二次方程根的分布情况归纳完整版
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
）
得
0
出 的
b0
结
2a
论
f0 0
综
合
结
0
论 （
b0
不
2a
讨
论
af 0 0
a
）
0 b0 2a f0 0
0 b0 2a af0 0
f0 0 a f0 0
1
分 布 情 况
大 致 图 象 （
a0
）
表二：（两根与 k 的大小比较）
两根都小于 k 即 x1 k, x2 k
两根都大于 k 即 x1 k, x2 k
例 3、已知二次函数 y m 2 x2 2m 4 x 3m 3 与 x 轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求实数 m
的取值范围。
解：由 m 2 f 1 0 即 m 2 2m 1 0
1 2 m 即为所求的范围。
2
例 4、已知二次方程 mx2 2m 3 x 4 0 只有一个正根且这个根小于 1，求实数 m 的取值范围。
解：对称轴 x0 2
（ 1）当 2 t 即 t 2 时， ymin f t t2 4t 3 ；（ 2）当 t 2 t 1 即 1 t 2 时， ymin f 2
1；
（ 3）当 2 t 1 即 t 1 时， ymin f t 1 t 2 2t
例 4、讨论函数 f x x2 x a 1的最小值。
解： f x
3
fm 0
（ 1） a 0时，
；
fn 0
fm 0 （ 2） a 0 时，
fn 0
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：
（ 1）两根有且仅有一根在 m, n 内有以下特殊情况：
若 f m 0 或 f n 0 ，则此时 f m f n 0 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为
一元二次方程根的分布情况归纳完整版
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax2+bx+c = 0根的分布情况设方程ar+bx+c = 0(d H 0)的不等两根为心兀且片 < 心，相应的二次函数为f (x) = or? +bx+c = 0, 方程的根即为二次函数图象与X轴的交点，它们的分布情况见下而各表(每种情况对应的均是充要条件)表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)表二：（两根与£的大小比较）表三：（根在区间上的分布）需满足的条件是对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：(1)两根有且仅有一根在(/,")有以下特殊情况：1°若/(/«) = 0或/(") = 0,则此时/(/«>/(/?)< 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为加或"，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(加丿)，从而可以求出参数的值。
如方程〃区2—(加+ 2)x+2 = 02 2在区间(1,3)上有一根，因为/(1) = 0> 所以mx2—(m+2)x+2 = (x—l)(mr—2)> 另一根为— > 由1 < — <3 2得一<tn<2即为所求；32°方程有且只有一根，且这个根在区间(〃?,〃)，即△ = 0,此时由4 = 0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程,求出相应的根，检验根是否在给左的区间，如若不在，舍去相应的参数。
如方程x2-4/^ +2w+ 6 = 0有且一根在区间(-3,0),求加的取值围。
分析：①由/(-3>/(0)< 0即(14加+ 15)(加+ 3)< 0得出]5 3一3<〃？<一訂：②由△ = ()即16〃/一4(2〃? + 6) = 0得出〃？= -1 或加=；,当〃？ = 一1 时，根兀= -2e(-3,0),3 3 15即〃2 = —1满足题意：当/« = -时，根兀=3点(一3,0),故/// = -不满足题意：综上分析，得出一3<〃2<-一或2 v 7 2 14m = -1根的分布练习题例1、已知二次方程(2加+ 1)疋_2皿+(加_1) = 0有一正根和一负根，数加的取值圉。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a ）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,两根有且仅有一根在()n m ,（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,，另一根在()q p ,，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,，从而可以求出参数的值。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax 2 +bx +c = 0根的分布情况设方程ax 2+bx +c =0(a 0)的不等两根为x ,x 且x x ，相应的二次函数为 f (x )=ax 2+bx +c =0，方程的 根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)表一：(两根与 0 的大小比较即根的正负情况)分布情况小)都根2根x 1大)都根2,根x 1)2小0 一x 1即(根负于一负大根个正一 一大致图象（）a得出的结论00b 2a()0-f00b 2a()0-f0 ) (0 (f大致图象（）a得出的结论00b 2a()0-f00b 2a ()0-f0 ) (0 f综合结论（不讨论a）0 0 0)b -a2(f 0a0 0 0)b -a2(f 0a0 ) (0 f a表二：（两根与k的大小比较）表三：(根在区间上的分布)两根有且仅有一根在(m , n )内 (图象有两种情况，只画了一种)一根在 (m ,n )内，另一根在(p ,q ) 内， mn p qf (m )f (n ) 0f (p )f (q )根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m ,n )外，即在区间两侧x 1m ,x 2 n ，(图形分别如下)需满 足的条件是大致图象（a得出的结f (m ) 0 f (n ) 0bm - n2af (m ) f (n ) 0或0 00 )m )n )p )q f (m ) f (n ) 0 f (p ) f (q ) 0 0大致图象（a得出的结f (m ) 0 f (n ) 0bm - n2af (m ) f (n ) 0f (m )f (n)0 f (m ) f (n )0 f (p )0 f (p ) f (q )f (q ) 0 分布情况两根都在(m , n )内综合结论（不讨论af (m ) f (n )2g2 f (0)(m +1) - 8mm - 1mm 3-2 2或m 3+2 2m对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：1)两根有且仅有一根在(m ,n )内有以下特殊情况： 若 f(m )=0或 f (n )=0，则此时 f (m )g f (n )0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以 求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m ,n )内，从而可以求出参数的值。
二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布
1、一元二次方程
02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2
00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的
根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较 即根的正负情况）
k k k
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()
0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩
根的分布练习题
例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
例3、已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m
的取值范围。
例4、已知二次方程()2
2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
二次函数在闭区间上的最值练习
例2、求函数()[]2
21,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。
例3、求函数2
43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
（ 1）若 b m, n ，则 f x max max f m , f 2a
b ,f n
2a
， f x min
min f m , f
b ,f n
；
2a
（ 2）若 b 2a
m, n ，则 f x max
max f m , f n ， f x min
min f m , f n
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开
3a b 2 5 2b 2
b25 3a b 2 2
a 1； b0
a1 b3
解：对称轴 x0 a （ 1）当 a 1 时，ymin f 1 2 2a（ 2）当 1 a 3 时，ymin f a 1 a2 ；（ 3）当 a 3 时，ymin f 3 10 6a
'.
.
改： 1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？
.
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程 ax2 bx c 0 根的分布情况
设方程 ax2 bx c 0 a 0 的不等两根为 x1, x2 且 x1 x2 ，相应的二次函数为 f x ax2 bx c 0 ，方程的 根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
解：对称轴 x0 1 2,3 ，故函数 f x 在区间 2,3 上单调。
（ 1）当 a 0 时，函数 f x 在区间 2,3 上是增函数，故
f x max f x min
f3 f2
（ 2）当 a 0 时，函数 f x 在区间 2,3 上是减函数，故
f x max f x min
f2 f3
例 2、求函数 f x x2 2ax 1, x 1,3 的最小值。
二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程ax2 bx c 0根的分布情况
设方程ax2bx c 0 a 0的不等两根为x i,x2且x1 x2,相应的二次函数为f x ax2bx c 0,方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况两个负根即两根都小于0
x1 0, x20
两个正根即两根都大于0
X 0, x20
一正根一负根即一个根小于0,
一个大于0 X1 0 x2
得出的结论得出的结
论综合结论
{不讨论a
2a
2a
表二：（两根与k的大小比较）
分布情况两根都小于k即
x1 k, x2k
两根都大于k即
x1 k, x2k
得出的
结论
2a f k
得出的结论综合结论{不讨论a
b k
2a
f k 0
2a
a f k 0
表三：（根在区间上的分布）
分布情况
o o
n q
f f m p f f
或
o o o
o
o
n n
o b a
t 2 n 得出的结论
o o
n q
f f m p f f
或
o o o
o
o
n
n
o o
b
m n f f m
得出的结论
综合结论{不讨论
a
m,n 夕卜，即在区间两侧 x i m,X 2 n,（图形分别如下）需满
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间
足的条件是。
二次方程根的分布情况归纳
二次方程()200axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况【一元二次方程根的分布的类型：】 1、零分布（1）有两正根 （2）有两负根 （3）一正一负2、k 分布（1）有两个大于k 的根 （2）有两个小于k 的根 （3）一个大于k,一个小于k, （4）有一个根在区间（k 1,k 2）内 （5）区间（k 1,k 2）有两个根 【引例】设方程的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()nm,内两根有且仅有一根在()nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()nm,内，另一根在()qp,内，qpnm<<<大致图象（0 > a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩一元二次方程根的分布题型例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
二次方程根的分布情况归纳2020年9月
f k 0
得 出 的 结 论
0
b
k
2a
f k 0
综
合
结 论 （ 不 讨 论
0
b k 2a
a f k 0
a）
0
b
k
2a
f k 0
0
b k 2a
a f k 0
f k 0 a f k 0
分 布 情 况
大 致 图 象 （
a ） 0
两根都在 m, n内
需满足的条件是
（1） a
0 时，
f f
m 0 n 0
；
（2）
a
0
时，
f f
m 0 n 0
根的分布题型
例 1、已知二次方程 2m 1 x2 2mx m 1 0 有一正根和一负根，求实数 m 的取值范围。
例 2、已知方程 2x2 m 1 x m 0 有两个不等正实根，求实数 m 的取值范围。
b 2a
0
f 0 0
0
b 2a
0
f 0 0
f 0 0
得 出 的 结
0
b
0
论
2a
f 0 0
综
合
结 论 （ 不
0
b
0
讨
2a
论
a f 0 0
a）
0
b 2a
0
f 0 0
0
b
0
2a
a f 0 0
f 0 0 a f 0 0
分 布 情 况
大 致 图 象 （
表三：（根在区间上的分布）
两根有且仅有一根在 m, n内 一根在 m, n内，另一根在 p, q
（图象有两种情况，只画了一种） 内， m n p q
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳9元二次方程ax + bx + C = 0根的分布情况设方程ax 2+bx +c =O （a H O ）的不等两根为X |, X 2且X 1< X 2，相应的二次函数为 f （x ）=ax 2+bx + c = 0，方程的根即为二次函数图象与 X 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况 两个负根即两根都小于 0 (X j <0, X 2 <0 )两个正根即两根都大于 0(为 >0,X 2 A O )一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0(X i V Oc X 2 )大致图象（> a得出的结论A >0 f (0 )>0 A >0存0f (0 )>0f (0)v 0O大致图象（Va得出的结论△ >0A >0舌。
l f (0)<0占。
”（0）<0f (0)A 0综合结论（不讨论ao <b a 计(0)< 0表二：（两根与k 的大小比较）分布情况两根都小于k 即( >0) yJ\ // ■k Ka得出的结论o>A -两根都大于k 即X i A k, X 2 A k o>A -一个根小于k ，一个大于k 即x , < k < X 2y lI\ k 八J “f (k )v 0o大致图象（< a得出的结论O> A -I A>0 t^>k 2a f (k )<0f (k )>0综合结论（不讨论a△ >0」<k2aa 计(k )A 0A >0 -^>k 2a a 计(k )A 0表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在（m, n ）内两根有且仅有一根在（m, n ）内（图象有两种情况，只画了一种）一根在（m,n）内，另一根在（p,q）内，mcncpcq一ny y-得出的结论△ >0f (m )A0f (n )>0bm < ----- < n2af (m ”f (n )<f (m )〉0r(n F0或f f(m)f( n)*0I f ( P )v0 [f ( p )f (q)<0[f(q)>0得出的结论也>0f (m )v Of (n )<0bm < -—< n2af (m )卄(n )<0f (m)v0f (n )>0 f f(m)f (n )<0 或<|f (P)>0 j fp )f(q)<0[f(q)<0综合结论（不讨论af (m )”f(n )< 0[f (m )f (n )v[f{p)f(q )v O 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间（m,n ）外，即在区间两侧Xi<m,X2A n ,（图形分别如下）需满足的条件是(2) a[f (n)A O对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:(1)两根有且仅有一根在(m, n 内有以下特殊情况:1°若f(m)=0或f(n) = 0,则此时f(m|J f(n )<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m, n )内，从而可以求出参数的值。
如方程mx2-(m + 2)x+2 = 0在区22 2 2间(1,3 )上有一根，因为f (1 ) = 0,所以mx —(m+2 )x+2 = (x — 1 X mx-2)，另一根为一，由1 <3 得一c m c 2mm3即为所求;2°方程有且只有一根，且这个根在区间(m, n )内，即A =0，此时由^ =0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程 2X —4mx+2m+6=0有且一根在区间(—3,0 )内，求m的取值范围。
分析：①由f(—31L f(0)<0即(14m + 15)(m + 3)<0得出-3c m<—15143②由i =0即16m2-4(2m+6) = 0得出m = —1 或m = ?，当m = —1 时，根x = -2忘(―3,0 )，即m = -1满足题意;3 3当m =—时，根X =3疋(-3,0 )，故m=—不满足题意；综上分析，得出2 215-3 < m 一或m = -114根的分布练习题例1、已知二次方程(2m+1 )x2—2mx + (m -1) = 0有一正根和一负根,求实数m的取值范围。
A解：由(2m+1 U f (0 )v0即(2m+ U m—)< 0从而得一丄c m C即为所求的范围。
2例2、已知方程2x2-( m中1)x+m=0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。
解：由_ 2 _ _ _y =(m +2)x —(2m +4)x +(3m +3肯x 轴有两个交点，一个大于 1，一个小于1,求实数mA >0 I 一f m +1C —f (0 )>02f m +1)-8mA0,l m c 3-272 或 m>3 + 2j 2m »—1 = Z=im 》。
m A OL0 <m <3-2yf 2或m >3+2j 2即为所求的范围。
的取值范围。
1解：由(m +2L f (1)v 0 即(m +2 M 2m +1 )v 0 = —Z c m v?即为所求的范围。
例4、已知二次方程 mx2+(2m-3)x +4=0只有一个正根且这个根小于 1，求实数m 的取值范围。
解:由题意有方程在区间(0,1)上只有一个正根，则f (0廿(1 )<0 1二心3m + Hv O - —3即为所求范围。
(注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在(0,1)内，由△ =0计算检验，均不复合题意，计算量稍大) a 的取值范围： 方程X 2-ax +a 2-7 =0的两个根一个大于 2，另一个小于2； 方程 7x 2—(a +13)x +a 2-a -2 =0的一个根在区间(0,1) 上, 方程x 2+ax + 2=0的两根都小于0； 变题：方程x 2+ax + 2=0的两根都小于-1.方程 x 2—(a +4)x -2a 2+5a +3=0 的两根都在区间［一1,3］ 上; 方程X 2—ax +4=0在区间(=,1) 上有且只有一解；x 2-mx+4=0在区间［7 , 1］上有解，求实数 m 的取值范围. f(X)= mx 2+(m — 3)x +1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数 m 的取值范围.例1、当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数(1) (2) (3) 另一根在区间(1,2)上; (4) (5)例2、已知方程 例3、已知函数检测反馈：21f(x) =x 2-(a-1)x +5在区间(—1)上是增函数，则f(2)的取值范围是 _____________22•若a 、P 是关于x 的方程X 2—2kx +k +6 = 0的两个实根，贝U (a —1)2+(P —1)2的最小值为 3. 若关于X 的方程X 2+(m —2)x +2m —1=0只有一根在(0,1)内，则m €_ _________________24. 对于关于X 的方程x+(2m -1)x+4 -2m=0求满足下列条件的 m 的取值范围： (2)两个根都小于-1 (4)两个根都在(0 , 2)内(6) 一个根小于2, —个根大于1.若二次函数有两个负根 一个根大于2，一个根小于2一个根在(-2, 0)内，另一个根在(1 , 3)内 在(0,2)内有根 一个正根，一个负根且正根绝对值较大- … - 2 . ...................................... …(1)(3) (5)(7) (8) 5.已知函数f(x) =mx 2+x —1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围。
2、二次函数在闭区间m,n 】上的最大、最小值问题探讨设f (X )=ax 2+bx + c =0 (a >0 ),则二次函数在闭区间 b, n 】上的最大、最小值有如下的分布情况:例3、已知二次函数时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越小。
次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题 各代表一种情况。
例1、函数f (X )=ax 2-2ax +2+b (a H 0 )在9,3】上有最大值5和最小值2,求a, b 的值。
解：对称轴x, =1芒2,3］，故函数f (X 莊区间［2,3］上单调。
(1)当a 》。
时，函数f(x )在区间2,3 ］上是增函数，故!f (xmax = f (3) 一 r3a + b + 2=5 一 [2 = 1 fx h n =f(2) f I 2 + b = 2 f [b = 0『(Xhax - f (2) - [ b + 2=5[f g in =f (3) r Qa + b + 2 = 2例2、求函数f (x )=x 2-2ax+1,x 亡1,3 ］的最小值。
解：对称轴x 0 =a改：1.本题若修改为求函数的最大值，过程又如何?解：(1)当 av2 时，f (x )m a x = f (3)=10-6a ；(2)当 a >2时，f (x h x = f (1)= 2-2a 。
2•本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行?(2)若一一电 m, n ］,则 f (X h ax = max{f (m ) f (n 〃, f (x h n = min {f (m ) f (n 》 2a另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下(1)当 a c l 时，y mi n = f (1 ) = 2-2a(2)当 1 <a<3时, 2ymin= f (a ) = 1~a ；( 3)当 a 〉3时，ymin=f (3)=10-6a(2)当acO 时，函数f(x )在区间2,3 ］上是减函数，故 !a =—1 [b = 3当 a d 时,f (X h ax = f (3)/0-6a , f (x )min = f ⑴二2-2a；当 1兰 a<2时，f (x max = f (3) =10-6a ，f (x 馬=f (a )/—a 2； 当2兰*<3时，f ah ax ^WH-Za ，f (X )min = f (a ^-a 2；当 ak3时，f (x max =f (1) = 2-2a ，f (x = f (3 ) = 10-6a 。