对换改变排列的奇偶性
高等代数,排列
第一章：行列式 排列 为了给出 n 阶行列式的概念， 需要讨论 n 个自然数组成的全排列的性质。 给定 n 个不同的自然数，它们形成的全排列有 n!个。 n 元排列的总数是 n!. 在 n 元排列 a1a2...an 中，任取一对数 aiaj（i＜j） ， 如果 ai＜aj，那么称这一对数构成一个顺序； 如果 ai＞aj，那么称这一对数构成一个逆序。 一个 n 元排列中逆序的总数称为逆序数，记作 r(a1a2...an) 逆序数为奇数的排列为奇排列。 逆序数为偶数的排列为偶排列。 定理 1 对换改变排列的奇偶性。 定理 2 任一 n 元排列与排列 123...n 可以经过一系列对换互变，并且所 作对换的次数 s 与这个 n 元排列有相同的奇偶性。 例 1 求 413625 的逆序数 解：从第一个数字 4 开始，4 与后面一个数 1 形成逆序。4 与再后面的 数 3 形成逆序……，所以构成逆序的数有：41，43，42，32，62，65. 是偶排列。 例 2 求 n 元排列 n(n-1)...321 的逆序数。并讨论奇偶性。 这是自然数的倒序，n 比后面任何一个数都大。所以 n 和后面每一个数 字都构成逆序，一共 n-1 个逆序。同理，n-1 与后面每一个数字有 n-2
(同底数幂相乘，底数不 变，指数相加，
s 从a1...ak对换到c1...ck，符号又改变，要再变 回，前面乘以（ - 1 ） ）
k ( k 1 ) 2
(1)
r ( c1c2 ...ck ) r ( d1d 2 ... d nk )
（ · -1 ）
c1 c2 ... ck
（ · -பைடு நூலகம் ）
.
= ai
i 1
k
k (1 k ) 2
对换定义及与排列的奇偶性的关系
列标排列234165的逆序数为
t 1 0 3 0 0 4
所以 a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
例3
用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为
t 452316 8
所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.
(1) a23a31a42a56a14a65 ; ( 2) a32a43a14a51a66a25 .
m 1 次相邻对换 a a b b b a 1 l 1 m a c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
推论 证明
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
对换定义及与排列 的奇偶性的关系
一、对换的定义
定义
在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
解
t Dn 1 a1,n1a 2,n 2 a n1,1a nn
1 1 2n 1 n 1t n! ,
川大版高数第三册答案(1)
川大版高数第三册答案(1)1.（）***** 1 1 0 1 0 3该数列为奇排列（）***** =5 2 0 0 1 0=8该排列为偶排列（3）n(n 1) 321 (n 1) (n 2) (n 3) n(n 1)2当n 4m或n 4m 1时，n(n 1) 321 为偶数，排列为偶排列当n 4m 2或n 4m 3时，n(n 1) 321 为奇数，排列为奇排列（其中m 0，1，2 )（4）135 （2n 1)246 (2n) 0 1 2 3 (n 1)n(n 1)2当n 4m或n 4m 1时，135 （2n 1)246 (2n) 为偶数，排列为偶排列当n 4m 2或n 4m 3时，135 （2n 1)246 (2n) 为奇数，排列为奇排列（其中m 0，1，2 )2.解：已知排列i1i2 in的逆序数为k，这n 个数按从大到小排列时逆序数为(n 1) (n 2) (n 3) 设第x数ix之后有r 个数比ix小，则倒排后ix的位置变为in x 1，其后n x r个数比in x 1小，两者相加为n x故inin 1 i13 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列当n 2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。
偶排列与奇排列各占一半。
4 （1）a13a24a33a41不是行列式的项a14a23a31a42是行列式的项因为它的列排排列逆序列n(n 1)个.2n(n 1)i1i2 in 2=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，应带负号（2）a51a42a33a24a51不是行列式的项a13a52a41a35a24=a13a24a35a41a52 因为它的列排排列逆序列(*****)=2+2+2+0+0=6 为偶数应带正号。
a115 解：a12a14a23a23a23a32a34a31a44a41利用为正负数来做，一共六项，为正，则带正号，为负则带负a42号来做。
第四节 对换
n1n2
Dn 1 2 n!.
三、小结
1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
2.行列式的三种表示方法
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al abb b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al bb b1 bm aa c1 cn
a1 alab1 bmbc1 cn ,Biblioteka 二、对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为
a1 al abb b1 bm 对换a与b a1 al bbaa b1 bm
除a ,b 外，其它元素的逆序数不改变.
当a b时， 经对换后 a 的逆序数增加1 , b 的逆序数不变; 当a b时， 经对换后 a 的逆序数不变 ，b的逆序数减少1.
将s 个奇排列的前两个数对换,则这 s个奇排 列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以 s t. 若将 t个偶排列的前两个数对换,则这 t个偶排列 全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 t s. 故必有s t.
结束
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
行列式对换
2
备注 1. 相邻对换是对换的特殊情形.
2. 一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.
3. 如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.
a1 L al a b1 L bmb c1 L cn
m 次相邻对换
a1 L al a b b1 L bmc1 L cn
m+1次相邻对换 a1 L al b b1 L bma c1 L cn
a1 L al b a b1 L bm
r ta1 L tal rb ra tb1 L tbm
4
t ta1 L tal ta tb tb1 L tbm
a1 L al a b b1 L bm a1 L al b a b1 L bm
r ta1 L tal rb ra tb1 L tbm 注意到除 a,外b ，其它元素的逆序数不改变.
t n 1 n 2L 21n n 2 n 3 L 2 1 n 1n 2 2
n1 n 2
Dn 1 2 n!
14
三、小结
1. 对换改变排列奇偶性．
2. 行列式的三种表示方法
D
(1)t( p1 p2L
a a L pn ) 1 p1 2 p2
anpn
p1 p2L pn
D
(1)t( p1 p2L
t(341526) t(234156) 5 3 8
所以 a32a43a14a51a25a66不是六阶行列式中的项.
12
例2 用行列式的定义计算 0 0L 0 1 0 0 0L 2 0 0
Dn L L L L L L n1 0 L 0 0 0 0 0L 0 0 n
13
解 Dn 1 t a a 1,n1 2,n2 L an1,1ann 1t 1 2L n 1 n 1t n!
排列、逆序与对换
任意一个排列经过一次对换后，其奇偶性改变
定理1
证 分两种情况讨论:
(1)对换相邻两个数的情况
若该排列为a1a2…alijb1b2…bmc1c2…cn。将相邻两个数i 与j 作一次对换，则
排列变为a1a2…aljib1b2…bmc1c2…cn。
定义2 在一个n 级排列p1p2 …pn 中，如果较大的数pt 排在较
小的数ps 的前面(ps<pt)，则称pt 与ps 构成一个逆序。一个n
级排列中逆序的总数称为逆序数，记作(p1p2…pn)。
对于任意一个排列，可以按照以下方法来求逆序数：设p1p2…pn 是
1，2，…，n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。
显然，对数1，a2，…，al，b1，b2，…，bm 和c1，c2，…，cn 来说，并不
改变它们的逆序数。但当i<j 时，经过i与j 的对换后，排列的逆序数增加1个；
当i>j 时，经过i与j 的对换后，排列的逆序数减少1个。所以，对换相邻两数后，
排列改变了奇偶性。
(2)一般情况
设排列为a1a2…alib1b2 …bmjc1c2 …cn。将i 与j 作一次对换，则排列变为
列的奇偶性相同。
定理2
n(n>1)个数共有n! 个n 级排列，其中奇、偶排列各占!Biblioteka 一半，分别有 个定理3
线 性 代 数
τ=t1 +t2 +…+t7 =0+1+0+3+2+2+6=14
(2)对于所给排列，前n 个元素：1，3，5，…，(2n-1)不构成逆序；2前
第四节 对换
b 当 a 时，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a a ab b bc c 1 l 1 m 1 n 现来对换 a 与b .
a a a b b b c c b a 1 l 1 m 1 n
m 次相邻对换
a a ab b b c c ab 1 l 1 m 1 n
2 1
t 不是现在的列标 p 2p 1p 3 的逆序数,但有什么关系呢?
下面看行标列标前后逆序数的变化:
1 2 行 123 213 行标排列的奇偶性改变一次
p p p p p p p p 列 123 2 1 3 列标排列的奇偶性改变一次
1 2
结论:
t 与现在列标的逆序数的奇偶性正好相反,现在行标排 列是奇数.
t 1 a a a , 也总有且仅有D中的某一项 p 1 p 2 p n
1 2 n
1 a a a , 与之对应并相等, 于是D与 D 1 1 q 2 q nq
s
1 2 n
中的项可以一一对应并相等,
D . 从而 D 1
定理3 n 阶行列式也可定义为
D 1 a a a p q q p q 1 1p 2 2 n n
变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立.
定理2 n 阶行列式也可定义为
t D 1 a a a p 1 p 2 p n
1 2 n
p p 其中 t 为行标排列 p 的逆序数. 1 2 n
证明 按行列式定义有
D 1 a a a 1 p p np 12 2 n
关于对换改变排列反序数的奇偶性的一种推理方法
关于对换改变排列反序数的奇偶性的一种推理方法
常加强
【期刊名称】《现代计算机（专业版）》
【年(卷),期】2016(000)026
【摘要】对《高等代数》中行列式排列理论的补充,从另一个角度证明和推理对换改变排列反序数的奇偶性,得出原排列反序数与对换后新排列反序数之间的关系及公式,使对换改变排列反序数的奇偶性更加清晰.
【总页数】2页(P36-37)
【作者】常加强
【作者单位】咸阳师范学院计算机学院,咸阳712000
【正文语种】中文
【相关文献】
1.排列奇偶性的一种简便判别方法 [J], 于育民;朱玉清
2.排列奇偶性的一种简便判别方法 [J], 董新萍
3.对换改变排列奇偶性的一个定量证明 [J], 焦荣政
4.冒泡排序的对换次数与排列逆序数相等的证明 [J], 李均成
5.关于对换改变排列反序数的奇偶性的一种推理方法 [J], 常加强
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线性代数(中国石油大学(华东))智慧树知到答案章节测试2023年
第一章测试1.二阶行列的乘积项中的元素可以取自同一行.A:对B:错答案:B2.A:12B:16C:-16D:-12答案:A3.A:2nB:4nC:0D:n答案:C4.A:B:C:D:答案:D5.齐次线性方程组的系数行列式等于零，则解是唯一的。
A:对B:错答案:B6.线性方程组的系数行列式不等于零，则解可能不唯一。
A:对B:错答案:B7.齐次线性方程组的存在非零解，则系数行列式一定等于零。
A:错B:对答案:B8.一次对换改变排列的一次奇偶性。
A:错B:对答案:B9.两个同阶行列式相加，等于对应位置的元素相加后的行列式。
A:错B:对答案:A10.克莱默法则对于齐次线性方程组而言，方程的个数可以不等于未知数的个数。
A:对B:错答案:B第二章测试1.因为零矩阵的每个元素都为零，所以零矩阵相等。
A:错B:对答案:A2.A:错B:对答案:A3.A:B:C:D:答案:C4.A:A的伴随矩阵的行列式等于A的逆矩阵的行列式B:A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方C:A和A的伴随矩阵的行列式相等D:A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n次方答案:B5.A:错B:对答案:A6.对角矩阵就是对角线上的元不全为零的方阵。
A:错B:对答案:A7.矩阵的加法与行列式加法相同。
A:对B:错答案:B8.A:对B:错答案:A9.上三角矩阵的伴随矩阵仍是上三角矩阵。
A:错B:对答案:B10.可逆上三角矩阵的逆矩阵仍为上三角矩阵。
A:对B:错答案:A第三章测试1.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算。
A:对B:错答案:A2.三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面。
A:对B:错答案:A3.n个n维向量线性无关可以推出它们构成的方阵的行列式等于零。
A:错B:对答案:A4.一个向量空间的基就是一个最大线性无关组。
A:错B:对答案:B5.向量组线性无关的充分必要条件是其个数等于向量组的秩。
A:错B:对答案:B6.A:错B:对答案:A7.A:错B:对答案:A8.A:对B:错答案:B9.A:错B:对答案:A10.A:A的秩等于4B:A的秩等于nC:A的秩小于等于3D:A的秩等于1答案:C第四章测试1.任意两个齐次线性方程组解的和仍为这个线性方程组的解。
线性代数重要知识点总结
线性代数N阶行列式定理1：任意一个排列经过对换后，其奇偶性改变。
推论：奇排列变成自然数顺序排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然数顺序排列的对换次数为偶数。
定理2：n个自然数（n-1）共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。
行列式的性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：交换行列式的两行（列），行列式变号。
*注2：交换i,j两列，记为ri↔ri（ci↔cj）。
推论1：如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，那么该行列式必为零。
性质3：用数k乘行列式的某一行（列），等于用k乘此行列式。
注3：第i行（列）乘以k，记为ri×k（ci×k）。
推论2：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
推论3：在一个行列式中，如果有两行（列）元素成比例，则这个行列式必等于零。
性质4：如果将行列式的某一行（列）的每个元素都改写成两个数的和，则此行列式可写为两个行列式的和，且这两个行列式分别为所在行（列）对应位置的元素，其它元素不变。
#注4：上述结果可推广到有限个数和的情形。
性质5：将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一个行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。
注5：以数k乘第j行加到第i行上，记作ri+krj；以数k乘第j列加到第i列上，记作ci+kcj。
行列式按行（列）展开余子式：Mij 代数余子式：Aij=（-1）i+j Mij引理：一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除aij外都为0，则该行列式等于aij 与它代数余子式的乘积，即D=aijAij[定理：行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
推论：行列式某一行（列）的每元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
k阶行列式：在n阶行列式D中，任意选定k行k列，位于这些行和列交叉处的k²个元素，按原来顺序构成一个k阶行列式M,称为D的一个k阶子式，划去这k行k列，余下的元素按原来的顺序构成一个n-k阶行列式，在其前面冠以符号(-1)的（i1+i2+…+i k+j1+j2+…+j k）次方，称为M的代数余子式，其中i1,i2,…,i k为k阶子式M在D中的各行标，j1,j2,…,j k为M在D 中的各列标。
魔方奇偶性和数学关系
魔方奇偶性和数学关系魔方是一种立体智力玩具，由27个小立方体组成，每个小立方体的面上都有一个色块。
魔方玩法是将小立方体转动，使得每个面的色块都组成一个完整的色块面。
魔方的奇偶性是指魔方打乱后，需要通过多少步才能还原成初始状态。
这个奇偶性与数学中的奇偶性有着密切的关系。
首先，我们需要知道一个概念，即置换。
在数学中，置换是指对一组元素进行重新排列的操作。
对于魔方来说，置换就是指将小立方体进行重新排列的操作。
例如，将魔方上一行的小立方体向右旋转一格，就是一个置换操作。
接下来，我们需要知道另一个概念，即置换的奇偶性。
对于一个置换，如果需要进行奇数次操作才能将初始状态变为最终状态，那么这个置换的奇偶性为奇数；如果需要进行偶数次操作才能将初始状态变为最终状态，那么这个置换的奇偶性为偶数。
通过以上的概念，我们可以将魔方的奇偶性与置换的奇偶性联系起来。
我们将魔方上每个小立方体的位置看作一个元素，那么将魔方打乱后的状态就是一个置换。
通过计算这个置换的奇偶性，我们可以得到魔方的奇偶性。
具体来说，我们可以将魔方上每个小立方体的位置编号，从1到27。
对于每个置换操作，我们可以将它看作是对这27个位置进行了重新排列，得到了一个新的位置序列。
然后，我们可以通过计算这个新的位置序列与原始位置序列之间的逆序对数，来确定这个置换的奇偶性。
如果逆序对数为偶数，那么这个置换的奇偶性为偶数；如果逆序对数为奇数，那么这个置换的奇偶性为奇数。
最终，魔方的奇偶性就是由它打乱后的置换的奇偶性决定的。
如果这个置换的奇偶性为偶数，那么魔方的奇偶性也为偶数，需要进行偶数步才能还原成初始状态；如果这个置换的奇偶性为奇数，那么魔方的奇偶性也为奇数，需要进行奇数步才能还原成初始状态。
对换改变排列的奇偶性
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a c c 1 l b 1 m a 1 n
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
第二章 行列式 §2 排列
定理1
对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列． 证明 1) 特殊情形：作相邻对换 设排列为
a a1 al ab b1 bm 对换 与 b a1 al ba b1 bm
除 a , b 外，其它元素所成逆序不改变.
第二章 行列式 §2 排列
例1： 求排列 32514 的逆序数。 解：
m1 3,
m2 1,
m 3 0,
m4 1,
m5 0
( 32514) 3 1 1 5
例2： 求排列 453162 的逆序数。 课堂练习：
9
（1） 1，3，·，2n－1，2，4，·，2n · · · ·
（2） 1，3，·，2n－1，2n，2n－2，·，4，2 · · · ·
考虑n元排列中自然排列只有一种除此之外任一n元排列都一定出现较大数码排在较小第二章行列式2排列定义2在一个排列中若某个较大的数排在某个较小的一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的逆序数奇排列逆序数为奇数的排列
定理1 对换改变排列的奇偶性． 定理2 任意一个排列与标准排列 123n 都可
经过一系列对换互换，并且所作对换的次数与 这个排列的奇偶性相同．
xn xn-1 x2 x1 的逆序数是多少？
第二章 行列式 §2 排列
线代_第1章行列式(知识点汇总)
对换改变排列的奇偶性
在排列中,将任意2个元素对调,
其余元素不动----对换
9
3.n 阶行列式
n阶行列式的定义
a11 a12 L
a21 a22 L
a1n
a2n
1
a a t 1 p1 2 p2
L
anpn
L L L L L L L
an1 an2 L ann
(1)t aq1 a1 q2 2 L aqnn
3
第1章行列式----知识结构
3.展开式：余子式Mij，代数余子式Aij ，
Aij 1 i j Mij
| A |
a A n
j1 kj kj
a A n
k 1 kj kj
a A n j1 ij kj
0(i
k)
a A n i 1 ik ij
0(k
j)
4.行列式计算：利用性质及展开定理
4
1.二阶与三阶行列式
二阶行列式： a11 a21
三阶行列式：
a12 a22
a11a22 a12a21
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
----大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆6序
全排列及逆序数(续)
逆序数: 一个排列中所有逆序的总数称为 此排列的逆序数. 排列的奇偶性
奇排列：逆序数为奇数的排列; 偶排列：逆序数为偶数的排列.
7
计算排列逆序数的方法
设P1P2…Pn是1,2,…,n这n个自然数的任一排 列，并规定由小到大为标准次序.
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全变成偶排列，并且它们彼此不同， s t. 同理，将 t 个偶排列的前两个数对换，则这 t 个
偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同， t s. 故 s t n!. 2
第二章 行列式 §2 排列
定理2
任意一个排列与标准排列 123 n 都可经过 一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个 排列的奇偶性相同．
第二章 行列式 §2 排列
考虑，在 1，2，3 的全排列中
有 3 个偶排列： 有 3 个奇排列：
123，231，312 132，213，321
一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半
定义3： 把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码 不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。
将相邻的两个数对换，称为相邻对换。
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 2) 一般情形
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a 与b.
第二章 行列式 §2 排列
a1al a b1bm b c1cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bmc1cn
m 1 次相邻对换 a1al bb b1bm aa c1cn
计算排列的逆序数的方法：
n个数的任一n元排列，先看数1，看有多少个比1大的数
排在1前面，记为 m1 ;
再看有多少个比2大的数排在2前面，记为
m 2
;
继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，记为
mn 0 ;
则此排列的逆序数为 m1 m2 mn
第二章 行列式 §2 排列
第二章 行列式 §2 排列
定义2： 在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的 数前面，就称这两个数构成一个逆序。 一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的逆序数,
通常记为 (i1 , i2 ,, in )
奇排列： 逆序数为奇数的排列。 偶排列： 逆序数为偶数的排列。
第二章 行列式 §2 排列
第二章 行列式 §2 排列
定理1
对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．
证明 1) 特殊情形：作相邻对换 设排列为
a1al abb b1bm 对换a与b a1al ba b1bm 除a ,b 外，其它元素所成逆序不改变.
第二章 行列式 §2 排列
当a b时， 经对换后 a 的逆序增加1个 , b 所成逆序不变; 当a b时， 经对换后 a 所成逆序不变 ，b的逆序减少1个.
本定理的后一结论显然成立(自然排列为偶排列).
第二章 行列式 §2 排列
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思考题
如果排列 x1 x2 xn-1 xn 的逆序数为 k ，则排列 xn xn-1 x2 x1 的逆序数是多少？
第二章 行列式 §2 排列
a1alab1bmbc1cn ,
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
第二章 行列式 §2 排列
推论
所有 n 级排列中，奇、偶排列各半， 均为 n! 个. 2
证明 设在全部 n 阶排列中，有 s 个奇排列， t 个
定义1：由自然数1,2 , ······, n 组成的一个有序数组称为
一个n 级排列。 12345
例如： 51234 都是数1,2, 3 , 4 , 5的一个排列。 53214
考虑：n个数的不同排列有n! 个。
自然排列： 按数的大小次序，由小到大排列。
考虑：n元排列中，自然排列只有一种 除此之外，任一n元排列都一定出现较大数码排在较小
例1： 求排列 32514 的逆序数。
解： m 3, m 1, m 0,
1
2
3
(32514) 3 1 1 5
m4 பைடு நூலகம் 1, m5 0
例2： 求排列 453162 的逆序数。 9
课堂练习：
（1） 1，3，···，2n－1，2，4，···，2n （2） 1，3，···，2n－1，2n，2n－2，···，4，2
证明： 对排列的级数n作归纳，证明前一结论成立。 1级排列只有1 个，结论自然成立。 假设结论对n-1 级排列成立，现证n级排列情形：
第二章 行列式 §2 排列
设 j1 j2 jn 是一n级排列，若 jn n ,由归纳, 则n-1级排列 j1 j2 jn 可经一系列对换变成排列 12 n - 1 ，则此对换将 j1 j2 jn 变成 12 n - 1 若 jn n ，先对 j1 j2 jn 作 jn , n 的对换，它就 变成 j1' j2' jn' -1n，则归结成前一情形，因此总成立.