超静定结构的计算
《高等工程力学》1 超静定结构内力计算
1 超静定结构内力计算
§1.1.4超静定结构的位移计算
按照虚功原理，计算超静定结构位移时，若忽略轴力及剪力的影响，其计算
公式为：
s
MM EI
ds
在平面结构中结构位移计算的一般公式为：
s
MM EI
ds
s
NN EA
同理可以求出一端固定一端铰支等截面直杆（图1-3a）的转角位移方程。设 B端为铰，则MBA＝0
M AB
3i A
3i
l
M AB
(1-9)
当一端为固定另一端为滑动支承时（图1-3b），转角位移方程为。
M AB i A B M AB M BA iB A M BA
方程式代入，方程（1-11）中就只有各结点的转角作为未知数。如果结构中有n
个刚性结点，则可列出n个平衡方程。恰好解出方程中的n个基本来知数，即n个
刚性结点的转角。
解方程求出转角后再代回各杆端的转角位移方程中，就可以求出各杆端的内
力。
1 超静定结构内力计算
§1.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力（续1）
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力
⑴ 位移法典型方程 设一刚架如图1－5所示。其位移法基本体系如图b所示。
图1-5
当基本体系产生的位移Zl、Z2与原结构的实际位移相等时，附加刚臂的反力 矩应与实际结构在该处的受力情况一致，即反力矩应为零。
R1 R11 R12 R1P 0
1 超静定结构内力计算
(1-5)
超静定结构的计算
第二节力法
这样，原结构的内力计算问题就转变为基本结构在多余未知 力多的X余基1未本及知未荷力知载量Xq共1就，同是其作多余用余的下未计的知算内力就力。迎计刃算而问解题了了。。因只此要，设力法法求计出算
(二)力法方程 基本结构在月端不再受约束限制，因此在荷载y作用下月点
竖1小因5向-不此10位同基(d移而本)]向异结。下 ， 构显由 的[然图于 变在15形X二-11位是者0(c移取共)]状代，同态了在作应被X用1与拆下作原去B用点结约下竖构束月向完对点位全原竖移一结向将致构位随，的移X即作向1的B用上点大，[图 的余方竖未向向知产位力生移X的1位△共移1同必应作须与用为原下零结，，构在也在拆就X除是1方约说向束基的处本位沿结移多构相余在等未已。知知即力荷X:载1作与用多 △1=0 这就是基本结构应满足的变形谐调条件，又称位移条件。
用结所构示11、上。产则12生△、的11、1沿3 △表X11示2方、单向△位的13可力相以X应1表=位1示移, X为，2=如1,X图3=151-分12别(c作),(用d)于, (基c),本(d) 11 11X1、12 12 X 2、13 13 X 3，上面儿何条件(15-2)
中的第一式可以写为:
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第一节超静定结构基本知识
(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一 个约束，如图15-3 (a),(b)所示的两个结构都多出来一个约束， 都是一次超静定结构。
(2)去掉一个铰支座或内部的一个单铰，相当于去掉两个约束。 图15-4 (a), (b)所示的两个刚架都多出来两个约束，都是二次 超静定结构。
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第二节力法
用力法计算超静定结构在支座移动所引起的内力时，其基本 原理和解题步骤与荷载作用的情况相同，只是力法方程中自 由项的计算有所不同，它表示基本结构由于支座移动在多余 约第束五处节沿“多支余 座未 移知 动力 时方 静向 定所 结引 构起 的的 位位 移移 计算△”iC，所可述用方第法十求四得帝。 此外，还应注意力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处 沿多余未知力方向的位移条件，也就是原结构在多余未知力 方正向值的，已否知则实 取际 负位 值移 。值△i，当△i与多余未知力方向一致时取
第8章超静定结构的计算方法
三次超静定拱
X1
X2
X3
e）
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3）撤除一 个固定铰支 座或撤除一 个内部单铰， 相当于解除 两个多余约 束。
二次超静定刚架
X1 X2X2来自X1X1X2二次超静定刚架
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4）撤除一 个固定端支 座或切断一 个刚性连接， 相当于解除 三个多余约 束。
三次超静定刚架
F
超静定梁，画出内力图。已知梁的抗弯
刚度EI为常数。 解2 (1) 属于一次超静定梁，得 到基本结构如图所示。 (2)建立力法典型方程。 A
A
l/2
C l/2 F
B
C
X1 M1图
B
11 X1+1F=0
（3）求系数和自由项
1 l l 2 l3 11 l EI 2 3 3EI
l Fl/2 M F图
处沿Xi方向的位移。
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c)
C
X1
f) B
C
X1=1
21
11
A d) B
11
X1倍
d) B
A
C
C
22
12
A
X2
X2=1 X2倍
12
A
ij=ij Xj
22
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21
B
1=11+12+1F= 0 2=21+22+2F= 0
ij 为多余约束力Xj=1时，基本结构在Xj 单独作用
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1）撤除 一根支 承链杆 二次超静定梁
一次超静定桁架
X1
X1
a）
或切断
一根结 构内部
13超静定结构的计算6
图2
பைடு நூலகம்
图3
三、位移法基本结构的确定 基本未知量确定后，在结点位移处增设约束(刚结点处增加刚臂 ，线位移处增加链杆)，所得的结构称为位移法基本结构。
D
基本结构
图2
可见，在位移法中基本未知量的数目就等于基本结构上所应 具有的附加约束的数目。 四、单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力 单跨超静定梁有三种类型： 杆端弯距和杆端位移正负号作如下规定：
2）基本体系
2）
2）基本体系
3）基本体系
3）
3）基本体系
链杆，相当去掉 1个约束 2)去掉一个铰支座或一个单 铰，相当去掉 2个约束 3)去掉一个固定端支座或切 断一根梁式杆，相当去掉 3个 约束 4)将—个固定端支座改为铰 支座或者将一刚性连接改为 单铰连接，相当去掉 1个约束 把去掉多余未知力和荷载的 静定结构称为力法的基本结构
第十三章
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课节13-1 课节13–2 课节13–3 课节13–4 课节13–5 课节13–6
超静定结构的计算
力法原理和典型方程 用力法求解超静定结构 位移法概念、基本未知量和转角位移方程 用位移法求解连续梁和超静定刚架 力矩分配法基本原理 用力矩分配法求解连续梁和无侧移刚架
课节13-1
4)求解多余未知力 5)绘制弯矩图
1 1 2 1 1 80 1680 1760 ( 2 20 2) (20 6 5 60 6 6) 3 EI 3 EI 3 EI EI 2 3 3 EI 2
352 1760 X1 0 3 EI 3 EI
X 1 5 kN
B
d) MP图
代入上式力法基本方程 ：
l3 ql 4 X 1 ( )0 3 EI 8 EI
结构力学 力法计算超静定结构
子项目一 力法计算超静定结构
情景一 超静定结构的基本特征
学习能力目标
1. 能够解释力法的基本概念。 2. 能够确定超静定的次数，得到静定的基本结构。 3. 了解超静定结构的特点。
项目表述
试分析如图 3 – 1 所示超静定结构，确定它的超静定次数。
情景一 超静定结构的基本特征 学习进程
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
② 去掉一个固定铰支座（图 3 – 6a）或拆去一个单铰相当于去掉两个约束（图 3 – 6b），可用两个多余未知力代替。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
③ 去掉一个固定支座（图 3 – 7b）或切断一刚性杆（图 3 – 7c），相当于去掉 三链接
③ 超静定结构的内力和各杆的刚度比有关，而静定结构则不然。在计算超静定 结构时，除了用静力平衡条件外，还要用到结构的变形条件建立补充方程。而 结构的变形条件与各杆的刚度有关，在各杆的刚度比值发生变化时，结构各部 分的变形也相应变化，从而影响各杆的内力重新分布。利用在超静定结构中， 刚度大的部分将产生较大的内力，刚度较小的部分内力也较小的特点，可以通 过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。 ④ 在局部荷载作用下，超静定结构与静定结构相比，具有内力分布范围大，内 力分布较均匀，峰值小，且变形小、刚度大的特点。如图 3 – 9a 所示是三跨连 续梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于梁的连续性，两边跨也产生内 力和变形，最大弯矩在跨中为 0.175Fl。图 3 – 9b 所示是多跨静定梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于铰的作用，两边跨不产生内力和变形，最大 弯矩在跨中为 0.25Fl，约为前者的 1.4 倍。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
1、静定结构与超静定结构静力计算公式（总结）
静定结构与超静定结构静力常用计算公式一、短柱、长柱压应力极限荷载计算公式1、短柱压应力计算公式荷载作用点轴方向荷载AF =σ bhF =σ 偏心荷载)1(21xY i ye A F W M A F -=-=σ )1(22xY i ye A F W M A F +=+=σ )61(2,1hebh F ±=σ 偏心荷载)1(22xy y x xx y Y i ye i xe A FI xM I x M A F ±±=⨯±⨯±=σ )661(beh ebh F yx ±±=σ长短柱分界点如何界定？2、长柱方程式及极限荷载计算公式 支座形式图 示方 程 式极限荷载 一般式 n=1两端铰支 β=1y a dxy d ∙=222 ax B ax A y sin cos +=y F M EIFa ∙==,2 EI ln 222π EI l 22π一端自由他端固定β=2y a dxyd ∙=222 ax B ax A y sin cos +=EI l n 2224)12(π-EI l 224πy F M EIFa ∙==,2 两端固定 β=0.50)(22=-+F M y a dxyd A FM ax B ax A y A++=sin cos A M y F M EIFa +∙-==,2 EI l 224π EI l 224π 一端铰支他端固定 β=0.75)(222x l EI Q y a dx y d -=∙+)(sin cos x l FQax B ax A y -++=水平荷载-=Q EIFa ,2 ——EI l227778.1π注：压杆稳定临界承载能力计算公式：EI l P cr 22)(βπ=二、单跨梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式 1、简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式荷载形式M 图V 图反力 2F R R B A == L Fb R A =L Fa R B =2qL R R B A == 4qL R R B A == 剪力V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R BV A =R A V B =-R B弯矩4max FL M =LFabM =max 82maxqL M = 122maxqL M = 挠度EIFL 483max=ω 若a ＞b 时，3)2(932maxab a EIL Fb +=ω（在)2(3b a ax +=处） EIqL 84max=ω EIqL 1204max=ω 注：1、弯矩符号以梁截面下翼缘手拉为正（+），反之为负（—）。
计算结构超静定次数的公式
计算结构超静定次数的公式
结构超静定次数（SDOF，即单自由度系统）是一种描述动力学特性的重要工程
物理指标，它是对结构特性的重要衡量指标，也是在设计结构时明确可能受到的外力的一种有用的参考。
由于结构超静定次数的重要性，因此非常重要的就是计算每个结构的SDOF，即计算结构超静定次数的公式。
一般情况下，结构超静定次数的公式可分为定位法和统计法。
定位法的公式是：SDOF= 1/k+1/c+1/m，这里K为模态弹性系数，C为模态阻尼系数，M为模态质量系数。
统计法的公式涉及谱强度概率计算等方法，是一种自动计算方式，该方法可以精确地表达自动除去局部谐振的自激阻尼的系统的超静定次数，从而得出结构超静定次数。
尽管定位法和统计法都具有计算精确、效率高的优势，但由于计算结构超静定
次数时涉及模态参数摸索和较为复杂的反向计算，所以在实施计算过程中往往需要考虑多个利益相关方的功能要求，以便在整个过程中取得最优折中结果。
因此，在实际应用中，一般更合理采用可靠的统计法，以得出满足实际要求的最优超静定次数。
总的来说，结构超静定次数的公式不仅对合理设计结构十分重要，也为了保证
在极端情况下结构的可靠性而设计有重要意义。
因此，在实施结构设计时应首先确定结构超静定次数，以保证结构稳定，安全可靠。
05结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算-1(唐雪松)
δ11
1 EI
(1 2
l
l)( 2 3
l)
l3 3EI
D1P
1 EI
(1 l 3
ql 2 ) 2
3l 4
ql 4 8EI
X1
Δ1P δ11
3 ql 2 8
4
三、力法典型方程
力法典型方程就是多余约束处的位移方程。下面以图所示刚架为例，讨论力法方程 的一般形式。
D1=0, D2=0, D3=0
第五章 超静定结构的内力与位移计算
研究对象：超静定结构 主要内容：内力与位移计算 超静定结构特性：
(1) 几何构造特性：几何不变有多余约束体系 (2) 静力解答的不唯一性：满足静力平衡条件的解答有无穷多组 (3) 产生内力的原因：除荷载外，还有温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，
均可产生内力。
原结构
力法基本结构
δ11 X1 δ12 X 2 Δ1P 0 δ21 X1 δ22 X 2 Δ2P 0
d11
1 2EI
(1 2
l
l)
2 3
l
l3 6EI
d12
d 21
1 2EI
(1 2
l l)l
l3 4EI
d 22
1 EI
(1 2
l l)
2l 3
1 2EI
(l l) l
5l 3 6EI
F 32
0.172 F 2
FN X 1FN1 FP
X1=1
FNP
d11 X 1
D1P
X1 2d EA
FN
若将上弦杆DE去掉，其基本结构如示。此时，在X1与荷载共同作用下，D、E两点沿轴方向的相对线位移不
为0，而应该等于杆DE的轴向缩短。
超静定结构内力计算
六超静定结构內力计算1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。
从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。
若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。
也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。
对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。
2．什么是超静定结构的超静定次数？答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。
3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。
4．如何确定超静定结构的超静定次数？答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。
5．撤除多余约束的方法有哪几种？答：撤除多余约束常用方法如下：（1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。
（2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。
（3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。
6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？答：用力法计算超静定结构的基本思路是：去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。
7．什么是力法的基本结构和基本未知量？答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。
力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。
8．简述n次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。
答：（1）n次超静定结构的力法方程对于n次超静定结构，撤去n个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n个多余约束处代以相应的多余未知力。
05-3结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算(5.2节 位移法)ok
如： 1 2
3
1 2
1
3
这样即可使12、13杆 成为单跨超静定梁
2、附加链杆支座约束：为使杆件两端相对线位移被约束而在结点上附加的约 束阻止结点移动的装置。
如：1
3
用“
” 表示
2 1 3
结构变形时，显然13杆可沿水平方向移动， 同时刚结点1也可能发生转角，要使各杆独立成为 单跨超静定梁。 需在1结点上附加刚臂约束 同时还需加附加链杆支座以阻止13杆的水平线 位移。
r11Z 1+ r12Z 2+ · · · · + r1nZ n+R1P=0
位移法 – 刚度法
ri j=rj i
反力互等定理
位移法典型方程，简称为位移法方程 – 结构的刚度方程
主系数，rii>0 r12 ...... r1n Z1 R1P r11 r Z R r ...... r 2P 22 2n 2 21 ri j=rj i 反力互等定理 0 ...... ...... ...... ...... rn 2 ...... rnn Z n RnP rij=rji，Rip，>0，=0，<0 rn1
F M AB ql 2 / 12 F M BA ql 2 / 12
F A l/2 l/2 B
Fl/8 A
Fl/8
F M AB Fl / 8
B
F M BA Fl / 8
q
ql2/8 B A B
F M AB ql 2 / 8
A
F A l/2 l/2 B
3Fl/16 A B
EI=
Z1 Z2
EI=
力法计算超静定结构举例
3）计算系数和自由 绘 N1 和NP 。 项
11
1 EA
1
1
3
4 3
4 4 2 ( 3
5 ) ( 3
5 3
)
5
3
45 EA
1P
1 EA
(75) (
5)5 3
60
4 3
4
945 EA
例：用力法计算图示桁架的轴力。（各杆EA相等且为常数）
4)计算多余未知力X1
945
X1
1P
11
EA 45
21(kN)
EA
5)作最后内力图
N=N1X1+NP
四、超静定组合结构
五、力法计算铰接排架
例：用力法计算图示铰结排架，并作弯矩图。
解：1)选取图示基本体系 2)力法方程为： 11X1 1p 0 3）绘单位弯矩图M1和 荷载弯矩图MP
3）绘单位弯矩图M1和荷载弯矩图
MP
11
2 EI
(1 3 3 2
EA
EA
ip
NiN EA
p
dx
NiN EA
p
l
各杆的最后轴力按下式计算：
N N1X1 N2 X2 Nn Xn N p
例：用力法计算图示桁架的轴力。（各杆EA相等且为常数）
解：1) 确定基本体系（如图所示） 2）建立力法方程：
11X1+△1P=0 （基本体系在切口两边截面沿X1方向
取结点A为脱离体 取结点C为脱离体
Y 0,
2 RA 5 ql
()
Y 0,
RC
ql 2
3 ql 5
11 ql 10
()
讨 ①超静定结构在荷载作用下其内力与EI 的实际值无关，只与EI的相对值有关；
7.8超静定结构的位移计算
1 l/4 l/4
1
1 ( FP l ) 4
M图
M 1 图之一
M 1 图之二
解：(1)作原超静定结构的最后弯矩图 (2)作虚拟力状态下的单位弯矩图 (3)用图乘法求位移
ΔDV Ay MM 1 ds 0 EI EI EI 3FP l 3 () 1408EI
A B
q
a l
3EI a (q ) l l
M图
解： (1)作原超静定梁 的 最后弯矩图
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q
A B
q
a l
3EI a (q ) l l
M图
1
FR 1
1
M 图
(2)作虚拟力状态下的单位弯矩图 (3)计算位移：
qB
MM ds FR c EI 1 1 3EI a q 3a l (q ) (1) 1 q EI 2 l l 2 2l
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1
" " y02 y01
l/2
l/4
l/2
M 1图
• 计算超静定结构位移的基本思路:利用基本体系求原结构的位移.
将计算出的多余未知 力作为外荷载
超静定结构
静定结构
• 计算超静定结构位移的步骤
1、解超静定结构,作超静定结构的最终内力图；
2、取原结构的任一基本结构作为虚拟状态，并作虚拟力状态下 的单位内力图；
ql 12
2
5 l 3 l ql 2 8 2 8 2 ( )
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单元10 超静定结构的计算【学习目标】1、掌握力法、位移法的基本原理，能用这些方法计算常用的简单超静定结构的内力；2、熟练应用力矩分配法计算连续梁和无侧位移刚架；了解超静定结构的特征。
【知识点】1、超静定结构的概念、超静定次数及确定；力法的基本原理、基本结构；典型方程；用力法计算简单的超静定梁和刚架；支座移动时单跨超静定梁的内力。
2、力矩分配法的基本原理；转动刚度、分配系数、传递系数、分配弯矩、传递弯矩；用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。
【工作任务】任务1 用力法计算超静定结构任务2 用力矩分配法计算超静定结构【教学设计】通过对力法和力矩分配法的学习让学生理解这两种方法在解决超静定结构各有何特点，通过例题的讲解能使学生能更好地理解两种方法在解超静定结构的特点。
10.1 用力法计算超静定结构10.1.1 超静定次数的确定我们知道，超静定结构由于有多余约束存在，约束反力未知量的数目多于平衡方程数目，仅靠平衡方程不能确定结构的支座反力。
从几何组成方面来说，结构的超静定次数就是多余约束的个数；从静力平衡看，超静定次数就是运用平衡方程分析计算结构未知力时所缺少的方程个数，即多余未知力的个数。
所以，要确定超静定次数，可以把原结构中的多余约束去掉，使之变成几何不变的静定结构，而去掉的约束个数就是结构的超静定次数。
超静定结构去掉多余约束有以下几种方法：(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一个约束。
图10-1(2)去掉一个铰支座或者去掉一个单铰，相当于去掉两个约束。
图10-2图10-1图10-2(3)去掉一个固定端支座或者切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束。
图10-3(4)将一个固定端支座改为铰支座或者将一刚性连接改为单铰连接，相当于去掉一个约束。
图图10-4用去掉多余约束的方法可以确定任何超静定结构的次数，去掉多余约束后的静定结构，称为原超静定结构的基本结构。
对于同一个超静定结构来说，去掉多余约束可以有多种方法，所以基本结构也有多种形式。
但不论是采用哪种形式，所去掉的多余约束的数目必然是相同的。
图10-5 (b)、(c)为去掉多余约束的基本结构，一个是悬臂梁，一个是简支梁，都是原结构的基本结构，它们去掉的多余约束都是三个。
这里要强调的是，基本结构必须是几何不变的静定结构，如图所示的刚架，如果去掉一个支座处的链杆的瞬变体系，是不允许的。
图10-3图10-4图10-510.1.2 力法的基本原理这里通过对图10-6所示一次超静定梁的分析，来说明力法的基本原理。
图10-6把支座B链杆当多余约束去掉，选取图所示的静定悬臂梁为基本结构。
为保持基本结构受力状态和原结构的一致，B支座处的支座反力用x1代替，称为基本未知量。
同时，基本结构B支座处的几何变形要保持和原来状态一致，即竖向位移为零：△=0基本结构和原结构的受力状况是完全一致的，如果能够求出基本结构上的基本未知量，再利用静力平衡方程求出其余的支座反力，则结构的内力也就可以全部求解出，这就是力法分析的基本思路。
下面先介绍求解基本未知量的方法。
利用叠加方法，把基本结构中的竖向位移△分为两部分位移，即其中△1P表示基本结构在荷载作用下B点沿x1方向的位移，△11表示基本结构在X1作用下B点沿X1方向的位移，如上图10-6（c）（d）所示。
由于结构的变形在弹性变形范围内，设为基本结构在X1=1作用下B点沿X1方向的位移，则△1l可以表示为：△1l=.X1代入公式得到：由于基本结构为静定结构，根据前面静定结构求位移的方法，可以利用图乘法求出上式中的△1P和，下图10-7所示为基本结构在荷载P及单位荷载X1=1分别作用下的弯矩图，称为Mp，，则：所得结果为正，说明X1的实际方向与基本结构中假设的方向相同。
求得X1后，原超静定结构的弯矩图M可利用已经绘出的MP图和图，按叠加原理绘出，即M=MP+X1原结构弯矩图如图。
图10-7综上所述，力法的基本原理就是以多余约束的约束反力作为基本未知量，以去掉多余约束的基本结构为研究对象，根据多余约束处的几何位移条件建立力法基本方程，求解出多余约束反力，然后求解出整个超静定结构的内力。
用这一方法可以求解任何超静定结构。
10.1.3 力法典型方程上面讨论了一次超静定结构的力法原理，下面以一个三次超静定结构来说明力法解超静定结构的典型方程。
下图10-8所示为一个三次超静定刚架，荷载作用下结构的变形如图中虚线所示。
这里我们取基本结构如图（b）所示，去掉固定支座C处的多余约束，用基本未知量X1、X2、X3代替。
图10-8由于原结构C为固定支座，其线位移和转角位移都为零。
所以，基本结构在荷载及X 1、X2、X3共同作用下，C点沿X 1、X2、X3方向的位移都等于零，即基本结构的几何位移条件为：（10.1）第一式中△1P、△1x1、△1x2、△1x3分别为荷载P及多余未知力X 1、X2、X3分别作用在基本结构上沿X1方向产生的位移，如果用δ11、δ12、δ13表示单位力X 1=1、X2=1、X3=1分别作用于基本结构上产生的沿X1方向的相应位移，如图（c）（d）（e）（f）所示。
上面几何条件中的第一式可以写为：另外两式以次类推，则可以由（10.1）式得到以下求解多余未知力X 1、X2、X3的方程为（10.2）对于n次超静定结构，用力法分析时，去掉n个多余约束，代之以n个基本未知量，用上面同样的分析方法，可以得到相应的n个力法方程，我们称之为力法典型方程，具体如下：（10.3）力法典型方程的物理意义是：基本结构在荷载和多余约束反力共同作用下的位移和原结构的位移相等。
力法典型方程中的△1P项不包含未知量，称为自由项，是基本结构在荷载单独作用下沿Xi方向产生的位移。
从左上方的δ11到右下方δnn主对角线上的系数项δii，称为主系数，是基本结构在xi=1作用下xi方向的位移，其值恒为正。
其余系数δij 称为副系数，是基本结构在Xj=1作用下沿Xi方向的位移，根据互等定理可知δij=δji。
其值可能为正，可能为负，也可能为零。
求得基本未知量后，原结构的弯矩可按下面叠加公式求出：（10.4）10.1.4 用力法计算超静定结构根据以上力法原理，用力法求解超静定结构的一般步骤为：(1)去掉多余约束，选取基本结构。
，(2)建立力法典型方程。
(3)分别作出基本结构在荷载P及单位未知力Xi作用下的弯矩图Mp、(4)利用图乘求方程中的自由项△ip和系数项δij。
(5)解力法方程，求出多余未知力Xi。
(6)用叠加方法画出弯矩图，进而得到剪力图和轴力图。
【例10-1】用力法求图10-9（a）图所示超静定刚架，作出弯矩图、剪力图、轴力图。
刚度EI为常数。
图10-9【解】(1)选取基本结构如图10-9(b)所示。
（2）建立力法典型方程(3)作出Mp、图，如图10-10（a）（b）（c）,用图乘法求出方程中的各系数项和自由项(4)代入力法典型方程化简得：解得做出弯矩图、剪力图如图10-10（d）（e）（f）所示图10-1010.2 用力矩分配法计算超静定结构10.2.1 力矩分配法的基本原理及基本概念力矩分配法是在位移法基础上发展起来的一种渐进方法，它不必计算节点位移，也无须求解联立方程，可以直接通过代数运算得到杆端弯矩。
与力法、位移法相比，计算过程较为简单直观，计算过程不容易出错，适用于求解连续梁和无节点线位移刚架。
在力矩分配法中，内力正负号的规定与位移法的规定一致。
10.2.1.1 力矩分配法的基本原理这里我们以下图10-11所示刚架为例，来说明力矩分配法的基本思路。
图10-11根据位移法的分析，在荷载作用下，刚节点1产生一个转角位移θ。
假设我们在1点增加一个刚臂约束，这时候结构被附加约束固定，不能发生转动，我们把这一状态称为固定状态，如上图10-11（b）所示。
固定状态下，由于各杆段被约束隔离，可以独立的分离出来研究，其内力可以直接查表得到，称为固端弯矩，用表示。
同时，节点1满足平衡条件，如上图10-11（d），据此可以求得附加刚臂的约束力矩上式表明，约束力矩等于各杆端固端弯矩之和。
以顺时针转向为正。
为了保持结构受力状态不改变，我们在节点1施加一个和转向相反、大小相等的力矩并把这个状态称为放松状态，如上图10-11（C）所示。
这样，固定状态和放松状态两种情况的叠加就是结构的原始状态，分别对固定状态和放松状态进行计算，并将算得的各杆端弯矩值对应叠加，即得到原结构的杆端弯矩，这就是力矩分配法的基本原理。
10.2.1.2 力矩分配法的基本概念（1）、转动刚度为了使杆件AB某一端(例如A端)转动单位角度(不移动)，A端所需要施加的力矩称为该杆的转动刚度，以表示。
其中产生转角的一端(A端)称为近端，另一端(B端)称为远端，如图10-12所示：图10-12远端固定：=4远端铰支：=3远端定向支座：=远端自由（或轴向支杆）=0（2）．分配系数在图10-11所示刚架的放松状态，刚节点发生转角位移θ，相当于1点各杆都发生转角位移θ，各杆端弯矩可以用转动刚度来表示：（a）根据放松状态下1节点平衡，如上图10-12（e）将式(a)代入：式中表示相交刚接点1的所有杆端转动刚度之和，代回式（a）得到：从上式可以看出，在放松下，1点各杆端的转动刚度在所有1点转动刚度之和中占有一个比例，1点各杆端正是按这个比例来分配附加力矩。
我们把这个比例称为分配系数，分用表示，上面1节点各杆端所分配到的弯矩改用表示，称为分配弯矩，上式可写为：======对于任意刚接点，以次类推，可以得到其分配系数和分配弯矩的表示为：（10.5）（10.6）表示杆件的转动端（近端），表示远端显然，对于同一个刚接点，各杆分配系数的和为1 1利用上式（10.6）计算分配弯矩的过程，就称为力矩分配。
（3）．传递系数图10-12所示为远端不同约束的直杆。
当近端转动产生弯矩，远端也会产生弯矩，远端弯矩和近端弯矩的比就称为传递系数，用表示。
传递系数可以理解为是近端分配弯矩传递到远端的一个系数，近端弯矩乘以这个系数就是远端弯矩。
正因为这种传递特性，远端弯矩也称为传递弯矩，用=（10.7）那么得出图10-12远端不同约束杆件的传递系数为：远端固定： C=0.5远端铰支： C=0远端定向支座： C=-110.2.2 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架10.2.2.1 单节点的力矩分配法单节点力矩分配法的计算步骤如下：(1)根据式（10.5）确定刚节点处各杆的分配系数，并用验算。
(2)以附加刚臂固定刚节点，得到固定状态，查表得到各杆端的固端弯矩。
(3)利用式（10.6）计算各杆分配弯矩。
(4)根据式（10.7）计算传递弯矩。
(5)叠加计算出最后的杆端弯矩。
对于近端，用固端弯矩叠加分配弯矩；对于远端，固端弯矩叠加传递弯矩。