小升初奥数讲座
[竞赛讲座]自然数的性质(奥数、小升初、公务员考试)
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第六讲整数问题整数是最基本的数，它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中，有关整数的问题占有重要的地位.我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过课外活动来补充一些整数的知识，以及解决问题的思路和方法。
对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示：49=4×10+9，235=2×100+3×10+5，7064=7×1000+6×10+4，…………………就是一、整除整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.1.整除的性质性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）.例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除.例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36.如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的.例如：7与50是互质的，18与91是互质的.性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除.例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除.性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.2.数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.是什么数字？解：18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740；如果b=2，只有a=5，此数是7542；如果b＝4，只有a＝3，此数是 7344；如果 b＝6，只有 a＝1，此数是 7146；如果b＝8，只有a＝8，此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.例2 一本老账本上记着：72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把□67.9□写成整数679，它应被72整除.72＝9×8，9与8又互质.按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a＝3.这笔帐是367.92元.例3 在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.解：55＝5×11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.要被5整除，个位数只能是0或5.再考虑被11整除.（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040，7645.例5一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？，要使它被11整除，要满足（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是9876504.再介绍另一种解法.先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11（参见下页除式）.要满足题目的条件，这个数是9876543减6，或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字是0，1，2，3，4中的两个数字.43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此这个数是9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？（答：1023495）例6 某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？与上例题一样，有两种解法.解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：1993500，1993320，1993680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.解二：直接用除式来考虑.2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数是2520，这个七位数要被2520整除.现在用1993000被2520来除，具体的除式如下：因为 2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.例7下面这个41位数能被7整除，中间方格代表的数字是几？解：因为 111111＝3×7×11×13×37，所以555555＝5×111111和999999＝9×111111都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55□99能被7整除，原数就能被7整除.把55□99拆成两个数的和：55A00＋B99，其中□=A+B.因为7丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.注意，记住111111能被7整除是很有用的.例8 甲、乙两人进行下面的游戏.两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字之一填入下面任一个方格中每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.如果N小于15，当N取哪几个数时，乙能取胜？解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N＝5，甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.上面已经列出乙不能获胜的N的取值.如果N＝1，很明显乙必获胜.如果N＝3或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍.因此，乙必能获胜.考虑N＝7，11，13是本题最困难的情况.注意到1001＝7×11×13，乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2，这个六位数，能被7，11或13整除，乙就能获胜.综合起来，使乙能获胜的N是1，3，7，9，11，13.记住，1001＝7×11×13，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.习题一2整除，求这个五位数.2.在43的右边补上三个数字，组成一个五位数，使它能被3，4，5整除，求这样的最小五位数.3.一个五位数，各个数位上的数字互不相同，它能被3，5，7，11整除，这样的数中最大的是几？4.一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足条件的最小的自然数.5.四个连续自然数的和是一个在400至440之间的三位数，并且这个和能被9整除，求这四个连续自然数.6.如果各位数字都是1的某个整数能被33333整除，那么这个整数中1的个数最少有多少个？8.用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除，求这个六位数.二、分解质因数一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，….例9○＋（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.解：209可以写成两个质数的乘积，即209＝11×19.不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.这个算式是 11×（17＋2）＝209，11×（2＋17）＝ 209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如360＝2×2×2×3×3×5.还可以写成360＝23×32×5.这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.例10有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？解：我们先把5040分解质因数5040＝24×32×5×7.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24×32×5×7＝7×8×9×10.所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.因为24＝23×3，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.这里有4×2＝8个，即（3＋1）×（1＋1）个，即对于24＝23×3中的23，有（3＋1）种选择：1，2，22，23，对于3有（1＋1）种选择.因此共有（3＋1）×（1＋1）种选择.这个方法，可以运用到一般情形，例如，144＝24×32.因此144的约数个数是（4＋1）×（2+1）＝15（个）.例11在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）两种情况.（1）27＝128，符合要求，37＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.（2）23＝8，8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.33＝27；只有27×5＝135符合要求.53＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如720＝24×32×5，168＝23×3×7.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是23×3＝ 24.在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是24×32×5×7＝5040.例12两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？解：180＝22×32×5，30＝2×3×5.对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是90＝2×32×5.就知道另一数是22×3×5＝60.还有一种解法：另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找30， 60， 90， 120，….这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.例13有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？解：把420分解质因数420＝2×2×3×5×7.为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20.分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.例13实质上是把420分解成两个互质的整数.利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.例14将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.6＝2×3， 24＝23×3，45＝32×5， 65＝5×13，77＝7×11， 78＝2×3×13，105＝3×5×7， 110＝2×5×11.先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因数7，105应放在第二组中，45放在第一组中，得到第一组：24，65，77，45.第二组：6，78，110，105.在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词--完全平方数.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.例如：4＝2×2， 9＝3×3， 144＝12×12， 625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.例如：144＝32×42， 100＝22×52，…例15 甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800＝24×52×7.在它含有的约数中是完全平方数，只有1，22，24，52，22×52，24×52.在这6个数中只有22×52＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）.2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112.例16小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？解：35＝5×7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.记住：对笔价来说，已排除了5，7，10，12这四个数.笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1，2，3，6，9.当然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.现在笔价又排除了：1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支 13元，蓝笔每支 4元.习题二1.边长为自然数，面积为165的形状不同的长方形共有多少种？2.四个连续自然数的乘积是11880，求此四个数.3.两个两位的整数，乘积是6975，这两个数中较小的数是多少？4.某个自然数是3和4的倍数，包括1和它本身在内共有10个约数，那么这个自然数是几？5.将8个数14，30，33，75，143，169，4445，4953分成两组，每组4个数，要使每组的4个数的乘积相等，如何分组？6.把26， 33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中，任意两数的最大公约数是1，那么至少要分多少个组？7.两个整数A，B的最大公约数是C，最小公倍数是D.已知C不等于1，也不等于A或B，并且C＋D＝187.求A＋B是多少？三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是被除数÷除数=商……余数.上面两个算式可以写成65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.也就是被除数=除数×商+余数.通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.例17 5397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.解：这个质数能整除5397-15＝5382，而 5382＝2×31997×13×23.因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.例18求645763除以7的余数.解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成645763→15763→1763→363→13→6.如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：645763→15000→1000→6.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.例19 有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除 967，1000，2001的两两之差，即1000-967＝33＝3×11，2001-1000＝1001＝7×11×13，2001-967＝1034＝2×11×47.这个整数是这三个差的公约数11.请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.例如，求出差1000-967与2001-1000，那么差2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）＝1001＋33＝1034.从带余除式，还可以得出下面结论：甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余数是5＋9＝14被13除的余数1.例20 有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为1998＝ 8×249＋ 6，所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.这十二个数构成一个循环.按照七天一轮计算天数是日，一，二，三，四，五，六.这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数0， 1， 2， 3， 4， 5， 6的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余数是 4×5＝20被 11除后的余数 9.1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.例 21 191997被7除余几？解：从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.先写出一列数2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，2×2×2×2＝16，….然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.1997＝ 3× 665 ＋ 2.就知道21997被7除的余数，与21997被 7除的余数相同，这个余数是4.再看一个稍复杂的例子.例22 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，55，….问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：3＝1×3-0，8=3×3-1，21=8×3-3，55=21×3-8，……不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3-1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以 0×3加6再来减 1.从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.70 ＝12×5+10.因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.例23 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5＋ 12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例24 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23， 28，….这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数2， 9， 16， 23， 30，…，就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.最后再看一个例子.例25在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一个连续的自然数是11.3和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11＋15×3＝56能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除.为了满足“在100至200之间”将54，55，56分别加上3，5，7的最小公倍数105.所求三数是。
【奥数】六年级奥赛专题小升初专题讲座
1.1 追及与相遇........................................................................................................ - 1 -1.2 环形路上的行程问题........................................................................................ - 7 -1.3 稍复杂的问题.................................................................................................. - 12 - 第二讲和、差与倍数的应用题...................................................................................... - 18 -2.1 和差问题.......................................................................................................... - 18 -2.2 倍数问题.......................................................................................................... - 21 -2.3 盈不足问题...................................................................................................... - 25 - 第三讲数论的方法技巧之一.......................................................................................... - 29 -3.1 利用整数的各种表示法.................................................................................. - 30 -3.2 枚举法.............................................................................................................. - 32 -3.3 归纳法.............................................................................................................. - 34 - 第四讲数论的方法技巧之二.......................................................................................... - 37 -4.1 反证法.............................................................................................................. - 37 -4.2 构造法.............................................................................................................. - 38 -4.3 配对法.............................................................................................................. - 39 -4.4 估计法.............................................................................................................. - 41 - 第五讲整数问题之一................................................................................................ - 43 -5.1 整除.................................................................................................................. - 43 -5.2 分解质因数...................................................................................................... - 48 -5.3 余数.................................................................................................................. - 53 - 第六讲图形面积............................................................................................................ - 60 -6.1 三角形的面积.................................................................................................. - 60 -6.2 有关正方形的问题.......................................................................................... - 64 -6.3 其他的面积...................................................................................................... - 68 - 第七讲工程问题............................................................................................................ - 72 -7.1 两个人的问题.................................................................................................. - 73 -7.2 多人的工程问题.............................................................................................. - 77 -7.3 水管问题.......................................................................................................... - 81 - 第八讲比和比例关系.................................................................................................... - 87 -8.1 比和比的分配.................................................................................................. - 87 -8.2 比的变化.......................................................................................................... - 93 -8.3 比例的其他问题.............................................................................................. - 97 - 第九讲经济问题.......................................................................................................... - 104 - 第十讲溶液问题.......................................................................................................... - 109 - 第十一讲简单几何体的表面积与体积的计算.......................................................... - 114 -11.1 四种常见几何体的平面展开图.................................................................. - 114 -11.2 四种常见几何体表面积与体积公式.......................................................... - 115 -11.3 例题选讲...................................................................................................... - 116 - 第十二讲循环小数化分数.......................................................................................... - 123 -12.1 纯循环小数化分数...................................................................................... - 123 -12.2 混循环小数化分数...................................................................................... - 124 -12.3 循环小数的四则运算.................................................................................. - 125 - 第十三讲估计与估算.................................................................................................. - 127 -14.1 列简易方程解应用题.................................................................................. - 134 - 14.2 引入参数列方程解应用题.......................................................................... - 138 - 14.3 列不定方程解应用题.................................................................................. - 140 -第一讲行程问题走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；时间行走或移动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度×时间很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如总量=每个人的数量×人数.工作量=工作效率×时间.因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米1.1 追及与相遇有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，甲走的距离-乙走的距离= 甲的速度×时间-乙的速度×时间=（甲的速度-乙的速度）×时间.通常，“追及问题”要考虑速度差.例1小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间=9÷6＝1.5（小时）.小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是面包车速度是 54-6＝48（千米/小时）.城门离学校的距离是48×1.5＝72（千米）.答：学校到城门的距离是72千米.例2小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？解一：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）·因此，小张走的距离是75× 20＝ 1500（米）.答：从家到公园的距离是1500米.还有一种不少人采用的方法.家到公园的距离是一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？解一：自行车1小时走了30×1-已超前距离，自行车40分钟走了自行车多走20分钟，走了因此，自行车的速度是答：自行车速度是20千米/小时.解二：因为追上所需时间=追上距离÷速度差1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图：马上可看出前一速度差是15.自行车速度是35- 15＝ 20（千米/小时）.解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？解：画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.答：这时是8点32分.下面讲“相遇问题”.小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么甲走的距离+乙走的距离=甲的速度×时间+乙的速度×时间=（甲的速度+乙的速度）×时间.“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.例5小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12＝3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是36÷（3＋1）＝9（分钟）.答：两人在9分钟后相遇.例6 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.解：画一张示意图离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2÷（5-4）＝2（小时）.因此，甲、乙两地的距离是（5＋ 4）×2＝18（千米）.本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少？”岂不是有“追及”的特点吗？对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.请再看一个例子.例7甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离.解：先画一张行程示意图如下设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.下面的考虑重点转向速度差.在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点距离是 12＋ 16＝ 28（千米），加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点（或E点）相遇所用时间是28÷5＝ 5.6（小时）.比C点相遇少用 6-5.6＝0.4（小时）.甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的速度是12÷0.4＝30（千米/小时）.同样道理，乙的速度是16÷0.4＝40（千米/小时）.A到 B距离是（30＋ 40）×6＝ 420（千米）.答： A，B两地距离是 420千米.很明显，例7不能简单地说成是“相遇问题”.例8 如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问：（1）小张和小王分别从A， D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？解：（1）小张从 A到 B需要 1÷6×60＝ 10（分钟）；小王从 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60＝ 25（分钟）；当小王到达 C点时，小张已在平路上走了 25-10＝15（分钟），走了因此在 B与 C之间平路上留下 3- 1＝ 2（千米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是2 ÷（4＋ 4）×60＝ 15（分钟）.从出发到相遇的时间是25＋ 15＝ 40 （分钟）.（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到 A点需要走 1÷2×60=30分钟，即他再走 60分钟到达终点.小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走小张离终点还有2.5-1.5=1（千米）.答：40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有1千米.1.2 环形路上的行程问题人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关.例9小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？解：（1 ）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是500÷1.25-180=220（米/分）.（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是500÷（220-180）＝12.5（分）.220×12.5÷500＝5.5（圈）.答：（1）小张的速度是220米/分；（2）小张跑5.5圈后才能追上小王.例10 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是80×3＝240（米）.240-60=180（米）.180×2＝360（米）.答：这个圆的周长是360米.在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一节.例11 甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？解：画示意图如下：如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是40×3÷60＝2（小时）.从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了6×2-2＝10（千米）.小王已走了 6＋2=8（千米）.因此，他们的速度分别是小张 10÷2＝5（千米/小时），小王 8÷2=4（千米/小时）.答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.例12小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？解：画示意图如下.第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了3.5×3＝10.5（千米）.从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是10.5-2＝8.5（千米）.每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了3.5×7＝24.5（千米），24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.就知道第四次相遇处，离乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地点离乙村1千米.下面仍回到环行路上的问题.例13 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟；小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟.问：两人出发多少时间第一次相遇？解：小张的速度是6千米/小时，50分钟走5千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表：12＋15＝27比24大，从表上可以看出，他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间.出发后2小时10分小张已走了此时两人相距24-（8＋11）=5（千米）.由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这5千米所需时间是5÷（4＋6）＝0.5（小时）.2小时10分再加上半小时是2小时40分.答：他们相遇时是出发后2小时40分.例14 一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？解：先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米0.30÷（5-3）＝15（秒）.因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90÷（5-3）＝45（秒）.B与C到达同一位置，出发后的秒数是15，，105，150，195，……再看看A与B什么时候到达同一位置.第一次是出发后30÷（10-5）=6（秒），以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要90÷（10-5）＝18（秒），A与B到达同一位置，出发后的秒数是6，24，42，，78，96，…对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.请思考， 3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒？例15 图上正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上的速度是90千米/小时，在BC上的速度是120千米/小时，在CD上的速度是60千米/小时，在DA上的速度是80千米/小时.从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.如果从PC中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N处相遇.求解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算.要计算方便，取什么作计算单位是很重要的.设汽车行驶CD所需时间是1.根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以24.这样，汽车行驶CD，BC，AB，AD所需时间分别是24，12，16，18.从P点同时反向各发一辆车，它们在AB中点相遇.P→D→A与 P→C→B所用时间相等.PC上所需时间-PD上所需时间=DA所需时间-CB所需时间=18-12=6.而（PC上所需时间+PD上所需时间）是CD上所需时间24.根据“和差”计算得PC上所需时间是（24+6）÷2＝15，PD上所需时间是24-15＝9.现在两辆汽车从M点同时出发反向而行，M→P→D→A→N与M→C→B→N所用时间相等.M 是PC中点.P→D→A→N与C→B→N时间相等，就有BN上所需时间-AN上所需时间=P→D→A所需时间-CB所需时间=（9＋18）-12= 15.BN上所需时间+AN上所需时间=AB上所需时间=16.立即可求BN上所需时间是15.5，AN所需时间是0.5.从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些.1.3 稍复杂的问题在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧：（1）在行程中能设置一个解题需要的点；（2）灵活地运用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？解：画一张示意图：图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A 之间这段距离，它等于这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）.这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要130÷2=65（分钟）.从乙地到甲地需要的时间是130＋65=195（分钟）＝3小时15分.答：小李从乙地到甲地需要3小时15分.上面的问题有3个人，既有“相遇”，又有“追及”，思考时要分几个层次，弄清相互间的关系，问题也就迎刃而解了.在图中设置一个B点，使我们的思考直观简明些.例17 小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，而他们的家要从公园门口沿马路往西.小华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从公园门口步行向东去快”？姐姐算了一下说：“如果骑车与步行的速度比是4∶1，那么从公园门口到目的地的距离超过2千米时，回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的距离是多少米？解：先画一张示意图设A是离公园2千米处，设置一个B点，公园离B与公园离家一样远.如果从公园往西走到家，那么用同样多的时间，就能往东走到B点.现在问题就转变成：骑车从家开始，步行从B点开始，骑车追步行，能在A点或更远处追上步行.具体计算如下：不妨设B到A的距离为1个单位，因为骑车速度是步行速度的4倍，所以从家到A的距离是4个单位，从家到B的距离是3个单位.公园到B是1.5个单位.从公园到A是1＋1.5＝2.5（单位）.每个单位是 2000÷2.5＝800（米）.因此，从公园到家的距离是800×1.5＝1200（米）.答：从公园门口到他们家的距离是1200米.这一例子中，取计算单位给计算带来方便，是值得读者仿照采用的.请再看一例.例18 快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？解：画一张示意图：设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了.慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢？去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时，共行驶3×7=21（单位）.从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1＝14（单位）.现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是14÷（2＋3）＝2.8（小时）.慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了7.5＋0.5＋2.8＝10.8（小时）.答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分.例19一只小船从A地到B地往返一次共用2小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米.求A至B两地距离.解：1小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了B地.我们在B之前设置一个C点，是小船逆水行驶1小时到达处.如下图第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是C至B距离的2倍，它等于6千米，就知C 至B是3千米.为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米，在图中再设置D点，D至C是8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.现在就一目了然了.D至B是5千米顺水行驶，与C至B逆水行驶3千米时间一样多.因此顺水速度∶逆水速度=5∶3.由于两者速度差是8千米.立即可得出A至B距离是 12＋3=15（千米）.答：A至B两地距离是15千米.例20 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行。
小升初级之金牌奥数暑假15次课程AA
1、小升初金牌奥数：尾数和余数（小升初必考题型）1、教学导如入：估值的意义与方法及思想的引入。
2、知识回顾：3、巩固练习（4题）1、1x1=1，所以尾数是1的数相乘，无论是多少，无论是多少个，积的尾数肯定是1，同样5x5=25，积的尾数肯定是5；6x6=36，积的尾数肯定6.积的尾数，商的小数部分等会出现循环现象，我们称作“周期问题”例如：。
例题一：1、125x125x125x。
125一共是200个125相乘，乘积的尾数是几？2、（11x16）x（11x16）x（11x16）。
x（11x16），一共是200个（11 x16）积的尾数是几？过手训练：61x61 x61。
x61，20个61相乘，积的尾数是几？例题二：1、4 x4 x4 x4。
x4 x4，60个4相乘，积的个数是几？2、9 x9 x9 x9.。
x9，61个9相乘，积的个位数是几？过手训练：24x24 x24.。
x24，2005个24相乘，积的尾数是几？3、写出除以213后余数是3的全部两位数是那些？过手训练：写出除以109后余数是4的全部两位数。
例题四：3÷7商的小数点后面第2005个数字是几？例题五：20022002的个位数字是几？过手训练：20032003的个位数字是几？例题六：有一串数字排成一行，其中第一个数是5，第二个数是8，从第三个数起，每个数恰好是两个数的和，他们是：5，8，13，21，34，55，89，。
那么，在这一串数中，第2004个数被3除后所得的余数是几？过手训练：有一串数排成一行，其中第一个数是4，第二数是5，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，他们是：4，5，9，14，23，37，60，97，157，那么在这一串数中，第1000个数被3除后所得的余数是几？例题七：按连写100个12得一个自然数： 位20012......121212这个数除以13余数是几？过手训练： 5200155.55555个。
数学奥林匹克专题讲座 第17讲 数学方法选讲(上)
数学奥林匹克专题讲座第17讲数学方法选讲（上）有的同学在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。
例1两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。
条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。
谁放入了最后一枚硬币谁获胜。
问：先放的人有没有必定取胜的策略？分析与解：如果桌子大小只能容纳一枚硬币，那么先放的人当然能够取胜。
然后设想桌面变大，注意到长方形有一个对称中心，先放者将第一枚硬币放在桌子的中心，继而把硬币放在后放者所放位置的对称位置上，这样进行下去，必然轮到先放者放最后一枚硬币。
例2线段AB上有1998个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色。
这时，图中共有1997条互不重叠的线段。
问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？分析：从最简单的情况考虑：如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段只有1条，是一个奇数。
然后我们对这种染色方式进行调整：将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时，异色线段的条数随之有哪些变化。
由于颜色的调整是任意的，因此与条件中染色的任意性就一致了。
解：如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段仅有1条，是一个奇数。
将任意一个红点染成蓝色时，这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若同色，则异色小线段的条数或者增加2条（相邻的两个点同为红色），或者减少2条（相邻的两个点同为蓝色）；这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若异色，则异色小线段的条数不变。
六年级小升初常考奥数题型 第1讲定义新运算(例题和答案、讲解)
第1讲 定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
练习1：1、将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2、设a*b=a 2+2b ，那么求10*6和5*（2*8）。
3、设a*b=3a －b ×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【答案】1.648 2.112、65 3.193.25【例题2】设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
练习2：1、设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。
2、设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p2+（p －q ）×2。
求30△（5△3）。
3、设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M/N+N/M ，求10*20－1/4。
【答案】1.36 2.902 3.412【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
练习3：1、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，7*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+210210=2104203*3=3+33+333，……那么4*4=________。
小升初分班奥数平面图形面积
小升初奥数几何部分辅导讲义讲义编号：学员编号: 年 级：小六 课时数：3 学员姓名: 辅导科目：奥数 学科教师： 课 题 平面图形面积问题授课时间： 备课时间：教学目标1. 掌握五大模型的特征，会从复杂图形中找出基本模型.2. 灵活运用五大模型求直线型图形的面积和线段长度.教学内容【专题知识点概述】一、等积变换模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；baS 2S 1 DC BA如左图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴（或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上），则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵推理过程连接BE ，再利用等积变换模型即可三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDOba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型相似三角形性质：GF E ABCD （金字塔模型）AB CDEF G（沙漏模型）①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；五、燕尾定理模型 S △ABG :S △AGC =S △BGE :S △EGC =BE :EC ；S △BGA :S △BGC =S △AGF :S △FGC =AF :FC ； S △AGC :S △BCG =S △ADG :S △DGB =AD :DB ； 【习题精讲】【例1】（难度等级 ※※）用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．【例2】（难度等级 ※※）如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积．【例3】（难度等级 ※※）如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．G F E DC B AHGFE D CBA【例4】（难度等级 ※※）如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.【例5】（难度等级 ※※）(2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．FE DCBA【举一反三】（难度等级 ※※）如右图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BC 的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S △BEF ．【例6】（难度等级 ※※※）图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【例7】（难度等级 ※※）如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【举一反三】（难度等级 ※※）如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA【例8】（难度等级 ※※）如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【例9】（难度等级 ※※）如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？EFD CBA【例10】（难度等级 ※※※）已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【例11】（难度等级 ※※※）(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．FEDC BA【例12】（难度等级 ※※※）如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【例13】（难度等级 ※※※）如图所示，已知 1.,2.ABCSAE ED BD DC ===求图中阴影部分的面积.【举一反三】（难度等级 ※※※）下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？【例14】（难度等级※※※）右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？【例15】（难度等级※※※）梯形ABCD的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米。
奥林匹克数学竞赛初级讲座第7讲 图形与面积
第7讲图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。
图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。
它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。
对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。
如正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高；三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。
此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。
1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3．平行四边形的对角线平分它的面积；4．等底等高的两个三角形面积相等。
解决图形面积的主要方法有：1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；4．把图形进行割补（叫做割补法）。
例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC的底边4等分，如左下图构成4个小三另外，先将三角形△ABC的面积2等分（如右上图），即取BC的中点D，连接AD，则S△ABC-S△ABC，然后再将这两个小三角形分别2等分，分还有许多方法，如下面的三种。
请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单的容易求出面积的图形，分别求出面积。
也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。
解法1：把六边形分成6块：△ABC，△AGF，△PEF，△EKD，△CDH和正方形GHKP。
(完整版)小升初简便运算奥数专题讲解
奥数之简便运算目录：计算专题1 小数分数运算律的运用： 计算专题2 大数认识及运用 计算专题3 分数专题 计算专题4 列项求和 计算专题5 计算综合 计算专题6 超大数的巧算计算专题7 利用积不变、拆数和乘法分配率巧解计算题： 计算专题8 牢记设字母代入法 计算专题9 利用a ÷b=ba巧解计算题：计算专题10 利用裂项法巧解计算题 计算专题11 (递推法或补数法) 计算专题12 斜着约分更简单 计算专题13 定义新运算 计算专题14 解方程 计算专题15 等差数列计算专题16 尾数与完全平方数计算专题17 加法原理、乘法原理计算专题18 分数的估算求值计算专题19 简单数论奥数专题20 周期问题在小学计算题中有好多题型方法新颖独特，在升重点中学考试和进入中学分班考试中，多有出现，有的学生因为没见过这种题型常常得分很少或得零分，其实这种题型只要掌握一定的解题方法和规律一点都不难。
下面老师跟你支支招：计算专题1小数分数运算律的运用：【例题精选】例题一： 4.75+9.63+（8.25-1.37）例题二：11 333387797906666124⨯+⨯例题三：32232537.96555⨯+⨯例题四：36⨯1.09+1.2⨯67.3例题五： 81.5⨯15.8+81.5⨯51.8+67.6⨯18.5 【练习】1、 6.73-892(3.271)1717+- 2、71713(43)0.7513413-+-3. 975⨯0.25+39769.754⨯- 4、 999999×222222＋333333×3333345、 45⨯2.08+1.5⨯37.66、1391371137 138138⨯+⨯7、72⨯2.09-1.8⨯73.6 8、 53.5⨯35.3+53.5⨯43.2+78.5⨯46.5计算专题2大数认识及运用【例题精讲】例题一：1234+2341+3412+4123 例题二：4223.411.157.6 6.5428 5⨯+⨯+⨯例题三：199319941199319921994⨯-+⨯例题四：（229779+）÷（5579+）例题五：有一串数1, 4, 9, 16，25……它们是按照一定规律排列的，那么其中第2010个数与2011个数相差多少？例六： 2010×201120112011-2011×201020102010 【综合练习】1、 23456+34562+45623+56234+623452、198819891987 198819891+⨯⨯-3、99999⨯77776+33333⨯666664、30122－301125、999⨯274+62746、（83619711++）÷（3541179++）7、123456789×987654321-123456788×987654322计算专题3分数专题【例题精讲】例题一：443745⨯ 27⨯1526例题二：1173158⨯1164179⨯例题三：13274155⨯+⨯例题四：5152566139131813⨯+⨯+⨯例题五：11664120÷2010201020102011÷【综合练习】1、 73⨯74752、200820102009⨯ 3、115776⨯4、131441513445⨯+⨯ 5、13392744⨯+⨯ 6、1451179179⨯+⨯7、238238238239÷ 8、73171131581516152⨯+⨯+⨯计算专题4列项求和【例题精讲】例题一：1111.......12233499100++++⨯⨯⨯⨯例题二：1111.......2446684850++++⨯⨯⨯⨯例题三：179111315131220304056-+-+-例题四：1111111248163264128++++++例题五：（1111234+++）⨯（11112345+++）-（111112345++++）⨯（111234++）【综合练习】1、1111........1011111212134950++++⨯⨯⨯⨯2、1111112612203042+++++3、1111142870130208++++ 4、191113151420304256-+-+5、201020102010201020101223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯6、22222392781243++++7、 1111111111111111() ()()()89101191011128910111291011+++⨯+++-++++⨯++计算专题5计算综合 【例题精讲】例题一： 11111......1212312341234 (4950)+++++++++++++++例题二： 111111111⨯111111111 例题三： 12324671421135261072135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯例题四：201012010220103111...1111222...2222333...3333=÷个个个例题五： 从2000到6999这5000个数中数字只和能被5整除的数一共有多少个？例六：100+99—98—97+96+95—94—93……+4+3—2—1例七：⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+991-1991131-131121-1211【综合练习】1、1111111111+++++++++361015212836455055 2、76666666666666201062011 个个⋯⋯⨯⋯⋯3、1612886443224201612108654⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 4、 2201242012222222444444个个⋯⋯⋯⋯ 62012666666个⋯⋯÷5、（1+3+5+7+…+1999）-（2+4+6+8+…+1998）6、⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⋯⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛1001-151-141-131-121-17、（13 ＋23 ）＋（14 ＋24 ＋34 ）＋（15 ＋25 ＋35 ＋45 ）＋…＋（1100 ＋2100 ＋3100 ＋4100 ＋…＋99100 ）计算专题6超大数的巧算 熟记规律，常能化难为易。
数学奥林匹克专题讲座 第05讲 有趣的数字
数学奥林匹克专题讲座第5讲有趣的数字数字问题一直是中小学数学竞赛中的热门问题，解这类问题一般要用到整数的性质及解整数问题的常用方法，如数的整除性、剩余类、奇偶分析、尾数的性质等。
有时还得用解竞赛题的一些技巧，如筛选、排除、枚举、局部调整、从极端考虑等。
有一类特殊的数字问题，它们的条件与1到9这9个数字或0到9这10个数字有关，这就增加了题目的趣味性。
解这类题目，要注意利用题目条件中有9个或10个不同数字这一条件，另外这9个或10个数字之和是9的倍数这个特点，也很有用。
例1 在下式中的每两个相邻数之间都添上一个加号或减号，组成一个算式。
要求算式运算结果等于37，且这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能的大。
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1那么，这些减数的最大乘积是多少？解：把10个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中1个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么结果将要减少这个数的2倍。
因为55-37=18，所以我们变成减数的这些数之和是18÷2=9。
对于大于2的数来说，两数之和总比两数乘积小。
为了使这些数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括1）。
9最多可拆成三数之和2+3+4=9，因此这些减数的最大乘积是2×3×4=24。
添上加、减号的算式是：10+9+8+7+6+5-4-3-2+1=37。
例2 我的岁数的3次方是一个四位数，我的岁数的4次方是一个六位数，要组成这两个数，需要用遍0到9这10个数字。
我爷爷的岁数的平方是一个四位数，他的岁数的3次方是一个六位数，要组成这两个数字，也要用遍0到9这10个数字。
问：我和爷爷的年龄各是多少？解：设我的年龄x。
注意到223=10648和174=83521是五位数，故应有17＜x＜22。
取x等于18，19，21（x显然不应等于20），逐一计算他们的3次方与4次方，经验证，只有18合乎题意：183=5832，184=104976。
【小升初】数学奥数第1讲：数的扩充——有理数-教案
（小升初） 备课教员：×××第一讲 数的扩充——有理数一、教学目标： 1. 借助生活中的实例理解负数，有理数的意义。
体会负数引入的必要性和有理数的广泛性。
2. 会判断一个数是正数还是负数，能用正负数表示生活中具有相反意义的量，体会数学知识与现实世界的联系。
3. 在负数概念的形成过程中，养成观察，归纳与概括的能力。
二、教学重点： 正、负数的意义。
三、教学难点： 负数的意义及0的内涵。
四、教学准备： PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分种)师：同学们，在上课之前呢，老师要先问大家几个问题？生：……师：请同学们数一数自己文具盒中有几支笔？生：3支，5支...师：好的，那现在老师请一位同学上来帮老师数一数老师手中的文具盒有几支笔？请同学举手发言哦！好的，这位同学你上来帮老师数一数。
生：没有笔。
师：是的，老师的文具盒里没有笔，那同学们知道没有怎么表示吗？生：用“0”。
师：是的，这位同学说对了，我们可以用“0”表示。
其实在我们生活中，数的应用也非常地广泛，接下来我们看看这些数代表的含义。
生：……师：北京冬季里某一天的温度-3℃～3℃，它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？生：……师：这里出现了-3，在实际问题中表示零下3℃，这样在正数前面加上负号“-”的数叫做负数，有时在正数前面也加上“+”（正号）。
例如，+3，+2，+0.5，+31... 生：……师：其实这里不管是正数，负数，还是0，我们都可以叫做有理数，今天我们一起来研究数的扩充——有理数。
（板书课题：数的扩充——有理数）二、星海遨游（43分钟）例题一：（9分钟）把下列各数填在相应的大括号里。
－1，0，+0.8，－37，-2.4，8848，134，227，-80 正数集合（ ）； 负数集合（ ）； 正整数集合（ ）； 负整数集合（ ）；正分数集合（ ）； 负分数集合（ ）； 整数集合（ ）； 有理数集合（ ）； 师：同学们先看看正数有哪些？生：+0.8，8848，722。
四年级奥数-教师版-第十讲火车行程问题
四年级奥数-教师版-第十讲火车行程问题指南针小升初第十讲火车过桥问题知识导航火车过桥问题是奥数行程问题的一种，也有路程、速度与时间之间的数量关系，同时还涉及车长、桥长等问题。
基本数量关系是：火车速度×时间=车长+桥长；依据这个基本的数量关系可以推导出几个相关的计算公式，在练习中我们应该举一反三，灵活的应用这个公式的变化。
一般的火车过桥所求的分为：求过桥时间；求桥长；求火车长；求火车的速度。
下面我们分别研究这些问题。
例1:一列火车长150米，每秒钟行19米。
全车通过长800米的隧道，需要多少时间？解析：列车过桥，就是从车头进隧道到车尾离隧道止。
车尾经过的距离=车长+隧道，车尾行驶这段路程所用的时间用车长与隧道和除以车速。
解：（800+150）÷19=50（秒）答：全车通过长800米的隧道，需要50秒。
【巩固1】一列火车长200米，它以每秒10米的速度穿过200米长的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要多少秒？解析：火车长+桥长=路程；时间=路程÷速度；解：（200+200）÷10=40（秒）【巩固2】一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？解析：很标准的火车过桥问题，比较简单。
求过桥时间：（桥长+火车长）÷速度=过桥时间（6700+100）÷400=17（分钟）答：这列火车经过大桥要17分钟。
- 66 -指南针小升初例2:一列火车长200米，以每秒8米的速度通过一条隧道，从车头进洞到车尾离洞，一共用了40秒。
这条隧道长多少米？解析：重点推导公式：隧道长=路程-火车长；先求出车长与隧道长的和，然后求出隧道长。
火车从车头进洞到车尾离洞，共走车长+隧道长。
这段路程是以每秒8米的速度行了40秒。
解：（1）火车40秒所行路程：8×40=320（米）（2）隧道长度：320-200=120（米）答：这条隧道长120米。
2021年小升初奥数22讲-第1讲 数论初步
第1讲 数论初步知识要点研究整数性质的数学分支叫数论，它是数学竞赛中的一项重要内容.要解答这方面的问题，首先应熟悉关于整数的某些知识，此外还要掌握解决问题的基本方法和技巧，后者自然是更重要的，本讲主要介绍数的整除和余数问题.对整数a 和b （b 不为0），如果存在一个整数q ，使a b q =⨯，则称a 被b 整除，否则就称a 不能被b 整除，例如：7289=⨯，于是72被8（或9）整除.性质一 若c a |，c b |，则()c ma nb |±，这里m ，n 是任意整数.性质二 若c a b |•，且()c b 1=，，则c a |.性质三 若b a |，c a |，且()b c 1=，，则bc a |.整除问题是各类数学竞赛中必考的热点问题，必须掌握好解决整除问题的方法与技巧. 如果两个整数a 与b 被正整数m 除时所得余数相同，即a qm r =+，b pm r =+那么就称a 与b 关于模m 同余，其中p 、q 、r 都是整数，而且0r m ≤<. 在解决同余问题时，常把同余问题转化为整除问题来处理.典例精讲典例1 某种考试已举行的次数恰好是24次，共出了426道题，每次出的题数有25题或16题或20题，那么其中考25题的有多少次？解 16、20都被4整除，426除以4余2，25除以4余1，因此出25题的次数应当是2、6、10、...，剩下的题数才能被4整除.在出25题的次数为2时，426225376-⨯=，即3761616206=⨯+⨯，即出16题16次，出20题6次.在出25题的次数为6时，426625276-⨯=，而()16246288276⨯-=>，所以这种情况不能发生，出25题的次数当然也不能更多.因此考25题的有2次.典例2 有些数既能表示成3个连续正整数的和，又能表示成4个连续正整数的和，还能表示成5个连续正整数的和，例如：30满足上述要求.因为3091011=++，306789=+++，3045678=++++，问：在1900至2200之间满足上述要求的数有哪些？解 3个连续正整数的和，一定能被3整除；4个连续正整数的和，能被2整除，且商是奇数，也就是说，它被4整除后，余数一定是2；5个连续正整数的和，一定能被5整除，3、4、5的最小公倍数是60.已知30是满足条件的数，所以30加上(或减去)60的整数倍后，所得的数仍满足条件.由于19006031÷=⋯⋯40,因此3060321950+⨯=是大于1900且满足条件的最小的数.因此在1900至2200中满足条件的数是1950、2010、2070、2130、2190，共5个数. 典例3 (1)从1到3998这3998个正整数中，有多少个数能被4整除？(2)从1到3998这3998个正整数中，有多少个数的数字和能被4整除？解 (1)由于每连续4个正整数中必有一个能被4整除，而3997、3998不能被4整除，但3996可被4整除，因此从1到3998中，能被4整除的数一共有：()()399824999-÷=个(2)为了方便，将0到3999这4000个整数都看成四位数abcd (不足四位则在前面补零，如120012=).由于b 、c 、d 各有10种数字可任意选择，而且当b 、c 、d 选定后，为满足a b c d +++能被4整除，千位数字a 必唯一确定(a=0，1，2，3).事实上，若a b c d 4k +++=(k 为整数)，则a =0；若a b c d 4k 1+++=+,则a 3=；若a b c d 4k +++=+2,则a =2；若a b c d 4k +++=+3，则a 1=.综上所述，在0到3999这4000个整数中有11010101000⨯⨯⨯=个数的数字和能被4整除，因此从1到3998中有10001999-=个数的数字和能被4整除(去掉0).典例4 一个正整数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13，求所有满足条件的正整数.解 设这个数为n ，除以9所得余数r 8≤，所以n 除以8得到的商q 1385≥-=.又显然q 13≤.q 5=时，8r =，n 58444=⨯+=；q=6时，r=7，n =6⨯8+4=52；q=7时，r=6，n =7⨯8+4=60；q=8时，r=5，n =8⨯8+4=68；q=9时，r=4，n =9⨯8+4=76；q=10时，r=3，n =10⨯8+4=84；q=11时，r=2，n =11⨯8+4=92；q=12时，r=1，n =12⨯8+4=100；q=13时，r=0，n =13⨯8+4=108.所以满足条件的正整数共有9个：108，100，92，84，76，68，60，52，44.典例5 如图1-1，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个).小明像玩跳棋那样，从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳到A 孔.他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B 孔；他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B 孔；最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A 孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？解 如图1-1，设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A 孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号2、3、4、…，B 孔的编号就是圆圈上的孔数.每隔2孔跳一步，跳在1、4、7、10、…上，最后跳到B 孔，因此总孔数是3的倍数加1.同理每隔4孔跳一步最后跳回到B 孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A 孔，意味着总孔数是7的倍数.如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数.这个15的倍数加上1等于孔数，而且应能被7整除.不难检验，符合条件且小于100的数只有91=15×6+1.因此圆圈上总孔数是91.典例6 一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？解根据题意，我们发现三个算式中前两个算式的除数与余数的和都是5+3=7+1=8，这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、9的公倍数.而5、7、9的最小公倍数为315，所以这个数最小为315+8=323.典例7 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0,1,3,8,21,…，问：最右边一个数被6除余几？解设a、b、c为连续三项，则c=3×b-a.考虑原数列各项除以3所得的余数，组成数列0,1,0,2,0,1,0,2,…，每4项重复出现；考虑原数列各项除以2所得的余数，组成数列0,1,1,0,1,1,0,1,1,…，每三项重复出现因此原数列最右边的(第70个)数，除以3余1(70=4×17+2)，除以2余0(70=3×23+1)，于是最后一个数被6除余4.水平测试ABCA卷一、填空题1.被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小正整数是________.2.一个不等于1的整数，它除967、1000、2001得到相同的余数，那么这个整数是________.3.如果两个数被3除都余2，那么它们的积被3除，余数是________.4.一个正整数被7除余2，被6除余5，这个正整数的最小值是_________.5.71427与19的积被7除，余数是_________.6.除以6所得商和余数相同的数是________.7.在2016后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、11整除，和这个七位数最小是_______.8.要使六位数156ABC能被36整除，而且所得的商最小，A、B、C分别是________.9.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数(例如1409)，把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是_______.10.小丽给小芳打电话，已知小芳家电话号码是个能被3整除的五位数.这五位的中间三位都是8，末位不是0，小丽最多拨________次就一定是小芳家的电话号码.二、解答题11.少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣.这200个灯泡按1~200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的余变亮；一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态.这样继续下去，每4分钟一个周期，问：第200秒时，亮着的灯泡有多少个？12.在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数都有哪些？B卷一、填空题1. 正整数A 与B 之差是19，A 与B 的最大公约数最大可以是_______.2. a 和b 是1~9中不同的数码，ab 和ba 的最大公约数最大能是_______.3. 整数除法，余数比除数小，从1到1994各数都除以9，所有余数的和是_______.4. 把由1开始的正整数依次写下来，一直写到第201位为止，这个数除以3的余数是______.5.将既能被5整除又能被7整除的正整数自105起从小到大排成一行，共有2000个数，这2000个数的和被11除的余数是_______.6.2015个9组成的多位数999…99除以74所得的余数是________.7. 一个整数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个整数是_______.8.在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，那么 这样的六位数中最小的是_______.9.一个六位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的 四个数字是1997.这个六位数是________.10.从1，2，…，2016这2016个数中选出一些数，使得这些数中的每两个数的和 都能被26整除，这样的数最多能选出_______个.二、解答题11.有15个同学，每个同学编有一个号码，从1到15.编号为1的同学在黑板上写了一个正整数a 后，编号为2的同学说：“a 能够被2整除”，编号为3的同学说：“a 能够被3整除”，依次下去，每一个同学都说这个数能被他的编号数整除.编号为1的同学作了验证，发现只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对，问：(1)说得不对的两个同学，他们的编号是哪两个连续正整数?(2)若编号为1的同学在黑板上写的是一个五位数，这个五位数是多少?12.有分别写着1、2、3、…、13的卡片各2张，任意抽出两张，计算这两张卡片上数的积，这样会得到许多不相等的积，试问：这些积中最多有多少个能被6整除？C 卷一、填空题1.1234567891+2+3+4+5+6+7+8+9除以3的余数是________.2.a 除以5余1，b 除以5余4.如果3a>b ，那么3a-b 除以5余数是_______.3.199419951996除以7的余数是_______.4.数A 共有9个不同的约数，数B 共有6个不同的约数，数C 共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不整除.三个数之积的最小值是________.5.号码分别为101、126、173、193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.打球盘数最多的运动员打了_______盘.6.19191919n 19191919=个，n 被9除所得商的个位数是_______. 7.一个正整数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除余7，最后得到一个商是a(见短除式(1)；又知这个正整数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是a 的2倍(见短除式(2).这个正整数是________.8.有100张的一摞卡片，小明拿着它们从最上面的一张开始按如下的顺序操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这摞卡片的最下面.再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在这摞卡片的最下面.反复这样做，直到手中剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第_____张.9.一个三位数能同时被4、5、7整除，这样的三位数由小到大的顺序排成一列，中间的一个是_______.10.在1996这个数的前面或后面添写一个数4，所得到的两个五位数均能被4整除.现在请你找出一个三位数添写在1996的前面或后面，使所得的两个七位数都能被这个三位数整除，这样的三位数有_______个.二、解答题11.将正整数N 接写在任意一个正整数的右面，例如：将2接写在35的右面得352.如果得到的新数都能被N 整除，那么N 称为魔术数，请问：小于1996的正整数中有多少个魔术数?12.一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如,3785942160就是一个十全数.现已知一个十全数能被1,2,3，…,18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少?13.目前日期的流行记法是采用6位数字，即将表示年份的后两位数字记在最左边，中间两个数字表示月份，最末两位数字表示日期(遇有月或日是个位数的，前面加0，例如2014年4月5日记为140405).2016年11月28日记为16128，这个六位数恰好被88整除，这样的日期被看作“吉利日”，那么从2016年11月29日到2016年底还有哪些日期是“吉利日”？14.已知m 、n 、k 为正整数，m n k ≥≥，m n k 2+2-2是100的倍数，求m+n -k 的最小值.15.在1、2、3、…、1995这1995个数中找出满足下面条件的正整数a来：(1995+a)能整除1995×a.。
五年级奥数平均数问题讲座及练习答案
五年级奥数平均数问题讲座及练习答案我们研究平均数问题，首先要掌握以下基本数量关系：①总数量÷总份数=平均数②平均数×总份数=总数量③总数量÷平均数=总份数。
在总数量不变情况下“移多补少”，得到平均数是解决这类题的重要思想和解题思路，找准总数量与对应的总份数是难点。
例1、修路队修两条公路，第一条路长900米，用10天修完，第二条路的长比第一条的2倍多100米，用的时间是第一条的1.8倍，这个修路队，修完这两条公路平均每天修多少米？分析：要想求出结果，就要先求出两条路的总长（总数量），再求出修完这条公路共需要的天数（总份数）和平均数。
解: (900＋900×2＋100)÷(10＋10×1.8)＝2800÷28＝100(米)答：修完这两条公路平均每天修100米。
例2. 一个水果店三种水果的单价平均是1.6元，已知香蕉比苹果贵0.2元，比柚子便宜0.5元，请你算一算每种水果的单价多少元。
分析：这是一道平均数问题逆向思考题，根据已知条件给出平均价钱是1.6元，这样就可以求出三种水果单价和的钱数，即1.6×=4.8（元），在此基础上再根据三种水果单价的数量之间的关系，运用假设思想求出问题的答案，可以用下面的线段图表示上述关系。
解：(1.6×3＋0.2－0.5)÷3＝4.5÷3＝15(元)1.5－0.2＝1.3(元) 1.5＋0.5＝2(元)答：香蕉单价是1.5元，苹果单价是1.3元，柚子的单价是2元。
想一想，如果假设和苹果单价一样多，该怎样列式？例3.五名裁判给一名运动员评分，去掉一个最高分和一个最低分，平均得分9.58分；如果只去掉一个最高分，均分为9.46分；如果只去掉一个最低分，均分为9.66分。
求这名运动员的最高得分和最低得分分别是多少？分析:该题实质上是已知部分数的平均数,求个别数.依题意:去掉最高分和最低分后,该运动员的总得分为:9.58×3(分);去掉最高分后,该运动员的总得分为:9.46×4(分);去掉最低分后,该运动员的总得分为:9.66×4(分);因此,该运动员的最高分为:9.66×4-9.58×3=9.1(分)例4．一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地,到达乙地后,又以每小时60千米的速度从乙地返回甲地,求这辆汽车往返一次的平均速度.分析:往返一次的平均速度=往返一次的总路程÷往返一次的总时间.这一数量关系是正确解答这道题的关键.由于往返一次的总路程题目没有告诉我们,我们不妨假设甲地到乙地的路程为S千米.所以: S×2÷( S÷100+S÷60) （请根据提示试着思考并解答）我也能行1．甲、乙两数的平均数是1.58，再加上丙则平均数是3.52，丙数是多少？解：根据甲、乙两数的平均数是1.58可知甲、乙两数的和是1.58×2=3.16.又根据加上丙数后三数的平均数是3.52可知三数的和是10.56。
内部资料：博识教育奥数教材(1—6年级,含小升初)内部资料：博识教育四年级奥数教材【93页】
目录第一讲归一问题 2 第二讲加法交换律和加法结合律 6 第三讲求总问题8 第四讲减法性质12 第五讲平均数应用题（一）14 第六讲乘法运算定律19 第七讲平均数应用题（二）22 第八讲除法性质26 第九讲还原问题29 第十讲小数的计算———乘法33 第十一讲假设法解应用题35 第十二讲小数的计算———除法39 第十三讲对应法解应用题41 第十四讲小数的简算———加减法45 第十五讲列方程解应用题（一）47 第十六讲小数的简算———乘法50 第十七讲列方程解应用题（二）52 第十八讲小数的简算———除法57 第十九讲列方程解应用题（三）59 第二十讲小数的计算———综合65 第二十一讲年龄问题66 第二十二讲解方程（一）70 第二十三讲行程问题（一）72 第二十四讲解方程（二）77 第二十五讲行程问题（二）79 第二十六讲解方程（三）85 第二十七讲行程问题（三）86 第二十八讲混合运算92第一讲归一问题知识要点基本数量关系：总数÷份数 = 每份数每份数×份数 = 总数总数÷每份数 = 份数例题讲解【例1】小明买了5本练习本，付出4元钱，全班有50个同学需要买250本练习本，一共需要多少钱？分析：由“5本练习本，付出4元钱”可以算出一本练习本是4÷5=0.8元钱；知道一本练习本的单价（单一量）就可以算出250本练习本的总钱数。
解：（1）4÷5=8（元）（2）0.8×250=200（元）答：一共需要200元。
小结：这是一道正归一应用题。
【例2】修路队要修一条长2000米的公路，前5天修筑了100米。
照这样计算，要修这条公路需要多少天？分析：由“5天修筑100米”，可以算出平均每天修筑的米数（单一量），再算2000米里包含了多少个“单一量”就是修完这条公路一共需要的天数。
解：（1）100÷5=20（米）（2）2000÷20=100（天）答：要修完这条公路需要100天。
小升初六年级奥数——几何（平面图形）
⼩升初六年级奥数——⼏何（平⾯图形）⼀、分数百分数问题，⽐和⽐例这是六年级的重点内容，在历年各个学校测试中所占⽐例⾮常⾼，重点应该掌握好以下内容：对单位1的正确理解，知道甲⽐⼄多百分之⼏和⼄⽐甲少百分之⼏的区别；求单位1的正确⽅法，⽤具体的量去除以对应的分率，找到对应关系是重点；分数⽐和整数⽐的转化，了解正⽐和反⽐关系；通过对“份数”的理解结合⽐例解决和倍（按⽐例分配）和差倍问题；⼆、⾏程问题应⽤题⾥最重要的内容，因为综合考察了学⽣⽐例，⽅程的运⽤以及分析复杂问题的能⼒，所以常常作为压轴题出现，重点应该掌握以下内容：路程速度时间三个量之间的⽐例关系，即当路程⼀定时，速度与时间成反⽐；速度⼀定时，路程与时间成正⽐；时间⼀定时，速度与路程成正⽐。
特别需要强调的是在很多题⽬中⼀定要先去找到这个“⼀定”的量；当三个量均不相等时，学会通过其中两个量的⽐例关系求第三个量的⽐；学会⽤⽐例的⽅法分析解决⼀般的⾏程问题；有了以上基础，进⼀步加强多次相遇追及问题及⽕车过桥流⽔⾏船等特殊⾏程问题的理解，重点是学会如何去分析⼀个复杂的题⽬，⽽不是⼀味的做题；三、⼏何问题⼏何问题是各个学校考察的重点内容，分为平⾯⼏何和⽴体⼏何两⼤块，具体的平⾯⼏何⾥分为直线形问题和圆与扇形；⽴体⼏何⾥分为表⾯积和体积两⼤部分内容。
学⽣应重点掌握以下内容：等积变换及⾯积中⽐例的应⽤；与圆和扇形的周长⾯积相关的⼏何问题，处理不规则图形问题的相关⽅法；⽴体图形⾯积：染⾊问题、切⾯问题、投影法、切挖问题；⽴体图形体积：简单体积求解、体积变换、浸泡问题；四、数论问题常考内容，⽽且可以应⽤于策略问题，数字谜问题，计算问题等其他专题中，相当重要，应重点掌握以下内容：掌握被特殊整数整除的性质，如数字和能被9整除的整数⼀定是9的倍数等；最好了解其中的道理，因为这个⽅法可以⽤在许多题⽬中，包括⼀些数字谜问题；掌握约数倍数的性质，会⽤分解质因数法，短除法，辗转相除法求两个数的最⼤公因数和最⼩公倍数；学会求约数个数的⽅法，为了提⾼灵活运⽤的能⼒，需了解这个⽅法的原理；了解同余的概念，学会把余数问题转化成整除问题，下⾯的这个性质是⾮常有⽤的：两个数被第三个数去除，如果所得的余数相同，那么这两个数的差就能被这个数整除；能够解决求⼀个多位数除以⼀个较⼩的⾃然数所得的余数问题，例如求1011121314 (9)899除以11的余数，以及求20082008除以13的余数这类问题；五、计算问题计算问题通常在前⼏个题⽬中出现概率较⾼，主要考察两个⽅⾯，⼀个是基本的四则运算能⼒，同时，⼀些速算巧算及裂项换元等技巧也经常成为考察的重点。
2021年小升初奥数22讲-第8讲比与比例
第8讲比与比例 知识要点两个数的比实质是两个数相除，它可以表示成一个分数，用字母表示如下：()0aa b a b b b :=÷=≠.其中 a 称为比的前项，b 称为比的后项.比的前项相当于被除数（或分子），比的后项相当于除数（或分母），比值相当于除得的商（或分数值）.表示两个比相等的式子称为比例式，用字母表示为a b c d :=:.其中a 、d 称为比例外项，b 、c 称为比例内项.比和比例是一个应用极为广泛的概念，它渗透于各类应用问题之中，它最多的表现形式为分数（或百分数）. 典例精讲典例1 一个分数，分子和分母的和是122.如果分子、分母都减去19，得到的分数约简后是15，那么原来的分数是什么？解 分子、分母都减去19后，这时分子、分母的和为12219284-⨯=，约分后分子、分母的和为 156+=，所以约去的公因数为84614÷= .故原来的分数是11419335141989⨯+=⨯+.典例2 有两组数，第一组的平均数是12.8，第二组的平均数是10.2，而这两组数总的平均数是12.02，那么第一组数与第二组数的个数的比值是多少？分析 我们先以10个数，进行以下研究来证明一个事实（规律）.设12344a a a a a +++=，a 称为1a 、2a 、3a 、4a 的平均数， ①56789106a a a a a ab +++++=（同上解释b ）， ②1234567891010a a a a a a a a a a c +++++++++=. ③由 ①得 12344a a a a a +++=； ④由 ②得 56789106a a a a a a b +++++=； ⑤由 ③得 1234567891010a a a a a a a a a a c +++++++++=. ⑥ 将④ ⑤代入⑥得461046a b c c c +==+，即()()46a c c b -=-. 从而 ()()6:4a c c b -÷-=. ⑦⑦式说明的事实是：（第一组数的平均数-所有数的平均数）：（所有数的平均数-第二组数的平均数）=第二组数的个数：第一组数的个数.解 依据上面分析，本题解法为 ()()12.812.0212.0210.20.78:1.823:7--==:.所以第一组数的个数：第二组数的个数=73. 典例3 数学奥林匹克学校某次人学考试，参加的男生与女生人数之比是4：3，结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8：5.在未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3：4，那么报考的共有多少学生？解 在录取的学生中，男生有8915685⨯=+人，女生有915635-=人.在未被录取的学生中，男生与女生人数之比为 34：，可设未被录取的男生有3x 人，女生有 4x 人，于是有35643543x x ++=（）：（）：，解得所以报考的人数共有 91349174119x x ++=+⨯=（）人.典例4 将两筐苹果分给甲、乙、丙三个班，甲班分得总量的25.剩下的按57：分给乙、丙两班.已知第二筐苹果重量是第一筐的910，且比第一筐少5千克.问：甲、乙、丙 三个班分别各得苹果多少千克？解 由已知，第一筐苹果重 9515010⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭千克，从而两筐苹果共重 95019510⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ （千克）.甲班分得295385⨯= （千克）；乙班分得253951235574⎛⎫⨯-⨯= ⎪+⎝⎭（千克）；丙班分得319538233344--=（千克）. 典例5 如图8一1，四边形ABCD 是一个矩形，且长与宽之比为32：.E 在BC 上，F 在CD 上，并且三角形ABE 、三角形ADF 、四边形AECF 的面积彼此相等，求三角形AEF 与矩形ABCD 面积之比.解 设矩形ABCD 的长为3a ，宽为2a 由于三部分.由于三部分面积相等，所以()213223ABE ADF S S a a a ==⨯⨯=△，从而2BE a =，43DF a =,EC a =，23FC a=,所以211212233ECF S EC FC a a a =⨯⨯=⨯⨯=△，22215233AEF S a a a =-=△.从而225:65:183AEF ABCD S S a a ==△矩形：.典例6 有两袋大米共重440千克.甲袋米吃了13 ，乙袋米吃了12 ，这时甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为8：5.问：甲袋米原来重多少千克？乙袋米原来重多少千克？解 甲袋剩下的米是原来的23，乙袋剩下的米是原来的12 ，甲袋和乙袋剩下米的重量之比为8：5，那么8份是甲原来的23，5份是乙原来的12 . 28123÷=（份），15102÷=（份） ，所以甲袋米原来重124402401210⨯=+千克，乙袋米原来重104402001210⨯=+千克.典例7．A B C 、、三个水桶的总容积是1440升.A B 、两桶装满水，C 桶是空的，若将A 桶水的全部和B 桶水的15，或将B 桶水的全部和A 桶水的13倒入C 桶，C 桶都恰好装满.求A B C 、、三个水桶容积各是多少升．解 根据题意可知,A 桶水的全部加上B 桶水的15等于B 桶水的全部加上A 桶水的13，所以A 桶水的23等于B 桶水的45，那么A 桶水的全部等于B 桶水426535÷=，C 桶水为B 桶水的617555+=.所以A B C 、、三个水桶的容积之比是67165755=：：：：.又A B C 、、三个水桶的总容积是1440升，所以A 桶的容积是 61440480657⨯=++， B 桶的容积是 514404006⨯=升，C 桶的容积是74805606⨯=升.水平测试一、填空题1. 将6枚壹分硬币叠在一起与5枚贰分硬币叠在一起一样高，4枚壹分硬币叠在一起与3枚伍分硬币叠在一起一样高.用壹分、贰分、伍分硬币各叠成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了124枚硬币，那这些硬币的币值为 元.2. 三批货物共值152万元，第一、二、三批货物的重量比为243：：，单位重量的价格比为652：：，这批货物各值 万元.3. 某商贩按大个鸡蛋每个3角6分，小个鸡蛋每个2角8分卖出了一批鸡蛋，共收人214元.已知他卖出的大个鸡蛋与小个鸡蛋的个数之比是 ，他卖出大个鸡蛋 个，小个鸡蛋 个.4. 如图8一2，A B C 、、三个齿轮咬合，当A 转4圈时，B 恰好转3圈，当B 转4圈时，C 恰好转5圈这三个齿轮的齿数最小数分别为 .5.红旗小学在校运动会上买了甲、乙两种钢笔作为个人单项第一、第二名的奖品.若两种钢笔共买100支，甲钢笔每支9元，乙钢笔每支6元，且甲、乙两种钢笔所用钱总数相等.甲种钢笔买了 支，乙种钢笔买了 支.6.甲走的路程比乙多13，乙用的时间却比甲多14，甲、乙速度比为 . 7.一个长方形与一个正方形周长之比是6：5，长方形长是宽的215倍，这个长方形与正方形的面积比为 .8.甲数与乙数比值是2027，甲数与丙数比值是1625，乙数与丙数比值是 ， 甲、乙、丙三数之比为9．两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水体积之比是31：，而另一个瓶子中酒精与水的体积之比是41：.如果把两瓶酒精溶液混合，混合溶液中酒精与水体积之比为 .也甲、乙两个建筑队原有水泥重量比是43：，当甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙 两队水泥重量比变为34：，甲队原有水泥 吨.二、解答题11.A B C 、、是三个顺次咬合的齿轮，己知齿轮A 旋转7圈时，齿轮C 旋转6圈.（1）如果的齿数是42，那么C 的齿数是多少？（2）如果B 旋转7圈时，C 旋转1圈，那么A 旋转8圈时，B 旋转了多少圈？12.A B 、两地相距360米，小华前一半时间用速度a 行走，后一半时间用速度b 走完全程.又知54a b =：：，前一半路程所用时间与后一半路程所用时间的比是多少？ 13.如图83-所示，大长方形由面积分别是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的4个小长方形组合而成.请求出阴影部分的面积.B卷一、填空题1.甲、乙两人的钱数之比是31：，如果甲给乙0.6元，则两人的钱数之比变为21：.两人共有元.2.横着剪三刀，竖着剪五刀，将一个大正方形纸片等分成24张同样的长方形纸片，再把其中的一张长方形纸片等分成面积尽可能大的小正方形纸片.已知小正方形纸片的边长是5厘米，大正方形纸片的面积为平方厘米.3.小明和小方各走一段路，小明走的路程比小方多15，小方用的时间比小明多18，小明和小方的速度之比是.4.博爱小学女生是全校人数的181547，又来了8位女生，女生占全校人数的13现在共有学生人.5.一个直角梯形周长是96厘米，两底之和与两腰之和的比是2：1，且其中一腰是另一腰的35.这个直角梯形的面积为.6.如图8-4，在梯形ABCD中，E是BC中点，四边形ADEB与三角形EDC的面积之比是10：7，上底AB与下底CD的长度之比.7.甲班有42名学生，乙班有名学生.已知在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果两个班数学总成绩相同，各班平均成绩都是整数，并且平均成绩都高于80分，那么甲班平均成绩比乙班高出分.8.幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生.已知大班中男生人数与女生人数的比是5：3，中班中男生人数与女生人数的比为2：1，大班的女生有人.9.张、王、李三人共有54元，张用了自己钱数的35，王用了自己钱数的34，李用了自己钱数的23，各买了一支相同的钢笔，张和李两人剩下的钱数共有元.10.一项任务，师徒合作2天完成全部任务的35，接着师傅因故停工2天，后继续与徒弟合作.已知师徒工作效率之比是2：1，完成这一任务前后一共用了天. 二、解答题11.如图8-5，一个长方形的长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？C卷一、填空题1.一把小刀售价3元，如果小明买了这把刀，小明与小强的钱数之比是2：5.现在小强买了这把小刀，两人的钱数之比是8：13.买刀前小明与小强的钱数之比是，小明原有钱元.2.快、慢两列车的长分别是150米、200米，它们相向行驶在平行轨道上.若坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间是6秒，则坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是秒钟.3.桌上放有10元、5元、1元的纸币共12张，共计72元，10元有张，5元有张，1元有张.4.水果店运来西瓜个数与白兰瓜个数的比是7：5.如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩36个.水果店运来西瓜个.5.A、B两地相距7200米，甲、乙分别从A、B两地同时相向出发，结果在距B地2400米处相遇.如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行米.6.小明与小亮同住在一幢楼，他们同时出发骑车去郊外看王老师，又同时到达王老师家.但途中小明休息的时间是小亮骑车时间的13，而小亮休息的时间是小明骑车时间的14，小明和小亮骑车速度的比是.7.有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为2：5.现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长方形纸板做侧面（图8-6A)；横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面（图8-6B）.做成的竖式纸盒与横式纸盒个数之比是.8.甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按9：8：3派工，后因丙村不出工，将他承担的任务山甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务.甲、乙两村各应分得丙村所付工资的元.9.有两个圆，它们的面积之差是209平方厘米.已知大圆的周长是小圆周长的119倍，小圆的面积是平方厘米.二、解答题10.甲、乙两列车分别从A、B两站同时相向开出.已知甲车速度与乙车速度的比为3：2，C站在A、B两站之间，甲、乙两列车到达C站的时间分别是上午5时和下午3时，问：甲、乙两车几点相遇？11.张家与李家本月收人的钱数之比是8：5，本月开支的钱数之比是8：3.月底张家节余240元，李家节余270元.问：本月每家各收人多少元？12.某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二次在同一河道中顺流航行12千米逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，问：顺水船速与逆水船速之比是多少？（设船本身的速度及水流的速度都是不变的）13.有甲种糖每千克4.2元，乙种糖每千克4.8元，丙种糖每千克7.8元，现把三种糖混合成售价为每千克6元的什锦糖.(1)甲、乙、丙的配比是多少？（2）如果要混合的重量为105千克，那么甲种糖取多少千克？又乙种糖、丙种糖各取多少千克？。
2021年小升初奥数22讲-第21讲长方体
第21讲 长方体知识要点立体图形的训练对培养我们空间想象力具有重要意义，也是竞赛及各级能力考的重要内容，这方面的问题不仅局限于体积、面积的计算，它与计数、分割、最大最小同题常常结合在一起，使思维能得到综合的训练。
典例精讲典例1 有一个长、宽、高分别为12、9、7厘米的长方体，在它的每组两两相对的面的正中央处都打一个底面为4平方厘米的正方形的贯穿的洞，那么这个长方体剩下的体积是多少立方厘米?解 被挖掉的体积为()41297229()226-⨯++⨯⨯⨯=立方厘米，上式中要减去(2×2×2）×2是因为贯穿长方体的洞在长方体的中央交汇处，在4×(12+9+7)的计算中多计了2次，应该减去，才是真正被挖去的体积.因此剩下的体积为12×9×7-96=660立方厘米.典例2 12盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须是以全等的面对接，最后得到的包装形状是一个长方体.已知磁带盒的长为11厘米、宽为7厘米、高为2厘米，按“规则方式”打包得到的长方体的表面积最小值是多少平方厘米?解 要想使打包得到的长方体表面积最小，就应使对接的全等的面的面积尽可能地大，因此首先两盒之间应以11×7的面对接，先组装成两个相同的长方体，其体积为11×7×(2×6)=11×7×12.由于12×7>11×7，因此这个组成的长方体对接面是12×7的两个面（如图)，其表面积为图21-1 (12×14+11×14+11×12)×2=908平有厘米.典例3 从一个棱长10厘米的立方体木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2 厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少?解分四种情形.（1)如图21-2，沿一条棱挖，表面积损失了两侧的两个小正方形(2×2)×2=8平方厘米，所以剩余部分的表面积为600-8=592平方厘米；(2)如图21-3，沿某一侧上平行于边挖，表面积增加了(2×10-2×2)×2=32平方厘米，总表面积为600+32=632平方厘米；（3）如图21-4，在某一侧面上斜着挖，表面增加了4个面，其面积为(2×2+2×10)×2=48平方厘米，总表面积为600+48=648平方厘米；(4)如图21-5，挖通两个对面，表面积增加了4×(2×10）-2×(2×2)=72平方厘米，总表面积为600+72=672平方厘米.典例4 有大、中、小三个正方体水池，它们的边长分别是6米、3米、2米.将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米.如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面会升高多少厘米?解沉浸在中水池的碎石的体积是3×3×0.06=0.54立方米，沉浸在小水池的碎石的体积是2×2×0.04=0.16立方米，这两堆碎石的体积共有0.54+0.16=0.70立方米.大水池底面积是6×6=36平方米，所以大水池的水面升高了17÷=（厘米）.0.736118典例5 用一块长18分米、宽12分米的铁片，制作成一个深1分米的无盖铁箱.如在此铁片四个角上切掉4块面积为1平方分米的正方形铁片，再将剩余的四边折起焊上便可制成，但这样做浪费了4小块铁片，如果不浪费材料，将原铁片切割成几部分，焊接成深1分米的无盖铁箱，应如何切制?请画线在给定的长方形图21-6上.能否不浪费材料，切割后分别焊成4分米深及6分米深的无盖铁箱?如能，请将线分别画在图21-7及图21-8上，解能.切制方法见下面的图21-6、图21-7、图21-8.说明 图中实线表示切刻线，虚线表示折线.典例6 有一个长方体，打算将其切成两个长方体，如果切面与前、后面平行，则切后两长方体表面积增加174平方厘米；如果切面与左、右面平行，则表而积增加138平方厘米;如果切面与上、下面平行，则表面积增加1334平方厘米.问：这个长方体的体积是多少立方厘米?解 如图21-9，a ×b=174÷2=87=3×29，a ×c=138÷2=69=3×23，b ×c=1334÷2=667=29×23，()()()()()()()()2329323292332923a b c a b a c b c ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯所以长方体的体积为a ×b ×c=3×29×23=2001立方厘米.典例7 请在图21-10的五个方框中画出5种不同的正方体的展开图，如图21-11所示（经过平移或旋转后能够重合的，算作一种).解正方体的展开图共有11种：中间四连方，两边各有一个，有6种;中间三连方，两边各有一、两个，有3种：其他情况，有2种：水平测试ABCA卷一、填空题1.一个长方体的棱长之和是48厘米，长5厘米，宽4厘米，它的表面积是，体积是.2.在棱长为10厘米的正方体玻璃缸里装满水，然后将这些水倒入长20厘米，宽1分米的长方体玻璃缸内，这时水深厘米.3.一个正方体和一个长方体拼在一起成了一个新的长方体，新长方体比原来的长方体的表面积增加60平方厘米，这个正方体的表面积是.4.一个长方体正好分割成3个体积相等的正方体，已知一个正方体的表面积是3平方厘米，原来长方体的表面积是平方厘米.5.从一根长方体木料上截下一段体积48立方分米的长方体木块，剩下的部分的是一个棱长4分米的正方体木块，原来这根木料的表面积是平方分米.6.一个长方体的铁皮水箱管量是400升，底面是边长为8分米的正方形，水箱深分米.7.一个长方体表面积是14平方厘米，正好可以分成三个正方体，这个长方体的体积是立方厘米.8.用棱长1厘米的正方体小木块拼成一个楼长3厘米正方体，共需要块.9.把正方体的棱长扩大到3倍后，体积增加倍.10.长方体与正方体的底面积相等，长方体的高是正方体高的2倍，正方体的体积是长方体的.二、解答题11.图21-15是由棱长2厘米的小正方体叠成的，它的表面积与体积各是多少?12.有10个表面涂色的长方体，每一个的长、宽、高分别是2、3、4个单位，把它们全部截成棱长为1个单位的正方体，其中：（1)两面有色的共有多少个?（2)至少一面有色的共有多少个?B卷一、填空题1.一个底面是正方形的长方体，它的侧面展开后正好是一个边长为4分米的正方形，这个长方体的体积是立方分米.2.有一个正方体，如果它的高增加3厘米成为长方体，这个长方体的表面积就比原来的正方体增加96平方厘米.原来这个正方体的体积是立方厘米.3.一个长方体水箱长1分米，宽4.5厘米，水中浸没一个钢球，水深为8.2厘米.如果把钢球从水中取出，水面就下降0.2厘米，这个钢球重克（1立方厘米钢重7.8克).4.两个完全相同的长方体，长10厘米，宽5厘米，高2厘米，拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积比原来两个长方体的表面积减少平方厘米.5.长方体表面可以有个面是正方形6.把三个棱长都是2分米的立方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是平方分米.7.一个正方体，表面全部涂上红色，切成27个棱长是1厘米的小正方体、一面带红色的小正方体有个，两面带红色的小正方体有个，三面带红色的小正方体有个.8.一个正方体的棱长扩大为原来的3倍后，体积是162立方厘米，原正方体的体积是立方厘米.9.某养鱼池长8米，宽5米，深1米，平时池中水面比地面低1分米，池内有两个边长是1分米的正方形出水口.如果平均每秒钟的排水速度是2米，排完这池水需要分钟10.一个长方体纸盒的平面展开图如图21-16，这个纸盒子的体积是立方厘米.二、解答题11.如图21-17所示，正方体六个表面都涂有颜色，按图示切成一个个小正方体，问：（1)三面涂色的小正方体有几个?（2）两面涂色的小正方体有几个?（3）一面涂色的小正方体有几个?（4）不涂色的小正方体有几个?12.把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体?13.图21-18是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面.请在右边的展开图21-19中画出截面APQC的四条边.C卷一、填空题1.棱长4分米的立方体，在它的各面正中位置挖边长1分米的正方形洞，全部挖通后得到的几何体，它的表面积是平方分米，体积是立方分米.2.一个长方体，长8厘米，宽5厘米，高4厘米.将它切成两个长方体后，表面积之和最大是平方厘米.3.在长60厘米、宽40厘米、高30厘米的长方体水箱中注入15厘米深的水，把一个棱长10厘米的立方体铁块沉入水中，水箱内的水面将升高到厘米.4.用一根长96厘米的铁丝做成一个正方体框架（不考虑损耗），如果在框架上糊上纸，至少要用平方厘米纸才能糊好这个正方体.5.一个长方体的高缩短3.8厘米后就成为一个正方体，但表面积比原来减少45.6平方厘米，原来这个长方体的表面积是平方厘米.6.将一根长为3.6米的长方体木料锯成三段，这样三段长方体的表面积总和比原来长方体的表面积增加了36平方分米.这根木料原来的体积是立方分米.7.在长为15厘米、宽为16厘米的长方体水箱中有10厘米深的水.现在往水箱里放入一石块，这时水平面离箱底14厘米，石块的体积至少是立方厘米8.一个长方体的长是12厘米，宽10厘米，高也是整厘米数.在它的表面涂满颜色后，截成棱长是1厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有448个.原来长方体的体积与表面积为9.图21-20是由棱长为3厘米的小正方体搭起来的积木，算一算这个积木的体积是立方厘米，表面积是平方厘米.10.有10个表面涂了红漆的正方体，它们的棱长分别是1、3、5、7、…、19.若把它们全部锯成棱长为1的小正方体，所有这些小正方体中，共有个至少是一面有红漆的正方体。
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小升初奥数讲座第一讲行程问题走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；时间行走或移动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度×时间很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如总量=每个人的数量×人数.工作量=工作效率×时间.因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米1.1追及与相遇有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，甲走的距离-乙走的距离= 甲的速度×时间-乙的速度×时间=（甲的速度-乙的速度）×时间.通常，“追及问题”要考虑速度差.例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间=9÷6＝1.5（小时）.小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是面包车速度是 54-6＝48（千米/小时）.城门离学校的距离是48×1.5＝72（千米）.答：学校到城门的距离是72千米.例2 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？解一：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）?因此，小张走的距离是75× 20＝ 1500（米）.答：从家到公园的距离是1500米.还有一种不少人采用的方法.家到公园的距离是一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？解一：自行车1小时走了30×1-已超前距离，自行车40分钟走了自行车多走20分钟，走了因此，自行车的速度是答：自行车速度是20千米/小时.解二：因为追上所需时间=追上距离÷速度差1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图：马上可看出前一速度差是15.自行车速度是35- 15＝ 20（千米/小时）.解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？解：画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.答：这时是8点32分.下面讲“相遇问题”.小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么甲走的距离+乙走的距离=甲的速度×时间+乙的速度×时间=（甲的速度+乙的速度）×时间.“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.例5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12＝3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是36÷（3＋1）＝9（分钟）.答：两人在9分钟后相遇.第一讲行程问题走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；时间行走或移动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度×时间很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如总量=每个人的数量×人数.工作量=工作效率×时间.因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米1.1追及与相遇有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，甲走的距离-乙走的距离= 甲的速度×时间-乙的速度×时间=（甲的速度-乙的速度）×时间.通常，“追及问题”要考虑速度差.例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间=9÷6＝1.5（小时）.小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是面包车速度是 54-6＝48（千米/小时）.城门离学校的距离是48×1.5＝72（千米）.答：学校到城门的距离是72千米.例2 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？解一：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）?因此，小张走的距离是75× 20＝ 1500（米）.答：从家到公园的距离是1500米.还有一种不少人采用的方法.家到公园的距离是一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？解一：自行车1小时走了30×1-已超前距离，自行车40分钟走了自行车多走20分钟，走了因此，自行车的速度是答：自行车速度是20千米/小时.解二：因为追上所需时间=追上距离÷速度差1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图：马上可看出前一速度差是15.自行车速度是35- 15＝ 20（千米/小时）.解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？解：画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.答：这时是8点32分.下面讲“相遇问题”.小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么甲走的距离+乙走的距离=甲的速度×时间+乙的速度×时间=（甲的速度+乙的速度）×时间.“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.例5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12＝3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是36÷（3＋1）＝9（分钟）.答：两人在9分钟后相遇.第一讲行程问题走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；时间行走或移动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度×时间很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如总量=每个人的数量×人数.工作量=工作效率×时间.因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米1.1追及与相遇有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，甲走的距离-乙走的距离= 甲的速度×时间-乙的速度×时间=（甲的速度-乙的速度）×时间.通常，“追及问题”要考虑速度差.例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间=9÷6＝1.5（小时）.小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是面包车速度是 54-6＝48（千米/小时）.城门离学校的距离是48×1.5＝72（千米）.答：学校到城门的距离是72千米.例2 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？解一：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）?因此，小张走的距离是75× 20＝ 1500（米）.答：从家到公园的距离是1500米.还有一种不少人采用的方法.家到公园的距离是一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？解一：自行车1小时走了30×1-已超前距离，自行车40分钟走了自行车多走20分钟，走了因此，自行车的速度是答：自行车速度是20千米/小时.解二：因为追上所需时间=追上距离÷速度差1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图：马上可看出前一速度差是15.自行车速度是35- 15＝ 20（千米/小时）.解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？解：画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.答：这时是8点32分.下面讲“相遇问题”.小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么甲走的距离+乙走的距离=甲的速度×时间+乙的速度×时间=（甲的速度+乙的速度）×时间.“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.例5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12＝3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是36÷（3＋1）＝9（分钟）.答：两人在9分钟后相遇.。