概率论与数理统计PPT课件第三章随机向量及其独立性习题课.

表示取到的红球数与白球数. （1）求X与Y的联合分布律； （2）求（X,Y）的边缘分布律；
（3）求P( X 1,Y 1).
X0
Y
1
2 pj
0
C
2 2
C
3wenku.baidu.comC
1 2
C
2 3
C
2 5
C
2 6
C
2 6
C
2 6
C
2 6
1
C11C
1 2
C
C1 1
31
C
2 6
C
2 6
0
C11C
1 5
C
2 6
pi
C
2 3
C
2 6
C
31C
1 3
C
2 3
C
2 6
C
2 6
1
1只白球，2只黑球，3只红球，任取2只球， X与Y分别表示取到的红球数与白球数.
(3)P( X 1,Y 1)
1 P( X 2,Y 0)

1

C
2 3
C
2 6
4
5
1只白球，2只黑球，3只红球，任取2只球， X与Y分别表示取到的红球数与白球数.
列表如下
P(X=2, Y=1)=3/8
P(X=3, Y=0)=1/8
从表中不难求得:
P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8 P(X=2)=3/8, P(X=3)=1/8,
P(Y=1) = P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) =3/8+3/8=6/8,
P(Y=3) = P(X=0, Y=3) + P(X=3, Y=3) =1/8+1/8=2/8.
m
n e14(7.14)m (6.86)nm
m0 m!(n m)!
P( X

n)

n m0
e14(7.14)m (6.86)nm m!(n m)!
e14 n
n!
(7.14)m (6.86)nm
n! m0 m!(n m)!

e 14 n!
n
C
m n
nm
m!(n m)!
e14 (7.14)m (6.86)nm
m!
nm (n m)!
（令k n m）
P(Y m) e14 (7.14)m (6.86)nm
m!
nm (n m)!
（令k n m）
e14 (7.14)m (6.86)k
pij
6
9 18
3


(1) 求 与 应满足的条件; (2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
解 将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
Y
X
1
2
3
pi P{X xi }
1
1
1
1
1
6
9
18
3
1
2
3


1
3
pj P{Y yj } 1
2
1
9
1
18
如下表所示
6. 以X记某医院一天出生的婴儿个数，Y记 其中的男婴个数. 设X和Y的联合分布律为
e14(7.14)m (6.86)nm
P( X n,Y m)
,
m!(n m)!
m 0,1,2,, n;n 0,1,2,.
求边缘分布律.
解 P( X n) P(X n,Y m)
4. 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一 概率分布，
X0 1
P 0.5 0.5
试求 : Z max( X ,Y )的分布律.
解 因为X与Y相互独立,
所以 P{X i,Y j} P{X i}P{Y j}.
XY 0
01
(1 2)2 (1 2)2
1
(1 2)2 (1 2)2
2
3
(1)由分布律的性质知 0, 0, 2 1,
3 故与应满足的条件是:
0, 0 且 1 .
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
P( X i,Y j) P( X i) P(Y j),
= P{X=0, Y=1} 得
(0.4+b)(a + b) = b (2)
由(1) (2) 得 a = 0.1 b = 0.4
YX 0 1 0 0.4 a
1 b 0.1
2. 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
111 1
m!
k0 k!
e 14 (7.14)m e6.86
m!
e7.14 (7.14)m , m 0,1,2,.
m!
7. 设随机变量 X 和Y 相互独立,并且 X 服从N (a, σ 2 ),Y 在 (b, b) 上服从均匀 分布,求 ( X ,Y )的联合概率密度.
特别地，
i 1,2; j 1,2,3
P( X 1,Y 2) P( X 1) P(Y 1)

1 9

1 3

1 9






2, 9
又
1,
3
得
1. 9
3. 袋中装有1只白球，2只黑球，3只红球，
从中随机地任取2只球，随机变量X与Y分别
(7.14)m
(6.86)nm
m0
e14 (7.14 6.86)n e14 (14)n ,
n!
n!
n 0,1,2,.
以X记某医院一天出生的婴儿个数，Y记
其中的男婴个数.
P(Y m) P( X n,Y m)
n
e14(7.14)m (6.86)nm
第三章 习题课
1. 已知X,Y的联合分布如下
YX 0 1 0 0.4 a
1 b 0.1
且事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立. 试确定常数 a与b. 解 0.4 + a + b + 0.1=1 得
a + b = 0.5 (1)
事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立, P{X=0}P{X+Y=1}= P{X=0, X+Y=1}
P(max( X
,Y
)

0)
P(X

0,Y

0)
1 22
,
P(max( X ,Y ) 1)
P( X 1,Y 0) P( X 0,Y 1) P( X 1,Y 1)

1 22

1 22

1 22

3 22
XY 0
1
0
1 22 1 22
1
1 22 1 22
故Z max( X ,Y )的概率分布为
Z0
1
P1
3
4
4
5. 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中 正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出 现次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率分布 .
解 (X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8