第2节 微积分基本定理.ppt
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《高等数学》第二节 定积分基本公式
例 1 设f (x) sin 2t d t, 求f (x) 0 x 2 2 解:f (x) sin 2t d t sin 2x 0
2
x
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则 I (x) f (t )dt
a x
是f (x)在[a, b]上的一个原函数.
或记作
证明
b f ( x ) d x F ( x ) a F (b) F ( a ). b a
b a
F (x)是f (x)的一个原函数， 而I (x) f (t )dt也是f (x)的一个原函数，
a x
F (x) I (x) C.
令x a有 F (a) I (a) C.
1 1 1 x2 1 lim . 2 x 0 1 2
I I' ( x) lim lim f ( ) f (x)， x 0 x x
即
d x I ' (x ) f (t )dt f (x ). dx a
a
结论：变上限积分所确定的函数 x f (t )dt 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).
注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限 x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间 变化的，因此常记为
x a
x
f (t )dt.
定理1
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则变上限 I (x) f (t )dt
1 1 dx arctan x 1 2 1 x
1 1
arctan 1 arctan( 1) π π ( ) 4 4 π . 2
第二节 微积分基本公式
x x0
x
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说明:
1)定理 2: 连续函数 f (x) 一定有原函数, 函数
( x)
x
f (t)dt
就是f(x)的一个原函数.
a
2) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 .
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3) 其他变限积分求导
d ( x) f (t )d t f [ ( x)]( x)
设f ( x)
2 sin
x
1
1
t
2
dt
,
求f
(
x
).
解
f ( x)
sin 2
x
1
1
t
2dt
f ( x)
1 1 sin2 x
(sinx)
cos x 1 sin2 x
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例3
设f ( x)
x
2
e
t
dt
,
求f
(
x
).
x3
解
f (x) 0 etdt x2 etdt
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
所以 lim x0
1 e t 2 dt
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
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例5 确定常数 a , b , c 的值, 使
解 原式 =
c ≠0 , 故 a 1. 又由
第五章
第二节 微积分基本公式
一、问题的提出 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 四、小结
《微积分》(上下册) 教学课件 02.第2章 导数与微分 高等数学第一章第3-5节
1
记作
f
(
x),
y,
d2y dx2
或
d
2 f (x) dx2
.
二阶导数的导数称为三阶导数,记作
f ( x),
y,
d3y dx3 .
三阶导数的导数称为四阶导数, 记作
f (4)(x),
y(4) ,
d4y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n)(x),
10
一、微分的概念
实例 半径为 x的0 金属圆板受热后面积的改变量.
设半径由x0变到x0 x,
圆板的面积 A x02,
A (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2.
(1)
(2)
(1) x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
11
再例如
设函数 y x3在点 x0处的改变量为x时, 求函数的 改变量 y.
§2.3 高阶导数
问题 变速直线运动的加速度.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)；
因为加速度a是速度v对时间t的变化率，所以
a(t) v(t) s(t).
定义 如果f (x)的导函数f (x)在点x处可导,即
( f (x)) lim f (x x) f (x)
x0
x
存在,则称( f (x))为f (x)在点x处的二阶导数.
dt dx
3a sin2 t cost 3a cos2 t(sint
)
tan t，
dt
d2y dx2
d (dy) dx dx
d ( tan t ) dx
定积分与原函数的关系 微积分基本定理【高等数学PPT课件】
通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
[ (x)](x)
d
dx
( x) (x)
f
(t)
dt
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [ (x)](x) f [ (x)] (x)
第二节 定积分与原函数的关系 微积分基本定理
一、积分上限函数
二、牛顿—莱布尼茨公式
一、积分上限函数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
o
x
0
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解:
2
0
f
ห้องสมุดไป่ตู้
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例7. 设
解：设
1
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
[ (x)](x)
d
dx
( x) (x)
f
(t)
dt
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [ (x)](x) f [ (x)] (x)
第二节 定积分与原函数的关系 微积分基本定理
一、积分上限函数
二、牛顿—莱布尼茨公式
一、积分上限函数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
o
x
0
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解:
2
0
f
ห้องสมุดไป่ตู้
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例7. 设
解：设
1
课件：微积分基本公式
二、积分上限函数及其导数
设f ( x)在[a,b]上连续, x [a,b],
记 ( x) ax f (t)dt ----积分上限函数
◆积分上限函数的重要性质：
定理1 若f ( x)在[a,b]上连续,则积分上限函数
( x) ax f (t )dt在[a,b]上可导,且x (a,b)有 :
( x)
其中: I可以为任意形式的区间.
d
x
x
f (t)dt [ f (t)dt] f (x)
dx a
a
例1 已知f ( x) 0x t 2 sin tdt,求f ( x). 解 f ( x) [0x t 2 sin tdt ] x2 sin x.
例2
已知f
(
x)
x2
0
t2
sintdt,求f
证 x (a,b),
y
( x x) axx f (t )dt
( x x) ( x)
axx f (t )dt ax f (t )dt
( x) (x)
o a x x x b x
x
f (t)dt
x x
f (t)dt
x
f (t)dt
x x
f (t)dt,
a
x
a
x
由积分中值定理得:
sin x
arctan x
xf
(t )dt ,
求g( x).
思考题解答
1. 已知f ( x)在[a,b]上连续,问ax f (t )dt与xb f (u)du 是 谁 的 函 数? 它 们 在[a , b]上 可 导 吗? 如可导, 求其导数.
解: 都是x的函数; 可导;
d dx
ax
2.微积分基本定理
x Δx
a
x Δx
f ( t )dt f ( t )dt
a
x
( x)
oa
x
x x b x
5
a
x
f ( t )dt
x Δx
x
f ( t )dt f ( t )dt
a
x
x
x Δx
y
f ( t )dt , ( )由积分中值定理得o a
x x x b x
b
a
f ( x )dx f ( )(b a )
(a b).
证 因为 f ( x ) 连续, 故它的原函数存在,
设其为 F ( x ). 即设在 [a, b] 上 F ( x ) f ( x ).
根据牛顿 - 莱布尼茨公式, 有
a f ( x )dx F (b) F (a ).
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x )在[a , b]上连续, 则积分上限的函数
( x ) f ( t )dt
a
x
就是f ( x )在[a , b]上的一个原函数.
这就证明了上一章中所提出的任何连续 函数一定存在原函数.
7
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x )在[a , b]上连续, 则积分上限的函数
x
已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数,
又由于 ( x )
所以
a
f ( t )dt 也是 f ( x )的一个原函数 ,
x [a , b].
11
F ( x) ( x) C
F ( x) ( x) C
x [a , b].
a
x Δx
f ( t )dt f ( t )dt
a
x
( x)
oa
x
x x b x
5
a
x
f ( t )dt
x Δx
x
f ( t )dt f ( t )dt
a
x
x
x Δx
y
f ( t )dt , ( )由积分中值定理得o a
x x x b x
b
a
f ( x )dx f ( )(b a )
(a b).
证 因为 f ( x ) 连续, 故它的原函数存在,
设其为 F ( x ). 即设在 [a, b] 上 F ( x ) f ( x ).
根据牛顿 - 莱布尼茨公式, 有
a f ( x )dx F (b) F (a ).
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x )在[a , b]上连续, 则积分上限的函数
( x ) f ( t )dt
a
x
就是f ( x )在[a , b]上的一个原函数.
这就证明了上一章中所提出的任何连续 函数一定存在原函数.
7
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x )在[a , b]上连续, 则积分上限的函数
x
已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数,
又由于 ( x )
所以
a
f ( t )dt 也是 f ( x )的一个原函数 ,
x [a , b].
11
F ( x) ( x) C
F ( x) ( x) C
x [a , b].
(5.2) 第二节 微积分基本公式(少学时简约版)
就是 f( x )在区间[ a ,b ]上的一个原函数。
(3) 积分上限函数的性质的应用
例：设 f( x )在[ 0 ,+ )上连续，且满足
x21xftdtx,求 : f2. 0
从一般性的角度考虑，为求 f( 2 )需知 f( x )的
表达式，为此需解给定的积分方程。 解积分方程通常就是设法消去方程中的积分记号。
lim x 1. x x0
有了变上限函数的概念及对原函数结构的认识，便 可方便地证明最初的猜测，即定积分这样复杂的和式极 限可归结为它的一个原函数在积分区间上增量的计算。
定理 3 牛顿－莱布尼兹公式 如果函数 F( x )是连续函数 f( x )在区间[ a ,b ]上的
一个原函数，则有
bfxdxFbFa. a
a
a
即有 S ta tv td t S a l i m 0 i n 1 v iti S a .
由归纳法可猜测，f( x )的原函数的结构应是一个 复杂的和式极限，其一般形式应为
F xa xfxdxli m 0 i n 1fi xi.
与熟悉的初等函数相比，这是一种相对复杂的函数
形式。为证明上述猜测，需验证对此函数形式有
x l x i m 0 x x l x i m 0 f l i m x f f x .
即证得当 x ( a,b )时有
xd d xa xftdtfx.
定理 2 连续函数的原函数的存在性
若 f( x )在区间[ a ,b ]上连续，则
x
x
f tdt
a
构造变上限辅助函数进行证明
构造辅助函数 xa xftdt,x a,b.
由于函数 f( x )在区间[a ,b]上连续，故其在区间
微积分基本定理
1
2
x ,0 ≤ x < 1 ， 例8 设 f ( x ) = x,1 ≤ x ≤ 2
2
上的表达式. 求 Φ( x ) = ∫0 f (t )dt ，在 [0,2] 上的表达式
x
解
当 0 ≤ x < 1 时，
Φ( x ) = ∫0 f (t )dt = ∫0 t dt
x x 2
1 t 3 = 1 x 3 = 3 0 3
3 2
3x 2 2x = − 12 1+ x 1 + x8
x 0 “ 型未定式，可利用洛必达法 型未定式， 解 这是一个 ” 0 1 −t cos x −t e 则计算， 则计算，分子为 ∫cos x dt＝－∫1 e dt
2 2
例4
e ∫cos x 求 limt
由法则2得 由法则 得
(2)定理2 (2)定理2 定理
分上限函数Φ ( x ) = ∫ f (t )dt 是 f ( x ) 在区间
x
上连续， 若函数 f ( x ) 在 [a, b]上连续，则积
a
上的一个原函数. [a, b] 上的一个原函数.
此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， 此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 从而可能用原函数来计算定积分. 从而可能用原函数来计算定积分
3.法则3 3.法则3 法则
α ( x ) ∈ [a , ， β ( x ) ∈ [a , b] 且α ( x ) 与 β ( x ) b] ，
都可微， 都可微，则有
若函数 f ( x )在区间 [a, b]上连续， 上连续，
5-2第二节 微积分基本公式
证明: 根据定理1我们得到
F ( x) f (t )dt C, x a C F (a) f (t )dt F ( x) F (a)
a a x x
x b f (t )dt F (b) F (a) F ( x) |b a
a
b
此定理表明:在某区间[a,b]上,连续函数f(x)的定积分等于它的 任意一个原函数在该区间的增量△F=F(b)-F(a).这样我们将求
量x求导数,就等于被积函数在上限变量x处的值.(2)
是错误的.这里的上限为x2.因此必须利用复合函数求 导公式 x 2 x sin x x 2 x sin x x 2 sin x 2 2 ( dx)x ( dx)x 2 ( x ) 2x 2 2 2 2 0 1 cos x 0 1 cos x 1 cos ( x )
x
a
f (t )dt
高 等 数 学 电 子 教 案
这个定理指出一个重要结论:连续函数f(x)取变上 限x的定积分然后求导,其结果还原为f(x)本身.由 原函数的定义,我们知道φ(x)是连续函数f(x)的一
个原函数.因此,这里引出定理2
定理2 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
dx 0 1 x 2
1
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
与分法及取法无关,可用上述分法与取法,这样一 来,原式
高 等 数 学 电 子 教 案
1 lim xi 2 0 i 1 1 i
n
dx 1 0 1 x 2 arctgx 0 4 .
1
例8 计算 1.∫cosxdx. 2.∫0π/2 cosxdx.
微积分基本公式PPT幻灯片课件
dx v( x)
d
(
u( x)
f (t )dt) f (u( x))u( x)
f (v( x))v( x)
dx v( x)
例
( x)
x2 1 0 1 t 2 dt,
则
(
x
)
1
2
x x
4
I( x)
x2 1 x 1 t 2 dt,
则I( x)
2x 1 x4
第五章 第二节
微积分基本公式
本节主要内容
一、积分上限函数 二、微积分基本公式 三、积分上限函数的应用
引例 设f (t) 0，且在[a,b]上可积。ab f (t)dt表示一曲 边梯形的面积 取。 x (a, b)，则ax f (t)dt
表示区间[a, x]上方部分曲边梯形的面积。
当x变化时，面积也随之变化。
x
a
f
(t )dt在[a, b]区间上定义了一个x的函数。
因为x是积分上限， y
故称为积分上限函数。
o a xx x b x
一、积分上限函数
定义 设函数f ( x)在[a,b]上可积，x [a,b]，则称
( x) ax f (t)dt
为定义在[a, b]上的积分上限函数。
相应地可以定义积分下限函数：
dx x2 1 t 4 1 x12
1 x8
3x2 2x 。 1 x12 1 x8
例 求 lim 0x cos t 2dt 。
x0
x
解： 用洛必达法则
原极限 lim cos x2 1。 x0 1
1 et2 dt
练习 求 lim cosx
.
河南省伊川县实验高中2016届高三上学期定积分与微积分基本定理 课件(共37张PPT)
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高三一轮总复习· 理科数学
【规律方法】 定积分在物理中的两个应用： (1)求变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度
b 为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝ v(t)dt. a
(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同 方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是 W＝ F(x)dx.当力
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高三一轮总复习· 理科数学
(2)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位： m)作 用下，沿与F(x)成30° 方向作直线运动，则由x＝1 运动到x＝2时 F(x)做的功为( A. 3 J 4 3 C. J 3 ) 2 3 B. J 3 D．2 3 J
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高三一轮总复习· 理科数学
防范措施：1.当平面图形的上(下)边界是不同的函数的图象 时，可在交点处做x轴的垂线，从而确定积分上、下限，分段求 面积． 2．被积函数实际上就是曲线所围图形的上边界的函数解析 式减去下边界的函数解析式．
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a a
f(t)dt.( ) (2) 定积分一定是曲边梯形的面积．( ) b (3)若 f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成
a
的图形一定在x轴下方．( ) a a f(x)dx.( (4)若f(x)是偶函数，则 －af(x)dx＝2
－a
0
(2)(2015· 鄂州模拟)已知作用于某一质点的力F(x)＝
2 x ，0≤x≤1 x＋1，1<x≤2
第二节 微积分基本公式
上可导, 设 α ( x ) 在 [a, b] 上可导, 则
d α( x) ∫a f (t ) dt = f [α ( x )] ⋅ α ′( x ) . dx
证 设 Φ( x) =
∫
x
a
则 f (t )dt ， ∫a
α ( x)
f (t) dt = Φ[α(x)]，
d α ( x) 所以 ∫a f (t ) dt = Φ′[α( x)]⋅α′( x) = f [α ( x )] ⋅ α ′( x ) . dx
例2 设 f ( x ) 为连续函数, F ( x ) = 为连续函数,
∫
ln x 1 x
f ( t ) dt , 则
1 1 1 F ′( x ) = f (ln x ) ⋅ ( ) − f ( ) ⋅ ( − 2 ) x x x
1 1 1 = f (ln x ) + 2 f ( ) . x x x
1 0
F (1) = 1 − ∫ f ( t ) dt = ∫ [1 − f ( t )] dt > 0, 0
由零点定理可知， 由零点定理可知，F (x) 在 (0,1) 内至少有一个零点； 内至少有一个零点； 另一方面，Q f ( x ) < 1, ∴ F ′( x ) = 2 − f ( x ) > 0 , 另一方面，
上连续， 且 例6 设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续， f ( x ) < 1 .证明方程
2 x − ∫ f ( t ) dt = 1 在 [0,1] 上只有一个实根 .
0
x
证
令 F ( x) = 2 x −
1
∫
x 0
f ( t ) dt − 1 , F ( 0 ) = − 1 < 0 ,
d α( x) ∫a f (t ) dt = f [α ( x )] ⋅ α ′( x ) . dx
证 设 Φ( x) =
∫
x
a
则 f (t )dt ， ∫a
α ( x)
f (t) dt = Φ[α(x)]，
d α ( x) 所以 ∫a f (t ) dt = Φ′[α( x)]⋅α′( x) = f [α ( x )] ⋅ α ′( x ) . dx
例2 设 f ( x ) 为连续函数, F ( x ) = 为连续函数,
∫
ln x 1 x
f ( t ) dt , 则
1 1 1 F ′( x ) = f (ln x ) ⋅ ( ) − f ( ) ⋅ ( − 2 ) x x x
1 1 1 = f (ln x ) + 2 f ( ) . x x x
1 0
F (1) = 1 − ∫ f ( t ) dt = ∫ [1 − f ( t )] dt > 0, 0
由零点定理可知， 由零点定理可知，F (x) 在 (0,1) 内至少有一个零点； 内至少有一个零点； 另一方面，Q f ( x ) < 1, ∴ F ′( x ) = 2 − f ( x ) > 0 , 另一方面，
上连续， 且 例6 设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续， f ( x ) < 1 .证明方程
2 x − ∫ f ( t ) dt = 1 在 [0,1] 上只有一个实根 .
0
x
证
令 F ( x) = 2 x −
1
∫
x 0
f ( t ) dt − 1 , F ( 0 ) = − 1 < 0 ,
第二节 微积分基本公式
x x0
x
9
定理1指出: (1) 积分运算和微分运算的关系, 它把微分和
积分联结为一个有机的整体 — 微积分, 所以它是微积分学基本定理. (2) 连续函数 f (x) 一定有原函数,
函数 ( x) x f (t)dt 就是f(x)的一个原函数. a
10
推论 设f ( x) C[a, b], 函数g( x)可导,x [a,b].
a
a
25
b a
f
( x)dx
F(b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注 当a b时,
b f ( x)dx F(b) F(a)仍成立. a
26
例 2 (2cos x sin x 1)dx 0
f
(t )dt
(x
x)
f
(x)
0
对吗?
dx 0
错!
42
分析 在 d x ( x t ) f (t )dt中, 其中的x对积分过程 dx 0
是常数, 而积分结果 x ( x t) f (t)dt 是x的函数. 0
注意 若被积函数是积分上限(或下限)的函数中的 变量 x 及积分变量 t 的函数时, 应注意 x与t 的区别. 对 x求导时, 绝不能用积分上限(或下限)的变量x替 换积分变量.
f (t)dt
f (x)
18
证
d dx
x
tf (t)dt
0
xf ( x),
d dx
x 0
f (t)dt
f (x)
高等数学微积分教学ppt(2)
2、自变量趋于无穷大时函数的极限
本节内容 :
二、函数的极限
1、自变量趋于有限值时函数的极限
1).
时函数极限的定义
引例. 测量正方形面积.
面积为A )
边长为
(真值:
边长
面积
直接观测值
间接观测值
任给精度 ,
要求
确定直接观测值精度 :
定义1 . 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
当
时, 有
1.幂函数
2.指数函数
3.对数函数
4.三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
5.反三角函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
四. 初等函数
由常数及基本初等函数
否则称为非初等函数 .
例如 ,
并可用一个式子表示的函数 ,
例6. 求
解:
利用定理 4 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
内容小结
1). 无穷小与无穷大的定义
2). 无穷小与函数极限的关系
Th1
3). 无穷小与无穷大的关系
Th3
4). 无穷小的运算法则
Th4
Th5
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
函数的连续性与间断点
第一章
可见 , 函数
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
函数、极限与连续
第一章
二、函数
一、集合
第一节
函数
元素 a 属于集合 M , 记作
本节内容 :
二、函数的极限
1、自变量趋于有限值时函数的极限
1).
时函数极限的定义
引例. 测量正方形面积.
面积为A )
边长为
(真值:
边长
面积
直接观测值
间接观测值
任给精度 ,
要求
确定直接观测值精度 :
定义1 . 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
当
时, 有
1.幂函数
2.指数函数
3.对数函数
4.三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
5.反三角函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
四. 初等函数
由常数及基本初等函数
否则称为非初等函数 .
例如 ,
并可用一个式子表示的函数 ,
例6. 求
解:
利用定理 4 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
内容小结
1). 无穷小与无穷大的定义
2). 无穷小与函数极限的关系
Th1
3). 无穷小与无穷大的关系
Th3
4). 无穷小的运算法则
Th4
Th5
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
函数的连续性与间断点
第一章
可见 , 函数
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
函数、极限与连续
第一章
二、函数
一、集合
第一节
函数
元素 a 属于集合 M , 记作
定积分与微积分基本定理.
3 ＝(x3－x2＋x)|－ 1＝24.
(2)
2 1 π
1 1 3 2 2 x－xdx＝2x －ln x|1＝ －ln 2. 2
π π
(3) (sin x－cos x)dx＝ sin xdx－ cos xdx＝
定积分与微积分基本定理
结束
2．计算下列定积分： (1) (3)
3 -1 π 0
(3x －2x＋1)dx；(2)
2
2 1 2 0
1 x－xdx； |1－x|dx.
(sin x－cos x)dx；(4)
3 -1
解：(1)
(3x2－2x＋1)dx
0 0 0 π (－cos x) |0 －sin x |π 0 ＝2.
数学
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第十二节
定积分与微积分基本定理
结束
(4) |1－x|dx＝ (1－x)dx＋ (x－1)dx
0 0 1
2
1
2
1 2 1 1 2 ＝x－2x |0＋2x －x |2 1 1 1 1 2 2 ＝1－2－0＋2×2 －2－2×1 －1＝1.
1 0 1 1 1－x dx 的几何意义是求单位圆面积的 ，所以 0 4
如：定积分 π 1－x dx＝ . 4
2
2
数学
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第十二节
定积分与微积分基本定理
结束
[练一练]
若 f(x)dx＝1， f(x)dx＝－1，则 f(x)dx＝________.
解析：∵ f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx， ∴ f(x)dx＝ f(x)dx－ f(x)dx＝－1－1＝－2.
微积分的基本定理(2)
b f (t)dt 称为积分下限函数. x
4
定理 6.1 (原函数存在性定理)
若 f (x) C([a,b]), 则 (x) x f (t) d t 在[a,b] a
上可导, 且
dx
'(x) d x a f (t) d t f (x) (a x b) .
5
例1
(
x
cost dt )
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第2节 微积分的基本定理
1
第六章 定积分
第二节 微积分的基本公式
一. 积分上限函数 二. 微积分基本公式
2
一. 积分上限函数 (变上限的定积分)
对可积函数 f (x) 而言, 每给定一对 a, b 值, 就有
确定的定积分值I
b
f
(x)d x
与之对应.
a
这意味着 f (x) 的定积分 b f (x)d x 与它的上下限 a
一个原函数, 则
b a
f
(x)d x
F ( x)
b a
F (b)
F (a).
牛顿— 莱布尼茨公式 将定积分的计算与求原函数的计算联系起来了.
10
例4
(sin x) cos x,
2 cos x d x
0
sin
x
2 0
sin
2
sin 0
1.
11
例5
1 1
11 x2
dx
arctan x
1 1
lim
x0
cos x
x2
lim x0
1
x2
罗必达法则
lim ecos2 x (sin x)
微积分第二版课件第二节微积分基本公式
y
y=f (x)
(x) ax f (t)dt ,
称为变上限的积分.
oa
x
bx
定理（微积分基本定理）
若函数f (x)在区间[a,b]上连续，则变上限函数
Φ(x)
x
f (t)dt
(a
x b)在[a,b]上具有导数，且
a
Φ '(x)
d dx
ax
f
(t
)dt
f (x)
(a x b).
即上限函数Φ(x)是f (x)在[a,b]上的一个原函数.
对应变上限积分函数还有变下限积分函数
(x) xb f (t)dt 对于变上（下）限积分函数也可以进行函数的复合， 由变上限积分函数导数与复合函数求导法则有结论：
若函数 (x), (x) 可微，函数 f (x) 连续，则
(1) d dx
a x
f
(t)dt
d dx
x a
f
(t
)dt
f (x)
0
cos
t
2
d
t
x2
lim
x0
2x cos 2x
x4
lim cos
x0
x4
1
1
lim
x0
0xarctan x2
tdt
.
lim
x0
arctan 2x
x
1 2
lim
x0
1
x2
1
1. 2
二、微积分基本公式
变速直线运动的路程问题
设物体作变速直线运动其路程函数为s=s(t) , 速度
函数为v=v(t) .则在时间间隔 [T1,T2 ] 内有
根据导数的定义及函 数的连续性，有
第二节微积分基本公式
dx ( a x b ) ( x ) f ( t ) dt f ( x ) 数 是 , a dx y x x 证 ( x x ) f ( t ) dt a
x
( x x ) ( x )
a x x x
(x)
sin x
例3. 设 f(x )在 ( , )内 f(x )0， 连 续 ， 且
证 明
tf(t) dt 0 (0 , )内 F (x ) x 函 数 在 为 f(t) dt 0
x
单 调 增 加 函 数 .
证
d x d x f ( t ) dt tf ( t ) dt xf ( x ), f(x ), 0 0 dx dx
sin x
tan tdt 0 (3 ). lim 0 . x 0 0 sin tdt tan x
解
tan(sin x ) cos x 原式 lim 2 x 0 0 sin(tan x ) sec x
cos x lim x 2 x 0 0 x sec x =－1
f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) 一 个 原 函 数 ， 则 . a
b
证 已 知 是 的 一 个 原 函 数 ， F ( x ) f ( x )
f ( x ) ( x ) ( t ) dt 又 也 是 的 一 个 原 函 数 , f
a x
[ a ,b ] F ( x ) ( x ) Cx
二、积分上限函数及其导数
1. 定义 设 f ( x ) [ a , b ] 函 数 在 区 间 上 连 续 ， 并
[ a , b ] 且 设 x 为 上 的 一 点 ，
x
( x x ) ( x )
a x x x
(x)
sin x
例3. 设 f(x )在 ( , )内 f(x )0， 连 续 ， 且
证 明
tf(t) dt 0 (0 , )内 F (x ) x 函 数 在 为 f(t) dt 0
x
单 调 增 加 函 数 .
证
d x d x f ( t ) dt tf ( t ) dt xf ( x ), f(x ), 0 0 dx dx
sin x
tan tdt 0 (3 ). lim 0 . x 0 0 sin tdt tan x
解
tan(sin x ) cos x 原式 lim 2 x 0 0 sin(tan x ) sec x
cos x lim x 2 x 0 0 x sec x =－1
f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) 一 个 原 函 数 ， 则 . a
b
证 已 知 是 的 一 个 原 函 数 ， F ( x ) f ( x )
f ( x ) ( x ) ( t ) dt 又 也 是 的 一 个 原 函 数 , f
a x
[ a ,b ] F ( x ) ( x ) Cx
二、积分上限函数及其导数
1. 定义 设 f ( x ) [ a , b ] 函 数 在 区 间 上 连 续 ， 并
[ a , b ] 且 设 x 为 上 的 一 点 ，
微积分教材
a
f ( x)dx f (u)du f (t )dt
a a
一、积分上限函数 定义：设 f (x) 在 [ a, b] 上连续，任取一点 x [a, b] ， 定积分 a
x
f (t ) dt
有意义
上每取一个值，定积分 a f (t )dt
x
若积分上限
x 在 [ a, b]
总有一个值与
例2：求下列极限
1、
lim
n 1
2
n
1
et dt
2
ln x
解：
lim
n 1
n
1
e t dt
ln x
x2
（0） 0
lim
n 1
e （由罗必塔法则） 1 x
x2
lim xe
n 1
e
（连续）
f ( )x
( x x x)
或
(2)求比值
( x x x)
f ( ) x
(3)求极限
( x) lim x 0 x
'
lim f ( )
x0
lim f ( )
x
f (x)
（由于 f (x) 在 [a, b] 连续）
然后用原函数 F (x) 的上限值 F (b) 减去原函数 F (x) 的
下限值 F (a ) 记：
b
a
f ( x)dx F ( x)
b a
F (b) F (a)
四、举例
例1：求上限函数的导数
1、设
解：
y cos(t 2 1)dt
0
x
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• （5）a x 的原函数是 ax c ； ln a
• （6）sin x的原函数是 cos x c ；
• （7）cos x 的原函数是 sin x c ；
• （8） 1 的原函数是arcsin x c . 1 x2
• 3微积分基本定理
• 设函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，若 F(x) 是 f (x) 在区间[a,b] 上的一个原函数，则
1
2 1
e2
e1
e2
e
.
随堂练习：P85 1.
x • 例2 计算 y sin x 在 [0， ]上与 轴所围成
平面图形的面积.
•
【解】
A
sin xdx
0
cos x
0
2
.
• 例3 汽车以每小时 36km的速度行驶，到某处 需要减速停车，设汽车以等加速度 a 5m s2
• 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了距离？
• （3） 积分区间的可加性
•
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
,(
acb
).
• （二）讲新课
• 1原函数的定义
• 设函数 f (x) 定义在某区间 I 上，如果存
在函数 F(x) 使得 xI 都有F(x) f (x) ，
那么称函数 F(x)为 f (x) 在区间 I 上的一
【解】因为当 t 0时， v0 10m / s；又
a 5m / s2. 所以 vt v0 at 10 5t ，
而停车时 vt 0，因此 t 2 .故
S
2
0 vtdt
2
(10 5t)dt 10
0
.
即刹车后，汽车需要走10m 才能停住 .
随堂练习： P86 7
小结：这节课主要讲原函数的定义，微积分 基本定理及运用.
作业： P85 A6
• （3） 2 cos xdx; 0
• （4） 2 exdx . 1
【解】（1）原式=
2
1 xdx 2 1 x2
0
2
1 0
12 02
1 .
（2）原式=
1 x3 3
1 0
1 (13 3
03) 1 3
.
（3）原式=
sin x
2 0
sin
2
sin 0 1
.
（4）原式=
2 exdx ex
• a x0 x1 x2 xi xn b，用 xi 表示
区间[xi1, xi ] (i 1,2, n) 的长度，记
,
在区间 [xi1, xi ]上任取一点 i ，作和
数
Sn
n
f
(i )xi ，若当(T )
0时，Sn
（I 有限
i 1
数），且 I 与分割 T 及 i 在区间[xi1, xi ] (i 1,2, n)
个原函数.
• 易知：f (x) 的所有原函数可以表示为 F(x) C （ C 为任意常数）.
• 2 常见基本初等函数的原函数表 • （1）1的原函数是 x c ；
• （2）x 的原函数是 1 x1+C( 1) ；
1
（3）1x 的原函数是 ln x c ； • （4）ex 的原函数是 ex c ；
上的选取无关，则称此极限为 f (x) 在区间 [a,b]
上的定积分，记为
b
I a f (x)dx
.
• 2定积分几何的意义
• 就是曲边梯形的面积.
• 3定积分的性质
•
（1）
b
a
kf
( x)dx
k
b
a
f
(x)dx（k为任意常数）;
b
b
b
• （2） a [ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx ;
第2节 微积分基本定理
乐安一中 王朝华
一.教学目的：使学生掌握微积分基本 定理，并运用求定积分 二．教学重点：应用微积分基本定理 计算微积分 三．教学难点：求一个函数的原函数 四．教学方法：讲练结合
• （一）复习提问 • 1定积分概念
(T ) Max{xi} 1in
• 设函数y f (x)定义在区间[a,b] 上，用分割T 将区间 [a,b]分成n个小区间，分点依次为
•
b a
f
( x)dx
F ( x)
b a
F (b)
F (a)
.
• 上述公式是Newton —Leibniz公式，也称作
微积分基本公式.
• 注意： 定理的证明放到大学里去证，要用到 积上限函数
•
(x)
x
f (t)dt
,
a
x [a,b] .
例1 计算下列定积分：
• （1）
1
2xdx ;
0
• （2） 1 x2dx ; 0
• （6）sin x的原函数是 cos x c ；
• （7）cos x 的原函数是 sin x c ；
• （8） 1 的原函数是arcsin x c . 1 x2
• 3微积分基本定理
• 设函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，若 F(x) 是 f (x) 在区间[a,b] 上的一个原函数，则
1
2 1
e2
e1
e2
e
.
随堂练习：P85 1.
x • 例2 计算 y sin x 在 [0， ]上与 轴所围成
平面图形的面积.
•
【解】
A
sin xdx
0
cos x
0
2
.
• 例3 汽车以每小时 36km的速度行驶，到某处 需要减速停车，设汽车以等加速度 a 5m s2
• 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了距离？
• （3） 积分区间的可加性
•
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
,(
acb
).
• （二）讲新课
• 1原函数的定义
• 设函数 f (x) 定义在某区间 I 上，如果存
在函数 F(x) 使得 xI 都有F(x) f (x) ，
那么称函数 F(x)为 f (x) 在区间 I 上的一
【解】因为当 t 0时， v0 10m / s；又
a 5m / s2. 所以 vt v0 at 10 5t ，
而停车时 vt 0，因此 t 2 .故
S
2
0 vtdt
2
(10 5t)dt 10
0
.
即刹车后，汽车需要走10m 才能停住 .
随堂练习： P86 7
小结：这节课主要讲原函数的定义，微积分 基本定理及运用.
作业： P85 A6
• （3） 2 cos xdx; 0
• （4） 2 exdx . 1
【解】（1）原式=
2
1 xdx 2 1 x2
0
2
1 0
12 02
1 .
（2）原式=
1 x3 3
1 0
1 (13 3
03) 1 3
.
（3）原式=
sin x
2 0
sin
2
sin 0 1
.
（4）原式=
2 exdx ex
• a x0 x1 x2 xi xn b，用 xi 表示
区间[xi1, xi ] (i 1,2, n) 的长度，记
,
在区间 [xi1, xi ]上任取一点 i ，作和
数
Sn
n
f
(i )xi ，若当(T )
0时，Sn
（I 有限
i 1
数），且 I 与分割 T 及 i 在区间[xi1, xi ] (i 1,2, n)
个原函数.
• 易知：f (x) 的所有原函数可以表示为 F(x) C （ C 为任意常数）.
• 2 常见基本初等函数的原函数表 • （1）1的原函数是 x c ；
• （2）x 的原函数是 1 x1+C( 1) ；
1
（3）1x 的原函数是 ln x c ； • （4）ex 的原函数是 ex c ；
上的选取无关，则称此极限为 f (x) 在区间 [a,b]
上的定积分，记为
b
I a f (x)dx
.
• 2定积分几何的意义
• 就是曲边梯形的面积.
• 3定积分的性质
•
（1）
b
a
kf
( x)dx
k
b
a
f
(x)dx（k为任意常数）;
b
b
b
• （2） a [ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx ;
第2节 微积分基本定理
乐安一中 王朝华
一.教学目的：使学生掌握微积分基本 定理，并运用求定积分 二．教学重点：应用微积分基本定理 计算微积分 三．教学难点：求一个函数的原函数 四．教学方法：讲练结合
• （一）复习提问 • 1定积分概念
(T ) Max{xi} 1in
• 设函数y f (x)定义在区间[a,b] 上，用分割T 将区间 [a,b]分成n个小区间，分点依次为
•
b a
f
( x)dx
F ( x)
b a
F (b)
F (a)
.
• 上述公式是Newton —Leibniz公式，也称作
微积分基本公式.
• 注意： 定理的证明放到大学里去证，要用到 积上限函数
•
(x)
x
f (t)dt
,
a
x [a,b] .
例1 计算下列定积分：
• （1）
1
2xdx ;
0
• （2） 1 x2dx ; 0