时域数学模型
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增量较小时略去其高次幂项，则有
df ( x) y − yo = f ( x) − f ( xo ) = ( x − xo ) dx xo
19
df ( x) y − yo = f ( x) − f ( xo ) = ( x − xo ) dx xo
写出增量线性化微分方程
数学模型
时域模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
微分方程 差分方程
传递函数 拉氏变换传递函数，Z变换传递函数ห้องสมุดไป่ตู้
其他数学工具（如Rough Set，Petri等）
2−1 时域数学模型
一、线性元件的微分方程 二、控制系统微分方程的建立 三、线性系统的特性 四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法） 五、非线性微分方程的线性化 六、运动的模态（振型）Mode
Jm,fm
电动机轴上的转距平衡方程 d ωm (t )
Jm dt
图 2-3 电 枢 控 制 直 流 电 动 机 原 理 图
+ f m wm (t ) = M m (t ) − M c (t )
Jm－转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kg·m· fm －电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（N·m/rad/s）
d 2 x(t ) d xt () m +f + kx(t ) = F (t ) dt dt 这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg , N .s / m, N / m
[例2-3]电枢控制式直流电动机
if 电能转换为机械能，也就是由输入 的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生 La Ra 电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁 ＋ Wm ia 负 磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)， Ua Ea Jm,fm SM 载 从而拖动负载运动。 因此，直流电动机的运动方程可由 图 2-3 电 枢 控 制 直 流 电 动 机 原 理 图 以下三部分组成。 电枢回路电压平衡方程 电磁转距方程 电动机轴上的转距平衡方程 ＋
(例2-7)
22
续（例2-7）
23
例2-5
试把非线性方程 z=xy 在区域5≤x≤7 、
z − z0 = a ( x − x0 ) + b( y − y0 )
a= ∂z ∂x
x = x0 y = y0
10≤y≤12上线性化。求用线 性化方程来计算当x=5， y=10时z值所产生的误差。 解：由于研究的区域为 5≤x≤7、10≤y≤12，故 选择工作点x0=6，y0=11。 于是z0=x0y0=6×11=66.
令y y y 0 f (x ) f (x 0 ), x x x 0 , K (df (x )/ dx )x 0 , 则 : y K x
略去增量符号，便得到函数 y f x 在工作点A附近的 线性化方程：
y Kx
显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。 为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。 如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称 该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线 性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输 出叠加得到。 1、线性系统的性质 可叠加性 均匀性（或奇次性）
d 2c(t ) dc(t ) c(t ) f (t ) 2 dt dt
d ωm (t ) + ωm (t ) = K1ua (t ) − K 2 M c (t ) Tm dt
Tm = Ra J m Ra f m + C m C e
电动机机电时间常数（s）
K2 = Ra Raf m + C m C e
K1 =
Cm Ra f m + C m C e
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时， 还可进一步简化为
∫
[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。 例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 x, F , m, f , k 分别与 q, ui , L, R, 1C 为相似量。 [作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟 相对复杂的系统，实现仿真研究。
二、线性系统的特性
[需要讨论的问题]： 相似系统和相似量： 我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样的。 这是因为：若令 q = idt (电荷)，则例2-1的结果变为： d 2q dq 1 L 2 + R + q = ui dt dt C 可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类 型的系统也可以有相同形式的数学模型。
20
对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近 展开。设双变量非线性方程为：y = f ( x1 , x2 ) ，工作点为 y0 = f ( x10 , x20 ) 。则可近似为： ∆y ≈ K1∆x1 + K 2 ∆x2 式中： ∆x1 = x1 − x ， 10 ∆x2 = x2 − x。 20
= y0 = 11
b=
∂z ∂y
x = x0 y = y0
= x0 = 6
因此，线性化方程式为：
z-66=11(x-6)+6(y-11) 求在点x0=6，y0=11，z0=66附 z=11x+6y-66 近非线性方程的线性化表 当x=5,y=10时，z的精确值为 达式。将非线性方程在点 x0,y0,z0处展开成泰勒级数， z=xy=5×10=50 由线性化方程求得的z值为 并忽略其高阶项，则有 z=11x+6y=55+60-66=49
2、数学模型的意义
定量研究的基础 研究系统运行规律的基础 对系统行为进行控制的基础 对系统未来进行预测的基础
3、建立数学模型的方法
解析法 根据具体系统服从的规律，运用适当的数学工具 列出各变量间的关系。 实验法 在系统内部关系复杂时，为达到某种目的，可以 通过实验手段，测量该系统的输入输出，然后运用系 统辨识的手段，构建出一个近似的数学模型。
1 因此，误差为50-49=1，表示成百分数 50 = 2%
【归纳】
非线性微分方程线性化的步骤 （1）写出动态微分方程； （2）在平衡点处，对非线性项采用Taylor展开，并取一阶近似 （即线性近似）； （3）把一阶近似式带入原微分方程； （4）利用平衡方程，获得增量微分方程； （5）为记述方便，省去增量符号，获得所谓的在增量情况下的 线性化微分方程。 线性化微分方程的运用条件 （1）在获得方程的平衡点附近。如平衡点改变，则增量方程也 改变。 （2) 输入、输出一定在"增量"数量级.
Ceωm (t ) = ua (t )
系统最基本的数学模型是它的微分方程式。 建立微分方程的步骤如下： ①确定系统的输入量和输出量 ②将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递 的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节 的线性化原始方程。 ③消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方 程式。
四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法） 微分方程的解法
直接解析法（分离变量法） 适用于少量简单的情况 Laplace变换解析法 仅适用于线性时不变情况 状态转移矩阵法 仅适用于线性时不变情况 数值法 适用于所有情况
本节讨论用Laplace变换法解线性时不变微分方程
例2-6 已知L=1H,C=1F,R=1欧姆，且电容上的初始电压 U0(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ur(t)=1V。求 电路突然接通电源时，电容电压u0(t)的变化规律。 解：
Mc－折合到电动机轴上的总负载转矩
整理得：
d 2ωm (t ) d ω (t ) + ( La f m + Ra J m ) m + ( Ra f m + CmCe )ωm (t ) La J m dt dt dM c (t ) = − Ra M c (t ) Cmua (t ) − La dt
在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计， 因而上式可简化为
【RLC无源网络微分方程】为：
L R
d 2u0 (t ) d 0ut () LC + RC + u0 (t ) = ur (t ) 2 dt dt
第二章
概述
控制系统的数学模型
2−1 时域数学模型 2−2 复数域数学模型 2−3 结构图与信号流图 2−4 数学模型的实验测定法
概述
1、数学模型的定义 2、建立数学模型的意义 3、建立数学模型的方法 4、建立数学模型的工具
1、系统数学模型的定义 描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式 称为数学模型。 物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的， 难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或 理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物 理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求 解的精确要求，来确定出合理的物理模型。 电子放大器 看成 理想的线性放大环节。 通讯卫星 看成 质点 。
实验法－:
基于系统辨识的建模方法
输出（已知） 黑匣子
输入（已知）
已知知识和辨识目的 实验设计--选择实验条件 模型阶次--适合于应用的适当阶次 参数估计--最小二乘法 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统 模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近
4、建立数学模型的数学工具
代数方程。
三、非线性微分方程的线性化
在实际工程中，几乎所有的器件、系统都是非线 性的，完全线性的几乎没有。 （1）许多情况下，在一定工作范围，一定精度范围 下，可以近似看作是线性。 （2）严重非线性情况下，在工作点附近，可以局部 的线性化。
局部线性化－切线法（小偏差法）
连续变化的非线性函数：
y = f ( x)
[例2-2] 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。 输入量为外力F，输出量为位移x。 F m f
图1
k
F
kx
m
x
fx
m x
[解]：图1和图2分别为系统 原理结构图和质量块受力 分析图。图中，m为质量， f为粘性阻尼系数，k为弹 性系数。
图2
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：
K1 = ∂y ∂y | x1 = x10 , K 2 = | x1 = x10 为与工作点有关的常数。 ∂x1 x2 = x20 ∂x2 x2 = x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性(如间隙、库仑干 摩擦、饱和特性等)，它是可以用泰勒级数展开的。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
设在平衡状态工作点( A， xo)处连续可微 yo ,则
在该点附近用泰勒级数展开
1 d 2 f ( x) df ( x) 2 − + ( x x ) y = f ( x) = f ( xo ) + ( x − xo ) + o 2 2! dx x dx xo o
N
S
电枢回路方程
La dia (t ) + Ra ia (t ) + Ea = ua (t ) dt
＋
其中Ea 为反电势， Ea = Ceωm (t ) Ce称为电动机电势常数
电磁转距方程
M m (t ) = Cmia (t )
Cm称为电动机转矩常数
＋ Ua
La ia
if Ra Wm Ea
SM
负 载
若
f1 (t ) → c1 (t )，f 2 (t ) → c2 (t )
则 a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t ) → a1c1 (t ) + a2 c2 (t )
2、线性系统性质的应用 多个外作用产生的响应可通过逐个外作用响应的 叠加。
零输入和零初始条件响应合成得到非零响应。 系统对输入和干扰分别研究。 只有线性时不变微分方程才能运用Laplace变换为
一、线性元件的微分方程
例2−1 RLC 无源网络的微分方程 根据基尔霍夫电压定律
Ur(t)
L
R
C
U0(t)
di (t ) 1 L + ∫ i (t )dt + Ri (t ) = 0 dt C 1 uo (t ) = ∫ i (t )dt C
合并，整理
d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ur (t ) 2 dt dt
df ( x) y − yo = f ( x) − f ( xo ) = ( x − xo ) dx xo
19
df ( x) y − yo = f ( x) − f ( xo ) = ( x − xo ) dx xo
写出增量线性化微分方程
数学模型
时域模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
微分方程 差分方程
传递函数 拉氏变换传递函数，Z变换传递函数ห้องสมุดไป่ตู้
其他数学工具（如Rough Set，Petri等）
2−1 时域数学模型
一、线性元件的微分方程 二、控制系统微分方程的建立 三、线性系统的特性 四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法） 五、非线性微分方程的线性化 六、运动的模态（振型）Mode
Jm,fm
电动机轴上的转距平衡方程 d ωm (t )
Jm dt
图 2-3 电 枢 控 制 直 流 电 动 机 原 理 图
+ f m wm (t ) = M m (t ) − M c (t )
Jm－转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kg·m· fm －电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（N·m/rad/s）
d 2 x(t ) d xt () m +f + kx(t ) = F (t ) dt dt 这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg , N .s / m, N / m
[例2-3]电枢控制式直流电动机
if 电能转换为机械能，也就是由输入 的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生 La Ra 电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁 ＋ Wm ia 负 磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)， Ua Ea Jm,fm SM 载 从而拖动负载运动。 因此，直流电动机的运动方程可由 图 2-3 电 枢 控 制 直 流 电 动 机 原 理 图 以下三部分组成。 电枢回路电压平衡方程 电磁转距方程 电动机轴上的转距平衡方程 ＋
(例2-7)
22
续（例2-7）
23
例2-5
试把非线性方程 z=xy 在区域5≤x≤7 、
z − z0 = a ( x − x0 ) + b( y − y0 )
a= ∂z ∂x
x = x0 y = y0
10≤y≤12上线性化。求用线 性化方程来计算当x=5， y=10时z值所产生的误差。 解：由于研究的区域为 5≤x≤7、10≤y≤12，故 选择工作点x0=6，y0=11。 于是z0=x0y0=6×11=66.
令y y y 0 f (x ) f (x 0 ), x x x 0 , K (df (x )/ dx )x 0 , 则 : y K x
略去增量符号，便得到函数 y f x 在工作点A附近的 线性化方程：
y Kx
显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。 为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。 如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称 该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线 性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输 出叠加得到。 1、线性系统的性质 可叠加性 均匀性（或奇次性）
d 2c(t ) dc(t ) c(t ) f (t ) 2 dt dt
d ωm (t ) + ωm (t ) = K1ua (t ) − K 2 M c (t ) Tm dt
Tm = Ra J m Ra f m + C m C e
电动机机电时间常数（s）
K2 = Ra Raf m + C m C e
K1 =
Cm Ra f m + C m C e
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时， 还可进一步简化为
∫
[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。 例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 x, F , m, f , k 分别与 q, ui , L, R, 1C 为相似量。 [作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟 相对复杂的系统，实现仿真研究。
二、线性系统的特性
[需要讨论的问题]： 相似系统和相似量： 我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样的。 这是因为：若令 q = idt (电荷)，则例2-1的结果变为： d 2q dq 1 L 2 + R + q = ui dt dt C 可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类 型的系统也可以有相同形式的数学模型。
20
对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近 展开。设双变量非线性方程为：y = f ( x1 , x2 ) ，工作点为 y0 = f ( x10 , x20 ) 。则可近似为： ∆y ≈ K1∆x1 + K 2 ∆x2 式中： ∆x1 = x1 − x ， 10 ∆x2 = x2 − x。 20
= y0 = 11
b=
∂z ∂y
x = x0 y = y0
= x0 = 6
因此，线性化方程式为：
z-66=11(x-6)+6(y-11) 求在点x0=6，y0=11，z0=66附 z=11x+6y-66 近非线性方程的线性化表 当x=5,y=10时，z的精确值为 达式。将非线性方程在点 x0,y0,z0处展开成泰勒级数， z=xy=5×10=50 由线性化方程求得的z值为 并忽略其高阶项，则有 z=11x+6y=55+60-66=49
2、数学模型的意义
定量研究的基础 研究系统运行规律的基础 对系统行为进行控制的基础 对系统未来进行预测的基础
3、建立数学模型的方法
解析法 根据具体系统服从的规律，运用适当的数学工具 列出各变量间的关系。 实验法 在系统内部关系复杂时，为达到某种目的，可以 通过实验手段，测量该系统的输入输出，然后运用系 统辨识的手段，构建出一个近似的数学模型。
1 因此，误差为50-49=1，表示成百分数 50 = 2%
【归纳】
非线性微分方程线性化的步骤 （1）写出动态微分方程； （2）在平衡点处，对非线性项采用Taylor展开，并取一阶近似 （即线性近似）； （3）把一阶近似式带入原微分方程； （4）利用平衡方程，获得增量微分方程； （5）为记述方便，省去增量符号，获得所谓的在增量情况下的 线性化微分方程。 线性化微分方程的运用条件 （1）在获得方程的平衡点附近。如平衡点改变，则增量方程也 改变。 （2) 输入、输出一定在"增量"数量级.
Ceωm (t ) = ua (t )
系统最基本的数学模型是它的微分方程式。 建立微分方程的步骤如下： ①确定系统的输入量和输出量 ②将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递 的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节 的线性化原始方程。 ③消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方 程式。
四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法） 微分方程的解法
直接解析法（分离变量法） 适用于少量简单的情况 Laplace变换解析法 仅适用于线性时不变情况 状态转移矩阵法 仅适用于线性时不变情况 数值法 适用于所有情况
本节讨论用Laplace变换法解线性时不变微分方程
例2-6 已知L=1H,C=1F,R=1欧姆，且电容上的初始电压 U0(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ur(t)=1V。求 电路突然接通电源时，电容电压u0(t)的变化规律。 解：
Mc－折合到电动机轴上的总负载转矩
整理得：
d 2ωm (t ) d ω (t ) + ( La f m + Ra J m ) m + ( Ra f m + CmCe )ωm (t ) La J m dt dt dM c (t ) = − Ra M c (t ) Cmua (t ) − La dt
在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计， 因而上式可简化为
【RLC无源网络微分方程】为：
L R
d 2u0 (t ) d 0ut () LC + RC + u0 (t ) = ur (t ) 2 dt dt
第二章
概述
控制系统的数学模型
2−1 时域数学模型 2−2 复数域数学模型 2−3 结构图与信号流图 2−4 数学模型的实验测定法
概述
1、数学模型的定义 2、建立数学模型的意义 3、建立数学模型的方法 4、建立数学模型的工具
1、系统数学模型的定义 描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式 称为数学模型。 物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的， 难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或 理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物 理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求 解的精确要求，来确定出合理的物理模型。 电子放大器 看成 理想的线性放大环节。 通讯卫星 看成 质点 。
实验法－:
基于系统辨识的建模方法
输出（已知） 黑匣子
输入（已知）
已知知识和辨识目的 实验设计--选择实验条件 模型阶次--适合于应用的适当阶次 参数估计--最小二乘法 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统 模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近
4、建立数学模型的数学工具
代数方程。
三、非线性微分方程的线性化
在实际工程中，几乎所有的器件、系统都是非线 性的，完全线性的几乎没有。 （1）许多情况下，在一定工作范围，一定精度范围 下，可以近似看作是线性。 （2）严重非线性情况下，在工作点附近，可以局部 的线性化。
局部线性化－切线法（小偏差法）
连续变化的非线性函数：
y = f ( x)
[例2-2] 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。 输入量为外力F，输出量为位移x。 F m f
图1
k
F
kx
m
x
fx
m x
[解]：图1和图2分别为系统 原理结构图和质量块受力 分析图。图中，m为质量， f为粘性阻尼系数，k为弹 性系数。
图2
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：
K1 = ∂y ∂y | x1 = x10 , K 2 = | x1 = x10 为与工作点有关的常数。 ∂x1 x2 = x20 ∂x2 x2 = x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性(如间隙、库仑干 摩擦、饱和特性等)，它是可以用泰勒级数展开的。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
设在平衡状态工作点( A， xo)处连续可微 yo ,则
在该点附近用泰勒级数展开
1 d 2 f ( x) df ( x) 2 − + ( x x ) y = f ( x) = f ( xo ) + ( x − xo ) + o 2 2! dx x dx xo o
N
S
电枢回路方程
La dia (t ) + Ra ia (t ) + Ea = ua (t ) dt
＋
其中Ea 为反电势， Ea = Ceωm (t ) Ce称为电动机电势常数
电磁转距方程
M m (t ) = Cmia (t )
Cm称为电动机转矩常数
＋ Ua
La ia
if Ra Wm Ea
SM
负 载
若
f1 (t ) → c1 (t )，f 2 (t ) → c2 (t )
则 a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t ) → a1c1 (t ) + a2 c2 (t )
2、线性系统性质的应用 多个外作用产生的响应可通过逐个外作用响应的 叠加。
零输入和零初始条件响应合成得到非零响应。 系统对输入和干扰分别研究。 只有线性时不变微分方程才能运用Laplace变换为
一、线性元件的微分方程
例2−1 RLC 无源网络的微分方程 根据基尔霍夫电压定律
Ur(t)
L
R
C
U0(t)
di (t ) 1 L + ∫ i (t )dt + Ri (t ) = 0 dt C 1 uo (t ) = ∫ i (t )dt C
合并，整理
d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ur (t ) 2 dt dt