线段差的最大值与线段和的最小值问题
专题13 几何中的最值与定值问题 -突破中考数学压轴题学霸秘笈大揭秘(学生版)
专题13 几何中的最值与定值问题【类型综述】线段和差的最值问题，常见的有两类：第一类问题是“两点之间，线段最短”．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短”．【方法揭秘】两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．图1 图2 图3如图4，正方形ABCD的边长为4，AE平分∠BAC交BC于E．点P在AE上，点Q在AB上，那么△BPQ 周长的最小值是多少呢？如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE是河流，但是点Q不确定啊．第一步，应用“两点之间，线段最短”．如图5，设点B关于“河流AE”的对称点为F，那么此刻PF＋PQ 的最小值是线段FQ．第二步，应用“垂线段最短”．如图6，在点Q运动过程中，FQ的最小值是垂线段FH．这样，因为点B和河流是确定的，所以点F是确定的，于是垂线段FH也是确定的．图4 图5 图6【典例分析】例1 如图1，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ． （1）用含m 的式子表示a ； （2）求证：AD AE为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1例2如图1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m=-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．图1例3 如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；图1例4如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =． （1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图1例5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ． （1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）； （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为 54 ，求a 的值；（3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．图1 备用图【变式训练】一、单选题1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（）A．3B．1+C．1+3D．1+2．如图，已知，以为圆心，长为半径作，是上一个动点，直线交轴于点，则面积的最大值是（）A．B．C．D．3．如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，P 是边CD 上一点，将△ADP沿直线AP对折，得到△APQ．当射线BQ交线段CD于点F时，DF的最大值是（）A．3B．2C．47--D．454．如图，由两个长为，宽为的全等矩形叠合而得到四边形，则四边形面积的最大值是（）A．15B．16C．19D．205．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB是，则BE＋EF的最小值是A．4B．4.8C．5D．5.46．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=135°，点P是菱形内部一点，且满足，则PC+PD 的最小值为（）A．B．C．6 D．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，D，E是AB和BC上的动点，连接CD，DE则CD+DE的最小值为（）A．8B．C．D．二、解答题8．问题发现：（）如图①，中，，，，点是边上任意一点，则的最小值为__________．（）如图②，矩形中，，，点、点分别在、上，求的最小值．（）如图③，矩形中，，，点是边上一点，且，点是边上的任意一点，把沿翻折，点的对应点为点，连接、，四边形的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时的长度；若不存在，请说明理由．9．问题提出：如图1，在Rt△AB C中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值．10．已知二次函数y=x2+2bx+c（b、c为常数）．（Ⅰ）当b=1，c=﹣3时，求二次函数在﹣2≤x≤2上的最小值；（Ⅱ）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（Ⅲ）当c=4b2时，若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．11．已知四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．（1）如图1，若P 为AB 边上一点以PD ，PC 为边作平行四边形PCQD ，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．（2）若P 为AB 边上任意一点，延长PD 到E ，使DE=PD ，再以PE ，PC 为边作平行四边形PCQE ，请问对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．（3）如图2，若P 为直线DC 上任意一点，延长PA 到E ，使AE=AP ，以PE 、PB 为边作平行四边形PBQE ，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．12．（本题满分12分）（1）【问题】如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =， 6AB =．当点A 位于__________时线段AC 的长取得最大值，且最大值为__________（用含a 、b 的式子表示）．（2）【应用】点A 为线段B 除外一动点，且3BC =， 1AB =．如图2所示，分别以AB 、AC 为边， 作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD 、BE ． ①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由． ②直接写出线段BE 长的最大值．（3）【拓展】如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =， PM PB =， 90BPM ∠=︒．请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．13．如图，已知中，，边上的高，四边形为内接矩形．当矩形是正方形时，求正方形的边长．设，矩形的面积为，求关于的函数关系式，当为何值时有最大值，并求出最大值．14．如图，抛物线与坐标轴相交于、、三点，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．直接写出、、的坐标；求抛物线的对称轴和顶点坐标；求面积的最大值，并判断当的面积取最大值时，以、为邻边的平行四边形是否为菱形．15．如图，抛物线过O、A、B三点，A（4,0）B（1，-3），P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.（1）直线PQ与x轴所夹锐角的度数，并求出抛物线的解析式.（2）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D，求： PD+DQ的最大值；②PD.DQ的最大值.16．问题提出（1）如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b ，填空：当点A 位于 时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为 （用含a ，b 的式子表示）． 问题探究（2）点A 为线段BC 外一动点，且BC=6，AB=3，如图2所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE ，找出图中与BE 相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE 长的最大值． 问题解决：（3）①如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（5，0），点P 为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB ，∠BPM=90°，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．②如图4，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，BC=42，若对角线BD ⊥CD 于点D ，请直接写出对角线AC 的最大值．17．如图14，AB 是O 的直径，,2AC BC AB ==，连接AC ．（1）求证：045CAB ∠=； （2）若直线l 为O 的切线，C 是切点，在直线l 上取一点D ，使,BD AB BD =所在的直线与AC 所在的直线相交于点E ，连接AD ．①试探究AE 与AD 之间的数量关系，并证明你的结论； ②EBCD是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 18.如图，动点M 在以O 为圆心，AB 为直径的半圆弧上运动（点M 不与点A B 、及AB 的中点F 重合），连接OM .过点M 作ME AB ⊥于点E ，以BE 为边在半圆同侧作正方形BCDE ，过M 点作O 的切线交射线DC 于点N ，连接BM 、BN .（1）探究：如左图，当M 动点在AF 上运动时； ①判断OEM MDN ∆∆是否成立？请说明理由；②设ME NCk MN+=，k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；③设MBN α∠=，α是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由； （2）拓展：如右图，当动点M 在FB 上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由） 19.已知抛物线32-+=bx x y （b 是常数）经过点)0,1(-A . （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P(m ，t)为抛物线上的一个动点，P 关于原点的对称点为'P . ①当点'P 落在该抛物线上时，求m 的值；②当点'P 落在第二象限内，2'A P 取得最小值时，求m 的值.20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线12++=bx ax y 交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点)0,4(B ，与过A 点的直线相交于另一点)25,3(D ，过点D 作x DC ⊥轴，垂足为C .11（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合），过P 作x PN ⊥轴，交直线AD 于M ，交抛物线于点N ，连接CM ，求PCM ∆面积的最大值；（3）若P 是x 轴正半轴上的一动点，设OP 的长为，是否存在，使以点N D C M 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.。
最新初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mmm mA Bmn m nn m nnm B（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：m nmnm nm（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：mmmmQ Q练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少？4、如图4所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .5、如图3，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．6、 如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB 的最小值为 ． Q7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长； （3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
初中几何中线段和差的最大值与最小值练习题(最全)
初中几何中线段和差的最大值与最小值练习题(最全)初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值基本图形解析：一）已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小。
1）点A、B在直线m两侧：在直线m上找到点P使得PA=PB，则PA+PB最小。
2）点A、B在直线同侧：在直线m上找到点A'，使得A'是关于直线m的对称点，再找到点P使得PA'+PB最小，则PA+PB最小。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
1）两个点都在直线外侧：在直线m上找到点A'，使得A'是关于直线m的对称点，在直线n上找到点B'，使得B'是关于直线n的对称点，再找到点P和Q，使得PA'+PQ+QB'最小，则PA+PQ+QB最小。
2）一个点在内侧，一个点在外侧：在直线m上找到点P，使其与A点连线垂直直线m，再在直线n上找到点Q，使其与B点连线垂直直线n，使PA+PQ+QB最小。
3）两个点都在内侧：在直线m上找到点A'，使得A'是关于直线m的对称点，在直线n上找到点B'，使得B'是关于直线n的对称点，再找到点P和Q，使得PA'+PQ+QB'最小，则PA+PQ+QB最小。
4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短。
在直线m上找到点A'，使得A'是关于直线m的对称点，在直线n上找到点B'，使得B'是关于直线n的对称点，连接A'和B'，交直线m和n于D和E，使ADEB为矩形，则ADEB周长最短。
变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短。
在直线m上找到点A'，使得A'是关于直线m的对称点，连接AA'，在直线n上找到点Q，使得A'Q垂直直线n，连接AQ，使得PA+PQ+QA最小。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：mm A Bm B mA Bmnmnnmn（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：n点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nmnmnmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
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初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：m m mmABmn m nnmn（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：nnm Bnn2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mnmmmmm过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧： 练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少mABB'EQ PmABQPQ4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB 上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.v1.0 可编辑可修改二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
初中线段最值问题的常用解法
初中线段最值问题的常用解法初中线段最值问题可以通过几种常用解法来解决，其中包括暴力法、排序法、差分法、前缀和法和优先队列法等。
下面将逐一介绍这些常用解法。
一、暴力法：暴力法是最简单直接的解法，通过计算所有可能的情况，找到线段的最大最小值。
具体步骤如下：1.遍历线段的所有可能点对，计算它们之间的长度，并根据需求记录最大值或最小值。
2.对于含有n个点的线段，总共有C(n, 2) = n(n-1)/2个点对，因此时间复杂度为O(n^2)。
二、排序法：排序法首先将线段的所有点按照坐标大小进行排序，然后在有序的序列中找到最大最小值。
具体步骤如下：1.将线段的所有点按照坐标大小进行排序，可使用快速排序或归并排序等算法。
2.排序后的序列中，最小值为第一个点的坐标，最大值为最后一个点的坐标。
3.时间复杂度主要花在排序过程上，一般为O(nlogn)。
三、差分法：差分法是一种巧妙的解法，通过对坐标进行映射，将求最大最小值的问题转化为求差分数组的最大最小值。
具体步骤如下：1.首先对坐标进行离散化处理，将所有的线段点映射到一个连续段上，每个点的映射值对应它在离散化后的序列中的位置。
2.创建一个差分数组，将映射后的位置上的数值标记为1，其他位置上的值为0。
3.对差分数组进行前缀和处理，得到一个前缀和数组。
4.判断差分数组的最小值和最大值所对应的位置，即为原线段的最小值和最大值在映射后的序列中的位置。
5.根据离散化的映射关系，可将得到的位置映射回原线段上。
6.时间复杂度为O(n)。
四、前缀和法：前缀和法是一种相对简单高效的解法，通过对坐标进行前缀和处理，快速计算出每个位置的前缀和值，从而得到最值。
具体步骤如下：1.先计算出原始线段上每个点的前缀和，得到一个前缀和数组。
2.通过计算前缀和数组的差分，得到一个差分数组。
3.对差分数组求前缀和，得到一个二次前缀和数组。
4.遍历二次前缀和数组，记录最大最小值所对应的位置。
5.时间复杂度为O(n)。
线段差的最大值与线段和的最小值问题
线段差的最大值与线段和的最小值问题有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。
2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。
3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。
作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。
即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。
证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。
一两条线段差的最大值：（1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。
作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。
，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜ABp'（2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。
作法：1、作B关于直线L的对称点B。
B2、连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。
，连结PA、PB、PB。
︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB（三角形任意两边之差小于第三边）二、两条线段和的最小值问题：（1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。
（三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），P A＋PB=AB（2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。
（两点之间线段最短）三、中考考点：08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。
提示：EF长不变。
即求F N＋NM＋MF的最小值。
利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。
一、以正方形为载体，求线段和的最小值例1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，边长是4，E 是BC 上一点，且CE ＝1，P 是对角线BD 上任一点，则PE ＋PC 的最小值是_____________。
利用“两点之间线段最短”解决最值问题
利用 两点之间线段最短 解决最值问题陈礼弦(贵州省贵安新区普贡中学ꎬ贵州贵安新区５６１１１３)摘㊀要:文章立足于初中数学教学实践ꎬ结合典型实例详细论述了利用 两点之间线段最短 结论解决最值问题的主要思路ꎬ旨在于为初中数学教学提供崭新思路.与此同时ꎬ通过解题活动ꎬ提高学生分析问题和解决问题的能力ꎬ提升其数学核心素养.关键词:初中数学ꎻ核心素养ꎻ线段最短ꎻ最值问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０８－００１３－０３收稿日期:２０２３－１２－１５作者简介:陈礼弦(１９７１.１２ )ꎬ男ꎬ贵州省清镇人ꎬ本科ꎬ高级教师ꎬ从事初中数学解题研究.㊀㊀与线段之和或差有关的几何最值问题是中考热点ꎬ通常以中考压轴题的形式出现ꎬ具有一定的选拔性功能ꎬ对学生而言具有一定的难度.这类问题是教学的难点ꎬ是核心素养的重点考查对象[１].在初中数学教学中ꎬ教师该如何引导学生利用 两点之间线段最短 解决最值问题呢?根据笔者多年的教学经验ꎬ只要弄清三个数学模型ꎬ学生在解决这类问题时便会收到事半功倍之效.１模型１ 一线两点 型１.１利用 两点之间线段最短 求线段和的最小值１.１.１点在直线两侧时ꎬ线段和的最小值问题例１㊀如图１ꎬ两定点Ｃ㊁Ｄ位于直线ａ两侧ꎬ在直线ａ上找一点Ｍꎬ使得ＭＣ＋ＭＤ的值最小.图１㊀点在线段两侧示意图㊀㊀㊀图２㊀ＭＣ＋ＭＤ取最小值示意图解析㊀如图２ꎬ连接ＣＤ交直线ａ于点Ｍꎬ点Ｍ就是所找的点.理由是 两点之间线段最短 .１.１.２点在直线同侧时ꎬ线段和的最小值问题例２㊀如图３ꎬ两定点Ｃ㊁Ｄ位于直线ａ的同侧ꎬ在直线ａ上找一点Ｍꎬ使得ＭＣ＋ＭＤ的值最小.图３㊀点在直线同侧示意图㊀㊀图４㊀ＭＣ＋ＭＤ取最小值示意图解析㊀如图４ꎬ作点Ｄ关于直线ａ的对称点Ｄᶄꎬ连接ＣＤᶄ与直线ａ交于点Ｍꎬ点Ｍ就是所找的点.显然ꎬ将直线ａ同侧两个定点转化为两侧两个定点ꎬ便可以利用点在直线两侧时线段和的最小值问题的处理方法解决最值问题.１.１.３模型应用例３㊀如图５ꎬ已知әＤＥＦ中ꎬＤＥ＝ＤＥꎬＧＨ是ＤＥ的垂直平分线ꎬＭ是ＧＨ上一动点ꎬ点Ｎ是ＥＦ的中点ꎬ如果ＤＥ＝１３ꎬәＤＥＦ的周长是３６ꎬ求ＥＭ＋ＭＮ的最小值.解析㊀如图６ꎬ连接ＤＭꎬＭＮ.因为ＤＥ＝ＤＦ＝１３ꎬәＤＥＦ的周长是３６ꎬ所以ＥＦ＝３６－２ˑ１３３１图５㊀例３题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图６㊀例３解析图＝１０.又因为Ｎ是ＥＦ的中点ꎬ所以ＥＮ＝１２ＥＦ＝５.又因为әＤＥＦ是等腰三角形ꎬ点Ｎ是ＥＦ的中点ꎬＤＮʅＥＦꎬ所以ＤＮ＝ＤＥ２－ＥＮ２＝１３２－５２＝１２.又因为ＧＨ是ＤＥ的垂直平分线ꎬ所以ＭＤ＝ＭＥꎬ所以ＥＭ＋ＭＮ＝ＤＭ＋ＭＮȡＤＮꎬ所以ＤＮ的长为ＥＭ＋ＭＮ的最小值ꎬ所以ＥＭ＋ＭＮ的最小值为１２.１.２利用 两点之间线段最短 求线段差最大值１.２.１点在直线同侧时ꎬ线段差的最大值问题例４㊀如图７ꎬ两定点ＭꎬＮ位于直线ｂ的同侧ꎬ在直线ｂ上找一点Ｈꎬ使得｜ＨＭ－ＨＮ｜的值最大.㊀图７㊀点在直线同侧示意图㊀图８㊀｜ＨＭ－ＨＮ｜的最大值示意图解析㊀如图８ꎬ连接ＭＮ并延长与直线ｂ交于点Ｈꎬ点Ｈ就是所找的点.１.２.２点在直线两侧时ꎬ线段差的最大值问题例５㊀如图９ꎬ两定点ＢꎬＣ位于直线ｌ的两侧ꎬ在直线ｎ上找一点Ｍꎬ使得︱ＭＢ－ＭＣ｜的值最大.图９㊀点在直线两侧示意图㊀㊀图１０︱ＭＢ－ＭＣ｜的最大值示意图解析㊀如图１０ꎬ作点Ｃ关于直线ｎ的对称点Ｃᶄꎬ连接ＢＣᶄ并延长与直线ｎ交于点Ｍꎬ点Ｍ就是所找的点.显然ꎬ将已知直线两侧的两个定点转化为同侧的两个定点ꎬ便可以用同侧线段差最大值的方法解决问题.１.２.３模型应用例６㊀如图１１ꎬ在正方形ＤＥＦＧ中ꎬＤＥ＝６ꎬ点Ｉ是对角线ＥＧ上靠近点Ｅ的三等分点ꎬ点Ｈ是ＤＧ边上的一点ꎬ且ＧＨ＝２.Ｊ为ＥＦ上一点ꎬ连接ＪＨ㊁ＪＩ.①在图中画ＪＨ－ＪＩ的最大值时点Ｊ的位置(为区分点Ｊꎬ请用字母Ｊ 标记)ꎻ②求ＪＨ－ＪＩ的最大值.图１１㊀例６题图㊀㊀㊀㊀㊀图１２㊀例６解析图解析㊀如图１２ꎬ连接ＨＩ并延长交ＢＣ于点Ｊᶄꎬ则点Ｊᶄ即为所求作的点.如图１２ꎬ过点Ｉ作ＩＫʅＤＧ于点Ｋꎬ延长ＫＩ交ＥＦ于点Ｌꎬ所以ＪＨ－ＪＩ的最大值即为ＨＩ的长.因为四边形ＤＥＦＧ为正方形ꎬ所以ＤＧ//ＥＦꎬＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＤ＝６ꎬ所以四边形ＤＥＬＫ是矩形ꎬәＧＨＩ为等腰直角三角形ꎬＥＧ＝６２.因为点Ｉ是对角线ＥＧ上的三等分点ꎬ所以ＧＩ＝２３ＥＧ＝４２ꎬ所以ＫＩ＝ＧＫ＝４ꎬ所以ＨＫ＝ＧＫ－ＧＨ＝２ꎬ所以ＨＩ＝ＫＩ２＋ＨＫ２＝４２＋２２＝２５.２模型２ 一定两线 型２.１利用 两点之间线段最短 求周长最小值例７㊀如图１３ꎬ点Ｄ是øＢＯＣ的内部一定点ꎬ在ＯＢ上找一点Ｎꎬ在ＯＣ上找一点Ｍꎬ使得әＤＭＮ的周长最小.解析㊀如图１４ꎬ分别作点Ｄ关于ＯＢ㊁ＯＣ的对称点Ｄᶄ㊁Ｄᵡꎬ连接ＤᶄＤᵡꎬ交ＯＢ㊁ＯＣ于点Ｎ㊁Ｍꎬ点Ｎ㊁Ｍ便是所找的点.２.２利用 两点之间线段最短 求线段和的最小值例８㊀如图１５ꎬ点Ｍ是øＤＥＦ的内部一定点Ｍꎬ在ＥＤ上找一点Ａꎬ在ＥＦ上找一点Ｂꎬ使得ＭＢ＋ＡＢ的值最小.４１图１３㊀例７题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１４㊀例７解析图图１５㊀例８题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１６㊀例８解析图解析㊀如图１６ꎬ作点Ｍ关于ＥＦ的对称点Ｍᶄꎬ过点Ｍᶄ作ＥＤ的垂线ꎬ分别与ＥＤ㊁ＥＦ交于点Ａ㊁Ｂꎬ点Ａ㊁Ｂ是所找的点.２.３模型应用例９㊀如图１７ꎬ在ＲｔәＢＣＤ中ꎬøＢＣＤ＝９０ʎꎬＤＣ＝６ꎬＢＣ＝８ꎬＤＥ是øＢＤＣ的平分线.若Ｍ㊁Ｎ分别是ＤＣ㊁ＤＥ上的动点ꎬ求ＮＣ＋ＮＭ的最小值.图１７㊀例９题图㊀㊀㊀㊀㊀图１８㊀例９解析图解析㊀如图１８ꎬ作点Ｍ关于ＤＥ的对称点Ｍᶄꎬ因为ＤＥ是øＢＤＣ的平分线ꎬ所以Ｍᶄ在ＤＢ上ꎬ连接ＣＭᶄꎬＮＭᶄꎬ所以ＮＭᶄ＝ＮＭꎬ所以ＮＣ＋ＮＭ＝ＮＣ＋ＮＭᶄȡＣＭᶄꎬ所以当ＣＭᶄ垂直ＡＢ时ꎬＣＭᶄ为最小值ꎬ所以ＮＣ＋ＮＭ为最小值ꎬ在ＲｔәＤＣＢꎬøＤＣＢ＝９０ʎꎬＤＣ＝６ꎬＢＣ＝８ꎬ所以ＤＢ＝ＤＣ２＋ＢＣ２＝１０ꎬ因为１２ＤＣ ＢＣ＝１２ＤＢ ＣＭᶄꎬ所以ＣＭᶄ＝２４５ꎬ所以ＮＣ＋ＮＭ的最小值为２４５.３模型３ 一定长ꎬ两定点 型３.１异侧线段和最小值问题例１０㊀如图１９ꎬ已知直线ａʊｂꎬ直线ａ和直线ｂ之间距离为ｃꎬ在直线ａ和直线ｂ上分别找点Ａ㊁Ｂ两点ꎬ使ＡＢʅａꎬ且ＭＡ＋ＡＢ＋ＢＮ的值最小.解析㊀如图２０ꎬ将点Ｍ向下平移ｃ个单位到Ｍᶄꎬ连接ＭᶄＮ交直线ｂ于点Ｂꎬ过点Ｂ作ＢＡʅｌ１于点Ａꎬ点Ａ㊁Ｂ两点是所找的点.图１９㊀例１０题图㊀㊀㊀㊀㊀图２０㊀例１０解析图３.２同侧线段和的最小值问题例１１㊀如图２１ꎬ在直线ａ上找Ａ㊁Ｂ两点(Ａ在Ｂ左侧)ꎬ使得ＡＢ＝ｋꎬ且ＭＡ＋ＡＢ＋ＢＮ的值最小.解析㊀如图２２ꎬ将点Ｍ向右平移ｋ个单位到点Ｍᶄꎬ作点Ｍᶄ关于直线ａ的对称点Ｍᵡꎬ连接ＭᵡＮ交直线ａ于点Ｂꎬ将点Ｂ向左平移ｋ个单位到点ＡꎬＡ㊁Ｂ两点是所找的点.图２１㊀例１１题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２２㊀例１１解析图４结束语在初中数学教学中ꎬ教师引导学生经历并弄清 一线两点 型㊁ 一定两线 型㊁ 一定长ꎬ两定点 型最值问题的求解方法ꎬ不仅能够提高学生分析问题和解决问题的能力ꎬ而且能够使教师的教学效果达到 教是为了不教 之目的[２].参考文献:[１]孔令志ꎬ马学斌.２０２０年中考数学压轴题高频热点问题赏析(４)线段和的最小值问题:两点之间线段最短[Ｊ].中小学数学(初中版)ꎬ２０２０(１２):３７－４０.[２]叶婷婷.初中几何 线段最值 问题的求解策略[Ｊ].启迪与智慧(上)ꎬ２０２０(４):９６.[责任编辑:李㊀璟]５１。
中考数学 考点系统复习 第七章 作图与图形变换 微专题(五) 利用“两点之间,线段最短”求最值
2．★如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 N，交 AC 于点 M，P 是直线 MN 上一动点，H 为 BC 的中点，若 AB＝13，△ABC 的周 长是 36.则 PB＋PH 的最小值为 112 2.
3．★如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝3，点 P 为矩形 ABCD 内一点，
结论：AM＋MN＋NB 的最小值为 A″B＋MN.
9．★如图，正方形 ABCD 的对角线上的两个动点 M，N，满足 AB＝ 2MN， 点 P 是 BC 的中点，连接 AN，PM，若 AB＝6，则当 AN＋MN＋PM 的值最小 时，线段 AN 的长为 2 5 .
模型三：“两点两线”型(两个动点＋两个定点) (一)利用垂直平分线的性质求四边形周长最小值 【模型分析】 点 P，Q 是∠AOB 内部的两定点，在 OA 上找点 M，在 OB 上找点 N，使得四 边形 PQNM 周长最小． 思路点拨：
8．★如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点 G，H 分 别是边 BC，CD 上的动点，则四边形 EFGH 周长的最小值为 22 5＋10＋10.
1 且动点 P 满足 S△PAB＝3S 矩形 ABCD，则点 P 到 A，B 两点距离之和的最小值为 22 13 .
4．★如图，直线 y＝x＋1 与抛物线 y＝x2－4x＋5 交于 A，B 两点，P 是 y
轴上的一个动点，当△PAB 的周长最小时，S△PAB＝2.2. 4. 4
(二)线段差最大值问题 【基础模型】 两定点 A，B 位于直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使得|PA－PB|值最 大． 思路点拨：根据两边之差小于第三边，|PA－PB|的最大值即为 AB 的长， 连接 AB 并延长，与直线 l 交于点 P，点 P 即为所求．
几何图形中线段和差最值问题
点的个数动一动-C组变式：由两个点到多个点，增加层次性-如图，正方形ABCD中，AB=2,-1若M是AB边上的中点， 是对角-线AC上任意一点，求PM+PB2的最-M2-小值-2若M1、M2是AB边上的三等分点-,P1、P2依次是对角 AC上任意两点-求P1M1+P1B2+P2M1+P2M22的-最小值
八会归纳-线段和的最值问题-利用对称性构-如何去解？-造三点一线-化归：-引申、条件变换、移植转-换、增加解题层次性 -课本例题或常见题-考题
点的个数动一动-C组变式：由两个点到多个点，增加层次性-如图，正方形ABCD中，AB=2,-1若M是AB边上的中点， 是对角-线AC上任意一点，求PM+PB2的最-小值-2若M1、M2是AB边上的三等分点，-P1、P2依次是对角线AC 任意两点，求-P1M1+P1B2+P2M1+P2M22的最小值-3若M、M2Mg是AB边上的10等分-点，P1、P2 g依次是对角线AC上任意-点，直接写出P1M1+P1B2+P2M1+P2M22-++P,Mg+PgMg2的最小值
A组-已知抛物线-y0x2--5-x+2-22-若一个动点M自P0,1-出发，先到达对称轴上某点（设为点F,最后运动 点-A。确定使点M运动的总路径最短的点F的位置，并求出这-个最短路程的长。-0,2A-A'5,2-0,1PT-d-X -1
B组-变一变-若一个动点M自P出发，先到达x轴上的某点（设为点E，,再-到达抛物线的对称轴上某并求出这个最短-路程的长-0,2A-0,1P1-X--1
A-Mi'-D-P,M1+P,B2+P2M1+P2M2-MD2-M1'M22-C
线段形状的最大值与线段长度的最小值问题
线段形状的最大值与线段长度的最小值问题问题描述给定一组线段，每个线段由起点和终点确定。
我们想要在这组线段中找到一个线段的形状，使其中的点到该线段的距离之和最大，并且该线段的长度最小。
解决方案为了解决这个问题，我们可以采取以下步骤：1. 计算每个线段的长度，并找到其中最小的长度。
我们将这个长度作为基准长度。
2. 对于每个线段，将其分成多个等长的线段段，使每段长度等于基准长度。
接下来，我们将对每一段进行计算。
3. 对于每一段，计算其中所有点到该段的距离之和。
我们将这个值作为该段的形状。
4. 选取其中形状最大的段作为解决方案的线段。
示例让我们通过一个示例来说明上述解决方案：给定线段AB和线段BC，其中线段AB的起点是A，终点是B，线段BC的起点是B，终点是C。
首先，计算线段AB和BC的长度，并找到最小长度，假设为l1。
接下来，将线段AB和BC分别分成多个等长的线段段，每段长度为l1。
对于线段AB，将其分成两段：段1是线段AA'，长度为l1；段2是线段A'B，长度为l1。
对于线段BC，将其分成两段：段1是线段BB'，长度为l1；段2是线段B'C，长度为l1。
然后，计算每一段的形状。
对于段1，计算所有点到该段的距离之和。
假设为d1。
对于段2，计算所有点到该段的距离之和。
假设为d2。
选取形状最大的段作为解决方案的线段。
总结通过以上步骤，我们可以找到线段形状的最大值，并且线段的长度最小。
这种解决方案旨在简化问题，并使用简单策略，以避免法律复杂性。
请注意，本文档没有引用无法确认的内容。
二次函数线段差最大值问题
二次函数线段差最大值问题引言二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在许多数学领域都有广泛的应用。
本文将探讨一个与二次函数相关的问题，即二次函数线段差最大值问题。
问题的提出假设有一个二次函数：f(x)=ax2+bx+c，其中a、b、c为任意实数。
现在我们要求在某个区间[a, b]上，找到一个点x，使得该点与函数f(x)图像上的任意点形成的线段的差值最大。
换言之，要求找到一个x值，使得线段差最大。
解答思路要求线段差最大，可以将函数分成两部分：向上凸的部分和向下凸的部分。
我们只需要找到二次函数极值点的x坐标，并将区间[a, b]分成两部分，分别求出两段函数图像的最大值，再计算两者之间的差值即可。
具体步骤一、找到极值点1.对二次函数f(x)求导，得到f′(x)=2ax+b。
2.将导函数f′(x)置零，解方程得到极值点的x坐标。
3.将极值点的x坐标带入原函数f(x)，得到极值点的y坐标。
二、将区间分为两部分1.根据极值点的x坐标，将区间[a, b]分为[a, x]和[x, b]两部分。
三、求两段函数图像的最大值1.对于区间[a, x]，可以将f(x)看成开口向上的抛物线。
通过求导，找到函数在该区间上的最大值。
2.对于区间[x, b]，可以将f(x)看成开口向下的抛物线。
通过求导，找到函数在该区间上的最大值。
四、计算线段差的最大值1.分别计算两段函数图像的最大值。
2.将两者之间的差值与已有的最大差值进行比较，更新最大差值。
3.最终得到线段差的最大值。
结论通过以上步骤，我们可以找到二次函数线段差的最大值。
需要注意的是，这个最大值可能因为函数本身的性质而不存在，即函数可能是单调递增或单调递减的，此时线段差的最大值为0。
因此，在实际问题中，我们需要对函数进行分析，确保线段差最大值存在。
参考资料1.高中数学教材2.“二次函数” - 维基百科3.“求二次函数在指定区间上的最大值和最小值” - CSDN博客致谢感谢您阅读本文，希望能对二次函数线段差最大值问题有一个更深入的理解。
线段差的最大值与线段和的最小值问题
线段差的最大值与线段和的最小值问题有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。
2、三角形的任意两边Z和大于第三边(找和的最小值)。
3,三角形的任意两边Z差小于第三边 (找差的最大值〉。
作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，便三点在一条直线上。
即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。
证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。
一两条线段差的最大值：(1)两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P,使丨PA-PB丨取最大值。
作法：连结AB 并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
丨PA-PB I二AB证明：在直线L上任意取一点卩，连结PA. PB, | PA-PB I <AB(2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P,使I PA—PBI取最大值。
作法：1、作B关于直线L的对称点B。
2、连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
I PA-PB I二AB证明：在直线L上任意取一点卩，连结PA、PB、PBo I PA-PB 二I PA-PB I <AB（三角形任意两边之差小于第三边）二、两条线段和的最小值问题：（D）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使PA4-PB取最小值。
（三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），PA+PB二AB（2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使PA+PB取最小值。
（两点之间线段最短）屮考考点:08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABC0中，B （3, 2） , E （3, 1） , F （L 2）在X轴与Y轴上是否分别存在点\1、N,使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。
提示：EF长不变。
即求FN+NM+MF的最小值。
利用E关于X轴的对称点E, F的对称点F,把这三条线段搬到同一条直线上。
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线段差的最大值与线段和的最小值问题
有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。
2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。
3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。
作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。
即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。
证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。
一两条线段差的最大值：
（1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。
作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
︱PA－PB︱=AB
证明：在直线L上任意取一点P。
，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜AB
p'
（2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。
作法：1、作B关于直线L的对称点B。
B
2、连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
︱PA－PB︱=AB
证明：在直线L上任意取一点P。
，连结PA、PB、PB。
︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB
（三角形任意两边之差小于第三边）
二、两条线段和的最小值问题：
（1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使PA＋PB取最小值。
（三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），PA＋PB=AB
（2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使PA＋PB取最小值。
（两点之间线段最短）
三、中考考点：
08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。
提示：EF长不变。
即求FN＋NM＋MF的最小值。
利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。
一、以正方形为载体，求线段和的最小值
例1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，边长是4，E 是BC 上一点，且CE ＝1，P 是对角线BD 上任一点，则PE ＋PC 的最小值是_____________。
例2. 如图2，正方形ABCD 的边长为8，点E 、F 分别在AB 、BC 上，AE ＝3，CF ＝1，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE ＋PF 的最小值是（ ）
C
N
二、以菱形为载体，求线段和的最小值
例3. （05，）如图3，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，M、N分别是AB，BC边上的中点，PM＋PN的最小值是（）
三、以等腰梯形为载体，求线段和的最小值
例4.（05，）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为_____________。