第八章欧氏空间

第九章欧氏空间

［教学目标］

1理解欧氏空间、内积、向量的长度、夹角、正交和度量矩阵的概念。2理解正交组、正交基、标准正交基和正交矩阵的概念，理解n维欧氏空间的标准正交基的存在性和标准正交基之间过渡矩阵的性质，重点掌握施密特正交化方法。

3理解欧氏空间同构的定义和同构的充要条件。

4理解正交变换的定义及正交变换与正交矩阵的关系，掌握正交变换的几个等价条件。

5理解子空间的正交和正交补的概念，掌握正交补的结构和存在唯一性。

6理解对称变换的定义和对称变换与对称矩阵之间的关系，掌握实对称矩阵特征值的性质，重点掌握用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。

［教学重难点］

欧氏空间的定义，求向量的长度和夹角的方法，施密特正交化方法，正交变换与正交矩阵的关系，用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。

［教学方法］讲授，讨论和习题相结合。

［教学时间］18学时。

［教学内容］

欧氏空间的定义和性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的矩离、最小二乘法*。 [教学过程]

§1 定义、性质

定义1：设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，如果它具有以下性质：

（1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+

（4）0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。

这里R k V ∈∈,,,γβα，则V 称为欧几里得空间（简称欧氏空间） 例1、例2。 练习：394P 1（1）。

定义2：非负实数),(αα称为α的长度，记为α 性质：ααk k =

单位向量：长度为1的向量。

α单位化：

α

α

-Cauchy Буняковский不等式：βα,∀，有

βαβα≤),(

等号成立当且仅当βα,线性相关。

在不同内积中，-Cauchy Буняковский不等式的具体例子：

例1中，2

2221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ

例2中，2

1

2

1

)()()()(⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰

b

a b

a b

a

dx x g dx x f dx x g x f 394P 1、（2）中，∑∑∑∑∑∑======≤

n j n

i j i ij

n j n

i j

i ij

n

j n

i j i ij y y a

x x a

y x a 11

11

11

定义3：非零向量βα,的夹角βα,为

β

αβαβα)

,(arccos

,=， πβα≤≤,0。

三角不等式：βαβα+≤+

定义4：若0),(=βα，称βα,正交或垂直，记为α⊥β 性质：（1）两个向量正交2

,π

βα=

（2）只有零向量才与自身正交，除此之外，任意非零向量均不能与自身正交。

（3）勾股定理：当α⊥β时，2

2

2

βαβα+=+ 可推广到有限个向量正交的情形：

2

2

22

12

21m m αααααα+++=+++ΛΛ 定义5：度量矩阵

设V 是数域F 上的n 维线性空间，n εεε,,,21Λ是它的一组基，

V ∈∀βα,，有

n

n n

n y y y x x x εεεβεεεα+++=+++=ΛΛ22112211

∑∑∑∑======n

j n

i j i ij n

j n

i j i j i y x a y x 11

11

),(),(εεβα，这里),(j i ij a εε=

由于),(),(i j j i εεεε=，故ji ij a a =，令()n n ij a A ⨯=，A A ='

则AY X '=),(βα，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X M 21，⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n y y y Y M 21，

则A 称为基n εεε,,,21Λ的度量矩阵。 性质：不同基的度量矩阵是合同的。

证明：设n ηηη,,,21Λ是V 的另一组基，C n n ),,,(),,,(2121εεεηηηΛΛ=，设()n n ij c C ⨯=，则∑==n

l l li i c 1

εη，∑==n

k k kj j c 1

εη

kj li n l n

k k l k n k kj n l l li j i c c c c ),(),(),(11

1

1

∑∑∑∑======εεεεηη

则()AC C c c B n

n n l n k kj li k l n

n j i '=⎪⎭⎫

⎝⎛==⨯==⨯∑∑11),(,(εεηη。证毕。 若对0≠∀α，即⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛≠000M X ，有AX X '=),(αα>0，则称度量矩阵A 是正

定的。

练习：394P 2；作业：1。

§2 标准正交基 一、标准正交基

1、定义：在n 维欧氏空间V 中，由n 个向量组成的两两正交的向量组称为正交基，若n 个向量均是单位向量，则称为标准正交基。

由此可知：有正交基得到标准正交基的方法就是把正交基中的向量全部单位化。 2、性质：