二次方程根的分布情况归纳完整版

次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

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元二次方程ax + bx + C = 0根的分布情况

设方程ax 2

+bx +c =O （a H O ）的不等两根为X |, X 2且X 1

< X 2，相应的二次函数为 f （x ）=ax 2

+bx + c = 0，方程的

根即为二次函数图象与 X 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

分布情况 两个负根即两根都小于 0 (X j <0, X 2 <0 )

两个正根即两根都大于 0

(为 >0,X 2 A O )

一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0(X i V Oc X 2 )

大致图象（> a

得出的结论

A >0 f (0 )>0 A >0

存0

f (0 )>0

f (0)v 0

O

大致图象（V

a

得出的结论

△ >0

A >0

舌。

l f (0)<0

占。

”（0）<0

f (0)A 0

综合结论（不讨论

a

o <

b a 计(0)< 0

表二：（两根与k 的大小比

较）

分布情况

两根都小于k 即

( >0

) yJ

\ /

/ ■

k K

a

得

出的结论

o

>

A -

两根都大于k 即

X i A k, X 2 A k o

>

A -

一个根小于k ，一个大于k 即

x , < k < X 2

y l

I

\ k 八

J “

f (k )v 0

o

大致图象（< a

得出的结论

O

> A -

I A>0 t^>k 2a f (k )<0

f (k )>0

综合

结论（不讨论

a

△ >0

」

2a

a 计(k )A 0

A >0 -^>k 2a a 计(k )A 0

表三：（根在区间上的分

布）

分

布

情

况

两根都在（m, n ）

内

两根有且仅有一根在（m, n ）

内

（图象有两种情况，只画了一

种）

一根在（m,n）内，另一根在（p,q）

内，mcncpcq

一

n

y y-

得

出

的

结

论

△ >0

f (m )A0

f (n )>0

b

m < ----- < n

2a

f (m ”f (n )<

f (m )〉0

r(n F0或f f(m)f( n)*0

I f ( P )v0 [f ( p )f (q)<0

[f(q)>0

得

出

的

结

论

也>0

f (m )v O

f (n )<0

b

m < -—< n

2a

f (m )卄(n )<0

f (m)v0

f (n )>0 f f(m)f (n )<0 或<

|f (P)>0 j fp )f(q)<0

[f(q)<0

综

合

结

论

（

不

讨

论

a

f (m )”f

(n )< 0

[f (m )f (n )v

[f{p)f(q )v O 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间（m,n ）外，即在区间两侧Xi

(2) a

[f (n)A O

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:

(1)两根有且仅有一根在(m, n 内有以下特殊情况:

1°若f(m)=0或f(n) = 0,则此时f(m|J f(n )<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可

以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m, n )内，从而可以求出参数的值。如方程mx2-(m + 2)x+2 = 0在区

2

2 2 2

间(1,3 )上有一根，因为f (1 ) = 0,所以mx —(m+2 )x+2 = (x — 1 X mx-2)，另一根为一，由1 <3 得一c m c 2

mm3

即为所求;

2°方程有且只有一根，且这个根在区间(m, n )内，即A =0，此时由^ =0可以求出参数的值，然后再将参数的值带

入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 2

X —4mx+2m+6=0有且一根在区间(—3,0 )内，求m的取值范围。分析：①由f(—31L f(0)<0即(14m + 15)(m + 3)<0得出-3c m<—15

14

3

②由i =0即16m2-4(2m+6) = 0得出m = —1 或m = ?，当m = —1 时，根x = -2忘(―3,0 )，即m = -1

满足题意;

3 3

当m =—时，根X =3疋(-3,0 )，故m=—不满足题意；综上分析，得出

2 2

15

-3 < m 一或m = -1

14

根的分布练习题

例1、已知二次方程(2m+1 )x2—2mx + (m -1) = 0有一正根和一负

根,

求实数m的取值范围。

A

解：由(2m+1 U f (0 )v0即(2m+ U m—)< 0从而得一丄c m C即为所求的范围。

2

例2、已知方程2x2-( m中1)x+m=0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。

解：由