集合基本概念及性质
集合的基本概念
一、 集合的概念1． 集合：某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉； 2． 集合的性质：确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；二、 集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,} 2． 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．3． 常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作*N 或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R ．三、 集合之间的关系1． 若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）； 2． 简单性质：1）A ⊆A ；2）∅⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；3． 真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ） 4． 相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且B A ⊆ ，那么集合A 与B 相等，记作A B =5． 0，{0}，∅，{}∅之间的区别与联系①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0{0}∈②∅与{0}是不同的，∅中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（{}0∅）③∅与{}∅是不同的，∅中没有任何元素，{}∅则表示含有一个元素∅的集合，它们的关系是{}∅∈∅或{}∅⊆∅或{}∅∅ ④显然，0∉∅，0{}∉∅集合的概念及其关系6． 子集个数问题设集合A 中元素个数为n ，则①子集的个数为2n ，②真子集的个数为21n -，③非空真子集的个数为22n - 一、 交集、并集、补集概念1． 由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集． 记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈且}x B ∈① 数学符号表示：{|,A B x x A =∈且}x B ∈② Venn 图反映：2． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集．并集{|}A B x x A x B =∈∈或．（读作“A 并B ”）① 数学符号表示： {|,A B x x A =∈或}x B ∈② Venn 图反映：3． 补集的概念：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ，即{|,U A x x U =∈且}x A ∉①数学符号表示：{|,U A x x U =∈且}x A ∉②Venn 图反映：二、集合的运算性质B AB A B A B AB A B A B A A UA U 集合的基本运算（1）,,;A A A A A B B A =∅=∅=（2）,;A A A B BA ∅==（3）()();AB A B ⊆ （4）;A B A B A A B A B B ⊆⇔=⊆⇔=；（5）()()(),()()().U U U U U U A B A B A B A B ==三、 容斥原理()()()()card A B card A card B card A B =+-．。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。
在本篇文章中，将对集合的定义、运算、性质以及常见的集合类型进行总结和归纳。
一、集合的基本定义集合是由不同元素组成的整体。
通常用大写字母表示集合，用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。
例如，集合A可以表示为A={a, b, c}。
二、集合的运算1. 并集（Union）并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并在一起形成的新集合。
记作A∪B，其中A和B是待操作的集合。
并集包含了A和B中的所有元素，不重复计数。
2. 交集（Intersection）交集是指两个或多个集合中共有的元素所组成的集合。
记作A∩B，其中A和B是待操作的集合。
交集只包含A和B中共有的元素，重复计数一次。
3. 差集（Difference）差集是指一个集合中除去与另一个集合共有的元素后所剩下的元素。
记作A-B，其中A和B是待操作的集合。
差集包含了属于A但不属于B的元素。
4. 补集（Complement）补集是指集合在某个全集中的补集合。
一般情况下，全集为给定环境中的所有元素。
记作A的补集为A'或A^c。
补集包含了全集中属于但不属于A的元素。
三、集合的性质1. 包含关系集合A包含集合B，当且仅当B中的每个元素都属于A。
记作A⊇B。
如果A包含B且B包含A，那么A和B是相等的集合，记作A=B。
2. 互斥关系集合A和集合B互斥，当且仅当两个集合没有共同的元素，即A∩B=∅。
3. 子集关系集合A是集合B的子集，当且仅当A中的每个元素都属于B。
记作A⊆B。
空集∅是任何集合的子集。
4. 幂集幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。
假设集合A={a, b}，那么A的幂集为P(A)={{},{a},{b},{a,b}}。
四、常见的集合类型1. 自然数集合（N）自然数集合包含了从1开始的所有正整数。
即N={1, 2, 3, …}。
2. 整数集合（Z）整数集合包含了正整数、负整数和零。
集合的基本概念
集合的基本概念集合是数学中一个基本的概念，它是由一些确定的元素组成的整体。
在集合理论中，元素是构成集合的最基本单位，而集合由元素组成。
本文将介绍集合的基本概念以及相关的一些术语和符号。
一、集合的定义与表示在数学中，集合是由一些确定的对象（即元素）组成的整体。
集合是一个无序的集合，其中的元素不重复。
数学中通常用大写字母A、B、C等来表示集合，而元素则用小写字母a、b、c等来表示。
集合可以通过列举元素的形式进行表示，例如集合A={1, 2, 3}表示了一个包含元素1、2、3的集合A。
另外，我们还可以通过描述集合的特征来表示集合，例如集合B={x | x是自然数，且x<5}表示了一个包含小于5的自然数的集合B。
二、集合的基本性质1. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅来表示。
空集是任何集合的子集。
2. 子集与真子集：对于两个集合A和B，如果A中的每一个元素都属于B，那么我们称A是B的子集，记作A⊆B。
如果存在至少一个元素属于A但不属于B，那么我们称A是B的真子集，记作A⊂B。
3. 相等集：如果两个集合A和B中的元素完全相同，那么我们称A 与B相等，记作A=B。
4. 交集、并集与补集：对于两个集合A和B，交集表示包含属于A 且属于B的所有元素的新集合，记作A∩B。
并集表示包含属于A或属于B的所有元素的新集合，记作A∪B。
A关于某个全集的补集表示全集中不属于A的元素组成的集合，记作A'。
三、集合的运算法则集合的运算法则是用来描述集合之间的关系和运算规则的。
1. 结合律：对于任意三个集合A、B、C，交换交集和并集运算的顺序不改变结果，即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
2. 分配律：对于任意三个集合A、B、C，交集和并集运算满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
3. 德·摩根定律：对于任意两个集合A和B，补集运算满足德·摩根定律，即(A∪B)'=A'∩B'，(A∩B)'=A'∪B'。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念，广泛应用于各个领域。
本文将对集合的相关概念、运算、性质以及其在实际中的应用进行总结。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由确定的元素组成的整体，没有重复元素，顺序不重要。
2. 元素和集合的关系：元素是集合的组成部分，用于描述集合的特征。
3. 表示方法：- 列举法：将集合的所有元素逐个列举出来。
- 描述法：通过一定的特征或条件来描述集合。
4. 空集和全集：- 空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。
- 全集：包含所有元素的集合，用符号U表示。
二、集合的运算1. 交集：两个集合中具有相同元素的部分构成的新集合，用符号∩表示。
2. 并集：两个集合的所有元素组成的新集合，用符号∪表示。
3. 差集：一个集合中去掉与另一个集合共有元素后的新集合，用符号－表示。
4. 互补集：在全集中与某个集合没有交集的元素所构成的新集合，用符号A'表示。
5. 笛卡尔积：由两个集合的所有有序对构成的集合，用符号×表示。
三、集合的性质1. 包含关系：集合A包含于集合B，表示为A⊆B，当且仅当A的每个元素都是B的元素。
2. 相等关系：如果两个集合A和B互相包含，即A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，表示为A=B。
3. 幂集：一个集合的所有子集所构成的集合，用符号P(A)表示。
4. 交换律、结合律和分配律：集合的交换律、结合律与数的运算性质类似，具有相似的性质。
四、集合的应用1. 概率论与统计学：集合论为概率论和统计学提供了重要的数学基础，通过对事件的集合进行分析与运算。
2. 数据库管理系统：集合运算在数据库查询和数据处理中起着重要的作用，用于筛选、合并和处理数据。
3. 逻辑学与集合论关系：集合论与逻辑学相辅相成，通过集合的运算和逻辑连接词（与、或、非）进行逻辑推理。
4. 集合在数学证明中的应用：集合的性质和运算方式在数学证明中经常被使用，可以简化证明过程。
总结：集合是数学中不可或缺的重要概念，它具有基本的定义、运算和性质。
集合基本概念及性质
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集合及运算
集合：一般的，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合。
子集：对于两个集合A和B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B
空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为φ
集合的三要素：确定性、互异性、无序性
集合的表示方法：列举法、描述法、视图法、区间法
集合的分类：（按集合中元素个数多少分为：）有限集、无限集、空集
常见数集：“N”全体非负整数组成的集合“N+”或“N*”所有正整数组成的集合“Z”全体整数组成的集合"Q“全体有理数组成的集合“R”全体实数组成的集合
关系：
元素属于集合：a∈A
集合与集合：A⊇B，A=B
运算：
交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集。
记作A∩B
并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集记作A∪B
补集：由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，记为CuA
4．集合的运算性质
（1）A∩B=B∩A；A∩B∈A；A∩B∈B；A∩U=A；A∩A=A；A∩φ=φ；
（2）A∪B=BUA；A∈A∪B；B∈A∪B；A∪U=U；A∪A=A；A∪φ=A ；
（3）Cu（CuA）=A；Cuφ=U；CuU=φ；A∩CuA=φ；A∪CuA=U；
（4）A⊇B，B⊇A，则A=B，A⊇B，B⊇C，则A⊇C
5．常用结论：
(1)A⊆B<=>A∩B=A;A⊆B<=>A∪B=B; A∪B=A∩B<=>A=B
(2) CuA∩CuB=Cu(A∪B)，CuA∪CuB=Cu(A∩B)——德摩根律
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集合的基本知识点总结
集合的基本知识点总结1. 集合的定义集合是由一组元素组成的无序集合。
集合中的元素可以是任何类型的对象，包括数字、字母、符号、单词等。
2. 集合的表示方式集合可以用不同的方式表示，比如用大括号{}包围元素，用逗号分隔元素。
例如，集合{1, 2, 3, 4, 5}表示由数字1到5组成的集合。
3. 集合的性质集合具有以下几个基本性质：- 互异性：集合中的元素各不相同，即集合中的元素没有重复。
- 无序性：集合中的元素没有固定的顺序，不同的排列方式得到的集合是一样的。
- 确定性：一个元素要么属于集合，要么不属于集合。
集合中的元素是确定的，不会因为不同时间或不同条件而改变。
4. 集合的运算集合之间可以进行一些基本的运算，包括并集、交集、差集和补集。
- 并集：两个集合A和B的并集是由A和B中所有元素组成的集合，记作A∪B。
- 交集：两个集合A和B的交集是同时属于A和B的元素组成的集合，记作A∩B。
- 差集：集合A中去掉属于B的元素后得到的集合，记作A-B。
- 补集：集合A相对于全集U中不属于A的元素组成的集合，记作A的补集。
5. 集合的性质集合具有一些特殊的性质，包括空集、全集、子集、真子集、幂集等。
- 空集：不包含任何元素的集合，记作∅或{}。
- 全集：包含所有可能元素的集合，即包含所有集合的集合。
- 子集：如果集合A的所有元素都属于集合B，那么A是B的子集，记作A⊆B。
- 真子集：如果集合A是集合B的子集且A不等于B，则A是B的真子集，记作A⊂B。
- 幂集：集合A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记作P(A)。
6. 集合的应用集合在数学、逻辑、计算机科学、统计学等领域都有重要的应用。
在数学中，集合论是数学的一个重要分支，研究集合的性质和运算规律。
在逻辑学中，集合被用来描述命题、谓词、命题函数等。
在计算机科学中，集合被用来描述数据结构、算法和程序设计。
在统计学中，集合被用来描述样本空间、事件空间等。
7. 集合的表示方法集合可以用不同的表示方法来描述，包括清单法、描述法和图示法。
集合与运算的基本概念与性质
集合与运算的基本概念与性质一、集合的基本概念1.集合的定义：集合是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
2.集合的表示方法：用大括号{}括起来，里面列出集合中的元素，如集合A={1,2,3}。
3.集合的元素：集合中的每一个对象称为集合的元素。
4.空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。
5.集合的性质：a.确定性：集合中的元素是确定的，不存在模糊不清的情况。
b.互异性：集合中的元素是互不相同的。
c.无序性：集合中的元素排列顺序不影响集合的本质。
二、集合的运算1.并集：两个集合A和B的并集，记作A∪B，包含所有属于A或属于B的元素。
2.交集：两个集合A和B的交集，记作A∩B，包含所有同时属于A和属于B的元素。
3.补集：对于全集U，集合A的补集，记作A’，包含所有不属于A的元素。
4.运算法则：a.交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩Ab.结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)c.分配律：A(B∪C)=(AB)∪(AC)，A(B∩C)=(AB)∩(AC)三、集合的其他概念1.子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
2.超集：如果集合A包含集合B的所有元素，那么集合A是集合B的超集，记作A⊇B。
3.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且A不等于B，那么A是B的真子集，记作A⊊B。
4.空集的特殊性质：空集是任何集合的子集，也是任何集合的超集。
四、整数的运算1.加法：两个整数相加，得到它们的和。
2.减法：一个整数减去另一个整数，得到它们的差。
3.乘法：两个整数相乘，得到它们的积。
4.除法：一个整数除以另一个整数（不为0），得到它们的商。
5.幂运算：一个整数的n次幂，表示这个整数连乘n次。
五、实数的运算1.加法：两个实数相加，得到它们的和。
2.减法：一个实数减去另一个实数，得到它们的差。
3.乘法：两个实数相乘，得到它们的积。
4.除法：一个实数除以另一个实数（不为0），得到它们的商。
集合的知识点公式归纳总结
集合的知识点公式归纳总结集合的知识点公式归纳总结一、引言集合是数学中重要的基础概念之一，广泛应用于各个数学分支以及其他学科领域。
本文旨在对集合的基本性质、运算、特殊集合等知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用集合相关的知识。
二、集合的基本定义1. 集合的概念：集合是由一些元素组成的整体或集合。
2. 集合的表示方法：通常用大写字母A、B、C等表示集合，元素用小写字母a、b、c等表示，集合的元素用花括号{}括起来。
3. 集合的元素：一个元素要么属于集合，要么不属于集合，元素与集合的关系用属于符号∈表示，不属于用∉表示。
三、集合的基本性质1. 集合的相等性：两个集合A和B相等，当且仅当A的所有元素都是B的元素，而B的所有元素也都是A的元素。
记作A = B。
2. 集合的包含关系：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么称A是B的子集，记作A ⊆ B。
3. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
4. 全集：包含所有可能元素的集合称为全集，通常用大写字母U表示。
四、集合的运算1. 交集：集合A和集合B的交集是同时属于A和B的元素的集合，记作A ∩ B。
2. 并集：集合A和集合B的并集是属于A或B的元素的集合，记作A ∪ B。
3. 差集：集合A和集合B的差集是属于A但不属于B的元素的集合，记作A - B。
4. 补集：集合A相对于全集U的补集是全集U中不属于A的元素的集合，记作A'或A的补集。
五、集合的特殊集合1. 自然数集：包含0和正整数的集合，记作N。
2. 整数集：包括负整数、0和正整数的集合，记作Z。
3. 有理数集：包括所有能表示为两个整数的比值的数的集合，记作Q。
4. 无理数集：不能表示为两个整数的比值的数的集合。
5. 实数集：包括有理数和无理数的集合，记作R。
六、集合的常用公式1. 交换律：A ∩ B = B ∩ A，A ∪ B = B ∪ A2. 结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)，(A ∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪ C)3. 分配律：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)，A ∪(B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)4. 德摩根定律：(A ∩ B)' = A' ∪ B'，(A ∪ B)' = A' ∩ B'七、集合的应用举例1. 集合的分类：- 奇数集合：包含所有奇数的集合，记作O = {x | x ∈ Z, x为奇数}。
集合主要知识点总结
集合主要知识点总结一、集合的基本概念1.1 集合的定义集合是由若干个元素组成的整体，这些元素可以是任意的事物或对象。
集合用大括号{}表示，其中的元素用逗号分隔。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，表示集合A由1，2，3，4，5这五个元素组成。
1.2 集合的性质- 集合中的元素是无序的，即集合中的元素没有先后顺序。
- 集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复。
- 集合可以是有限集合，也可以是无限集合。
二、集合的运算2.1 并集定义：设A和B是两个集合，它们的并集记为A∪B，表示A和B中所有的元素组成的集合。
记法：A∪B = {x | x∈A或x∈B}例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。
2.2 交集定义：设A和B是两个集合，它们的交集记为A∩B，表示A和B中公共的元素组成的集合。
记法：A∩B = {x | x∈A且x∈B}例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A∩B = {3}。
2.3 补集定义：设A是一个集合，它的补集记为A'，表示全集中除A之外的所有元素组成的集合。
记法：A' = {x | x∈全集且x∉A}例如，A = {1, 2, 3}，全集为{1, 2, 3, 4, 5}，则A' = {4, 5}。
2.4 差集定义：设A和B是两个集合，它们的差集记为A-B，表示A中去掉与B中相同的元素后的集合。
记法：A-B = {x | x∈A且x∉B}例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A-B = {1, 2}。
三、集合的关系3.1 子集定义：设A和B是两个集合，如果A中的所有元素都属于B，那么A是B的子集。
记法：A⊆B例如，A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4, 5}，则A是B的子集。
3.2 相等集合定义：设A和B是两个集合，如果A是B的子集，且B是A的子集，那么A等于B。
集合的基本概念和性质知识点及练习
集合的基本概念和性质【基本知识点】一集合与元素1.集合是由元素组成的集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。
2.集合中元素的属性（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。
（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。
（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a A，读作“a不属于集合A”。
4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。
二集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做∅.三集合的表示方法1.常用数集（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。
如小于等于8的偶数构成的集合。
（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。
注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于100的自然数构成的集合。
（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I | p(x)｝.注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。
集合的概念及性质
数学与信息科学学院
数学与应用数学专升本（2）班
201490042100 李鹏飞
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集合的概念及其性质
集合的有关概念：
集合的概念：由一些数，一些点，一些图形，一些整式，一些人组成的。 我们就说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定对象集 在一起成为一个集合，集合中每个对象叫做集合的元素。
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元素的特性：
① 确定性
② 无序性 {1，2} {2，1}
③ 互异性 {1，1（舍）}
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集合的表示：
1.小于20的质数
{2，3，5，7，11，13， 17，19}
2.绝对值小于3的整数 {1，-1，2，-2，0}
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集合的分类：
1.有限集
2.无限集合
3.空集
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例3. 判断是否构成集合： 1.所有很大的实数 2.好心人 3.1，2，3，4，5
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小结：
本节课主要是认识集合，知道并且 理解集合的三个性质还有在做题之 中能灵活运用，体会学习中的乐趣
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常见集合的字母表示：
自然数集： N(0,1,2,3,4....)
正整数集：N*(1,2,3,4,5...)
整数集：Z
有理数集：Q 实数集：R
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习题：
例1.已知集合A=｛x²-2x+1=0｝，B=｛│x│=4｝ 则 A U B = ？
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例2.已知全集 U = ｛x²-3x+2=0｝,集合A=｛X²px+q=0｝若CuA = 空集，求 P，Q 的值
认识集合和函数了解集合和函数的基本概念和性质
认识集合和函数了解集合和函数的基本概念和性质认识集合和函数：了解集合和函数的基本概念和性质集合和函数是数学中非常重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
本文将详细介绍集合和函数的基本概念和性质，帮助读者全面了解和掌握这两个概念。
一、集合的基本概念和符号表示集合是由若干确定的元素构成的整体。
数学中通常用大写字母表示集合，比如A、B、C等。
集合中的元素在数学上是没有顺序和重复的，每个元素要么属于该集合，要么不属于。
集合之间的关系可以用图示的方式来表示，即通过绘制Venn 图。
Venn图使用圆圈来表示集合，圆圈之间的交集和并集关系可以通过圆圈的重叠和相离程度来表示。
集合可以通过列举元素、描述特性和条件等方式进行表示。
比如，集合A={1, 2, 3}表示A是由元素1、2、3构成的集合。
二、集合的运算和性质集合有三种基本的运算：交集、并集和补集。
交集表示属于两个集合的公共元素，用符号∩表示。
比如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的交集为A∩B={2, 3}。
并集表示属于两个集合的所有元素，用符号∪表示。
比如，集合A和集合B的并集为A∪B={1, 2, 3, 4}。
补集表示不属于某个集合的元素，用符号'表示。
比如，对于集合A={1, 2, 3}，其补集为A'={4}。
集合运算满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
例如，对于任意集合A、B和C，有(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
三、函数的基本概念和符号表示函数是集合与集合之间的一种对应关系。
每个元素在定义域中有唯一的对应元素在值域中。
常用的函数表示法有表格法、映射法和公式法。
表格法是通过一个二维表格来表示函数的对应关系，表格中的行代表定义域的元素，列代表值域的元素。
比如，定义域为A={1, 2, 3}，值域为B={4, 5, 6}的函数可以通过一个表格来表示。
映射法是通过箭头的方式来表示函数的对应关系，箭头从定义域指向值域。
数学公式知识：集合论中的基本概念及其性质
数学公式知识：集合论中的基本概念及其性质集合论作为数学中的一个基础学科，它揭示了研究对象之间联系的本质规律。
本文将从集合论中的基本概念及其性质入手，对集合论进行详细的介绍。
一、基本概念1、集合集合是一个数学概念，指的是由一些确定的对象构成的整体。
其中的对象称为集合的元素，用小写字母表示。
集合的表示方法有两种：一种是列举集合的所有元素，另一种是用条件描述集合的性质。
例如，{1,2,3,4}就是一个集合，表示由元素1，2，3，4组成的整体；而{x|x是正整数且小于5}就是一个集合，表示由小于5的正整数组成的整体。
2、子集子集是指如果A中的所有元素都是B中的元素，那么A就是B的子集，用符号表示为A⊆B。
特别的，一个集合是它自己的子集。
如果一个集合A是另一个集合B的子集，那么B就是A的超集。
符号表示为B⊇A。
例如，{1,2}是{1,2,3,4}的子集，{1,2,3,4}是它自己的子集。
3、相等如果两个集合A，B中的所有元素都相同，那么A=B，表示A与B相等。
例如，{1,2,3}={3,1,2}，因为它们的元素都是相同的。
二、性质1、包含与被包含关系的传递性如果A包含B，B包含C，那么A包含C。
即，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C。
例如，如果{1,2}是{1,2,3,4}的子集，{1,2,3,4}是{1,2,3,4,5,6}的子集，那么{1,2}也是{1,2,3,4,5,6}的子集。
2、空集与全集的特殊性质空集是指没有元素的集合，用符号∅表示。
全集是指讨论中出现的所有元素的集合，用符号U表示。
任何集合都是空集的子集，空集是任何集合的子集。
3、交集与并集的性质交集是指A和B中共同的元素构成的集合，用符号表示为A∩B。
并集是指A和B中所有元素构成的集合，用符号表示为A∪B。
它们有以下性质：（1）A∩B=B∩A即交换律（2）A∪B=B∪A即交换律（3）(A∩B)∩C=A∩(B∩C)即结合律（4）(A∪B)∪C=A∪(B∪C)即结合律（5）A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)即分配律（6）A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)即分配律例如，{1,2}∩{2,3}={2}，{1,2}∪{2,3}={1,2,3}。
集合的概念详细讲解
集合的概念详细讲解集合是数学中的一个基本概念，它指的是由多个元素组成的一个整体。
集合中的元素可以是任何类型，例如整数、实数、字符串、对象等等。
集合的概念在数学中有着广泛的应用，例如在集合论、函数论、代数、拓扑学等学科中都有重要的应用。
一、集合的定义集合的定义通常是指在一个特定的范围内，由一个或多个元素组成的整体。
集合中的元素可以是任何类型，例如整数、实数、字符串、对象等等。
在数学中，我们通常用大写字母来表示集合，例如A、B、C等等。
二、集合的表示集合的表示通常有两种方式：列举法和描述法。
列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，例如{1, 2, 3}表示一个包含三个整数的集合。
描述法是用一个数学表达式来描述集合中的元素，例如{x|x^2+1=0}表示一个包含所有满足方程x^2+1=0的实数的集合。
三、集合的性质集合具有以下性质：1.确定性：一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，不存在第三种情况。
2.互异性：集合中的元素互不相同，即集合中没有重复的元素。
3.无序性：集合中的元素没有固定的顺序，即任意两个元素可以交换位置而不改变集合本身。
4.封闭性：如果一个新元素与集合中的某个元素相等，则该新元素也属于该集合。
5.空集存在性：没有任何元素的集合称为空集，空集是任何非空集合的真子集。
6.反身性：任何非空集合是其本身的子集。
7.幂等律：若一集合有n个元素，则其幂集（所有子集的集合）的元素个数为2^n个。
8.互补律：若一集合有n个元素，则其补集（不属于该集合的元素组成的子集）的元素个数为(n-1)个。
9.子集基数量定律：任何一个集合都必须包含它自身作为子集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。
10.子集完全互补定律：任何一个集合都必须包含它的所有子集作为元素的并集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。
11.互补完全性定律：任何一个集合都必须包含它的所有补集作为元素的并集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。
集合的介绍与表示方法
集合的介绍与表示方法集合在数学中是一种基本的概念，广泛应用于各个领域，如数学、计算机科学、物理学等。
本文将介绍集合的基本概念、性质以及几种常见的表示方法。
一、集合的基本概念集合是由一些具有共同性质的对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、符号等。
集合中的对象称为元素，用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示包含了元素1、2和3的集合。
如果一个元素x属于集合A，我们可以用x∈A表示。
集合的特点是无序性，即集合中的元素没有先后之分；独一性，即集合中的元素不会重复出现。
二、集合的性质1. 子集关系：如果集合B的所有元素都属于集合A，则称B是A的子集，用B⊆A表示。
例如，如果A={1, 2, 3}，B={1, 3}，则B是A的子集。
2. 并集和交集：并集即两个集合合并在一起，交集即两个集合共有的元素。
如果A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}表示A和B的并集，A∩B={3}表示A和B的交集。
3. 补集：对于给定的一个集合A和所在的全集U，集合A对于U的补集即U中不属于A的元素构成的集合。
用A'表示，例如，如果全集U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2}，则A'={3, 4, 5}。
三、集合的表示方法1. 列举法：通过直接列举集合中的元素来表示集合。
例如，集合A={1, 2, 3}表示包含元素1、2和3的集合。
2. 描述法：通过给出集合中元素的属性或特征来表示集合。
例如，A={x | x是偶数，x>0}表示由所有大于0的偶数构成的集合。
3. 结论法：通过得出一些结论，将满足条件的元素组成集合。
例如，设集合A={x | x^2=1}，则A={-1, 1}表示满足平方等于1的元素构成的集合。
4. 包含法：通过规定元素属于某个集合，定义包含关系。
例如，全集为U，集合A={x | x∈U, x是奇数}表示U中的奇数构成的集合。
《集合》知识点总结
《集合》知识点总结一、集合的基本概念1、集合：一些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象称为元素。
2、集合的表示：用大括号{}或小括号()表示，元素与集合的关系为“属于”或“不属于”。
3、集合的特性：确定性、互异性、无序性。
二、常见集合的表示方法1、自然数集：N2、整数集：Z3、有理数集：Q4、实数集：R三、集合的运算1、交集：取两个集合的公共元素组成的集合，记作A∩B。
2、并集：把两个集合合并起来，记作A∪B。
3、补集：把属于一个集合但不在该集合的元素组成的集合，记作CuA。
四、集合间的关系1、子集：若一个集合A的每一个元素都是另一个集合B的元素，则称A是B的子集。
2、真子集：如果A是B的子集，且A≠B，则称A是B的真子集。
3、相等：当且仅当两个集合的元素完全相同，且不强调元素的顺序时，两个集合相等。
五、集合的基本运算性质1、若A、B为两个集合，有A∩B=B∩A。
2、若A、B为两个集合，有Cu(A∩B)=CuA∪CuB。
3、若A、B、C为三个集合，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
4、若A、B为两个集合，有(CuA)∪B=(A∪B)∩CuB。
5、若A、B、C为三个集合，有(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。
6、若A、B为两个集合，有(CuA)∩B=Cu(A∪B)。
7、若A、B为两个集合，有(CuA)∪(CuB)=Cu(A∩B)。
集合知识点总结一、集合、元素及其关系1、集合的基本概念：集合是一个不重复的元素的集合，常用大写字母表示集合，如A={1，2，3}，B={apple，banana，cherry}。
2、集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。
列举法是把集合中的元素一一列举出来，适用于元素数量较少的集合；描述法是用集合中元素的共同特征来描述集合，如自然数集N={n|n是自然数}。
3、集合的元素关系：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称A是B的子集，记作A⊆B。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中重要的概念，它是由一组确定的对象组成的。
在数学和计算机科学中，集合是一个基础概念，它被广泛应用于各个领域。
本文将对集合的定义、运算、性质以及常见应用进行总结。
一、集合的定义集合是指具有某种特定特征的一组对象的集合体。
集合中的对象称为元素。
可以用大写字母表示集合，用小写字母表示元素。
例如，集合A={1, 2, 3}，其中的元素1、2、3属于集合A。
集合可以用描述法或列举法表示。
描述法是通过描述集合的成员所满足的条件来表示集合，例如A={x|x是正整数，1≤x≤5}。
列举法是直接列举出集合中的元素，例如A={1, 2, 3}。
二、集合的运算1. 并集：集合A和集合B的并集是包含了A和B的所有元素的集合，记作A∪B。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集：集合A和集合B的交集是包含了A和B共有元素的集合，记作A∩B。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
3. 差集：集合A和集合B的差集是属于A但不属于B的元素的集合，记作A-B。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。
4. 补集：集合A相对于全集U的补集是指不属于A的所有元素的集合，记作A'。
例如，A={1, 2}，全集U={1, 2, 3, 4, 5}，则A'={3, 4, 5}。
三、集合的性质1. 互异性：集合中的元素各不相同，即集合中的元素是互不相等的。
2. 无序性：集合中的元素之间没有顺序关系，集合中元素的排列顺序对集合的定义没有影响。
3. 包含关系：一个集合包含另一个集合，当且仅当第一个集合中的所有元素都是第二个集合中的元素。
4. 幂集：集合A的幂集是包含A的所有子集的集合。
例如，A={1, 2}，则A的幂集为{{}, {1}, {2}, {1, 2}}。
四、集合的应用1. 概率论：在概率论中，集合被广泛应用于描述随机事件，例如样本空间、事件等。
集合的知识点重点总结归纳
集合的知识点重点总结归纳集合的知识点重点总结归纳一、引言集合是数学中最基本的概念之一，它广泛应用于数学、逻辑、计算机科学等领域。
本文将对集合的相关知识点进行总结归纳，旨在帮助读者更深入地理解集合的概念、性质和运算法则。
二、集合的概念1. 集合的定义：集合是由一些确定的、不重复的元素组成的整体。
用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
2. 元素与集合的关系：若一个元素属于某个集合，我们称它为该集合的元素。
反之，若一个元素不属于某个集合，我们称它为该集合的非元素。
3. 空集与全集：没有元素的集合称为空集，用符号∅表示。
包含所有可能元素的集合称为全集，用符号U表示。
三、集合的表示方法1. 列举法：通过列举集合中的元素来表示集合。
例如，集合A={1, 2, 3}表示A是由元素1、2、3组成的集合。
2. 描述法：通过描述元素的特征来表示集合。
例如，集合B={x | x是正整数}表示B是由所有正整数组成的集合。
四、集合的运算法则1. 并集：对于两个集合A和B，它们的并集是包含A和B中所有元素的集合，用符号∪表示。
即A∪B={x | x∈A或x∈B}。
2. 交集：对于两个集合A和B，它们的交集是包含A和B中共同元素的集合，用符号∩表示。
即A∩B={x | x∈A且x∈B}。
3. 差集：对于两个集合A和B，A中属于而B中不属于的元素构成的集合称为A相对于B的差集，用符号A-B表示。
即A-B={x | x∈A且x∉B}。
4. 互斥集：若两个集合A和B的交集为空集，则称A和B为互斥集。
5. 包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B 的子集，用符号A⊆B表示。
若集合A是集合B的子集且A≠B，则称A为B的真子集，用符号A⊂B表示。
6. 补集：对于集合A而言，全集U中不属于A的元素构成的集合称为A的补集，用符号A'表示。
即A'={x | x∈U且x∉A}。
五、集合的性质1. 唯一性：在同一个集合中，每个元素都是独一无二的，不允许重复。
数学的集合概念
数学的集合概念集合是数学中一个基本且重要的概念。
它是一种将一组元素汇集在一起的方式，可以用来表示一个整体的概念。
本文将从集合本身的概念和性质、集合的分类、集合之间的关系、集合的基本运算、集合的函数和映射、集合的逻辑和推理以及集合的应用等方面来介绍数学的集合概念。
1. 集合本身的概念和性质集合是由一组特定元素组成的整体。
这些元素可以是任何东西，例如数字、点、图形等。
集合中的元素可以是任意的，既可以是有限的，也可以是无限的。
集合本身具有一些性质，例如封闭性、结合性、交换性等。
2. 集合的分类根据集合中元素的特点，可以将其分为不同的类型。
例如，空集是不包含任何元素的集合；单元集只包含一个元素的集合；自然数集是包含所有自然数的集合；实数集是包含所有实数的集合等。
此外，还可以根据集合的其他性质对其进行分类，例如基数、序数、域、单调性、完备性等。
3. 集合之间的关系集合之间存在一定的关系，这些关系可以通过集合的基本运算得到。
例如，两个集合的交集是由两个集合中共有的元素组成的集合；两个集合的并集是由两个集合中所有元素组成的集合；补集是一个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合；差集是一个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合等。
4. 集合的基本运算集合的基本运算是数学集合中重要的概念之一。
常见的集合基本运算包括交集、并集、补集、差集等。
这些运算可以用于获取两个或多个集合之间的关系，或者用于对集合进行操作和变换。
在集合的基本运算中，需要注意一些特殊的规则和约定，例如空集和任意集合的交集都是空集，空集和任意集合的并集都是该任意集合等。
5. 集合的函数和映射函数和映射是数学中重要的概念之一，它们可以用于描述两个集合之间的关系。
在数学集合中，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合中的元素的工具。
而映射则是一种将一个集合的元素与另一个集合的元素建立对应关系的方式。
通过函数和映射，我们可以对集合进行各种操作和变换，例如映射可以将一个集合中的每个元素映射为一个平方数，从而得到一个新的集合。
数学集合的基本知识点总结
数学集合的基本知识点总结1. 集合的定义在数学中，集合通常表示为一个用大括号{}括起来的元素的集合，例如{1,2,3,4,5}就是一个包括了数字1到5的集合。
集合中的元素可以是任何类型的对象，例如数字、几何图形、人员名单等等。
2. 集合的性质（1）互异性：集合中的元素都是不同的，每个元素只能出现一次。
（2）确定性：一个元素或对象是否属于一个集合是可以明确确定的。
（3）无序性：集合中的元素没有顺序之分，例如{1,2,3}和{3,2,1}是同一个集合。
3. 集合的表示方法在数学中，可以用不同的方式表示一个集合，包括列举法、描述法和符号法。
（1）列举法：直接列举出集合中的所有元素，例如{1,2,3,4}。
（2）描述法：用一个描述性的语句或条件来表示集合中的元素，例如“所有大于0的整数”可以表示为{1,2,3,4,...}。
（3）符号法：用符号和运算符表示集合，例如{x|x>0}表示所有大于0的实数。
4. 子集和超集如果一个集合A中的所有元素都是另一个集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。
如果一个集合B中包含了集合A中的所有元素，那么称B是A的超集，记作B⊇A。
5. 空集空集是一个不包含任何元素的集合，记作∅。
在集合论中，空集是一个非常重要的概念，它是所有集合的子集。
6. 并集和交集（1）并集：两个集合A和B的并集，记作A∪B，是包含了A和B中所有元素的集合。
（2）交集：两个集合A和B的交集，记作A∩B，是同时包含在A和B中的元素构成的集合。
7. 补集集合A相对于集合B的补集，记作A-B，是指属于A但不属于B的所有元素构成的集合。
8. 集合的运算在集合论中，有许多与集合相关的运算，如并集运算、交集运算、补集运算等，这些运算为我们研究集合的性质和关系提供了有效的方法。
9. 集合的性质与定理在集合论中，有许多重要的性质和定理，这些性质和定理帮助我们更深入地理解集合的结构和关系。
其中一些重要的性质和定理包括：（1）幂集的性质：给定一个集合A，其幂集是包括了A的所有子集的集合，幂集的元素个数是2^n个，其中n是A的元素个数。
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集合及运算
集合：一般的，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合。
子集：对于两个集合 A和B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A是集合B的子集，记作A? B
空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为$
集合的三要素：确定性、互异性、无序性
集合的表示方法：列举法、描述法、视图法、区间法
集合的分类：(按集合中元素个数多少分为：)有限集、无限集、空集
常见数集：“N全体非负整数组成的集合“N+'或“N*'所有正整数组成的集合
“Z”
全体整数组成的集合"Q全体有理数组成的集合“ R全体实数组成的集合
关系：
元素属于集合：a € A
集合与集合:A? B , A=B
运算：
交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集。
记作A A B
并集：由所有属于集合 A或属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集记作A U B 补集：由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合，记为CuA
4 •集合的运算性质
(1)A A B=BA A ; A PB € A ; A PB € B ；A A U=A ; A A A=A ; A A$ = $
(2) A U B=BUA ; A € A U B; B € A U B ; A U U=U ; A U A=A ;A U $ =A ;
(3)Cu ( CuA) =A ; Cu$ =U; CuU=$ ; A A CuA=$ ; A U CuA=U;
(4)A? B, B? A，贝U A=B , A? B, B? C，贝U A? C
5.常用结论：
(1) A? B<=>A A B=A;A ? B<=>A U B=B; A U B=A A B<=>A=B
⑵ CuA A CuB=Cu(A U B), CuA U CuB=Cu(A A B)——德摩根律。