超静定结构的计算

单元10 超静定结构的计算

【学习目标】

1、掌握力法、位移法的基本原理，能用这些方法计算常用的简单超静定结构的内力；

2、熟练应用力矩分配法计算连续梁和无侧位移刚架；了解超静定结构的特征。

【知识点】

1、超静定结构的概念、超静定次数及确定；力法的基本原理、基本结构；典型方程；用力法计算简单的超静定梁和刚架；支座移动时单跨超静定梁的内力。

2、力矩分配法的基本原理；转动刚度、分配系数、传递系数、分配弯矩、传递弯矩；用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。

【工作任务】

任务1 用力法计算超静定结构

任务2 用力矩分配法计算超静定结构

【教学设计】通过对力法和力矩分配法的学习让学生理解这两种方法在解决超静定结构各有何特点，通过例题的讲解能使学生能更好地理解两种方法在解超静定结构的特点。

10.1 用力法计算超静定结构

10.1.1 超静定次数的确定

我们知道，超静定结构由于有多余约束存在，约束反力未知量的数目多于平衡方程数目，仅靠平衡方程不能确定结构的支座反力。从几何组成方面来说，结构的超静定次数就是多余约束的个数；从静力平衡看，超静定次数就是运用平衡方程分析计算结构未知力时所缺少的方程个数，即多余未知力的个数。所以，要确定超静定次数，可以把原结构中的多余约束去掉，使之变成几何不变的静定结构，而去掉的约束个数就是结构的超静定次数。

超静定结构去掉多余约束有以下几种方法：

(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一个约束。图10-1

(2)去掉一个铰支座或者去掉一个单铰，相当于去掉两个约束。图10-2

图10-1

图10-2

(3)去掉一个固定端支座或者切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束。图10-3

(4)将一个固定端支座改为铰支座或者将一刚性连接改为单铰连接，相当于去掉一个约束。图图10-4用去掉多余约束的方法可以确定任何超静定结构的次数，去掉多余约束后的静定结构，称为原超静定结构的基本结构。对于同一个超静定结构来说，去掉多余约束可以有多种方法，所以基本结构也有多种形式。但不论是采用哪种形式，所去掉的多余约束的数目必然是相同的。图10-5 (b)、(c)为去掉多余约束的基本结构，一个是悬臂梁，一个是简支梁，都是原结构的基本结构，它们去掉的多余约束都是三个。

这里要强调的是，基本结构必须是几何不变的静定结构，如图所示的刚架，如果去掉一个支座处的链杆的瞬变体系，是不允许的。

图10-3

图10-4

图10-5

10.1.2 力法的基本原理

这里通过对图10-6所示一次超静定梁的分析，来说明力法的基本原理。

图10-6

把支座B链杆当多余约束去掉，选取图所示的静定悬臂梁为基本结构。为保持基本结构受力状态和原结构的一致，B支座处的支座反力用x1代替，称为基本未知量。同时，基本结构B支座处的几何变形要保持和原来状态一致，即竖向位移为零：△=0

基本结构和原结构的受力状况是完全一致的，如果能够求出基本结构上的基本未知量，再利用静力平衡方程求出其余的支座反力，则结构的内力也就可以全部求解出，这就是力法分析的基本思路。

下面先介绍求解基本未知量的方法。

利用叠加方法，把基本结构中的竖向位移△分为两部分位移，即

其中△1P表示基本结构在荷载作用下B点沿x1方向的位移，△11表示基本结构在X1作用下B点沿X1方向的位移，如上图10-6（c）（d）所示。

由于结构的变形在弹性变形范围内，设

为基本结构在X1=1作用下B点沿X1方向的位移，则△1l可以表示为：△1l=.X1代入公式得到：

由于基本结构为静定结构，根据前面静定结构求位移的方法，可以利用图乘法求出上式中的△1P和，下图10-7所示为基本结构在荷载P及单位荷载X1=1分别作用下的弯矩图，称为Mp，，则：

所得结果为正，说明X1的实际方向与基本结构中假设的方向相同。

求得X1后，原超静定结构的弯矩图M可利用已经绘出的MP图和图，按叠加原理绘出，即M=MP+X1

原结构弯矩图如图。

图10-7

综上所述，力法的基本原理就是以多余约束的约束反力作为基本未知量，以去掉多余约束的基本结构为研究对象，根据多余约束处的几何位移条件建立力法基本方程，求解出多余约束反力，然后求解出整个超静定结构的内力。用这一方法可以求解任何超静定结构。

10.1.3 力法典型方程

上面讨论了一次超静定结构的力法原理，下面以一个三次超静定结构来说明力法解超静定结构的典型方程。

下图10-8所示为一个三次超静定刚架，荷载作用下结构的变形如图中虚线所示。这里我们取基本结构如图（b）所示，去掉固定支座C处的多余约束，用基本未知量X1、X2、X3代替。

图10-8

由于原结构C为固定支座，其线位移和转角位移都为零。所以，基本结构在荷载及X 1、X2、X3共同作用下，C点沿X 1、X2、X3方向的位移都等于零，即基本结构的几何位移条件为：

（10.1）

第一式中△1P、△1x1、△1x2、△1x3分别为荷载P及多余未知力X 1、X2、X3分别作用在基本结构上沿X1方向产生的位移，如果用δ11、δ12、δ13表示单位力X 1=1、X2=1、X3=1分别作用于基本结构上产生的沿X1方向的相应位移，如图（c）（d）（e）（f）所示。上面几何条件中的第一式可以写为：

另外两式以次类推，则可以由（10.1）式得到以下求解多余未知力X 1、X2、X3的方程为

（10.2）

对于n次超静定结构，用力法分析时，去掉n个多余约束，代之以n个基本未知量，用上面同样的分析方法，可以得到相应的n个力法方程，我们称之为力法典型方程，具体如下：

（10.3）

力法典型方程的物理意义是：基本结构在荷载和多余约束反力共同作用下的位移和原结构的位移相等。力法典型方程中的△1P项不包含未知量，称为自由项，是基本结构在荷载单独作用下沿Xi方向产生的位移。从左上方的δ11到右下方δnn主对角线上的系数项δii，称为主系数，是基本结构在xi=1作用下xi方向的位移，其值恒为正。其余系数δij 称为副系数，是基本结构在Xj=1作用下沿Xi方向的位移，根据互等定理可知δij=δji。其值可能为正，可能为负，也可能为零。

求得基本未知量后，原结构的弯矩可按下面叠加公式求出：

（10.4）

10.1.4 用力法计算超静定结构

根据以上力法原理，用力法求解超静定结构的一般步骤为：

(1)去掉多余约束，选取基本结构。，

(2)建立力法典型方程。

(3)分别作出基本结构在荷载P及单位未知力Xi作用下的弯矩图Mp、

(4)利用图乘求方程中的自由项△ip和系数项δij。

(5)解力法方程，求出多余未知力Xi。

(6)用叠加方法画出弯矩图，进而得到剪力图和轴力图。

【例10-1】

用力法求图10-9（a）图所示超静定刚架，作出弯矩图、剪力图、轴力图。刚度EI为常数。