第10章二重积分的习题课
高等数学(下)课件D10_习题课
f ( x, y )dy
(2) I= ∫1 dy ∫1 f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
2 y 1 y
2
2
2
2
解：根据积分限可得积分区域
1 1 D = {( x, y ) | ≤ y ≤ 1, ≤ x ≤ 2} 2 y U{( x, y ) |1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2}
2 2 1 1 D − x 1
1 1 1[+−)1x 1(|−x 2 2 2 d − | 31 = ∫( x y ] = ∫ x ) − 1 d x − − 1 1 3 3 1 2 x1 = =∫3 ) 1 − ( −x . d 0 3 2 3
D 直x 及 2 3 ∫ y ,其是 =2 物 线 线 例算 σ 中由y − 抛yx 计x = d ∫
6、会用二重积分计算质量、质心、一阶矩和转动惯 量等。 7、掌握第一型曲面积分的概念，会确定曲面在坐标 平面上的投影区域，会计算简单曲面上的第一型 曲面积分。 8、对三重积分可以理解为密度函数为的所占的区域 为的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多 性质的理解有极大的帮助。 9、还应将三重积分和以前各类积分比较，一方面可 以加强理解，另一方面也使同学不易忘记和混淆。
xσ [ xx d ∫ y = yy] ∫ d ∫∫ dy 1
22 D
3 4 2 x2y 2 yyd [2 y2 9 = y ] = 2 ) = −] . [ ( y 1 ∫ ⋅2d ∫ − y y 8= 1 1 8 2 2
D 直1 = 2 ∫ +−d 其是 = x 1 线 − 例算12 yσ 中由y 、 计y x 2 , ∫
习题课10--二重积分部分
9计算二重积分 ,其中
10计算二重积分 ，其中D是由直线 ， ， 以及曲线
所围成的平面区域。
11设函数 在区间 上连续，并设 ，
求 。
解法1：化为二重积分，然后利用二重积分的性质。
如图， ： ， ： 。
∵ ，
∴
。
解法2：更换二次积分顺序
∵
∴
。
解法3：利用定积分换元法。
。
解法3：利用分部积分
，
得所求二重积分的方程，解之得 。
宁波工程学院高等数学AI教案
习题课10--重积分
1选择填空
（1） ，其中 的大小
关系为:（ ）
(A) (B) (C) (D)无法判断
（2） ，且 在 上连续.
(A) (B) (C) (D)
（3） 区域 ,按Y型区域应为（ ）
(A) (B) (C) (D)
（4） 已知
，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
12设 连续，且 ，其中D是由 ， ，
所围成区域，则 等于（C）
（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。
解：设 （常数）。在D上对 两边积分得：
，解得 ，
故 。
（5）设 连续,且 ,其中D由 所围成,则
(A) (B) (C) (D)
2 填空
（1） 在Y型区域下的二次积分为
（2） 将 转换为极坐标形式下的二次积分
（3） 所围成，且 连续。
（4）
（5） 。
解： 。
（6） 。
解：
。
（7） 。
解：该积分不是二重积分的二次积分。
。
（8） 在极坐标系下的二次积分
为 。
（二）、客观题
1设 在 上连续,证明： .
二重积分习题课
所以 2xyd 0 。
O
x
D
( x y)2d ( x2 y2 )d
D
D
上页 下页 返回16
又因为x2 y2关于 x 为偶函数,
y 2a
若设D1为D中x 0的部分,则
D a
( x y)2d ( x2 y2 )d
D
D
O
2
( x2 y2 )d 2
2 d
2a sin r 2 rdr
上页 下页 返回 7
（三）有关二重积分的对称性的应用
1、若D关于y轴对称 即当(x,y)∈D时，必有(x,y) ∈D，则
f ( x, y)d
D
0,
2
D1
f (x,
y)d ,
当f ( x, y) f ( x, y)时 当f ( x, y) f ( x, y)时
其中D1是D的右半区域
上页 下页 返回 8
(1) F(t) 2 tf (t2 )
(2) 由洛必达法则：
lim F (t) lim F(t) lim 2 tf (t 2 ) 0.
t t 0
t0
t0
上页 下页 返回31
例10 设f ( x)为闭区间[a,b]上的连续函数且恒大于0，
试利用二重积分证明不等式 y
b
b
f ( x)dx
1
y),则
c y d
y x 1( y) d
D
D
f ( x, y)d
d
dy
c
2( y) 1( y)
f
( x,
y)dxc
o
x 2( y) x
上页 下页 返回 4
(3) 交换积分顺序 由所给的二次积分的顺序及积分限，确定积
二重积分
0
0
D
∫ ∫ =
π 0
(x2 y − 1 3
y3)
sin x 0
dx
=
π (x2 sin x − 1 sin3 x)dx
0
3
∫ ∫ =
π x2 sin xdx − 1 (2
π
2 sin3 xdx)
0
30
∫ =
(−x2
cos x)
π 0
+
2
π 0
x cos xdx − 1 (2 • 3
2) 3
∫ = π 2
D
次积分，其中积分区域 D 为：
∫∫ ∫∫ ( y2 − x)dσ = 2 ( y2 − x)dσ = − 24
D
D1
5
（3） ∫∫ (x 2 − y 2 )dσ ， D : 0 ≤ y ≤ sin x,0 ≤ x ≤ π .
D
∫∫ ∫ ∫ 解：
(x2 − y2 )dσ =
π
dx
sin x (x2 − y2 )dy
≤y r2
≤r − y2
≤
x≤
，故
r2 − y2
∫ ∫ ∫∫
f (x, y)dσ
=
r dy
0
r2 − y2 − r2−y2
f (x, y)dx
D
（3）环形闭区域：1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 .
D : X − 型区域
⎧⎪−2 ≤ x ≤ −1
⎨ ⎪⎩−
4 − x2 ≤ y ≤
4−
x2
∪
⎧⎪−1 ≤ ⎨ ⎪⎩2 )
3−2 y2 y2
dy
=
1 (y2x −
−1
二重积分的计算习题课
y= x
x x = ∫1 (− ) 1 dx y x
2
2
x
1
o
D
1
x=2
9 = ∫1 ( x − x)dx = . 4
2 3
2
x
型区域计算可以吗? 按Y-型区域计算可以吗 型区域计算可以吗
6
P155:15(2) P155:15(2)
∫∫
D
π 2 1 1− ρ 1 − x2 − y2 dxdy = ∫ 2 dθ ∫ ρ dρ 2 2 2 0 0 1+ x + y 1+ ρ
• 确定积分序
• 写出积分限
• 计算要简便 (充分利用对称性，几何意义和性质等 充分利用对称性， 充分利用对称性 几何意义和性质等)
2
P154:2(3) P154:2(3)
e x + y d σ , 其 中 D = {( x , y ) x + y ≤ 1 ∫∫
D
}.
1
0 ≤ x ≤1 解: X-型 D1： 型 x − 1 ≤ y ≤ 1 − x
12
6. (10分)计算二重积分 ∫∫ r 2 sin θ 1 − r 2 sin 2θ drdθ ,
D
π 其中D = ( r ,θ ) 0 ≤ r ≤ sec θ , 0 ≤ θ ≤ . 4
(10数学二 数学二) 数学二
7. (10分)计算二重积分 ∫∫ ( x + y )3 dxdy , 其中D由曲线x = 1 + y 2
二重积分复习课
1.∫∫ f ( x, y)d xdy = 极点在区域D的外部 D 极坐标系下计算 极点在区域D的边界上 极点在区域D的内部 y x =ψ ( y) y = ϕ ( x) y ρ = ρ2(θ) ρ = ρ(θ ) ρ = ρ(θ) d ρ=ρ (θ)
二重积分习题课(简)
1
错误点：大多同学都做错了， 错误点：大多同学都做错了，可能是正切函数的导数 不清楚了。 不清楚了。
11
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第三次作业共有2 第三次作业共有2题 P13） 多元函数微分法 习题课二 （习题册第一本 P13） 填空 1. f ( x, y )在 ( x0 , y0 ) 处有极值，则 D 处有极值， (A) f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 ) 内唯一驻点, (B) ( x0 , y0 ) 是D内唯一驻点,则必为最大值点;且 ) 内唯一驻点 则必为最大值点;
1 2 1 2 −0 ≤ x + y < × 2ε = ε 2 2 x2 + y2 xy
即
( x , y ) →(0,0)
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0).
处连续。 因此函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处连续。 错误作法： 取极限， 错误作法： 有的同学令 y = kx 取极限，得到
∆y →0
= lim
∆y ∆y
∆y →0
g (0, 0),
存在， 因为 f x (0, 0) 和 f y (0, 0) 存在，并且
∆x → 0
lim
∆x ∆x
不存在， 不存在，所以 g (0, 0) = 0.
错误：多数同学做得不好，从偏导数的形式得不到 错误：多数同学做得不好，
g (0, 0) = 0
x →0, y = kx →0
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0) 从而得到结论。 从而得到结论。
3
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第二节：（ ：（习题册第一本 P4） （2）第二节：（习题册第一本 P4）四 四、设 f ( x, y ) = x − y g ( x, y ), 其中 g ( x, y ) 在点 (0, 0) 的邻域内连续。 应满足什么条件， 的邻域内连续。问：g ( x, y ) 应满足什么条件，使
习题课 二重积分的计算
( x, y) 1 2. J . ( u, v ) ( u, v ) ( x, y)
二、例题分析
2 2 2 2 ( x y ) d 例1 计算 D : 2x x y 4 x D
解
积分区域由不等式给出 在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆 但它们围不成区域 要使 2 x x 2 , 4 x 2 都有意义 必须限制 x [0,2]
v
D
1 f ( x y )dxdy f ( u)dudv 2 D
0 A u A A u
u
1 1 f ( u)du dv f ( u)du dv 2 A 20 A u u A
1 f ( u)( A u)du f ( u)( A u)du 2 A 0
2 2 xyf ( x y )d 0 D
0
D D
D2
xd xd xdx dy D D
1
x
3
D1
1
x
3
2 5
2 I 5
例6 设 f (x) 在 [0,1] 上连续
求
dx f ( x ) f ( y )dy 0 x
1
1
f ( x )dx A 0
③若D关于原点对称
D3 ( x, y ) D, x 0, y 0
D3
④若 D 关于直线
y=x
对称
f ( x , y )dxdy f ( y , x )dxdy D D
——称为关于积分变量的轮换对称性 是多元积分所独有的性质
①、②、③简单地说就是
奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关 于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两 倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的 性质
高等数学 课后习题答案 第十章
习题十1. 根据二重积分性质，比较ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤.解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-112x y ≤+≤从而0l n ()1x y ≤+<故有2l n ()[l n ()]x y x y +≥+ 所以2l n ()d [l n ()]dDDx y x yσσ+≥+⎰⎰⎰⎰（2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥.图10-2 从而 ln(x+y)>1 故有2l n ()[l n ()]x y x y +<+ 所以2l n ()d [l n ()]dDDx y x yσσ+<+⎰⎰⎰⎰2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1）,{(,)|02,02}I D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}DI x y D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（3）2222(49)d ,{(,)|4}DI x y D x y x y σ=++=+≤⎰⎰.解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤因而04xy ≤≤.从而2≤≤故2d DD σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即2d d DDσσσ≤≤⎰⎰⎰⎰而d Dσσ=⎰⎰（σ为区域D 的面积），由σ=4得8σ≤≤⎰⎰(2) 因为220sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤故 220d sin sin d 1d DDDx y σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即220sin sin d d DDx y σσσ≤≤=⎰⎰⎰⎰而2πσ=所以2220sin sin d πDx y σ≤≤⎰⎰（3）因为当(,)x y D ∈时，2204x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤故229d (49)d 25d DDDx y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即 229(49)d 25Dx y σσσ≤++≤⎰⎰而2π24πσ=⋅=所以 2236π(49)d 100πDx y σ≤++≤⎰⎰3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1）222(,{(,)|};Da D x y x y a σ=+≤⎰⎰（2）222,{(,)|}.D x y x y a σ=+≤⎰⎰解：（1）(,Da σ-⎰⎰在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以31(π3D a a σ=⎰⎰（2）σ⎰⎰在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故32π.3a σ=⎰⎰4. 设f(x ，y)为连续函数，求2220021lim(,)d ,{(,)|()()}πDr f x y D x y x x y y r r σ→=-+-≤⎰⎰.解：因为f(x ，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，(,),D ξη∃∈使得2(,)d (,)π(,)Df x y f r f σξησξη=⋅=⋅⎰⎰又由于D 是以（x0，y0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当0r→时，00(,)(,),x y ξη→于是：0022200000(,)(,)11lim(,)d limπ(,)lim (,)ππlim (,)(,)Dr r r x y f x y r f f r r f f x y ξησξηξηξη→→→→=⋅===⎰⎰5. 画出积分区域，把(,)d Df x y σ⎰⎰化为累次积分：（1）{(,)|1,1,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥;(2)2{(,)|2,}D x y y x x y =≥-≥(3)2{(,)|,2,2}D x y y y x x x =≥≤≤解：（1）区域D 如图10-3所示，D 亦可表示为11,01y x y y -≤≤-≤≤.所以1101(,)d d (,)d yDy f x y y f x y xσ--=⎰⎰⎰⎰(2) 区域D 如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域D 可表示为22,12y x y y ≤≤+-≤≤.图10-3 图10-4所以2221(,)d d (,)d y Dyf x y y f x y xσ+-=⎰⎰⎰⎰（3）区域D 如图10-5所示，直线y=2x 与曲线2y x =的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线2y x =与x=2的交点为（2，1），区域D 可表示为22,1 2.y x x x ≤≤≤≤图10-5所以2221(,)d d (,)d xDxf x y x f x y yσ=⎰⎰⎰⎰.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：（1）2220d (,)d yy y f x y x⎰⎰; (2)eln 1d (,)d xx f x y y⎰⎰;(3)1320d (,)d y y f x y x-⎰; (4)πsin 0sin2d (,)d xxx f x y y-⎰⎰;(5)123301d (,)d d (,)d yyy f x y y y f x y x-+⎰⎰⎰⎰.解：（1）相应二重保健的积分区域为D ：202,2.y y x y ≤≤≤≤如图10-6所示.图10-6D 亦可表示为：04,.2xx y ≤≤≤所以22242d (,)d d (,)d .yx yy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 相应二重积分的积分区域D：1e,0ln.x y x≤≤≤≤如图10-7所示.图10-7D亦可表示为：01,e e,yy x≤≤≤≤所以e ln1e100ed(,)d d(,)dyxx f x y y y f x y x=⎰⎰⎰⎰(3) 相应二重积分的积分区域D为：01,32,y x y≤≤≤≤-如图10-8所示.图10-8D亦可看成D1与D2的和，其中D1：201,0,x y x≤≤≤≤D2：113,0(3).2x y x≤≤≤≤-所以2113213(3)200010d(,)d d(,)d d(,)dy x xy f x y x x f x y y x f x y y--=+⎰⎰⎰⎰⎰.(4) 相应二重积分的积分区域D为：0π,sin sin.2xx y x≤≤-≤≤如图10-9所示.图10-9D亦可看成由D1与D2两部分之和，其中D1：10,2arcsinπ;y y x-≤≤-≤≤D2：01,arcsinπarcsin.y y x y≤≤≤≤-所以πsin 0π1πarcsin 0sin12arcsin 0arcsin 2d (,)d d (,)d d (,)d xyx yyx f x y y y f x y x y f x y x----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5) 相应二重积分的积分区域D 由D1与D2两部分组成，其中 D1：01,02,y x y ≤≤≤≤ D2：13,03.y x y ≤≤≤≤-如图10-10所示.图10-10D 亦可表示为：02,3;2xx y x ≤≤≤≤-所以()123323012d ,d d (,)d d (,)d yyxxy f x y x y f x y x x f x y y--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰7. 求下列立体体积：（1）旋转抛物面z=x2+y2,平面z=0与柱面x2+y2=ax 所围； （2）旋转抛物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所围. 解：（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积V=22()d d Dx y x y+⎰⎰其中D ：22{(,)|}x y x y ax +≤由被积函数及积分区域的对称性知，V=2122()d d D x y x y+⎰⎰，其中D1为D 在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得cos πππcos 344442220001132d d 2d cos d π4232a a V r r r a a θθθθθθ====⎰⎰⎰⎰.(2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积22()d d ,DV x y x y =+⎰⎰其中积分区域D 为xOy 面上由曲线y=x2及直线y=1所围成的区域，如图10-11所示.图10-11D 可表示为：211, 1.x x y -≤≤≤≤所以21122221()d d d ()d DxV x y x y x x y y-=+=+⎰⎰⎰⎰2111232461111188d ()d .333105x x y y x x x x x --⎡⎤=+=+--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 8. 计算下列二重积分：（1）221d d ,:12,;Dx x y D x y x y x ≤≤≤≤⎰⎰(2)e d d ,x yDx y ⎰⎰D 由抛物线y2=x,直线x=0与y=1所围；（3）d ,x y ⎰⎰D 是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形;(4)cos()d d ,{(,)|0π,π}Dx y x y D x y x x y +=≤≤≤≤⎰⎰.解：（1）()22222231221111d d d d d d xx Dx xx x x x y x y x x x x y yy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2421119.424x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦(2) 积分区域D 如图10-12所示.图10-12D 可表示为：201,0.y x y ≤≤≤≤所示22110000e d d d e d d e d()xx x y y y y yD xx y y x y y y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 21111ed (e 1)d e d d y x y y yy y y y y y y y==-=-⎰⎰⎰⎰1111120000011de d e e d .22yy yy y y y y y =-=--=⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图10-13所示.图10-13 D 可表示为：01,.x x y x ≤≤-≤≤所以2110d d arcsin d 2xxx x y x y x y xx --⎡==+⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰112300ππ1πd .2236x x x ==⋅=⎰ππππ0πππ0(4)cos()d d d cos()d [sin()]d [sin(π)sin 2]d (sin sin 2)d 11.cos cos 222x Dxx y x y x x y y x y xx x x x x xx x +=+=+=+-=--⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰9. 计算下列二次积分：10112111224sin (1)d d ;(2)d e d d e d .yy y xxyxy x xy x y x +⎰⎰⎰⎰解：（1）因为sin d xx x ⎰求不出来，故应改变积分次序。
习题课 二重积分的计算共28页文档
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
28
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
习题课 二重Leabharlann 分的计算11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
二重积分习题练习及解析ppt课件
(2)设f (x, y)在有界闭区域D上连续. 若D关于
y轴对称, f (x, y)对x为奇函数, 即
f ( x , y ) f ( x , y ), ( x , y ) D,
则
f ( x , y )dxdy 0, D
f (x, y)对x为偶函数, 即 D
f ( x , y ) f ( x , y ), ( x , y ) D,
D
n
0
i 1
4
f ( x , y ) d xOy平面上方的曲顶柱体体积 D
减xOy平面下方的曲顶柱体体积. 3. 物理意义 若平面薄片占有平面内有界闭区域D, 它的面 密度为连续函数 ( x , y ), 则它的质量M为:
M ( x , y ) d .
D
5
（二）二重积分的性质 (重积分与定积分有类似的性质) 性质1(线性运算性质) 设、 为常数, 则
序后的积分限;
2. 如被积函数为 f ( x 2 y 2 ), f ( x 2 y 2 ),
y y f ( ), f (arctan ) 或积分域为 圆域、扇形域、 x x
圆环域时, 则用极坐标计算;
18
3. 注意利用对称性质, 以便简化计算; 4. 被积函数中含有绝对值符号时, 应 将积分域分割成几个子域, 使被积函数在 每个子域中保持同一符号, 以消除被积函 数中的绝对值符号.
y
1
1
y x2
O
1
x
20
2.利用对称性
例 计算
x 2 y 2 a 2
( x 2 x 3 y 2)d .
2
解 积分域是圆 x 2 y 2 a 2 , 故关于x、y轴、 直线 y x 对称, 故将被积函数分项积分:
重积分习题课
x x 9 = ∫ ( x 3 − x )dx = − = 1 2 1 4 4
2
4 2
2
注：若本题将二重积分转化为先对x 后对 y 的二次积分, 的二次积分 则计算相对复杂。 则计算相对复杂。
e x + y dσ . 其中D = {( x , y ) | | x | + | y | ≤ 1 }. 【例4】计算二重积分∫∫ 】
的二次积分,得 将二重积分转化为先对 y 后对 x 的二次积分 得
∫∫
D
e x + y dxdy =
e x + y dxdy + ∫∫ e x + y dxdy ∫∫
D1 D2
1+ x − 1− x x+ y 0
= ∫ dx ∫
−1
0
e
dy + ∫ dx ∫
0
1 0
1
1− x x −1
e x + y dy
D
的值，只需估计积函数在积分区域上的最大值和最小值即可。 的值，只需估计积函数在积分区域上的最大值和最小值即可。
积分区域如图所示. 解: 积分区域如图所示 由于在 D 上
9 ≤ x + 4 y + 9 ≤ 4( x + y ) + 9 ≤ 25
2 2 2 2
y
D.
0
2 x
故由二重积分的性质可知
9dσ ≤ I = ∫∫ ( x 2 + 4 y 2 + 9)dσ ≤ ∫∫
σ 是 D 的面积， 的面积， 则在 D上至少存在一点 (ξ , η ) , 使得
∫∫ f ( x ,
D
y )dσ = f (ξ , η ) ⋅ σ .
二重积分习题及答案
在第一象限部分.
y
解: (1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
1 D1
D1, D2 两部分, 则
1 o 1 x
I D1 dxdy D2 dxdy
D2
1
dx
1
1
x2 dy
1 dx
1
x2
dy
0
2 3
(2) 提示:
I D ( x2 y2 2xy 2) dxdy
y
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
1 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号.
解 采用直角坐标
1
( x y )dxdy 4 dx
1 x2 ( x y)dy 8
D
0
0
3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域
第十章二重积分练习题
D
D
A I1 I2
B I1 I2
C I1 I2
D 以上都不对
4.设
f ( x2 y2 )d tet ，则 f (x) （ ）
x2 y2 t2
A
1 2
xe x
B
1 2
(1
1 )ex x
C
1 2
(1
1 )ex x
D
1 2
(1
x)ex
5.设 D 是由上半圆周 y 2ax x 2 和 x 轴所围成的闭区域,则 f (x, y)d ( )
0
0
8.旋转抛物面 z 1 x 2 y 2 在1 z 2 部分的曲面面积 S 为（ ）
2
(A) 1 x2 y2 dxdy； x2 y22
(B) 1 x 2 y 2 dxdy ； x2 y22
(C) 1 x2 y2 dxdy ； x2 y24
(D) 1 x 2 y 2 dxdy 。 x2 y24
d
2cos f (r cos ,r sin )rdr ，则将该二次积分化为直角坐标形式为（
0
）
4
1
A. dx
2xx2 f (x, y)
x2 y2 dy
0
x
1
2 x x2
B. dx
f (x, y)dy
0
x
C.
2
dx
2xx2 f (x, y) x2 y2 dy
0
x
2
2 x x2
D. dx
D
x
9. I ex xydxdy ，其中 D 为以双曲线 x2 y2 1的右支及直线 y 0, y 1所围成。 D
10. I x2 y2 dxdy ， D {(x, y) | 0 y x, x 2 y 2 2x} 。
二重积分习题课(课堂PPT)
积分域分块要少 • 确定积分序
累次积分好算为妙
图示法
• 写出积分限
( 先找两端点，后积一条线 )
不等式
充分利用对称性 • 计算要简便
应用换元公式
4
二重积分的对称性
设函数 f (x, y) 在闭区域D上连续, 区域D关于x 轴对称
y
(上下对称) D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,在 D 上
I
1
dx
0
1 f (x) f ( y) dy . 等于（A2）
x
2
1
分析: 交换积分顺序后, x , y互换
y
yx
1y
1x
Ox 1 x
I 0 d y 0 f (x) f ( y) d x 0 d x 0 f (x) f ( y) dy
2I
11
d x f (x) f (y)dy
1
dx
y
D
3x ,
x
1
所围成.
y
解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
(-1,0) D1 (1,0)
显然,在 D1 上 f (x, y) f (x, y)
在 D2 上
f (x, y) f (x, y)
I x ln(y 1 y2 )dxdy D1
v
A f (u,v)dudv
.
则.
D
f (x, y) xy A
A f (u,v)dudv
D
o
D (uv A)dudv
.
1
u2
du (uv A)dv
0
0
习题课
以这些元素为被积表达式，在闭区域 上 以这些元素为被积表达式，在闭区域D上 积分， 积分，便得
M y = ∫∫ x ( x, y )dσ , M x = ∫∫ y ( x, y )dσ
可以知道薄片的质量为
D
D
D
M = ∫∫ ( x , y )dσ
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高等数学
所以， 所以，薄片的重心的坐标为
R
R 2
2
= ∫ 0 z 2 S Dz d z + ∫ z 2 S Dz d z R
R
2
= ∫ 0 z 2π ( 2 Rz z 2 )d z
5
R 2
1
2
o
1
y
x
59π R5 R + ∫ z 2π ( R 2 z 2 )d z = π R + 47π R = R 480 40 480
5
2
上页
下页
返回
R R2 ρ 2 ≤ z ≤ R2 ρ 2
I=
o
y
∫
2π
0
dθ ∫
3 R 2
0
ρ dρ ∫
R2 ρ 2
z dz
2
x
R R2 ρ 2
59 π R5 = 480
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返回
高等数学
例6： I = ∫∫∫ z 2d v , ：
2
由 x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 ,
z
及 x 2 + y + z 2 ≤ 2 Rz 所围公共部分
=
∫0
2π
d θ ∫ cos sin d ∫ r dr
b
d v + ∫∫∫
二重积分习题课
，积分上下限或者为常数或者是后积分变量的函数。
1 1x
【例1】 设
f(x,y)dxdydx f(x,y)d ，y则改变其 00
D
积分次序后为
。
1x
1
(a) dy f(x,y)dx
0
0
1 1x
(b) dy f(x,y)dx 00
11
(c) dy f(x,y)dx 00
1 1y
(d) dy f(x,y)dx 00
[解] （a）显然是错的，因为后积分的上、下限不能含有变 量；（b）也是错的，因为先积分的上、下限或者为常数或者 后积分变量的函数，而（b）违背了；（c）也是错的，原因 是改变积分次序不会改变积分域，由排除法可知（d）该入选。
二 极坐标系中积分限的确定
积，又因 f(,)0.
故 f(x,y)d0 (P0,)
与假设矛盾，即知在D内有f(x,y) 0. 2. 累次积分型的命题的证明 证题思路：累次积 化 分 为 重积 分 化 为 另一次序的累次 证题过程中，常用到重积分对积分域的可加性，对积分变量的 无关性。
再 以 过 x z y 向 ( (x (y X 过 , z y [O [面 a ) , ， b Y (]投 D 作 )x x y ]D )zy 作 影 z/作 )作 r Y /Z X /轴 / 轴 轴 Y /Z X 用 轴 轴 射 轴 极 的 的 的 D 的 的 线 的 坐 r的 得 直 直 直 标 D D 直 直 x y 穿 直 y x , y z ,变 z 得 入 得 得 线 r 得 线 得 线 1(线 线 越 线 )[和 化 入 点 入 入 y 穿 ,入 z x 穿 y 入 穿 1 z 1 1 x 1 (1 (1 (x (z ]穿 (z y 穿 x 穿 x ))y ,和 出 ,和 ,z r 范 点 y 点 2 点 z)越 点 越 点 )越 (和 ) 和 和 )越 越 越 出 点 出 y 围 x z2 2 出 ((出 y 出 z x zzy x 2 )2 )2 ()((x 点 点 xy ,,z ,y 点 z )点 点 )) 再(r过 ,) (D r)作 /Z /轴的直 得 线 入 z1(穿 r,点 )和 越出 z2(r,点 )
二重积分习题课2014
o
1x
证明 在题设条件下，（1）式
1 f 2(x)dx
1
xf ( x)dx
1
f ( x)dx
1xf 2( x)dx 0
0
0
0
0
I [ yf 2( x) f ( y) yf ( x) f 2( y)]dxdy
D
yf ( x) f ( y)[ f ( x) f ( y)]dxdy 0
1
2
D
f ( x) f ( y)dxdy
2 DD'
D'
1
2
1
f ( x)dx
0
1
f ( y)dy
A2
0
2 14
或：利用原函数：令F(u)
u
f ( x)dx
0
dF(u) f (u)du
1
1
1
1
I 0 dxx f ( x) f ( y)dy 0 dxx f ( x)dF( y)
D
1
f ( x) f ( y)[ f ( x) f ( y)]( y x)dxdy
2
由于f
(Dx)单调减且正值，知有
f ( x) f ( y)[ f ( x) f ( y)]( y x) 0
所以I 0，即(1)式成立。
18
xdxdy 0
D1
I x[1 sin yf ( x2 y2 )]dxdy
D
xdxdy x sin yf ( x2 y2 )]dxdy
D
D
xdxdy xdxdy xdx
D 0
dx
重积分习题课
重积分典型例题一、二重积分的概念、性质1、二重积分的概念：d 01(,)lim(,)niiii Df x y f λσξησ→==∆∑⎰⎰其中：D ：平面有界闭区域，λ：D 中最大的小区域的直径（直径：小区域上任意两点间距离的最大值者），i σ∆：D 中第i 个小区域的面积2、几何意义：当(,)0f x y ≥时，d (,)Df x y σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为曲顶，D 为底的曲顶柱体的体积。
所以d 1Dσ⎰⎰表示区域D 的面积。
3、性质（与定积分类似）：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理（03年）二、二重积分的计算1、在直角坐标系下计算二重积分（1） 若D 为X 型积分区域：12,()()a x b y x y y x ≤≤≤≤，则21()()(,)(,)by x ay x Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰（2）若D 为Y 型积分区域：12,()()c y d x y x x y ≤≤≤≤，则21()()(,)(,)dx y cx yf x y dxdy dy f x y dx =⎰⎰（X －型或者Y －型区域之和，如图，则123(,)(,)(,)(,)D D D f x y d x d y f x y d x d y f x y d x d y f x y d x=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4）被积函数含有绝对值符号时，应将积分区域分割成几个子域，使被积函数在每个子域保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号。
（5）对称性的应用1(,)2(,),(,)0(,)DD f x y dxdy f x y dxdy f x y y D x f x y y ⎧=⎪⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于为偶函数区域关于轴对称， 关于为奇函数1(,)2(,),(,)0(,)DD f x y dxdy f x y dxdy f x y x D y f x y x ⎧=⎪⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于为偶函数区域关于轴对称， 关于为奇函数 （6）积分顺序的合理选择：不仅涉及到计算繁简问题，而且又是能否进行计算的问题。
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（三）有关二重积分的对称性的应用
1、若D关于y轴对称 即当(x,y)∈D时，必有(x,y) ∈D，则
f (x, y)d
D
0,
当 f(x,y)f(x,y)时
2D 1 f(x,y)d, 当 f(x,y)f(x,y)时
其中D1是D的右半区域
上页 下页 返回 8
2、若D关于x轴对称
即当(x,y)∈D时，必有(x, y) ∈D，则
f (x, y)d
D
0,
若 f(x,y)f(x,y)
2D 1 f(x,y)d, 若 f(x,y)f(x,y)
D1是D的上半部分区域
上页 下页 返回 9
3、若D关于原点对称， 即当(x,y)D时，必有( x,y) D，则
f (x, y)d
D
0,
0
y2
O
1
(1
y2
y2)e 2 dy
y2 1
e 2dy
y2
1
yde2
0
0
0
y2
y2
1
e 2d yye2
0
1 0
y2
1
e 0
2dy
ye
y2 2
1 0
e
1 2
。
上页 下页
x
返回14
例2 计算下列二重积分
(1) (xy)2d,
D
x2y22ay D : x2y2a(ya0)
(2)
D
x2 (a2
D既是X —型区域又是Y —型区域时,选择不需 分块或分块较少的积分顺序。
上页 下页 返回 3
若D:1(x)y2(x),则 y
axb
f(x,y)dbdx 2(x)f(x,y)dy
D
a 1(x)
oa
y2(x) D y1(x)
bx
若D:1(y)x2(y),则
cyd
y x1(y)
d
D
f(x,y)d
D
D
上页 下页 返回16
又 因 为 x 2 y 2 关 于 x 为 偶 函 数 ,
y 2a
若 设 D 1 为 D 中 x 0 的 部 分 ,则 a D
(xy)2d(x2y2)d
D
2
D
(x2 y2)d2
2d
O
2asinr2rdr
D1
0
as i n
x
22(1a 64si4n a4si4n )d15a4
（四）有关二重积分的一些证明题
中值定理、变上限积分、换元等
上页 下页 返回11
例1 当被积函数的原 是函 初数 等不 函数时， e x 2 ,e x y ,sy i,c nx o ,ss x i,s n x ik ,n cx o k (k s2 )等 ,
xx x 对这些函数要 y再先对 x积 积分 .
上页 下页 返回 5
(1)极点在D外
r 2()
D : 1 ( ) r 2 ( ), D
(2 )极 点 在 D 的 边 界 上 时
r 1()
D :0 r ( ) , O
r x2()
(3)极 点 在 D 的 内 部 时
D
D :0 r ()0 , 2
如D的边界是由直角坐标方 程:y =f (x) 给出，通常可从几何 意义去确定D的极坐标表示（图
D
cdd y 12 ((yy))f(x,y)dcx
o
x2(y)
x
上页 下页 返回 4
(3) 交换积分顺序 由所给的二次积分的顺序及积分限，确定积
分区域 D（画出图形），再按新的积分顺序将 D用新的不等式表出，即定出新的积分限。
2、利用极坐标计算二重积分
(1) 积分顺序通常是先 r后
(2) D的极坐标表示
2sin4d
40
20
15a4 3 1 45 a 4 。
2 4 2 2 32
上页 下页 返回17
(2)
x2 D(a2
by22)d,
D:x2y2R2
y
D
因为积 D 关 分于 区 y 直 x域 对线 称o R x
应先积y
I
1
x2
dx
sinx3dy
00
y
x y
1x2sinx3dx 0
O
x
1 cos x3 1 1(1 cos1)。
3
03
上页 下页 返回13
（ 2 ） ey 2 2dxdy,D :yx,x1,y0所 围 。
D
y
D :y2x1,0y1
y x
应先积x
1
1 y2
I dy e 2 dx
y2 b2
)d,
D: x2 y2 R2(a0,b0)。
上页 下页 返回15
解(1)(xy)2d
D D :x 2 y 2 2 a ,x 2 y y 2 a ( a y 0 )
y
2a
因 为 区 域 D 关 于 y轴 对 称 ,
D a
2xy关于 x为奇函数
所 以 2xyd 0。
O
x
D
(xy)2d(x2y2)d
d
oa
D y1(x)
c
bx
o
D
x2(y)
x
上页 下页 返回 2
积分区域的不等式表示的是二重积分化为二 次积分确定积分限的基本依据。
(2) 积分顺序的确定 先积y还是先积x，要结合被积函数f (x,y)及积
分区域两个方面的特点加以考虑。
首先是“能积出”，其次是“易积出”。 如仅从积分区域的特点看，D是X —型区域时先 积y；D是Y —型区域先积x。
二重积分习题课
一、内容提要 （一）二重积分的概念、性质
n
1、定义 Df(x,y)dli m 0i1f(i,i) i
2、几何意义：曲顶柱体的体积 3、性质
上页 下页 返回 1
（二）二重积分的计算 1 、直角坐标系中
(1) 积分区域D的类型：
X—型区域，Y—型区域,一般区域分划。
y2(x)
y
y x1(y)
(1 )s in x 3 d x d y ,D :x y ,x 1 ,y 0 所 围 。
Dy2
（ 2 ） e2dxdy,D :yx,x1,y0所 围 。 D
上页 下页 返回12
(1 )s in x 3 d x d y ,D :x y ,x 1 ,y 0 所 围 。
D
解 (1) D的图形如右。
2D 1 f(x,y)d,
若 f(x,y)f(x,y) 若 f(x,y)f(x,y)
其中D1是D的上半部分（或右半部分）区域。
上页 下页 返回10
4、若D关于直线 y =x对称， 即当(x,y)∈D时，必有(y,x)∈D，则
f (x, y)d f(y,x)d
D
D
1 2D[f(x,y)f(y,x)d]
形是重要的）或利用x=rcos， y=rsin 进行变换。
O
r 1()
x
r ()
oD
上页 下页
x
返回 6
(3)坐 标 系 的 选 取 当 D 的 边 界 用 极 坐 标 表 示 比 较 简 单 或 D 是
圆 域 、 圆 的 一 部 分 时 , 当 被 积 函 数 形 如 f(x 2 y 2 )、 f x y 、 f x y 时 可 考 虑 选 用 极 坐 标 系 。