2019-2020学年福建省福州市四校(长乐高级中学)高二下期末联考数学试题(解析版)

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福建省福州市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析

C．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；
D．考虑特殊情况：，由此判断是否大小，故错误；
B．当时，，所以，所以此时成立，故错误；
C．根据复数乘法的运算法则可知：或，故正确；
D．当时，，此时且，故错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若，则有 .
所以正确命题的个数为2,
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.
2．若函数，对任意实数都有，则实数的值为（）
A．和 B．和 C． D．
【答案】A
【解析】
由得函数一条对称轴为 ,因此 ,由得 ,选A.
点睛：求函数解析式方法：
(1) .
(2)由函数的周期求
【详解】
由程序框图，可知若a>b，则将b的值赋给a，a表示a，b中的小数；再判断a与c的大小，若a>c，则将c的值赋给a，则a表示a，c中的小数，结果输出a，即a是a，b，c中的最小数．
【点睛】
本题考查程序框图的应用，解题的关键是在解题的过程中模拟程序框图的运行过程，属于基础题.
10．设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
5．等于（）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，故选A．
考点：定积分的运算．
6．由曲线，，，围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为，满足，，的点组成的图形绕y轴旋一周所得旋转体的体积为，则（）
A． B． C． D．
【答案】C

2019-2020学年福建省福州市四校高二下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年福建省福州市四校（文笔中学、永泰城关中学、元洪中学、长乐高级中学）高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（2，4）2．函数f（x）＝的定义域为（）A．{x|x≤﹣1或x≥2}B．{x|x＜2}C．R D．{x|x≤﹣1且x≥2}3．命题“∃x0∈（0，+∞），x02+1≤2x0”的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），x2+1＞2x B．∀x∈（0，+∞），x2+1≤2xC．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1≤2x D．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1＞2x4．设x，y满足约束条件则z＝2x﹣3y的最大值为（）A．10B．8C．5D．﹣65．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为．现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，则该元件用满8000小时不坏的概率为（）A．B．C．D．6．已知a＝，b＝log2，c＝，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a7．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）＝为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（0，3]B．（0，3）C．[3，+∞）D．[0，+∞）二、多项选择题（共4小题）.9．2x＞1的充分不必要条件是（）A．x＜0B．x＞0C．0＜x＜1D．x＞110．下列说法正确的有（）A．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P（ξ≤3）＝0.84，则P（ξ≤1）＝0.16B．设随机变量X服从正态分布N（3，7），若P（X＞m+1）＝P（X＞m﹣1），则m ＝3C．设随机变量X～B（6，），则P（X＝3）等于D．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为11．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin（﹣x）C．y＝log2|x|D．y＝2x﹣2﹣x12．已知函数，则下列结论中错误的是（）A．f（x）的定义域是[﹣4，2]B．函数y＝f（x﹣1）是偶函数C．f（x）在区间[﹣1，2）上是减函数D．f（x）的图象关于直线x＝1对称三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f （x ）＝，则＝．14．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有种．15．已知二项式的各项系数和为243，则n＝，展开式中常数项为．16．已知偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，且满足f（1﹣x）+f（1+x）＝0，给出下列判断：（1）f（5）＝0；（2）f（x）在[1，2]上是减函数；（3）函数y＝f（x）没有最小值；（4）函数f（x）在x＝0处取得最大值；（5）f（x）的图象关于直线x＝1对称．其中正确的序号是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知（1+mx）7＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10中，且a3＝﹣35．（1）求m的值；（2）求a1+a3+a5+a7的值．18．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3），得下表：[0，50]（50，150]（150，475] SO2PM2.5[0，35]32184（35，75]6812（75，115]3710（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：[0，150]（150，475]SO2PM2.5[0，75]（75，115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2＝P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82820．已知二次函数f（x）＝2x2﹣3x．（1）若f（x）+t≥0对于∀x∈R恒成立，求t的取值范围；（2）若g（x）＝﹣f（x）+mx，当x∈[1，2]时，若g（x）的最大值为2，求m的值．21．每年暑期都会有大量中学生参加名校游学，夏令营等活动，某中学学生社团将其今年的社会实践主题定为“中学生暑期游学支出分析”，并在该市各个中学随机抽取了共3000名中学生进行问卷调查，根据问卷调查发现共1000名中学生参与了各类游学、夏令营等活动，从中统计得到中学生暑期游学支出（单位：百元）频率分布直方图如图．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）在[45，50），[50，55），[55，60）三组中利用分层抽样抽取10人，并从抽取的10人中随机选出3人，对其消费情况进行进一步分析．（i）求每组恰好各被选出1人的概率；（ii）设ξ为选出的3人中[45，50）这一组的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．22．2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑．某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入．该企业连续6年来的科技投入x（百万元）与收益y（百万元）的数据统计如表：科技投入x24681012收益y 5.6 6.512.027.580.0129.2并根据数据绘制散点图如图所示：根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线y＝c•2bx的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如表：43.5 4.5854.034.712730.470其中z i＝log2y i，．（1）（i）请根据表中数据，建立y关于x的回归方程（保留一位小数）；（ii）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中log25≈2.3）（2）乙认为样本点分布在二次曲线y＝mx2+n的周围，并计算得回归方程为y＝0.92x2﹣12.0，以及该回归模型的相关指数R2＝0.94，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好．附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关指数：．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（2，4）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：集合A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{x|3＜x＜2}＝（0，2）．故选：C．2．函数f（x）＝的定义域为（）A．{x|x≤﹣1或x≥2}B．{x|x＜2}C．R D．{x|x≤﹣1且x≥2}【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．解：要使函数f（x）有意义，则x2﹣x﹣2≥0，解得x≥3或x≤﹣1，故选：A．3．命题“∃x0∈（0，+∞），x02+1≤2x0”的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），x2+1＞2x B．∀x∈（0，+∞），x2+1≤2xC．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1≤2x D．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1＞2x【分析】根据否定：否定量词，否定结论，改写命题．解：否定：否定量词，否定结论，所以把任意改成存在，x02+1≤2x0改为x7+1＞2x，故选：A．4．设x，y满足约束条件则z＝2x﹣3y的最大值为（）A．10B．8C．5D．﹣6【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．解：由约束条件得到平面区域如图：由z＝2x﹣3y得到y＝x﹣，由得到A（，0），2×﹣0＝5；故选：C．5．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为．现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，则该元件用满8000小时不坏的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用条件概率计算公式直接求解．解：某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为．设事件A表示“电子元件用满3000小时不坏”，事件B表示“电子元件用满8000小时不坏”，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，P（B|A）＝＝＝．故选：B．6．已知a＝，b＝log2，c＝，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．解：∵0＜a＝＜20＝1，b＝log8＜log21＝0，∴c＞a＞b．故选：C．7．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊点的位置判断即可．解：函数f（x）＝是偶函数，排除选项B，当x＝时，f（）＝﹣＜0，对应点在第四象限，排除选项C，故选：A．8．若函数f（x）＝为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（0，3]B．（0，3）C．[3，+∞）D．[0，+∞）【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得m的取值范围，即可得答案．解：根据题意，若函数f（x）＝为增函数，必有，解可得0＜m≤3，故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．2x＞1的充分不必要条件是（）A．x＜0B．x＞0C．0＜x＜1D．x＞1【分析】求解指数不等式，再结合充分必要条件的判定得答案．解：2x＞1⇔x＞0．故x＜0是2x＞1的既不充分也不必要条件；x＞3是2x＞1的充分必要条件；故选：CD．10．下列说法正确的有（）A．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P（ξ≤3）＝0.84，则P（ξ≤1）＝0.16B．设随机变量X服从正态分布N（3，7），若P（X＞m+1）＝P（X＞m﹣1），则m ＝3C．设随机变量X～B（6，），则P（X＝3）等于D．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为【分析】ABC选项根据正态分布图象的对称性即正态分布公式得出结果，D根据独立事件的概率公式得出结果．解：A∵变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P（ξ≤3）＝0.84，则P（ξ≤1）＝P（ξ≥3）＝5﹣P（ξ≤3）＝0.16．B∵随机变量X服从正态分布N（3，7），若P（X＞m+1）＝P（X＞m﹣5），所以得m＝3．D恰有两次击中目标的概率为p＝．故C不正确．故选：ABD．11．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin（﹣x）C．y＝log2|x|D．y＝2x﹣2﹣x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x3+3x，有f（﹣x）＝﹣（2x3+4x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝6x2+6，在区间（0，1）上，有y′＝6x2+4＞0，为增函数，符合题意；对于C，y＝log2|x|，有f（﹣x）＝log4|x|＝﹣f（x），y＝log2|x|为偶函数，不符合题意；故选：ABD．12．已知函数，则下列结论中错误的是（）A．f（x）的定义域是[﹣4，2]B．函数y＝f（x﹣1）是偶函数C．f（x）在区间[﹣1，2）上是减函数D．f（x）的图象关于直线x＝1对称【分析】由对数的运算性质及真数大于0，可判断A；由偶函数的定义可判断B；由函数的单调性可判断C；由f（2﹣x）与f（x）的关系可判断D．解：函数f（x）＝（2﹣x）﹣1og7（x+4）＝﹣log2（4﹣x）﹣log2（x+4）＝﹣log2（2﹣x）（2+x），由y＝f（x﹣1）＝﹣log2（8﹣x）（3+x）＝﹣log2（9﹣x2），定义域为（﹣3，3），由x∈[﹣1，2），f（﹣6）＝﹣log29，f（0）＝﹣log28，即f（﹣6）＜f（0），故C错误；故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝，则＝6．【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（）、f（﹣2）的值，相加即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（）＝＝2，则＝2+4＝6故答案为：614．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有54种．【分析】由排列组合及分步原理得：地理学科恰有2人报名的方案有×3×3＝54种选法，得解．解：先在4位同学中选2人选地理学科，共＝6种选法，再将剩下的2人在政治、化学、生物7门活动课任选一门报名，共3×3＝9种选法，故答案为：54．15．已知二项式的各项系数和为243，则n＝5，展开式中常数项为80．【分析】令x＝1，结合各项系数和求出n的值，求出展开式的通项公式，令x的次数为0进行求解即可．解：令x＝1得各项系数和为（1+2）n＝243，即3n＝243，得n＝5，由10﹣＝0得k＝4，故答案为：80．16．已知偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，且满足f（1﹣x）+f（1+x）＝0，给出下列判断：（1）f（5）＝0；（2）f（x）在[1，2]上是减函数；（3）函数y＝f（x）没有最小值；（4）函数f（x）在x＝0处取得最大值；（5）f（x）的图象关于直线x＝1对称．其中正确的序号是①②④．【分析】分别利用函数的奇偶性，单调性和周期性进行推理和判断，由f（1﹣x）+f（1+x）＝0得到f（1+x）＝﹣f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），得到函数的周期为4．f（x+2）＝﹣f （x），解：（1）由f（1﹣x）+f（1+x）＝0设t＝x﹣1．x＝t+6，∴f（t+2）＝﹣f（t），f（t+4）＝f（t）当x＝0时，f（1）+f（2）＝0，因为f（5）＝f（4+1）＝f（1）＝0，所以①正确．（2）因为y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣3，0]上单调递增，周期为4，f（x+2）＝﹣f（x），所以函数在区间[1，2]上单调递减，所以②正确．（4）∵偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣2，0]上单调递增，f（x+2）＝﹣f（x），（5）因为y＝f（x）是偶函数，所以f（2+x）＝﹣f（x），f（3）＝0所以函数关于（1，0）对称．故⑤错误故答案为：①②④四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知（1+mx）7＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10中，且a3＝﹣35．（1）求m的值；（2）求a1+a3+a5+a7的值．【分析】（1）根据二项式定理系数关系进行求解即可．（2）利用赋值法分别令x＝1和x＝﹣1建立方程进行求解即可．解：（1）因为，i＝0，1，2，3 (7)依题意得：，（2），令x＝﹣1得：②即＝﹣64．18．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，（Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可．解：（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）＝1﹣P（B）＝，（Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，，，所以X 的分布列如下：X0120100220 P（x）则数学期望E（X）＝＝140．19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3），得下表：[0，50]（50，150]（150，475] SO2PM2.5[0，35]32184（35，75]6812（75，115]3710（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：[0，150]（150，475]SO2PM2.5[0，75]（75，115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2＝P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828 20．已知二次函数f（x）＝2x2﹣3x．（1）若f（x）+t≥0对于∀x∈R恒成立，求t的取值范围；（2）若g（x）＝﹣f（x）+mx，当x∈[1，2]时，若g（x）的最大值为2，求m的值．【分析】（1）2x2﹣3x+t≥0对于∀x∈R恒成立，进而根据判别式求解；（2）g（x）＝﹣f（x）+mx＝﹣2x2+（3+m）x ，进而分类讨论对称轴与区间端点的关系求解；解：（1）f（x）+t≥0对于∀x∈R恒成立，即2x2﹣3x+t≥0对于∀x ∈R恒成立，∴△＝（﹣6）2﹣8t≤0，解得t≥；当≤1，即m≤1时，g（x）max＝g（1）＝﹣8+3+m＝2，解得m＝1；＝＝2，解得m＝1或m＝﹣7，不符合条件；∴m的值为1．21．每年暑期都会有大量中学生参加名校游学，夏令营等活动，某中学学生社团将其今年的社会实践主题定为“中学生暑期游学支出分析”，并在该市各个中学随机抽取了共3000名中学生进行问卷调查，根据问卷调查发现共1000名中学生参与了各类游学、夏令营等活动，从中统计得到中学生暑期游学支出（单位：百元）频率分布直方图如图．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）在[45，50），[50，55），[55，60）三组中利用分层抽样抽取10人，并从抽取的10人中随机选出3人，对其消费情况进行进一步分析．（i）求每组恰好各被选出1人的概率；（ii）设ξ为选出的3人中[45，50）这一组的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）由频率分布理直方图得（0.024+a+0.04×2+0.03×2）×5＝1，由此能求出a的值．（Ⅱ）（i）按照分层抽样，[45，50），[50，55），[55，60）三组抽取人数分别为4，3，3．由此能求出每组恰好各被选出1人的概率．（ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）由题意，得（0.024+a+0.04×2+0.03×2）×5＝3，解得a＝0.06．（ⅰ）每组恰好各被选出1人的概率为．，，则ξ的分布列为：ξ4123P．22．2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑．某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入．该企业连续6年来的科技投入x（百万元）与收益y（百万元）的数据统计如表：科技投入x24681012收益y 5.6 6.512.027.580.0129.2并根据数据绘制散点图如图所示：根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线y＝c•2bx的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如表：43.5 4.5854.034.712730.470其中z i＝log2y i，．（1）（i）请根据表中数据，建立y关于x的回归方程（保留一位小数）；（ii）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中log25≈2.3）（2）乙认为样本点分布在二次曲线y＝mx2+n的周围，并计算得回归方程为y＝0.92x2﹣12.0，以及该回归模型的相关指数R2＝0.94，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好．附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关指数：．【分析】（1）（i）求出样本中心坐标，利用回归直线方程，求解系数，推出结果即可．（ii）列出不等式转化求解即可．（2）甲建立的回归模型的残差表，然后求解方差，说明结果即可．解：（1）（i），令z＝log2y＝bx+log2c；根据最小二乘估计可知：，（ii）设20.5x+1≥200，解得0.5x+4≥log2200，即x≥4+4log75≈13.2，（4）甲建立的回归模型的残差：即甲建立的回归模型拟合效果更好．。

2022-2023学年福建省福州市四校联考高二(下)期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的元素个数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）欧拉公式e iθ＝cosθ+i sinθ由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e，虚数单位i与三角函数cosθ，sinθ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z=e iπ2，则z的虚部为（）A．i B．1C．22i D．223．（5分）已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圆N：（x+2）2+（y+1）2＝1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为（）A．y＝0B．4x﹣3y＝0C．x-2y+5=0D．x+2y-5=04．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则△PAC的面积为（）A．3B．2C．22D．235．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，且函数f（x）＝x5+a n+1sin x﹣（2a n+3）x+3的导函数有唯一零点，则a9的值为（）A．1021B．1022C．1023D．10246．（5分）△ABC中，sin(π2―B)=cos2A，则AC―BCAB的取值范围是（）A．(-1，12)B．(13，12)C．(12，23)D．(13，23)7．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，x轴上方两点A，B在椭圆上，AF1与BF2平行，AF2交BF1于P．过P且倾斜角为α（α≠0）的直线从上到下依次交椭圆于S，T．若|PS|＝β|PT|，则“α为定值”是“β为定值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不必要也不充分条件8．（5分）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数f（x）＝axe x﹣ln（ax）和g(x)=2ln(x―1)x图象上的动点，若对任意a ＞0，有|PQ |≥m 恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．3B ．322C ．2D ．52二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知向量→a =(1，3)，→b =(2x ，2―x)，其中x ∈R ，下列说法正确的是（）A ．若→a ⊥→b ，则x ＝6B ．若→a 与→b 夹角为锐角，则x ＜6C ．若x ＝1，则→a 在→b 方向上投影向量为→b D ．若|→a |=4（多选）10．（5分）已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），则下列说法正确的是（）A ．若函数f （x ）的图象关于点（1，f （1））中心对称，则a ＝﹣3B ．当c ＝0时，函数f （x ）过原点的切线有且仅有两条C ．函数f （x ）在[﹣1，1]上单调递减的充要条件是2a ﹣b ≥3D ．若实数x 1，x 2是f （x ）的两个不同的极值点，且满足x 1+x 2＝x 1x 2，则a ＞0或a ＜﹣6（多选）11．（5分）已知函数f （x ）＝2sin x +|sin2x |，则（）A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）的图象关于x =π2对称C ．f （x ）在[0，2π]上有四个零点D ．f （x ）的值域为[-2，332]（多选）12．（5分）已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 的直线l 与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，y 1＞2，E 与F 关于原点对称，直线AB 与直线AE 的倾斜角分别是α与β，则（）A ．sin α＞tan βB ．∠AEF ＝∠BEFC ．∠AEB ＜90°D ．α＜2β三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）(2x ―y )5展开式中x 2y 3的系数为　（用数字作答）14．（5分）已知某批零件的质量指标ξ（单位：毫米）服从正态分布N （25.40，σ2），且P （ξ≥25.45）＝0.1，现从该批零件中随机取3件，用X 表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则D （X ）＝　　．15．（5分）已知f （x ）为奇函数，当x ∈（0，1]，f （x ）＝lnx ，且f （x ）关于直线x ＝1对称．设方程f （x ）＝x +1的正数解为x 1，x 2，⋯，x n ，⋯，且任意的n ∈N ，总存在实数M ，使得|x n +1﹣x n |＜M 成立，则实数M 的最小值为．16．（5分）在平面四边形ABCD 中，∠ADB ＝90°，∠ABC ＝90°，BD ＝BC ＝2，沿对角线BD 将△ABD 折起，使平面ADB ⊥平面BDC ，得到三棱锥A ﹣BCD ，则三棱锥A ﹣BCD 外接球表面积的最小值为　．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足S n =(a n +12)2．（1）求a n ；（2）设b n =1(a n +1)(a n +1+1)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，若m ―24＜T n ＜m 5对一切n ∈N *恒成立，求实数m 的取值范围．18．（12分）记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ―B)cosB=sin(A ―C)cosC．（1）求证：B ＝C ；（2）若a sin C ＝2，求1a2+1b 2的最大值．19．（12分）如图4，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的正三角形，侧面ACC 1A 1为等腰梯形，且A 1C 1＝AA 1＝1，D 为A 1C 1的中点．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）记二面角A 1﹣AC ﹣B 的大小为θ，θ∈[π3，2π3]时，求直线AA 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值的取值范围．20．（12分）已知函数f （x ）＝e x +cos x ﹣2，f '（x ）为f （x ）的导数．（1）当x ≥0时，求f '（x ）的最小值；（2）当x ≥-π2时，xe x +x cos x ﹣ax 2﹣2x ≥0恒成立，求a 的取值范围．21．（12分）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2．（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；（3）若P i（i＝0，1，⋯，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0＝0，P6＝1．证明：{P i+1﹣P i}（i＝0，1，2，⋯，5）为等比数列．22．（12分）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y＝x垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线y＝﹣x垂直，B为垂足且位于第二象限．四边形OAMB（O为原点）的面积为2，记动点M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）点E(22，0)，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为k1，k2，k3．若(1k1+1k2)⋅k3=―6，求△PQE周长的取值范围．2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的元素个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：如图，集合A为函数y＝2x图象的点集，集合B为函数y＝x2图象的点集，两函数的图象有三个交点，所以A∩B的元素个数为3个．故选：C．2．（5分）欧拉公式e iθ＝cosθ+i sinθ由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e，虚数单位i与三角函数cosθ，sinθ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z=e iπ2，则z的虚部为（）A．i B．1C．22i D．22【解答】解：z=e iπ2=eπ4i=cosπ4+sinπ4i=22+22i，其虚部为22．故选：D．3．（5分）已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圆N：（x+2）2+（y+1）2＝1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为（）A．y＝0B．4x﹣3y＝0C．x-2y+5=0D．x+2y-5=0【解答】解：如图，圆心M（2，1），N（﹣2，﹣1），半径r1＝r2＝1，两圆相离，有四条公切线．两圆心坐标关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线l：y＝kx，则圆心到直线的距离|2k―1|1+k2=1，解得k＝0或k=43，另两条切线与直线MN平行且相距为1，l MN：y=12 x，设切线l：y=12x+b，则|b|1+14=1，解得b=±52（或通过斜率排除）．所以D项不正确．故选：D．4．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则△PAC的面积为（）A．3B．2C．22D．23【解答】解：如图所示，∵AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，∴△PAB是等腰三角形，由余弦定理可得A B2=AP2+BP2―2AP⋅BP⋅cos120°=12⇒AB=23=2OA，PO=PA2―OA2=1，由圆锥的特征易知PA＝PC、OA＝OC，PO⊥⊙O，取AC中点D，连接PD、OD，显然有OD⊥AC，PD⊥AC，即二面角P﹣AC﹣O为∠PDO＝45°，∴PO=OD=1，PD=2，则AC=2AD=2PA2―PD2=22，∴S△PAC=12AC⋅PD=2．故选：B．5．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，且函数f（x）＝x5+a n+1sin x﹣（2a n+3）x+3的导函数有唯一零点，则a9的值为（）A．1021B．1022C．1023D．1024【解答】解：f′（x）＝5x4+a n+1cos x﹣（2a n+3），易知函数f′（x）为偶函数，又f′（x）有唯一零点，则必有f′（0）＝a n+1﹣（2a n+3）＝0，即a n+1＝2a n+3，则有a n+1+3＝2（a n+3），所以数列{a n+3}是以2为公比的等比数列，又a1＝1，则a n+3=4×2n―1，所以a9=4×28―3=1021．故选：A．6．（5分）△ABC中，sin(π2―B)=cos2A，则AC―BCAB的取值范围是（）A．(-1，12)B．(13，12)C．(12，23)D．(13，23)【解答】解：由题意，sin(π2―B)=cosB=cos2A，在△ABC中，A，B∈（0，π），故2A＝B或2A+B＝2π，当2A+B＝2π时，A+B2=π，故A+B＞π，不合要求，舍去，所以2A＝B，C＝π﹣A﹣B＝π﹣A﹣2A＝π﹣3A，因为A，B∈（0，π），所以2A∈（0，π），即A∈(0，π2 )，因为C＝π﹣3A∈（0，π），所以A∈(0，π3 )，由正弦定理得ACsinB=ABsinC=BCsinA，故AC―BCAB=sinB―sinAsinC=sin2A―sinAsin(π―3A)=2sinAcosA―sinAsin(2A+A)=2sinAcosA―sinAsin2AcosA+cos2AsinA，因为A∈（0，π），所以sin A≠0，故AC―BCAB=2cosA―12cos2A+cos2A=2cosA―14cos2A―1=2cosA―1(2cosA―1)(2cosA+1)，因为A∈(0，π3)，所以2cos A﹣1＞0，故AC―BCAB=12cosA+1，因为A∈(0，π3)，所以cosA∈(12，1)，2cos A∈（1，2），2cos A+1∈（2，3），故AC―BCAB=12cosA+1∈(13，12)．故选：B．7．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，x轴上方两点A，B在椭圆上，AF1与BF2平行，AF2交BF1于P．过P且倾斜角为α（α≠0）的直线从上到下依次交椭圆于S，T．若|PS|＝β|PT|，则“α为定值”是“β为定值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不必要也不充分条件【解答】解：不妨设M（x，y）为椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上的动点，c为椭圆的半焦距，此时F1（﹣c，0），所以|MF1|=(x+c)2+y2=(x+c)2+b2(1―x2 a2)=(x+c)2+b2(1―x2a2)=c2x2a2+2cx+a2=|a+cax|，不妨设直线l：x=-a2 c，则点M到直线l的距离为d=|x+a2c |，所以|MF1|d=ca=e，设直线MF1的倾斜角为γ，过M作l的垂线，垂足为S，此时|MF1||MF1|cosγ+a2c―c=e，所以|MF1|=e×b2c1―ecosγ，不妨设p=b2 c，此时|MF1|=ep1―ecosγ，同理的|MF2|=ep1+ecosγ，设AF1的倾斜角为θ，可得|MF1|=ep1―ecosθ，|MF2|=ep1+ecosθ，因为AF1∥BF2，所以|BF2||AF1|=|F2P||AP|，此时|BF2||AF1|+|BF2|=|F2P||AP|+|F2P|=|F2P||AF2|=|F2P|2a―|AF1|，则|F2P|=|BF2|(2a―|AF1|) |AF1|+|BF2|，同理，|F1P|=|AF1|(2a―|BF2|) |AF1|+|BF2|，所以|F2P|+|F1P|=2a―2|BF2|×|AF1||AF1|+|BF2|=2a―ep，则P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，长半轴长为a-ep2=a2+c22a，短半轴长为(a2+c2)24a2―c2=a2―c22a，则P的轨迹方程为x2(a2+c22a )2+y2(a2―c22a)2=1，其中y＞0，令α=π2，|PS|2|PT|2=(y S―y P)2(y S+y P)2=(y Sy P―1)2(y Sy P+1)2，因为a2≠a4+2a2c2+c44a2，所以|PS|2|PT|2不是定值，即即β不是定值，故“当α取定值，β是定值”不符合条件，又直线ST 的参数方程为{x =x 0+tcosαy =y 0+tsinα，设S （x 0+t 1cos α，y 0+t 1sin α），T （x 0+t 2cos α，y 0+t 2sin α），因为(x 0+tcosα)2a 2+(y 0+tsinα)2b 2=1，整理得(cos 2αa 2+sin 2αb 2)t 2+2(x 0cosαa 2+y 0sinαb 2)t +x 20a2+y 02b 2―1=0，由韦达定理得{t 1+t 2=―2(x 0cosαa 2+y 0sinαb 2)(cos 2αa 2+sin 2αb 2)t 1t 2=x 20a 2+y 02b 2―1(cos 2αa 2+sin 2αb 2)，因为|PS |＝β|PT |，此时{(1―β)t 2=―2(x 0cosαa 2+y 0sinαb 2)(cos 2αa 2+sin 2αb 2)―βt 22=x 20a 2+y 02b 2―1(cos 2αa 2+sin 2αb 2)，整理得(1―β)2―4β=(x 0cosαa 2+y 0sinαb 2)2(cos 2αa 2+sin 2αb 2)(x 20a 2+y 02b 2―1)，若β为定值，则(1―β)2―4β为定值，因为(1―β)2―4β(cos 2αa 2+sin 2αb 2)=(x 0cosαa 2+y 0sinαb 2)2x 20a 2+y 02b 2―1，所以当P （x 0，y 0）变化时，(x 0cosαa 2+y 0sinαb2)2x 20a 2+y 02b 2―1始终为定值，又(x 0cosαa 2+y 0sinαb 2)2(x 20a 2+y 02b 2―1)=x 20cos 2αa 4+2x 0y 0cosαsinαa 2b 2+y 02sin 2αb2x 20a 2+y 02b 2―1=x 20[cos 2αa 4―b 2sin 2α(a 2+c 2)2]+2x 0y 0cosαsinαa 2b 2+b 2sin 2α4a 2x 20[1a 2―b 2(a 2+c 2)2]+b 24a 2―1 则cos 2αa 4―b 2sin 2α(a 2+c 2)21a 2―b 2(a 2+c 2)2=b 2sin 2α4a 2b 24a2―1且cosαsinαa 2b2=0，但α≠0，α∈（0，π），解得α=π2，所以(1―β)2―4β=(y 0b 2)21b 2(x 20a 2+y 02b 2―1)=y 02b 2x 20a 2+y02―1=y 02b 2×(a 2+c 2)24a 2(1―y 02b 24a 2)a 2+y 02―1=y 02b 2×(a 2+c 2)24a 2a 2―1+[1―(a2+c 2)2a 2]y 02，但此时(1―β)2―4β随y 02的变化而变化，不是定值，则“当β取定值，α是定值”是错误的．故选：D ．8．（5分）在同一平面直角坐标系中，P ，Q 分别是函数f （x ）＝axe x ﹣ln （ax ）和g(x)=2ln(x ―1)x图象上的动点，若对任意a ＞0，有|PQ |≥m 恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．3B ．322C ．2D ．52【解答】解：因为点P ，Q 分别是函数f （x ）＝axe x ﹣ln （ax ）和g(x)=2ln(x ―1)x图象上的动点，不妨设P （k ，ake k ﹣ln （ak ）），（a ，k ＞0），Q （t ，2ln(t ―1)t)，（t ＞1），可得|PQ |2＝（t ﹣k ）2+[（ake k ﹣ln （ak ））-2ln(t ―1)t]²≥[t ―2ln(t ―1)t+ake k ―ln(ak)―k ]22，不妨设h （t ）＝t -2ln(t ―1)t ，函数定义域为（1，+∞），可得h'(t)=1-2[t t ―1―ln(t ―1)]t 2=t 2―2t t ―1+2ln(t ―1)t 2，不妨设u （t ）＝t ²-2t t ―1+2ln （t ﹣1），函数定义域为（1，+∞），可得u'(t)=2t -―2(t ―1)2+2t ―1=2t(t 2―2t +2)(t ―1)2＞0，所以函数u （t ）在定义域上单调递增，因为u （2）＝0，所以函数h （t ）在t ＝2时取得极小值即最小值，此时h （2）＝2，不妨设v （k ）＝ake k ﹣ln （ak ）﹣k ，函数定义域为（0，+∞），可得v'(k)=a(k +1)e k ―1k ―1=(k +1)(a e k ―1k)，易知函数y =ae k―1k在区间（0，+∞）上单调递增，所以存在 k 0＞0，使得ae k 0―1k 0=0，即e k 0=1ak 0，解得k 0＝﹣ln （ak 0），所以函数v （k ）在k ＝k 0 时取得极小值即最小值，此时v （k 0）＝1+k 0﹣k 0＝1，则|PQ|2≥(2+1)22=92，解得|PQ|≥322，因为对任意a ＞0，都有|PQ |≥m 恒成立，所以m≤322，即m 的最大值为322．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知向量→a =(1，3)，→b =(2x ，2―x)，其中x ∈R ，下列说法正确的是（）A ．若→a ⊥→b ，则x ＝6B ．若→a 与→b 夹角为锐角，则x ＜6C ．若x ＝1，则→a 在→b 方向上投影向量为→b D ．若|→a |=4【解答】解：→a =(1，3)，→b =(2x ，2―x)，若→a ⊥→b ，则→a ⋅→b =2x +3(2―x)=0，解得x ＝6，故A 正确；若→a 与→b 夹角为锐角，则→a ⋅→b =2x +3(2―x)＞0，解得x ＜6，又当x =27，→b =(47，127)，此时→a =74→b ，→a 与→b 夹角为0，故x 的取值范围为（﹣∞，27）∪(27，+∞)，故B 错误；若x ＝1，则→b =(2，1)，因为→a 在→b 方向上投影为→a ⋅→b |→b |=2+35=5，与→b 同向的单位向量为→b|→b |=(255，55)，所以→a 在→b 方向上投影向量为5→b |→b |=(2，1)=→b ，C 正确；∵→a =(1，3)，∴|→a |=12+32=10，故D 错误．故选：AC ．（多选）10．（5分）已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），则下列说法正确的是（）A ．若函数f （x ）的图象关于点（1，f （1））中心对称，则a ＝﹣3B ．当c ＝0时，函数f （x ）过原点的切线有且仅有两条C ．函数f （x ）在[﹣1，1]上单调递减的充要条件是2a ﹣b ≥3D ．若实数x 1，x 2是f （x ）的两个不同的极值点，且满足x 1+x 2＝x 1x 2，则a ＞0或a ＜﹣6【解答】解：A ．函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，f ″（x ）＝6x +2a ，令f ″（x ）＝6x +2a ＝0，解得x =-a3，∵函数f （x ）的图象关于点（1，f （1））中心对称，∴-a3=1，解得a ＝﹣3，因此A 正确．B ．c ＝0时，原点（0，0）在函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx 的图象上，因此过原点有一条切线；若切点不是原点时，设切点为P （x 0，f （x 0））（x 0≠0），则切线方程为y ﹣（x 30+a x 20+bx 0）＝（3x 20+2ax 0+b ）（x ﹣x 0），把（0，0）代入可得：x 0=-a2，若a ＝0，则函数f （x ）过原点的切线有且仅有一条；若a ≠0，则函数f （x ）过原点的切线有两条．因此B 不正确．C ．函数f （x ）在[﹣1，1]上单调递减⇔f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ＝3(x+a3)2+b -a 23=g （x ）≤0（不恒等于0）在[﹣1，1]上恒成立，其对称轴为x =-a3．分类讨论：{-a 3≥1g(―1)=3―2a +b ≤0或{-a 3≤―1g(1)=3+2a +b ≤0或{-1＜-a3＜1g(―1)=3―2a +b ≤0g(1)=3+2a +b ≤0⇔2a ﹣b ≥3，因此C 正确．D ．f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，由实数x 1，x 2是f （x ）的两个不同的极值点，则Δ＝4a 2﹣12b ＞0，即a 2﹣3b＞0，∴x1+x2=-2a3，x1x2=b3，∵x1+x2＝x1x2，∴-2a3=b3，化为b＝﹣2a，代入a2﹣3b＞0，可得a2+6a＞0，解得a＞0或a＜﹣6，因此D正确．故选：ACD．（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2sin x+|sin2x|，则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的图象关于x=π2对称C．f（x）在[0，2π]上有四个零点D．f（x）的值域为[-2，33 2]【解答】解：对于A，函数y＝2sin x的最小正周期为2π，函数y＝|sin2x|的最小正周期为π2，所以函数f（x）＝2sin x+|sin2x|的最小正周期为2π，选项A正确；对于B，f（﹣x+π）＝2sin（﹣x+π）+|sin2（﹣x+π）|＝2sin x+|sin（﹣2x）|＝2sin x+|sin2x|＝f（x），所以f（x）的图象关于直线x=π2对称，选项B正确；对于C，当0≤x≤π2时，f（x）＝2sin x+sin2x＝2sin x+2sin x cos x＝2sin x（1+cos x），易知此时f（x）有唯一零点x＝0；当π2＜x≤π时，f（x）＝2sin x﹣sin2x＝2sin x﹣2sin x cos x＝2sin x（1﹣cos x），易知此时f（x）有唯一零点x＝π；当π＜x≤3π2时，f（x）＝2sin x+sin2x＝2sin x+2sin x cos x＝2sin x（1+cos x），易知此时f（x）无零点；当3π2＜x≤2π时，f（x）＝2sin x﹣sin2x＝2sin x﹣2sin x cos x＝2sin x（1﹣cos x），易知此时f（x）有唯一零点x＝2π，所以f（x）在[0，2π]上有三个零点，选项C错误；对于D，当x=3π2时，y＝2sin x取得最小值﹣2，此时y＝|sin2x|恰好取得最小值0，故f（x）的最小值为﹣2；由选项C的分析可知，当x∈（π，2π]时，f（x）＜0，当x∈[0，π]时，f（x）＞0，而f（x）关于直线x=π2对称，故可考虑0≤x ≤π2时，f （x ）＝2sin x +sin2x 的取值情况，f ′（x ）＝2cos x +2cos2x ＝2（2cos 2x ﹣1）+2cos x ＝4cos 2x +2cos x ﹣2，令f ′（x ）＝0，解得cos x ＝﹣1（舍）或cosx =12，则x =π3，易知当0＜x ＜π3时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，当π3＜x ＜π2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以此时，f(x )max =f(π3)=2sin π3+sin 2π3=3+32=332，综上，函数f （x ）的值域为[-2，332]．故选：ABD ．（多选）12．（5分）已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 的直线l 与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，y 1＞2，E 与F 关于原点对称，直线AB 与直线AE 的倾斜角分别是α与β，则（）A ．sin α＞tan βB ．∠AEF ＝∠BEFC ．∠AEB ＜90°D ．α＜2β【解答】解：作AD ⊥x 轴于D ，作BC ⊥x 轴于C ，所以D （x 1，0），C （x 2，0），抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0），因为y 1＞2，所以x 1＞1，即α＜90°，所以直线l 的斜率存在设为k ，可得直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），与抛物线方程联立{y =k(x -1)y 2=4x ，整理得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0，所以x 1+x 2=2k 2+4k2，x 1x 2＝1，y 21=4x 1，对于A ，sin α=|AD||AF|=y 1x 1+1，tan β=|AD||ED|=y 1x 1+1，所以sin α＝tan β，故A 错误；对于B ，因为k AE =y 1x 1+1，k BE =y 2x 2+1，所以k AE +k BE =y 1x 1+1+y 2x 2+1=k(x 2―1)(x 1+1)+k(x 1―1)(x 2+1)(x 2+1)(x 1+1)=k ×2x1x2―x1+x2+x1―x2―2(x2+1)(x1+1)=0，所以直线AE与BE的倾斜角互补，即∠AEF＝∠BEF，故B正确；对于C，因为x1＞1，所以tanβ=|AD||ED|=y1x1+1=2x1x1+1＜2x12x1=1，即∠AED＜45°，因为∠AEF＝∠BEF，所以∠AEB＜90°，故C正确；对于D，因为∠AEB＜90°，所以0°＜2β＜90°，tanα=|AD||FD|=y1x1―1，tanβ=|AD||ED|=y1x1+1，所以tan2β=2tanβ1―tan2β=2y1x1+11―(y1x1+1)2=2y1(x1+1)(x1―1)2，所以tanα﹣tan2β=y1x1+1―2y1(x1+1)(x1―1)2=y1x1―y1―2y1x1―2y1(x1―1)2=―y1x1―3y1(x1―1)2＜0，所以tanα＜tan2β，即α＜2β，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）(2x―y)5展开式中x2y3的系数为　﹣20　（用数字作答）【解答】解：(2x―y)5的展开式的通项为T r+1=C r5(2x)5―r⋅(―y)r=C r5(2)5―r⋅(―1)r⋅x5―r y r，取r＝3得到T4=C35(2)2⋅(―1)3⋅x2y3=―20x2y3．故答案为：﹣20．14．（5分）已知某批零件的质量指标ξ（单位：毫米）服从正态分布N（25.40，σ2），且P（ξ≥25.45）＝0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则D（X）＝　0.48　．【解答】解：由正态分布的对称性可知，P（25.35＜ξ＜25.45）＝1﹣2P（ξ≥25.45）＝1﹣0.2＝0.8，故1件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的概率P＝0.2，则X～B（3，0.2），故D（X）＝3×0.2×（1﹣0.2）＝0.48．故答案为：0.48．15．（5分）已知f（x）为奇函数，当x∈（0，1]，f（x）＝lnx，且f（x）关于直线x＝1对称．设方程f （x）＝x+1的正数解为x1，x2，⋯，x n，⋯，且任意的n∈N，总存在实数M，使得|x n+1﹣x n|＜M成立，则实数M的最小值为　2　．【解答】解：因为f（x）为奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x），且f（0）＝0，又f （x ）关于直线x ＝1对称，所以f （1+x ）＝f （1﹣x ），所以f （2+x ）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ），则f （4+x ）＝﹣f （2+x ）＝f （x ），所以函数f （x ）是以4为周期的周期函数，作出函数y ＝f （x ）和y ＝x +1的图像如图所示：由f （x ）＝x +1的正数解依次为x 1，x 2，⋯，x n ，⋯，则lim n→∞(x n +1―x n )的几何意义为函数f （x ）两条渐近线之间的距离为2，所以lim n→∞(x n +1―x n )=2．所以得任意的n ∈N ，|x n +1﹣x n |＜2，已知任意的n ∈N ，总存在实数M ，使得|x n +1﹣x n |＜M 成立，可得M ≥2，即M 的最小值为2．故答案为：2．16．（5分）在平面四边形ABCD 中，∠ADB ＝90°，∠ABC ＝90°，BD ＝BC ＝2，沿对角线BD 将△ABD 折起，使平面ADB ⊥平面BDC ，得到三棱锥A ﹣BCD ，则三棱锥A ﹣BCD 外接球表面积的最小值为 (25+2)π　．【解答】解：在平面四边形中，设∠CBD ＝θ（0＜θ＜π2），∠ABD=π2―θ，在Rt △ADB 中，可得∠BAD ＝θ，AD =2tanθ．在△BCD 中，CD ＝2BC sin θ2=4sin θ2．设△BCD 外接圆圆心为M ，外接圆半径为r ，由正弦定理可得2r =CD sinθ=4sinθ22sin θ2cosθ2=2cos θ2，即r =1cos θ2．设三棱锥A ﹣BCD 外接球球心为O ，则OM ⊥平面BCD ．又∵平面ADB ⊥平面BDC ，平面ADB ∩平面BDC ＝BD ，∠ADB ＝90°，∴AD ⊥平面BDC ，则AD ∥OM ，得四边形OMDA 为直角梯形．设外接球的半径为R ，在平面四边形OMDA 中，过O 作OE ⊥AD 于E ，在△AOD 中，AO ＝DO ＝R ，E 为AD 的中点，OM ＝DE =12AD =1tanθ，由DO 2＝DE 2+OE 2，得R 2＝DE 2+r 2=1tan 2θ+1cos 2θ2，∴R 2=cos 2θsin 2θ+21+cosθ=cos 2θ+2―2cosθ1―cos 2θ=-1+3―2cosθ1―cos 2θ．令3﹣2cos θ＝t ，1＜t ＜3，则cos θ=3―t2，∴R2=―1+4t―t 2―5+6t =-1+4―(t +5t)+6，∵t +5t≥25，当且仅当t =5t，即t =5时（满足1＜t ＜3）等号成立．∴R 2=―1+4―(t +5t)+6≥5+12．∴外接球表面积的最小值为4πR 2=4π×5+12=(25+2)π．故答案为：(25+2)π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足S n =(a n +12)2．（1）求a n ；（2）设b n =1(a n +1)(a n +1+1)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，若m ―24＜T n ＜m 5对一切n ∈N *恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）当n ＝1时，a 1=S 1=(a 1+12)2，∴a 1＝1，当n ≥2时，a n =S n ―S n―1=(a n +12)2―(a n―1+12)2=a 2n ―a 2n―1+2(a n ―a n―1)4，即a 2n ―a 2n―1―2(a n +a n―1)=0，∴（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0，由已知，数列{a n }各项均为正数得a n ﹣a n ﹣1＝2，∴{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n＝2n﹣1；（2）由（1）知，a n＝2n﹣1，则b n=1(a n+1)(a n+1+1)=12n(2n+2)=14(1n―1n+1)，∴T n=14(1―12+12―13+...+1n―1n+1)=14(1―1n+1)=n4(n+1)，∴T n+1―T n=n+14(n+2)―n4(n+1)=14(n+1)(n+2)＞0，∴{T n}单调递增，∴T n≥T1=1 8，∵T n=n4(n+1)＜14，∴18≤T n＜14，要使m―24＜T n＜m5恒成立，只需{14≤m5m―24＜18，解得54≤m＜52．所以实数m的取值范围是[54，52)．18．（12分）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A―B)cosB=sin(A―C)cosC．（1）求证：B＝C；（2）若a sin C＝2，求1a2+1b2的最大值．【解答】解：（1）证明：由于sin(A―B)cosB=sin(A―C)cosC，所以sinAcosB―cosAsinBcosB=sinAcosC―cosAsinCcosC，整理的cos A（sin B cos C﹣cos B sin C）＝0，即cos A sin（B﹣C）＝0，因为A为锐角，所以cos A＞0，故sin（B﹣C）＝0，由B，C为锐角可得B＝C；（2）由（1）得b＝c，因为a sin C＝2，且由正弦定理得a sin C＝c sin A＝b sin A＝a sin B＝2，所以a=2sinB，b=2sinA，则1a2+1b2=14(sin2A+sin2B)=14[sin2B+sin2(B+C)]=14[sin2B+sin22B]=14(1―cos2B2+sin22B)=―14cos22B―18cos2B+38(∗)，因为{0＜B ＜π20＜π―2B ＜π2，所以π4＜B ＜π2，则π2＜2B ＜π，所以﹣1＜cos2B ＜0，根据二次函数的性质可知，当cos2B =-14时，（*）取得最大值2564．19．（12分）如图4，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的正三角形，侧面ACC 1A 1为等腰梯形，且A 1C 1＝AA 1＝1，D 为A 1C 1的中点．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）记二面角A 1﹣AC ﹣B 的大小为θ，θ∈[π3，2π3]时，求直线AA 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值的取值范围．【解答】（1）证明：如图，作AC 的中点M ，连接DM ，BM ，在等腰梯形ACC 1A 1中，D ，M 为A 1C 1，AC 的中点，∴AC ⊥DM ，在正△ABC 中，M 为AC 的中点，∴AC ⊥BM ，∵AC ⊥DM ，AC ⊥BM ，DM ∩BM ＝M ，DM ，BM ⊂平面BDM ，∴AC ⊥平面BDM ，又BD ⊂平面BDM ，∴AC ⊥BD ．（2）解：∵AC ⊥平面BDM ，在平面BDM 内作Mz ⊥BM ，以M 为坐标原点，以→MA ，→MB ，→Mz ，分别为x ，y ，z ，轴正向，如图建立空间直角坐标系，∵DM ⊥AC ，BM ⊥AC ，∴∠DMB 为二面角A 1﹣AC ﹣B 的平面角，即∠DMB ＝θ，A （1，0，0），B(0，3，0)，C （﹣1，0，0），D(0，32cosθ，32sinθ)，C 1(―12，32cosθ，32sinθ)，A 1(12，32cosθ，32sinθ)，设平面BB 1C 1C 的法向量为→n =(x ，y ，z)，→CB =(1，3，0)，→C C 1=(12，32cosθ，32sinθ)，则有，{→n ⋅→CB =0→n ⋅→CC 1=0，即{x +3y =012x +32ycosθ+32zsinθ=0，可得令y =3，x ＝﹣3，z =3(1―cosθ)sinθ，即→n =（﹣3，3，3(1―cosθ)sinθ），又→A A 1=(―12，32cosθ，32sinθ)，∴sin α=|cos ＜→AA 1，→n ＞|=34+1―2cosθ+cos2θsin 2θ=33+21+cosθ，∵θ∈[π3，2π3]，∴cos θ∈[―12，12]，∴sin α∈[217，31313]．20．（12分）已知函数f （x ）＝e x +cos x ﹣2，f '（x ）为f （x ）的导数．（1）当x ≥0时，求f '（x ）的最小值；（2）当x ≥-π2时，xe x +x cos x ﹣ax 2﹣2x ≥0恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）f '（x ）＝e x ﹣sin x ，令g （x ）＝e x ﹣sin x ，x ≥0，则g '（x ）＝e x ﹣cos x ．当x ∈[0，π）时，g '（x ）为增函数，g '（x ）≥g '（0）＝0；当x ∈[π，+∞）时，g '（x ）≥e π﹣1＞0．故x ≥0时，g '（x ）≥0，g （x ）为增函数，故g （x ）min ＝g （0）＝1，即f '（x ）的最小值为1．（2）令h （x ）＝e x +cos x ﹣2﹣ax ，h '（x ）＝e x ﹣sin x ﹣a ，则x≥-π2时，x •h （x ）≥0恒成立．当a ≤1时，若x ≥0，则由（1）可知，h '（x ）≥1﹣a ≥0，所以h （x ）为增函数，故h （x ）≥h （0）＝0恒成立，即x •h （x ）≥0恒成立；若x ∈[―π2，0]，则h ''（x ）＝e x ﹣cos x ，h '''（x ）＝e x +sin x在[―π2，0]上为增函数，又h'''（0）＝1，h″'(―π2)=e―π2―1＜0，故存在唯一x0∈(―π2，0)，使得h'''（x0）＝0．当x∈(―π2，x0)时，h'''（x）＜0，h''（x）为减函数；x∈（x0，0）时，h'''（x）≥0，h''（x）为增函数．又h″(―π2)=e―π2＞0，h''（0）＝0，故存在唯一x1∈(―π2，0)使得h''（x1）＝0．故x∈(―π2，x1)时，h''（x1）＞0，h'（x）为增函数；x∈（x1，0）时，h''（x1）＜0，h'（x）为减函数．又h'(―π2)=eπ2+1―a＞0，h'（0）＝1﹣a≥0，所以x∈[―π2，0]时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，故h（x）≤h（0）＝0，即x•h（x）≥0恒成立；当a＞1时，由（1）可知h'（x）＝e x﹣sin x﹣a在[0，+∞）上为增函数，且h'（0）＝1﹣a＜0，h'（1+a）≥e1+a﹣1﹣a＞0，故存在唯一x2∈（0，+∞），使得h'（x2）＝0．则当x∈（0，x2）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，所以h（x）＜h（0）＝0，此时x•h（x）＜0，与x•h（x）≥0恒成立矛盾．综上所述，a≤1．21．（12分）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2．（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；（3）若P i（i＝0，1，⋯，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0＝0，P6＝1．证明：{P i+1﹣P i}（i＝0，1，2，⋯，5）为等比数列．【解答】解：（1）X的所有可能取值为2，3，4，P（X＝2）＝0.2，P（X＝3）＝0.5，P（X＝4）＝0.3，则X的分布列为：X234P0.20.50.3E（X）＝2×0.2+3×0.5+4×0.3＝3.1．（2）当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2胜1和，其概率为：C23⋅0．32⋅0.5⋅0.3=0.0405．当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙2胜1和，其概率为：C23⋅0．22⋅0.5⋅0.2=0.012，所以四局比赛后，比赛结束的概率为0.0405+0.012＝0.0525．（3）因为P i（i＝0，1，2，3，4，5，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，P0＝0，在甲所得筹码为1枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为0.3P2，在甲所得筹码为1枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为0.5P1，在甲所得筹码为1枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为0.2P0，根据全概率公式得P1＝0.3P2+0.5P1+0.2P0，所以P1＝0.3P2+0.5P1+0.2P0，变形得0.3（P2﹣P1）＝0.2（P1﹣P0），因为P1﹣P0＞0，所以P2―P1P1―P0=23，同理可得P3―P2P2―P1=P4―P3P3―P2=P5―P4P4―P3=P6―P5P5―P4=23，所以{P i+1﹣P i}（i＝0，1，2，⋯，5）为等比数列．22．（12分）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y＝x垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线y＝﹣x垂直，B为垂足且位于第二象限．四边形OAMB（O为原点）的面积为2，记动点M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）点E(22，0)，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为k1，k2，k3．若(1k1+1k2)⋅k3=―6，求△PQE周长的取值范围．【解答】解：（1）因为直线x﹣y＝0、x+y＝0相互垂直，所以四边形OAMB为矩形，设M（x，y），且{x-y＜0x+y＜0，可得x＜0，则点M到直线x﹣y＝0、x+y＝0的距离分别为2|x―y|2、2|x+y|2，可得2|x―y|2×2|x+y|2=2，整理得x2﹣y2＝4（x＜0），所以C 的方程为x 2﹣y 2＝4（x ＜0）．（2）设直线PQ ：y ＝kx +m ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立方程{y =kx +mx 2―y 2=4，消去y 得（1﹣k 2）x 2﹣2kmx ﹣（m 2+4）＝0，由题意可得：{1-k 2≠0Δ=4k 2m 2+4(1―k 2)(m 2+4)=4(m 2―4k 2+4)＞0x 1+x 2=2km1―k2＜0x 1x 2=―m 2+41―k 2＞0，①因为(1k 1+1k 2)⋅k 3=―6，则(x 1―22y 1+x 2―22y 2)⋅k =(x 1―22kx 1+m +x 2―22kx 2+m)⋅k =―6，整理得8k 2x 1x 2+(7km ―22k 2)(x 1+x 2)+6m 2―42km =0，即-8k 2(m 2+4)1―k 2+2km(7km ―22k 2)1―k 2+6m 2―42km =0，整理得3m 2―22km ―16k 2=0，解得m =-423k 或m =22k ，若m=-423k ，则直线PQ ：y =kx -423k =k(x ―423)，过定点F(423，0)，此时①式为{1-k 2≠0Δ=169(9―k 2)＞0x 1+x 2=―82k 23(1―k 2)＜0x 1x 2=―m 2+41―k 2＞0，无解，不符合题意；当m=22k 时，则直线PQ ：y =kx +22k =k(x +22)，过定点F(-22，0)，此时①式为{1-k 2≠0Δ=16(k 2+1)＞0x 1+x 2=42k 21―k 2＜0x 1x 2=―8k 2+41―k 2＞0，解得k 2＞1，即k ＞1或k ＜﹣1，则|PQ|=1+k 2(42k 21―k 2)2+4(8k 2+4)1―k 2=4(k 2+1)k 2―1=4(1+2k 2―1)，因为k 2＞1，则k 2﹣1＞0，可得1k2―1＞0，所以|PQ|=4(1+2k2―1)＞4，又因为E，F为双曲线x2﹣y2＝4的左、右焦点，则|PE|﹣|PF|＝4，|QE|﹣|QF|＝4，即|PE|＝|PF|+4，|QE|＝|QF|+4，可得△PQE周长为|PE|+|QE|+|PQ|＝|PF|+4+|QF|+4+|PQ|＝2|PQ|+8＞16，所以△PQE周长的取值范围（16，+∞）．。

福建省福州市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析

福建省福州市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数()xe f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2．已知4cos()cos sin()sin 5αββαββ+++=，α是第四象限角，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．7-B ．17-C ．17D ．73．已知,若.则实数的值为( )A ．-2B ．2C ．0D ．14．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．25．若()()20nax a +≠的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a 的取值范围为（） A ．()[],02,3-∞UB ．()11,0,32⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦UC ．[]2,3D ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．从图示中的长方形区域内任取一点M ，则点M 取自图中阴影部分的概率为( )A ．34B ．33C ．13D ．257．设函数()44xf x =-，则函数4x f ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域为（）A ．(,1]-∞B ．(,4]-∞C ．01]（，D ．04]（， 8．水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面的容器中，则此容器里水的高度h 与时间t 的函数关系图象是（）A ．B ．C ．D ．9．设函数0.5()2log xf x x =-，满足()()()0(0)f a f b f c a b c <<<<，若函数()f x 存在零点0x ，则下列一定错误的是( ) A ．()0,x a c ∈B ．()0,x a b ∈C ．()0,x b c ∈D ．()0,x a ∈+∞10．已知集合{|2}M x x =>，集合{|13}N x x =<≤，则M N =I （） A ．(2,3]B ．(1,2)C ．(1,3]D ．[2,3]11．5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是（） A ．45C B ．45AC ．45D ．5412．已知直线00x x at y y bt ，=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）上两点,A B 对应的参数值分别是12,t t ，则||=AB （）A ．12t t +B ．12t t -C ．2212a b t t +⋅-D ．1222t t a b-+二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且1CD =，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面α，若四面体ABCD 绕AB 所在直线旋转.且始终在平面α的上方，则它在平面α内影子面积的最小值为________.14．设定义在R 上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(－x －2)＋f(x)＝0；③当x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x ＋1).则f(20185)＋lg14＝________. 15．在区间[35，-]上随机取一个实数x ，则事件“11()42x ≤≤”发生的概率为____．16．选修4-5：不等式选讲设函数()222f x x x =+--，（Ⅰ）求不等式()2f x >的解集；（Ⅱ）若x R ∀∈，()272f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．设函数()sin cos ,[0,]2=--∈f x x a x x x π．(1)当1a =时，求函数()f x 的值域； (2)若()0f x ≤，求实数a 的取值范围．18．2017年5月14日，第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行，为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为9:11．（1）根据已知条件完成上面的22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为关注“一带一路”是否和年龄段有关？（2）现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查．在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“一带一路”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附:参考公式()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：19．（6分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A 箱内有一个“1”号球，两个“2”号球，三个“3”号球、四个无号球，B 箱内有五个“1”号球，五个“2”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满100元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B 箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元，“2”号球奖20元，“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．（1）经统计，顾客消费额X 服从正态分布()150,625N ，某天有1000位顾客，请估计消费额X （单位：元）在区间(]100,150内并中奖的人数.（结果四舍五入取整数）附：若()~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=. （2）某三位顾客各有一次A 箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列. （3）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A 箱内摸奖机会；方法二：一次B 箱内摸奖机会.请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.20．（6分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日销量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元千克）满足关系式()21074a y x x =+--，其中47x <<，a 为常数，已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品110千克. （1）求a 的值：（2）若该商品的成本为4元千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 21．（6分）（1）求关于x 的不等式125x x ++-<的解集；（2）若关于x 的不等式221x x m --≥在x ∈R 时恒成立，求实数m 的取值范围．22．（8分）已知n的展开式中，前三项系数成等差数列. （1）求含2x 项的系数；（2）将二项式n的展开式中所项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】【分析】由()()1221f x f x x x <变形可得()()1122x fx x f x <,可知函数()()g x xf x =在(0,)x ∈+∞为增函数, 由()20x g x e ax '=-≥恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】(0,),x ∈+∞Q()()1122x f x x f x ∴<,即函数2()()x g x xf x e ax ==-在(0,)x ∈+∞时是单调增函数.则()20xg x e ax '=-≥恒成立.2xe a x∴≤.令()x e m x x =,则2(1)()xx e m x x-'= (0,1)x ∈时,()0,()m x m x '<单调递减,(1,)x ∈+∞时()0,()m x m x '>单调递增.min 2()(1),2ea m x m e a ∴≤==∴≤故选:D. 【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难. 2．A 【解析】【分析】通过和差公式变形，然后可直接得到答案. 【详解】根据题意()()4cos cos sin sin cos 5αββαββα+++==，α是第四象限角，故 3tan 4α=-，而tan 1tan()741tan πααα--==-+，故答案为A. 【点睛】本题主要考查和差公式的运用，难度不大. 3．C 【解析】【分析】由函数，将x ＝1，代入，构造关于a 的方程，解得答案．【详解】 ∵函数，∴f （﹣1）＝，∴f[f （﹣1）]1，解得：a ＝0，故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题． 4．B 【解析】【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ，可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1，故选：B ．【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力． 5．C 【解析】【分析】计算9n =，计算()55469C 2T ax =，()44559C 2T ax =，()66379C 2T ax =，根据系数的大小关系得到5454549954563699C 2C 2C 2C 2a a a a ⎧≥⎨≥⎩，解得答案. 【详解】2512n =，9n =，()55469C 2T ax =，()44559C 2T ax =，()66379C 2T ax =，Q 第6项的系数最大，5454549954563699C 2C 2,C 2C 2,a a a a ⎧≥∴⎨≥⎩，则23a ≤≤. 故选：C . 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 6．C 【解析】【分析】先利用定积分公式计算出阴影部分区域的面积，并计算出长方形区域的面积，然后利用几何概型的概率计算公式可得出答案．【详解】图中阴影部分的面积为1231003|1x dx x ==⎰，长方形区域的面积为1×3＝3，因此，点M 取自图中阴影部分的概率为13．故选C ．【点睛】本题考查定积分的几何意义，关键是找出被积函数与被积区间，属于基础题． 7．B 【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得f （x ）的定义域，再由4x在f （x ）的定义域内求解x 的范围得答案．【详解】由2﹣2x ≥0，可得x≤1．由14x≤，得x≤2． ∴函数f （4x）的定义域为（﹣∞，2]．故选：B ．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题． 8．C 【解析】分析：根据容器的特征，结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化的快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．结合函数图像分析判别可得结论.详解：A 、B 选项中：函数图象是单调递增的，与与题干不符，故排除；C 、当注水开始时，函数图象往下凸，可得出下方圆台容器下粗上细，符合题意．；D 、当注水时间从0到t 时，函数图象往上凸，可得出下方圆台容器下细上粗，与题干不符，故排除．故选C .点睛：本题考查了数形结合思想，对于此题没有必要求容器中水面的高度h 和时间t 之间的函数解析式，因此可结合几何体和图象作定性分析，即充分利用数形结合思想． 9．C 【解析】分析：先根据()()()0f a f b f c <确定()()()f a f b f c ，，符号取法，再根据零点存在定理确定0x 与a b c ，，可能关系.详解：()0.52log xf x x =-单调递增，因为()()()0f a f b f c <，所以()()()000f a f b f c ，，<<<或()()()000f a f b f c >，，,根据零点存在定理得()0,x a c ∈或()0,x a b ∈或()0,x a ∈+∞,()0,x b c 因此选C.点睛：确定零点往往需将零点存在定理与函数单调性结合起来应用，一个说明至少有一个，一个说明至多有一个，两者结合就能确定零点的个数. 10．A 【解析】【分析】直接求交集得到答案. 【详解】集合{|2}M x x =>，集合{|13}N x x =<≤，则(2,3]M N =I . 故选：A . 【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题. 11．D 【解析】【分析】根据乘法原理得到答案. 【详解】5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是5444444⨯⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了乘法原理，属于简单题. 12．C【解析】试题分析：依题意，{{x xx x atty y bty y==+⇒==+=+，由直线参数方程几何意义得1212AB m m t=-=-，选C．考点：直线参数方程几何意义二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．6【解析】【分析】在四面体中找出与AB垂直的面，在旋转的过程中CD在面α内的射影始终与AB垂直求解.【详解】ABD∆和ABC∆都是等边三角形，取AB中点M，易证MD AB⊥，MC AB⊥，即AB⊥平面CDM，所以AB CD⊥.设CD在平面α内的投影为C D''，则在四面体ABCD绕着AB旋转时，恒有C D AB''⊥.因为AB∥平面α，所以AB在平面α内的投影为2A B AB''==.因此，四面体ABCD在平面α内的投影四边形A B C D''''的面积12S A B C D C D''''''=⋅=要使射影面积最小，即需C D''最短；在DMC∆中，MC MD==1CD=，且DC边上的高为2MN=，利用等面积法求得，边MC上的高DH=，且DH MN<，所以旋转时，射影C D''的长的最小值是C D''=.所以min6S=本题考查空间立体几何体的投影问题，属于难度题.14．1.【解析】分析：由①②知函数f(x)是周期为2的奇函数，由此即可求出答案.详解：由①②知函数f(x)是周期为2的奇函数，于是f()＝f＝f＝－f，又当x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)，∴f()＝－f＝－lg＝lg，故f()＋lg14＝lg＋lg14＝lg10＝1.故答案为：1.点睛：本题考查函数周期性的使用，函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．15．1 4【解析】【详解】由1142x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，得﹣2≤x≤0，由此利用几何概型概率计算公式能求出事件“1142x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭”发生的概率．∵1142x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，∴﹣2≤x≤0，∵在区间[﹣3，5]上随机取一个实数x，∴由几何概型概率计算公式得：事件“1142x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭”发生的概率为p=0+25+3=14．故答案为：14．【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．16．（1）263x x x⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）322t≤≤.【解析】试题分析：（I ）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为263x x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（II ）由（I ）值，函数()f x 的最小值为()13f -=-，即2732t t -≥-，由此解得322t ≤≤. 试题解析：（I ）()4,1{3,124,2x x f x x x x x --<-=-≤<+≥，当1x <-，42x -->，6x <-，6x ∴<- 当12x -≤<，32x >，23x >，223x ∴<<当2x ≥，42x +>，2x >-，2x ∴≥ 综上所述263x xx ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或. （II ）易得()()min 13f x f =-=-，若x R ∀∈，()2112f x t t ≥-恒成立，则只需()22min 7332760222f x t t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤，综上所述322t ≤≤. 考点：不等式选讲．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17． (1)1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π；(2),2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】(1) 当1a =时，()sin cos f x x x x =--，求导()104f x x ⎛⎫'=+-≥ ⎪⎝⎭π，可知函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即可求出()f x 的值域；(2)根据已知可得sin cos a x x x ≥-，对x 分类讨论：当0x =时，不等式恒成立；当02x π<≤时，cos sin x xa x -≥，令cos ()sin -=x x h x x ，只需max ()a h x ≥即可，求导可得2sin 1cos ()sin x x x h x x +-'=，令()sin 1cos =+-g x x x x ，则()sin 0g x x x '=>，即可得()0h x '>，从而可得()22h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ππ，从而可得2a π≥．【详解】(1)当1a =时，()sin cos f x x x x =--，所以()1cos sin 104f x x x x ⎛⎫'=-+=+-≥ ⎪⎝⎭π 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，最小值为(0)1f =-，最大值为122⎛⎫=- ⎪⎝⎭f ππ，所以()f x 的值域为1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π． (2)由()0f x ≤，得sin cos a x x x ≥-， ①当0x =时，不等式恒成立，此时a R ∈； ②当02x π<≤时，cos sin x xa x -≥，令cos ()sin -=x x h x x，则22(1sin )sin (cos )cos sin 1cos ()sin sin '+--+-==x x x x x x x xh x x x，令()sin 1cos =+-g x x x x ，则()sin 0g x x x '=>，所以()g x 在[0,]2π上单调递增，所以()(0)1g x g >=，所以()0h x '>，所以()h x 在[0,]2π上单调递增，所以()22h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ππ，所以2a π≥ 综上可得实数a 的取值范围,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，同时考查恒成立及分类讨论的思想，属于中档题． 18． (1) 有99%的把握认为关注“一带一路” 和年龄段有关(2) () 1.E X = 【解析】试题分析：(1)依题意完成22⨯列联表，计算2K ，对照临界值得出结论；(2)根据分层抽样法，得出随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出X 的分布列，计算出数学期望值. 试题解析：(1)依题意可知,抽取的“青少年”共有91004520⨯=人,“中老年”共有1004555-=人. 完成的2×2列联表如：则()()()()()()22210030352015=9.091d 55505545n ad bc K a b c d a c b ⨯⨯-⨯-=≈++++⨯⨯⨯因为2( 6.635)0.01P K >=，9.091 6.635>，所以有99%的把握认为关注“一带一路” 和年龄段有关 (2)根据题意知,选出关注的人数为3,不关注的人数为6,在这9人中再选取3人进行面对面询问,X 的取值可以为0,1,2,3,则()363920508421C P X C ====,()326639451518428C C P X C ====,()21363918328414C C P X C ====,()33391384C P X C ===.所以X 的分布列为数学期望()0123 1.8484848484E X =⨯+⨯+⨯+⨯== 19． (1) 中奖的人数约为286人. (2)分布列见解析.(3) 这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大. 【解析】分析：（1）依题意得150μ=，2625σ=，得25σ=，消费额X 在区间(]100,150内的顾客有一次A 箱内摸奖机会，中奖率为0.6，人数约()10002P X μσμ⨯-<≤，可得其中中奖的人数；（2）三位顾客每人一次A 箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数服ξ从二项分布()3,0.6B ，()330.60.4kk k P k C ξ-==，()0,1,2,3k =，从而可得分布列；（3）利用数学期望的计算公式算出两种方法所得奖金的期望值即可得出结论. 详解：（1）依题意得150μ=，2625σ=，得25σ=，消费额X 在区间(]100,150内的顾客有一次A 箱内摸奖机会，中奖率为0.6 人数约()0.95451000210004772P X μσμ⨯-<≤=⨯≈人其中中奖的人数约为4770.6286⨯=人（2）三位顾客每人一次A 箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数服ξ从二项分布()3,0.6B ，()330.60.4kkkP k C ξ-==，()0,1,2,3k =故的分布列为（3）A 箱摸一次所得奖金的期望为500.1200.250.310.5⨯+⨯+⨯=B 箱摸一次所得奖金的期望为500.5200.535⨯+⨯=方法一所得奖金的期望值为310.531.5⨯=，方法二所得奖金的期望值为35，所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率； ③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度． 20． (1) 200a = (2) 当5x =元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润240P = 【解析】【分析】（1）销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品110千克代入函数解得200a =. （2）求出利润的表达式，求导，根据单调性计算函数的最值. 【详解】解：（1）当6x =元/千克时，101102ay =+=解得200a = （2）设商场每日销售该商品的利润为P ，则()()()242001047P x y x x =-=+--，47x <<因为()()()21047104P x x x ''=--++()()()273057x x x '⎡⎤-=--⎣⎦当()4,5x ∈时，0P '>，P 单调递增，当()5,7x ∈时，0P '<，P 单调递减所以当5x =元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润240P =【点睛】本题考查了函数的应用，求函数的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21．（1）{|23}x x -<<；（2）2m ≤- 【解析】分析：（1）分类讨论，转化为三个不等式组，即可求解不等式的解集；（2）由题意，令2()|21|f x x x =--，则不等式恒成立，即为min ()m f x ≤，分类讨论即可求解实数m 的取值范围．详解：（1）原不等式化为： ①1125x x x <-⎧⎨---+<⎩ 或②12125x x x -≤≤⎧⎨+-+<⎩或 ③2125x x x >⎧⎨++-<⎩．解得21x -<<-或12x -≤≤或23x <<． ∴ 原不等式的解集为{|23}x x -<<（2）令()221f x x x =--，则只须()min m f x ≤即可．①当12x ≥时，()()222110f x x x x =-+=-≥（1x =时取等）； ②当12x <时，()()2221122f x x x x =+-=+-≥-（1x =-时取等）．∴ 2m ≤-．点睛：本题主要考查了绝对值不等式的求解及其应用，其中合理分类讨论，转化为等价不等式组进行求解是解答绝对值问题的关键，着重考查了推理与运算能力． 22．（1）7；（2）512. 【解析】【分析】（1）利用二项式定理求出前三项的系数的表达式，利用这三个系数成等差数列并结合组合数公式求出n 的值，再利用二项式展开式通项可求出2x 项的系数；（2）利用二项展开式通项求出展开式中有理项的项数为3，总共是9项，利用排列思想得出公共有99A 种排法，然后利用插空法求出有理项不相邻的排法种数，最后利用古典概型概率公式可计算出所求事件的概率．【详解】（1）∵前三项系数1、112n C 、214n C 成等差数列． 12112C 1C 24nn ∴⋅=+，即2980n n -+=．∴8n =或1n = (舍去）∴展开式中通项公式28431812r rr rr rr nT C C x--+⎛⎫== ⎪⎝⎭T，0.1r=，，1．令2423r-=，得3r=，∴含x2项的系数为338172C⎛⎫=⎪⎝⎭；（2）当243r-为整数时，0,3,6r=．∴展开式共有9项，共有99A种排法．其中有理项有3项，有理项互不相邻有6367A A种排法，∴有理项互不相邻的概率为636799512A APA==【点睛】本题考查二项式定理指定项的系数，考查排列组合以及古典概型的概率计算，在处理排列组合的问题中，要根据问题类型选择合适的方法求解，同时注意合理使用分类计数原理和分步计数原理，考查逻辑推理与计算能力，属于中等题．。

福建省2019-2020学年高二下学期6月联考数学试题+Word版含答案byde

2020年福建省高二年级6月联考数学注意事项：1.本试延卷共8页，满分150分，考试对间120分钟，2.答题前，考生务必自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置3.全部答在答题卡上完成，答在本试题卷上无效4.回答选择题时，选出每小題答案后，用2B 船笔把答題卡上对应题日的答标号涂黑，如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答标号5.考试结来后，将本试题卷和答题卡一并交回一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，其中1～8题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的;11～12题为多选题，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。

1.若复数z 满足71zi i=- (i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C ，第三象限 D.第四象限2.已知X 服从三项分布:X ~1(4,)4B ,则()3P x ==( )A.164B.364C.1256D. 3256 3.设离散型随机变量X 的分布列为:则q =（）A ．12B.1-C.D.1±4.曲线ln 2y x x =-在点(12)，-处的切线方程为（）A.10x y ++=B.10x y +-=C.30x y --=D.30x y -+= 5.函数()13ln 1x x xf =++的单调道减区间是( ) A.1(,)3-∞ B. 1(0,)3 C.1(,)3+∞ D. 11(,)326.将6张不同的贺卡分给4名同学、每名同学至少1张，则不同的分法有（）A.384种B.960种C.1 560种D.1 620种7．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，先后出现点数分别为x y ，，记事件A 为4x y +>.事件B 为x y ≠，则概率(B |A)P =( )A.215 B.45 C.1315 D.568.函数()||3||21x x f x =--的大致象为（）水地9．的展开式中含的项的系数为（）A.192B.576C.600D.79210.已知函数()1(1),g()2ln f x x x x x =+>-=，若s t <，且(s)g(t)f =，则s t -的最大值为（）A.ln21-B.223ln -C.212nD.1- 11．下列结论正确的有（）A.公共汽年上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有510种。

2019-2020学年福州市名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2019-2020学年福州市名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设地球的半径为R ，在纬度为α的纬线圈上有A,B 两地，若这两地的纬线圈上的弧长为cos R πα，则A,B 两地之间的球面距离为（） A ．R π B ．sin R παC ．R αD ．()2R πα-【答案】D 【解析】【分析】根据纬线圈上的弧长为cos R πα求出A,B 两地间的径度差，即可得出答案。

【详解】设球心为O ，纬度为α的纬线圈的圆心为O´，则∠O´AO=α,∴O´A=OAcos ∠O´AO=Rcos α,设A,B 两地间的径度差的弧度数为θ，则θRcos α=cos R πα,∴θ=π,即A,B 两地是⊙O´的一条直径的两端点，∴∠AOB=2πα-,∴A,B 两地之间的球面距离为()2R πα-．答案：D ．【点睛】本题涉及到了地理相关的经纬度概念。

学生需理解其基本概念，将题干所述信息转换为数学相关知识求解。

2．对于两个平面,αβ和两条直线,m n ，下列命题中真命题是（） A ．若,m m n α⊥⊥，则//n α B ．若//,m ααβ⊥，则m β⊥C ．若//,//,m n αβαβ⊥，则m n ⊥D ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据线面平行垂直的位置关系判断．【详解】A 中n 可能在α内，A 错；B 中m 也可能在β内，B 错；m 与n 可能平行，C 错；,ααβ⊥⊥m ，则m β⊂或//m β，若m β⊂，则由n β⊥得n m ⊥，若//m β，则β内有直线//c m ，而易知c n ⊥，从而m n ⊥，D 正确．故选D ．【点睛】本题考查线面平行与垂直的关系，在说明一个命题是错误时可举一反例．说明命题是正确时必须证明．3．二项式62x ⎫⎪⎭展开式中常数项等于（） A ．60 B ．﹣60C ．15D ．﹣15【答案】A 【解析】【分析】化简二项式展开式的通项公式，由此计算0x 的系数，从而得出正确选项. 【详解】()6366216622rr rrrr r T CC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当3602r -=时，即4r =，故常数项为()2456260T C =-=，选A. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题. 4．下列关于残差图的描述错误的是（） A ．残差图的横坐标可以是编号B ．残差图的横坐标可以是解释变量和预报变量C ．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D ．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小【答案】C【解析】分析：根据残差图的定义和图象即可得到结论．详解：A 残差图的横坐标可以是编号、解释变量和预报变量，故AB 正确；可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．则对应相关指数越大，故选项D 正确，C 错误. 故选：C ．点睛：本题主要考查残差图的理解，比较基础．5．设定点(0,1)F ，动圆D 过点F 且与直线1y =-相切.则动圆圆心D 的轨迹方程为（） A ．24x y = B ．22x y =C ．24y x =D ．22y x =【答案】A 【解析】【分析】由题意，动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，求得p ，即可得到答案．【详解】由题意知，动圆圆心到定点(0,1)F 与到定直线1y =-的距离相等，所以动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，则方程为24x y = 故选A 【点睛】本题考查抛物线的定义，属于简单题．6．已知某同学在高二期末考试中，A 和B 两道选择题同时答对的概率为23，在A 题答对的情况下，B 题也答对的概率为89，则A 题答对的概率为( ) A ．1 4B ．3 4C ．1 2D ．79【答案】B 【解析】分析：根据条件概率公式计算即可.详解：设事件A ：答对A 题，事件B ：答对B 题，则()()()23P AB P A P B =⋅=， ()()()8|9P AB P B A P A ∴==. ()34P A ∴=. 故选：B.点睛：本题考查了条件概率的计算，属于基础题. 7．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 图象，则函数的解析式是（） A ．()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度，可得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=-=-.故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型. 8．设4log 9a =，4log 25b =，5log 9c =，则( ) A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】D 【解析】【分析】依换底公式可得454995log log log =，从而得出54log 9log 9<，而根据对数函数的单调性即可得出44log 9log 25<，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】由于454995log log log =，44log 9log 51>>∴444995log log log <； 54log 9log 9∴<，又44log 9log 25<，b a c ∴>>．故选D ．【点睛】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小以及换底公式的应用．9．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，底面边长为2，侧棱长为3，点D 是侧面11BB C C 的两条对角线的交点，则直线AD 与底面ABC 所成角的正切值为（）A ．12B ．22C 3D ．1【答案】C 【解析】【分析】通过作DH 垂直BC ，可知DAH ∠为直线AD 与底面ABC 所成角，于是可求得答案. 【详解】如图，过D作DH垂直BC于点H，连接DH，AH，于是DH垂直平面ABC，故DAH∠为直线AD与底面ABC所成角，而3 = 2DH，=3AH,故3an2t DAH∠=，故选C.【点睛】本题主要考查线面角的相关计算，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度一般. 10．由曲线2y x，3y x=围成的封闭图形的面积为（）A．13B．14C．112D．712【答案】C【解析】围成的封闭图形的面积为134231111()()343412x xx x dx-=-=-=⎰，选C. 11．设集合{|12}A x x=-<，[]{|2,0,2}xB y y x==∈，则A B= A．[]0,2B．()1,3C．[)1,3D．()1,4【答案】C【解析】由12x-<，得：1x3,-<<∴()A1,3=-；∵[]0,2x∈，∴[]21,4xy=∈∴A B⋂=[)1,3故选C12．曲线的参数方程为2232{(05)1x tty t=+≤≤=-，则曲线是（）A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线【答案】A【解析】由21t y=+代入232x t=+消去参数t 得3(1)2350x y x y=++--=即又05277,124t x y ≤≤∴≤≤-≤≤所以表示线段。

2019-2020学年福建省福州市数学高二下期末质量检测试题含解析

2019-2020学年福建省福州市数学高二(下)期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若集合()()(){}10x f x x π=∈，中含有4个元素，则实数ω的取值范围是 A ．7562⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．31926⎛⎤⎥⎝⎦，C ．72526⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．19962⎛⎤⎥⎝⎦， 2． “杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（） 2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯3．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则mn mk n k n k CC --==∑（）A ．2m n+B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C4．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100B ．-100C ．-110D ．1105．设有下面四个命题1:p 若1x >，则0.30.3x >；2:p 若()~4,0.3X B ，则()0.84D X =； 3:p 若ln 1x x +>，则1x >；4:p 若()2~3,X N σ，则()()25P X P X <>>.其中真命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（） A ．12p p B ．1221(1)(1)p p p p -+- C ．121p p -D ．121(1)(1)p p ---8．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）附表：20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828则下列选项正确的是（）A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 9．已知ξ服从正态分布()21,N σ，a∈R，则“P（ξ＞a ）=0.5”是“关于x 的二项式321()ax x +的展开式的常数项为3”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分又不必要条件 D ．充要条件10．函数21()log f x x x=-的一个零点落在下列哪个区间（） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）11．设非零向量a r ，b r ，c r 满足a b c ==r r r ，a b c +=r r r ，则a r 与b r的夹角θ为（）A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒12．已知,αβ为两个不同平面，l 为直线且l β⊥，则“αβ⊥”是“//l α”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．方程241414x x C C -=的解为__________．14．在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若()()22132xx x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充要条件；⑥复数12120z z z z >⇔->；⑦复数z 满足22z z =；⑧复数z 为实数z z ⇔=.其中正确命题的是______.（填序号）15．已知,a b ∈R ，且()22120a a i a bi +++++=，则a bi +=____．16．观察下面一组等式：11S =，22349S =++=， 33456725S =++++=， 44567891049S =++++++=，......根据上面等式猜测()()2143n S n an b -=-+，则22a b += __________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆22221:C x y a b +=+为椭圆C 的“伴随圆”.已知点()2,1A 是椭圆22:4G x y m +=上的点（1）若过点()0,10P 的直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求l 被椭圆G 的伴随圆1G 所截得的弦长：（2）,B C 是椭圆G 上的两点，设12,k k 是直线,AB AC 的斜率，且满足1241k k ⋅=-，试问：直线,B C 是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由。

2019-2020学年福建省福州市数学高二第二学期期末质量检测试题含解析

2019-2020学年福建省福州市数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知i 是虚数单位，21iz =+，则复数z 的共轭复数为（） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+2．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4c =，则ABC V 面积的最大值为（）A ．B ．C ．D 3．已知函数2y x =的图象在点200(,)x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，(0,1)x ∈的图象相切，则0x 必满足（） A ．0102x <<B ．0112x <<C ．02x <<D 0x <<4．在一次试验中，测得()x y ，的四组值分别是A （1,2），B （3,4），C （5,6）D （7,8），则y 与x 之间的回归直线方程为（） A ．1y x =+$B ．$2y x =+C ．$21y x =+D ．ˆ1yx =- 5．甲、乙两名游客来龙岩旅游，计划分别从“古田会址”、“冠豸山”、“龙崆洞”、“永福樱花园”四个旅游景点中任意选取3个景点参观游览，则两人选取的景点中有且仅有两个景点相同的概率为（） A ．34B ．38C ．58D ．3166．复数1i1i-=+z ，则z ＝（）A ．0B ．12C ．1 D7．直线0x y m -+=与圆()2212x y -+=有两个不同交点的充要条件是（） A ．31m -<< B ．42m -<< C ．01m <<D ．1m <8．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（）A ．-2B ．-1C ．0D ．19．已知函数()23x f x e mx =-+的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线13y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是A．3+2⎛⎫∞⎪⎝⎭，B．3,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦C．2,3⎛⎫-∞⎪⎝⎭D．2,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦10．已知函数()1lnaf x xx=-+，若存在x>，使得()00f x≤有解，则实数a的取值范围是（）A．3a<B．1a≤C．2a>D．3a≥11．已知高为3的正三棱柱ABC-A1B1C1的每个顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为21π，则此正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为()A．2732B．272C．2734D．1812．已知函数()()sin0,2f x xπωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为6π，且其图象向右平移23π个单位后得到函数()sing x xω=的图象，则ϕ=（）A．6πB．3πC．29πD．49π二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．关于旋转体的体积，有如下的古尔丁（guldin）定理：“平面上一区域D绕区域外一直线（区域D的每个点在直线的同侧，含直线上）旋转一周所得的旋转体的体积，等于D的面积与D的几何中心（也称为重心）所经过的路程的乘积”．利用这一定理，可求得半圆盘221x yx⎧+≤⎨≤⎩，绕直线x23π=旋转一周所形成的空间图形的体积为_____．14．二项式63ax⎛⎝⎭的展开式中5x32ax dx=⎰________.15．若角α满足sin2cos0αα+=，则tan2α＝_____；16．将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则不同的名额分配方法共有______种.(用数字作答)三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知集合121284xA x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，21log,,328B y y x x⎧⎫⎡⎤==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭.（1）若{}122C x m x m=+<≤-，()C A B⊆⋂，求实数m的取值范围；（2）若{}61D x x m=>+，且()A B D=∅U I，求实数m的取值范围.18．已知函数2()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极大值． 19．（6分）已知函数/(x ()()2ln 1f x a x a R x =+∈+. （1）当1a =时，求()f x 在[)1,x ∈+∞最小值；（2）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）求证：()()*1111ln 135721n n N n +>++++∈+L . 20．（6分）在ABC ∆中，已知3sin cos 1A A -=,cos 45B =,AB 43=+. (1)求内角A 的大小; (2)求边BC 的长.21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆，椭圆，为椭圆右顶点．过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，其中．设直线的斜率分别为．（1）求的值；（2）记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线必过点．22．（8分）某单位为了了解用电量y (度)与气温()xC o之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程^^^y b x a =+，其中ˆ2b=-.现预测当气温为－4C o 时，用电量的度数约为多少？参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】【分析】先由复数的除法，化简z ，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】因为22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-，所以1z i =+. 故选A 【点睛】本题主要考查复数的运算，以共轭复数的概念，熟记运算法则与概念即可，属于基础题型. 2．B 【解析】【分析】本题考察的是解三角形公式的运用，可以化简()()3a b c a b c ab +-++=得出角C 的大小以及ab 的最大值，然后得出结果．【详解】()()3a b c a b c ab +-++=()223a b c ab +-=222a b c ab +-=2221cos 22a b c c ab +-==，C=60︒222a b ab c +-=22c ab ab ≥-，解得16ab ≤所以1sin 2ABC S ab C =≤n 【点睛】在解三角形过程中，要对一些特定的式子有着熟练度，比如说222a b c +-、ab 等等，根据这些式子就要联系到我们的解三角形的公式当中去． 3．D 【解析】【分析】【详解】函数2y x =的导数为2y'x =，图像在点200(,)x x 处的切线的斜率为02k x =，切线方程为20002()y x x x x -=-，即2002y x x x =-，设切线与ln y x =相切的切点为(,ln )m m ，01m <<，由ln y x =的导数为1'y x =，切线方程为1ln ()y m x m m -=-，即11ln y x m m=-+，∴012x m =，201ln x m =-．由01m <<，可得012x >，且201x >，解得01x >，消去m ，可得200ln(2)10x x --=，令2()ln(2)1,1f x x x x =-->，1'()20f x x x=->，()f x 在()1,+∞上单调递增，且2ln 10f =-<，3ln 10f =->，所以有200ln(2)10x x --=的根0x ∈，故选D.4．A 【解析】分析：根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．详解：∵135744x +++==，246854y +++==∴这组数据的样本中心点是（4，5）把样本中心点代入四个选项中，只有y=x+1成立，故选A ．点睛：本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法．【分析】先求出两人从四个旅游景点中任意选取3个景点的所有选法，再求出两人选取的景点中有且仅有两个景点相同的选法，然后可求出对应概率. 【详解】甲、乙两人从四个旅游景点中任意选取3个景点参观游览，总共有3344C C 16=种选法，两人选取的景点中有且仅有两个景点相同，总共有2242C A 12=,则两人选取的景点中有且仅有两个景点相同的概率为123164P ==. 故选A. 【点睛】本题考查了概率的求法，考查了排列组合等知识，考查了计算能力，属于中档题. 6．C 【解析】【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，再由复数模的计算公式，即可求出结果. 【详解】因为21i (1i)21i (1i)(1i)2---====-++-iz i ，所以1z =. 故选C 【点睛】本题主要考查复数的除法，以及复数的模，熟记公式即可，属于基础题型. 7．A 【解析】【分析】由已知条件计算圆心到直线的距离和半径进行比较，即可求出结果【详解】圆()2212x y -+=，圆心10（，）到直线0x y m -+=，<31m ∴-<<，本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意将其转化为圆心到直线的距离，然后和半径进行比较，较为基础． 8．B 【解析】【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题. 9．A 【解析】【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为23x e m -=-有解，即可得到结论. 【详解】由题意，函数()f x 的导数()2xf x e m '=-，若曲线C 存在与直线13y x =垂直的切线，则切线的斜率为2x k e m =-，满足1(2)13xe m -=-，即23x e m -=-有解，因为23x m e =+有解，又因为33x e +>，即32m >，所以实数m 的取值范围是3(,)2+∞，故选A. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及方程的有解问题，其中解答中把曲线C 存在与直线13y x=垂直的切线，转化为23x e m -=-有解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 10．B 【解析】先将()00f x ≤化为000ln a x x x ≤-,再令()ln g x x x x =-,则问题转化为:max ()a g x ≤,然后通过导数求得()g x 的最大值代入可得. 【详解】若存在00x >，使得()00f x ≤有解,即存在00x >,使得000ln a x x x ≤-, 令()ln g x x x x =-,则问题转化为:max ()a g x ≤, 因为()1(1ln )ln g x x x '=-+=-,当01x << 时,()0g x '> ;当1x > 时,()0g x '< , 所以函数()g x 在(0,1) 上递增,在(1,)+∞ 上递减, 所以max ()(1)1g x g == , 所以1a ≤. 故选B . 【点睛】本题考查了不等式能成立问题,属中档题. 11．C 【解析】【分析】根据体积算出球O 的半径r,再由几何关系求出地面三角形的边长，最后求出其体积即可。

福州市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

福州市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．函数()cos x f x e x =⋅在()()0,0f 处切线斜率为（）A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】分析：首先求得函数()f x 的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可.详解：由函数的解析式可得：()()()'cos sin cos sin x x x f x e x e x e x x =+⨯-=-，则()()()0'0cos0sin01101f e =-=⨯-=，即函数()x f x e cosx =⋅在()()0,0f 处切线斜率为1. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．等差数列{}n a 中，2583a a a ++=，n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则9S =( )A ．9B ．18C ．27D ．54 【答案】A【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质求得a 5，再由考查等差数列的前n 项和公式求S 2．【详解】在等差数列{a n }中，由a 2+a 5+a 8＝3，得3a 5＝3，即a 5＝2．∴S 2()19559299922a a a a +⨯⨯====．故选：A ．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，是基础题．3．某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查;第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号,从001到200,抽取学号最后一位为2的同学进行调查,则这两种抽样的方法依次为( )A ．分层抽样,简单随机抽样B ．简单随机抽样, 分层抽样C ．分层抽样,系统抽样D ．简单随机抽样,系统抽样【解析】第一种抽样是简单随机抽样，简单随机抽样是指从样本中随机抽取一个，其特点是容量不要太多．第二种是系统抽样，系统抽样就是指像机器一样的抽取物品，每隔一段时间或距离抽取一个．而分层抽样，必需是有明显的分段性，然后按等比例进行抽取．故选D4．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅u u u v u u u v 的取值范围为（）A ．[3-+∞）B ．[3++∞）C ．[74-,+∞）D ．[74,+∞）【答案】B【解析】【分析】【详解】由题意可得2,1c b ==,,故a =设(,)P m n ,则221,3m n m -=≥. 222224(,)(2,)2212133m OP FP m n m n m m n m m m m ⋅=⋅+=++=++-=+-u u u r u u u r 关于 34m =-对称,故OP FP ⋅u u u r u u u r 在)+∞上是增函数,当m =时有最小值为3+无最大值,故OP FP ⋅u u u r u u u r的取值范围为[3)++∞,故选B.5．若0n >，则9n n +的最小值为（） A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【解析】【分析】利用均值不等式求解即可．【详解】∵96n n+≥=（当且仅当n ＝3时等号成立）故选：C ．本题主要考查了均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．6．从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】此题考查的是排列组合思路：先从五双鞋中选出一双，有种。

2019-2020学年福建省福州市新高考高二数学下学期期末质量检测试题

同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．随机变量X 的分布列为X1 2 3 4P0.20.30.4a则(20.2)E X +=（） A ．4.8B ．5C ．6D ．8.42．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x +=-，当20x -≤<时，()()10xf x a a =-> ，且()28f =-，则()2019f =（） A ．2B ．1C ．2-D ．1-3．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%4．复数21i+的虚部是（） A ．1B ．﹣iC ．iD ．﹣15．从a 、b 、c 中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为（） A ．3B ．4C ．5D ．66．已知全集U ＝Z ，，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于（）A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}7．已知函数21()ln(||1)(1)f x x x -=+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的解集为（）A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞⋃+∞C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 8．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于4”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则()P B A 的值等于（） A ．13B ．118C ．16D ．199．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A ．152B ．126C ．90D ．5410．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1)b c a b sinA ==-,则A= A ．34π B ．3π C ．4π D ．6π 11．独立性检验显示：在犯错误的概率不超过0. 1的前提下认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是（）A ．在100个男性中约有90人喜爱喝酒B ．若某人喜爱喝酒，那么此人为女性的可能性为10%C ．认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至少为10%D ．认为性別与是否喜爱喝酒有关判断正确的可能性至少为90%12．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A ．24 B ．48 C ．60D ．72二、填空题：本题共4小题13．设函数()y f x =图象在0x =处的切线方程是10x y -+=，则函数()xy f x e =+的图象在0x =处的切线方程是__________．14．地球的半径为R ，在北纬45︒东经30有一座城市A ，在北纬45︒东经120︒有一座城市B ，飞机从城市A 上空飞到城市B 上空的最短距离______．15．已知函数 2(),()4x f x e x g x x bx =-=-+,若对任意1(1,1)x ∈-,存在2(3,4)x ∈,12()()f x g x ≥，则实数b 的取值范围为_____.16．某学校拟从2名男教师和1名女教师中随机选派2名教师去参加一个教师培训活动，则2名男教师去参加培训的概率是_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年福建省福州市数学高二(下)期末综合测试试题含解析

2020年福建省福州市数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列求导计算正确的是（） A ．2ln ln 1()'x x x x -= B ．22log (log )'e x x = C ．1(2)'2ln 2x x = D ．(sin )'cos x x x =【答案】B 【解析】【分析】根据函数求导法则得到相应的结果. 【详解】 A 选项应为21ln xx-， C 选项应为2ln 2x ， D 选项应为sin cos x x x +. 故选B ．【点睛】这个题目考查了函数的求导运算，牢记公式，准确计算是解题的关键，属于基础题. 2．函数()262xf x x x e =-+的极值点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,0-C ．()1,2D ．()2,1--【答案】A 【解析】【分析】求出导函数()262xf x x e =-+'，然后运用函数零点存在性定理进行验证可得所求区间．【详解】∵()262xf x x x e =-+，∴()262xf x x e =-+'，且函数()f x '单调递增．又()()006240,1420f e f e ''=-+=-=-+，∴函数()f x '在区间()0,1内存在唯一的零点，即函数()f x 的极值点在区间()0,1内．故选A ．【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用，解答本题时要弄清函数的极值点即为导函数的零点，同时还应注意只有在导函数零点左右两侧的函数值变号时，该零点才为极值点，否则导函数的零点就不是极值点． 3．若集合{}2|10A x ax ax =-+<=∅,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．{}|04a a << B ．{|04}a a ≤< C ．{|04}a a <≤ D ．{|04}a a ≤≤【答案】D 【解析】【分析】本题需要考虑两种情况，00a a =≠，，通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数a 的取值范围。

2019-2020学年福州市名校数学高二下期末学业水平测试试题含解析

2019-2020学年福州市名校数学高二(下)期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．()481214y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中22x y 的系数是（） A ．58 B ．62 C ．52 D ．422．已定义在R 上的函数()f x 无极值点，且对任意x ∈R 都有()()32ff x x -=，若函数()()g x f x kx =-在[]1,2-上与()f x 具有相同的单调性，则实数k 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．(],12-∞C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞3．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．圆2cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭的圆心为( ) A ．1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．71,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知函数f （x ）＝（3x ﹣2）e x +mx ﹣m （m ≥﹣1），若有且仅有两个整数使得f （x ）≤0，则实数m 的取值范围是（）A ．（5e ，2] B ．[52-e ，283-e） C ．[12-，283-e）D ．[﹣1，52-e）6．已知函数()22log ,02()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x a =有4个不同的实数根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则434123x x x x x x ++的取值范围是（） A ．(8,9)B ．(7,8)C ．(6,9)D ．(8,12)7．从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件A ：取到两数之和为偶数，事件B ：取到两数均为偶数，则()|P B A =（） A ．15B ．14C ．13D ．128．在()52x x y +的展开式中33x y 的系数是（）A ．40B ．80C ．20D ．109．若()2,1,3a x =-r ，()1,2,9b y =r ，如果a r 与b r为共线向量，则（）A ．1x =，1y =B ．16x =-，32y =C ．1x =-，1y =D ．1x =-，1y =-10．设集合{2,1,0,1,2}A =--,{1,0,1}B =-,22(,)1,,43x y C x y x A y B ⎧⎫⎪⎪=+≤∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则集合C 中元素的个数为( ) A ．11 B ．9C ．6D ．411．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．12．10名学生在一次数学考试中的成绩分别为如1x ，2x ，3x ，…，10x ，要研究这10名学生成绩的平均波动情况，则最能说明问题的是（） A ．频率B ．平均数C ．独立性检验D ．方差二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．下表为生产A 产品过程中产量x （吨）与相应的生产耗能y （吨）的几组相对应数据：x3 4 5 6y2 3.55 5.5根据上表提供的数据，得到y 关于x 的线性回归方程为$0.7y x a =+，则a =__________．14．设F 为抛物线28y x =的焦点，A B 、为抛物线上两点，若2AF FB =u u u r u u u r,则2FA FB +=u u u v u u u v____________．15．已知圆C ：2212x y +=的两焦点为1F ，2F ，点()00,P x y 满足2200012x y <+<，则12PF PF +的取值范围为______.16．对于任意的实数,m n ,记min{,}m n 为,m n 中的最小值.设函数21()4f x x a x=++，()ln g x x =-，函数()min{(),()}h x f x g x =,若()h x 在(0,)+∞恰有一个零点,则实数a 的取值范围是 ____________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()2()2xx af x a R =-∈，将()y f x =的图象向右平移两个单位长度，得到函数()yg x =的图象．（1）求函数()y g x =的解析式；（2）若方程()f x a =在[0,1]上有且仅有一个实根，求a 的取值范围；（3）若函数()y h x =与()y g x =的图象关于直线1y =对称，设()()()F x f x h x =+，已知()23F x a >+对任意的(1,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．18．已知点(2,1)M 在椭圆C:22221(0)x y a b a b+=＞＞上，A ，B 是长轴的两个端点，且3MA MB ⋅=-u u u v u u u v ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线CD 的斜率为2，以E(1，0)为圆心的圆与直线CD 相切，且切点为线段CD 的中点，求该圆的方程.19．（6分）2019年6月湖北潜江将举办第六届“中国湖北（潜江）龙虾节”，为了解不同年龄的人对“中国湖北（潜江）龙虾节”的关注程度，某机构随机抽取了年龄在20—70岁之间的100人进行调查，经统计“年轻人”与“中老年人”的人数之比为2:3。

福州市名校2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题含解析

福州市名校2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设0x >，由不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x +≥，…，类比推广到1n ax n x+≥+，则a =( ) A ．2n B ．2nC ．2nD ．n n【答案】D 【解析】由已知中不等式：2322331422732,3,4,...x x x x x x x x x x+≥+=+≥+=+≥归纳可得：不等式左边第一项为x ，第二项为n n nx，右边为1n + ，故第n 个不等式为：1nn n x n x +≥+ ，故n a n = ，故选D.【方法点睛】本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.2．已知函数()f x 与()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且2()()xf xg x x e +=+，则(1)(1)f g -+的值为（） A ．1e e- B ．1e +C ．1e e+ D ．1e -【答案】C 【解析】【分析】根据条件可得2()()x f x g x x e --+=+，与2()()xf xg x x e +=+联立便可解出()f x 和()g x ，从而得到(1)(1)f g -+的值。

【详解】Q 2()()x f x g x x e +=+①；∴22()()()x x f x g x x e x e ---+-=-+=+；又Q 函数()f x 与()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数；∴()()f x f x -=-，()()g x g x -=；∴2()()x f x g x x e --+=+②；联立①②22()()()()x x f x g x x e f x g x x e -⎧+=+⎨-+=+⎩ ，解得2()2()2x xx xe ef x e eg x x --⎧-=⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩所以1(1)(1)=e f g e+-+；故答案选C 【点睛】本题考查奇函数、偶函数的定义，解题的关键是通过建立关于()f x 与()g x 的方程组求出()f x 和()g x 的解析式，属于中档题。

福州市名校2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题含解析

选择题
我国社会主义民主政治的特有形式和独特优势是：
A. 人民代表大会制度
B. 协商民主（正确答案）
C. 民族区域自治制度
D. 基层群众自治制度
新时代我国社会主要矛盾已经转化为：
A. 生产与消费的矛盾
B. 先进与落后的矛盾
C. 人民日益增长的美好生活需要和不平衡不充分的发展之间的矛盾（正确答案）
D. 城乡之间的矛盾
下列哪项不属于市场经济的基本特征？
A. 自主性
B. 平等性
C. 竞争性
D. 计划性（正确答案）
建设现代化经济体系的战略支撑是：
A. 大力发展实体经济
B. 实施乡村振兴战略
C. 创新驱动发展战略（正确答案）
D. 深化供给侧结构性改革
全球治理体系变革的正确方向是：
A. 以少数国家为中心
B. 更加公正合理（正确答案）
C. 忽视发展中国家利益
D. 强调单边主义
下列哪项是全面依法治国的总抓手？
A. 建设中国特色社会主义法治体系（正确答案）
B. 完善法律体系
C. 加强法治宣传教育
D. 推进司法体制改革
社会主义核心价值观中，属于公民个人层面的价值准则是：
A. 富强、民主、文明、和谐
B. 自由、平等、公正、法治
C. 爱国、敬业、诚信、友善（正确答案）
D. 民主、自由、人权、博爱
我国外交政策的宗旨是：
A. 维护世界和平、促进共同发展（正确答案）
B. 独立自主
C. 和平共处五项原则
D. 建立国际新秩序
新时代党的建设的根本方针是：
A. 从严治党
B. 全面从严治党（正确答案）
C. 党风廉政建设
D. 反腐败斗争。

2019-2020学年福州市名校数学高二下期末学业水平测试试题含解析

2019-2020学年福州市名校数学高二下期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在下列命题中，①从分别标有1,2,……,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是518； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-. 其中所有正确命题的序号是（） A ．② B ．①③ C ．②③ D ．①②③【答案】C 【解析】【分析】根据二项式定理，古典概型，以及正态分布的概率计算，对选项进行逐一判断，即可判断. 【详解】对①：从9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有9872⨯=种可能；满足2张卡片上的数奇偶性不同，共有54240⨯⨯=种可能；根据古典概型的概率计算公式可得，其概率为405729P ==，故①错误；对②：对341()2x x +写出通项公式可得434124144122rrr r r rr x T C C xx ---+⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1240r -=，解得3r =，即可得常数项为31422C -⋅=，故②正确；对③：由正态分布的特点可知11(10)(1)22P P p ξξ-<<=-≥=-，故③正确. 综上所述，正确的有②③. 故选：C . 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，二项式定理求常数项，以及正态分布的概率计算，属综合性基础题. 2．甲、乙等5人在南沙聚会后在天后宫沙滩排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（）． A ．24种 B ．48种C ．72种D ．120种【答案】B 【解析】由题意利用捆绑法求解，甲、乙两人必须相邻的方法数为2424A A 48⋅=种．选B ．3．6(21)x -展开式中x 2的系数为（） A ．15 B ．60 C ．120 D ．240【答案】B 【解析】【分析】【详解】∵6(21)x -展开式的通项为6616(1)2r r r rr T C x --+=-，令6-r=2得r=4，∴6(21)x -展开式中x 2项为4644226(1)260C x x --=，所以其系数为60,故选B4．在用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为(2)n π-”时，第一步验证的n 等于（） A ．1 B ．3C ．5D ．7【答案】B 【解析】【分析】多边形的边数最少是3，即三角形，即可得解；【详解】解：依题意，因为多边形的边数最少是3，即三角形，用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为(2)n π-”时，第一步验证的n 等于3时，是否成立，故选：B 【点睛】本题主要考查数学归纳法的基本原理，属于简单题. 用数学归纳法证明结论成立时，需要验证1n n = 时成立，然后假设假设n k =时命题成立，证明1n k =+时命题也成立即可，对于第一步，要确定1n n =，其实就是确定是结论成立的最小的n . 5．设复数（是虚数单位），则复数的虚部是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由，得，故其虚部为，故选A.6．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-成立，且当(,1)x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<(其中()f x '为()f x 的导数).设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 三者的大小关系是（） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-，即f （x ）=f （2-x ）成立，所以函数的对称轴为x=1，所以f （3）=f （-1）．因为当x ∈（-∞，1）时，（x-1）f ′（x ）＜0，所以f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在（-∞，1）上单调递增．故选B ．考点：本题主要考查熟练函数的奇偶性、单调性、对称性等，利用导数研究函数的单调性。

2019-2020学年福州市名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2019-2020学年福州市名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】【分析】分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，分丙为真与丁为真进行推理判断可得答案. 【详解】解：分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，若丙是真话，则甲也是真话，矛盾；若丁是真话，此时甲、乙、丙都是假话，甲考了满分，故选：A. 【点睛】本题主要考查合理推理与演绎推理，由丙、丁两人一定是一真一假进行讨论是解题的关键.2．将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的点,(0)24M πθθ⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭向右平移(0)t t >个单位长度得到点M '，若M '位于函数sin2y x =的图象上，则（） A ．12πθ=， t 的最小值为12πB ．12πθ=， t 的最小值为6πC ．6πθ=， t 的最小值为6π D ．6πθ=， t 的最小值为12π【答案】A 【解析】由题意得πππsin(2)02,646312Q ππθθθθ+=<<∴+==由题意得π2πsin(2()),sin(2)22π2π(k )6633t t t k k ππθ-=+=+=++∈Z 或所以ππππ(k )124t k k =++∈Z 或，因此当时，t 的最小值为π12，选A. 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 3．设a ，b ，c ∈R，且a ＞b ，则【答案】D 【解析】分析：带特殊值验证即可详解：2b 1c 0a ===，，排除A,B ． 1b 2a ，=-=-排除C ．故选D 点睛：带特殊值是比较大小的常见方法之一．4．在极坐标系中，已知圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，，圆心为直线sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与极轴的交点，则圆C 的极坐标方程为A ．4cos ρθ=B ．4sin ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=【答案】A 【解析】【分析】求出圆C 的圆心坐标为（2，0），由圆C 经过点6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到圆C 过极点，由此能求出圆C 的极坐标方程．【详解】在sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭中，令0θ=，得2ρ=，所以圆C 的圆心坐标为（2，0）. 因为圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，，所以圆C 的半径2r ==，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. 故选A 【点睛】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 5．函数3()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（）C ．(),3eD ．()3,+∞【答案】C 【解析】【分析】【详解】3()ln f x x x=-Q ，∴函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，∵f(3)=ln3-1＞0，f(e)=lne-3e =1-3e＜0， ∴f(3)·f(e)＜0，∴在区间（e ，3）内函数f(x)存在零点. 故选C.6．已知函数()y f x =的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是12y x =+2,则()()11f f +'的值等于( ) A ．0 B ．1C ．52D ．3【答案】D 【解析】【分析】根据导数定义，求得()1f '的值；根据点在切线方程上，求得()1f 的值，进而求得()()11f f +'的值。

福建省福州市长乐高级中学2020年高二数学文联考试卷含解析

福建省福州市长乐高级中学2020年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 随机变量ξ～B(100，0.3)，则D(3ξ-5)等于 ( )A．62 B．84 C．184 D ．189参考答案：D2. 若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（）A．1:2 B．1:4 C．1:8 D．1:16参考答案：C3. 设定点,,动点满足，则点的轨迹是（）A.椭圆B.椭圆或线段C.线段D.无法判断参考答案：D4. 观察式子：，，，，则可归纳出式子为（）A． B．C． D．参考答案：B5. 数列，的一个通项公式是( )A．B．C．D．参考答案：B【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】计算题．【分析】利用不完全归纳法来求，先把数列中的每一项变成相同形式，再找规律即可．【解答】解；∵数列，的第三项可写成，这样，每一项都是含根号的数，且每一个被开方数比前一项的被开方数多3，∴故选B【点评】本题考查了不完全归纳法求数列通项公式，做题时要认真观察，及时发现规律．6. 为测试一批新出厂的小米手机质量,从上产线上随机选取了200部手机进行测试,在这个问题中,样本指的是( )A.小米手机B.200C.200部小米手机D.200部小米手机的质量参考答案：D7. 设下列关系式成立的是（）A. B. C. D.参考答案：A试题分析：,．．所以．故A正确．考点：1定积分;2三角函数值．8. 已知点A为抛物线的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当m取最大值时的值为（）A. 1B.C.D.参考答案：D【分析】先求得抛物线的焦点和准线，再根据定义可得取最大值时，PA与抛物线相切，利用判别式可求得PA的方程，即可求得点P的坐标，利用距离公式求得. 【详解】因为抛物线，所以焦点,准线方程，即点过点P作准线的垂线，垂足为N，由抛物线的定义可得因为，所以设PA的倾斜角为，所以当m取最大时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线PA：，代入抛物线，可得即可得点此时故选D【点睛】本题考查了抛物线与直线的知识，熟悉抛物线的图像，定义以及性质是解题的关键，属于中档题.9. 按流程图的程序计算，若开始输入的值为，则输出的的值是A．B． C．D．参考答案：B10. 列结论正确的是（）．A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体D．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥参考答案：D选项，八面体由两个结构相同的四棱锥叠放在一起构成，各面都是三角形，但八面体不是棱锥；选项，若不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得几何体都不是圆锥，如图，故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点P（2，1），若抛物线y2=4x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是．参考答案：2x﹣y﹣3=0【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】先设出直线方程，再联立直线方程与抛物线方程整理可得A，B的横坐标与直线的斜率之间的关系式，结合弦AB恰好是以P为中点，以及中点坐标公式即可求出直线的斜率，进而求出直线方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB所在直线方程为：y﹣1=k（x﹣2）即y=kx+1﹣2k联立整理得k2x2+[2k（1﹣2k）﹣4]x+（1﹣2k）2=0．所以有x1+x2=﹣∵弦AB恰好是以P为中点，∴﹣=4解得k=2．所以直线方程为 y=2x﹣3，即2x﹣y﹣3=0．故答案为：2x﹣y﹣3=0．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于利用中点坐标公式以及韦达定理得到关于直线的斜率的等式．12. 从1~7七个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数不相邻、三个奇数也不相邻的五位数有____________个.参考答案：144.【分析】先由题意确定从1~7七个数字中取两个偶数和三个奇数所有的可能，再求出所选的五个数中，满足题意的排法，即可求出结果.【详解】因为1~7中偶数分别为共三个，奇数分别为共四个；因此从这七个数字中取两个偶数和三个奇数，共有种情况；所选的五个数中，两个偶数不相邻、三个奇数也不相邻，则有种情况。

福建省福州市2019-2020学年数学高二下学期理数期末考试试卷B卷

福建省福州市2019-2020学年数学高二下学期理数期末考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共27分)1. （2分）如图在复平面内，复数z1,z2对应的向量分别是则复数的值是（）A . -1+2iB . -2-2iC . 1+2iD . 1-2i2. （2分）一次抛掷两枚质地均匀的骰子，当至少有一枚5点或一枚6点时，即认定这次试验成功．则在10次试验中成功次数X的数学期望为（）A .B .C .D .3. （2分）设函数f（x）=ex（lnx+1）在[ ，1]上的最小值为m，则ln|m|的值是（）A . 0B .C .D . 14. （2分）函数的递增区间是（）A .B .C .D .5. （2分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（）A .B .C .D .6. （5分） (2019高一上·丰台期中) 如图，A,B,C是函数的图象上的三点，其中A ，B ，C ，则的值为（）A . 0B . 1C . 2D . 37. （2分）某机械零件由2道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假设这两道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为（）A . ab﹣a﹣b+1B . 1﹣a﹣bC . 1﹣abD . 1﹣2ab8. （2分）某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，种子发芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为（）A . 0.02B . 0.08C . 0.18D . 0.729. （2分） (2020高三上·潮州期末) 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二下·佛山月考) 在比赛中,如果运动员A胜运动员B的概率是 ,假设每次比赛互不影响,那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·湖南模拟) 已知函数f（x）=x3﹣3ax2﹣9a2x+a3 ．若a＞，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，则a的取值范围为（）A . （， ]B . （，1]C . [﹣，1]D . [0， ]12. （2分） (2016高二上·凯里期中) 函数f（x）=x3﹣2的零点所在的区间是（）A . （﹣2，0）B . （0，1）C . （1，2）D . （2，3）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·南昌模拟) 江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行.江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交不会迟到；②若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；③若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；④若8：12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到.从统计的角度认为以上说法中所有合理的序号是________．参考数据：若，则，，.14. （1分）一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色．从袋中随机地取出3个小球．其中取到黑球的个数为ξ，则Eξ=________ （结果用最简分数作答）．15. （1分）已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为，则a＝________.16. （1分）函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为________三、解答题 (共7题；共45分)17. （5分） (2019高二上·南宁期中) 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月2日12月3日12月4日温差（）111312发芽数（颗）253026（1）请根据12月2日至12月4日的数据，求出关于的线性回归方程；（2）该农科所确定的研究方案是：先用上面的3组数据求线性回归方程，再选取2组数据进行检验．若12月5日温差为，发芽数16颗，12月6日温差为，发芽数23颗．由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？注：，．18. （5分） (2017高二下·兰州期中) 已知函数（1）若函数f（x）在点（1，f（1））的切线平行于y=2x+3，求a的值．（2）求函数f（x）的极值．19. （5分）(2016·湖南模拟) 某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）3018[30，40）3624[40，50）129[50，60]43（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．20. （5分）由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市政府决定从今年3月份开始进行汽车尾气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取200件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．节排器等级如表格所示综合得分K的范围节排器等级K≥85一级品75≤k＜85二级品70≤k＜75三级品若把频率分布直方图中的频率视为概率，则（1）如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，然后从这10件中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，求其二级品数X的分布列及方差．21. （5分） (2020·泉州模拟) 已知函数 .（1）讨论的单调性；（2）若函数在有两个零点，求m的取值范围.22. （10分） (2018高二下·武威月考) 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。