(第12讲)状态观测器和分离原理
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K
定理：输出反馈不改变系统的能控性和能观性。 定理：输出反馈不改变系统的能控性和能观性。 不改变系统的能控性和能观性
v u
B
ɺ x
∫
A
x
C
y
ɺ x = ( A − BFC ) x + Bv y = Cx
F
Review
反馈系统极点配置定理
［状态反馈极点配置］：用状态反馈任意配 状态反馈极点配置］ 置闭环极点的充要条件是原系统能控。 置闭环极点的充要条件是原系统能控。
现代控制理论
（第10讲 2007年12月） 讲 年 月 状态观测器 带观测器的闭环系统 分离原理 自动化教研室 谭功全
Review
v u
状态反馈和输出反馈
B ɺ x
∫
A
x
C
y
K
ɺ x = ( A − BK ) x + Bv y = Cx
ɺ x = Ax + Bu y = Cx
v
令A e = ( A − HC )，则该齐次状态方程的解为
u
B
ɺ x
ɺ ɺ ɺ ˆ ˆ x e = x − x = ( A − HC )( x − x ) = ( A − HC )x e
t →∞
∫
A
x
C
y
x e (t ) = x e ( 0 ) e
Ae t
渐进状态估计应要 求什么条件呢？ 求什么条件呢？
−1 = s 2 + (3 + 2h1 ) s + (6h1 + 2h2 + 2) s + 3
4、比较系数即得反馈增益阵 、
∆ = ( s + 3)2 = s 2 + 6 s + 9 ⇒ h1 = 1.5, h2 = −1
ɺ ˆ ˆ x = ( A − HC)x + Bu + Hy −3 1 0 1.5 ˆ = x + 1 u + −1 y 0 −3
状态重构和状态观测器概念
问题： 问题：状态反馈在性能上的不可替代性和物理上 的不能实现性这一矛盾如何解决？ 的不能实现性这一矛盾如何解决？ 途径：是否可以构造或估计出系统的状态变量？ 途径：是否可以构造或估计出系统的状态变量？ 状态重构的实质：对给定被观测LTI系统∑ 状态重构的实质：对给定被观测LTI系统∑，构 实质 LTI系统 造与∑具有相同属性的LTI系统∑ LTI系统 利用∑ 造与∑具有相同属性的LTI系统∑′，利用∑中 可直接测量的输出ｙ和输入ｕ作为∑ 的输入， 可直接测量的输出ｙ和输入ｕ作为∑′的输入， ˆ 在一定指标下等价于∑ 并使∑ 并使∑′的状态 x 在一定指标下等价于∑的状态 ｘ。称 为被观测系统∑的一个状态观测器， ｘ。称∑′为被观测系统∑的一个状态观测器， ˆ 为被观测系统∑状态ｘ的重构状态。 称 x 为被观测系统∑状态ｘ的重构状态。 观测被控系统的全部（或部分）状态时， 观测被控系统的全部（或部分）状态时，称为全维 或降维）状态观测器。 （或降维）状态观测器。
［输出反馈极点配置］：对完全能控完全能 输出反馈极点配置］ 观测n维连续时间 维连续时间LTI系统，设rank(B)=p和 系统， 观测 维连续时间 系统 和 rank(C)=q，采用输出反馈 ，采用输出反馈u=v-Fy可对数目为 可对数目为 Min{n,p+q-1} 的闭环系统极点进行任意接近式配置。 的闭环系统极点进行任意接近式配置。
u
B
Βιβλιοθήκη Baidu
ɺ x
∫
A
x
C
y
ɺ x = ( A − BFC)x + Bv y = Cx
F
Review
反馈对系统能控和能观性的影响
定理：状态反馈不改变系统的能控性， 可能改 定理：状态反馈不改变系统的能控性，但可能改 变系统的能观性。 变系统的能观性。 y ɺ x v u x C B ∫ ɺ x = ( A − BK ) x + Bv A y = Cx
最后得到观测器的方程
练习： 练习：观测器设计
已知
−2 1 0 ɺ x = x + 1 u 0 −1 y = 1 0 x [ ]
要求设计观测器， 要求设计观测器，观 测器的极点为 -3, -3 答案
3 H= 4
• 1、判断系统的能观性。能观则一定可以设计全维 、判断系统的能观性。 观测器 • 2、根据已知的观测器极点位置，计算期望的观测 、根据已知的观测器极点位置， 器特征多项式 • 3、计算观测器的特征多项式 det[sI-(A-HC)] 、 • 4、比较系数，得到增益矩阵 、比较系数，得到增益矩阵H
o
CA
0 2
∆ = ( s + 3) 2 = s 2 + 6 s + 9 2、计算期望的观测器特征多项式 、
3、计算观测器特征多项式 sI − ( A − HC) 、
h1 h1 2h1 H = , HC = [ 2 0] = h2 h2 2h2 0 0
ˆ 状态估计误差： x e = x − x，则有
x I x = I ˆ 0 x x I x ，或 x = I − I e e 0 x − I x ˆ
状态变换后闭环系统方程
ɺ x A − BK BK x B = x + 0 v ɺ A − HC e x e 0 x y = [C 0] x e
k = kP ↔ k = kP −1
x = ( A − bkP −1 )x + bu ɺ y = cx
最后再变换回去
Review
用能观标准型进行极点配置算法
Step 1：判断系统(A,b)的能控性 ：判断系统 的能控性 Step 2：计算矩阵 的特征多项式 ：计算矩阵A的特征多项式
det(sI − A) = ∆(s) = s n + α n−1s n−1 + ⋯α1s + α 0
状态观测器存在定理的证明
定理：如果系统 状态完全能观， 定理：如果系统∑(A, B, C)状态完全能观，则可以由 状态完全能观 则可以由H 任意配置矩阵A-HC的特征值。 的特征值。 任意配置矩阵 的特征值 证明：考虑 证明：考虑∑(A, B, C)的对偶系统 Σ1 ( A1 , B1 , C1 ) 的对偶系统 根据对偶原理， 根据对偶原理， Σ1 ( A1 , B1 , C1 ) 能控 从而，可以引状态反馈， 从而，可以引状态反馈，任意配置系统极点 引入状态反馈后， 引入状态反馈后，系统特征多项式为
t →∞
ɶ ˆ y = y−y
−
C
ɺ ˆ x
∫
A
ˆ x
ˆ y
途径：比较输出，引反馈！ 途径：比较输出，引反馈！
渐近观测器的另一种图示
u
B
ɺ x
∫
A
x
C
y
H B
ɺ ˆ x
∫
A − HC
ˆ x
ɺ ˆ ˆ x = ( A − HC)x + Bu + Hy
关于状态估计误差的方程
ˆ 定义误差状态： x e = x − x，则渐进性等价于 lim x e → 0
[
]
1
Step 5：计算转换到能控标准型的变换矩阵 1 ：
α n −1 n −1 ⋱ P = A b ⋯ Ab b • ⋮ ⋱ 1 Step 6：计算原系统等价的状态反馈增益阵 α1 ⋯ α n −1 ： −1
[
]
k = kP
Agenda
• 全维状态观测器 • 带观测器的闭环系统
Step 3：计算由期望闭环极点决定的特征多项式 ：
* * ∆ (s) = ∏ (s − λ* ) = s n + α n−1s n−1 + ⋯α1*s + α 0 i * n i =1
Step 4：计算能控标准型状态反馈增益阵 ：
* * k = (α 0 − α 0 ), (α1* − α1 ),⋯, (α n−1 − α n−1 )
ˆ 状态反馈 u = v − Kx
K
u
−
B
ɺ x
∫
A
x
C
y
H
B
ɺ ˆ x
∫
A − HC
ˆ x
闭环系统方程为 ɺ x A −BK x B ɺ = x + B v ˆ x HC A − HC − BK ˆ x y = [C 0] x ˆ 数数维数吧！ 数数维数吧！
带状态观测器闭环系统的特征多项式
ɺ x A − BK BK x B = x + 0 v ɺ A − HC e x e 0 x y = [C 0] x e
B
H
ɺ ˆ x
ɶ ˆ y = y−y
−
C
∫
A
ˆ x
ˆ y
状态观测器存在的条件
ɶ • 观测器要实用，必然要求 lim x(t ) = 0 观测器要实用， t →∞ • 另外，状态估计误差应该以足够快的速度趋 另外， 于零。 于零。 • 但这些都取决于H的选择和 但这些都取决于 的选择和A-HC特征值的配 特征值的配 的选择和 这样的H是否总是存在的呢 是否总是存在的呢？ 置。这样的 是否总是存在的呢？ • 定理：如果系统的状态完全能观，存在矩阵 定理：如果系统的状态完全能观， H，我们能够任意配置 的特征值。 ，我们能够任意配置A-HC的特征值。 的特征值
开环状态观测器
u
B
ɺ x
∫
A
x
C
y
真实系统
B
ɺ ˆ x
∫
A
ˆ x
计算机模拟的系统 条件： 条件：模型已知
用模拟系统的状态向量代替真实系统的状态向量 问：这样可能出现什么问题？或者说有什么不同？ 这样可能出现什么问题？或者说有什么不同？
渐近状态观测器
u
B
ɺ x
∫
A
x
C
y
H
B
渐进： x = x lim ˆ
例题（续1）：计算 ）
已知
0 1 0 ɺ = x x + 1 u −2 −3 y = 2 0 x [ ]
要求设计观测器， 要求设计观测器，观 测器的极点为 -3, -3
s + 2h1 sI − ( A − HC) = 2 + 2h2
Agenda
• 全维状态观测器 • 带观测器的闭环系统
带状态观测器的闭环系统
v
−
u
B
ɺ x
∫
A
x
C
y
H
B
ɺ ˆ x
∫
A − HC
ˆ x
K
带观测器的闭环系统方程
ɺ 原系统方程 x = Ax + Bu v y = Cx 观测器方程 ɺ ˆ ˆ x = ( A − HC)x + Bu + Hy
例题： 例题：观测器设计
0 1 0 已知 x = ɺ x + 1 u −2 −3 y = 2 0 x [ ]
要求设计观测器， 要求设计观测器，观 测器的极点为 -3, -3
1、系统是否能观？这需要计算 、系统是否能观？ C 2 0 满秩， 满秩，能观 Q = =
引入状态估计误差， 引入状态估计误差，化简闭环系统
闭环系统方程
ɺ x A −BK x B ɺ = x + B v ˆ x HC A − HC − BK ˆ x y = [ C 0] x ˆ
Review
状态反馈任意极点配置
k
k
P
x
P
v
u
b
b
P
−1
ɺ x
s −1 I
P A
−1
x
c
c
y
A
x
P
原系统 ɺ x = Ax + bu y = cx 状态反馈系统
化为能控标准型
能控标准型系统 ɺ x = A x + bu y = cx 能控型状态反馈系统 ɺ x = ( A − bk )x + bu y = cx
sI − ( A1 − B1K ) = sI − ( AT − CT K ) = sI − ( A − K T C)
H = KT 所以， 所以，只要取
就有
sI − ( A1 − B1K ) = sI − ( A − HC)
这就意味着观测器的极点可以任意配置
状态观测器的直接设计步骤
• 已知系统 已知系统∑(A, B, C)，设计观测器的步骤是： ，设计观测器的步骤是： • 1、判断系统的能观性。能观则一定可以设计 、判断系统的能观性。 全维状态观测器 观测器。 全维状态观测器。 • 2、根据期望的观测器极点位置，计算期望的 、根据期望的观测器极点位置， 观测器特征多项式 • 3、计算观测器的特征多项式 det[sI-(A-HC)] 、 • 4、比较系数，得到增益矩阵 、比较系数，得到增益矩阵H
定理：输出反馈不改变系统的能控性和能观性。 定理：输出反馈不改变系统的能控性和能观性。 不改变系统的能控性和能观性
v u
B
ɺ x
∫
A
x
C
y
ɺ x = ( A − BFC ) x + Bv y = Cx
F
Review
反馈系统极点配置定理
［状态反馈极点配置］：用状态反馈任意配 状态反馈极点配置］ 置闭环极点的充要条件是原系统能控。 置闭环极点的充要条件是原系统能控。
现代控制理论
（第10讲 2007年12月） 讲 年 月 状态观测器 带观测器的闭环系统 分离原理 自动化教研室 谭功全
Review
v u
状态反馈和输出反馈
B ɺ x
∫
A
x
C
y
K
ɺ x = ( A − BK ) x + Bv y = Cx
ɺ x = Ax + Bu y = Cx
v
令A e = ( A − HC )，则该齐次状态方程的解为
u
B
ɺ x
ɺ ɺ ɺ ˆ ˆ x e = x − x = ( A − HC )( x − x ) = ( A − HC )x e
t →∞
∫
A
x
C
y
x e (t ) = x e ( 0 ) e
Ae t
渐进状态估计应要 求什么条件呢？ 求什么条件呢？
−1 = s 2 + (3 + 2h1 ) s + (6h1 + 2h2 + 2) s + 3
4、比较系数即得反馈增益阵 、
∆ = ( s + 3)2 = s 2 + 6 s + 9 ⇒ h1 = 1.5, h2 = −1
ɺ ˆ ˆ x = ( A − HC)x + Bu + Hy −3 1 0 1.5 ˆ = x + 1 u + −1 y 0 −3
状态重构和状态观测器概念
问题： 问题：状态反馈在性能上的不可替代性和物理上 的不能实现性这一矛盾如何解决？ 的不能实现性这一矛盾如何解决？ 途径：是否可以构造或估计出系统的状态变量？ 途径：是否可以构造或估计出系统的状态变量？ 状态重构的实质：对给定被观测LTI系统∑ 状态重构的实质：对给定被观测LTI系统∑，构 实质 LTI系统 造与∑具有相同属性的LTI系统∑ LTI系统 利用∑ 造与∑具有相同属性的LTI系统∑′，利用∑中 可直接测量的输出ｙ和输入ｕ作为∑ 的输入， 可直接测量的输出ｙ和输入ｕ作为∑′的输入， ˆ 在一定指标下等价于∑ 并使∑ 并使∑′的状态 x 在一定指标下等价于∑的状态 ｘ。称 为被观测系统∑的一个状态观测器， ｘ。称∑′为被观测系统∑的一个状态观测器， ˆ 为被观测系统∑状态ｘ的重构状态。 称 x 为被观测系统∑状态ｘ的重构状态。 观测被控系统的全部（或部分）状态时， 观测被控系统的全部（或部分）状态时，称为全维 或降维）状态观测器。 （或降维）状态观测器。
［输出反馈极点配置］：对完全能控完全能 输出反馈极点配置］ 观测n维连续时间 维连续时间LTI系统，设rank(B)=p和 系统， 观测 维连续时间 系统 和 rank(C)=q，采用输出反馈 ，采用输出反馈u=v-Fy可对数目为 可对数目为 Min{n,p+q-1} 的闭环系统极点进行任意接近式配置。 的闭环系统极点进行任意接近式配置。
u
B
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ɺ x
∫
A
x
C
y
ɺ x = ( A − BFC)x + Bv y = Cx
F
Review
反馈对系统能控和能观性的影响
定理：状态反馈不改变系统的能控性， 可能改 定理：状态反馈不改变系统的能控性，但可能改 变系统的能观性。 变系统的能观性。 y ɺ x v u x C B ∫ ɺ x = ( A − BK ) x + Bv A y = Cx
最后得到观测器的方程
练习： 练习：观测器设计
已知
−2 1 0 ɺ x = x + 1 u 0 −1 y = 1 0 x [ ]
要求设计观测器， 要求设计观测器，观 测器的极点为 -3, -3 答案
3 H= 4
• 1、判断系统的能观性。能观则一定可以设计全维 、判断系统的能观性。 观测器 • 2、根据已知的观测器极点位置，计算期望的观测 、根据已知的观测器极点位置， 器特征多项式 • 3、计算观测器的特征多项式 det[sI-(A-HC)] 、 • 4、比较系数，得到增益矩阵 、比较系数，得到增益矩阵H
o
CA
0 2
∆ = ( s + 3) 2 = s 2 + 6 s + 9 2、计算期望的观测器特征多项式 、
3、计算观测器特征多项式 sI − ( A − HC) 、
h1 h1 2h1 H = , HC = [ 2 0] = h2 h2 2h2 0 0
ˆ 状态估计误差： x e = x − x，则有
x I x = I ˆ 0 x x I x ，或 x = I − I e e 0 x − I x ˆ
状态变换后闭环系统方程
ɺ x A − BK BK x B = x + 0 v ɺ A − HC e x e 0 x y = [C 0] x e
k = kP ↔ k = kP −1
x = ( A − bkP −1 )x + bu ɺ y = cx
最后再变换回去
Review
用能观标准型进行极点配置算法
Step 1：判断系统(A,b)的能控性 ：判断系统 的能控性 Step 2：计算矩阵 的特征多项式 ：计算矩阵A的特征多项式
det(sI − A) = ∆(s) = s n + α n−1s n−1 + ⋯α1s + α 0
状态观测器存在定理的证明
定理：如果系统 状态完全能观， 定理：如果系统∑(A, B, C)状态完全能观，则可以由 状态完全能观 则可以由H 任意配置矩阵A-HC的特征值。 的特征值。 任意配置矩阵 的特征值 证明：考虑 证明：考虑∑(A, B, C)的对偶系统 Σ1 ( A1 , B1 , C1 ) 的对偶系统 根据对偶原理， 根据对偶原理， Σ1 ( A1 , B1 , C1 ) 能控 从而，可以引状态反馈， 从而，可以引状态反馈，任意配置系统极点 引入状态反馈后， 引入状态反馈后，系统特征多项式为
t →∞
ɶ ˆ y = y−y
−
C
ɺ ˆ x
∫
A
ˆ x
ˆ y
途径：比较输出，引反馈！ 途径：比较输出，引反馈！
渐近观测器的另一种图示
u
B
ɺ x
∫
A
x
C
y
H B
ɺ ˆ x
∫
A − HC
ˆ x
ɺ ˆ ˆ x = ( A − HC)x + Bu + Hy
关于状态估计误差的方程
ˆ 定义误差状态： x e = x − x，则渐进性等价于 lim x e → 0
[
]
1
Step 5：计算转换到能控标准型的变换矩阵 1 ：
α n −1 n −1 ⋱ P = A b ⋯ Ab b • ⋮ ⋱ 1 Step 6：计算原系统等价的状态反馈增益阵 α1 ⋯ α n −1 ： −1
[
]
k = kP
Agenda
• 全维状态观测器 • 带观测器的闭环系统
Step 3：计算由期望闭环极点决定的特征多项式 ：
* * ∆ (s) = ∏ (s − λ* ) = s n + α n−1s n−1 + ⋯α1*s + α 0 i * n i =1
Step 4：计算能控标准型状态反馈增益阵 ：
* * k = (α 0 − α 0 ), (α1* − α1 ),⋯, (α n−1 − α n−1 )
ˆ 状态反馈 u = v − Kx
K
u
−
B
ɺ x
∫
A
x
C
y
H
B
ɺ ˆ x
∫
A − HC
ˆ x
闭环系统方程为 ɺ x A −BK x B ɺ = x + B v ˆ x HC A − HC − BK ˆ x y = [C 0] x ˆ 数数维数吧！ 数数维数吧！
带状态观测器闭环系统的特征多项式
ɺ x A − BK BK x B = x + 0 v ɺ A − HC e x e 0 x y = [C 0] x e
B
H
ɺ ˆ x
ɶ ˆ y = y−y
−
C
∫
A
ˆ x
ˆ y
状态观测器存在的条件
ɶ • 观测器要实用，必然要求 lim x(t ) = 0 观测器要实用， t →∞ • 另外，状态估计误差应该以足够快的速度趋 另外， 于零。 于零。 • 但这些都取决于H的选择和 但这些都取决于 的选择和A-HC特征值的配 特征值的配 的选择和 这样的H是否总是存在的呢 是否总是存在的呢？ 置。这样的 是否总是存在的呢？ • 定理：如果系统的状态完全能观，存在矩阵 定理：如果系统的状态完全能观， H，我们能够任意配置 的特征值。 ，我们能够任意配置A-HC的特征值。 的特征值
开环状态观测器
u
B
ɺ x
∫
A
x
C
y
真实系统
B
ɺ ˆ x
∫
A
ˆ x
计算机模拟的系统 条件： 条件：模型已知
用模拟系统的状态向量代替真实系统的状态向量 问：这样可能出现什么问题？或者说有什么不同？ 这样可能出现什么问题？或者说有什么不同？
渐近状态观测器
u
B
ɺ x
∫
A
x
C
y
H
B
渐进： x = x lim ˆ
例题（续1）：计算 ）
已知
0 1 0 ɺ = x x + 1 u −2 −3 y = 2 0 x [ ]
要求设计观测器， 要求设计观测器，观 测器的极点为 -3, -3
s + 2h1 sI − ( A − HC) = 2 + 2h2
Agenda
• 全维状态观测器 • 带观测器的闭环系统
带状态观测器的闭环系统
v
−
u
B
ɺ x
∫
A
x
C
y
H
B
ɺ ˆ x
∫
A − HC
ˆ x
K
带观测器的闭环系统方程
ɺ 原系统方程 x = Ax + Bu v y = Cx 观测器方程 ɺ ˆ ˆ x = ( A − HC)x + Bu + Hy
例题： 例题：观测器设计
0 1 0 已知 x = ɺ x + 1 u −2 −3 y = 2 0 x [ ]
要求设计观测器， 要求设计观测器，观 测器的极点为 -3, -3
1、系统是否能观？这需要计算 、系统是否能观？ C 2 0 满秩， 满秩，能观 Q = =
引入状态估计误差， 引入状态估计误差，化简闭环系统
闭环系统方程
ɺ x A −BK x B ɺ = x + B v ˆ x HC A − HC − BK ˆ x y = [ C 0] x ˆ
Review
状态反馈任意极点配置
k
k
P
x
P
v
u
b
b
P
−1
ɺ x
s −1 I
P A
−1
x
c
c
y
A
x
P
原系统 ɺ x = Ax + bu y = cx 状态反馈系统
化为能控标准型
能控标准型系统 ɺ x = A x + bu y = cx 能控型状态反馈系统 ɺ x = ( A − bk )x + bu y = cx
sI − ( A1 − B1K ) = sI − ( AT − CT K ) = sI − ( A − K T C)
H = KT 所以， 所以，只要取
就有
sI − ( A1 − B1K ) = sI − ( A − HC)
这就意味着观测器的极点可以任意配置
状态观测器的直接设计步骤
• 已知系统 已知系统∑(A, B, C)，设计观测器的步骤是： ，设计观测器的步骤是： • 1、判断系统的能观性。能观则一定可以设计 、判断系统的能观性。 全维状态观测器 观测器。 全维状态观测器。 • 2、根据期望的观测器极点位置，计算期望的 、根据期望的观测器极点位置， 观测器特征多项式 • 3、计算观测器的特征多项式 det[sI-(A-HC)] 、 • 4、比较系数，得到增益矩阵 、比较系数，得到增益矩阵H