高等数学课件：3-7 函数图形的描绘

x
x
即
lim
f
(x)
a
b
0,
于是 a
lim
f (x) ,
x x
x
x x
b lim ( f ( x) ax). x
y
y f (x)
M
称直线y ax b 为x
y ax b
N
时 的 斜 渐 近 线。
x
O
x
同理如果存在极限
a lim f ( x) , b lim ( f ( x) ax).
解：定义域为(, ) . 因 y ( x 1)2( x 1), 零点为 x 1 和 x 1. y' (3x 1)(x 1), 驻点x 1 和 1/ 3 . y" 2(3x 1), 则 x 1 / 3. 无渐近线。
x ( , 1) 1 ( 1 , 1 ) 1 ( 1 ,1) 1
x
如果 lim f ( x) B, 则 y B 是 x 时的水平渐近线.
x
y
例如曲线y arctan x，
2
则y ,和 y
2
2
x
O
分别是 x 和 x 时
的 水 平 渐 近 线.
2
2.垂直渐近线
设曲线C 的方程为y f ( x)
如果 lim f ( x) 或 lim f ( x)
( x) ( x)
(x)
0
0
极大值
1
2
(0,1) 1 (1,)
0
拐点
(1, 1 ) 2e
y1
2
•
1
O
•
1
x
例3.
讨论函
数y
1
(
36x x 3)2
的性状.
解：定义域: (, 3) (3,). x 3 为间断点.
y'
36(3 x) ( x 3)3
,
驻点x
3.
y"
72( x (x
6) 3)4
( 0, 1)
1
(1, 3 ) 2
3来自百度文库2
( 3 , ) 2
y' 0 0
y" 0
y凹 0
凹
3 3 极小 2
凹
x ( , 0) 0
y' 0
y" y凹 0
( 0, 1)
1
(1, 3 ) 2
3 2
( 3 , ) 2
0
0
凹 3 3 极小 凹
2
y
3 2
,
3
3 2
y
x
1 2
令 ( x) 0, 得点 x 1, x 1.
lim( x) lim
x
x
1
2
e
x2 2
0, 水平渐近线y
0.
函数图形的描绘
(x)
1
x2
e 2 , ( x)
2
x
2
x2
e2
,
( x)
(x
1)(x
2
1)
x2
e2
水平渐近线y 0.
x
( x) 0, 驻点 x 0,
( x) 0, 得x 1, x 1.
,
则x
6.
x 3是垂直渐近线.
y 1是水平渐近线.
x ( , 3) 3
y' y"
(3, 3)
3 (3, 6) 6
0 0
(6, )
y 凸
凸 4极大
凸
11 拐点 3
凹
x ( , 3) 3
y' y"
(3, 3)
3 (3, 6) 6
0 0
(6, )
y 凸
凸 4极大
凸
11 拐点 3
y
x
1 2
x 1
1
x
O
内容小结
给定函数y f (x)
（1）函数的常规性状 ： 定义域、连续、可导、周期、有界、奇偶、零点
（2）单调区间和极值：涉及一阶导数 （3）凹凸区间和拐点：涉及二阶导数 （4）函数图形的渐近线：水平、垂直、斜 （5）画出函数的图形 （可夸张）
第七节
函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数性状的描绘
第三章
一、曲线的渐近线
若曲线C上的动点M沿曲线无限远离原点时，点M与某条 直线L的距离趋于零，则称该直线L是曲线C的渐近线。
设曲线C 的方程为y f ( x)
1. 如果 lim f ( x) A, 则 y A 是 x 时的水平渐近线
x0
零点：x 1.
y
f '(x)
1 ln x2
x
,
1 e
f "( x)
3
2ln x3
x
.
O 1
e
3
x
x 轴是水平渐近线.
2e3/ 2
y 轴是垂直渐近线.
x
(0 , e) e (e , e3/2 ) e3/2 (e3/2, )
y' 0
y" 0
y
1 极大
3 拐点
e
2e3/ 2
例2 讨 论 函 数 y x3 x2 x 1 的 性 状
33
33 3 3
y' 0 0
(1, )
y" 0
y
凸 32 极大
27
凸 16 拐点
27
凹 0极小 凹
x ( , 1) 1 ( 1 , 1 ) 1 ( 1 ,1) 1
33
33 3 3
y' 0 0
y" 0
(1, )
y
凸 32 极大
27
凸 16 拐点
27
凹 0极小 凹
1
,
32
3 27
y
1
1 , 16 3 27
-1 O
x
1
函数图形的描绘
例
作函数(x)
1
e
x2 2
的图形.
2
解 D : (,), W : 0 ( x) 1 0.4. 2
偶函数, 图形关于y 轴对称.
( x)
x
2
x2
e 2,
(
x)
(
x
1)(
x
1)
e
x2 2
.
2
令 ( x) 0, 得驻点 x 0,
例1. 讨论函数 y ln x 的性状
x
解：定义域（：0, ), 零点：x 1.
f
'(
x)
1
ln x2
x
,
f"(x)
3 2ln x
x3
.
令 f "(x) 0, 则 x e3/2 .
驻点：x e .
lim f ( x) 0 , x 轴是水平渐近线.
x
lim f ( x) , y 轴是垂直渐近线.
x x0
x x0
则 x x0 是 曲 线 的 垂 直 渐 近 线.
y
例如曲线y 1 ， x 1
x 1是它的垂直渐近线
O
x
1
y
例如曲线y ln x，
x 0是它的垂直渐近线
O1
x
3.斜渐近线
曲线C的方程为y f ( x)
设曲线C 有如图的斜渐近线y ax b
则应有 lim MN lim[ f ( x) (ax b)] 0
x x
x
称直线y ax b 为x 时的斜渐近线。
二、函数性状的描绘
给定函数y f (x)
（1）函数的常规性状 ： 定义域、连续、可导、周期、有界、奇偶、零点
（2）单调区间和极值：涉及一阶导数 （3）凹凸区间和拐点：涉及二阶导数
（4）函数图形的渐近线：水平、垂直、斜
（5）画出函数的图形 （可夸张）
凹
y
y1
x 3
1
3, 4 6, 11
3
x
-3
O3 6
例4. 讨论函数y x3 的性状. x 1
解： 定义域: (,0] (1,).
y' x 3 2
x ( x 1)3
, 驻点x
3/ 2.
y"
3
.
4 x( x 1)5
x 1是垂直渐近线.
y
(
x
1 2
)
是两
条斜
渐近
线.
x ( , 0) 0