工程力学(天津大学)第13章答案

工程力学(天津大学)第13

章答案

-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

习 题 解 答

13−1 木制构件中的单元体应力状态如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂线的夹角。试求：

（l ）平行于木纹方向的切应力； （2）垂直于木纹方向的正应力。 解： 由图a 可知

MPa 0MPa,

6.1,MPa 2.0=-=-=x y x τσσ

（1）平行于木纹方向的切应

力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力

MPa

1.0)]15(2sin[2

6.12MPa 9

7.1)]15(2cos[26

.1226.1215

15=-⨯+-=-=-⨯+-+--=

--

τσ （2）垂直于木纹方向的正应力

MPa

1.0)752sin(2

6.12MPa 52

7.1]752cos[26

.1226.127575-=⨯+-=-=⨯+-+--=

τσ 由图b 可知

MPa 25.1,0,0-===x y x τσσ

（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力

MPa

08.1)]15(2cos[25.12cos MPa

625.0)15(2sin 25.12sin 1515-=-⨯⨯-==-=-⨯=-=--

αττατσx x

（2）垂直于木纹方向的正应力

MPa

08.1)752cos(25.12cos MPa

625.0)752sin(25.12sin 7575=⨯⨯-===⨯⨯=-=

αττατσx x

13−2 已知应力状态如图一所示（应力单位为MPa ），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力

解：（a ）已知 MPa 20MPa,10,

0MPa 3-===x y x τσσ

则由公式可直接得到该斜截面上的应力

习题13−1图

(a)

(b)

MPa

10)4

2cos(20)42sin(210302cos 2sin 2MPa

40)4

2sin(20)42cos(21030210302sin 2cos 22=⨯⨯-⨯⨯-=+-==⨯⨯+⨯⨯-++=--+

+=

ππατασστππα

τασσσσσααx y x x y

x y

x

（b ）已知 MPa

20MPa,10,0MPa 3===x y x τσσ

则：

MPa

21.21)5.222cos(20)5.222sin(2

10302cos 2sin 2MPa

93.12)5.222sin(20)5.222cos(21030210302sin 2cos 22=⨯⨯+⨯⨯-=+-==⨯⨯-⨯⨯-++=--++=

ατασστατασσσσσααx y x x y

x y x （c ）已知

60MPa

15MPa,20,

MPa 10-====ατσσx y x

则：

60(2cos[15)]60(2sin[2

20102cos 2sin 2MPa

49.30)]60(2sin[15)]60(2cos[22010220102sin 2cos 22-⨯⨯+-⨯⨯-=+-==-⨯⨯--⨯⨯-++=--+

+=

α

τασστα

τασσσσσααx y

x x y

x y

x 13−3 已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试用图解法（应力圆）计算图中指定截面的正应力与切应力。

13−4 已知应力状态如习题13−2图所示（应力单位为MPa ），计算图示应力状态中的主应力及方位。

习题13−2图

(c)

(b)

(a)

(d)

习题13−3图

(a)

(b)

解：（a ）已知 MPa 20MPa,10,0MPa 3-===x y x τσσ

则由公式可直接得到该单元体的主应力

主应力为：

因为

，主应力对应的方位角为。

13−5 试确定图示应力状态中的主应力及方位、最大切应力（按三向应力状态考虑）。图中应力的单位为MPa 。 解：

（a ）已知 MPa 20MPa,20,

0MPa 4===x y x τσσ

则由公式可直接得到该单元体的主应力

主应力为：

因为

，主应力对应的方位角为

。 （b ）已知 MPa 40MPa,20,0MPa 4-=-==x y x τσσ

则由公式可直接得到该单元体的主应力

(a)

20

20

40习题13−5图

20

40

40 30

20

20 (b) (c)

主应力为：

因为

，主应力对应的方位角为

。 （c ）已知 MPa 20MPa,03,20MPa ==-=x y x τσσ

则由公式可直接得到该单元体的主应力

主应力为：

因为

，主应力对应的方位角为

。

13−6已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试画三向应力圆，求

最大切应力。

解：图a 为单向应力状态，图b 为纯剪切应力状态，图c 为平面应力状态，其应力圆如图。

最大切应力分别为：

(a)

习题13−6图

τ

(b) (c)

σ

τ

σ