( n)] 4 2 4 n 0 N 0 k 1 4 X (4k ) = WN4 kn [ x(n) x(
W
n1 0
x(
3
N n1 n0 )W4kn1 4 N N 3N n0 )W4k x( n0 )W42 k x ( n0 )W43k ] 4 2 4 N 1 0 k0 3, 4
WNkn0 [ x(n0 )W4k 0 x(
将上式中的k 表示为 : k 4k1 k0 , 0 k1 X (k ) X (4k1 k0 )
X (k ) x(n)WNkn
n0
N 1
n pn1 n0
N n1 n0 , 4
= =
N / 4 1 3 n0 0
N k ( n1 n0 ) N x( n1 n0 )WN 4 4 n1 0 kn0 N