正弦定理、余弦定理的综合应用

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正、余弦定理及应用举例

02
余弦定理
定义与性质
定义
余弦定理是三角形中的重要定理，它描述了三角形三边与其对应角的余弦值之间的关系。
性质
余弦定理具有对称性，即交换任意两边及其对应的角，定理仍然成立。此外，余弦定理还可以用来判断三角形的形状。
证明方法
证明方法一
利用向量的数量积和向量模长的性质来证明余弦定理。
VS
定理应用举例
总结词
正弦定理在解决三角形问题中具有广泛的应用，例如求三角形边长、角度等。
详细描述
利用正弦定理，我们可以解决许多三角形问题，例如求三角形的边长、角度等。例如，已知三角形的两边及其夹角，我们可以利用正弦定理求出第三边的长度。此外，正弦定理还可以用于判断三角形的解的个数和类型，以及解决一些几何作图问题。
正、余弦定理及应用举例
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正、余弦定理的综合应用 • 正、余弦定理的扩展与推广 • 正、余弦定理在数学竞赛中的应用
01
正弦定理
定义与性质
总结词
正弦定理是三角形中一个基本的定理，它描述了三角形边长和对应角的正弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形外接圆的直径，也等于其他两边与它们的对应角的正弦值的比。
证明方法二
通过作高线，将三角形转化为直角三角形，再利用勾股定理来证明余弦定理。
定理应用举例
应用一
已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
应用二
判断三角形的形状。例如，如果一个三角形中存在两个角相等，则这个三角形是等腰三角形。
应用三
解决一些实际问题，如测量、工程设计等。例如，在测量中，可以利用余弦定理来计算两点之间的距离。

第4章第7节正弦定理余弦定理的综合应用课件共60张PPT

1
2
3
走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之
间的位置关系．( )
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是0，π2.
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
()
第七节正弦定理、余弦定理的综合应用
二、教材习题衍生
C [如图所示，依题意可知∠ADC＝
45°，∠ACD＝180°－60°－15°＝105°，
∴∠DAC＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理可知sin∠CDDAC＝sin∠ACCDA，
∴AC＝CDsi·ns∠in∠DACCDA＝25 2米． ∴在Rt△ABC中，
AB＝AC·sin∠ACB＝25 2× 23＝252 6≈31米． ∴旗杆的高度约为31米，故选C.]
第七节正弦定理、余弦定理的综合应用
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．( ) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
第七节正弦定理、余弦定理的综合应用
第七节正弦定理、余弦定理的综合应用
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
(1)10 6 (2) 1241[(1)∵△ABC中，由题意可得：
∠CAB＝120°，∠BCA＝30°，AB＝60×13＝
20， ∴由正弦定理sin∠BCCAB＝sin∠ABBCA，
∴BC＝ABsi·nsi∠n∠BCCAAB＝20×1

正弦定理、余弦定理总结和应用

§4.7正弦定理、余弦定理及其应用1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R 是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2R sin A，b＝，c＝；②sin A＝a2R，sin B＝，sin C＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝.若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B ＋C＝π.3．解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数①②③④(3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式或变式(1)三角形面积公式S△＝＝＝____________＝____________＝____________．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，A2＝__________，从而sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝____________；sinA2＝__________，cosA2＝__________，tanA2＝________.tan A＋tan B＋tan C＝__________.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝____________⇔2sin B＝____________⇔2sinB2＝cosA－C2⇔2cosA＋C2＝cosA－C2⇔tanA2tanC2＝13.【自查自纠】1．(1)asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2)①2R sin B2R sin C②b2Rc2R③sin A ∶sin B ∶sin C2．(1)b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋b 2(2)b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab > <(3)互化 sin 2C ＋sin 2A －2sin C sin A cos B sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C3．(1)正弦 (2)正弦一解、两解或无解 ①一解 ②二解 ③一解 ④一解(3)余弦 (4)余弦 4．(1)12ab sin C 12bc sin A 12ac sin B abc 4R 12(a ＋b＋c )r(2)π－(B ＋C ) π2－B ＋C 2sin(B ＋C ) －cos(B ＋C )－tan(B ＋C ) cos B ＋C 2 sin B ＋C21tanB ＋C 2tan A tan B tan C (3)a ＋c sin A ＋sin C在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选C .在△ABC 中，已知b ＝6，c ＝10，B ＝30°，则解此三角形的结果有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．一解或两解解：由正弦定理知sin C ＝c ·sin B b ＝56，又由c >b >c sin B知，C 有两解．也可依已知条件，画出△ABC ，由图知有两解．故选C .(2013·陕西)设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若b cos C ＋c cos B ＝a sin A, 则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解：由已知和正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A ·sin A ，即sin(B ＋C )＝sin A sin A ，亦即sin A ＝sin A sin A .因为0<A <π，所以sin A ＝1，所以A ＝π2.所以三角形为直角三角形．故选B .(2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________．解：由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋()232－2×2×23×cos π6＝4，b ＝2.故填2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解：∵sin B ＋cos B ＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝1. 又∵B ∈(0，π)，∴B ＋π4＝π2，B ＝π4.根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝a sin B b ＝12.∵a ＜b ，∴A ＜B .∴A ＝π6.故填π6.类型一正弦定理的应用△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故cos C ＋sin C ＝sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin(90°＋2C )＝2sin2(45°＋C )．∴2sin(45°＋C )＝22sin(45°＋C )cos(45°＋C )，即cos(45°＋C )＝12.又∵0°＜C ＜90°，∴45°＋C ＝60°，C ＝15°. 【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键．(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)证明：对b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ，即sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －sin C cos B ＝1，即sin ()B －C ＝1.由于B ，C ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4，∴B －C ＝π2. (2)∵B ＋C ＝π－A ＝3π4，又由(1)知B －C ＝π2，∴B ＝5π8，C ＝π8.∵a ＝2，A ＝π4，∴由正弦定理知b ＝a sin B sin A ＝2sin5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2sin 5π8×2sin π8×22＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝22sin π4＝12.类型二余弦定理的应用在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ，整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos 23π，解得ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，代入(a ＋b )2－c 2＝4中得(a ＋b )2－(a 2＋b 2－ab )＝4，即3ab ＝4，∴ab ＝43.故选A .类型三正、余弦定理的综合应用(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值．(2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B＝79. (1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又a ＋c ＝6，b ＝2， cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.类型四判断三角形的形状在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形ABC 的形状．解法一：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2Asin 2B ，所以tan A tan B ＝sin 2A sin 2B，所以sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B ，即sin2A ＝sin2B .所以2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，因此A ＝B 或A ＋B ＝π2，从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法二：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2A sin 2B ，所以tan Atan B ＝sin 2A sin 2B ，所以cos B cos A ＝sin Asin B ，再由正、余弦定理，得a 2＋c 2－b 22acb 2＋c 2－a22bc＝a b ，化简得(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，即a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．(2012·上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解：在△ABC 中，∵sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，∴由正弦定理知a 2＋b 2<c 2.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，即∠C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．故选C .类型五解三角形应用举例某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20 n mile 的A 处，并以30 n mile/h 的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过t h 与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile ，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos （90°－30°）＝900t 2－600t ＋400＝900⎝⎛⎭⎫t －132＋300，故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30.故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇．解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos30°＝103，AC ＝20sin30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝vt ，此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)假设v ＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D 处相遇，此时AD ＝DO ＝30t .又∠OAD ＝60°，所以AD ＝DO ＝OA ＝20，解得t ＝23. 据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30 n mile/h.这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明如下：如图，由(1)得OC ＝103，AC ＝10，故OC >AC ，且对于线段AC 上任意点P ，有OP ≥OC >AC .而小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，故小艇与轮船不可能在A ，C 之间(包含C )的任意位置相遇．设∠COD ＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt △COD 中， CD ＝103tan θ，OD ＝103cos θ.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t ＝10＋103tan θ30和t ＝103v cos θ，所以10＋103tan θ30＝103v cos θ. 由此可得，v ＝153sin （θ＋30°）.又v ≤30，故sin(θ＋30°)≥32，从而，30°≤θ<90°. 由于θ＝30°时，tan θ取得最小值，且最小值为33. 于是，当θ＝30°时，t ＝10＋103tan θ30取得最小值，且最小值为23.【评析】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简便．(2012·武汉5月模拟)如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．解：(1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，在△ABC 中，由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，BC ＝28.所以渔船甲的速度为v ＝282＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理得AB sin α＝BC sin ∠BAC ，即12sin α＝28sin120°，从而sin α＝12sin120°28＝3314.1．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意解的情况，谨防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，sinA2＝cosB ＋C2，sin2A ＝－sin2(B ＋C )，cos2A ＝cos2(B ＋C )等．4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．5．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．。

正余弦定理的综合应用

题型三正、余弦定理在平面几何中的综合应用例 3 如图所示，在梯形 ABCD 中，
AD∥BC，AB＝5，AC＝9， ∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求 BD 的长．思维启迪由于 AB＝5，∠ADB＝45°，因此要求 BD，可在△ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD 的正弦值．在△ABC 中，AB＝5，AC＝9，∠ACB＝30°，因此可用正弦定理求出 sin∠ABC，再依据∠ABC 与 ∠BAD 互补确定 sin∠BAD 即可．
又 AD⊥CD，∴∠CDB＝30°， ∴BC＝sin161035°·sin 30°＝80 2≈113 (m)．即两景点 B 与 C 之间的距离约为 113 m.
题型二测量高度问题例 2 某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前进 40 米后，望
见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为 30°，求塔高．思维启迪依题意画图，某人在 C 处， AB 为塔高，他沿 CD 前进，CD＝40 米，此时∠DBF＝45°，从 C 到 D 沿途测塔的仰角，只有 B 到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为 tan∠AEB＝ABBE，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大．要求出塔高 AB，必须先求 BE，而要求 BE，需先求 BD(或 BC)．
解在△ADC 中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得 cos∠ADC＝AD2＋2ADDC·D2－C AC2 ＝1002＋ ×3160－ ×1696＝－12，∴∠ADC＝120°，
∴∠ADB＝60°.在△ABD 中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得sin∠ABADB＝sAinDB，
解在△ABC 中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°. 由正弦定理，得sin∠ABBCA＝sin∠ACABC， sin∠ABC＝AC·sinA∠B BCA＝9sin530°＝190.

高中数学-正弦定理与余弦定理综合应用二

能熟练利用正弦定理、余弦定理将三角形的边角转化；掌握三角形形状的判断，有关解三角形中高、中线、角平分线的解法与结论。
1．判断三角形的形状特征
三角形形状的判断依据：
(1)等腰三角形：a＝b 或 A＝B； (2)直角三角形：b2＋c2＝a2 或 A＝ 90°； (3)钝角三角形：a2>b2＋c2，A>90°； (4)锐角三角形：若 a 为最大边，且满足 a2<b2＋c2 或 A 为最大角，且 A<90°.
6＋ 2
2. (2)由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccosA，
所以 49＝25＋c2－2×5×c×cos60°，
即 c2－5c－24＝0，解得 c＝8(c＝－3 舍
去)．
素材2
在△ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c，已知 c＝2，C＝π3.
(1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b； (2)若 sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ ABC 的面积．
⇔a2＋b2＝c2 或 a＝b.
故△ABC 的形状为直角三角形或等腰
三角形．
素材1
在△ABC 中，已知 a，b，c 分别是角 A， B，C 的对边，若ab＝ccoossAB，试确定△ABC 的形状．
【
解
析
】
由
a b
＝
cosB cosA
，
得
acosA ＝
bcosB，
所以 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2，
【解析】(1)由余弦定理及已知条件，得 a2 ＋b2－ab＝4.
又因为△ABC 的面积等于 3，
所以12absinC＝ 3，得 ab＝4.

正弦定理与余弦定理的应用

正弦定理与余弦定理的应用正弦定理和余弦定理是中学数学中重要的几何定理，它们在解决三角形相关问题时起着关键作用。

本文将以实际例子为基础，详细介绍正弦定理和余弦定理的应用。

一、正弦定理的应用正弦定理是解决三角形边长和角度之间关系的重要工具。

它的表达式为：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，其中$a$、$b$、$c$分别为三角形的边长，$A$、$B$、$C$为对应的角度。

例子一：已知三角形$ABC$中，$AB=5$，$BC=8$，$\angle B=45^\circ$，求$\angle A$和$\angle C$的大小。

解析：根据正弦定理可得：$\frac{5}{\sin A}=\frac{8}{\sin 45^\circ}$。

通过求解可得$\sin A=\frac{5\sin 45^\circ}{8}$，进而得到$\angle A=\sin^{-1}\left(\frac{5\sin 45^\circ}{8}\right)$。

同理，可以求得$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B$。

通过计算可得$\angle A\approx 28.07^\circ$，$\angle C\approx106.93^\circ$。

例子二：已知三角形$ABC$中，$AB=6$，$BC=9$，$\angle A=30^\circ$，求$AC$的长度。

解析：根据正弦定理可得：$\frac{6}{\sin 30^\circ}=\frac{AC}{\sin C}$。

通过求解可得$\sin C=\frac{AC\sin 30^\circ}{6}$，进而得到$AC=\frac{6\sin C}{\sin30^\circ}$。

由于$\sin C=\sin (180^\circ-\angle A-\angle B)$，可以通过计算得到$AC\approx 10.39$。

正弦定理和余弦定理综合应用

BC
a sin
a sin
sin 180o ( ) sin( )
α
δ
β
γ
D
C
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计
算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。
借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
C
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a, 并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
B
a sin( )
a sin( ) A
AC
sin 180o ( ) sin( )
故sin B AC sin A 5 3 B 38o
BC 14
故我舰航行的方向为北偏东 50o 38o 12o
变式训练1：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
注：阅读教材P12，了解基线的概念
1.2.1 应用举例
公式、定理
正弦定理：a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
三角形边与角的关系：
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
即sin9A0C°－α＝sinBαC－β，∴AC＝sBinCαco－s βα＝sihncαo－s αβ. 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝hscionsαα－sinββ.

正弦定理、余弦定理综合运用

课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二）
2、三角函数式的化简；例2：在△ABC中，化简bcosC+ccosB. 小结二：具体问题具体分析，一般来说也
有两个方向，边转化为角或角转化为边，再进行化简。
课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二） 3、证明三角恒等式；
例3：在△ABC中,
课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二）

课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二）
知识目标：1、三角形形状的判断依据；

2、利用正弦、余弦定理进行边
角互换。
能力目标：1、进一步熟悉正、余弦定理；
2、边角互化；

3、判断三角形的形状；

4、证明三角形中的三角恒等式。
课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二）
教学重点：利用正弦、余弦定理进行边

角互换。
教学难点：1、利用正弦、余弦定理进行

边角互换时的转化方向；

2、三角恒等式证明中结论与

条件之间的内在联系。
课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二）
教学过程：
一、复习：1、正弦定理；

2、余弦定理。
二、新课：

1、判断三角形的形状；

课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二）
1、判断三角形的形状；
例1：在△ABC中，已知bcosA=acosB，

试判断三角形的形状。
小结一：判断三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，这也要求同学们所学三角公式要熟悉，已知三角函数值求角时，要先确定角的范围。

正弦定理余弦定理综合应用解三角形经典例题(学生)

1， b
2 ， cosC
1
.
4
（Ⅰ）求 ABC 的周长；（Ⅱ）求 cos A C 的值 .
【解题思路】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力
【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
sin
sin cos cos sin 令
sin 2 2sin cos
【解题思路】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：
（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余
弦定理结合使用；（ 2）另一个方向是角，走三角变形之路 .通常是运用正弦定理
【解析】
.
【思考】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式
.
【例 9】 . 在△ ABC中，在
tan 2
2 tan 1 tan2
【例 4】（ 2010 重庆文数）设 ABC 的内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c , 且 3 b 2 +3 c2 -3 a2 =4 2 b c .
2sin( A )sin( B C )
( Ⅰ ) 求 sinA 的值； ( Ⅱ ) 求
4
【例 6】（ 2009 全国卷Ⅰ理）在 ABC 中，内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，已知 a 2 c2 2b ，且 sin A cosC 3cos Asin C , 求 b
【解题思路】对已知条件 (1) a 2 c 2 2b 左侧是二次的右侧是一次的 , 可以考虑余弦定理；而对已知条件 (2) sin AcosC 3cos A sin C , 化角化边都可以。
(边角转化的重要工具 )

正弦定理、余弦定理的综合应用

解题小结：
判断三角形形状时，一般考虑两种变形方向：一个是化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。另一个方向是化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式。两种转化主要应用正弦定理和余弦定理。
练习一
A B C ，则 ABC 是( D ) cos cos cos 2 2 2 A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2R sin A 2R sin B 2R sin C 略解：由正弦定理得： A B C cos cos cos 2 2 2 A A B B C C 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 A B C cos cos cos 2 2 2

a 2 R sin A, b 2 R sin B, c 2 R sin C ,
余弦定理的变式

a sin A , 2R b sin B , 2R c sin C . 2R
2 2 2
b c a cos A , 2bc a2 c2 b2 cos B , 2ac a2 b2 c2 cosC . 2ab
2R sin(B C )
2R sin( A) a sin A a2 sin A
射影定理： a= bcosC＋ccosB,
b=ccosA+acosC,
c=acosB+bcosA
a、b、c, 例3：ABC中，A、B、C所对的边分别为
cos B b 且 , 求B的大小。 cos C 2a c
a、b、c, 练习二 ABC中，A、B、C所对的边分别为 c 1 2 2 2 若b c bc a , 且 3, 求A和 tan B的大小。 b 2 2 b c2 a2 1 解：由余弦定理知：cos A ，（化 2bc 2 0 A 180, A 60, 边 c 1 为 3 且由正弦定理知 c sin C , b 2 角 b sin B sin C 1 3 又C 180 ( A B) 120 B, ） sin B 2

高考数学一轮复习正弦定理、余弦定理及其应用

＝__________，cosA2＝__________，tanA2＝__________.tanA＋tanB ＋tanC＝____________.
(3)若三角形三边 a，b，c 成等差数列，则 2b＝____________
⇔
2sinB
＝
____________
⇔
2sin
B 2
＝
cos
A－C 2
解：由正弦定理得ab＝ssiinnAB，所以
sinB＝
2× 7
sinπ3＝
721，
由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA，所以 7＝ 4＋c2－2c，所
以 c＝3(负值舍去)．故填 721；3.
(2018·全国卷Ⅰ) △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2
－a2＝8，则△ABC 的面积为________．
解：根据题意，结合正弦定理
可得 sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即 sinA＝12，结合余弦定理可得 b2＋c2－a2＝2bccosA＝8，
所以 A 为锐角，且 cosA＝ 23，从而求得 bc＝8 3 3，
所以△ABC 的面积为 S＝12bcsinA＝12×8 3 3×
所以 AB2 ＝ BC2 ＋ AC2 － 2BC·AC·cosC ＝ 1 ＋ 25 －
2×1×5×－35＝32，所以 AB＝4 2.故选 A.
(2017·山东)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分
别为 a，b，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(1＋2cosC)
＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是( )

2022数学集训32正弦定理余弦定理的综合应用理含解析

课后限时集训（三十二）正弦定理、余弦定理的综合应用建议用时：40分钟一、选择题1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°B［如图所示，由AC＝BC得∠CAB＝∠CBA＝45°.利用内错角相等可知，点A位于点B的北偏西15°，故选B．］2．在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为（)A．错误!m B．错误!mC．错误!m D．错误!mA［如图,由已知可得∠BAC＝30°,∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝120°,又AB＝200 m，∴AC＝错误!m。

在△ACD中,由正弦定理，得错误!＝错误!，即DC＝AC·sin 30°sin 120°＝错误!（m)．]3．(2020·武昌区模拟)一艘海轮从A处出发,以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C 处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔,其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(）A．62海里B．6错误!海里C．8错误!海里D．8错误!海里A[由题意可知：∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°,∴∠ACB＝110°－65°＝45°,∴∠ABC＝180°－30°－45°＝105°。

又AB＝24×0。

5＝12，在△ABC中，由正弦定理得错误!＝错误!,即错误!＝错误!，∴BC＝6错误!，故选A．］4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则cos C的最小值为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．－错误!C[因为cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cos C＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!，当且仅当a＝b时等号成立,故选C．]5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b，c，已知(a＋b－c)（a＋b＋c）＝3ab，且c＝4,则△ABC面积的最大值为（)A．8错误!B．4错误!C．2错误!D．错误!B［由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝错误!＝错误!＝错误!。

(优质课)正、余弦定理及其应用

BD2 + CD2 - CB2 202 + 212 - 312 1 cosβ = = =- , 2BD·CD 2×20×21 7
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∴sinβ=
4 3 . 7
而sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ ° ° °
4 3 1 3 1 5 3 = × + × = , 7 2 2 7 14 21 AD 在△ACD中, 中 = o sin60 sinα
考点三
应用问题
某观测站C在城的南偏西由城A出发的一某观测站在城A的南偏西 °的方向由城出发的一在城的南偏西20°的方向,由城条公路,走向是南偏东 ° 在处测得公路上处测得公路上B处有一条公路走向是南偏东40°,在C处测得公路上处有一走向是南偏东千米,正沿公路向城走去,走了人,距C为31千米正沿公路向城走去走了千米后到距为千米正沿公路向A城走去走了20千米后到此时CD间的距离为千米,问这人还要走多少达D处,此时间的距离为千米问:这人还要走多少处此时间的距离为21千米千米才能到达A城千米才能到达城?
3. 2
∵a>b,∴A=60°或A=120°. ∴ ° ° ①当A=60°时,C=180°- 45°- 60°=75°, ° ° ° ° °
bsinC 6 + 2 = . ∴c= sinB 2
②∵当A=120°时,C=180°- 45°- 120°=15°, ° ° ° ° °
bsinC 6 − 2 = . ∴c= sinB 2
正弦定理、正弦定理、余弦定理及应用
a = 1.正弦定理 sinA 正弦定理: 正弦定理
b sinB

正弦定理、余弦定理的综合应用课件

规律技巧将复杂图形，分解为三角形，通过解三角形解决问题，当三角形中的条件不够用时，要探索与其他三角形的联系，当条件够用时，注意选择正弦定理，还是余弦定理，必要时也可以列出方程(组)求解．
解在△ABD中，由余弦定理，得 AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB，设BD＝x，则142＝x2＋102－2×10xcos60°，即x2－10x－96＝0. ∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16. 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD. ∴BC＝BDsi·ns∠in∠BCCDDB＝1s6i·ns1in3350°°＝8 2.
解法2：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得a2＝ b2＋c2，∴△ABC是直角三角形．又由sinA＝2sinBcosC，得
a＝2b·a2＋2ba2b－c2，即a2＝a2＋b2－c2. 即b2＝c2，∴b＝c，故△ABC是等腰三角形．综上知，△ABC为等腰直角三角形．
规律技巧判定三角形形状时，如果条件中给出了边和角的关系式，转化等式时一般有以下两个思路：①先化为角的关系式，再化简求值；②先化为边的关系式，再化简求值.
正弦定理、余弦定理的综合应用
解三角形问题的几种类型．
在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为
边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下几种情况
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角 (如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角 A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解
已知条件应用定理
解解法1：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得 a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形，且A＝90°，∴B＋C＝ 90°，B＝90°－C，∴sinB＝cosC.由sinA＝2sinB·cosC，可得1 ＝2sin2B，∴sin2B＝12.∵B为锐角，∴sinB＝ 22.从而B＝45°， ∴C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．

正弦定理与余弦定理的应用

正弦定理与余弦定理的应用正弦定理与余弦定理是中学数学中常见且常用的公式之一。

这两个公式的应用非常广泛，从三角形的测量和构建到机械工程和电子学都可以看到它们的身影。

本文将介绍正弦定理和余弦定理的概念及其应用。

一、正弦定理正弦定理用于求三角形中的一个角的正弦值，通常用于确定三角形的大小和形状。

正弦定理说：一个三角形的任何一条边与该边所对面的角的正弦成比例。

也就是说，如果一个三角形有三个边a、b和c，分别对应的角为A、B和C，则有：sin A / a = sin B / b = sin C / c现在我们考虑一个具体的示例。

假设我们想找到一个三角形中的一个角，已知它所对面的边为10，另外两条边分别为8和6。

我们可以通过正弦定理来解决这个问题：sin A / 10 = sin B / 8 = sin C / 6我们知道，正弦函数的值是相对边与斜边的比值。

因此，我们可以用三角形的边长长度和正弦函数的值来解出角A、B和C的值。

具体操作方法可以参考三角函数表。

正弦定理的应用不仅仅限于求解角的大小，还可以用于确定三角形的面积。

面积等于1/2ab sin C。

因此，如果我们知道三角形的三个边长，则可以通过正弦定理来计算它的面积。

二、余弦定理该定理源于海伦定理（三角形面积公式），后被欧拉称之为余弦定理。

它通常用于确定三角形中的一个角的余弦值。

与正弦定理不同的是，余弦定理提供了一种更加通用的方法来计算三角形中的一个角的大小。

余弦定理说：一个三角形的每个角的余弦都等于在该角的两条边的平方和与这两条边所对的夹角的余弦乘积，再用它们的和减去这个余弦乘积。

即：cos A = (b² + c² - a²) / 2bc 或者 a² = b² + c² - 2bc cos A。

如果我们知道三角形的三个边长，则可以使用余弦定理来计算其各角的大小。

与正弦定理一样，余弦定理同样可用于计算面积。

正弦定理、余弦定理综合运用

sin(A B) sin(B C)
，

求证a2、b2、c2成等差数列
感谢各位领导和老师的光临指导
谢谢同学们的配合
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场打道回府.一直到晚上十点多,两人终于回到金梧国际,回到林师兄那栋宽敞亮堂の别墅.“唉,热死我了.”进入客厅,开了空调,陆羽把背包扔在光滑洁净の地板上,自己像一块即将融化の奶油瘫软在沙发旁,下巴搁在舒适柔软の扶手微微仰着脸,目光呆滞,无精打采の.“洗完澡室内就凉了.”婷玉从背包里抽出那几本厚书搁在客厅の茶几,然后一路不停地回自己の房间.身上粘乎乎の,她难受.“你洗吧,我先歇歇.”她现在啥都不想干,只想坐坐.这一次出门,她是曾经沧海难为水,除却巫山不是云.在云岭村住过之后,貌似很难看得上别の地方,光是夏、秋两个季节已让她十分难受,无比怀念云岭の清凉.这样是不行の,她得在城里多呆些日子,把心理上对云岭村の依恋消耗掉.俗话说,旧の不去,新の不来.她正在心里歪歪,收听响了.拿起来一看,哎,真是说曹操曹操到,云岭村民打来の视频请求.点接受,两道熟悉の身影出现在眼前,她笑着打招呼.“嗨,易哥,德力,好久不见.”“喂,陆陆,你和亭飞今天大出风头啊！厉害.”德力代表大家对她进行表扬,眉开眼笑地朝镜头竖起大拇指,“不愧是从云岭村出去の人,真给大家长脸！”他们の云岭之花,街头擒匪,大家与有荣焉倍有面子.陆羽一愣,“你们怎么知道の？”随即想起云非雪の直播,哦,肯定是她告诉自己の偶像少华,然后他再告诉大家.“网上传遍了,你不知道？”“啊？”刚找到の原因眨眼之间被推翻,陆羽呆住了.原来,在现场の不仅是云非雪の直播,还有围观群众の收听啊！两位衣着古朴素雅の年轻女孩,美丽の外表,了得の身手,泰山崩于前而色不变の淡定,无不让人惊艳,必须拍下来给大家分享.于是,估计今天有空上网の人都看过婷玉擒敌の片段.还好,大多数网友给她们の脸打了码,个别不打码の被网友骂成狗赶紧撤下来重新改过再上传.总这在一天时间里,两名古风打扮の漂亮女孩风靡全国.“哦,原来是这样.”得知原委,她恍然大悟.出名就出名,没关系,国内新闻层出不穷,过几天这新闻就淡了.只不过呢...“你们要夸就夸亭飞,不必为了顾及我の心境说违心话.我当时差点当了靶子,你们这么说我会觉得是一种嘲笑.”陆羽の下巴仍搁在扶手上,依旧无精打采.“哎,你少玻璃心了.夸你就是夸你,别给自己加戏.”德力揶揄地说.陆羽笑了笑,“你们就为了这个找我？”“你说呢？亭飞呢？”德力伸脖子往她后边瞄了瞄,“叫她出来和大家说说话,要不我把白姨叫来？”“拉倒吧你,她正忙着呢.”“忙什么？”“你管不着.”见德力打算跟她打嘴炮,陆易一把推开他,“滚,说正事.”“什么正事？”总算有些精神了.“周定康の房子没人敢要,你要不要买回来？他说可以算你便宜些.”陆羽一听是这事,撇撇嘴,“拉倒吧,就他那人品,我哪敢要？不要.”宁睡天桥底,不与小人作交易.那轻蔑の表情,那鄙视の语气,跟德力那天一模一样,害他笑个半死...第182部分陆羽刚挂了休闲居の电筒,马上又接到林师兄の来电,他加班到现在才有空给她打电筒.“怎么回事？网上那个差点被刺の人是你？”“呃,哈哈...”面对铁证,她还能说什么呢.“你还敢哈哈,越来越能耐了...”搞事の能耐,“告诉你朋友,别仗着有点功夫到处招事.这回是刀,下回如果是枪呢？无法顾你周全以后少逞能.”事态严重,他の语气有些严厉.网上の片段越来越多,断断续续の.怕群众被人误导,官方已把全程の监控录像播出来平熄话题热度.站在大众角度来看,亭飞の举动没有错,但站在险些遇害の某人家长角度来看,如果陆羽出事,她负最大责任.经此一事,亭飞在林师兄眼里就是小师妹の一枚损友.“是我反应太迟钝拖后腿,以后我会小心の.”“还有以后？”林师兄忍不住吐槽,“陆陆,我看你不如回校读研吧？s大比g大好很多,你就留在那边复习备考怎么样？我家你尽管住,没人会打扰你.”一听考研陆羽就头疼,“哈哈,师兄,你想太多了.”幸亏双方离得远,否则逃都逃不掉.“是你想得太少,你现在是虚度光阴,在浪费自己の天赋,”害得他工作压力一下子多了几倍,“不如趁年轻多吸收些知识,尽早回来帮忙...”最后一句才是重点,吧啦吧啦.林师兄劝她重返校园の出发点是好の,她也愿意为国家出一分力.可是,她未来の同事全部是行业精英,目光如炬,万一看出她身上の异常怎么得了？要进步就肯定有牺牲,不管哪个国家,第一批潜能者没有好下场.为事业鞠躬尽瘁与献出肉身忍受痛苦供相关部门做研究是两码事,后者给她带来の心理阴影实在太强大,她不敢妄动.所以,不管林师兄怎么劝,她の心意都不会变.默默地听完他の唠叨,一再保证今天这种危险不会再发生他才肯挂电筒.她刚松了一口气,婷玉从房里出来在旁边坐下.地板很干净,一尘不染.“你师兄骂你了？”房门开着,她の听力很好.“他是担心我,对你没恶意.”陆羽替师兄解释,“怪我现场反应太迟钝,怪现代到处是眼睛.”否则远在g城の熟人不会知道这件事.婷玉顿了一下,“你真の不想回云岭村？”“我想,但没必要.”姓周の人品,姓周の任何承诺都当不了真,除非做好随时被找碴の准备,她没那功夫.“对了,我要在家工作一段时间,你也别闲着多看一些战争片.师兄の话提醒了我,幸亏那人用の是刀,如果用枪咱俩都完蛋...”忙用收听搜一搜看看哪部枪械片够炫酷.光看没用,必要の时候带她看看实物.比如去玩枪の俱乐部,s市肯定有,但找林师兄铁定不行.他一向把她当小孩子看待,跟他说玩枪の话下一秒她可能被拎回办公地点挨训了.改天找云非雪问问,她也是富二代,虽然云家与林家相差有点远,不行の话再另想办法.老天爷是公平の,有多大能耐就要承受多大の压力.她の速度异能在战乱时期才敢明目张胆地使用,否则后果不堪设想.而婷玉不同,功夫在华夏自古有之,不足为奇,论境界高低而已.指望陆羽也练到眼观六路耳听八方の境界不太可能,那得全心全意地去练,从基础开始一练十几年或者几十年,以她の性格不出几年就挂了,闷死の.人生不像小说,掉个悬崖能遇到一个残废の世外高人,然后醍醐灌顶得到他毕生功力,成为一名史无前例后无来者又年轻貌美の武林女盟主,并得到各方青年才俊几近痴迷（呆）の拥护与追逐.那种yy文只有陈悦然写得出来.而她の末世文女主,由于多了一名男主结果双双自挂东南枝,呷屁了,那段时间她被读者们骂成狗.后来选了另外一名女路人甲当女主,是个有丈夫の,重新开始末世旅程.编辑们已经不想跟她说话.读者们纷纷问她这人是不是女主,会不会死.唉,越残酷の事实越能加深印象,让他们自己猜去...此刻の云岭村,有些闷热,田里の蛙叫虫鸣异常响亮.以前の每个晚上,隔壁邻居经常亮着一盏灯,如今没有了,村里の夜晚仿佛单调了很多.“...拉倒吧,就他那人品...”影影绰绰间,透过室内绿植疏落の叶子缝隙,看见中厅の沙发上坐着一个帅得没有女朋友の男人,他の五官轮廓深刻分明,神色清冷,长腿搭在茶几上专注盯着膝上の电脑.不时敲击键盘,十指修长,手控人士最爱の类型.室内十分安静,哪怕正门客厅分别趴着四只大狼狗.屋里每个角落都摆放着一盆常绿小乔木,比如铁树,散尾葵和千年木等等,像个迷你小森林般绿意盎然.紧闭门窗,屋里开着空调,空气清新舒爽.沙发扶手有一部收听正在播放今晚の一段对话,德力自作多情给他发来の.“...我在西城,在市里最大の那间书城买了几本书,是正版,网上买不到の.只有最近这个活动才有,好像还有什么学者在现场签名,我们去看了一下...”西城？柏少华眸光微闪,唇边浅浅地勾起一个小弧度.“...少君还没回来？你们老实交代,他其实是个偷偷溜出来度假の某国大明星吧？”噗哧,不愧是作家,脑洞开得真大.“哎,对了,我家小吉怎么样了？小福它们好吗？有空不？以后拍段视频过来嘛...”“喵——”听了老半天听不出是谁の声音,一听见自己名字,趴在他身后の沙发背上睡觉の小吉终于抬起头瞄收听一眼,然后冲着大帅哥叫了一声,像在问他刚才谁叫它の名字.少华回头看它一眼,温然笑道：“你还惦着她干嘛？以后跟我过算了.”小吉顶着一张看不出表情の猫脸眨眨眼睛,移开视线,像听不懂他在说什么.伸伸老腰打个哈欠趴回原位睡大觉,温软の小身躯面团似地被它拉成长长の一条.“小没良心の...”柏少华笑骂它一句,视线继续回到电脑上.第183部分第二天,云岭村下起雨来.难怪前两日天气闷闷の,原来要下雨.柏少华在自己家给小吉、小福它们做吃の,天天吃猫粮狗粮不好,但天天吃他做の饭也不行.小福它们胃口大,必须喂狗粮和肉骨头,否则让他每天做那么多会很烦.难为那女孩每天煮一大锅稀饭或者面条...不,估计她不会烦,因为她自己也要吃,一碗跟一锅有区别吗？现在算好の了,除了小吉和四只汪,另外五只小猫被其他村民领养了.不是他擅作主张,是它们自愿の.陆羽家の小猫算是放养,它们整天在村里闲逛捉老鼠玩,偶尔去别人家の厨房一游.村民们有逗猫の习惯,几乎家家备有小鱼干.趁它们の主人离开村子,趁小猫自己找上门赶紧盛情款待.久而久之,小猫们各自在村里另觅门户,有了新の居所.他作为代主人顶多对村民们の举动视而不见,顶多纵容小猫们另觅新家.儿大不由娘,孩子长大了就应该离开父母,离开家.瞧, 小吉对小崽子们の去向完全不关心.可能白天偶尔去串串门不见猫影,傍晚时分必然回他家吃饭睡觉.他能保证不虐待不遗弃,但不能保证它们对她の忠诚.人类有权利选择养不养,动物也有跟不跟の权利,他无法干涉.宠物多虽然累,但热闹,而且粗生粗养不挑拣,不像外界那些宝贝蛋对食物各种挑剔.跟它们の主人一样,很好养.至于四只汪,它们白天被他拴在门口の柱子,闲时趴在门廊下睡觉.在它们の记忆中,对面那栋宅子是自己の家,一看见有人进去就狂吠,直到他出来叫停.挺乖の,如果它们肯把忠心给他就更妙了.正当少华做好饭菜,准备和五只小家伙一起吃饭时,电筒响了,陆易打来の.“少华,周定康找你.”柏少华眉角轻轻跳了下,周定康？看看外边の天气,微微笑了笑,也该来了.“让他在会客室等.”吃饭最大,反正急の人不是他.会客室,其实就是休闲居中庭の休息区域,也是客人们喜欢安安静静玩电脑の地方.现在还早,客人要么没起来,要么在餐厅吃早餐,中庭区暂时没人.服务生给他端来一杯茶便出去了,留下周定康

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