学院13.4 真空中的高斯定理
真空中静电场的高斯定理表达式
真空中静电场的高斯定理表达式
高斯定理（Gauss' Law）是一种在物理学中用来描述电磁场和电势场分布相互关系的理论性原理。
在真空中，根据高斯定理，电荷的静电场分布满足以下条件：
首先，静电场从电荷衰减到空间无穷远处，其分布具有反正切特性，即电势
V=q/4pi∊₀r，其中q为电荷，4πε₀为真空介电常数，r为电荷与场点的距离。
其次，对于有一个定向的电荷，电荷的静电势随距离的改变而改变：r正方向上的集流总量等于空间负区域上的电荷的正向集流量的总和；r负方向上的集流量总和等于正向电荷的负集流量总和。
也就是说，电势等效分布称为电荷的集流面，它具有封闭的面形，从电荷中出发，沿着斯特兰奇-平流线或几何线路循环，恢复到电荷本身。
最后，由于负集流等效于正集流，因此总集流量的总和为零。
由此可知，静电场的分布满足“积分等积准则”，即在电磁场的体积内，曲面的电势等效分布与电荷分布相等。
几十年来，高斯定理以其准确方便的计算过程和深刻精辟的理论正确性，为研究电磁场特性提供了有效的分析工具，在数学物理、电化学以及信息科学等领域都得到了广泛阐释与应用。
因而，被公认为是影响世界各个领域物理学研究的伟大原理之一，被教育作为研究领域的重要组成部分，在学校的物理课程中，受到广大学生的认可与喜爱，有助于学生培养独立思考的能力，增强学习的信心与热情。
真空中静电场高斯定理公式
真空中静电场的高斯定理公式=n(n+1)/2+1，高斯定理也称为高斯通量理论，或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式。
在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。
高斯定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
电通量真空中静电场的高斯定理
高斯定理的适用范围
真空环境
高斯定理适用于真空中静电场的情况，即没有电流和 变化的磁场。
静态场
高斯定理适用于描述静态场，即电场不随时间变化的 情况。
远场近似
对于远处的观察者或大尺度的空间区域，高斯定理提 供了一种近似描述电场分布的方法。
02 电通量与静电场的关系
电通量的概念
电通量是电场中穿过某一封闭曲面内 的电场线数，表示电场分布的强度和 方向。
详细描述
首先，根据微积分基本定理，电场E可以表示为电势V的负梯度，即E=-grad(V)。然后，对任意闭合曲面S 的体积分，有∫∫∫E⋅dV=∫∫(E⋅dS)⋅dV=∫∫∫grad(V)⋅dV=∫∫∫dV=∫∫V⋅dS。由于E⋅dS的方向与dS的方 向相同，因此高斯定理成立。
证明方法二：利用高斯公式
05 高斯定理的推广
推广到非均匀电场
总结词
在非均匀电场中，高斯定理的应用范围得到 扩展，可以描述电场分布的不均匀性。
详细描述
在非均匀电场中，电场线不再是均匀分布， 而是呈现出复杂的空间变化。高斯定理通过 引入电通量密度概念，能够准确描述这种非 均匀分布的电场特性。
推广到非线性电场
总结词
高斯定理在非线性电场中同样适用，可以描 述电场随空间和时间变化的非线性行为。
高斯定理是静电场的基本定理之一，它表明穿过任意封闭曲面的电通量等于该曲面 所包围的电荷量。
电通量与静电场的关系是相互依存的，电通量的计算需要依赖于静电场的分布，而 静电场的分布又受到电荷分布的影响。
03 高斯定理的证明
证明方法一：利用微积分基本定理
总结词
通过微积分基本定理，将电场分布表示为电势函数的梯度，再利用积分性质证明高斯定理。
大学物理 高斯定理
引言概述：在大学物理中，高斯定理是一项重要的物理原理，它描述了电场和磁场的性质。
高斯定理由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪中叶提出，是电磁学的基础之一。
本文将介绍高斯定理的概念、原理及其在电场和磁场中的应用。
正文内容：1. 高斯定理的概念1.1 定义高斯定理是描述电场和磁场分布的一种数学工具，它通过计算电场或磁场通过一个闭合曲面（高斯面）的总通量来研究场的分布。
1.2 数学表达高斯定理可以用数学表达式表示为：∮E·dA = q/ε0，其中∮E·dA表示场在闭合曲面上的总通量，q表示闭合曲面内的电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 高斯定理的原理2.1 高斯面的选择高斯定理中的高斯面是根据具体问题选择的，一般情况下我们选择对称性较高的闭合曲面，以简化计算。
2.2 电场线的特性高斯定理的基础是电场线的性质，电场线从正电荷流向负电荷，且与介质边界垂直，通过一个封闭曲面的电场线数目与该封闭曲面内的电荷量有关。
2.3 通量与电场强度高斯定理中的总通量与电场强度呈正相关关系，通过计算总通量可以得到闭合曲面内的电场强度大小。
3. 高斯定理在电场中的应用3.1 点电荷的场分布高斯定理可以用来研究点电荷周围的电场分布，通过选择以点电荷为中心的球面作为高斯面，可以计算出球面内外的电场强度大小。
3.2 均匀带电球壳的场分布对于均匀带电球壳，可以通过选择以球壳为中心的闭合曲面来计算球壳内外的电场分布，根据高斯定理可以得到球壳内外的电场强度大小。
4. 高斯定理在磁场中的应用4.1 磁场的总通量类似于电场，磁场也可以使用高斯定理来描述，通过计算磁场通过闭合曲面的总通量可以了解磁场的分布情况。
4.2 磁场的磁感应强度高斯定理在磁场中的应用可以得到磁场的磁感应强度大小，通过选择合适的闭合曲面，可以计算出曲面内外的磁感应强度。
5. 高斯定理的实际应用5.1 高斯定理在电容器中的应用电容器是电子器件中常见的元件，根据高斯定理，可以计算电容器两极板之间的电场强度，进而了解电容器的性能。
真空中静电场(高斯定理)
QR
电场方向、大小
Q P
o
r
E
S
dS
• 选取合适的高斯面(闭合面)
E dS EdS E dS E4 r 2
S
S
S
• 再根据高斯定理解方程
qi内
E4r 2 i 0
E 1
4 0
qi
i
r2
E 1
4 0
qi
ir2ຫໍສະໝຸດ ds E
ds
E ds
S
侧面
两底面
E2rl 0
利用高斯定理解出 E
ds r
l
Eds
E 2rl l 0
E 1 2 0 r
例三. 无限大均匀带电平面的电场分布
分析:无限大带电面两侧电场分布对称
作高斯面如图示:
e
E dS
例四. 金属导体静电平衡时,体内场强处处为0 求证: 体内处处不带电
证明：
在导体内任取体积元 dV
由高斯定理
E dS 0
qi内 内dV 0
S
i
V
体积元任取
内 0
证毕
作业
习题P321-322
7-15,7-17,7-18,7-21
讨论
Q P
Ro r
E
S
dS
r R qi 0
i
r R qi Q
i
rR E0
rR
E
1
4 0
Q r2
如何理解面内场强为0 ?
dE1 dE2
P
高斯定理公式物理
高斯定理公式物理高斯定理是物理学中一个非常重要的定理，它在电磁学等领域有着广泛而深刻的应用。
咱们先来说说啥是高斯定理。
简单来讲，高斯定理说的是通过一个闭合曲面的电通量等于这个闭合曲面所包围的电荷量的代数和除以真空中的介电常数。
哎呀，这听起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢捋一捋。
想象一下，有一个封闭的气球，气球里面放了一些电荷。
那从这个气球表面“流”出去的电场线的数量，就和气球里面的电荷量有关系。
这就好像气球是个神奇的口袋，装的电荷越多，从口袋表面“跑”出去的电场线就越多。
我给您讲讲我之前遇到的一件事儿吧。
有一次我在课堂上讲高斯定理，一个学生就特别迷糊，皱着眉头问我：“老师，这高斯定理到底有啥用啊？感觉好抽象。
”我笑了笑，拿起一个装满水的杯子，然后在杯子的侧面扎了几个小孔。
水从小孔里喷出来，形成了一些水流。
我就跟他说：“你看，这杯子就好比是一个带有电荷的物体，这些水流就像是电场线。
杯子里水越多，水流就越猛，这不就和高斯定理里电荷越多，电场线越多一个道理嘛。
”这学生听了，眼睛一下子亮了起来，好像突然就明白了。
那高斯定理的公式是啥呢？它可以写成Φ = ∑q/ε₀，其中Φ 表示通过闭合曲面的电通量，∑q 表示闭合曲面内所包含的电荷量的代数和，而ε₀是真空中的介电常数。
这个公式看起来简单，可里面的学问大着呢！比如说在计算一个均匀带电球体的电场分布时，咱们就可以巧妙地运用高斯定理。
假设这个球体带的电荷是均匀分布的，那我们就可以根据对称性选取一个合适的高斯面，通过计算通过这个高斯面的电通量，就能得出球体内外的电场强度啦。
再比如在处理平行板电容器的时候，高斯定理也是个大帮手。
通过选取合适的高斯面，就能很方便地得出电容器内部的电场强度和电容之间的关系。
总之啊，高斯定理就像是物理学中的一把神奇钥匙，能帮我们打开很多看似复杂的电磁学问题的大门。
它虽然有点抽象，但只要我们多琢磨、多联系实际，就能发现它的妙处。
希望通过我上面的这些讲解，能让您对高斯定理公式有一个更清晰的认识。
大学物理高斯定理
大学物理高斯定理简介大学物理中，高斯定理（也称为电通量定理）是电学领域中的一个重要定理，它描述了电场通过一个封闭曲面的总电通量与该曲面内的电荷量之间的关系。
高斯定理的数学表达式是一个面积分，通过对电场和曲面的特性进行积分计算，我们可以计算得到相应的电通量。
定理表述高斯定理可以用数学公式表述如下：其中， - 表示对封闭曲面 S 的面积分； - 表示电场的向量；- 表示面元矢量； - 是真空中的介电常数（气体中也可近似使用该值）； - 表示电荷密度在封闭曲面内的体积分。
解读根据高斯定理，电通量与环绕其的电荷量成正比。
如果电场线密集，表示电通量会相应增大，而如果电场线稀疏，表示电通量相应减少。
因此，高斯定理为我们提供了一种计算电场分布和电荷分布之间关系的方法。
高斯定理的背后思想是通过找到一个适当的曲面，使得计算曲面上的电场更加容易，从而求得电场的总电通量。
这个曲面可以是球面、柱面、立方体等等，具体选择曲面要与问题的几何特征和对称性相匹配。
应用举例例子1：均匀带电球考虑一个均匀带电球体，电荷密度为，半径为。
我们想通过高斯定理计算球内外的电场。
在这种情况下，由于球具有球对称性，我们选择一个以球心为中心的球面作为高斯曲面。
根据球对称性，球的电场在球面上处处相等，并且与球面的法线垂直。
因此，和在点积后等于，其中是球面上的电场强度。
曲面的面积元等于球的表面积元。
因此，高斯定理可简化为：等式的右边是整个球的表面积，用！表示。
由于电场是球对称的，且垂直于球面，所以电场与面积元相乘的结果在整个球面上是相等的。
由于曲面上的电场都是相等的，整个球面的面积元乘以电场强度后等于电场强度乘以整个球面的面积，所以可以简化为：解得：其中，为球内的总电荷量。
例子2：无限长均匀带电线考虑一个无限长均匀带电线，线密度为。
我们想通过高斯定理计算线外的电场。
在这种情况下，由于线具有柱对称性，我们选择一个以线为轴的柱面作为高斯曲面。
我们将柱面的两个底面分别设为 A 和 B，其中 A 的面积为，B 的面积为。
真空中磁场的高斯定理
高斯定理在磁场中的应用
计算磁场强度
确定磁场性质
通过高斯定理，可以计算出闭合曲面 内的磁场强度，从而了解磁场分布情 况。
高斯定理可以帮助我们确定磁场性质 ，例如在地球磁场中，高斯定理可以 帮助我们了解地球磁场的分布和强度 。
判断磁感应线的分布
高斯定理可以帮助我们判断磁感应线 的分布情况，例如在电流周围产生的 磁场中，高斯定理可以帮助我们判断 磁感应线的走向和密度。
数学表达式为
∮S B·dS = ΣI / μ0，其中B是磁场强度 ，dS是曲面S上的面积元素，ΣI是曲面 内包围的电流的代数和，μ0是真空中 的磁导率。
高斯定理的意义
高斯定理是磁场的基本定理之一，它反映了磁场与电流之间的关系。
高斯定理表明，在真空中，磁场是由电荷和电流产生的，并且磁场的分布可以通过电流来描述和预测 。
磁场高斯定理在科研问题中的应用
在科研领域，磁场高斯定理的应用也十分广泛。例如 ，在粒子物理和天体物理研究中，我们需要了解磁场 分布和演化规律，以便更好地理解宇宙中的各种现象 。
磁场高斯定理是研究这些问题的基本工具之一，它可以 帮助我们揭示宇宙中磁场的奥秘，进一步推动相关领域 的发展。此外，在生物医学研究中，磁场高斯定理也被 用于研究生物体的磁场感应和磁性药物等方向。
高斯定理的证明方法
高斯定理可以通过微积分的方法进行 证明，包括对磁场强度B的散度进行 积分运算。
VS
证明的关键在于理解磁场线无头无尾 的特性以及磁场与电流之间的关系。
高斯定理的应用
高斯定理在电磁学中有着广泛的应用，例如 计算磁场的分布、确定电流产生的磁场等。
高斯定理还可以与其他电磁学定理结合使用 ，例如与安培环路定律、法拉第电磁感应定
高斯定理的推导过程
高斯定理的推导过程1. 高斯定理的表述- 真空中的高斯定理：varPhi_E = frac{Q_{enc}}{ε_0}，其中varPhi_E=∮_{S}→E· d→S为通过闭合曲面S的电通量，Q_{enc}是闭合曲面S所包围的电荷总量，ε_0是真空介电常数。
2. 以点电荷为例推导高斯定理 - 计算点电荷产生的电场通过包围它的球面的电通量- 设点电荷q位于球心，半径为r的球面S包围该点电荷。
- 根据库仑定律，点电荷q在距离r处产生的电场强度→E=(1)/(4πε_0)(q)/(r^2)r̂，其中r̂是沿径向的单位矢量。
- 对于球面S，d→S = r^2sinθ dθ dφr̂（在球坐标系下）。
- 计算电通量varPhi_E=∮_{S}→E· d→S，将→E和d→S代入可得：- varPhi_E=∮_{S}(1)/(4πε_0)(q)/(r^2)r̂· r^2sinθ dθ dφr̂- 由于r̂·r̂ = 1，则varPhi_E=(q)/(4πε_0)∫_{0}^2πdφ∫_{0}^πsinθ dθ - 先计算∫_{0}^πsinθ dθ=-cosθ_{0}^π=2，再计算∫_{0}^2πdφ = 2π。
- 所以varPhi_E=(q)/(ε_0)，这表明点电荷q产生的电场通过包围它的球面的电通量等于(q)/(ε_0)。
3. 以点电荷为例推导高斯定理 - 计算点电荷产生的电场通过任意闭合曲面的电通量- 根据电场线的性质，电场线是连续的，从正电荷出发到负电荷终止或者延伸到无穷远。
- 对于包围点电荷q的任意闭合曲面S'，以点电荷为中心作一个半径为r的球面S。
- 由于电场线的连续性，通过闭合曲面S'和球面S的电场线数目相同，即它们的电通量相等。
所以通过任意包围点电荷q的闭合曲面的电通量varPhi_E=(q)/(ε_0)。
4. 多个点电荷情况推导高斯定理- 设空间中有n个点电荷q_1,q_2,·s,q_n，其中闭合曲面S包围了m个点电荷q_1,q_2,·s,q_m。
-真空中的高斯定理电势和电势差
E
复习：
2p 40 r 3
●均匀带电直线
P 中垂线上： 40 r 3 l 延长线上： E 4 π a l a E中线
0
中垂线上： E
E Ei 或 E dE
图示法 —电力线
切线方向表 E方向
d 疏密程度表大小 ：E ds
dS
注 意： 电力线代表合电场分布；
电力线性质：
电力线是假想的线；
E
①始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去向无穷远)； ②不形成闭合线； ③二电力线不会相交。
点电荷的电场线
l
+q
F
大小： M F l sin 方向： 顺时针
写成矢量式：
M l F ql E
0, 时, M 0
M PE
●点电荷
F qE
q在外电场 E 中所受的静电力为:
l
–q +q
●电偶极子在均匀外电 场中所受的合外力
dS
先 求 通 过 面 元 d S 电力线条数:
n ˆ
dS
d e Eds
通 过 面 元 d S 和 d S 电力线条数相等吗 相等 ?
E
所以，通过dS的电力线条数或 电通量为： d Eds = EdScos
e
设 E 与平面法线 n ˆ 夹角为
d e 根据 E 得 ds
q内 0 i
1. 静电场中任一闭合曲面 S , 若有 E dS 0, S
第十章真空中的静电场高斯定理
Φ
E dS S
(
S
E1
E2
Em
)
d
S
(
S
E1
E2
En
)
d
S
1
(
S
En
1
Em
)
d
S
0
qi
( S内)
5）电荷连续分布任意带电体可看作特殊旳点电荷系
S2
S1
Φ
E dS
1
dq
S
0 内
S 经过任意闭合曲面旳电通量
等于 1 d q 。
0 内
讨论 1） 闭合曲面旳电通量Φ 仅与曲面所围旳净电荷有关。 闭合面内旳电荷决定经过闭合面旳电通量，只要 S 内电荷不为零 ，则通量不为零 — 静电场是有源场。 正电荷 —— 喷泉形成旳流速场—— 源 。 负电荷 —— 有洞水池中旳流速场——汇。
S
1
0
qi
( S内）
经过任意闭 合曲面旳电 通量
高斯 面
面内电量旳代 数和，与面外 电荷无关
高斯 （1777-1855）
高斯是德国数学家、 科学家，他和牛顿、 阿基米德一起被誉为 有史以来旳三大数学 家。高斯是近代数学 奠基者之一，有“数 学王子”之称。
2、证明
1）以点电荷q 为球心旳任意球面上旳电通量
与场强垂直旳平面 引入面积矢量：
S Sen
面积矢量 S与该平面上场强 E旳点乘积，称为该平
面上电场强度 E 旳通量。 即： Φ E • S E • S
当面积矢量旳法线单位矢量
e与nen
场强 E成θ角时
Φ E S E S cos
E 通量正比于经过该平面旳电场线旳条数 。
真空中的高斯定理
证: 体内处处不带电
证明： 导体内任取体积元 dV 其表面积为 S
E dS 0
qi dV 0
S
i
V
体积元任取 0
立体角的概念
定义：线段元 dl 对某点所张的平面角
d dl0 dl0 dl cos
r0
r
r
立体角 面元dS 对某点所张的立体角
d
dS0 r0 2
dS0 r2
dS r2
E ds
S
侧面
两底面
E2rl
利用高斯定理解出E
E 2rl l 0
E
2 0r
rP
dE
ds r
l
Eds
例：求无限大平面的场强（电荷面密度为 ）
解: 对称性：平面对称 高斯面 求解E
dS
E dS EdS E dS 2ES
E
E
S
底面
底面
2ES S / 0
E 20
例 导体静电平衡时,体内场强处处为0
二.电通量
E
通过任意面积元的电通量 d E dS
通过任意曲面的电通量 d E dS
S S 正负号 与法线方向相关 E dS 0
通过闭合面的电通量 E dS S
面元方向规定：外法向
E dS 0
电力线穿出
E
E dS 0 电力线穿入
E dS 0
电力线净穿出
S
dq1 dS1 dq2 dS2
dq1 在P点场强
dE1
dS1 4 0r12
d 4 0
dq2 在P点场强
dE2
dS2 4 0r22
d 4 0
dE1 dE2
§3 高斯定理
一.电力线 方向：力线上每一点的切线方向
真空中的高斯定理公式
真空中的高斯定理公式嘿，咱今天就来聊聊真空中的高斯定理公式！说起这高斯定理公式啊，它在物理学中可是有着相当重要的地位。
咱们先来讲讲这公式到底是啥样的。
真空中的高斯定理公式表述为：∮E·dS = (1/ε₀)∑q 。
这里的 E 是电场强度，dS 是面积元矢量，ε₀是真空介电常数，∑q 则表示闭合曲面内所包含的电荷量总和。
可能这一堆符号和术语让您有点晕乎，别着急，我给您举个例子来好好说道说道。
就比如说，咱想象有一个带正电的球体，它的电荷均匀分布在球面上。
这时候，我们围绕这个球体画一个闭合的曲面。
根据高斯定理公式，我们就可以通过计算这个闭合曲面的电场通量，来得出球体内包含的电荷量。
那在实际应用中呢，高斯定理公式可帮了大忙啦！比如在研究电容器的电场分布时，我们就可以巧妙地运用这个公式来简化计算，更快地得出电场的强度和分布情况。
还记得我当年给学生们讲这个知识点的时候，有个小调皮鬼一直嚷嚷着听不懂。
我就耐心地又给他解释了好几遍，还带着他一起做了个小实验。
我们用一些小纸屑模拟电场线，通过改变电荷的分布来观察纸屑的运动方向。
这小家伙终于恍然大悟，那兴奋的小表情我到现在都还记得。
再来说说这公式的重要性。
它不仅仅是一个数学表达式，更是我们理解和描述电场性质的有力工具。
通过高斯定理公式，我们能更深入地理解电荷如何产生电场，以及电场如何在空间中传播和分布。
而且，在解决一些复杂的电场问题时，高斯定理公式往往能让我们找到捷径，避免繁琐的计算，轻松地得出关键的结论。
总之，真空中的高斯定理公式就像是物理学世界里的一把神奇钥匙，能帮我们打开很多关于电场的奥秘之门。
希望您通过我的讲解，对它能有更清晰的认识和理解！。
真空中高斯定理的数学表达式
真空中高斯定理的数学表达式1. 真空中高斯定理的数学表达式啊，那可是超级厉害的！就像你要把一堆糖果公平地分给小伙伴们一样，它能精确地算出电通量呢！比如在一个封闭的房间里，电荷分布在各处，通过这个表达式就能知道有多少电通量穿过这个房间啦。
2. 哇塞，真空中高斯定理的数学表达式啊！这就好比是一把神奇的钥匙，能打开理解电场的大门呀！想想看，一个带电荷的球体周围的电场，用这个表达式就能清楚明白啦！3. 嘿呀，真空中高斯定理的数学表达式可不简单呐！它就像一个聪明的导航仪，指引我们了解电场的奥秘呢！好比在一个复杂的电路中，它能告诉你电场的分布情况哟。
4. 真空中高斯定理的数学表达式呀，那可是相当重要的呢！就像我们找宝藏的地图一样，能让我们找到电场的关键信息！比如说研究一个电容器的时候，用它就对啦。
5. 哎呀，真空中高斯定理的数学表达式真的好神奇呀！它类似一个超级侦探，能找出电场的各种秘密呢！就像在一个神秘的磁场区域，靠它就能搞清楚状况咯。
6. 真空中高斯定理的数学表达式，哇，这简直就是物理学的瑰宝啊！好比是一个魔法公式，能解决好多电场的难题呢！比如计算一个带电环的电通量，它可派上大用场啦。
7. 哈哈，真空中高斯定理的数学表达式有意思极了！它就像一个贴心的小助手，帮我们搞定电场的问题呀！就像知道一个带电平板周围的电场情况，用它准没错。
8. 真空中高斯定理的数学表达式，这可太牛了吧！像一把锐利的剑，斩断对电场的困惑呀！比如分析一个复杂的电荷分布体系，它能发挥大作用哟。
9. 哇哦，真空中高斯定理的数学表达式太让人惊叹了！它如同一个智慧的精灵，引领我们探索电场的世界呢！像在研究一个电磁装置的时候，可少不了它。
10. 真空中高斯定理的数学表达式，绝对是物理学的精华呀！就好像是一盏明灯，照亮我们对电场的认知之路呢！比如要搞清楚一个静电场的特性，靠它就行啦。
我的观点结论：真空中高斯定理的数学表达式真的是非常重要且神奇的，在很多电场问题的研究中都起到了关键作用。
真空中的高斯定理
三. 高斯定理
高斯定理：是关于电场线、电荷分布、空间 曲面三者之间的关系；
高斯定理的导出
库仑定律 电场强度叠加原理
高斯 定理
三. 高斯定理
点电荷位于球面中心
q
E
Φe
4π
E dS
0r 2
q
dS
2. 推广到一般的电场，电场可以是任意带电体的电荷 产生的电场。电场力对电荷所作的功只与起点和终 点的位置有关，与所经历的路径无关。
静电场力是保守力，静电场是保守场。
二.静电场的环路定理
在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功：
A F dl q0E dl
b
a
z
en
E dS
S
E dS E dS E dS
s(柱侧面）
s ( 上底）
s (下底）
E dS 0 0
s ( 柱侧面）
+
E
+
r h
+
+o y
x
+ en en
E dS EdS
S
s ( 柱侧面）
S
E cosdS
S
E
dS
eˆn E
E
dS
S
E
规定
电通量是一个 标量，可正可负
1. 规定闭合曲面法线方向：向外为正！
2. 即如果电场线从闭合曲面内向外穿出则 电通量为正；反之，电通量为负
dΦe E dS E cosdS
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
非均匀电场强度电通量
v v dS = dS ⋅ en v v dΨ = E ⋅ dS Ψ = ∫ d Ψ = ∫ E cos θ d S s v v Ψ = ∫ E ⋅ dS s
v en
v E
θ2
v E
v dS
θ
v E
S 为封闭曲面
v dS 1
π θ1 < , 2
d Ψ e1 > 0
v E2
λ
r
z
+ +
v en
+ + +
v v S ∫ E ⋅ dS +
s (柱面）
v v ∫ E ⋅ dS =
s (上底）
v E
y
v v ∫ E ⋅ dS +
v v ∫ E ⋅ dS
s (下底）
h
x
v v = ∫ E ⋅ dS
s (柱面）
r
o
v en v en
v v ∫ E ⋅ dS =
S
λh ∫ EdS = ε s ( 柱面） 0
v v Q ∫ E ⋅ dS =
r>R
E=
Q 4π ε0R2
E
o
R
r
例3 无限长均匀带电直线的电场强度 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷， 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线 处的电场强度. 密度为 ，求距直线为 处的电场强度. 解 对称性分析：轴对称 对称性分析： 选取闭合的柱形高斯面
λh 2 π rhE = ε0
z
+ +
v E
λ E= 2 π ε 0r
h
x
r
+
o v y en +
+
E ⋅ 2πr ⋅ l =
1
ε0
λl
E
λ E= 2πε0r
电场分布曲线
O
r
例4 无限大均匀带电平面的电场强度 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷， 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密 处的电场强度. 度为 ，求距平面为 处的电场强度. 解
二
电通量(electric 电通量(electric flux)
通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面的电场强 度通量称电通量 度通量称电通量
v 均匀电场 ， 垂直平面 E
Ψ = ES v 均匀电场 ， 与平面夹角 θ E Ψ = ES cos θ v v Ψ = E ⋅S
S
v E
θ
S
θ
v en
v v E ⋅ dS = ES左 cos π = − ES左 v v E ⋅ dS = ES右 cos θ = ES左
三
高斯定理(gauss 高斯定理(gauss law)
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量, 在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,等于该曲 闭合曲面的电场强度通量 面所包围的所有电荷的代数和除以 0 . 面外电荷无关 闭合曲面称为高斯面） 电荷无关， （与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
ε
v v 1 Ψ = E ⋅ dS = ∫
S
ε0
∑q
in
v 请思考： 请思考：1）高斯面上的 E与那些电荷有关 ？ 2）哪些电荷对闭合曲面 s 的Ψ 有贡献
？
库仑定律 高斯定理的导出 电场强度叠加原理
高斯 定理
点电荷位于球面中心
E=
Ψ = ∫
S
q 4 π ε 0r
q
2
r
+
v dS
v v E ⋅ dS = ∫
r v d Ψ 1 = E1 ⋅ d S 1 > 0
v v dΨ 2 = E2 ⋅ dS 2 < 0
v E2
q
v dS2
v dS1 v
E1
dΨ 1 + dΨ 2 = 0 v v ∫ E ⋅ dS = 0
S
由多个点电荷产生的电场
v v v E = E1 + E2 + L
Ψ = ∫
=
S
q1
q2
v Ev
13.4
真空中的高斯定理
gauss law in vacuum
1. 2. 3. 4.
电场线 电通量 高斯定理 高斯定理的应用
电场线(electric 一 电场线(electric field line) 电场的图示法） （电场的图示法） 规 定
曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 切线方向为该点电场方向 1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为 v 该点电场强度的大小. 该点电场强度的大小. E = E = d Ψ / d S
Ψ3 =
−q
ε0
+q
S1 S2
−q
ε0
S3
四
高斯定理的应用 高斯定理的应用
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 对称性 其步骤为 对称性分析； 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算. 应用高斯定理计算.
总 结
∫
S
v v 1 E ⋅ dS =
ε0
∑q
in
1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 所有内外电荷的总电场强度 2）高斯面为封闭曲面. 高斯面为封闭曲面. 3）穿进高斯面的电场强度通量为正，穿出为负. 穿进高斯面的电场强度通量为正，穿出为负. 4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. 仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. 通量有贡献 5）静电场是有源场. 静电场是有源场. 有源场
θ1 v E1
π θ2 > , 2
d Ψ e2 < 0
v dS 2
v E
闭合曲面的电场强度通量
v dS
v v dΨ = E ⋅ dS
Ψ = ∫
S
v v E ⋅ dS =
S
E cos θ dS ∫
S
θv E
例1 如图所示 ，有一 个三棱柱体放置在电场强度
y
v v E = 200 i N ⋅ C −1 的匀强电
q dS 2 S 4 πε r 0
Ψ =
ε0
点电荷在任意封闭曲面内
q dΨ = dS cos θ 2 4 πε 0 r q dS＇ = 2 4π ε0 r
其中立体角
+
v v dS＇ dS
q Ψ = 4 πε 0
dS＇ = dΩ 2 r
dΩ = ∫
q
r
ε0
θ
v dS＇
v dS
点电荷在封闭曲面之外
σ ε0
无 限 大 带 电 平 面
的 电 场 叠 加 问 题
0
+σ
−σ
0
σ ε0
0
总结
用高斯定理求电场强度的步骤： 用高斯定理求电场强度的步骤： 分析电荷对称性； (1) 分析电荷对称性； 根据对称性取高斯面； (2) 根据对称性取高斯面；
∗ 高斯面必须是闭合曲面 ∗ 高斯面必须通过所求的点 ∗ 高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算
dS
v v E ⋅ dS = ∫
S
S
v v ∑ Ei ⋅ dS
i
s
S
qi
∑∫
i (内）
v v Ei ⋅ dS +
∑ ∫
i （外）
v v Ei ⋅ dS
Q
∴Ψ =
i （外）
∑ ∫ ∑ ∫
S
v v Ei ⋅ dS = 0
S
v v 1 Ei ⋅dS =
（内） i
ε0
∑
i (内 ）
qi
Ψ 高斯定理 =
根据高斯定理求电场强度。 (3) 根据高斯定理求电场强度。
v E
场中 . 求通过此三棱柱体的 电场强度通量 .
o
z
x
解
Ψ =Ψ 前 +Ψ 后
+Ψ 左 +Ψ 右 +Ψ下 Ψ前 =Ψ后 =Ψ下
=∫ s v v E ⋅ dS = 0
y
N
P
v en
o
M
θ
v en
v en
z
Q
v E R x
Ψ左 = ∫
Ψ右 = ∫
s左
s右 Ψ =Ψ 前 +Ψ 后 +Ψ 左 +Ψ 右 +Ψ下 = 0
例2
均匀带电球壳的电场强度
一半径为R , 均匀带电 Q 的薄球壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度. 解（1） ）
r
s2
v v ∫ E ⋅ dS = 0
S1
0<r < R
v E =0
Q 4π ε 0r 2
+ + +
+
S1 +
+ + +
O R
r ++
+
+
（2） ）
S2
ε0 Q 2 4π r E = ε0
讨论
点
将
q2从 A 移到 B
电场强度是否变化？ P 电场强度是否变化？ 有否变化？ 穿过高斯面 s 的 Φe有否变化？
A q2 P *
q2 B
s
q1
面
的静电场中， 在点电荷 + q 和 − q的静电场中，做如下的三个闭合 求通过各闭合面的电通量 .
Ψ1 =
∫
S1
v v q E ⋅ dS =