分离变量法的解题步骤总结

柱坐标系与z变量无关的二维一般解
(r ) ( A B ln rC )(C D )
n n r ( A sin n B cos n ) r n C (Cn sin n Dn cos n ) C n n 1
球坐标系下的通解
n Bnm m n (r ) [ Anm rS ( n 1) ]Pn (cos ) cos m rS n 0 m0
x, y Ax B Cy D C sinh k y D cosh k y 1 y 1 y A1 sin k x x B1 cos k x x C sin k y D cos k y 2 y 2 y A2 sinh k x x B2 cosh k x x
分离变量法的解题步骤 总结
解题步骤



确定求解区域，写出电势所满足的方程（一般 为Laplace方程）和边界条件（包括物理边界 条件和自然边界条件）； 根据边界的形状选取坐标系； 根据边界条件，选出解形式，（其中包含有待 定系数）； 把边界条件代入通解中，确定待定系数，从而 得到问题的解。
二维情况下直角坐标系通解形式
柱的轴心或球心处若没有线电荷或点电荷，则 电位为有限值； 若电荷分布于有限区域，则无穷远处电位趋近 于零；
rS

来自百度文库
Dnm m [C r ( n 1) ]Pn (cos ) sin m rS n 0 m0
n nm S

n
如果电势不依赖于方位角，则
Bn n (r ) [ An rS ( n1) ]Pn (cos ) rS n 0

几种常见的边界条件

导体为等位体；导体接地电位为零。 ˆz E0 , 均匀场： E i E0 z E0 rS cos