2018年春人教版八年级数学下17.1勾股定理ppt公开课优质教学课件
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人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
【人教版】八年级数学下册：17.1《勾股定理》ppt课件
13
17．在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，求BC的长． 解：在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2，因此BD2＝132－122＝25，
∴BD＝5，在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，因此CD2＝152－122＝81， ∴CD＝9，(1)如果AD在△ABC内，所以BC＝CD＋BD＝9＋5＝14.(2)如 果AD在△ABC外，所以BC＝CD－BD＝9－5＝4
11
15．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm， CD⊥AB于D，求CD的长．
解：∵在 Rt△ABC 中，AB＝5 cm，AC＝3 cm，∴BC＝ AB2－AC2＝ 52－32＝4(cm)，∵S△ABC＝12AB·CD＝12BC·AC，∴C2．如图，在高3米，斜边长为5米的楼梯的表面铺地毯，地毯的长度至 少为__ __7米．
13．如图 A 点表示的实数为____3___．
24
14．如图，已知△ABC 是腰长为 1 的等腰直角三角形，以 Rt△BAC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以 Rt△ACD 的斜 边 AD 为直角边，画第三个等腰 Rt△ADE.依次类推，则第 2016 个等 腰直角三角形的斜边长是__(__2_)_2_01_6___．
27
17．如图，将长方形ABCD沿过C点的直线折叠，使D的对应点F落在 AB边上，已知AD＝6，CD＝10，设折痕交AD于点E.求DE的长．
解：在 Rt△BCF 中，BF＝ 102－62＝8，∴AF＝2.设 DE＝EF＝x ， 则 AE＝6－x，由(6－x)2＋22＝x2，得 x＝130，故 DE 的长为130
如图：
则 CA＝100 米，则 BC2＝CA2－BA2，∴BC
17．在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，求BC的长． 解：在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2，因此BD2＝132－122＝25，
∴BD＝5，在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，因此CD2＝152－122＝81， ∴CD＝9，(1)如果AD在△ABC内，所以BC＝CD＋BD＝9＋5＝14.(2)如 果AD在△ABC外，所以BC＝CD－BD＝9－5＝4
11
15．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm， CD⊥AB于D，求CD的长．
解：∵在 Rt△ABC 中，AB＝5 cm，AC＝3 cm，∴BC＝ AB2－AC2＝ 52－32＝4(cm)，∵S△ABC＝12AB·CD＝12BC·AC，∴C2．如图，在高3米，斜边长为5米的楼梯的表面铺地毯，地毯的长度至 少为__ __7米．
13．如图 A 点表示的实数为____3___．
24
14．如图，已知△ABC 是腰长为 1 的等腰直角三角形，以 Rt△BAC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以 Rt△ACD 的斜 边 AD 为直角边，画第三个等腰 Rt△ADE.依次类推，则第 2016 个等 腰直角三角形的斜边长是__(__2_)_2_01_6___．
27
17．如图，将长方形ABCD沿过C点的直线折叠，使D的对应点F落在 AB边上，已知AD＝6，CD＝10，设折痕交AD于点E.求DE的长．
解：在 Rt△BCF 中，BF＝ 102－62＝8，∴AF＝2.设 DE＝EF＝x ， 则 AE＝6－x，由(6－x)2＋22＝x2，得 x＝130，故 DE 的长为130
如图：
则 CA＝100 米，则 BC2＝CA2－BA2，∴BC
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
人教新课标版八年级数学下册17.1勾股定理 公开课课件
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC
=
24
×
1 2
= 12，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
三、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
二填空题 1.在 ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
ABC面积为__24___,斜边为上的高为___4_.8__.
A
D
C
B
二填空题 1.在 ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则 a=__6__,b=_8__.
(2)若a=9,b=40,则c=_4_1____. 2.在 ABC中, C=90°,若 AC=6,CB=8,则ABC面积为 __2_4__,斜边为上的高为_4_._8___.
B1
AC1 =√52+22 =√29 .
如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
D
B
A
C
E
如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A 与顶点C重合在一起,EF为折痕。若 AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方 形面积。
试一试：
在我国古代数学著作 《九章算术》中记载了一道 有趣的问题，这个问题的意 思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形，在 水池的中央有一根新生的芦 苇，它高出水面1尺，如果把 这根芦苇垂直拉向岸边，它 的顶端恰好到达岸边的水面， 请问这个水池的深度和这根 芦苇的长度各是多少？
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
(人教版)八年级下册：17.1《勾股定理》ppt课件
2
3、阅读课本第30页的内容，了解毕达哥拉斯和 美国总统詹姆斯·加菲尔德对勾股定理的证法.
Thank you!
“引导学生读懂数学书”课题 研究成果配套课件
新课引入 展示目标 研读课文 归纳小结 强化训练
第十七章 勾股定理
第三课时 17.1 勾股定理（3）
一、新课引入
一、新课引入
1、如图，欲3 测量松花江的宽度，沿江5岸取B、C两 点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得
Hale Waihona Puke （31）3 以原点O为圆心，以OB为半径13作
弧，弧与数轴交于点C，则OC=________. 13
如图，在数轴上，点C为表示_______的 B
点。
A·C -3 -2 -1 0 1 2 3 4
三、研读课文
3、利用勾股定理，可以作出长
为 12、 、3 …5 的线段。按同样1 的方
知 法 ，3 可 以 在 ___数____ 上 画3 出 表
定
_4___和_3___，
理
斜边长是_5___；
的
三个正方形的面积分别是
探
__16___、_9____和_2_5__.
究
三、研读课文
2、上题三个正方形面积之间的关系是_____
知
_两__个_小_正__方_形_的__面_积__之_和_等__于_大_的__正_方_形__面_积________
识
点
一
三、研读课文
b a
c
d
多项式乘多项式：(a+b) (c+d)=__a_c_+_a_d_+_b_c_+bd
a
b
c
d
一、新课引入
3、阅读课本第30页的内容，了解毕达哥拉斯和 美国总统詹姆斯·加菲尔德对勾股定理的证法.
Thank you!
“引导学生读懂数学书”课题 研究成果配套课件
新课引入 展示目标 研读课文 归纳小结 强化训练
第十七章 勾股定理
第三课时 17.1 勾股定理（3）
一、新课引入
一、新课引入
1、如图，欲3 测量松花江的宽度，沿江5岸取B、C两 点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得
Hale Waihona Puke （31）3 以原点O为圆心，以OB为半径13作
弧，弧与数轴交于点C，则OC=________. 13
如图，在数轴上，点C为表示_______的 B
点。
A·C -3 -2 -1 0 1 2 3 4
三、研读课文
3、利用勾股定理，可以作出长
为 12、 、3 …5 的线段。按同样1 的方
知 法 ，3 可 以 在 ___数____ 上 画3 出 表
定
_4___和_3___，
理
斜边长是_5___；
的
三个正方形的面积分别是
探
__16___、_9____和_2_5__.
究
三、研读课文
2、上题三个正方形面积之间的关系是_____
知
_两__个_小_正__方_形_的__面_积__之_和_等__于_大_的__正_方_形__面_积________
识
点
一
三、研读课文
b a
c
d
多项式乘多项式：(a+b) (c+d)=__a_c_+_a_d_+_b_c_+bd
a
b
c
d
一、新课引入
17.1勾股定理(第1课时)课件(共23张PPT)
让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系
C A B 9 C A B 图2-2 4 9 4 18 8
图2-1
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A B 图2-1 A B
S正方形c
C
1 4 3318 2
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
弦 勾
股
图1-1
漂亮的勾股树
活动 2
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
我们也来观察右 图中的地面，看看有 什么发现？
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC 直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？ A a B b
Sa+Sb=Sc
c
C
2 2 2 a +b =c
b
a
c b (a+b )2
证 明 二
a
c
c
1 = c 4 ab 2
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
b a
c
b
a
可得: a2 + b2 = c2
C A B 图2-1 A B
S正方形c
C
1 6 2
2
1 8（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
人教版八年级下册《17.1勾股定理》第一课时公开课教学课件 (共28张PPT)
B
A C
正方形A 正方形B 正方形C 的单位 的单位 的单位
面积 面积 面积
图1 9
25 34
图2
C
图2 4 9 13
A
图1
B
每个小方格的面积均为1 图18.1-2
A、B、 C面积 关系
直角三 角形三 边关系
SASBSC
a²+b²=c²
1
2
补全
分割
勾股定理
由上面的例子，我们猜想：
如果直角三角形的两直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。
毕达哥拉斯（公元前572— 前492年）古希腊著名的哲 学家、数学家、天文学家。
情境引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有 一次在朋友家做客时，发现朋友家 的用砖铺成的地面中反映了直角三 角形三边的某种数量关系。
毕达哥拉斯（公元前572— 前492年）古希腊著名的哲 学家、数学家、天文学家。
合作 & 交流☞
a2 c2 b2, b2 c2 a2;
bc a
3.作用：已知直角三角形任意两边长，
求第三边长.
（注意：哪条边是斜边）
学以致用
巩固
提高
拓展
x 看图求出正方形的面积 的值。
144 x
81
36 x
100
返回主界面
学以致用
巩固
提高
拓展
.求下列直角三角形中未知边的长: 5
8
17
x
x
16
20
x 12
我知道了… … c2=a2+b2
知识延伸
神 奇 的 毕 达 哥 拉 斯 树ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》优质公开课课件
例4：边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系 的X轴和Y轴上，若 沿对角线AC折叠后，点B落在第四象 限B1处，设B1C交X轴于点D，求（1）三角形ADC的面积， （2）点B1的坐标，（3）AB1所在的直线解析式。
C1
B
2
O
D E3 A
B1
折叠三角形
例1、如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
利用勾股定理作出长为 1, 2, 3, 4, 5的线段.
1 12
34 5
圆柱(锥)中的最值问题
例1、 有一圆柱，底面圆的半径为3cm，高为12cm， 一只蚂蚁从底面的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C
B
A
A
一只蚂蚁从距底面1cm的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/272021/7/272021/7/27Jul-2127-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/272021/7/272021/7/27Tuesday, July 27, 2021
17.1 勾股定理
实数 一一对应 数轴上的点
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
A
B
C
D
-2
-1
0
1
2
点A表示 2
点C表示 1
点B表示
2
3
点D表示 7
3
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上表示出 2 的点吗？
人教版八年级数学下册课件：17.1 勾股定理(共23张PPT)
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
勾股定理
2/19/2016
1、通过观察方格图,能说出直角三角 形的三边关系,掌握勾股定理. 2、能利用材料,通过剪、拼图验证勾 股定理. 3、通过拼图活动，在自学探索中， 体验解决问题方法的多样性以及数学思 维的严谨性.
2/19/2016
相传2500年前,古希 腊著名数学家毕达哥拉 斯从朋友家的地砖铺成 的地面上找到了直角三 角形三边的关系。 A C B
S1 S2 S3
．
C
S3
A
S2
B
S1
2/19/2016
2变式：你还能求出S1、S2、S3之间的关 系式吗？
S2
S3 S1
S1+S2=S3
2/19/2016
S正方形C
1 4 4 3 1 2 =25（单位面积）
2/19/2016 （图中每个小方格代表一个单位面积）
A
B
图1
C
3 .观察表中的数据，猜 想直角三角形的三边有 什么关系？
A的面积 B的面积 C的面积
C A
图1 图2
16 4
9 9
25
13
B
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积） 2/19/2016
人教版数学八年级下册：17.1 勾股定理 课件(共35张PPT)
探究 如图，以Rt△ 的三边为边向外作正方形，
其面积分别为 S1 、S2、S3，请同学们想一想
S1 、S2、S3 之间有何关系呢？
S2 + S3 =a2+b2
S1=c2
B
S1c a S2
b
A S3 C
∵a2+b2=c2
S2 + S3 = S1
探究S1、S2、S3之间的关系
S2
S3
1 2
a 2
2
1 2
b 2
2
1 a2 1 b2
8
8
S1
1 2
c 2
2
1
8
c2
由勾股定理得 a2+b2=c2
∴S2+S3=S1
S2
c
SS3 2
A
S1
S1
动手操作：例2如图，Rt△ABC中
，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别 以AB、BC、AC为直径作三个半圆 ，那么阴影部分的面积为__24_ .
A
E
D
B
F
C
A
A =625
225
400
81
B =144
225
2、如图所示的图形中，所 有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角三角形 ，其中最大的正方形的边长 是8厘米，则正方形A，B， C，D的面积之和是 __6_4_____平方厘米
利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题
能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）
利用勾股定理解决平面几何问题1— —最短路径问题
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A
B
C
一直角边2
+
另一直角边2 = 斜边2
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为 边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关 系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
这两幅图中A,B的 面积都好求，该 怎样求C的面积呢？
C A B B A
C
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边 都在网格线上的正方形）：
第十七章
17.1
勾股定理
勾股定理
第1课时 勾股定理
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一
些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体
会数形结合的思想.（重点）
2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）
导入新课
情景引入 其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世 界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人 类的语言、音乐、各种图形等.
讲授新课
一 勾股定理的认识及验证 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去 他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖 铺成的地面（如图）： 问题1 试问正方形A、B、 C面积之间有什么样的数 量关系？
A C
B
S正方形A S正方形B S正方形C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么特殊关系？
勾股定理
a
c
如果直角三角形的两直角边长分
别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
b 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理， 或百牛定理.
2 2 a c b , 公式变形：
b c2 - a 2 , c a 2 b2
a、b、c为正数
小贴士
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分 称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直 角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”.
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股 定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他 们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化 的民族和国家都对勾股定理有所了解.
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人 看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明 了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧：
9
பைடு நூலகம்
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之 间有怎样的特殊关系？
由上面的几个例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b， 斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜 边的平方. c
a
b 下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以 前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
(2x)2-x2=152， 解得 x 5 3 . a 5 3 ，c 10 3 . 归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两 边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方 程求解.
【变式题2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当AB为斜边时，如图， BC 42 32 7; 当BC为斜边时，如图， BC 42 32 5.
【变式题1】在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a：b=1：2 ，c=5,求a; （2）若b=15，∠A=30°,求a,c. 解： (1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得 x2+(2x)2=52， 解得 x 5，a 5 .
(2) A 30, b 15 , c 2a . 因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所 拼的图形证明命题吧.
b
a
c
b
a
c
b
a
c a
证明： ∵S大正方形＝c2，
b b-a S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4· S三角形＋S小正方形，
1 2 c 4 ab b a a 2 b2 . 2
2
赵爽弦图 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪 明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被 选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a b
c
证明： S梯形
1 ( a b)( a b), 2
S梯形
a c b
1 1 1 2 ab ab c , 2 2 2
∴a2 + b2 = c2.
归纳总结
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的 直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系 后证明吧.
证明：
a b b c ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, a
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4×
1 ab+c2 2
a
c b
c b
a
=c2+2ab，
∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2.
C
1 左图： SC 4 2 3 1 1 13 2 1 右图： SC 4 2 4 3 1 1 25
你还有其他 办法求C的 面积吗？
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
C A B B A C
A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 16 9 13 25
勾
股
勾2+股2=弦2
二 利用勾股定理进行计算
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b. 解：(1)据勾股定理得
C A B
c a2 b2 52 52 50 5 2;
(2)据勾股定理得
b c2 a2 22 12 3.
C A B B A
C
左图：
1 SC 5 5 4 2 3 13 2 1 SC 7 7 4 4 3 25 2
右图：
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易 求出面积的三角形和四边形）：
C A B B A