概率论与数理统计PPT课件第三章随机向量及其独立性习题课.

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概率论与数理统计课件第三章ppt

Y X
y1
y2
...
yj
… pi·
x1 p11 p12 … p1 … p1·
x... 2 p... 21 x... i p... i1
p· p·1
p... 22 p... i2
p·2
…j
… p2
… j...
… …
p...pi·jj
… … … …
…
p... 2· p... i ·
1
j
例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个是次品，每次从袋中任意抽取一个，
设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函数和联合概率密度分别为F(x,y)和 f(x,y),则
f X
(x)
d dx
FX
(x)
f (x, y)dy
fY
( y)
d dy
FY
(
y)
f
(x,
y)dx
分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度
函数，简称边缘概率密度。
例2. 设(X,Y)的分布密度是
e(xy) , x 0, y 0
3.1
例1.甲乙掷色子,观察点数。
w1i={甲掷i点} w2j={乙掷j点}
X,Y (i, j)
i,j=(1,2,…,6)
二维随机变量的定义
对于随机试验E，Ω是其样本空间。X(w) 和 Y(w)是定义在样本空间Ω上的两个随机变量, 由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。
y
w.
Y X
y1
y2
...
yj
…
x1 p11 p12 x... 2 p... 21 p... 22
x... i p... i1 p... i2

3-1概率论与数理统计PPT课件

随机变量的分布包含两个部分：取哪些值？取这些值相应的概率是多少？
3.1.2 离散随机变量及其概率分布
离散随机变量如果一个随机变量只取有限多个或者可数无穷多个 (可列个) 可能值，这种随机变量就称为离散随机变量。
离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率
称为它的概率分布（律），简称分布律。一般表示成：
X
x1 x2 x3 … xn …
pk
p1 p2 p3 … pn …
根据概率的定义，离散随机变量分布律
必须满足下面两个条件：
(1) pi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, …
(2) ∑ pi = 1
看例题
3.2 重要的离散型随机变量
3.2.1 独立重复实验序列
1. 随机试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相不影响，即每个随机试验的各种结果出现的概率不依赖于其它随机试验出现的结果，就称这些随机试验是相互独立的。
第3章离散随机变量
3.1.1随机变量的概念在涉及随机试验的实际问题中，经常遇到这样的
情况，很大一部分问题与数值发生联系，从而可以将随机试验量化。
例1. 电话的次数，可能是0，1，2，… 例2 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止，所进行的射击次数，可能是1，2，…
例3 某一时间段内，车站到来的乘客数，或在某一个区域里，野生动物的数量 ·····；它所有可能的取值是一切非负整数。
看例9
例 (金融保险) 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。
解。分析：以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算P { X ≤ 60 } 。 P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] ≈ 0.9222 。

概率论与数理统计第三章PPT

乘法公式应用举例（波里亚罐子模型）
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.
随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球. b个白球, r个红球
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4 于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
用它们可计算两个事件同时发生的概率
(3)
注意P(AB)与P(A | B)的区别！
请看下面的例子
例甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？
设B={零件是乙厂生产}
P A 4 10 0.4
4 3 12 10 9 90 6 4 24 P AB P A P B | A 10 10 90 P AB P A P B | A
P16例4

P ABC P A P B | A P C | AB
二、乘法法则 P ( AB) 由条件概率的定义： P ( A | B)
P ( B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 将A、B的位置对调，有 (2)和(3)式都称为乘法公式, 利若 P(A)>0, 则P(BA)=P(A)P(B|A) 而 P(AB)=P(BA) 故若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)

概率论与数理统计课件第三章

f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|

概率论与数理统计课件(PPT)

随机现象：不确定性与统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学
目录
• • • • • • 第一章随机事件及其概率第二章随机变量第三章随机变量的数字特征第四章样本及抽样分布第五章参数估计第六章假设检验
第一章随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 概率的定义及其运算 • 条件概率 • 事件的独立性
注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义
1.定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数
P(A)满足条件：
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
N ( A) P( A) N ()
P(A)具有如下性质(P7)
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
1.1随机事件及其概率

概率论与数理统计(浙大版)第三章PPT参考课件

X,Y的边缘分布律为：

记为
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == pgj j 1, 2,L
i 1

记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pig i 1, 2,L
j 1
注意：
X Y y1
(1) 0 pij 1
(2) pij 1
ij
2020/2/15
(2)表格法
X Y y1 y2 y3
x1 p11 p12 p13 x2 p21 p22 p23
(X,Y)的概率分布表：描述(X,Y)的取值规律
P((X ,Y ) G)
pij
( xi , yj )G

1 2
4 x(1
2x)dx

1

1

1
0
23 6
2020/2/15
21
§2 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数
其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数
记为：
称为边缘分布函数。
FX (x)，FY ( y)，
F(x, y),
FX (x) F(x, )
事实上，
FY ( y) F(, y)
i 1,2, , m, ; j 1,2, , n,
中心问题：(X,Y)取这些可能值的概率分别为多少？
2020/2/15
二维（X，Y）的联合分布律:
(1)公式法
p( xi , yj ) P( X xi ,Y yj ) pij
pij的性质：
(i, j 1,2, )

p2 p2 j

概率论与数理统计(完整版)(课堂PPT)

E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
定义样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,则相容
P ( Bi |A)P(Bi |A.)
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
P(A 1)P(A 2)P(A n).(有限)可
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);

【学习课件】第三章概率论与数理统计

解确定随机变量的取值：
及F(2,2).
p i j P Xi,Yj
F ( x , y) = P { X x , Y y}
{ P X { X i , Y i } j } { Y { X j } i } { Y j } pij
P Y j|X iP X i
xi x yjy
为 X, Y的分布函数，或 X与 Y的联合分布函数。
X x ,Y y X x Y y
几何意义：分布函数 Fx0,y0表示随机点 X,Y落在区域
x,y,xx0,yy0
中的概率。如图阴影部分所示：
y
x0, y0
X＝xi ,Y y j
P X＝xi
pij , j＝1, 2, pi
为给定条件X xi时，Y的条件概率分布律。
3、条件概率分布律
给定条件Yyj时，X的条件概率分布律记作：
X|Yyj
P X＝xi |Yyj
pij ,i＝ 1, 2, pj
X |Y yj
P X |Y y j
x1
p1 j
X , Y ～P X＝xi, Y＝y j pij , i, j＝1, 2,
则称 P X＝xi | Y y j
P X＝xi ,Y y j P Y＝y j
pij , i＝1, 2, p j
为给定条件Y y j时，X的条件概率分布律；
P Y＝y j | X＝xi
P
= limPX x,Y y lim Fx, y
y
y
0, x 0; =x2, 0 x 1;
1, 1 x.
FYy PY yPX ,Y y
= limPX x,Y y limFx, y

概率论与数理统计PPT课件第三章随机向量及其独立性02

求Z=X+Y的概率密度.
解 X ~ N (0,1), f X ( x)

z2
2
2

FZ
(z)

1

exp

z2
2 2
,
z

0
0,
其它
f
Z
(z)

z2
exp

z2
2
2
,
z

0
0,
其它
Z服从参数为 ( 0)的瑞利(Rayleigh)分布.
例7 已知(X,Y) ~ f(x, y)，求Z=X+Y的概率密度.
132 12 12 12
12 2 12 12 12
X Y 0
1
P
1
4
12 12
3
5
2
235
1
2 22
12 12 12 12
例2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为
X1 3
Y2 4
PX 0.3 0.7
PY 0.6 0.4
求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 解因为 X 与 Y 相互独立, 所以
k 0
X, Y 相互独立
n
p(k)q(n k), n 0,1,2,... k 0
n
P{Z n} p(k)q(n k), n 0,1,2,... k 0
例4 设X ,Y是相互独立的随机变量，X ~ (1 ), Y ~ (2 ),则X Y ~ (1 2 ).
被积函数的非零域
0,
其他.
0 x 10 0 z x 10

概率论与数理统计课件第三章随机向量及其独立性习题课

如下表所示
6. 以X记某医院一天出生的婴儿个数，Y记其中的男婴个数. 设X和Y的联合分布律为
P ( X n, Y m )
e
14
(7.14) (6.86) m! ( n m )!
m
n m
,
m 0,1,2, , n; n 0,1,2, .
求边缘分布律. 解 P ( X n)
当 y b 时,
8.
设(X,Y)的概率密度是
cy( 2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y) 0 , 其它
(1)求c的值; (2)求两个边缘密度.
y
yx
o
x 1
x
cy( 2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y) 0 , 其它
试求 : Z max( X , Y ) 的分布律. 解因为X与Y相互独立, 所以 P{ X i , Y j } P{ X i }P{Y j }.
X 0
Y
0
(1 2)
2 2
1
(1 2)
2
1
(1 2)
(1 2) 2
1 P (max( X , Y ) 0) P( X 0,Y 0) 2 , 2
第三章习题课
1.
已知X,Y的联合分布如下 Y X 0 0 0.4 1 b 1 a 0.1
且事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立. 试确定常数 a与b. 解 0.4 + a + b + 0.1=1 得
a + b = 0.5 (1)
事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立, P{X=0}P{X+Y=1}= P{X=0, X+Y=1} = P{X=0, Y=1} 得 (0.4+b)(a + b) = b (2) 由(1) (2) 得 a = 0.1

概率论与数理统计第三章课件

Y X
x1 x2 … xi …
y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
概率论与数理统计第三章
联合分布列的基本性质 (1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)
(2) pij = 1. (正则性)
xy
F(x,y)= p(u,v)dvdu --
则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。称p(x, y) 为联合密度函数。
概率论与数理统计第三章
联合密度函数的基本性质
(1) p(x, y) 0. (非负性)
(2)
p(x,y)dxdy1
(正则性)
- -
注意： P(X,Y) D p(x,y)dxdy
若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量.
➢ 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).
概率论与数理统计第三章
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
概率论与数理统计第三章
3.1.4 联合密度函数
设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在非负可积函数 p(x, y)，使得
F(, y) = F(x, ) =0， F(+, +) = 1. (3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续. (右连续性) (4) 当a<b, c<d 时，有 (非负性)

《概率论与数理统计》课件

条件概率与独立性
条件概率
在某个事件B已经发生的条件下，另一事件A发生的概率，记为P(A|B)。
独立性
两个事件A和B如果满足 P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A和B是独立的。
随机变量及其分布
01
随机变量
随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数，表示随机试验的结果。
02
离散型随机变量
03
连续型随机变量
离散型随机变量的取值可以一一列举出来，其概率分布可以用概率质量函数或概率函数表示。
连续型随机变量的取值范围是一个区间或半开区间，其概率分布可以用概率密度函数表示。
数理统计初步
02
统计数据的描述
01
统计数据的收集
描述如何通过调查、试验或观测等方法，获取用于统计分析的数
据。
03
夫链
随机过程的基本概念
随机过程
随机过程是一组随机变量，每个随机变量对应于时间或空间的一个点。
有限维分布
描述随机过程在有限个时间点上的联合分布。
独立性
如果随机过程在不相交的时间区间上的随机变量是独立的，则该随机过程
是独立的。
马尔科夫链及其性质
马尔科夫性
在已知现在状态下，未来与过去独立，即“未来只取决于现在”。
03
数据的可视化
介绍如何使用图表（如直方图、散点图等）将数据可视化，以便更直观地理解数据分布和关系。
02
数据的整理
介绍如何对数据进行分类、排序和分组，以便更好地理解和分析
。
04
数据的数字特征
介绍如何使用均值、中位数、众数、方差等统计量来描述数据的
中心趋势和离散程度。
参数估计与置信区间