初中数学《轴对称》教案

初中数学《轴对称》教案第十二章轴对称12．1 轴对称(1)教学目标①通过丰富的实例认识轴对称图形，并能找出轴对称图形的对称轴．②了解轴对称图形、两个图形成轴对称这两个概念之间的联系和区别．③经历丰富材料的学习过程，发展对图形的观察、分析、判断、归纳等能力．④体验数学与生活的联系、发展审美观．教学重点与难点重点：轴对称的有关概念；难点：轴对称图形与两个图形关于某条直线对称这两个概念之间的联系与区别．教学准备教师：收集有关轴对称的素材(包括图形、实物、图片等)．学生：准备复写纸；收集有关窗花的素材，并要求进行剪纸----双喜字或其他窗花．教学设计作品展示，交流体会1．作品展示：让部分学生展示课前的剪纸作品(可以将作品粘贴到黑板上)；2．小组活动：(1)在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的?为什么要这样?(2)这些窗花(图案)有什么共同的特点?注：通过对收集材料、剪纸操作，增加学生对轴对称图形的感性认识，为轴对称概念的引出作准备．活动的目的一是为了交流，更主要的是说出(发现)对称．概念形成(一)轴对称图形1．在学生充分交流的基础上，教师提出轴对称图形的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成轴对称图形的定义，同时给出对称轴．注：在学生经历了一系列的过程后让学生尝试归纳，这本身也是一种能力的培养和对轴对称的理解．教学中应该有意识地加以渗透．2．结合教科书第118页图12.1-1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置．3．学生举例：试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子．4．概念应用：(1)教科书第119页练习；(2)补充：判断下面的图形是不是轴对称图形?并简要说明理由．注：对于一个概念的建立，让学生经历实物概括应用的过程，符合学生的认识规律．(二)两个图形关于某条直线对称对于第二个概念的建立，分两个步骤进行：先观察图形，再进行画图．其目的是突出两个图形和这两个图形之间的关系，在这个基础上再给出定义，比较合理．1．观察教科书第119页中的图12.1-3，思考：图中的每对图形有什么共同的特点?2．操作：取一张薄纸，先对折，然后中间夹一张复写纸，再在纸上任意画一个图案，取出复写纸后你发现两层纸上的图案有什么关系? 3．两个图形成轴对称的定义．如下图，图形F与图形F就是关于直线l对称，点A与点A是对称的．4．举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗?5．练习：教科书第120页．辨析概念分组讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念之间的联系和区别．讨论后可列表比较如下：轴对称图形两个图形成轴对称区别一个图形两个图形联系1．沿着某条直线对折后，直线两旁的部分都能够互相重合(即直线两旁的两部分全等)2．都有对称轴(至少一条)3．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线对称；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是轴对称图形注：通过讨论、比较，便于进一步理解概念，弄清它们之间的联系和区别，以突破本课的教学难点．采用小组讨论的目的意在引导学生参与，改变学习方式，发挥更佳的学习效果．实践和应用1．下列图片是生活中的一些建筑物，它们是轴对称图形吗?2．下列图形是部分汽车的标志，哪些是轴对称图形?奔驰宝马大众奥迪3．下图中的两个图形是否成轴对称?如果是，请找出它的对称轴．4．请在下图这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形。

注：这是从数字1到7组成的轴对称图形，问题有一定的难度，需要学生有较强地观察、辨别能力．归纳小结通过本节课的学习，你有什么收获?主要围绕下列几个问题:1．概念：轴对称图形，两个图形关于某条直线对称，对称轴，对称点．2．找轴对称图形的对称轴．布置作业1．必做题；(1)教科书第125页第1、2题，第126页第6题．(2)收集3～5幅轴对称的图形．2．选做题设计1～2个轴对称的图案．作业的设计从知识性和趣味性两个方面去考虑．3．备选题：备选题主要是为教师提供一些教学的素材．(1)下列图形是不是轴对称图形?如果是，请找出它的对称轴．(2)按如下方法操作，剪一个轴对称图形：12.1 轴对称(2)教学目标①探索并理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．②探索并理解线段垂直平分线的两个性质．③通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，初步形成数学学习的方法．④在数学学习的活动中，养成良好的思维品质．教学重点与难点重点：图形轴对称的性质和线段垂直平分线的性质．难点：由线段垂直平分线的两个性质得出的点的集合的描述．教学准备探究活动所需的木棒、橡皮筋(如教科书第121页的图12.1-6，第122页的图12.1-8)．教学设计提出问题1．下面的图形是轴对称图形吗?如果是，请说出它的对称轴．注：由于本课知识的教学是建立在上一节内容的基础之上，所以安排了两个复习的问题，为问题3的提出做好准备．2．如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系?(如下图，△ABC和△ABC关于直线MN对称)3．如图，△ABC和△ABC关于直线MN对称，点A、B、C分别是点A、B、C的对称点，线段AA、BB、CC与直线MN有什么关系?注：提出问题3并不要求学生马上回答，而是为下一步的探究作准备，如果学生凭观察得出猜测，那么可以通过下一步的实验进行验证．实验探究1．折一折．要解决问题3，我们可以从最简单的一个点开始：先将一张纸对折，用圆规在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，记两个孔的位置为点A 和点A，折痕为直线MN(如图3)．显然，此时点A和点A关于直线MN对称．连结点A，A，交直线MN于点P．注：这里采用让学生动手折一折，目的是让学生在折纸中体验对称性．先选取一个点进行实验，一是解决一个点，就解决了其他的点，二是从简单入手分析问题本身是我们处理和解决问题的一种手段．2．说一说．观察图形，线段AA与直线MN有怎样的位置关系?你能说明理由吗? (让学生能说出如下关系：AP=PA，MPA=MPA=90)类似地，点B与点B，点C与点C是否也有同样的关系?你能用语言归纳上述发现的规律吗?(对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段)注：在这个基础上，教师给出垂直平分线的概念，然后把上述规律概括成图形轴对称的性质(教科书第121页)3．想一想．上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢?(结合教科书第121页的图12.1-5让学生说明)从而得出：类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点连线的垂直平分线．注：从折一折到说一说、想一想，其意图是把这个教学过程设计成让学生主动地参与进来，转变以往的学习方式．合作探究探究一：教科书第121页的探究．学生先思考教科书上的问题，然后让学生以线段代替木条进行画图探究．任意画一条线段AB，再画出它的垂直平分线MN，在MN上任意取点P1，P2，P3(如图4)，分别量一量点P1，P2，P3到A与B的距离，你有什么发现?你能说明理由吗?请与同伴交流．处理方式：要求学生在独立尝试、独立思考的基础上进行合作交流，然后小组汇报．学生可以量一量、折一折，也可以运用第十三章的知识证明三角形全等．在学生充分讨论的基础上归纳出：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．注：合作与交流是目前课堂教学中比较缺乏的一种教学方式，在教学中应创造条件引导学生积极参与，同时教师应组织好，引导好．把垂直平分线的性质与全等三角形的知识结合起来，既能复习以往的知识，又能使新知识得到应用，便于加深对新知识的理解和掌握．想一想：如图5，我们在教科书第99页的练习1中,应用三角形全等的知识说明了CB=CB，你能运用今天所学的知识给出解释吗?问题：反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上?探究二：如图6，PA=PB，取线段AB的中点O，连结PO，PO与AB 有怎样的位置关系?注：由于教科书第122页上的探究活动实际上是这样的一个数学问题：如图6，已知OA=OB，PA，PB满足什么条件时，OPAB?这与上述命题的逆命题不完全一致，所以本设计改用直接的数学问题．学生可以运用三角形全等的知识判定△PAO△△PBO，从而有POA＝POB ＝90，于是POAB，即PO是线段AB的垂直平分线．从而得出：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．归纳结论：见教科书第122页的最后一段话．(注意：应该从正逆两个角度，结合具体的图形进行归纳)教科书第122页的最后一段话比较抽象，以教师讲解为主，可以结合角平分线的性质．处理方式：在教师的引导下，由学生讲述解题方法，教师给出解题过程．3．练习：教科书第123页．小结提高让学生从以下几方面去思考：1．本节课你学到了什么?(1)从知识上：一个概念(线段的垂直平分线)，四条性质(轴对称图形的性质、垂直平分线的性质)；(2)从方法上：合作探究是数学学习的一种重要方法，数学与实际问题的联系．2．轴对称图形的性质与线段垂直平分线的性质之间的联系；在解决问题的过程中所看到的新旧知识之间的联系(如全等三角形)．作业布置1．必做题：教科书第125页第3题，第126页第5、9题．2．选做题：教科书第126页第11题，第127页第12题．3．备选题：(1)图8是某跨河大桥的斜拉索，图中PA＝PB，POAB，则必有AO＝BO，为什么?(2)如图9，△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm，求BC的长．(3)有A、B、C三个村庄(如图10)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．12.1 轴对称(3)教学目标①了解线段垂直平分线的画法．②会画两个成轴对称的图形(或一个轴对称图形)的对称轴．③通过画图和欣赏，陶冶学生的审美情操．教学重点与难点重点：画图形的对称轴．难点：对对称轴画法的理解．教学设计提出问题问题1：如果我们感觉两个平面图形是成轴对称的，你准备用什么方法去验证?问题2：两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什么方法画出它的对称轴?问题1是让学生能说出折叠法验证，这一方面是复习轴对称的知识，另一方面也是加深对轴对称的理解．提出问题2是引起学生的思考，以引出新课．学习新知我们已经知道，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此我们只要找到这两个图形的一对对应点，然后画出以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线就可以了．如何画一条线段的垂直平分线呢?例1(补充)已知线段AB(如图1)，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线．图1教科书第123页上的例题是以线段的垂直平分线为基础的，所以这里就先给出线段的垂直平分线的作法，而这也恰恰是课标要求的基本尺规作图之一．可按如下的步骤进行：(1)教师启发：根据线段垂直平分线的性质，只要找到与A，B两点的距离相等的两个点即可．(2)作图示范．写出作法，根据作法一步一步地作出图形．(3)解后反思：①在上述作法中，为什么有CA=CB，DA=DB?②如图2，直线CD与AB的交点就是线段AB的中点，因此用这种方法可以作出线段的中点；③你还有其他的方法画一条线段的垂直平分线吗?注：反思是一种重要的思维品质，也是我们传统的教学所缺乏的．这里安排反思，一是有利于对作法的理解，一是有利于对学生思维发散性的培养．在完成补充例题的基础上把例题改成练习，不失为一种处理的好方法．解决问题：练习：教科书第123页中的例题．例2(补充)如图3，△ABC和△ABC是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴．图3 图4处理方法：启发学生把这个问题转化为已解决的问题．只要画出点A，A的对称轴即可．注：补充这个例题是为了应用例1的方法，同时也是回答了开始提出的问题，更可以说是给出一种画轴对称图形的对称轴的通法．问题：上述提到的都是两个成轴对称的图形，如果是一个轴对称图形，你怎样画出它的对称轴?如图5所示的正五角星有几条对称轴?图5实践和应用1．练习：教科书第124页．2．正比例函数y=2x的图象与y=-2x的图象是不是轴对称图形?如果是，它的对称轴在哪里?如果不是，请说明理由．已知正比例函数y= x的图象如图6所示，你能根据对称性作出正比例函数y=- x的图象吗?注：将函数图象与图形的轴对称结合起来，一方面是对前面知识的应用,另一方面也是加深学生对轴对称图形性质的理解．图6师生小结主要围绕以下几点进行归纳：1．线段垂直平分线的作法；2．画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方法：(1)将图形对折；(2)用尺规作图；(3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后画垂线．3．有许多图形的对称轴不止一条．注：通过小结，突出本节课的内容和方法，同时也是对所学知识的提炼和延伸．作业布置1．必做题：教科书第125页第4题，第126页第7、8题；2．选做题：教科书第126页第10题；3．备选题：(1)在等腰三角形、等腰梯形、线段、数轴、平面直角坐标系、平行四边形等图形中，轴对称图形的个数是( )A．6个B．5个C．4个D．3个(2)下列图形是轴对称图形吗?如果是，请画出它的对称轴．3．图7是不是轴对称图形?如果是，请画出它的对称轴．12．2作轴对称图形12.2.1 作轴对称图形(1)教学目标①通过动手操作体验轴对称变换．②能作出一个图形经一次或二次轴对称变换后的图形．③能利用轴对称变换设计一些简单的图案．④通过图案设计等活动，培养学生的动手操作能力、审美及数学兴趣，发展学生的空间观念．教学重点与难点重点：作一个图形经轴对称变换后的图形．难点：通过动手操作总结轴对称变换的特征．教学准备剪刀、画有一个简易风筝的半透明的纸．教学设计创设情境,引入新课多媒体介绍剪纸文化艺术：剪纸是中国最为流行的民间艺术之一，根据考古其历史可追溯到公元六世纪，甚至更早．在过去，人们经常用纸做成形态各异的物像和人像，与死者一起下葬或葬礼上燃烧，还被用作祭祀祖先和神仙所用供品的装饰物．现在，剪纸更多地是用于装饰，也可为礼品作点缀之用，甚至剪纸本身也可作为礼物赠送他人．剪纸不是用机器而是由手工做成的，常用的方法有两种：剪刀剪和刀剪．学生欣赏展示的剪纸图片，教师提出问题：如此漂亮的剪纸是如何剪出的呢?相信同学们学了本节课后你也能剪出如此漂亮的剪纸!引入新课，板书课题：轴对称变换．注：让学生了解剪纸艺术，认识我国悠久灿烂的民族文化，了解我国优秀的民间手工艺术．培养学生的审美，激发学习兴趣．动手操作,感受变换请学生拿出画有一个简易风筝(如图形状)的半透明的纸，把这张纸对折后描图．学生画好后打开对折的纸．注：采用风筝图便于学生画图，在动手操作中体验轴对称变换，发现轴对称变换的特征，在实践中体验学习的快乐，也使轴对称特征的得出显得更直观，更具体．也为下面画轴对称变换后的图形提供感性认识．请学生仔细观察回答下列问题：(1)画出的图形与原来的图形有什么关系?(学生回答后，师生补充得出：画出的图形与原图形关于折痕轴对称，折痕所在直线是对称轴)(2)两个图形成轴对称有什么特征?(学生回答后，让学生找出几个对应点，并连结对应点进行验证．)注：我们可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案．(多媒体演示如下图经多次重复后的图形)，让学生感受运用所学知识设计出这些美丽的图案其实并不难!如果改变对称轴的方向和位置，结果又如何呢?让学生在刚才的纸上任意折叠，描图，打开纸．你发现了什么?学生交流后，总结归纳出：由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．注：让学生感受改变对称轴的方向和位置，不改变轴对称变换的特征．同时通过交流，培养学生的语言表达能力，归纳能力．提升思维,运用变换老师引出轴对称变换的概念，并指出：成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．老师提出问题：刚才的风筝图，要画经过轴对称变换后的图形，除了刚才所用的描图的方法外，还有哪些方法?学生试着说一说后，出示例1：如图，已知ABC可以和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形．通过前面的印图案、说特征等活动，使学生时经轴对称变换后的两个图形具有一定的感性认识，在具有一定认识的基础上以及根据轴对称图形的特征能发现画图方法．培养学生的发散思维．如果将△ABC的位置移至如图2、3、4时，你还能作出关于直线l对称的图形吗?画出后如何验证是否正确?图1 图2 图3 图4注：通过练习，使学生学会运用轴对称变换画图，培养学生思维的流畅性，体验变换思想．画图后让学生归纳画图要点，学生回答后，教师总结：一个平面图形都是由一些线组成，而点动成线，所以，要画一个图形经轴对称后的图形，只要找到一些特殊点，作出这些特殊点的对称点即可．注：通过归纳要点，找到规律，形成方法．练习1：把下列图形补成关于直线l对称的图形．．练习2：如图，左边的树经过几次轴对称变换，可以变成右边的树?你能设计一种变换方案吗?请学生探索，可以小组合作完成．学生回答时经过几次变换不重要，只要讲得有道理即可．注：问题的设计促使学生去分析图形，分析轴对称，拓展思维．运用变换,设计图案利用轴对称变换，可以设计出精美的图案．有时，将平移和轴对称结合起来，可以设计出更美丽的图案，许多镶边和背景的图案就是这样设计的．(多媒体放映图片)注：感受通过轴对称变换可以设计出一些美丽的图案，激发学生设计的欲望．问题：展开你的想像，从一个图形或几个图形出发，利用轴对称变换，设计出一些图案，并与同学交流．本节课开始时放映的一些剪纸，你能利用所学知识想办法剪出来吗?课后去剪一剪．注：运用轴对称知识设计图案，体现学以致用思想，培养学生的创造性思维．归纳小结1．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样．2．经轴对称变换后的图形与原图形上的对应点连线被对称轴垂直平分．3．画一个图形经轴对称变换后的图形，关键是找到图形上的一些点，作出这些点的对称点．注：通过小结归纳，巩固轴对称图形的性质和画图方法．布置作业1．必做题：教科书第135页习题12．2第1题，第136页第5题．2．选做题：(1)教科书第137页第8题．(2)请你利用所学知识剪一个双喜字．3．备选题：(1)分别以直线l为对称轴，将数字作轴对称变换，作出变换后所得的图形．(2)已知直线l和图形X(如图)，将图形X以直线l为对称轴作轴对称变换后得到的图形是( )A．B．C．D．(3)利用轴对称变换画出花瓶图的另一半．12.2.1 轴对称变换(2)教学目标①能作出一个图形经轴对称变换后的图形．②能利用轴对称变换解决日常生活中的实际问题．③通过找合适点的探究活动，培养学生的探究能力、数学归纳能力，分析问题、解决问题的能力，在活动中培养学生的合作交流能力．教学重点与难点重点：利用轴对称变换解决日常生活中的实际问题．难点：使输气管道线最短的泵站位置的确定及说理．教学设计承上启下，引入新课问题：(1)把下列图形补成关于直线l对称的图形．注：温故旧知，为学习新知作准备．(2)画好后请仔细观察第二个图形，从图中你能尽可能多地找出一些关系吗?利用轴对称变换以及变换后所得的一些特征，我们可以解决许多实际问题．引出输气管问题．注：尽可能地从图中发现一些关系，找这些关系为后面突破本节课的难点，也就是为什么C点是输气管道线最短的泵站位置的说理作准备．动手探究,寻找规律问题：如右图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气(A、B两镇在燃气管道l两旁)，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短?注：本节课中的例题起点较高，设计这个问题一是为了降低起点，而且也为后面这个实际问题的解决作准备，因为后面这个实际问题的解决实际上是通过轴对称变换，把同侧问题转化为两侧问题来解决．学生回答说理后提出问题2：如果A、B两镇在燃气管道l的同旁，泵站应修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短?(如下图)注：由A、B在直线l的同侧过渡到两侧，顺应学生的思维发展特征．让学生独立思考片刻后，请学生小组合作，任意取点探究，并完成表格．APi BPi APi+BPii=1i=2i=3i=4注：引导学生主动从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动．设计表格的目的一是为了增强学生在活动中的数学体验，使学生在动手操作过程中学会理性思考，也便于学生发现规律．小组合作学习后，汇报结果，找出所建泵站位置．小结：在直线l同侧到两点距离之和最短的点的位置是：作其中一点关于直线l的对称点，此对称点与另一点的连线与直线l的交点，即为到两点距离之和最短的点的位置．问题：为什么在P点的位置修建泵站，就能使所用的输气管线最短呢?启发：也就是说在其他点修建泵站C，则总有AC+BCAP+BP．任意取点验证使学生体验不管C在何处，都有AC+BCAP+BP的结论.注：说理的过程使学生养成严谨的思雏习惯，使之知其然且知其所以然．请学生在直线上任意取点验证、说理后，几何画板演示．教师总结：这个问题实际上是通过轴对称变换，把A、B在直线l同侧的问题转化为在直线l两侧的问题，即利用两点之间线段最短加以解决．注：总结方法，体验转化思想，达到做一题、会一类的效果．拓展应用，巩固提高八年级(1)班同学做游戏，在活动区域边放了一些球(如下图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地?巩固新知，面向全体．解决后提出问题：。