高数矩阵的概念及运算
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– 熟练运用初等变换求矩阵的逆
– 熟练运用初等变换求解可逆矩阵方程
2.2.1 矩阵的概念
• 引例某商店上半年电视销售情况(单位:百台)
51吋 47吋 42吋
简记为
一分店 7
3
5
7 3 5
二分店 1
2
0
1 2 0
某商店下半年电视销售情况(单位:百台)
一分店 二分店
51吋 10 2
47吋 6 3
42吋 5 1
法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的《算术》一 书中开始用不甚完整 (没有认识负数) 的加减消元法 解联立一次方程组。
前面解题过程中的方框即可视为矩阵, 可见矩阵并 以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.
2.2.2 矩阵的加减和倍数
1、矩阵的加法
1) 定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
150
35
400 300
15 35
'
从矩阵 A + B 中可了解该机械公司的职工总数情况:男 性技术人员、生产工人、其他职工分别为150 、 400 、 15 人,而女性职工分别为 35 、 300 、 35 人.
中国古代算书《九章算术》 中的“方程”
刘徽的《九章算术》中《方程》章是这样说的。 “程,课程也。群物总杂, 各列有数,总言其实。 令每行为率,二物者再程,三物者三程,皆如 物数程之,并列为行,故谓之方程.”
这段话的意思可以从《方程》 章的第一道题看 出, 题目是 “今有上禾三秉,中禾二秉,下禾 一秉,实三十九斗; 上禾二秉,中禾三秉,下禾 一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉, 下禾 三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各 几何?” ( 秉——捆)
行数和列数相同的矩阵称同型矩阵,即两个 矩阵相等的先决条件是两者为同型矩阵。
零矩阵 矩阵O= (aij)mn的mn个元素均为零。
0
0
k 1
2 5
0
0
O
k 2 1
即
0
5
2
k
1
转置矩阵AT
a11 a12 A a21 a22
a1n a2n
an1
an2
ann
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
3 3 6 2 8 1 6 8 9
2) 矩阵加法的运算规律
1 A + B = B + A; (交换性) 2 A + B +C = A + B +C. (结合性)
3 Α + Ο = Ο + Α = Α.
《方程》章的解法为
“置上禾三秉, 中禾二秉,下禾一秉, 实三十九斗于右 方; 中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直 除。又乘其次, 亦以直除……” (直除——减去对应 的各数,到不能再减为止). 按照这种解法,列出下列算式:
用右行上禾秉数3遍乘中行各数,得6, 9, 3, 102 减 去右行对应各数,得3, 7, 2, 63,再减一次,得 0, 5, 1, 24,不能再减了 (消去一个未知数——上禾每 秉的实); 又用3遍乘左行各数,得3, 6, 9, 78 减去右 行对应各数,得0, 4, 8, 39. 如下:
2.2 矩阵及其运算
矩阵也是是线性代数的重要工 具,矩阵理论的应用,最常见 也最重要的就是解线性方程组。
温州大学教育学院 王靖庶
本节知识点和教学要求
知识点
– 矩阵的概念 -矩阵的加减和倍数
– 矩阵的乘法 -初等变换和矩阵的秩
– 逆矩阵
-求解可逆矩阵方程
教学要求
– 熟练掌握矩阵运算的基本法则
– 熟练运用初等变换,进而能求矩阵的秩
总公司
分公司
技术人员 生产工人 其他 技术人员 生产工人 其他
男
50
100
5
100
300
10
女
10
200
15
25
100
20
我们分别用矩阵 A 和 B 来列出总公司和分公司的职 工人数情况,然后汇总统计用矩阵 A + B 表示,即
A
B
50 10
100 200
5 15
100
25
300 100
10 20
10 6 5
2
3 1
求全年电视销售情况? 7 10 3 6 5 5
1
2
2 3 0 1
定义
矩阵——矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
a1n
a2n
用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示
am1 am2
amn
元素 aij 数学理论中,元素可以是数,也可以是其他对象; 方阵:m=n时, 称n阶方阵或n阶矩阵; 1阶矩阵就是一个数.
向量:1 × n阶矩阵——行向量,
n × 1阶矩阵——列向量.
• 矩阵的简记法:
– (aij)mn
–用行向量表示
A1, A2, An
–用列向量表示
这里,Aj为列向量,Bi为行向量。
B1
B2
Bm
矩阵的相等
矩阵的元素都一一对应相等时,两个矩阵才 相等.
行数和列数不相等的矩阵绝不能相等!
接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除……”, 即接着消去左右两行中的中禾每秉的实, 同现代的解 一次方程组的加减消元法十分一致.
最后: 左方下禾不尽者,上为法,下为实,实即下禾 之实。求中禾,以法乘中行下实,而除下禾之实。 余如中禾秉数而一,即中禾之实。求上禾,亦以法 乘右行下实,而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数 而一,即上禾之实。实皆如法,各得一斗。”
A 与 B 的和记作A B,规定为
a11 源自文库b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
说明
只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法
运算.
例如 (即引例)
12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 6 8 3 2 1
a11 a21 AT a12 a22
aann12
a1n
a2n
ann
显然, n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵. (AT)T =A.
系数矩阵和增广矩阵
例2. 2. 1 三元线性方程组
1x1 2x2 3x3 8, 0 55x2 22x3 44, 22x1 0 3x3 2
的系数矩阵和增广矩阵分别是 n元线性方程组的情况见教材127页。
(零矩阵的单位性)
(4)A + BT = AT + BT.
(保持转置性)
(5)负矩阵的存在性和矩阵的减法
a11
A
=
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
aij
,
amn
称为矩阵A的负矩阵。
有 A A O, A B A B.
这就是矩阵的减法
例2.2.1 设某公司的职工按男女区分统计如下