高中平面几何讲义(上) 叶中豪

高中平面几何（上）

知识要点

几何问题的联系和转化

比例线段与相似图形

共点线与共线点（梅涅劳斯定理和塞瓦定理）

三角形的“五心”

四点共圆及其判定

正弦定理和余弦定理

几何变换及相似理论

完全四边形与Miquel点

位似及其应用

例题和习题

1．已知H是△ABC的垂心，M、N分别是BC和AH的中点，直线MN交以AH 为直径的圆于点S、T。求证：AT、AS平分∠BAC及其外角。（10040601-2.gsp）

2．已知：ABCD是正方形，AE＝AD，BF＝BC，且∠EAD＋∠FBC＝90°，联结BE、EF，分别交AD于P、Q。求证：PQ＝QD。（08012304.gsp）

3．已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为AB、CD上的点，满足∠AED＝∠BEC，∠AFD＝∠BFC，对角线AC、BD交于O。求证：OE＝OF。（07112501.gsp）

4．已知四边形ABCD中，∠B＝90°对角线AC＝BD，P是对边BC、AD中垂线的交点，Q是对边AB、CD中垂线的交点。求证：B、P、Q三点共线。（10041302.gsp）

5．如图，矩形ABCD中，EF∥AB，EF与对角线BD交于G点。过E作ET⊥DF，

垂足为T；过F作FS⊥BE，垂足为S。求证：S、G、T三点共线。

6．如图，设N是△ABC的弧BAC的中点，M是BC边中点，I是△ABC的内心。求证：∠ANI＝2∠IMC。（09021701.gsp）

7．已知O是△ABC的外心，D、E、F分别是各边中点，R、r 为外接圆和内切圆的半径。求证：OD＋OE＋OF＝R＋r。（10040601-9.gsp）

8．已知：P是△ABC内任一点，EH∥BC，FI∥AB，GD∥AC，且三线共点于P，

AP交△ABC的外接圆于另一点Q。求证：AP×PQ=EP×PH+FP×PI+GP×PD。（10022801.gsp）

9．已知：AM是△ABC的中线，P是△ABC内一点，满足∠BAM＝∠CAP，O、O1、O2分别是△ABC、△ABP、△ACP的外心。求证：AO平分O1O2。（10030801.gsp）

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10．已知：G、O分别是△ABC的重心和外心，自A、B、C各作GA、GB、GC的垂线，围成△DEF，设G’是△DEF的重心。求证：G、O、G’三点共线。（10030801-3.gsp）（09101301.gsp）