数学人教版九年级上册圆的切线证明与计算

人教版九年级数学上册第24章《圆：切线的性质和判定》

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
第二十四章圆
【例1】如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB 的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°.
求证：DC是⊙O的切线．
分析：因为点C在圆上，所以连接OC，证明OC⊥CD ，而要证OC⊥CD，只需证△OCD为直角三角形．
第二十四章圆
证明：如图，连接OC，BC. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠CAB＝30°， ∴BC＝ 1 AB＝OB＝ 1 OD，
2
∴∠OCD＝90°. ∴DC是⊙O的切线．
第二十四章圆
切线判定常用的证明方法： (1)有切点：连半径，证垂直：如果已知直线经过圆上的一
第二十四章圆
24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时切线的性质和判定
第二十四章圆
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A
作知直识线点l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l
和⊙O有什么位置关系？
O
·
l
A
第二十四章圆
总结
可以看出，这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，直线l就是⊙O的切线.这样，我们得到切线的判定定理：
连切点、圆心，得垂直关系.
第二十四章圆
1.如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠BCD＝50°，则∠AOC的度数为 (C)
A．40° B．50° C．80° D．100°
第二十四章圆
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，一个圆过点A，交AB边于点E，且与BC边相切于点D，则该圆的圆
∴OE=OD,即OE是⊙O的半径.这样，AC经过⊙O
的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC

人教版九年级数学上册切线的判定和性质

与☉O的位置关系，并说明理由.
又∵BD=DF， ∠ADB=∠GFD=90°
∴△ABD≌AGDF(ASA)
∴∠ADB=∠GFD=90°
∴AD//GFB
∴四边形ADFG为矩形
∴AG⊥OA
∴直线AG与00相切
1.如图，已知☉O的半径为5,直线EF经过☉O上一点P(点E,F在点P的两旁)，
下列条件能判定直线EF与☉O相切的是( D )
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点）
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.（难点）
直线和圆的位置关系有几种？用数量关系如何来判断？
交点个数
位置关系
数量关系
两个公共点
相交
d＜r
只有一个公共点
相切
d＝r
没有公共点
相离
证明:连接0P.
∵AB=AC，∴∠B=∠C
∵0B=OP，∴∠B=∠OPB
∴∠0PB=∠C，∴OP//AC
∵PE⊥AC
∴PE⊥OP
∴PE是00的切线.
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的
切线.
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明
AB⊥OC即可.
∠BAC=27°，则∠B等于( A )
A.36
B.54
C.110
D.140°
4.如图，直线l是☉O的切线，A为切点，B为直线l
上一点,连接0B交☉O于点C.若AB=12, 0A=5，则BC
的长为( D )
A.5
B.6
C.7
D.8
5.如图，AB是☉O的直径,PA切☉O于点A，线段P0交☉O于

初中数学人教九年级上册第二十四章圆-切线长定理

（1）写出图中所有的垂直关系；
B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（2）写出图中与∠OAC相等的角；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. （3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.△ABP △AOB
条切线，它们的切线长相
O
P
等，圆心和这一点的连线
平分两条切线的夹角. 几何语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
B PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
拓展结论 A
PA、PB是⊙O的两条切线，A、
B为切点，直线OP交⊙O于点D
E OCD
P
、E，交AB于C.
A
P O
B
课堂小结
切线长
切线长定理
原理作用
辅助线
图形的轴对称性
提供了证线段和角相等的新方法
① 分别连接圆心和切点； ② 连接两切点； ③ 连接圆心和圆外一点.
课后作业
1、《课后作业》 2、练习册
思考：PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点
A重合的点为B．
➢ OB是⊙O的一条半径吗？
A
➢ PB是⊙O的切线吗？
O.
P
➢ PA、PB有何关系？ B
➢ ∠APO和∠BPO有何关系？
（利用图形轴对称性解释）
二切线长定理
你能写出上述结论的证
明过程吗？
A
O.
P
B
切线长定理:
A
从圆外一点引圆的两
学习目标
1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（重点）

人教版九年级上册数学第二十四章圆的切线的证明题

圆中的切线证明与计算题1、如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点.求证：AC 与⊙D 相切.2.如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线．3.如图，是⊙O 的直径，是弦，∠DAB=22.5°，延长到点，使得∠ACD=45°。

（1）求证：是⊙O 的切线；（2）若，求的长．4.如图，⊙O 的直径AB=4，∠ABC=30°，BC 交⊙O 于D ，D 是BC 的中点．（1）求BC 的长；（2）过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，求证：直线DE 是⊙O 的切线．AB AD AB C CD 22AB BC OABPE C5.如图,已知A 是⊙O 上一点,半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点,OC=BC,AC=OB 21. （1）求证:AB 是⊙O 的切线；（2）若∠ACD=450，OC=2,求弦CD 的长.6.如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE=DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB=5，EB=3. （1）求证：AC 是⊙D 的切线; （2）求线段AC 的长.7.如图，在两个同心圆⊙O 中，大圆的弦AB 切小圆于点C. （1）求证：AC=BC;（4分）（2）若AB=8，求两圆之间圆环的面积(结果保留Π).(4分)8.如图，在⊙O中，弦BC⊥半径OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，点P为BC延长线上一点，PF=PE.（1）求证：PE是⊙O的切线;(3分)（2)若AD=2,BC=8，DF=1，求PE的长.(5分)9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．10.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于D，与边AC交于E，过D作DF AC于F.（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若DE AB＝5，求AE的长.11.如图，在△ABC中，AB＝AC，以边AB为直径作⊙O，交BC于D，过D作DE⊥AE. （1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OC，若∠CAB＝120︒，求DEOC的值.12.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F.求证：CD与⊙O相切.13.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是BC的中点，DE⊥AB于E，I是△ABD的内心，DI的延长线交⊙O于N.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝4，CE＝2，求⊙O的半径和IN的长.14.如图，在△ABC中，AB＝AC，I是△ABC的内心，⊙O交AB于E，BE为⊙O的直径. （1）求证：AI与⊙O相切；（2）若BC＝6，AB＝5，求⊙O的半径.=，点M为BC上一点，且CM＝AC.15．如图，AB是⊙O的直径，AC CE（1）求证：M为△ABE的内心；（2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求△BEM的面积.16.如图，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别交BC于D、AB于E，DF⊥AC. （1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AC切⊙O于G，⊙O的半径为3，CF＝1，求AC.。

人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)

三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置外心不一定在三角形内部内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为

人教版九年级初中数学上册第二十四章圆切线的性质定理

判定定理的表述
圆切线的判定定理：过圆外一点有且只有一条直线与圆切于一点。
证明方法：利用反证法，假设过圆外一点有两条直线与圆切于一点，则这两条直线重合，这与已知条件矛盾，因此假设不成立，故原命题成立。
应用：在解题过程中，可以利用圆切线的判定定理来判断某一直线是否为圆的切线。
注意事项：在应用圆切线的判定定理时，需要注意前提条件是“过圆外一点”，否则结论可能不成立。
性质定理的证明
定义：圆切线的定义是过半径的外端且垂直于这条半径的直线性质定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等证明方法：利用相似三角形的性质进行证明定理的应用：在解题中，可以利用这个定理来证明一些与圆有关的题目
求解与圆切线相关的问题
圆切线的定义和性质圆切线的判定方法圆切线的应用举例圆切线与其他几何图形的联系
判定定理的应用
判定圆内接四边形的对角是否互补判定一个四边形是否为圆外切四边形判定一个四边形是否为圆内接四边形判定一个四边形是否为圆外切四边形
性质定理的表述
圆切线的定义：过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。性质定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。性质定理的证明：利用勾股定理和切线的定义进行证明。性质定理的应用：在解题中利用此定理进行证明和计算。
注意事项：注意题目中的隐含条件，避免出现错误
拓展：通过练习和巩固，提高解题能力和思维水平
与圆切线相关的其他知识点
圆切线的定义和性质
圆切线的判定定理
圆切线的应用
圆切线与其他几何图形的联系
拓展知识的应用领域
几何学：圆切线在几何学中有着广泛的应用，如圆内接四边形、圆与圆的位置关系等
物理学：圆切线在物理学中也有着重要的应用，如圆周运动、弹性力学等

人教版九年级数学上册2切线长定理

N
证明：由切线长定理得
D
∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，
O
DN=DP
P
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
AL
即 AB+CD=AD+BC
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
C M B
练一练
1．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则 ∠BOC的度数为（） A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】C 【详解】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， ⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上， ∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4， ∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20．故选：C．
课后回顾
课后回顾
01
02
03
【答案】C 【详解】 ∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点， ∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°．故选C．
练一练
2．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（） A．10 B．15 C．20 D．25
知识回顾
圆的切线的判定定理和性质定理各是什么？
判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
问题1：如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
连接OP，以OP为直径作圆，与⊙O 交于A、B两点。连接PA、PB，则PA、PB即为⊙O切线。
A
O

数学人教版九年级上册圆的切线的性质及判定定理

根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件： O
l
A B
1.经过半径的外端； 2.与半径垂直．
应用格式(几何语言): OA是⊙O的半径 OA⊥l于A
l是⊙O的切线.
定理说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端” 和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：
O. O. A
l
l
A
B
３．应用：例１如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D， DE⊥AC. 求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD． ∵BD＝CD，OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线. ∴OD//AC. 又∵ ∠DEC＝90°, ∴ ∠ODE＝90°. 又∵ D在圆周上, ∴ DE是⊙O的切线. C E D B A O
A O
C
D
B
练习3 若Rt△ABC内接于⊙O,∠A=30°. 延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径, 求证：DC是⊙O的切线.
分析:如图
300 C 300 0 60 120.0 600 600 O B
A
D
O.
l
A
2. 如图,点A是⊙O与直线 l 的公共点,且 l ⊥OA .在直线 l 上任取异于点A的点B,则△OAB是 Rt△．而OB是Rt△ OAB的斜边，因此，都有OB>OA,即B 一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线只有一个公共点，因此 l 是圆的切线．由此可得：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
C

B
练习1.如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交 ⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC， ∠C＝30°. 求证：直线AB是⊙O的切线.

人教版九年级数学上册第24章《圆：切线长定理》

2
第二十四章圆
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时切线长定理
第二十四章圆
切线长定理
下面研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系.如图，过圆外一点P有两条直线PA,B分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
第二十四章圆
如图，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB,OP=OP. ∴Rt△AOP≌Rt△BOP. ∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
【例3】如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC
＝80°，则∠BOC的度数为( A )
A．130°
B．100°
C．50°
D．65°
分析：由题意知BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC＋∠OCB＝ 1 (∠ABC＋∠ACB)＝ 1 ×(180°－
2
2
80°)＝50°，∴∠BOC＝180°－50°＝130°.
第二十四章圆
1.下列说法正确的是( C ) A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
2.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为 A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( D )
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
第二十四章圆
【例2】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分别相切于点 D,E,F,且AB=9，BC=14，CA=13.求AF,BD,CE的长.
解：设AF=x，则AE=x. CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14. 解得x=4. 因此AF=4，BD=5，CE=9.

中考数学与圆的切线相关的证明与计算

中考数学与圆的切线相关的证明与计算圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .一、圆的切线的判定及相关计算1.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O，与BC 交于点D，点E 是弧BD 的中点，连接AE 交BC 于点F，∠ACB＝2∠BAE .求证：AC 是⊙O 的切线．例题1图【分析】连接AD，利用等弧所对圆周角相等及∠ACB＝2∠BAE 可得到∠BAD＝∠BCA，再结合直径所对圆周角为直角即可得证．证明：如解图，连接AD.例题1解图∵点E 是弧BD 的中点，∴弧BE ＝弧DE，∴∠1＝∠2 .∵∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1，∴∠ACB＝∠BAD.∵AB为⊙O 直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴∠DAC＋∠C＝90°.∵∠C＝∠BAD，∴∠DAC＋∠BAD＝90°.∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC. 又∵AB 是⊙O 的直径，∴AC 是⊙O 的切线．证明切线的常用方法：1．直线与圆有交点，“连半径，证垂直”．(1) 图中有90°角时，证垂直的方法如下：①利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；②利用平行线性质证明垂直：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；③利用三角形全等或相似：通过证明切线和其他两边围成的三角形与含90°的三角形全等或相似得证．(2)图中无90°角时：利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线，再根据“三线合一”的性质得证．2．直线与圆无交点，“作垂线，证相等”．2.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，且弧AD＝弧CD , 过点D 作CB 的垂线，与CB 的延长线相交于点E，并与AB 的延长线相交于点F .(1) 求证：DF 是⊙O 的切线；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AC＝8，求DF 的长．例题2图【解析】(1) 证明：如解图，连接DO 并延长，与AC 相交于点P.例题2解图∵弧AD = 弧CD，∴DP⊥AC.∴∠DPC＝90°.∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°.∵∠C＝90°.∴∠ODF＝90°，而点D 在⊙O 上，∴DF 是⊙O 的切线；(2) 解：例题2解图∵∠C＝90°，R＝5，∴AB＝2R＝10.在Rt△ABC 中，根据勾股定理可得，BC＝6 .∵∠DPC＋∠C＝180°，∴PD∥CE.∴∠CBA＝∠DOF.∵∠C＝∠ODF，∴△ABC ∽△FOD.∴CA / DF = BC / OD , 即8 / DF = 6 / 5 ,∴DF = 20 / 3 .类型二、切线性质的相关证明与计算3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点B 作⊙O 的切线DE，与AC 的延长线交于点D，作AE⊥AC 交DE 于点E .(1) 求证：∠BAD＝∠E；(2) 若⊙O 的半径为5，AC＝8，求BE 的长．例题3图【解析】(1) 证明：∵⊙O 与DE 相切于点B，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABE＝90°.∴∠BAE＋∠E＝90°.又∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°.∴∠BAD＝∠E；(2) 解：如解图，连接BC.例题3解图∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝8，AB＝2 ×5＝10 .∴在Rt△ACB 中，根据勾股定理可得BC = 6 .又∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E，∴△ABC ∽△EAB .∴AC / EB = BC / AB , 即8 / EB = 6 / 10 ,∴BE＝40 / 3 .4.如图，⊙O 的半径OA＝6，过点A 作⊙O 的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B 作BC∥OA，并与⊙O 交于点C，连接AC、CD.(1) 求证：DC∥AP；(2) 求AC 的长．例题4图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°.∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD＝90°.∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO.∴DC∥AP；(2) 解：∵AO∥BC，OD＝OB，例题4解图∴如解图，延长AO 交DC 于点E，则AE⊥DC，OE＝1/2 BC，CE＝1/2 CD.在Rt△AOP 中，根据勾股定理可得：OP＝10.由(1) 知，△AOP∽△CBD，∴BD/OP = BC/OA = CD/AP , 即12/10 = BC/6 = DC/8 ,∴BC = 36/5 , DC = 48/5 .∴OE = 18/5 , CE = 24/5 , AE = OA + DE = 6 + 18/5 = 48/5 ,在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：AC = 24√5 / 5 .5.如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的切线．作BM＝AB，并与AP 交于点M，延长MB 交AC 于点E，交⊙O 于点D，连接AD.(1) 求证：AB＝BE；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AB＝6，求AD 的长．例题5图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°. 又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE；(2) 解：如解图，连接BC.例题5解图∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝∠EAM＝90°，在Rt△ABC 中，AC＝10，AB＝6，根据勾股定理可得：BC = 8 . 由(1) 知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，AC/EM = BC/AM , 即10/2 = 8/AM ,∴AM = 48/5 .又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD.∴AD＝AM＝48/5 .。

人教版数学九年级上册24.2.2切线的性质与判定(教案)

人教版数学九年级上册24.2.2切线的性质与判定（教案）
一、教学内容
人教版数学九年级上册24.2.2切线的性质与判定：
1.理解并掌握切线的定义；
2.掌握切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线为圆的切线；
3.掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；
4.学会运用切线的性质解决有关切线长度、角度等问题；
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现同学们对切线的性质与判定这一章节的内容兴趣浓厚，这让我感到很欣慰。在导入新课环节，通过提出与日常生活相关的问题，成功吸引了学生的注意力，激发了他们的学习兴趣。但在后续的教学中，我也注意到一些需要改进的地方。
在理论介绍环节，我发现部分学生对切线定义的理解还不够深入，对切线判定定理的掌握也不够牢固。在接下来的教学中，我需要更加注重对基础概念的讲解，通过生动的例子和实际操作，帮助学生更好地理解切线的定义和判定定理。
-切线的性质：理解并掌握圆的切线垂直于过切点的半径，以及切线与圆的相切关系。
-实际问题中的应用：学会将切线的性质和判定定理应用于解决直线与圆的位置关系问题。
举例解释：
(1)通过图形演示和实际操作，让学生理解切线的定义，强调切线与圆只有一个交点。
(2)通过具体例题，如给定一个圆和一点，让学生画出经过该点且为圆的切线，从而加深对切线判定定理的理解。
(3)通过分析切线与过切点的半径的垂直关系，让学生明白切线的性质，并能够应用这一性质解决相关问题。
2.教学难点
-切线判定定理的理解：学生可能难以理解为什么经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
-切线性质的应用：学生在应用切线性质解决实际问题时，可能不知道如何建立数学模型和运用相关定理。
-解决实际问题时图形分析能力：学生在面对复杂的图形时，可能难以识别切线与圆的关系。

人教版数学九年级上册24.2.2.2《切线的判定和性质》说课稿

人教版数学九年级上册24.2.2.2《切线的判定和性质》说课稿一. 教材分析《切线的判定和性质》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。

本节内容是在学生已经掌握了圆的定义、性质以及圆的基本运算的基础上进行学习的。

本节内容主要介绍了切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系。

这些知识对于学生理解和掌握圆的性质，解决与圆有关的问题具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质和运算已经有了一定的了解。

但是，对于切线的定义、判定和性质以及切线与圆的位置关系可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要注重引导学生从已知的圆的性质出发，推导出切线的性质，从而帮助学生理解和掌握切线的相关知识。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论和操作，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和动手操作能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系。

2.教学难点：切线的判定和性质的推导过程，以及切线与圆的位置关系的理解。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用讲授法、引导发现法、小组合作学习和动手操作相结合的教学方法。

同时，利用多媒体课件和几何画板等教学手段，帮助学生直观地理解切线的性质和判定。

六. 说教学过程1.导入：通过复习圆的性质，引导学生思考与圆有关的问题，激发学生的学习兴趣。

2.引导发现：引导学生从已知的圆的性质出发，观察和思考切线的性质，引导学生发现切线的判定和性质。

3.讲解与示范：讲解切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系，并通过几何画板进行演示。

4.动手操作：让学生利用几何画板或者手工画图，自己尝试作出圆的切线，并判断其性质。

5.小组合作学习：让学生分组讨论，总结切线的性质和判定，以及切线与圆的位置关系。

人教版九年级上册数学第24章圆切线的判定和性质

4．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，下列能使过点 A 的直线
EF 与⊙O 相切于点 A 的条件是( A )
A．∠EAB＝∠C B．∠B＝90°
C．EF⊥AC
D．AC 是⊙O 的直径
5．(2018·无锡)如图，矩形 ABCD 中，G 是 BC 的中点，过 A，D， G 三点的圆 O 与边 AB，CD 分别交于点 E，F，给出下列说法： ①AC 与 BD 的交点是圆 O 的圆心； ②AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心； ③BC 与圆 O 相切．其中正确说法的个数是( C ) A．0 B．1 C．2 D．3
解：连接 CE. ∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ACE＝90°. ∵∠ACB＝50°，∴∠BCE＝90°－50°＝40°. ∴∠BAE＝∠BCE＝40°. ∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝70°. ∴∠EAC＝∠ADB－∠ACB＝20°.
15．(2019·天水)如图，AB，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD⊥ AC 于点 D，过点 A 作⊙O 的切线与 OD 的延长线交于点 P， PC，AB 的延长线交于点 F.
【答案】A
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，以点 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D. 求证：AC 与⊙D 相切．
证明：过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E. ∵AD 平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC， ∴DE＝DB，即点 D 到 AC 的距离等于⊙D 的半径． ∴AC 与⊙D 相切．
∴∠OCP＝∠OAP. ∵AP 是⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°. ∴∠OCP＝90°，即 OC⊥PC. ∴PC 是⊙O 的切线．
(2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段 CF 的长．【思路点拨】求得∠COF 的度数，在 Rt△COF 中，利用勾股定理求解．

人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定与性质课件(共24张PPT)

知识回顾
直线与圆相切的判定： 1.利用定义判定：直线和圆只有一
个公共点时，直线与圆相切. 2.利用直线与圆心距离判定：当圆
心与直线的距离等于该圆的半径时，直线与圆相切.
O
l
O d=r
l
新知探究
知识点1 切线的判定
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA. （1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
l
∴OA⊥l
ห้องสมุดไป่ตู้ 反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相 C 矛盾；
A MD
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂直，证半径.
随堂练习
1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，
d l
A
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于
O
这条半径的直线是圆的切线.
l
A
已知：直线 AB 经过 ⊙ O 上的点 C ，并且 OA=OB ，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.

切线的概念、切线的判定和性质-人教版九年级数学上册教案

切线的概念、切线的判定和性质-人教版九年级数学上册教案一、切线的概念1. 切线的定义在圆上取一点P，连接P与圆心O，若通过点P的直线与圆相交于点P，则这条直线称为该圆在点P处的切线。

2. 切线的性质切线只与圆相交于切点，且垂直于半径。

二、切线的判定1. 判定方法1在圆上任取一点P，连接P与圆心O。

若连接P与圆心O的线段与已知直线L 垂直，则L与圆的交点就是切点，而L即为此点处的切线。

2. 判定方法2在圆上任取一点P，连接P与圆心O。

作过点P并与已知直线L平行的直线，与圆相交于点Q。

再连接点Q与圆心O，则Q与L的交点即为圆在点P处的切点，L即为点P处的切线。

三、切线性质的应用1. 切线定理若一条直线与圆相交于点A、B，则与这条直线垂直的切线分别过点A、B。

2. 判定定理在圆上任取两点P、Q，以这两点为端点连一条线段，若该线段平分圆周角，则它的延长线必过圆的圆心。

3. 弦割定理两条互相垂直的弦互相垂直。

4. 弦长定理两条互相垂直的弦所对圆周的两段弧相等。

5. 弧上点角定理圆周上一点的任意两个角所对的弧长相等。

四、练习题1.已知圆O，半径为3.4cm，P为圆上一点，PA为一条直线，且PA=8.1cm。

求PA的垂线与OP的夹角。

2.已知圆的直径是20cm，D,E,F,G均在圆上。

若DE⊥FG，DE=12cm，FG=9cm，求DG的长。

3.已知圆心角ACB的弧度是20度，线段AB上一点D是圆上的一点，求角ADC的角度。

五、课堂小结1.切线的定义和性质。

2.切线判定方法和定理。

3.切线性质的应用。

4.练习题的解答。

六、作业1.完成课堂练习题。

2.独立思考，将切线定理、判定定理、弦割定理、弦长定理和弧上点角定理的证明写出来。

人教版九年级数学上册作业课件第二十四章圆专题(八) 与切线有关的证明与计算

人教版
第二十四章圆
专题(八) 与切线有关的证明与计算
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，以 CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°.
(1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若DF＝2，DC＝6，求BE的长．
解：(1)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝DB，又CO＝OE，∴OD∥BE， ∴∠CEB＝∠DOC＝90°，∴CE⊥AB， ∴AB是⊙O的切线
(1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若△ABC的边长为4，求EF的长．
解：(1)证明：如图，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝ 60°.∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝60°.∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝30°，∴∠ODE＝90°.∴DE⊥OD.∵点D在⊙O上，∴DE是 ⊙O的切线
(2)如图，连接 AD，BF，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AFB＝∠ADB＝90°，∴AF⊥BF，AD⊥ BD.∵△ABC 是等边三角形，边长为 4，∴DC ＝21 BC＝2，FC＝21 AC＝2.∵∠EDC＝30°，
∴EC＝12 DC＝1，∴EF＝FC－EC＝1
3．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A，C，D，且与AB相切于点A. (1)求证：BC为⊙O的切线； (2)求∠B的度数．
(2)如图，连接 EF，ED，∵BD＝CD＝6，∴BF＝BD－DF＝4，∵CO＝ OE，∠DOC＝90°，∴DE＝DC＝6，∵CE 为⊙O 的直径，∴∠EFC＝ 90°，∴EF＝ DE2－DF2 ＝4 2 ，∴BE＝ BF2＋EF2 ＝4 3
2．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E.

切线的判定与性质

切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直
这条半径的直线是圆的切线。
对定理的理解：
O l
A
切线必须同时满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．
定理的数学语言表达：
01
O
02
r
03
l
04
A
05
∵ OA是半径， l ⊥OA于A ∴ l是⊙O的切线
下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．
二．方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：
1. 根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线. 2. 根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆
的切线． 3. 根据切线的判定定理来判定．
① 其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一．
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。小结： O A l
⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
DB
A
O
EC
例1与例2的证法有何不同?
D
B
O
A
O
A
C
B
E C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到
辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：
24.2.2
人教版九年级上册
切线的判定定理
目直线与录圆的
位置关系
相交
相切
相离
图壹形
公共点个数
交公共点名点称