平行线中常见拐角问题
平行线中的拐点(拐角)问题
专题一平行线中的拐点问题【学习目标】1.复习巩固平行线的性质和判定，找到解决平行线间拐点问题的基本方法，学会运用平行线转移角，建立分散的角之间的练习，提高几何推理能力。
2.在探究的过程中，体会观察-猜想-实验-证明的探究过程，初步体会添加辅助线的目的。
【学习过程】一、复习填空.平行线的判定：①_____________________________________________.②_____________________________________________.③_____________________________________________.④_____________________________________________.平行线的定理：①_____________________________________________.②_____________________________________________.③_____________________________________________.二、探究新知假设，两根木杆AB与CD平行放置，木杆的两端B、D用一根橡皮筋连接，现在在橡皮筋BD上任取一点P，将点P向里压：例1.如图，在平行线AB，CD内任取一点P，连接DP，BP.（1）若∠ABP=45°，∠CDP=15°则∠BPD=__________.（2）若∠BPD=50°，∠CDP=10°则∠ABP=__________.（3）试猜想∠BPD与∠ABP、∠CDP之间的数量关系，并说明理由.变式练习：1.如图，直线AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，则∠1的度数是__________. 2.如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1的度数是_____________.（1）（2）拓展提升：如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．（2）如果将折一次改为折三次，如图3，则∠BEO、∠O、∠P、∠Q、∠QFD之间会满足怎样的数量关系（直接写出结果不需证明）假设，现在在橡皮筋BD上任取一点P，将点P水平向外拉：例2.如图，在平行线段AB、CD外取一点P，连接BP，DP，刚才的结论还成立吗？若不成立，你又有新的发现吗？变式练习：1.某小区地下停车场入口门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=110°，则∠ABC=__________.2.如图，如果a∥b，∠1=55°，∠2=130°，则∠3=___________.（1）（2）拓展提升：已知：如图，AB∥CD，试解决下列问题：（1）∠1+∠2＝；（2）∠1+∠2+∠3＝；（3）∠1+∠2+∠3+∠4＝_；（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．假设，现在在橡皮筋BD上任取一点P，将点P斜上右上方拉或者斜上左上方拉：例3.如图①②，在平行线AB、CD外取一点P，连接BP，DP，这时∠ABP，∠CDP，∠BPC之间又有怎样的数量关系呢？变式训练：1.如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为__________.2.如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝100°，∠CDE＝15°，则∠DEF的度数是___________.3.如图，已知直线a∥b，则∠1、∠2、∠3的关系是______________.（1）（2）（3）三、课后练习1.如图，直线l2∥12，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2＝．2.如图，如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系为．3.如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝140°．则∠BFD的度数为____________．（1）（2）（3）4.如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为．5.直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝105°，则∠1+∠2=____________.（4）（5）6.如图，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝75°．求∠BFD的度数．7.如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角∠B＝110°，第二次拐角∠C＝150°，为了保持公路AB与DE平行，则第三次拐角∠D的度数为__________.8．如图，AB∥EF，BC⊥CD于C，∠ABC＝30°，∠DEF＝45°，则∠CDE等于（）A．105°B．75°C．135°D．115°9．如图所示，两平面镜α、β的夹角为60°，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的反射光线O′B平行于α，则∠1的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．75°10．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°．若∠1+∠B＝70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°（8）（9）（10）11．阅读第（1）题解题过程，解答第（2）题．（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间的一点，已知∠B＝40°，∠C＝30°，求∠BEC的度数．解：过点E作EM∥AB，∴∠B＝（）．∵AB∥CD，AB∥EM，∴EM∥（）．∴∠2＝（）．∴∠BEC＝∠1+∠2＝∠B+∠C＝40°+30°＝70°．（2）如图2，AB∥ED，试探究∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系．。
专题 平行线间的拐点问题(解析版)--七年级数学下册
专题01平行线间的拐点问题类型一：“猪蹄”模型类型二：“铅笔”模型类型三：“鹰嘴”模型平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线。
一．选择题1．（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．15°B．25°C．35°D．45°【分析】过B作BK∥m，推出BK∥n，由平行线的性质得到∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，求出∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝25°，即可得到∠2＝25°．【解答】解：过B作BK∥m，∵m∥n，∴BK∥n，∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，∵∠ABO＝45°，∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，∴∠2＝∠ABK＝25°．故选：B．2．（2023•海南）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．60°B．50°C．45°D．40°【分析】根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BDC，然后直角三角形的性质，即可求得∠2的度数．【解答】解：延长AB交直线n于点D，∵m∥n，∠1＝50°，∴∠1＝∠BDC＝50°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，故选：D．3．（2023秋•渝中区校级期中）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（）A．62°B．58°C．52°D．48°【分析】过点E作AB的平行线HI，利用平行线的性质即可求解．【解答】解：过点E作直线HI∥AB．∵AB∥CD，AB∥HI，∠EFD＝32°，∴CD∥HI，∴∠HEF＝∠EFD＝32°，∵GE⊥EF于点E，∴∠GEF＝90°，∴∠GEH＝∠GEF﹣∠HEF＝90°﹣32°＝58°，∵AB∥HI，∴∠BGE＝∠GEH＝58°．故选：B．4．（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180°C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠BED＝（∠ABF+∠CDF），可以得到∠BED 与∠BFD的关系．【解答】解：过点E作EM∥AB，如图：∵AB∥CD，EM∥AB∴CD∥EM，∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝（∠ABF+∠CDF），∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，∴∠BED＝（360°﹣∠BFD），整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．故选：C．5．（2022秋•榆树市期末）如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠2【分析】首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，继而可得∠1+∠3＝∠2．【解答】解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．故选：D．6．（2023秋•湖北月考）将含有30°角的直角三角板在两条平行线中按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2为（）A．120°B．130°C．140°D．150°【分析】过A作AB∥l1，得到AB∥l2，推出∠3＝∠1＝120°，∠2＝∠BAC，即可求出∠2＝∠3+∠4＝30°+120°＝150°．【解答】解：过A作AB∥l1，∵l1∥l2，∴AB∥l2，∴∠3＝∠1＝120°，∠2＝∠BAC，∴∠2＝∠3+∠4＝30°+120°＝150°．故选：D．二．填空题7．（2023•江油市开学）如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，则∠1＝30°．【分析】过P作PQ∥AB，得到PQ∥CD，推出∠CPQ＝∠2＝28°，∠BPQ＝∠1，求出∠BPQ＝∠BPC ﹣∠CPQ＝30°，即可得到∠1的度数．．【解答】解：过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CPQ＝∠2＝28°，∠BPQ＝∠1，∵∠BPQ＝∠BPC﹣∠CPQ＝58°﹣28°＝30°，∴∠1＝30°．故答案为：30°．8．（2023秋•南岗区校级期中）如图，已知DE∥BC，∠ABC＝105°，点F在射线BA上，且∠EDF＝125°，则∠DFB的度数为20°．【分析】过F作FM∥DE，推出FM∥BC，得到∠ABC+∠MFB＝180°，∠D+∠MFD＝180°，求出∠MFB＝75°，∠MFD＝55°，即可得到∠DFB＝∠MFB﹣∠MFD＝20°．【解答】解：过F作FM∥DE，∵DE∥BC，∴FM∥BC，∴∠ABC+∠MFB＝180°，∠D+∠MFD＝180°，∵∠ABC＝105°，∠EDF＝125°，∴∠MFB＝75°，∠MFD＝55°，∴∠DFB＝∠MFB﹣∠MFD＝20°．故答案为：20°．9．（2023秋•道里区校级期中）为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝35°．【分析】过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，利用平行线的性质求得∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，进而可求解．【解答】解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠EAB+∠FEA＝180°，∠ECD+∠FEC＝180°，∵∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，∴∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，∴∠AEC＝∠FEA﹣∠FEC＝35°，故答案为：35°．10．（2022秋•雅安期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝60°，则∠E＝100°．【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝60°，即可得到∠E的度数．【解答】解：如图，过F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴FH∥AB∥CD，∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，即∠E+2∠BFC＝180°，①又∵∠E﹣∠BFC＝60°，∴∠BFC＝∠E﹣60°，②∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣60°）＝180°，解得∠E＝100°，故答案为：100°．11．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠M＝45°，∠F＝64°，∠E＝66°，则∠G＝88°°．【分析】过点G，F、E、M分别作GH∥AB，FQ∥AB，EP∥AB，MN∥AB，根据平行线的传递性得出AB∥CD∥GH∥FQ∥EP∥MN，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；【解答】解：过点G、F、E、M分别作GH∥AB，FQ∥AB，EP∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GH∥FQ∥EP∥MN，∴∠BNN＝∠1，∠NMD＝∠4，∵BM平分∠ABG，MD平分∠CDE，∴，∵∠BMD＝45°，∴2∠1+2∠3＝90°，∴∠5＝2∠1，∠10＝2∠3，∠6＝∠7，∠8＝∠9，∴∠GFE＝∠7+∠8＝∠6+∠9＝64°，∠FED＝∠9+∠D＝∠9+2∠3＝66°，∴2∠3﹣∠6＝2°，∴2∠1+∠6＝90°﹣2°＝88°，∴∠BGF＝∠5+∠6＝2∠1+∠6＝88°．故答案为：88°．三．解答题12．（2022秋•宝丰县期末）已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．（1）求证：MN∥PQ；（2）如图2，射线AE、BD分别平分∠MAC和∠CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与∠NAC内部的一条射线AD交于点D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度数．【分析】（1）过C作CS∥MN，由已知可以得到PQ∥CS，从而得到MN∥PQ；（2）连接DC并延长交AE于点F，由已知可以得到∠DAC＝∠NAC，再由∠EAD＝∠EAC+∠CAD及平角的意义可以得到解答．【解答】（1）证明：过C作CS∥MN，如图，∵CS∥MN，∴∠NAC＝∠ACS，∵∠ACB＝∠ACS+∠BCS＝∠NAC+∠CBQ，∴∠BCS＝∠CBQ，∴PQ∥CS，∴MN∥PQ；（2）解：如图，连接DC并延长交AE于点F，则：∠ACF＝∠DAC+∠ADC，∠BCF＝∠DBC+∠BDC，∴∠ACB＝∠DAC+∠DBC+∠ADB＝2∠ADB，∴∠ADB＝∠DAC+∠DBC，∴2∠ADB＝2∠DAC+2∠DBC＝2∠DAC+∠QBC，又∠ACB＝∠NAC+∠CBQ＝2∠ADB．∴∠NAC+∠CBQ＝2∠DAC+∠QBC，即∠NAC＝2∠DAC，∴∠DAC＝∠NAC，∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD＝∠MAC+∠NAC＝（∠MAC+∠NAC）＝90°．13．（2022秋•莘县期末）综合与实践如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD 于点F．（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是∠PFD+∠AEM＝90°；（2）当所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．【分析】（1）作PH∥AB，根据平行线的性质得到∠AEM＝∠HPM，∠PFD＝∠HPN，根据∠MPN＝90°解答；（2）根据平行线的性质得到∠PFD+∠BHN＝180°，根据∠P＝90°解答；（3）根据平行线的性质、对顶角相等计算．【解答】解：（1）如图①，作PH∥AB，则∠AEM＝∠HPM，∵AB∥CD，PH∥AB，∴PH∥CD，∴∠PFD＝∠HPN，∵∠MPN＝90°，∴∠PFD+∠AEM＝90°，故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；（2）猜想：∠PFD−∠AEM＝90°；理由如下：如图②，∵AB∥CD，∴∠PFD+∠BHN＝180°，∵∠BHN＝∠PHE，∴∠PFD+∠PHE＝180°，∵∠P＝90°，∴∠PHE+∠PEB＝90°，∵∠PEB＝∠AEM，∴∠PHE+∠AEM＝90°，∴∠PFD−∠AEM＝90°；（3）如图②，∵∠P＝90°，∠PEB＝15°，∴∠PHE＝∠P−∠PEB＝90°−15°＝75°，∴∠BHF＝∠PHE＝75°，∵AB∥CD，∴∠DFH+∠BHF＝180°，∴∠DFH＝180°−∠BHF＝105°，∴∠OFN＝∠DFH＝105°，∵∠DON＝20°，∴∠N＝180°−∠DON−∠OFN＝55°．14．（2022秋•洛宁县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP ＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【解答】（1）解：∠CPD＝∠α+∠β，理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β．15．（2023春•鼎城区期末）已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．问题提出：（1）如图1，∠A＝120°，∠C＝130°，求∠APC的度数；问题迁移：（2）如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝20°，∠PAB＝150°，求∠PEH的度数．【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠APQ＝60°，∠CPQ＝50°，最后可以求出∠APC＝110°；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得∠APC＝∠A﹣∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD，先证∠BEF＝∠PQB＝110°、∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，根据∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH可得答案．【解答】解：（1）∠A+∠C+∠APC＝360°如图1所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ＝180°，∵∠A＝120°，∴∠APQ＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，∵∠C＝130°，∴∠CPQ＝180°﹣∠C＝180°﹣130°＝50°，∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝60°+50°＝110°；（2）∠APC＝∠A﹣∠C，理由如下：如图2，作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，∴∠APC＝∠A﹣∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD，∵∠APC＝20°，∠PAB＝150°，∴∠PCD＝130°，∵AB∥CD，∴∠PQB＝∠PCD＝130°，∵EF∥PC，∴∠BEF＝∠PQB＝130°，∵∠PEG＝∠PEF，∴∠PEG＝∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH＝∠BEG，∴∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH＝∠FEG﹣∠BEG＝∠BEF＝65°．16．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，点P为直线EF上的点，连接AP，CP．（1）如图1，点P在线段GH上时，请你直接写出∠BAP，∠DCP，∠APC的数量关系；（2）如图2，点P在HG的延长线上时，连接CP交AB于点Q，连接HQ，AC，若∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，求证：AC∥EF；（3）在（2）的条件下，如图3，CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，GK与CK交点K，连接AK，若∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ，∠CKG＝∠CHQ，∠AKC+∠KAC＝159°，求∠BAC的大小．【分析】（1）过P作PN∥AB，根据平行线的传递性得出PN∥CD，再根据两直线平行，内错角相等即可解答；（2）过点Q作QN∥AC，证出∠PHQ＝∠2，根据平行线的传递性即可证明；（3）根据三角形内角和即可算出∠1＝21°，再根据角平分线定义以及已知条件即可得出∠PQH＝4∠2+2∠5＝84°+2∠5，结合（2）即可解出∠5＝18°，过K作KM∥AC，证出∠CKG＝∠1+∠3＝21°+∠3，根据平行线性质得出∠EGA＝∠EHC，即可得∠3＝∠5°+21°＝18°+21°＝39°，即可求解；【解答】解：（1）过P作PN∥AB，∴∠BAP＝∠1，∵AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠DCP＝∠2，∴∠APC＝∠1+∠2＝∠BAP+∠DCP；（2）过点Q作QN∥AC，∴∠ACP＝∠1，∵∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，∠1+∠2＝∠CQH，∴∠PHQ＝∠2，∴QN∥EF，∴AC∥EF；（3）∵CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠AKC+∠KAC＝159°，∵∠1＝180°﹣159°＝21°，∴∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ＝4∠2+2∠5＝84°+2∠5，由（2）知∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，即42°+∠5＝180°﹣∠PQH，∴180°﹣42°﹣∠5＝84°+2∠5，∴∠5＝18°，过K作KM∥AC，∵AC∥EF，∴KM∥AC∥EF，∴∠CKM＝∠1，∠GKM＝∠3．∴∠CKG＝∠1+∠3＝21°+∠3．∵AB∥CD，∠CKG＝∠CHQ，∴∠EGA＝∠EHC，即2∠3＝∠5+∠CHQ＝∠5+∠CKG＝∠5+∠3+21°，∴∠3＝∠5°+21°＝18°+21°＝39°，∵AC∥EF，∴∠BAC＝∠EGA＝2∠3＝78°．17．（2023秋•道里区校级期中）已知：直线AB与直线CD内部有一个点P，连接BP．（1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求证：AB∥CD；（2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求证：AB∥CD；（3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G，EF和直线AB相交于点F，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数．【分析】（1）过点P作PF∥AB，推出∠PEC＝∠EPF，进而得PF∥CD，根据平行公理的推论即可得证；（2）分别过点P和点E作PF∥AB，EM∥CD，推出∠PEM＝∠FPE，进而得PF∥EM，根据平行公理的推论即可得证；（3）过点E作EN∥AB，根据（1）（2）的思路证∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，设∠EHD＝α，∠PBG ＝β，PEG＝γ，则∠BFG＝α+10°，结合角平分线的定义及（2）的条件得2β+2γ＝90°+α，接着分别用含α的式子代替β和γ，代入2β+2γ＝90°+α求出α的值即可．【解答】解：（1）证明：过点P作PF∥AB，∴∠B＝∠BPF，∵∠B+∠PEC＝∠BPE＝∠BPF+∠EPF，∴∠PEC＝∠EPF，∴PF∥CD，∴AB∥CD；（2）证明：如图2，分别过点P和点E作PF∥AB，EM∥CD，∴∠ABP＝∠BPF，∠MEH＝∠EHD，∵∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，即∠ABP+∠PEM+∠MEH＝∠BPF+∠FPE+∠EHD，∴∠PEM＝∠FPE，∴PF∥EM，∴EM∥AB，∴AB∥CD；（3）如图3，过点E作EN∥AB，由（2）得AB∥CD，∴EN∥CD，∠BFE＝∠FEN，∠NEH＝∠EHD，∴∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，设∠EHD＝α，∠PBG＝β，PEG＝γ，则∠BFG＝α+10°，∵BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，∴∠ABP＝2β，∠PEH＝2γ，∵BP⊥PE，∴∠P＝90°，由（2）得∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，∴2β+2γ＝90°+α，∵∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，∴γ＝α+10°+α＝2α+10°，∵∠BGE＝36°，∠FGB＝180°﹣（∠BFG+∠FBG），∠FGB＝180°﹣∠BGE，∴∠BFG+∠FBG＝∠BGE＝36°，∴α+10°+β＝36°，∴β＝26°﹣α，∴2（26°﹣α）+2（2α+10°）＝90°+α，∴α＝18°．18．（2023秋•南岗区校级期中）已知，过∠ECF内一点A作AD∥/EC交CF于点D，作AB∥/CF交CE于点B．（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ADF；（2）如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；（3）如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果∠GAC＝∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC＝50°，求∠MPA+∠PQF的度数．【分析】（1）由平行线的性质得出∠A＝∠ABE，∠A＝∠ADF，即可得出结论；（2）过点A作AG平分∠BAD，由角平分线定义得出∠DAG＝∠BAG＝∠BAD，∠ABM＝∠ABE，∠ADN＝∠ADF，证出∠ABM＝∠DAG＝∠BAG＝∠ADN，得出BM∥AG，DN∥AG，即可得出结论；（3）设∠GAQ＝∠QAD＝x，则∠DAC＝50°﹣x，∠GAC＝50°+x＝∠GCA，得出∠BAD＝100°，∠BAQ＝100°+x，由平行线的性质得出∠BAC＝∠GCA＝50°+x，求出∠BAP＝180°﹣∠BAQ＝80°﹣x，过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，由平行线的性质得出∠MPH＝∠ABM＝50°，∠HPA＝∠PAB ＝80°﹣x，∠QAC＝∠IQA＝50°，∠FQI＝∠FCA＝50°+x，求出∠MPA＝∠MPH+∠HPA＝50°+8°﹣x＝130°﹣x，∠PQF＝∠IQA+∠FQI＝50°+50°+x＝100°+x，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD∥EC，AB∥CF，∴∠A＝∠ABE，∠A＝∠ADF，∴∠ABE＝∠ADF；（2）证明：过点A作AG平分∠BAD，如图2所示：则∠DAG＝∠BAG＝∠BAD，∵射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，∴∠ABM＝∠ABE，∠ADN＝∠ADF，∵∠ABE＝∠ADF＝∠BAD，∴∠ABM＝∠DAG＝∠BAG＝∠ADN，∴BM∥AG，DN∥AG，∴BM∥DN；（3）解：∵AQ平分∠GAD，∴∠GAQ＝∠QAD，设∠GAQ＝∠QAD＝x，则∠DAC＝50°﹣x，∠GAC＝50°+x＝∠GCA，∴∠BAD＝100°，∴∠BAQ＝100°+x，∵AB∥CF，∴∠BAC＝∠GCA＝50°+x，∵∠BAP+∠BAQ＝180°，∴∠BAP＝180°﹣∠BAQ＝80°﹣x，过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，如图3所示：∵AD∥EC，∴∠BAD＝∠ABE＝100°，∠ABM＝∠ABE＝50°，∴∠MPH＝∠ABM＝50°，∠HPA＝∠PAB＝80°﹣x，∠QAC＝∠IQA＝50°，∠FQI＝∠FCA＝50°+x，∴∠MPA＝∠MPH+∠HPA＝50°+80°﹣x＝130°﹣x，∠PQF＝∠IQA+∠FQI＝50°+50°+x＝100°+x，∴∠MPA+∠PQF＝130°﹣x+100°+x＝230°．19．（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．【分析】（1）过点E作EH∥AB，证明∠A＝∠AEF，再根据已知条件证明∠D＝∠DEF，从而证明EF ∥CD，最后根据平行公理的推论证明结论即可；（2）先根据平行线的性质证明∠A＝∠EHG，再根据外角性质证明∠A＝∠D+∠AED，通过变换得出结论即可；（3）设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，把∠BAI和∠EAB都用x表示出来，然后根据已知条件，找出角与角之间的关系，最后得出∠CHE＝∠CDE+∠AED，列出关于x的方程，求出x，最后根据∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I，求出答案即可．【解答】（1）证明：如图所示：过点E作EH∥AB，∴∠A＝∠AEF，∵∠A+∠D＝∠AED，∠AED＝∠AEF+∠DEF，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠EHG，∵∠EHG＝∠D+∠AED，∴∠A＝∠D+∠AED，∴∠A﹣∠D＝∠AED；（3）解：设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，则∠BAI＝，，∵AB∥CD，∴∠EHC＝∠EAB＝，∵∠I＝∠AED＝25°，∠EKI＝∠EAI+∠I＝∠EDI+∠AED，∴x+25°＝∠EDI+25°，∴∠EDI＝x，∵∠EDI＝∠CDE，∴∠CDI＝，∵∠CHE＝∠CDE+∠AED，∴，解得：x＝60°，∴∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I＝180°﹣60°﹣25°＝95°．20．（2023春•栾城区校级期中）【问题解决】：如图①，AB∥CD，点E是AB，CD内部一点，连接BE，DE．若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED 的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；解：过点E作EF∥AB∴∠ABE＝∠BEF（两直线平行，内错角相等）；∵EF∥AB，AB∥CD（已知）；∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）；∴∠CDE＝（∠DEF）（两直线平行，内错角相等）；又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（角的和与差）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（等量代换）；∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换）；【问题迁移】：请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题：如图③，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，连接AP，CP，设∠BAP＝α，∠DCP＝β．（1）如图③，当点P在B，D两点之间运动时（点P不与点B，D重合），写出α，和∠APC之间满足的数量关系，并说明理由；（2）当点P在B，D两点外侧运动时（点P不与点B，D重合），请画出图形，并直接写出α，β和∠APC 之间满足的数量关系．【分析】问题解决：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；∠DEF；两直线平行，内错角相等；角的和与差；等量代换；问题迁移：（1）∠APC＝a+β，理由见解析；（2）∠APC＝α﹣β或∠APC＝β﹣α【分析】问题解决：根据过程填写依据即可；问题迁移：（1）过点P作PQ∥AB，可证∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC＝∠APQ+∠CPQ 即可求解；（2）①当P在BN上时，过点P作PQ∥AB，同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC ＝∠CPQ﹣∠APQ，即可求解；②当P在OD上时，过点P作PQ∥CD，同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，即可求解．【解答】问题解决：解：过点E作EF∥AB，∴∠ABE＝∠BEF（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD（已知），∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠CDE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等），又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（角的和与差），∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（等量代换），∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知），∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换），问题迁移：（1）解：∠APC＝a+β，理由：过点P作PQ∥AB，∴∠APQ＝∠BAP（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD（已知），∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠CPQ＝∠DCP（两直线平行，内错角相等），又∵∠APC＝∠APQ+∠CPQ（角的和与差），∴∠APC＝∠BAP+∠DCP（等量代换），∵∠BAP＝α，∠DCP＝β（已知），∴∠APC＝α+β（等量代换），（2）如图所示：解：①如图，当P在BN上时，∠APC＝β﹣α，理由：过点P作PQ∥AB，由（1）同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，∵∠APC＝∠CPQ﹣∠APQ，∴∠APC＝∠DCP﹣∠BAP，∵∠BAP＝α，∠DCP＝β，∴∠APC＝β﹣α；②如图，当P在OD上时，∠APC＝α﹣β，理由：过点P作PQ∥CD，由（1）同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，∴∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAP＝α，∠DCP＝β，∴∠APC＝α﹣β．。
平行线与拐点问题(经典)
A
B
C
图6
D
E
∠BED=∠D－∠B
C
D
图7
E
∠BED=∠B－∠D
4.已知：如图，AB//CD，试解决下列问题： （1）∠1＋∠2＝___ _1_8_0；° （2）∠1＋∠2＋∠3＝___ __；360° （3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_ __ __；540° （4）试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n
A
B
C
D
巧用平行解决“拐点”问题
F
E
〖结论〗：
A
B ∠AEC= ∠C- ∠A
C
D
解：过点E 作EF∥AB。 ∵AB∥CD（已知） ∴EF∥AB∥CD ∴∠A=∠AEF∴∠C=∠FEC（两直线平行，内错角相等） ∵∠FEC=∠AEF+∠AEC ∴∠C= ∠A+∠AEC
A C
E B
D
〖练习3〗
如图，AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数的为
C
D
当左边有n个角，右边有m个角时： ∠A+∠F1 + ∠ F2 +…+ ∠Fn= ∠E1 +∠E2 +…+ ∠Em+ ∠D
（同类拓展变题）
⑵如图AB∥DC，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D 之间又会有何关系？
A
B
E
F
G
C
D
变式训练：3、已知:如图所示 ∠ABC=80°,∠BCD=40°,∠CDE= 140°.求证：AB//DE.
①点在两平行线之间
A
B
E
C
D
图1
ห้องสมุดไป่ตู้②点在两平行线之外
E
平行线中的拐点(拐角)问题专题
证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
B
A
∵AB∥CD
1
F
E
∴EF∥CD
2
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°
D
C
∵∠1+∠2=∠AEC ∴∠A+∠C+∠AEC=∠A+∠1+∠C+∠2=360°
②已知：∠AEC+∠A+∠C=360°，结论：AB∥CD
B
A 证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
∴∠A=∠1
E1
F
2
∵∠AEC=∠1+∠2 ，且∠AEC=∠A+∠C ∴∠2=∠C
D
C
∴EF∥CD
∴AB∥CD
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
模型2:平行线间的“铅笔”模型（子弹头）
B
A
证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
∵AB∥CD
D
C
∴EF∥CD
E
F ∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF ∵∠AEC=∠CEF-∠AEF
∴∠AEC=∠C-∠A
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
第二章 相交线与平行线
平行线中的拐点问题
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
①已知：AB∥CD，结论：∠AEC=∠A+∠C
B
A 证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
专题01平行线间的拐点问题(原卷版)
专题01 平行线间的拐点问题类型一：“猪蹄”模型类型二：“铅笔”模型类型三：“鹰嘴”模型平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线。
一．选择题1．（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．15°B．25°C．35°D．45°2．（2023•海南）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．60°B．50°C．45°D．40°3．（2023秋•渝中区校级期中）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（）A．62°B．58°C．52°D．48°4．（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180°C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°5．（2022秋•榆树市期末）如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠26．（2023秋•湖北月考）将含有30°角的直角三角板在两条平行线中按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2为（）A．120°B．130°C．140°D．150°二．填空题7．（2023•江油市开学）如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，则∠1＝．8．（2023秋•南岗区校级期中）如图，已知DE∥BC，∠ABC＝105°，点F在射线BA上，且∠EDF＝125°，则∠DFB的度数为．9．（2023秋•道里区校级期中）为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝．10．（2022秋•雅安期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝60°，则∠E＝．11．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠M＝45°，∠F＝64°，∠E＝66°，则∠G＝°．三．解答题12．（2022秋•宝丰县期末）已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．（1）求证：MN∥PQ；（2）如图2，射线AE、BD分别平分∠MAC和∠CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与∠NAC内部的一条射线AD交于点D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度数．13．（2022秋•莘县期末）综合与实践如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD 于点F．（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是∠PFD+∠AEM＝90°；（2）当所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．14．（2022秋•洛宁县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP ＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．15．（2023春•鼎城区期末）已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．问题提出：（1）如图1，∠A＝120°，∠C＝130°，求∠APC的度数；问题迁移：（2）如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝20°，∠P AB＝150°，求∠PEH的度数．16．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，点P为直线EF上的点，连接AP，CP．（1）如图1，点P在线段GH上时，请你直接写出∠BAP，∠DCP，∠APC的数量关系；（2）如图2，点P在HG的延长线上时，连接CP交AB于点Q，连接HQ，AC，若∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，求证：AC∥EF；（3）在（2）的条件下，如图3，CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，GK与CK交点K，连接AK，若∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ，∠CKG＝∠CHQ，∠AKC+∠KAC＝159°，求∠BAC的大小．17．（2023秋•道里区校级期中）已知：直线AB与直线CD内部有一个点P，连接BP．（1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求证：AB∥CD；（2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求证：AB∥CD；（3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G，EF和直线AB相交于点F，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数．18．（2023秋•南岗区校级期中）已知，过∠ECF内一点A作AD∥/EC交CF于点D，作AB∥/CF交CE于点B．（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ADF；（2）如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；（3）如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果∠GAC＝∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC＝50°，求∠MP A+∠PQF的度数．19．（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．20．（2023春•栾城区校级期中）【问题解决】：如图①，AB∥CD，点E是AB，CD内部一点，连接BE，DE．若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；解：过点E作EF∥AB∴∠ABE＝∠BEF（）；∵EF∥AB，AB∥CD（已知）；∴EF∥CD（）；∴∠CDE＝（）（）；又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（）；∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换）；【问题迁移】：请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题：如图③，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，连接AP，CP，设∠BAP＝α，∠DCP＝β．（1）如图③，当点P在B，D两点之间运动时（点P不与点B，D重合），写出α，和∠APC之间满足的数量关系，并说明理由；（2）当点P在B，D两点外侧运动时（点P不与点B，D重合），请画出图形，并直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系．。
七年级压轴题24题,平行线的探索拐角问题
七年级压轴题24题,平行线的探索拐角问题拐角问题——基本图形及辅助线方法技巧方法技巧1．过折线的拐点作平行线，用平行公理推论得到多条平行线，再转化角．2．涉及到角平分线问题，往往设未知数导角或列方程求解．题型一平行线＋单拐点（＋角平分线等）模型【例1】如图1，点A，C，B不在同一条直线上，AD∥BE．（1）求证：∠B＋∠ACB－∠A＝180°；（2）如图2，HQ，BQ分别为∠DAC，∠EBC的平分线所在的直线，试探究∠C与∠AQB 的数量关系；题型二平行线＋双拐点（＋角平分线等）模型【例2】如图1，AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．（1）若∠E＝50°，求∠F的度数；【解答】分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB．∴EM∥AB∥FN．∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN．又∵AB∥CD，AB∥FN．∴CD∥FN．∴∠D＋∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN ＝＝70°，易得∠EFN＝∠MEF＝∠BEF－∠BEM ＝50°－20°＝30°．∴∠EFD＝∠EFN＋∠NIFD＝30°＋70°＝100°．（2）如图2，探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；．【解答】分别过点E，F作EM∥AB，FN∥A B．∴EM∥AB∥FN．∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN．∴∠D＋∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN＝70°，∴∠BEF＝∠MEF＋20°，∠EFD＝∠EFN＋70°，∴∠EFD＝∠MEF＋70°，∴∠EFD＝∠BEF＋50°．（3）如图3，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．【分析】过点F作FH∥EP，结合（2）中结论，运用模型求解．【解答】过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF＋50°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝(2x＋50)°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF ＝21∠BEF ＝x °，∠EFG ＝21∠EFD ＝(x ＋25)°，∵FH ∥EP ，∴∠PEF ＝∠EFH ＝x °，∠P ＝∠HFG ，∵∠HFG ＝∠EFG －∠EFH ＝25°，∴∠P ＝25°．针对练习51．如图，CD ∥BE ，则∠2＋∠3－∠1的度数等于（）A ．90°B ．120°C ．150°D ．180°2．如图，AB ∥DE ，∠C ：∠D ：∠B ＝2：3：4，则∠B ＝．3．如图，直线l 3，l 4与l 1，l 2分别相交于点A ，B ，C ，D ，且∠1＋∠2＝180°．（1）直线l 1与l 2平行吗？为什么？（2）点E 在线段AD 上，若∠ABE ＝30°，∠BEC ＝62°，求∠DCE 的度数．【解答】（1）直线l 1与l 2平行．理由如下：∵∠1＋∠BAE ＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠BAE ．∴l 1∥l 2．（2）过点E作EF∥AB交BC于点F，可得∠BEF＝∠ABE＝30°．∴∠FEC＝62°－30°＝32°．∵l1∥l2，∴EF∥CD，∴∠DCE＝∠FEC＝32°．5．将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，如图，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连结，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B ＝∠BCD＋10°，∠CDE＝∠E＝105°．（1）求∠F的度数；（2）计算∠B－∠CGF的度数是；（直接写出结果）（3）连接AD，∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD？并说明理由．【解答】（1）∵AF∥DE，∴∠F＋∠E＝180°．∴∠F＝180°－105°＝75°．（2）作MC∥AF．∵AF∥DE，∴AF∥CM∥DE，∴∠BCM＝∠FGC，∠MCD＝∠CDE，∴∠BCD＝∠BCM＋∠MCD＝∠CGF＋∠CDE，∠B－∠CGF＝∠BCD＋10°－∠CGF＝∠CGF＋∠CDE＋10°－∠CGF＝∠CDE＋10°＝115°．（3）当∠ADE＋∠CGF＝180°时，BC∥A D．理由如下：∵AF∥DE，∴∠GAD＋∠ADE＝180°，∠ADE＋∠CGF＝180"．∴∠GAD＝∠CGF．∴BC∥A D．整体思想求角题型一设单个未知数求定角方法技巧巧设题目未知数，用该未知数表示其它未知角，然后运用角的和或差计算出定角【例1】如图1，直线MN 与直线AB ，CD 分别交于点E ，F ，AB ∥CD ，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 的延长线与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且CH ⊥EC ．（1）求证：PF ∥GH ；（2）如图2，连接PH ，K 是GH 上一点，∠PHK =∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由图1图2【分析】（1）过点P 作AB 的平行线交MN 于点T ，运用平行线+拐点模型求∠EPF ，再根据∠ECH 的大小关系求解；（2）设∠PHK =∠HPK =x ，用x 表示未知角，运用整体思想求解。
平行线中的拐点拐角问题专题 ppt课件
∴∠AEC=∠A-∠C
②已知：AB∥CD，结论：∠AEC=∠C-∠A
B
A
证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
∵AB∥CD
D
C
∴EF∥CD
E
F ∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF ∵∠AEC=∠CEF-∠AEF
∴∠AEC=∠C-∠A
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模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
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模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
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模型2:平行线间的“铅笔”模型（子弹头）
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模型2:平行线间的“铅笔”模型（子弹头）
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模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
①已知：AB∥CD，结论：∠AEC=∠A-∠C
B
A
证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
∵AB∥CD
D
C
∴EF∥CD
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF
E
F
∵∠AEC=∠AEF-∠CEF
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模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
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模型2:平行线间的“铅笔”模型（子弹头）
①已知：AB∥CD，结论：∠AEC+∠A+∠C=360°
证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
B
A
∵AB∥CD
1
F
E
∴EF∥CDபைடு நூலகம்
2
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°
D
C
∵∠1+∠2=∠AEC ∴∠A+∠C+∠AEC=∠A+∠1+∠C+∠2=360°
∴∠A+∠C=∠AEC
②已知：∠AEC=∠A+∠C，结论：AB∥CD
专题：巧解平行线中的拐点问题(解析版)
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》专题 巧解平行线中的拐点问题【例题1】（2022春•内乡县期末）如图，AB ∥CD ，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）A ．55°B ．75°C ．80°D ．105°【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质得出∠3＝∠1+∠2＝75°．【解答】解：过点E作EM∥AB，如图所示，∵AB∥EM．∴∠HEM＝∠1＝45°．∵AB∥CD．∴EM∥CD．∴∠GEM＝∠2＝30°．∴∠3＝∠HEM+∠GEM＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解题的关键．【变式1-1】（2022春•香洲区校级期中）如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝ 度．【分析】过点C作CF平行于AB，再根据平行线的性质解答即可．【解答】解：过点C作CF平行于AB，如图：∵AB∥DE，∴AB∥CF∥ED．AB∥CF⇒∠1＝180°﹣∠B＝30°，CF∥ED⇒∠2＝180°﹣∠D＝35°，∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．故填65°．【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．【变式1-2】（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）A．360°B．300°C．270°D．180°【分析】先过点P作PA∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是解决问题的关键．【变式1-3】（2022春•信都区期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 ，根据这个思路可得∠AEC＝ ．【分析】根据平行公理推论得到EF∥AB，再根据平行线的x性质求解即可．【解答】解：过E点作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），∴∠EAB+∠AEF＝180°，∵EF∥CD，∴∠CEF+∠ECD＝180°，∵∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，∴∠AEF＝100°，∠CEF＝70°，∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝30°．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；30°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．【变式1-4】如图，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度数．【分析】过C作CF∥AB，得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质推出∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，求出∠ACF、∠DCF的度数，根据∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，即可求出答案．【解答】解：过C作CF∥AB，∴AB∥DE∥CF，∴∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，∵∠1＝120°，∠2＝110°，∴∠ACF＝60°，∠DCF＝70°，∴∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，＝180°﹣60°﹣70°＝50°，答：∠3的度数是50°．【点评】本题主要考查对平行线的性质平行公理及推论，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．【变式1-5】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．【分析】过点C作CF∥AB，由平行公理的推论得出CF∥DE，再由平行线的性质求得∠4的度数为70°，再根据CF∥AB得∠3=∠1=25°，最后由角的和差求出∠BCD的度数即可．【解答】解：如图：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB∴∠3＝∠1＝25°∴DF∥CE，∵∠4+∠2=180°，又∵∠2＝110°，∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°，∴∠BCD＝∠3+∠4＝25°+70°＝95°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2021秋•南召县期末）课堂上老师呈现一个问题：下面提供三种思路：思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．解答下列问题：（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 ；（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．【分析】（1）过F作MN∥CD，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，过P作PN∥EF，根据平行线的性质，可得∠NPD的度数，再根据∠1的度数以及平行线的性质，即可得到∠EFG的度数；若选择思路三，过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数．【解答】解：（1）如图（1），过F作MN∥CD，∵MN∥CD，∠1＝30°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴AB∥MN，∵AB⊥EF，∴∠3＝∠4＝90°，∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°．故答案为：120°；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，理由如下：如图（2），过P作PN∥EF，∵PN∥EF，EF⊥AB，∴∠ONP＝∠EOB＝90°，∵AB∥CD，∴∠NPD＝∠ONP＝90°，又∵∠1＝30°，∴∠NPG＝90°+30°＝120°，∵PN∥EF，∴∠EFG＝∠NPG＝120°；若选择思路三，理由如下：如图（3），过O 作ON ∥FG ，∵ON ∥FG ，∠1＝30°，∴∠PNO ＝∠1＝30°，∵AB ∥CD ，∴∠BON ＝∠PNO ＝30°，又∵EF ⊥AB ，∴∠EON ＝∠EOB +∠BON ＝90°+30°＝120°，∵ON ∥FG ，∴∠EFG ＝∠EON ＝120°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并正确作出辅助线是解题关键．【例题2】如图，直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，则∠1+∠2等于（ ）A ．40°B ．35°C ．36°D ．30°【分析】过点A 作l 1的平行线，过点B 作l 2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB +∠ABD ＝180°，然后计算即可得解．【解答】解：如图，过点A 作l 1的平行线AC ，过点B 作l 2的平行线BD ，则∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l 1∥l 2，∴AC ∥BD ，∴∠CAB +∠ABD ＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键．【变式2-1】（2022春•新洲区期末）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【分析】过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠ACG，∠CDH＝∠DCG，两直线平行，同旁内角互补可得∠EDH＝180°﹣∠E，然后表示出∠C整理即可得解．【解答】解：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，则∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠C＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠D﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，此类题目难点在于过拐点作平行线．【变式2-2】如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是 ．【分析】过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．【解答】解：如图1，过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°．故答案为：900°.【点评】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•金湖县期末）如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG 和∠CFG的角平分线．若∠G＝110°，则∠H＝ °．【分析】过点G作GM∥AB，根据平行线的性质可得∠AEG+∠EGM＝180°，再结合已知可得CD∥GM，然后利用平行线的性质可得∠CFG+∠MGF＝180°，从而可得∠AEG+∠CFG＝250°，再利用角平分线的定义可得∠HEG+∠GFH＝125°，最后利用四边形的内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：过点G作GM∥AB，∴∠AEG+∠EGM＝180°，∵AB∥CD，∴CD∥GM，∴∠CFG+∠MGF＝180°，∴∠AEG+∠EGM+∠CFG+∠MGF＝360°，∵∠EGF＝∠EGM+∠MGF＝110°，∴∠AEG+∠CFG＝360°﹣∠EGF＝250°，∵EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线，∴∠HEG=12∠AEG，∠GFH=12∠CFG，∴∠HEG+∠GFH=12∠AEG+12∠CFG＝125°，∴∠H＝360°﹣∠HEG﹣∠HFG﹣∠EGF＝125°，故答案为：125．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式2-4】（2022春•潜山市月考）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝ ；（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为 ．（用含n的式子表示）【分析】（1）过点M作MP∥AB，则AB∥CD∥MP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；（2）过点N作NQ∥AB，则AB∥CD∥NQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．【解答】解：（1）过点M作MP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MP，∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，∵∠M＝∠1+∠2＝90°，∴∠MEB+∠MFD＝90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．故答案为：270°；（2）过点N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NQ，∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，∵∠NEB=12∠MEB，∠DFN=12∠MFD，∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN=12（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，∴∠ENF=12∠EMF=12n°．故答案为：12 n°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键．【变式2-5】（1）填空：如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝ °．如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝ °．如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ °．如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ °．（2）归纳：如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝ °．（3）应用：如图6，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝80°，求∠BFD的度数．【分析】（1）①根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论；②根据平行于同一条直线的两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论；③在上题的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论；④在③的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论；（2）通过观察图形，寻找规律：两个A点时，结论是1×180°，三个A点时，结论是2×180°，四个A点时，结论是3×180°，所以n个A点时，即可得结论．（3）运用上述结论和角平分线定义可得结论．【解答】解：（1）如图1，∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2＝180°．如图2，过点A2作A2C1∥A1M，∵MA1∥NA3，∴A2C1∥A1M∥NA3，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A3＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3＝360°．如图3，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，∵MA1∥NA4，∴A2C1∥A3C2∥A1M∥NA4，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A4＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°．如图4，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，过点A4作A4C3∥A1M，∵MA1∥NA5，∴A2C1∥A3C2∥A4C3∥NA5，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A3A4C3＝180°∠C3A4A5+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝720°．故答案为：180；360；540；720；（2）∵∠A1+∠A2＝180°＝1×180°∠A1+∠A2+∠A3＝360°＝2×180°∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°＝3×180°∴∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝180（n﹣1）°．故答案为：180（n﹣1）；（3）根据上述结论得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，又∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∴2∠ABF+∠E+2∠CDF＝360°，即2（∠ABF+∠CDF）+∠E＝360°，∴2（∠ABF+∠CDF）＝360°﹣∠E＝360°﹣80°＝280°，∴∠ABF+∠CDF=12×280°＝140°，即∠BFD＝140°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；还要注意规律性问题的探究过程．【例题3】小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究：（1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程；（2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；（3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？请直接写出它们的关系式．【分析】（1）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（2）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（3）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可．【解答】解：（1）∠BOD＝∠D+∠B，理由是：∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠DOB＝∠DOM+∠BOM＝∠B+∠D；（2）∠B＝∠BOD+∠D，理由是：如图：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠B＝∠BOM＝∠DOM+∠DOB＝∠D+∠DOB；（3）∠D＝∠DOB+∠B，理由是：如图：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠D＝∠DOM＝∠BOM+∠DOB＝∠B+∠DOB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，证明过程类似．【变式3-1】如图,已知∠1=70°，∠2=30°, EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求证：AB∥CD.【分析】先过点E在∠BEC的内部作EM∥AB，求出∠BME的度数，根据角平分线求出∠BEC的度数，从而求出∠CEM的度数，然后根据∠CEM=∠2，利用内错角相等，两直线平行得出EM∥AB.【解答】证明：如图，过点E在∠BEC的内部作EM∥AB，∵EF平分∠BEC,∠BEF=50°,∴∠BEC=2∠BEF=2×50°=100°，∵EM//AB,∴∠BEM=∠1=70°，∴∠CEM=∠BEC﹣∠BEM=100°﹣70°=30°，∵∠2=30°，∴∠CEM=∠2，.∴EM∥CD,又∵EM∥AB∴AB∥CD.【点评】本题考查平行线的性质，角平分线等知识，解题的关键是过点E在∠BEC的内部作EM//AB．【变式3-2】如图，点E在线段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE.【分析】过点E在∠BED的内部作EM∥AB，先根据平行线的性质得出∠1=∠BEM，∠DEM=∠2然后根据∠AEC=180°得出∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，从而得到∠BEM+∠DEM=90°,即可证明BE⊥DE.【解答】证明：过点E在∠BED的内部作EM∥AB，则∠B=∠BEM，∵∠1=∠B，∴∠1=∠BEM，又∵AB∥CD，EM∥CD，∴∠D=∠DEM，∵∠2=∠D，∠DEM=∠2，∴∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，∴∠BEM+∠DEM=90°,即∠BED=90，∴BE⊥DE.【点评】本题考查平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3-3】（2022春•阳江期末）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．【分析】（1）作OM∥AB，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，由于AB∥CD，根据平行线的传递性得OM∥CD，根据平行线的性质得∠2＝∠DFO，所以∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO；（2）作OM∥AB，PN∥CD，由AB∥CD得到OM∥PN∥AB∥CD，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，所以∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，即∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【解答】（1）证明：作OM∥AB，如图1，∴∠1＝∠BEO，∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，即：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：作OM∥AB，PN∥CD，如图2，∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式3-4】（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC 度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝45°+55°＝100°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．【解答】解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，∴∠APC＝45°+55°＝100°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．【变式3-5】阅读下面内容，并解答问题在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“ ”，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择 题，并写出解答过程．A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系，并证明它．【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．（2）A、利用基本结论，∠M＝∠BEM+∠DFM求解即可．B、利用基本结论∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP求解即可．【解答】解：（1）结论：EG⊥FG；理由：如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴∠GEF=12∠BEF，∠GFE=12∠DFE，∴∠GEF+∠GFE=12∠BEF+12∠DFE=12(∠BEF+∠DFE)=12×180°=90°，在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．故答案为：EG⊥GF；（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD=12（∠BEG+∠DFG）＝45°，∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45°，B．结论：∠EOF＝2∠EPF．理由：如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠EOF＝2∠EPF，故答案为：A或B．【点评】本题考查平行线的性质，命题与定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【例题4】（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB ∥CD ，点P 的位置如图所示，连结PA ，PC ，试探究∠APC 与∠A 、∠C 之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点P 作PE ∥AB∵AB ∥CD （已知），∴PE ∥CD （ ），∴∠A ＝∠APE ，∠C ＝∠CPE （ ），∴∠A +∠C ＝ + （等式的性质）．即∠APC ，∠A ，∠C 之间的数量关系是 ．（2）类比探究：如图2，已知AB ∥CD ，线段AD 与BC 相交于点E ，点B 在点A 右侧．若∠ABC ＝41°，∠ADC ＝78°，则∠AEC ＝ ．（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC 与∠ADC 的角平分线相交于点F ，请直接写出∠BFD 与∠AEC 之间的数量关系 ．【分析】（1）利用题干中的思路，依据两条直线平行的判定，平行线的性质和等式的性质解答即可；（2）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法解答即可；（3）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法分别计算∠BFD 与∠AEC ，观察结论即可得出结论．【解答】解：（1）过点P 作PE ∥AB ，∵AB ∥CD （已知），∴PE ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（两直线平行，内错角相等），∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性质）．即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠APE；∠CPE；∠APC＝∠A+∠C；（2）过点E作EP∥AB，如图，∵AB∥CD（已知），∴∠ADC＝∠BAD＝78°，∴PE∥CD，∴∠BAD＝∠AEP＝78°，∠ABC＝∠PEC＝41°，∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝78°+41°＝119°，故答案为：119°；（3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC，∵DF，BF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠ABC＝2∠ABF，∠ADC＝2∠FDC，∴∠AEC＝2（∠ABF+∠FDC）．过点F作FP∥AB，如图，则∠ABF＝∠BFP，∵AB∥CD，∴FP∥CD，∴∠PFD＝∠FDC，∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD＝∠ABF+∠FDC，∴2∠BFD＝∠AEC，故答案为：2∠BFD＝∠AEC．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，利用类比的方法解答是解题的关键．【变式4-1】（2021秋•长春期末）小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．【分析】猜想：过点P作PH∥AC，然后得到BD∥PH，从而得到∠PAC＝∠APH，∠PBD＝∠BPH，然后得到∠APB的度数；拓展：分情况讨论，当点P在线段CD上时，当点P在射线DF上时，当点P在射线CE上时，然后过点P 作PH∥AC，再利用平行线的性质进行探究角之间的数量关系．【解答】解：猜想：如图1，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，∴∠APB＝15°+40°＝55°．拓展：①如图1，当点P在线段CD上时，由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；②如图2，当点P在射线DP上时，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；③如图3，当点P在射线CE上时，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；综上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系为∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB ＝∠PBD﹣∠PAC．【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练作出辅助线构造平行线，然后通过平行线的性质得到内错角相等．【变式4-2】（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD 之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF ＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．【分析】（1）①②根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；（2）过点O作OT∥AB，则OT∥CD，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，根据平行线的性质求得α+β＝80°，进而根据3∠OEA﹣∠OFC＝3β﹣（β﹣2a）＝2β+2α﹣160°即可求解．【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，∴∠BEG＝∠EGN，∵AB∥CD，∴∠NGF＝∠GFD，∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，∵EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；∴∠BEP=12∠BEG，∠PFD=12∠GFD，∴∠EPF=12（∠BEG+∠GFD）=12∠EGF＝45°，故答案为：45°；②如图，过点Q作QR∥CD，∵∠BEG＝40°，∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，设∠GFD＝∠QFD＝α，∵QR∥CD，AB∥CD，∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，∵CD∥QR，∴∠DFQ+∠FQR＝180°，∴α+∠FQR＝180°，∴α+∠FQE＝80°，∴∠FQE＝80°﹣α，由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，∴∠EOF＝β﹣2α，∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，∵∠EOF+∠EGF＝100°，∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，∴α+β＝80°，∴12∠OEA+∠OFC＝80°，∴∠OEA+2∠PFC＝160°．【点评】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-3】（2021春•安徽月考）（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．请在①②任选一个问题进行解答．（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∠BAP+∠APE＝180°，∠DCP+CPE＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，即可得出答案；（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，∠BAP+∠APE＝180°，∠EPQ+∠PQF＝180°，∠FQC+∠QCD＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，即可得出答案；（3）如图4，根据平行线模型﹣锯齿模型定理，朝向左边的角的和＝朝向右边的角的和，根据邻补角的定义，120°角的邻补角为60°，所以可列x+48°＝60°+30°+30°，求出x即可得出答案．【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥PE，∴∠BAP+∠APE＝180°，∵CD∥PE，∴∠DCP+CPE＝180°，∴∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°；（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，∵PE∥AB，∴∠BAP+∠APE＝180°，∵AB∥CD，∴PE∥QF，∴∠EPQ+∠PQF＝180°，∵QF∥CD，∴∠FQC+∠QCD＝180°，∵∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，∴∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD＝540°；（3）x＝72°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键．【变式4-4】（2022春•兴国县期末）【感知】（1）如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF 的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．解：如图①，过点P作PM∥AB，【探究】（2）如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数；【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．（4）已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接AD，BC，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线所在的直线交于点E，设∠ABC＝α，∠ADC＝β（α≠β），请画出图形并求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；（2）过点P作PM∥AB，根据AB∥CD，PM∥CD，进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数；（3）如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数；（4）画出图形，分点A在点B左侧和点A在点B右侧，两种情况，分别求解．【解答】解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD，∴PM∥CD（平行于同一直线的两条直线平行），∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°，∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°，即∠EPF＝90°；（2）如图②，过点P作PM∥AB，∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．（3）如图③所示，∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，∴∠AEG=12∠AEP＝25°，∠GFC=12∠PFC＝60°，过点G作GM∥AB，∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等），∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°；（4）当点A在B左侧时，如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠ABE＝∠BEF=12α，∠CDE＝∠DEF=12β，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=αβ2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD外时，点E在AB上方时，如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠DEF＝∠CDE，∠ABG＝∠BEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠DEF＝∠CDE=12β，∠ABG＝∠BEF=12α，∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF=α−β2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD外时，点E在AB下方时，同理可求∠BED=β−α2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD内时，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠DEF+∠CDE＝180°，∠ABE＝∠BEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠CDE=12β，∠ABE＝∠BEF=12α，∴∠DEF＝180°−12β，∴∠BED＝∠DEF+∠BEF＝180°−12β+12α，或∠BED＝360°﹣（∠DEF+∠BEF）＝180°+12β−12α，综上，∠BED的度数为αβ2或α−β2或180°−12β+12α或180°+12β−12α．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．。
人教版七年级数学下册 平行线证明问题中的拐点问题解法探究
平行线证明问题中的拐点问题解法探究平行线证明中的拐点问题，解决问题的方法，通常是过拐点作已知直线的平行线，利用平行公理的推论证平行，再利用平行线的性质问题就能得到解决，结论具有一般性，应该记住，解题时能达到事半功倍的效果。
已知：如图AB∥CD.探究：∠ABP、∠BPC、∠PCD三者关系。
解析：(1)过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.∴PH∥AB∥CD∴∠ABP=∠BPH,∠DCP=∠CPH,∴∠ABP+∠DCP=∠BPH+∠CPH,又∠BPH+∠CPH=∠BPC∴∠ABP+∠DCP=∠BPC。
（2）过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.∴PH∥AB∥CD∴∠ABP=∠BPH,∠DCP=∠CPH,∴∠DCP-∠ABP=∠CPH-∠BPH,又∠CPH-∠BPH=∠BPC∴∠DCP-∠ABP=∠BPC。
（3）(4)(5)与（2）证法相同结论两条直线平行，拐点无论是在两直线之间还是在两直线同侧，都有较大的角等于较较小两个角之和。
（6）过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.∴PH∥AB∥CD∴∠ABP+∠BPH=1800,∠DCP+∠CPH=1800,∴∠ABP+∠DCP+∠BPH+∠CPH=3600,又∠BPH+∠CPH=∠BPC∴∠ABP+∠DCP+∠BPC=3600。
结论：拐点在两平行线之间且外凸，则有三个角之和等于3600.证明方法：过拐点作平行线，然后利用平行公理推论及平行线的性质来解决问题。
结论应用举例1.如图所示，AB∥CD,BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，相交于点E。
试探究BE与DE的位置关系，并说明理由。
解析：因为AB∥CD,BE平分∠ABD，DE平分∠BDC,所以2∠1+2∠2=1800，所以∠1+∠2=900.由上面的结论可知：∠BED=∠1+∠2=900，∴BE⊥DE。
2.如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个长方形，其中刀片的两条边缘线，看成两条平行线的线段，转动刀片时会形成如图所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是_____。
湘教版七下数学 平行线拐点问题专题
平行线拐点问题专题作平行线的技巧当两条平行线间遇到拐点时，常过拐点作平行线构造出同位角、内错角和同旁内角．通过平行线的性质，得到题目中所求角与已知角之间的关系，从而解决问题．一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线．类型1形图(燕尾型)1．如图，AB ∥CD ，P 为AB ，CD 之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，则∠BPC＝ .2．如图，已知AB ∥CD ，∠1与∠D ，∠B 之间存在怎样的数量关系？解： 类型2形图(铅笔型)3．(1)如图1所示，若AB ∥DE ，∠B ＝135°，∠D ＝145°，求∠C 的度数；(2)如图1所示，在AB ∥DE 的条件下，你能得出∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系吗？请说明理由；(3)如图2所示，AB ∥EF ，根据(2)中的结果，直接写出∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数．解：类型3形图4．(2019·河南鹤壁一模)如图，已知AB ∥CD ，若∠A ＝25°，∠E ＝50°，则∠C ＝ .5．(2019·安徽淮北五校联考)小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B ，∠D 和∠BOD的关系进行了探究：(1)如图1，若点O 在CD 的上侧，试探究∠B ，∠D 和∠BOD 之间有什么关系，并说明理由；(2)如图2，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系，请直接写出它们的关系式．解：类型4形图(靴子型)6．如图，直线AB∥CD，若∠A＝100°，∠E＝15°，则∠ECD＝.7．如图，已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点，探究∠CDE与∠B，∠E之间的数量关系，并说明理由．解：类型5形图8．(2019·江苏南京二十九中模拟)如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．解：方法1：如图1，过点C作FG∥AB.方法2：如图2，反向延长DE交BC于点M.类型6形图9．(2019·湖北武汉蔡甸区期末)如图，已知AB∥CD，∠ABE＝110°，∠DCE＝36°，求∠BEC的度数．解：如图，过点E作直线EF∥AB.类型7多拐点型10.如图所示，AB∥EF，∠B＝45°，∠E＝35°，则∠C＋∠D的值为.11．如图，m∥n，试说明：∠1＋∠3＝∠2＋∠4.解：如图，分别过点P1，P2作P1C∥m，P2D∥m.类型8复合“拐点”型12．已知直线AB∥CD.(1)如图1，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由；(3)如图2，若点E在直线BD的右侧，BF，DF仍分别平分∠ABE，∠CDE，求∠BFD 和∠BED的数量关系．解：(1)∠BFD＝12∠BED.理由：因为BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，所以∠ABF＝12∠ABE，∠CDF＝12∠CDE，所以∠ABF＋∠CDF＝12∠ABE＋12∠CDE＝12(∠ABE＋∠CDE)．因为∠ABE＋∠CDE＝∠BED，∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，所以∠BFD＝1 2∠BED.(2)过点E作EG∥CD，如图所示．因为AB∥CD，EG∥CD，所以AB∥CD∥EG，所以∠ABE＋∠BEG ＝180°，∠CDE＋∠DEG＝180°，所以∠ABE＋∠CDE＋∠BED＝360°.因为∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，所以∠ABF＝12∠ABE，∠CDF＝12∠CDE.所以∠BFD＝12(∠ABE＋∠CDE)，所以2∠BFD＋∠BED＝360°.。
(完整word版)平行线中常见拐角问的题目
2018 年 05 月 24 日初中数学的初中数学组卷评卷人 得 分．选择题（共 60 小题）1．如图：已知 AB ∥CD ∥EF ，EH ⊥CD 于 H ，则∠BAC+∠ACE+∠CEH 等于（A ．180 °B ．270°C ．360°D ．450°2．如图，若 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（ ）A ．∠α+∠β+ ∠γ=180 °B ．∠α+ ∠β﹣∠γ=360 °C ．∠α﹣∠β+ ∠γ=180 °D ．∠α+∠β﹣∠γ=180 °3．学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时， 需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠ A 是 120°，第二次拐的角∠B 是 150°， 第三次拐的角是∠ C ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠ C 是多少度？请你帮小明求出（ ）A．120 B．130 C．140 D．150，那么∠E+∠D 的度数为（，∠2=22°，则∠3 的度数为（A．28°B．38°C．68°D．82°6．如图，直线a∥b，∠ 1=50 °，2=30 °，则∠3 的度数为（）7．如图，AB∥CD，且∠ A=25 °，∠C=45°，则∠E的度数是（）A．60°B．70°C．110° D．80°8．如图所示，AB∥ DE，∠ 1=130 °，∠2=36 °，则∠3 等于（）A ．50°B ．86°C ．94°D ．16610．如图， AD ∥CB ，∠D=43 °，∠B=25°，则∠DEB 的度数为（ ）11．如图， AB ∥DE ，∠B+ ∠C+∠D= (A ．180 °B ．360°C ．540°D ．270°13．如图，AB ∥EF ，BC ⊥CD 于 C ，∠ABC=30°，∠DEF=45°，则∠CDE 等于（）∠DCF=100°，则∠AEF 的度数为（ABE=120°，∠ECD=25°，则∠E=(100° D ．80 °D ．95°14．如图， AB ∥CD ，且∠ BAP=60°﹣α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°﹣α，则α15．如图， AB ∥CD ，用含α，β，γ的式子表示θ，则=θ（ ）A ．α+ γ﹣βB ．β+ γ﹣αC ．180°+ γ﹣α﹣βD ． 180°+ α+β﹣γAB ∥MP ∥CD ，MN 平分∠ AMD ，∠ A=40 °，∠D=60 °，那么∠NMPA ．40°B ．30°C ．20°D ．1016．如图，D ．11530的度数是（ ）A ．100 °B ．120°C ．140°D ．160°18．如图所示， AB ∥CD ，则∠ A+∠E+∠F+∠C 等于（ ）A ．180 °B ．360°C ．540°D ．720°A ．23°B ．16°C ．20°D ．26°20．如图所示，OP ∥QR ∥ST ，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1 的度数为（ ）17．如图所示， AB ∥CD ，∠ 2= ∠ 1，∠4=10019．如图， AB ∥EF ∥CD ，∠ ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE 等于（ ） 21．如图，已知 AB ∥ED ，则∠B+∠C+∠D 的度数是（ ）A．180 ° B．270° C．360° D．450°22．如图，已知△ ABC 中，AB∥EF，DE∥BC，则图中相等的同位角有（）A．二组B．三组C．四组D．五组23．如图，∠ ABE=110°，若CD∥BE，则∠ 1 度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°24．如图，在△ ABC中，∠ C=90°，若BD∥ AE，∠ DBC=20°，则∠CAE的度数是（）A．40°B．60°C．70°D．80°25．在△ ABC中，∠ ABC=90°，∠A=50 °，BD∥AC，则∠ CBD等于（）A．40°B．50°C．45°D．6027．如图所示，若 AB ∥CD ，则∠ A ，∠D ，∠E 之间的度数关系是（C ．∠ A+ ∠ E ﹣∠ D=180 °D ．∠A+ ∠E+∠D=27028．（经典题）如图所示，两平面镜α、β的夹角为 60°，入射光线AO 平行于β入 射到α上，经两次反射后的反射光线 O ′B 平行于α，则∠1 的度数为（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．7529．如图，已知 AB ∥ DC ，AD ∥ BC ，∠ B=80°，∠EDA=40°，则∠CDO=（ ）30．如图，已知∠ AOP=∠BOP ，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若∠ OPD=75 °，则∠BCP∠CDE ，则∠ E ：∠ F=（ ）°B ．∠ A ﹣∠ E+∠ D=180 °C ．3：2D ．4：3∠ABF= ∠ ABE ，∠ 60°D ．40A ．15°B ．30°C ．35°D ．75A ．60°B ．70°C ．80°D ．9032．如图 AB ∥CD ，∠ 1=140 °，∠2=90 °，则∠3 的度数是（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60 33．如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐 的角 A 是 130°，第二次拐的角B 是 150°，而第三次拐的角是 C ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠ C 等于（等于（31．如图，已知 AB ∥DE ，∠B=20 ∠ 1=∠ 2，则∠ DEB 的度数为（，∠D=130C ．150°D ．160A ．30°B ．45°C ．60°D ．无法计算35．如图，已知 AB ∥ DE ，∠ A=136 °，∠C=164 °，则∠D 的度数为（ ）A ．60°B ．80°C． 100° D ． 120 36．如图， AB ∥CD ，若 EM 平分∠ BEF ，FM 平分∠ EFD ，EN 平分∠ AEF ，则与∠ BEM 互余的角有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个37．如图， AB ∥CD ，FG ⊥CD 于 N ，∠ EMB=α，则∠EFG 等于（38．如图所示， b ∥c ，EO ⊥b 于点 D ，OB 交直线 C 于点 B ，∠ 1=130 °，则∠2A ．60°B ．50°C ．40°D ．30A 180B 90+ αC ．180°+ αD ．270°﹣α等于（ ）39．如图，如果AB∥CD，CD∥EF，那么∠ BCE等于（）A．∠ 1+ ∠ 2 B．∠ 2﹣∠ 1 C．180°﹣∠2+ ∠1 D．180°﹣∠1+∠240．如图，直线a∥b，Rt△BCD 如图放置，∠ DCB=90°．若∠1+ ∠B=70°，则∠ 2 的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°41．已知，如图，AB∥CD，∠ A=70°，∠B=40°，则∠ACD=（）A．55°B．70°C．40°D．11042．如图，∠ 1=50 °，如果AB∥DE，那么∠ D= （）D．14043．如图，已知AB∥ CD，BC平分∠ ABE，∠C=33°，则∠BED的度数是（）48．如图，直线 a ∥b ，则∠ABD 的度数是（ ）45．如图， AB ∥EF ，BC ∥DE ，∠B=70°，则∠E 的度数为（ ）AB ∥ CD ，∠ C=70°，∠F=30 °，则∠A 的度数为（66°44．如图所示，直线 a ∥b ， ∠ B=16 °，∠C=50 °，则∠A 的度数为（A ．24°B ．26°C ．34°D ． 36°49°D ． 130° D ．160°C ．40°D ．45°47．已知：如图，AB∥CD∥EF，∠ABC=50°，∠CEF=150°，则∠ BCE的值为（）20°D．60°56．如图，已知AB∥ CD，∠ 2=120 °，则∠1 的度数是（）A．38°B．48°C．42°D．100 49．如图，已知AB∥CD，∠DAB=60°，∠B=80°，AC 是∠ DAB的平分线，那么∠ ACE的度数为（）50．如图，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，A．115 ° B．125° C．155° D．165 51．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠ DCB=90°．若∠1+∠ B=70则∠2 的度数为（）110° D．120°56．如图，已知AB∥ CD，∠ 2=120 °，则∠1 的度数是（）A．20°B．40°C．30°D．25°AG 平分∠ BAC，∠ ECF=70°，则∠FAG的度数是（C．110° D．35 °53．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠ 1=30 °，则∠2 的度数为（）54．如图，∠ 1=40 °，如果CD∥BE，那么∠ B 的度数为（）A．160 ° B．140° C．60°D．5055．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠ 1=65 °，则∠2 的度数25°56．如图，已知 AB ∥ CD ，∠ 2=120 °，则∠1 的度数是（ ）b 、c 固定，木条 a 在桌面上绕点 O 旋转 n °(0<n < 58．如图所示，已知 AB ∥CD ，CE 平分∠ ACD ，当∠ A=120 °时，∠ECD 的度数59．如图，直线 m ∥n ，则∠α为(A ．70°B ．65°C ．50°D ．40 60．如图， AB ∥CD ，∠BAC=120°，则∠C 的度数是(A ．30°B ．60°C ．120D ．150 D ．3057．如图，桌面上有木条35°A ．30°B ．60°C ．70°D ．802018 年05 月24 日初中数学的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共60 小题）1．【解答】解：∵ AB∥CD，∴∠ BAC+∠ACD=180 °，同理∠ DCE+∠CEF=180°，∴∠ BAC+∠ACE+∠CEF=360°；又∵ EH⊥ CD于H，∴∠ HEF=90°，∴∠BAC+∠ACE+∠CEH=∠BAC+∠ACE+∠CEF﹣∠HEF=360°﹣90°=270 故选：B．2．【解答】解：如图，作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵EF∥AB，∴∠α+ ∠AEF=180°，∵EF∥CD，∴∠γ=∠DEF，∵EF∥CD，而∠ AEF+∠DEF=∠β，∴∠α+ ∠β=180 °+ ∠γ，即∠α+ ∠β﹣∠γ=180 °故选：D．3．【解答】解：作BD∥ AE，如图，∵AE∥CF，∴BD∥CF，∵BD∥AE，∴∠ ABD= ∠ A=120°，∴∠ DBC=150°﹣120°=30 °，∵BD∥CF，∴∠ C+ ∠DBC=180°，∴∠ C=180°﹣30°=150 °．4．【解答】解：∵ AB∥CD，∴∠ ABE=∠CFE，∵∠ EBA=45°，∴∠ CFE=45°，∴∠ E+∠ D= ∠CFE=45°，故选：B．5．【解答】解：如图，∵直线l1∥ l2，∴∠ 4=∠ 1=50 °，∵∠4=∠2+∠3，∴∠ 3=50 °﹣22°=286．【解答】解：∵ a∥b，∴∠1=∠4，∵∠4 为三角形外角，∴∠4=∠2+∠3，即∠ 1=∠2+∠3，∵∠ 1=50 °，∠2=30∴∠ 3=20 °，故选：A．7．【解答】解：过点 E 作一条直线EF∥AB，则EF∥CD，∴∠A=∠1，∠C=∠2，∴∠AEC=∠1+∠2=∠A+ ∠C=70°．故选：B．8．【解答】解：过点C作平行于AB 的直线MN，则MN ∥DE，∵MN∥DE，∠2=36°，∴∠ MCD= ∠2=36°，∵AB∥MN ，∠ 1=130 °，∴∠ MCB+∠ 1=180 °，∴∠ MCB=50 °；11．∴∠3=∠MCB+∠MCD=50 °+36 °=86故选： B ．9．【解答】 解：∵∠ DCF=100°，∴∠ DCE=80°，∵AB ∥CD ，∴∠ AEF=∠DCE=80°．故选： D ．10．【解答】 解：∵ AD ∥ CB ，∠ D=43 °，∴∠ C= ∠D=43 °，∵∠ DEB 为△ECB 的外角，且∠ B=25∴∠ DEB=∠B+∠D=68 °，故选： B ．【解答】 解：过点 C 作 CF ∥AB ，∵AB ∥DE ， ∴AB ∥DE ∥CF，∴∠ ABC=∠BCM=30 °，∠DEF=∠GDE=45°，∠MCD= ∠CDG ， ∴∠1+∠B=180°，∠2+∠D=180 °，∴∠B+∠BCD+∠D=∠B+∠1+∠2+ ∠D=180 °+180 °=360 故选： B ．12．【解答】 解：过点 E 作 EF ∥CD ，∵AB ∥CD ，∴EF ∥AB ，∵∠ ABE=120°，∴∠ BEF=60°，∵ EF ∥CD ，∠ ECD=25°，∴∠ FEC=∠ECD=25°，∴∠ E=∠ BEF+∠ECD=60°+25 °=85 故选： C ．13．【解答】 解：作 CM ∥AB ，DN ∥AB ，由 AB ∥EF ，得到 AB ∥CM ∥DN ∥EF，∵BC ⊥CD ，∴∠ BCD=90°， ∴∠ MCD= ∠CDG=60°， ∴∠ CDE=∠CDG+∠GDE=105° 故选： A ．14．【解答】 解：过点 P 作 PM ∥AB ，∴AB ∥PM ∥CD ，∴∠BAP=∠APM ，∠DCP=∠MPC ，∴∠ APC=∠APM+ ∠CPM=∠BAP+∠DCP ，∴45°+ α=（60°﹣α）+（30°﹣α，）解得α=15°．15．【解答】解：过点 E 作 EM ∥AB ，过点 F 作FN ∥CD ，由平行线的传递性得，∥EM ∥NF ∥CD ，∵EM ∥AB，AB∴∠α=∠AEM，∵FN∥CD，∴∠β=∠CFN，∵EM∥FN，∴∠MEF+∠EFN=180°，又∠θ= ∠AEM+ ∠MEF=∠α+18016．【解答】解：∵ AB∥MP∥CD，∴∠ AMP= ∠A=40 °，∠PMD= ∠D=60∴∠ AMD= ∠AMP+ ∠PMD=100 °，∵MN 平分∠ AMD，∴∠ AMN=50 °，∴∠ NMP= ∠AMN ﹣∠ AMP=10 °．故选：D．解答】解：∵ AB∥CD，∠γ﹣∠β=)180 °+ ∠α+ ∠β﹣∠γ．17．19．∴∠1=∠5，∴∠ 1=∠ 5=80 °∵AB ∥CD ， ∴∠ 2+∠ 3=180则∠ 3=140 °故选： C ．18．【解答】 解：作 EM ∥AB ， FN ∥ AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EM ∥FN ∥CD ．∴∠ A+ ∠AEM=180 °，∠MEF+∠EFN=180∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．故选： C ．∵∠ 4+∠ 5=180 ，∠4=100°，，∠NFC+∠C=180 ∴∠2= 1=4022．【解答】 解：∵ AB ∥EF ∥CD ，∠ABC=46°，∠CEF=154°， ∴∠ BCD=∠ ABC=46°，∠FEC+∠ ECD=180°， ∴∠ ECD=180°﹣∠FEC=26°，∴∠ BCE=∠BCD ﹣∠ ECD=46°﹣26°=20 °． 故选： C ． 20．【解答】 解：∵ OP ∥QR ∥ ST ，∠ 2=110 °，∠3=120 °， ∴∠ 2+∠ PRQ=180°，∠3= ∠SRQ=120°，∴∠ PRQ=180°﹣110°=70 °，∴∠ 1=∠ SRQ ﹣∠ PRQ=50°， 故选： B ．21．【解答】 解：过点 C 作直线 MN ∥AB ，则 MN∥ED ． ∴∠MCB+∠B=180°，∠MCD+∠D=180°． ∴∠B+∠BCD+∠D=∠MCB+∠MCD+ ∠B+∠D=180 °+180 °=360 故选： C ．解答】 解：∵ AB ∥EF ，DE ∥BC，∴∠EFC=∠B，∠CEF=∠A，∠AED=∠C，∠ADE=∠B，共 4 对同位角，故选：C．23．【解答】解：∵ CD∥BE，∴∠AFD=∠ABE=110°，∵∠ 1+∠ AFD=180 °，∴∠ 1=180 °﹣110°=70 ° 故选：C．24．【解答】解：过点C作CF∥BD，则CF∥BD∥AE．∴∠ BCF=∠DBC=20°，∵∠ C=90°，∴∠ FCA=90﹣20=70 °．∵CF∥AE，∴∠ CAE=∠FCA=7025．【解答】解：∵∠ ABC=90°，∠A=50∴∠ C=180°﹣∠A﹣∠ ABC=40°，∵BD∥AC，∴∠ CBD=∠ C=40°．故选：A．26．【解答】解：过点E、F 分别作AB 的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ ABF=∠BFH，∵FH∥CD，∴∠ CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF；同理可得∠ BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE；∵∠ ABF= ∠ABE，∠CDF= ∠CDE，∴∠ BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF= (∠ ABE+∠CDE) = ∠BED，∴∠ BED：∠ BFD=3：2．故选：C．∴∠ 1=180 °﹣60°×2=60 °．故选： A ．27．【解答】 解：过点 E 作 AB ∥EF ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥EF ，∴∠ A+ ∠AEF=180°，∠D=∠DEF ，∴∠A+∠AEF+∠DEF=180°+∠D ，即∠ A+ ∠E ﹣∠ D=180 °．故选： C ．28．【解答】 解：如图，由光学原理知，∠∵α∥O ′B ，∴∠ 3=60°，2=∠3；故选： B ．29．【解答】 解：∵ AB ∥DC ，∴∠ DCO= ∠B=80°，∵AD ∥BC ，∴∠ ADC=∠ DCO=80 °，又∠ EDA=40°，∴∠ CDO=180 °﹣∠EDA ﹣∠ ADC=60 故选：C ．30．【解答】 解：∵ PC ∥OA ，∴∠BCP=∠BOA=∠BOP+∠AOP ， 又∵∠AOP=∠BOP ，∴∠ BCP=2∠AOP ；在 Rt △OPD 中， PD ⊥OA ，∠OPD=75∠AOP=90°﹣∠OPD=90°﹣75°=15°， ∴∠BCP=2∠AOP=30°．∴∠ 3=∠ 5=50 °．31．【解答】 解：过点 C 作 CF ∥AB ，∵AB ∥DE ，∴AB ∥DE ∥CF ；∴∠ B= ∠BCF ，∠ FCD+∠D=180 °，∴∠ BCD=180°﹣∠D+ ∠ B=180°﹣130°+20 °=70 故选： B ．32．【解答】 解：过 E 作直线 EF ∥AB ，∵AB ∥BC ，∴EF ∥CD ；∴∠ 1+∠ 4=180 °，又∠ 1=140 °，∴∠ 4=40 °，∵∠ 2=90 °，∴∠ 5=90 °﹣∠4=90 °﹣40°=50°．∵EF ∥CD ，故选： C．33．【解答】解：过点B作ED∥AF，∵GC∥AF，∴ED∥CG；∵ED∥AF，∴∠ 3=∠ A=130 °，于是∠ 2=150 °﹣130°=20 °，又ED∥ CG，∴∠ C=180°﹣∠2=180 °﹣20°=16034．【解答】解：∵ DE∥BC，∴∠ D+ ∠DBC=180°；又∵∠ D=2 ∠DBC，∴∠ D=120 °，∠DBC=60°；∵∠ 1=∠ 2，∴∠ 1= ∠2=30 °，∴∠ 2=∠ DEB=30°（两直线平行，内错角相等）．35．【解答】 解：过点 C 作 CF ∥AB ，∴∠ ACF=180°﹣∠A=180 °﹣136°=44 ∵∠ ACD=164°， ∴∠ DCF=164°﹣∠ACF=164°﹣44°=120∵AB ∥DE ，36．【解答】 解：∵ AB ∥CD ，∴∠ AEF+∠EFC=180°，∠BEF+∠ EFD=180°，∠AEN=∠ ENF ，∵EM 平分∠ BEF ，FM 平分∠ EFD ，EN 平分∠ AEF ， ∴∠AEN=∠FEN ，∠BEM=∠FEM ，∠EFM=∠DFM ， ∴∠ BEM+∠ MFD=90 °，∵∠ AEF+∠BEF=180°，∴∠ AEN+∠ BEM=90°，则与∠ BEM 互余的角有∠ AEN ，∠ NEF ，∠ ENF ，∠ EFM ，∠ MFD 共 5个．∴CF ∥DE ，﹣°37．【解答】解：过F作FH∥AB，由AB∥CD，得到FH∥CD，∴∠α=∠EFH，∠HFN+∠FND=180°，∵FG⊥CD，∴∠ FND=90 °，∴∠ HFN=90 °，∴∠EFG=∠EFH+∠HFN=90 °+ α．故选：B．38．解答】解：如图所示，过点O 作OA∥ b，则∠DOA=90 °，OA∥c，所以∠2=∠3=∠1﹣∠DOA=130°﹣90°=40 度．故选C．39．【解答】解：∵ AB∥CD，CD∥EF．∴∠ BCD=∠ 1，∠ ECD=180°﹣∠2．∴∠ BCE=180°﹣∠2+ ∠1．故选：C．40．【解答】解：∵∠ 3为三角形的外角，∴∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∴∠3+∠4+∠2=180°，∵∠ 4=90 °，∠3=70 °，∴∠ 2=20 °．故选：A．41．【解答】解：∵ AB∥CD，∴∠ A= ∠ACD，又∵∠ A=70°，∴∠ ACD=70 °．故选：B．42．【解答】解：∵∠ 1与∠2 为对顶角，∴∠ 1=∠ 2=50 °，∵AB∥DE，∴∠ 2+∠ D=180则∠ D=13043．【解答】解：∵ AB∥CD，∠ C=33∴∠ ABC=∠C=33 °，∵BC平分∠ ABE，∴∠ ABE=2∠ABC=66°，∵AB∥CD，∴∠ BED=∠ABE=66°．故选：D．44．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠ 1=∠ C=50∵∠ 1=∠ A+ ∠B，∴∠ A=50 °﹣16°=34 故选：C．45．【解答】解：∵ BC∥DE，∴∠1=∠B=70°，∵AB∥EF，∴∠ E+∠ 1=180 °，∴∠ E=180°﹣∠1=180 °﹣70°=11046．【解答】解：∵ AB∥CD，∴∠ BEF=∠C=70 °，∵∠ BEF=∠A+ ∠F，∴∠ A=70 °﹣30°=40 °．故选：C．47．【解答】解：∵ AB∥CD∥EF，∴∠ ABC=∠BCD=50°，∠CEF+∠ ECD=180°；∴∠ ECD=180°﹣∠CEF=30°，∴∠ BCE=∠BCD﹣∠ ECD=20°．故选：C．48．【解答】解：∵ a∥b，∴∠ DBC=80°，∴∠ ABD=180°﹣80°=100 °．故选：D．49．解答】解：∵ AB∥CD，∴∠ DCA=∠ CAB，∠ ECD=∠B=80又∵ AC平分∠ DAB，∴∠ DCA=∠CAB= ∠DAB=30∴∠ECA=∠DCA+∠ECD=110° 故选：C．50．【解答】解：如图，过点D作c∥a．则∠1=∠CDB=25°．又a∥ b ，DE⊥ b ，∴b∥c，DE⊥c，∴∠2=∠CDB+90°=115°．故选：A．51．【解答】解：由三角形的外角性质，∠ 3=∠1+ ∠B=70∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠ 2=180 °﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20 °．故选：A．52．【解答】解：如图，∵ AB∥ED，∠ ECF=70°，∴∠ BAC=∠ECF=70∴∠ FAB=180°﹣∠BAC=110° 又∵AG 平分∠ BAC，∴∠ BAG= ∠BAC=35°，∴∠FAG=∠FAB+∠BAG=145° 故选：B．53．【解答】解：∵ a∥b，∴∠2=∠3，∵∠ 1+∠ 3=90 °，∴∠ 3=90 °﹣30°=60 °，∴∠ 2=60 °．54．【解答】解：如图，∵∠ 1=40 °，∴∠ 2=180 °﹣40°=140∵CD∥BE，∴∠ B= ∠2=140 °．故选：B．55．【解答】解：∵ AB∥CD，∴∠ 3=∠ 1=65 °，∴∠ 2=180 °﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25 故选：D．56．【解答】解：∵ AB∥CD，∴∠1=∠3，∵∠ 2=120 °，∠3+ ∠ 2=180∴∠ 3=60 °．故选：B．57．60．解答】 解：木条 a 在桌面上绕点 O 旋转 30°（0<n <90）后与 b 平行，理由 为：旋转 30°后，得到一对内错角都为 70° 利用内错角相等两直线平行得到 a ∥b ． 故选： B ． 58．【解答】 解：∵ AB ∥CD ，∠ A=120 ∴∠ DCA=180°﹣∠A=60 °， ∵CE 平分∠ ACD ， ∴∠ ECD= ∠DCA=30°，故选： D ．59．∠1=180°﹣130°=50m ∥n ，∴∠α= ∠1=50故选： C ．解答】【解答】解：∵ AB∥CD，∴∠ A+ ∠C=180 °而∠ BAC=120°，∴∠ C=180°﹣120 °=60 ° 故选：B．。
初一下数学 平行线中的拐角问题
专题平行线中的拐角问题题型一过拐点作一条平行线【典例1】（2019•自贡期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝；（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程；（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．试构造平行线解决以下问题：已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．【典例2】（2019•无为期末）如图，AB∥CD∥EF，∠ABE＝70°，∠DCE＝144°，求∠BEC的度数．【典例3】（2019•孟津期末）如图（1），AB∥CD，试求∠BPD与∠B、∠D的数量关系，说明理由．（1）填空：解：过点P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE＝180°∵AB∥CD，EF∥AB∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∠EPD+＝180°∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°∴∠B+∠BPD+∠D＝360°（2）依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，不用说明理由．【典例4】（2019•浦东新区期中）（1）如图α示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC ＝∠A+∠C的理由．（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系．②请说明理由．【典例5】（2019•滕州市期中）如图，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，求∠BEC的度数．例６图例７图【典例6】（2019•孝南区校级月考）如图，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，求∠BEC的度数．【典例7】（2019•浦东新区期中）（1）如图（a），如果∠B+∠E+∠D＝360°，那么AB、CD有怎样的关系？为什么？解：过点E作EF∥AB①，如图（b），则∠ABE+∠BEF＝180°，（）因为∠ABE+∠BED+∠EDC＝360°（）所以∠FED+∠EDC＝°（等式的性质）所以FE∥CD②（）由①、②得AB∥CD（）．（2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件时，有AB∥CD．（3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件时，有AB∥CD．题型二过拐点作多条平行线【典例8】（2019•北辰区校级月考）已知：如图，AB∥CD，试解决下列问题：（1）∠1+∠2＝；（2）∠1+∠2+∠3＝；（3）∠1+∠2+∠3+∠4＝_；（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．【典例9】（2019•召陵区期中）问题感知：如图（一），已知AB∥CD，点E是AB与CD间的一点，过点E作EM∥AB．易得∠B+∠D＝∠BED．知识应用：如图（二），当点E在AB与CD之外时，其它条件不变，猜想∠B、∠D与∠E之间的关系，并说明理由．应用提升：在图（三）、图（四）中，AB∥CD，直接写出∠B、∠D、∠E、∠F之间的数量关系．【典例10】（2019•东莞校级月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝140°．（1）直接写出：∠ABE+∠CDE＝°；（2）求∠BFD的度数．【典例11】（2019•莱城区期末）（1）如图①，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝；如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝，请你说明理由；（2）如图③，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝；（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度数．巩固练习1．（2019•滕州市期末）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，则∠1+∠2的度数为．2．（2019•安徽期末）完成下面的证明：已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD求证：∠EGF＝90°证明：∵HG∥AB（已知）∴∠1＝∠3又∵HG∥CD（已知）∴∠2＝∠4∵AB∥CD（已知）∴∠BEF+＝180°又∵EG平分∠BEF（已知）∴∠1=1 2∠又∵FG平分∠EFD（已知）∴∠2=1 2∠∴∠1+∠2=12（）∴∠1+∠2＝90°∴∠3+∠4＝90°即∠EGF＝90°．3．（2019•武昌区校级月考）已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠BED＝∠ABE+∠EDC．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，若∠ABE＝3∠ABF，且∠BFD＝30°时，试求∠CDF∠FDE的值；（3）如图3，若H是直线CD上一动点（不与D重合），BI平分∠HBD，画出图形，并探究出∠EBI与∠BHD的数量关系．4．（2019•凉州区期末）如图，已知AB∥ED，∠1＝35°，∠2＝80°，求∠ACD的度数．5．（2019•南江期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB 于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．。
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2018年05月24日初中数学的初中数学组卷评卷人得分一．选择题（共60小题）1．如图：已知AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于（）A．180°B．270°C．360°D．450°2．如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（）A．∠α+∠β+∠γ=180°B．∠α+∠β﹣∠γ=360°C．∠α﹣∠β+∠γ=180°D．∠α+∠β﹣∠γ=180°3．学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（）A．120°B．130°C．140°D．150°4．如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，那么∠E+∠D的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．如图，直线l1∥l2，∠1=50°，∠2=22°，则∠3的度数为（）A．28°B．38°C．68°D．82°6．如图，直线a∥b，∠1=50°，2=30°，则∠3的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°7．如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是（）A．60°B．70°C．110°D．80°8．如图所示，AB∥DE，∠1=130°，∠2=36°，则∠3等于（）A．50°B．86°C．94°D．166°9．已知，如图，AB∥CD，∠DCF=100°，则∠AEF的度数为（）A．120°B．110°C．100°D．80°10．如图，AD∥CB，∠D=43°，∠B=25°，则∠DEB的度数为（）A．72°B．68°C．63°D．18°11．如图，AB∥DE，∠B+∠C+∠D=（）A．180°B．360°C．540°D．270°12．如图AB∥CD，∠ABE=120°，∠ECD=25°，则∠E=（）A．75°B．80°C．85°D．95°13．如图，AB∥EF，BC⊥CD于C，∠ABC=30°，∠DEF=45°，则∠CDE等于（）A．105°B．75°C．135°D．115°14．如图，AB∥CD，且∠BAP=60°﹣α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°﹣α，则α=（）A．10°B．15°C．20°D．30°15．如图，AB∥CD，用含α，β，γ的式子表示θ，则θ=（）A．α+γ﹣βB．β+γ﹣αC．180°+γ﹣α﹣βD．180°+α+β﹣γ16．如图，AB∥MP∥CD，MN平分∠AMD，∠A=40°，∠D=60°，那么∠NMP的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．10°17．如图所示，AB∥CD，∠2=∠1，∠4=100°，则∠3=（）A．100°B．120°C．140°D．160°18．如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（）A．180°B．360°C．540°D．720°19．如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于（）A．23°B．16°C．20°D．26°20．如图所示，OP∥QR∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．10°21．如图，已知AB∥ED，则∠B+∠C+∠D的度数是（）A．180°B．270°C．360°D．450°22．如图，已知△ABC中，AB∥EF，DE∥BC，则图中相等的同位角有（）A．二组B．三组C．四组D．五组23．如图，∠ABE=110°，若CD∥BE，则∠1度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°24．如图，在△ABC中，∠C=90°，若BD∥AE，∠DBC=20°，则∠CAE的度数是（）A．40°B．60°C．70°D．80°25．在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，则∠CBD等于（）A．40°B．50°C．45°D．60°26．如图，AB∥CD，∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，则∠E：∠F=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：327．如图所示，若AB∥CD，则∠A，∠D，∠E之间的度数关系是（）A．∠A+∠E+∠D=180° B．∠A﹣∠E+∠D=180°C．∠A+∠E﹣∠D=180°D．∠A+∠E+∠D=270°28．（经典题）如图所示，两平面镜α、β的夹角为60°，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的反射光线O′B平行于α，则∠1的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．75°29．如图，已知AB∥DC，AD∥BC，∠B=80°，∠EDA=40°，则∠CDO=（）A．80°B．70°C．60°D．40°30．如图，已知∠AOP=∠BOP，PC∥OA，PD⊥OA，若∠OPD=75°，则∠BCP等于（）A．15°B．30°C．35°D．75°31．如图，已知AB∥DE，∠B=20°，∠D=130°，那么∠BCD等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°32．如图AB∥CD，∠1=140°，∠2=90°，则∠3的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．60°33．如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是130°，第二次拐的角B是150°，而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（）A．130°B．140°C．150°D．160°34．如图，DE∥BC，∠D=2∠DBC，∠1=∠2，则∠DEB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．无法计算35．如图，已知AB∥DE，∠A=136°，∠C=164°，则∠D的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°36．如图，AB∥CD，若EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，EN平分∠AEF，则与∠BEM 互余的角有（）A．6个B．5个C．4个D．3个37．如图，AB∥CD，FG⊥CD于N，∠EMB=α，则∠EFG等于（）A．180°﹣αB．90°+αC．180°+α D．270°﹣α38．如图所示，b∥c，EO⊥b于点D，OB交直线C于点B，∠1=130°，则∠2等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°39．如图，如果AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（）A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1 C．180°﹣∠2+∠1 D．180°﹣∠1+∠240．如图，直线a∥b，Rt△BCD如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°41．已知，如图，AB∥CD，∠A=70°，∠B=40°，则∠ACD=（）A．55°B．70°C．40°D．110°42．如图，∠1=50°，如果AB∥DE，那么∠D=（）A．40°B．50°C．130°D．140°43．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=33°，则∠BED的度数是（）A．16°B．33°C．49°D．66°44．如图所示，直线a∥b，∠B=16°，∠C=50°，则∠A的度数为（）A．24°B．26°C．34°D．36°45．如图，AB∥EF，BC∥DE，∠B=70°，则∠E的度数为（）A．90°B．110°C．130°D．160°46．如图，已知AB∥CD，∠C=70°，∠F=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°47．已知：如图，AB∥CD∥EF，∠ABC=50°，∠CEF=150°，则∠BCE的值为（）A．50°B．30°C．20°D．60°48．如图，直线a∥b，则∠ABD的度数是（）A．38°B．48°C．42°D．100°49．如图，已知AB∥CD，∠DAB=60°，∠B=80°，AC是∠DAB的平分线，那么∠ACE的度数为（）A．80°B．60°C．110°D．120°50．如图，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1=25°，则∠2的度数为（）A．115°B．125°C．155°D．165°51．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°52．如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，则∠FAG的度数是（）A．155°B．145°C．110°D．35°53．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°54．如图，∠1=40°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）A．160°B．140°C．60°D．50°55．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°56．如图，已知AB∥CD，∠2=120°，则∠1的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°57．如图，桌面上有木条b、c固定，木条a在桌面上绕点O旋转n°（0＜n＜90）后与b平行，则n=（）A．20 B．30 C．70 D．8058．如图所示，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，当∠A=120°时，∠ECD的度数是（）A．45°B．40°C．35°D．30°59．如图，直线m∥n，则∠α为（）A．70°B．65°C．50°D．40°60．如图，AB∥CD，∠BAC=120°，则∠C的度数是（）A．30°B．60°C．70°D．80°2018年05月24日初中数学的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共60小题）1．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，同理∠DCE+∠CEF=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°；又∵EH⊥CD于H，∴∠HEF=90°，∴∠BAC+∠ACE+∠CEH=∠BAC+∠ACE+∠CEF﹣∠HEF=360°﹣90°=270°．故选：B．2．【解答】解：如图，作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°，∵EF∥CD，∴∠γ=∠DEF，而∠AEF+∠DEF=∠β，∴∠α+∠β=180°+∠γ，即∠α+∠β﹣∠γ=180°．故选：D．3．【解答】解：作BD∥AE，如图，∵AE∥CF，∴BD∥CF，∵BD∥AE，∴∠ABD=∠A=120°，∴∠DBC=150°﹣120°=30°，∵BD∥CF，∴∠C+∠DBC=180°，∴∠C=180°﹣30°=150°．故选：D．4．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CFE，∵∠EBA=45°，∴∠CFE=45°，∴∠E+∠D=∠CFE=45°，故选：B．5．【解答】解：如图，∵直线l1∥l2，∴∠4=∠1=50°，∵∠4=∠2+∠3，∴∠3=50°﹣22°=28°．故选：A．6．【解答】解：∵a∥b，∴∠1=∠4，∵∠4为三角形外角，∴∠4=∠2+∠3，即∠1=∠2+∠3，∵∠1=50°，∠2=30°，∴∠3=20°，故选：A．7．【解答】解：过点E作一条直线EF∥AB，则EF∥CD，∴∠A=∠1，∠C=∠2，∴∠AEC=∠1+∠2=∠A+∠C=70°．故选：B．8．【解答】解：过点C作平行于AB的直线MN，则MN∥DE，∵MN∥DE，∠2=36°，∴∠MCD=∠2=36°，∵AB∥MN，∠1=130°，∴∠MCB+∠1=180°，∴∠MCB=50°；∴∠3=∠MCB+∠MCD=50°+36°=86°．故选：B．9．【解答】解：∵∠DCF=100°，∴∠DCE=80°，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠DCE=80°．故选：D．10．【解答】解：∵AD∥CB，∠D=43°，∴∠C=∠D=43°，∵∠DEB为△ECB的外角，且∠B=25°，∴∠DEB=∠B+∠D=68°，故选：B．11．【解答】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1+∠B=180°，∠2+∠D=180°，∴∠B+∠BCD+∠D=∠B+∠1+∠2+∠D=180°+180°=360°．故选：B．12．【解答】解：过点E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵∠ABE=120°，∴∠BEF=60°，∵EF∥CD，∠ECD=25°，∴∠FEC=∠ECD=25°，∴∠E=∠BEF+∠ECD=60°+25°=85°．故选：C．13．【解答】解：作CM∥AB，DN∥AB，由AB∥EF，得到AB∥CM∥DN∥EF，∴∠ABC=∠BCM=30°，∠DEF=∠GDE=45°，∠MCD=∠CDG，∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴∠MCD=∠CDG=60°，∴∠CDE=∠CDG+∠GDE=105°．故选：A．14．【解答】解：过点P作PM∥AB，∴AB∥PM∥CD，∴∠BAP=∠APM，∠DCP=∠MPC，∴∠APC=∠APM+∠CPM=∠BAP+∠DCP，∴45°+α=（60°﹣α）+（30°﹣α），解得α=15°．故选：B．15．【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥CD，由平行线的传递性得，AB∥EM∥NF∥CD，∵EM∥AB，∴∠α=∠AEM，∵FN∥CD，∴∠β=∠CFN，∵EM∥FN，∴∠MEF+∠EFN=180°，又∠θ=∠AEM+∠MEF=∠α+180°﹣（∠γ﹣∠β）=180°+∠α+∠β﹣∠γ．故选：D．16．【解答】解：∵AB∥MP∥CD，∴∠AMP=∠A=40°，∠PMD=∠D=60°，∴∠AMD=∠AMP+∠PMD=100°，∵MN平分∠AMD，∴∠AMN=50°，∴∠NMP=∠AMN﹣∠AMP=10°．故选：D．17．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠5，∵∠4+∠5=180°，∠4=100°，∴∠1=∠5=80°，∴∠2=∠1=40°，∵AB∥CD，∴∠2+∠3=180°，则∠3=140°．故选：C．18．【解答】解：作EM∥AB，FN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．故选：C．19．【解答】解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，∴∠BCD=∠ABC=46°，∠FEC+∠ECD=180°，∴∠ECD=180°﹣∠FEC=26°，∴∠BCE=∠BCD﹣∠ECD=46°﹣26°=20°．故选：C．20．【解答】解：∵OP∥QR∥ST，∠2=110°，∠3=120°，∴∠2+∠PRQ=180°，∠3=∠SRQ=120°，∴∠PRQ=180°﹣110°=70°，∴∠1=∠SRQ﹣∠PRQ=50°，故选：B．21．【解答】解：过点C作直线MN∥AB，则MN∥ED．∴∠MCB+∠B=180°，∠MCD+∠D=180°．∴∠B+∠BCD+∠D=∠MCB+∠MCD+∠B+∠D=180°+180°=360°．故选：C．22．【解答】解：∵AB∥EF，DE∥BC，∴∠EFC=∠B，∠CEF=∠A，∠AED=∠C，∠ADE=∠B，共4对同位角，故选：C．23．【解答】解：∵CD∥BE，∴∠AFD=∠ABE=110°，∵∠1+∠AFD=180°，∴∠1=180°﹣110°=70°．故选：C．24．【解答】解：过点C作CF∥BD，则CF∥BD∥AE．∴∠BCF=∠DBC=20°，∵∠C=90°，∴∠FCA=90﹣20=70°．∵CF∥AE，∴∠CAE=∠FCA=70°．25．【解答】解：∵∠ABC=90°，∠A=50°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠ABC=40°，∵BD∥AC，∴∠CBD=∠C=40°．故选：A．26．【解答】解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB ∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF=∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=（∠ABE+∠CDE）=∠BED，∴∠BED：∠BFD=3：2．故选：C．27．【解答】解：过点E作AB∥EF，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠AEF=180°，∠D=∠DEF，∴∠A+∠AEF+∠DEF=180°+∠D，即∠A+∠E﹣∠D=180°．故选：C．28．【解答】解：如图，由光学原理知，∠2=∠3；∵α∥O′B，∴∠3=60°，∴∠1=180°﹣60°×2=60°．故选：A．29．【解答】解：∵AB∥DC，∴∠DCO=∠B=80°，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCO=80°，又∠EDA=40°，∴∠CDO=180°﹣∠EDA﹣∠ADC=60°故选：C．30．【解答】解：∵PC∥OA，∴∠BCP=∠BOA=∠BOP+∠AOP，又∵∠AOP=∠BOP，∴∠BCP=2∠AOP；在Rt△OPD中，PD⊥OA，∠OPD=75°，∠AOP=90°﹣∠OPD=90°﹣75°=15°，∴∠BCP=2∠AOP=30°．故选：B．31．【解答】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF；∴∠B=∠BCF，∠FCD+∠D=180°，∴∠BCD=180°﹣∠D+∠B=180°﹣130°+20°=70°．故选：B．32．【解答】解：过E作直线EF∥AB，∵AB∥BC，∴EF∥CD；∴∠1+∠4=180°，又∠1=140°，∴∠4=40°，∵∠2=90°，∴∠5=90°﹣∠4=90°﹣40°=50°．∵EF∥CD，∴∠3=∠5=50°．故选：C．33．【解答】解：过点B作ED∥AF，∵GC∥AF，∴ED∥CG；∵ED∥AF，∴∠3=∠A=130°，于是∠2=150°﹣130°=20°，又ED∥CG，∴∠C=180°﹣∠2=180°﹣20°=160°．故选：D．34．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠D+∠DBC=180°；又∵∠D=2∠DBC，∴∠D=120°，∠DBC=60°；∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=30°，∴∠2=∠DEB=30°（两直线平行，内错角相等）．故选：A．35．【解答】解：过点C作CF∥AB，∴∠ACF=180°﹣∠A=180°﹣136°=44°，∵∠ACD=164°，∴∠DCF=164°﹣∠ACF=164°﹣44°=120°，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠D=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°．36．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠EFC=180°，∠BEF+∠EFD=180°，∠AEN=∠ENF，∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，EN平分∠AEF，∴∠AEN=∠FEN，∠BEM=∠FEM，∠EFM=∠DFM，∴∠BEM+∠MFD=90°，∵∠AEF+∠BEF=180°，∴∠AEN+∠BEM=90°，则与∠BEM互余的角有∠AEN，∠NEF，∠ENF，∠EFM，∠MFD共5个．故选：B．37．【解答】解：过F作FH∥AB，由AB∥CD，得到FH∥CD，∴∠α=∠EFH，∠HFN+∠FND=180°，∵FG⊥CD，∴∠FND=90°，∴∠HFN=90°，∴∠EFG=∠EFH+∠HFN=90°+α．故选：B．38．【解答】解：如图所示，过点O作OA∥b，则∠DOA=90°，OA∥c，所以∠2=∠3=∠1﹣∠DOA=130°﹣90°=40度．故选C．39．【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF．∴∠BCD=∠1，∠ECD=180°﹣∠2．∴∠BCE=180°﹣∠2+∠1．故选：C．40．【解答】解：∵∠3为三角形的外角，∴∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∴∠3+∠4+∠2=180°，∵∠4=90°，∠3=70°，∴∠2=20°．故选：A．41．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠ACD，又∵∠A=70°，∴∠ACD=70°．故选：B．42．【解答】解：∵∠1与∠2为对顶角，∴∠1=∠2=50°，∵AB∥DE，∴∠2+∠D=180°，则∠D=130°，故选：C．43．【解答】解：∵AB∥CD，∠C=33°，∴∠ABC=∠C=33°，∵BC平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABC=66°，∵AB∥CD，∴∠BED=∠ABE=66°．故选：D．44．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠1=∠C=50°，∵∠1=∠A+∠B，∴∠A=50°﹣16°=34°．故选：C．45．【解答】解：∵BC∥DE，∴∠1=∠B=70°，∵AB∥EF，∴∠E+∠1=180°，∴∠E=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°．故选：B．46．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BEF=∠C=70°，∵∠BEF=∠A+∠F，∴∠A=70°﹣30°=40°．故选：C．47．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠ABC=∠BCD=50°，∠CEF+∠ECD=180°；∴∠ECD=180°﹣∠CEF=30°，∴∠BCE=∠BCD﹣∠ECD=20°．故选：C．48．【解答】解：∵a∥b，∴∠DBC=80°，∴∠ABD=180°﹣80°=100°．故选：D．49．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DCA=∠CAB，∠ECD=∠B=80°，又∵AC平分∠DAB，∴∠DCA=∠CAB=∠DAB=30°．故选：C．50．【解答】解：如图，过点D作c∥a．则∠1=∠CDB=25°．又a∥b，DE⊥b，∴b∥c，DE⊥c，∴∠2=∠CDB+90°=115°．故选：A．51．【解答】解：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选：A．52．【解答】解：如图，∵AB∥ED，∠ECF=70°，∴∠BAC=∠ECF=70°，又∵AG平分∠BAC，∴∠BAG=∠BAC=35°，∴∠FAG=∠FAB+∠BAG=145°．故选：B．53．【解答】解：∵a∥b，∴∠2=∠3，∵∠1+∠3=90°，∴∠3=90°﹣30°=60°，∴∠2=60°．故选：D．54．【解答】解：如图，∵∠1=40°，∴∠2=180°﹣40°=140°，∵CD∥BE，∴∠B=∠2=140°．故选：B．55．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠3=∠1=65°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25°．故选：D．56．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠3，∵∠2=120°，∠3+∠2=180°，∴∠3=60°．故选：B．57．【解答】解：木条a在桌面上绕点O旋转30°（0＜n＜90）后与b平行，理由为：旋转30°后，得到一对内错角都为70°，利用内错角相等两直线平行得到a∥b．故选：B．58．【解答】解：∵AB∥CD，∠A=120°，∴∠DCA=180°﹣∠A=60°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠DCA=30°，故选：D．59．【解答】解：∠1=180°﹣130°=50°，∵m∥n，∴∠α=∠1=50°，故选：C．60．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°而∠BAC=120°，∴∠C=180°﹣120°=60°．故选：B．。