时域数学模型
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统指的是系统的动态特性可以由一个二阶微分方程描述的系统。
在控制工程中，二阶系统的时域分析主要包括对系统阶跃响应、脉冲响应、频率响应等进行分析。
下面将详细介绍二阶系统的数学模型以及各种时域分析方法。
二阶系统可以由一个二阶微分方程进行描述。
一般而言，二阶系统的数学模型可以写成如下形式：\[a_2\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + a_1\frac{{dy(t)}}{{dt}} +a_0y(t) = b_2\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} + b_1\frac{{du(t)}}{{dt}}+ b_0u(t)\]其中，y(t)为系统的输出，u(t)为系统的输入，a_0、a_1、a_2以及b_0、b_1、b_2分别为系统的系数。
这个方程也可以写成常用的形式：\[\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + 2ζω_n\frac{{dy(t)}}{{dt}} +ω_n^2y(t) = K_p\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} +T_i\frac{{du(t)}}{{dt}} + K_cu(t)\]其中，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率，K_p为比例增益，T_i为积分时间常数，K_c为控制器增益。
2.二阶系统的阶跃响应阶跃响应是指系统在接受一个单位阶跃信号作为输入时的响应。
通过对二阶系统的数学模型应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
对于一个传递函数为G(s)的系统，其阶跃响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))\]其中，A为阶跃响应的幅度，ω_d为阻尼振荡角频率，ϕ为相位角。
3.二阶系统的脉冲响应脉冲响应是指系统在接受一个单位脉冲信号作为输入时的响应。
与阶跃响应类似，通过对二阶系统的数学模型进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
对于一个传递函数为G(s)的系统，其脉冲响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = \frac{{A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))}}{{\sqrt{1-ζ^2}}}\]其中，A为单位脉冲信号的幅度。
机械工程控制基础系统的数学模型概述.pptx
微分方程一般形式：
anc(n)
a c(n1) n1
...
a1c
a0c
bm r (m)
b r (m1) m1
...
b1r
b0r(t )
拉氏变换： ansn an1sn1 .... a1s a0 C(s) bm sm bm1sm1 ... b1s b0 R(s)
§2.1 引言
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系 的数 学表达式
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程 线性定常系统微分方程的一般形式
di (t ) ur (t ) L dt Ri(t ) uc (t )
i(t ) C duc (t ) dt
LC
d
2uc (t ) dt 2
RC
duc (t ) dt
uc (t )
d 2uc (t ) dt 2
R L
duc (t ) dt
1 LC
uc (t )
1 LC
ur (t )
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s
2
2Tj
s
1)
i 1
j1
§2.3 系统的复域模型—传递函数
例7 已知
G( s )
s3
4s 4 3s2
2s
将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。
第二章_控制系统的数学模型
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2
if=常数
dia La Ra ia Ea ua dt
ua
ia
Ra Ea La
M
电动机轴上机械运动方程：
d J MD ML dt
J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD — 电枢电流产生的电磁转矩; ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke
Ra J Tm 令机电时间常数Tm : ke k m 二阶系统 La 令电磁时间常数Ta : Ta Ra 2 Tm TaTm dML d d 1 TaTm 2 Tm ua ML dt dt ke J J dt
1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
Ta 0
第二章 控制系统的数学模型
前言 数学模型基础
2.1 控制系统的时域数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图
2.4 控制系统建模实例
End
前言 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
d nc d n1c dc d mr d m 1r dr a0 n a1 n1 an1 an c b0 m b1 m 1 bm 1 bm r dt dt dt dt dt dt
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合 理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
《时域数学模型》课件
《时域数学模型》PPT课 件
《时域数学模型》是一份介绍时域数学模型的PPT课件。本课件旨在探讨时域 数学模型的定义、特点、应用领域以及建立步骤和方法，并通过实例分析帮 助读者更好地理解和应用该模型。
研究目的和意义
通过研究时域数学模型，我们可以深入了解其在科学、工程和其他领域中的 重要作用。该模型能够帮助我们分析和解决各种实际问题，为决策和优化提 供支持，并推动科学和技术的发展。
时域数学模型的建立步骤和方法
1
问题定义
明确问题和目标，确定所需的模型类型
模型建立
2
学
方程或模型描述系统的动态行为。
3
参数估计
通过实验或数据分析，估计模型中的参
模型验证
4
数值以使其能够准确地描述系统的行为。
通过实际测试或比较模拟结果与实际数 据，验证模型的准确性和适用性。
时域数学模型的实例分析
通过具体的案例分析，我们将展示时域数学模型在不同领域中的应用，如电 路分析、信号处理和控制系统设计等。这些实例将帮助读者更好地理解和应 用时域数学模型。
总结和展望
时域数学模型是一种强大的工具，它能够帮助我们理解和解决复杂的实际问 题。通过不断的研究和应用，我们可以进一步发展和改进时域数学模型，为 科学和工程领域的发展做出贡献。
时域和频域的基本概念
时域是指信号随时间变化的情况，频域是指信号在频率上的特性。了解时域 和频域的基本概念对于理解和分析时域数学模型至关重要。时域数学模型将 信号的时域特性与其它变量联系起来，帮助我们揭示信号的内在规律。
时域数学模型的定义和特点
时域数学模型是利用数学方法描述和表示系统或现象在时域上的行为和特性 的模型。其特点是能够准确地描述和预测系统的动态响应和行为，具有优秀 的可解释性和可视化性。
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统是指由两个一阶系统级联或并联组成的动态系统。
它的数学模型可以表示为如下形式：$$s^2Y(s) + 2ξω_nsY(s) + ω_n^2Y(s) = X(s)$$其中，$s$是复频域变量，$Y(s)$和$X(s)$分别是系统的输出和输入拉普拉斯变换形式；$ξ$是阻尼比，$ω_n$是自然频率。
为了进行时域分析，我们需要将模型转换为时域表示。
我们可以通过拉普拉斯逆变换对模型进行求解。
首先，我们可以将拉普拉斯变换模型转换为分母为二次方程的形式：$$s^2 + 2ξω_ns + ω_n^2 = 0$$这是一个特征方程，也称为二阶系统的特征方程。
根据特征方程的解，我们可以获得系统的阻尼比和自然频率。
特别地，当阻尼比$ξ$小于1时，系统被称为欠阻尼；当阻尼比$ξ$等于1时，系统被称为临界阻尼；当阻尼比$ξ$大于1时，系统被称为过阻尼。
根据不同的阻尼比，我们可以对系统的时域响应进行分类：1.欠阻尼情况下，系统的时域响应会产生振荡。
振荡的频率为阻尼比与自然频率的乘积。
2.临界阻尼情况下，系统的时域响应会趋于稳定，但不会产生振荡。
3.过阻尼情况下，系统的时域响应会趋于稳定，没有振荡，并且速度较快。
在实际应用中，我们经常需要对二阶系统的时域响应进行分析和设计。
常见的时域响应指标包括步响应、阶跃响应和频率响应。
这些响应可以通过对特征方程进行求解来获得。
对于步响应，我们可以通过求解特征方程的根来获得系统的过渡时间、最大超调量和静态误差等信息。
通过调整控制器和系统参数，我们可以改变这些指标，以满足系统设计的要求。
对于阶跃响应，我们可以通过求解特征方程的根来获得系统的上升时间、峰值时间和调节时间等信息。
同样，通过调整控制器和系统参数，我们可以改变这些指标，以满足系统设计的要求。
对于频率响应，我们可以通过将特征方程转换为复频域变量来获得系统的频率响应函数。
频率响应函数可以帮助我们分析系统在不同频率下的增益和相位变化。
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型
二阶系统的数学模型
动态结构图
开环传递函数
R(s)
-
G(s)
C(s)
G(s)
n2
s(s 2n )
闭环传递函数
(s)
s2
n2 2ns
n2
ζ为系统的阻尼比；ωn为无阻尼振荡频率，简 称固有频率（也称自然振荡频率）
二阶系统的时域分析
二阶系统的闭环特征方程闭环极点
s2 2ns n2 0 s1,2 n n 2 1
阻尼比对系统的影响
0 2
0.1 1.8 0.2 1.6
1.4
0.3 1.2
0.4 1
Step Response
0.5 0.6 0.7 0.8
Amplitude
0.8
0.6
1.0
0.4
1.5
0.2
2.5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Time (sec)
二阶系统的时域分析
h' (t) ne nt (cosdt
1
2
sin dt)
d e nt ( sin dt
1
2
cos d t )
二阶系统的时域分析
欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标
2.峰值时间tp 代入：d n 1 2
h'
(th)
' (t)ne(
n
1
2tcons 2
d tn
12n
1 2
2e)e ntnst isnindt d
曲线的不连续性，是由于ζ值的微小变化可引起调节 时间显著变化而造成的。
近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差
控制系统的微分方程-时域数学模型
x
Kx
式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，
是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工
作点附近展开。
⑵该系统的输出量是 ，输入量是ug，扰动量是 M c
⑶速度控制系统方块图：
u u u g
e
-
运放Ⅰ
1 运放Ⅱ
u2
功放
ua
Mc
电动机
uf
测速
⑷各环节微分方程：
运放Ⅰ：u1 k1(ug u f ) k1ue ， 运放Ⅱ：u2 k2( u1 u1)
功率放大：ua k3u2 ，反馈环节：u f k f
控制系统的微分方程---控制系统的时域数学模型
微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型， 微分方程又称之为控制系统时域内的运动方程。 1、控制系统微分方程的建立
例1: 图示是由R、电感L和电容C组成的无源网络，写出以ui(t) 为输入量，以 uo(t)为输出量的网络微分方程。
图3.1 RLC无源网络
叠加性 均匀性
3、线性方程的求解 研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。
方法有经典法，拉氏变换法。在自动系统理论中主要使用拉氏 变换法。
[拉氏变换求微分方程解的步骤]： ①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代 数方程。 ②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。
4、非线性微分方程的线性化
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果 描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为 线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理， 即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。
若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的 系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典 控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应中， 除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一 般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近 用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。
时域中常用的数学模型
时域中常用的数学模型1.引言1.1 概述概述部分的内容可以按照以下方式编写：概述一节将介绍时域中常用的数学模型。
时域是指针对信号的时序特性进行建模和分析的领域，它关注信号随时间的变化过程。
在许多实际问题中，我们需要利用数学模型来描述和分析信号在时域上的行为。
通过建立适当的数学模型，我们可以深入理解信号的特点和规律，为问题的解决提供依据。
本文将主要介绍两种常用的时域数学模型。
第一种模型是XXX模型，它在解决问题时广泛应用于XXX领域。
XXX模型基于XXX原理，通过XXX方式来描述信号在时域上的变化。
该模型具有XXX的特点，可以有效地描述XXX的过程和行为。
第二种模型是XXX模型，它是XXX领域的一种主要数学工具。
XXX模型通过XXX方法来描述信号在时域上的演化过程，具有XXX的特点和优势。
本文的主要目的是介绍这两种常用的数学模型，深入探讨它们的原理和应用。
通过对这些模型的学习和理解，我们可以更好地应用它们解决实际问题。
此外，本文还将对这两种模型进行比较和分析，探讨它们的优劣和适用范围。
最后，本文将给出一些结论和展望，以期对读者更好地理解和应用时域中常用的数学模型提供帮助。
在下一节中，我们将重点介绍数学模型1。
通过对数学模型1的详细分析，我们将深入了解它的原理、特点和应用。
请继续阅读下一节，以获取更多有关数学模型1的内容。
以上便是概述部分的内容。
这部分主要对整篇文章进行开场引言，介绍文章将要讨论的内容和目的，为读者打下阅读的基础。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将按照以下结构来介绍时域中常用的数学模型。
2. 正文2.1 数学模型12.2 数学模型2在正文部分，我们将详细介绍两个时域中常用的数学模型。
通过对每个数学模型的原理、应用场景以及解决问题的方法进行分析和说明，读者将能够深入了解数学模型在时域中的作用和应用。
3. 结论3.1 总结3.2 展望结论部分将对本文的主要内容进行总结，并展望未来时域中数学模型的发展趋势和研究方向。
自动控制理论-第二章
2-1 控制系统的时域数学模型
1、控制系统微分方程的建立 （1）举例 例1：电路无源网络 试列写以 u (t ) 为输入量，以 u (t )为 输出量的网络微分方程
i
o
解：设回路电流为 i(t ) ，由基尔霍夫 定律可写出回路方程为
di ( t ) 1 + i ( t ) dt + Ri ( t ) = u i ( t ) dt C ∫ 1 u o (t ) = i ( t ) dt C ∫ L
f 2 (t )
c(t ) = c1 (t )
作用时， c(t ) = c2 (t ) 叠加性：当 f (t ) 、 f (t ) 同时作用时，c(t ) = c1 (t ) + c2 (t ) 均匀性：当 f (t ) = A ⋅ f1 (t ) 时， c(t ) = A ⋅ c1 (t ) 线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的 总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。
[
]
1 1 1 F ( s ) + n f ( −1) (0) + L + f ( − n ) (0) n s s s
式中
f
( −1)
f ( −1) (0)、f ( −2) (0) L f ( − n ) (0)
(−n)
为
f (t )
的各重积分在 t = 0 时的值。如果
(0) = f ( −2 ) (0) = L = f
(0) = 0 ，则有
L ∫ L ∫ f (t )(dt ) n =
[
]
1 F (s) sn
（4）初值定理 若函数 f (t ) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则
f (0 + ) = lim f (t ) = lim sF ( s)
第二章系统的数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换 输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法
时域数学模型
d ωm (t ) + ωm (t ) = K1ua (t ) − K 2 M c (t ) Tm dt
Tm = Ra J m Ra f m + C m C e
电动机机电时间常数（s）
K2 = Ra Raf m + C m C e
K1 =
Cm Ra f m + C m C e
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时， 还可进一步简化为
若
f1 (t ) → c1 (t )，f 2 (t ) → c2 (t )
则 a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t ) → a1c1 (t ) + a2 c2 (t )
2、线性系统性质的应用 多个外作用产生的响应可通过逐个外作用响应的 叠加。
零输入和零初始条件响应合成得到非零响应。 系统对输入和干扰分别研究。 只有线性时不变微分方程才能运用Laplace变换为
(例2-7)
22
续（例2-7）
23
例2-5
试把非线性方程 z=xy 在区域5≤x≤7 、
z − z0 = a ( x − x0 ) + b( y − y0 )
a= ∂z ∂x
x = x0 y = y0
10≤y≤12上线性化。求用线 性化方程来计算当x=5， y=10时z值所产生的误差。 解：由于研究的区域为 5≤x≤7、10≤y≤12，故 选择工作点x0=6，y0=11。 于是z0=x0y0=6×11=66.
实验法－:
基于系统辨识的建模方法
输出（已知） 黑匣子
输入（已知）
已知知识和辨识目的 实验设计--选择实验条件 模型阶次--适合于应用的适当阶次 参数估计--最小二乘法 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统 模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近
第第二章 控制系统的数学模型
1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个 激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]
自动控制原理第二章
1 ui (t ) 1(t ), U i ( s) s Ui 0.1s 0.2 1 1 u0 (t ) L [U 0 ( s )] L [ 2 2 ] s s 1 s s 1 1 0.1s 0.2 1 L [ 2 ] 2 s ( s s 1) s s 1
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
输入： Fi 1(t )
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
相似系统
RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系 统的数学模型均是二阶微分方程，为相似 系统。 相似系统便于用一个简单系统去研究与其 相似的复杂系统，也便于控制系统的计算 机数字仿真。
化的过程。
4、线性系统的基本特性 叠加性：系统在几个输入信号同时作用 下的总响应，等于这几个输入信号单独 作用的响应之和。
如果元件输入为： r1(t)、r2(t)、r(t) ，
对应的输出为： c1(t)、c2(t)、c(t) 。
如果 r(t)=r1(t)+r2(t) 时， c(t)=c1(t)+c2(t) 满足叠加性。
满足齐次性。
满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件
例如 y=kx 是线性元件
输入 x1 输出 y1=kx1 x2 输入x1 ＋x2 C为常数， Cx1 y2=kx2 y1 ＋ y2 满足迭加性 Cy1 满足齐次性
所表示的元件 为线性元件
线性方程不一定满足迭加性和齐次性
y=kx+b(b为常数 0)线性方程，所表示的元件不是 线性元件 . 输入 x1y1 输出 y1＝ kx1+b x2 y2 y2 =kx2+b 输入 x1 ＋ x2 输出 y=k(x1 ＋ x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性 k为常数 :kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1 不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。
电容的时域表达式
电容的时域表达式
纯电阻电路
只有含有电阻（纯电阻负载）的交流电路成为纯电阻电路。
例：白炽灯、电阻炉、电烙铁等。
时域数学模型： u(t)=R i(t)
电容电路
如果把电接到交流电源上，由于交变电压时刻在变化，电极板上的电荷也就时刻在交替发生充放电，使电路中有电流流通，即呈通路状态。
电容量不同，电流也不相同。
时域数学模型： q(t)=Cu(t)
u(t)=\frac{1}{C} \int_{0}^{t}i(t) dt
电感电路
电感线圈是电工电子技术中最常用的元件之一，象电动机、变压器、交流接触器、断路器、继电器等等电气设备。
如果线圈中通过电流，电流会产生磁场，就会有磁通穿过线圈，当电流发生变化时，穿过线圈的磁通也随着发生变化，
从而在线圈的自身引起感应电动势——自感电动势。
自感电动势具有对抗电流变化的性质。
时域数学模型： \phi(t)=Li(t)
u(t)=L\frac{di(t)}{dt}
请看。
时域的实验建模方法
时域的实验建模方法系统辨识方法最常用的是最小二乘法，还介绍了渐消记忆辨识算法。
沃尔什变换方法优势：通过沃尔什变换可将一组沃尔什函数的积分运算用乘积运算代替。
这正是沃尔什函数能够用作动态建模的关键所在。
响应时间归一化：因为沃尔什函数被定义在[0，1)区间内，所以，传感器响应过程的时间也要单位化.与系统辨识建模法相比，沃尔什变换法所用数据少，所建模型的阶数的，直接得出微分方程的系数，减少转接误差。
但它不是的推算法，并对数据个数有严格要求。
最大嫡谱法AR模型和多维AR模型的优缺点适用场合。
自适应方法自适应模型在一定程度上能实时地处理测量数据和估计结果，自行调整模型参数。
井随着数据的不断采入，通过递推算法，自动地对模型参数加以修正，使其接近最佳值。
即值在尚不完全掌握数据序列特性的情况下也能得到满意的模型。
自适应模型的参数是由一组观察数据的线性组合进行自适应计算得到的。
本节分别采用最小均方差(LMS)递推算法和递推最小二乘(RLS)算法，建立六维力传感器和压力传感器自适应AR模型。
神经元网络方法人工神经元网络是一个大规模的非线性动力学系统，利用它可以对复杂的系统进行描述。
BP算法BP算法(反向传播算法)是一种建立在梯度下降法基础上的有导师的学习算法r5应用较多、较为成熟的算法之一。
网络结构为：一个输人层、一个输出层和若干个隐含层。
(1)对于确定性信号嚏棋，通过学习，可确定权重，建摄的误差小于2％，不存在时序方法随时间增长而不断变大的累积误差。
对于随机性较大的信号嚏棋，通过改变权重，能够跟踪信号的随机变化，具有较强的适应性。
(2)将神经元网络应用于动态嚏棋还有许多工作可做：如，提高运算速度；根据动态标定的输入、输出数据嚏棋；多输入、多输出系统建摸等。
FLANN方法本节将函数连接型神经网络(FLANN)引入传感器的动态建模。
FLANN在其输入端使用线性无关的增强权式表达，使用单层网络就可以形成各种超平面函数，而且不需要广义的6规则训练网络点用简单的6规则或一般的递推方法就可以很快收敛。
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∫
[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。 例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 x, F , m, f , k 分别与 q, ui , L, R, 1C 为相似量。 [作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟 相对复杂的系统，实现仿真研究。
二、线性系统的特性
d ωm (t ) + ωm (t ) = K1ua (t ) − K 2 M c (t ) Tm dt
Tm = Ra J m Ra f m + C m C e
电动机机电时间常数（s）
K2 = Ra Raf m + C m C e
K1 =
Cm Ra f m + C m C e
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时， 还可进一步简化为
增量较小时略去其高次幂项，则有
df ( x) y − yo = f ( x) − f ( xo ) = ( x − xo ) dx xo
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df ( x) y − yo = f ( x) − f ( xo ) = ( x − xo ) dx xo
写出增量线性化微分方程
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。 如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称 该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线 性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输 出叠加得到。 1、线性系统的性质 可叠加性 均匀性（或奇次性）
d 2c(t ) dc(t ) c(t ) f (t ) 2 dt dt
2、数学模型的意义
定量研究的基础 研究系统运行规律的基础 对系统行为进行控制的基础 对系统未来进行预测的基础
3、建立数学模型的方法
解析法 根据具体系统服从的规律，运用适当的数学工具 列出各变量间的关系。 实验法 在系统内部关系复杂时，为达到某种目的，可以 通过实验手段，测量该系统的输入输出，然后运用系 统辨识的手段，构建出一个近似的数学模型。
20
对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近 展开。设双变量非线性方程为：y = f ( x1 , x2 ) ，工作点为 y0 = f ( x10 , x20 ) 。则可近似为： ∆y ≈ K1∆x1 + K 2 ∆x2 式中： ∆x1 = x1 − x ， 10 ∆x2 = x2 − x。 20
设在平衡状态工作点( A， xo)处连续可微 yo ,则
在该点附近用泰勒级数展开
1 d 2 f ( x) df ( x) 2 − + ( x x ) y = f ( x) = f ( xo ) + ( x − xo ) + o 2 2! dx x dx xo o
Jm,fm
电动机轴上的转距平衡方程 d ωm (t )
Jm dt
图 2-3 电 枢 控 制 直 流 电 动 机 原 理 图
+ f m wm (t ) = M m (t ) − M c (t )
Jm－转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kg·m· fm －电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（N·m/rad/s）
= y0 = 11
b=
∂z ∂y
x = x0 y = y0
= x0 = 6
因此，线性化方程式为：
z-66=11(x-6)+6(y-11) 求在点x0=6，y0=11，z0=66附 z=11x+6y-66 近非线性方程的线性化表 当x=5,y=10时，z的精确值为 达式。将非线性方程在点 x0,y0,z0处展开成泰勒级数， z=xy=5×10=50 由线性化方程求得的z值为 并忽略其高阶项，则有 z=11x+6y=55+60-66=49
K1 = ∂y ∂y | x1 = x10 , K 2 = | x1 = x10 为与工作点有关的常数。 ∂x1 x2 = x20 ∂x2 x2 = x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性(如间隙、库仑干 摩擦、饱和特性等)，它是可以用泰勒级数展开的。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
d 2 x(t ) d xt () m +f + kx(t ) = F (t ) dt dt 这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg , N .s / m, N / m
[例2-3]电枢控制式直流电动机
if 电能转换为机械能，也就是由输入 的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生 La Ra 电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁 ＋ Wm ia 负 磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)， Ua Ea Jm,fm SM 载 从而拖动负载运动。 因此，直流电动机的运动方程可由 图 2-3 电 枢 控 制 直 流 电 动 机 原 理 图 以下三部分组成。 电枢回路电压平衡方程 电磁转距方程 电动机轴上的转距平衡方程 ＋
一、线性元件的微分方程
例2−1 RLC 无源网络的微分方程 根据基尔霍夫电压定律)
di (t ) 1 L + ∫ i (t )dt + Ri (t ) = 0 dt C 1 uo (t ) = ∫ i (t )dt C
合并，整理
d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ur (t ) 2 dt dt
四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法） 微分方程的解法
直接解析法（分离变量法） 适用于少量简单的情况 Laplace变换解析法 仅适用于线性时不变情况 状态转移矩阵法 仅适用于线性时不变情况 数值法 适用于所有情况
本节讨论用Laplace变换法解线性时不变微分方程
例2-6 已知L=1H,C=1F,R=1欧姆，且电容上的初始电压 U0(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ur(t)=1V。求 电路突然接通电源时，电容电压u0(t)的变化规律。 解：
[需要讨论的问题]： 相似系统和相似量： 我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样的。 这是因为：若令 q = idt (电荷)，则例2-1的结果变为： d 2q dq 1 L 2 + R + q = ui dt dt C 可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类 型的系统也可以有相同形式的数学模型。
第二章
概述
控制系统的数学模型
2−1 时域数学模型 2−2 复数域数学模型 2−3 结构图与信号流图 2−4 数学模型的实验测定法
概述
1、数学模型的定义 2、建立数学模型的意义 3、建立数学模型的方法 4、建立数学模型的工具
1、系统数学模型的定义 描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式 称为数学模型。 物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的， 难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或 理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物 理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求 解的精确要求，来确定出合理的物理模型。 电子放大器 看成 理想的线性放大环节。 通讯卫星 看成 质点 。
【RLC无源网络微分方程】为：
L R
d 2u0 (t ) d 0ut () LC + RC + u0 (t ) = ur (t ) 2 dt dt
N
S
电枢回路方程
La dia (t ) + Ra ia (t ) + Ea = ua (t ) dt
＋
其中Ea 为反电势， Ea = Ceωm (t ) Ce称为电动机电势常数
电磁转距方程
M m (t ) = Cmia (t )
Cm称为电动机转矩常数
＋ Ua
La ia
if Ra Wm Ea
SM
负 载
实验法－:
基于系统辨识的建模方法
输出（已知） 黑匣子
输入（已知）
已知知识和辨识目的 实验设计--选择实验条件 模型阶次--适合于应用的适当阶次 参数估计--最小二乘法 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统 模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近
4、建立数学模型的数学工具
数学模型
时域模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
微分方程 差分方程
传递函数 拉氏变换传递函数，Z变换传递函数
其他数学工具（如Rough Set，Petri等）
2−1 时域数学模型
一、线性元件的微分方程 二、控制系统微分方程的建立 三、线性系统的特性 四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法） 五、非线性微分方程的线性化 六、运动的模态（振型）Mode
若
f1 (t ) → c1 (t )，f 2 (t ) → c2 (t )
则 a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t ) → a1c1 (t ) + a2 c2 (t )
2、线性系统性质的应用 多个外作用产生的响应可通过逐个外作用响应的 叠加。
零输入和零初始条件响应合成得到非零响应。 系统对输入和干扰分别研究。 只有线性时不变微分方程才能运用Laplace变换为
1 因此，误差为50-49=1，表示成百分数 50 = 2%
【归纳】
非线性微分方程线性化的步骤 （1）写出动态微分方程； （2）在平衡点处，对非线性项采用Taylor展开，并取一阶近似 （即线性近似）； （3）把一阶近似式带入原微分方程； （4）利用平衡方程，获得增量微分方程； （5）为记述方便，省去增量符号，获得所谓的在增量情况下的 线性化微分方程。 线性化微分方程的运用条件 （1）在获得方程的平衡点附近。如平衡点改变，则增量方程也 改变。 （2) 输入、输出一定在"增量"数量级.