信息与编码编码14

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第三节汉明码的译码方法
例8.3.4 设Ham(3,2)的校验矩阵是
0 0 0 1 1 1 1 H 0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
如果x=0110110，则 S(x) xHT 010这说明第2个位 置发生错误。因此，x被译为0010110。
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即汉(q明r 码1) /的(q 码1)长为
。
(qr 1) /(q 1)
事实上，上述过程相当于把V(r,q)中非零向量分成 (qr 1) /(q 1) 个类，使得V(r,q)中任意两个非零向量线性 相关的充分必要条件是它们在同一类中。在每类中任 取一个向量作为校验矩阵的列。
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第一节汉明码的定义
第八章 汉明码
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第八章 汉明码
本节主要介绍汉明码的定义、性质以及译码方法，主 要内容包括：
汉明码的定义与性质 汉明码的译码方法以及极长码
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第一节汉明码的定义
下面通过构造一个校验矩阵来定义q元汉明码。 对r 2 的整数，我们希望校验矩阵的任意两列线 性无关并且列数达到最大。 首先，任取一个非零 向量 y1 Y1,Y1 V (r, q)。令Y2 Y1 {y1 | Fq , 0}任取一 个非零向量 y2 Y2 。
此过程一直进行到V(r,q)中没有具有此性质的向 量为止。以y1为第一列，y2为第二列，依次类推， 所得矩阵H称为r阶汉明矩阵。以H为校验矩阵的 线性码称为r阶q元汉明码，记为Ham(r,q)。
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第一节汉明码的定义
因为 | {yi | Fq ,所以0}校|验q 矩1 阵总共有
列，
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2 2 2 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
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第二节汉明码的性质
定理8.2.1 q元汉明码Ham(r,q)是q元[n,n-r,3]线 性码，其中 n (qr 1) /(q 1) 。
定理8.2.2 q元汉明码Ham(r,q)是完备码。
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第三节汉明码的译码方法
q元汉明码Ham(r,q)的译码过程如下： 设x是收到的字，计算 S(x) xHT ； 如果S(x)=0，则认为没有错误发生，x是发送的
码字； 如果S(x) 0，则 S(x) bhiT，其中b 0,b Fq ,1 i n
例8.1.1 矩阵 1 0 0 0 0 1 1
G 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
是汉明码Ham(3,2)的生成矩阵。注意到G是标准型， 汉明码可以把V(4,2)中的向量编码变成码字
1 0 0 0 0 1 1
x
G
(
x1,
x2
,
x3
,
x4
)0 0
1 0
0 1
0 0
1 1
0 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1
2020/9/5 (x1, x2 , x3, x4 , x2 x3 x4 , x1 x3 x4 , x1 x2 x4 )
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第一节汉明码的定义
例8.1.2 把V(2,3)中的向量写成列的形式，V(2,3)中非 零向量所构成的类如下:
这时第i个位置发生错误，x被译成 x ai，
其中 ai 0 ...0b0...0
i1
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第三节汉明码的译码方法
例8.3.1 Ham(2,5)的校验矩阵是
0 1
1 0
1 1
1 2
1 3
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设收到的向量x=203031。则 S(x) xHT (2,3) 2(1,4)
x被译为203034。
10 ,
02,
10 ,
2 0
,
11,
22,
12,
12
因此，汉明码Ham(2,3)的校验矩阵是
0 1
1 0
2 2
12
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第一节汉明码的定义
例8.1.3 Ham(2,11)的校验矩阵是
0 1
1 0
1 1
1 2
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1 8
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来自百度文库
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例8.1.4 Ham(3,3)的校验矩阵是
例8.3.2 设Ham(2,2)的校验矩阵是
H 11
1 0
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则它的生成矩阵G=(1 1 1). 因此，Ham(2,2)是码
长为3的二元重复码
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第三节汉明码的译码方法
例8.3.3 Ham(3,2)的校验矩阵是
0 0 0 1 1 1 1 H 0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
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第三节汉明码的译码方法
二元汉明码的译码过程如下： 位置设x是收到的字，计算 S(x) xHT ； 如果S(x)=0，则认为没有错误发生，x是发送的码
字； 如果S(x) 0 ，则假定有一个错误发生，而且S(x) 是错误位置i的二进制表示。 这时第i个位置发生错误，则将x的第i位的0或1换成1 或0即可译码。
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第四节 极长码
定义8.4.1 q元汉明码Ham(r,q)的对偶码称为极长 码
本节主要讨论二元汉明码Ham(r,2)的对偶码，记为 r 例 8.4.1 极长码 2的生成矩阵 G2和它的码字列表如下：
0 0 0
G
0 1
1 0
1 1, 2
0
1 1
1 0 1
1 10
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第四节 极长码
定理8.4.1极长码r 具有下列性质： (1) r 中任意一个非零码字的重量都是 2r1 。 (2) r 中任何两个码字的距离都等于 2r1 。
因此， r是一个[2r 1, r,2r1]线性码。
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其中H的第i列是i的二进制表示，1 i 7。如果对H
的列重新排列，可得H的标准型
0 1 1 1 1 0 0 H 1 0 1 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0 1
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第三节汉明码的译码方法
因此，Ham(3,2)的生成矩阵是
1 0 0 0 0 1 1 G 0 1 0 0 1 0 1