高中平面几何讲义(上) 叶中豪
平面几何研究----平面几何新思索(叶中豪)
平面几何新思索【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。
在任意△ABC周围作：△FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。
G是△ABC的重心。
求证：△GEF∽△OPQ。
PC M NF上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。
结果发觉其难度并不大。
当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。
【020527】黄路川问如下题：“已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。
求证：DI垂直于EF。
”经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。
EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。
【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。
结论1三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。
B C注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°；其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamic point），其特性如下：它的垂足三角形是正△，它对于△ABC三边的视角分别是60°＋A，60°＋B，60°＋C，它是三个Apollonius圆所共之点，它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比，它在外心O和类似重心K的连线上（Brocard轴）。
结论2三角形的每个旁心和相应边的中点连线一定共点，所共点位于重心及Gergonne点的连线上；三角形的每个旁心和相应边上的内切圆切点连线也一定共点，所共点既位于内、外心的连线上，又位于重心及Gergonne点的连线上。
而且上述两个所共点是原三角形的一对等角共轭点。
II21注：图中I1，I2，I3是△ABC的旁心，L，M，N是各边中点，D，E，F是内切圆的切点。
I1L，I2M，I3N所共之点记为P（在文献中称作“Mittonpunkt”，由Nagel于1836年引进），I1D，I2E，I3 F所共之点记为Q（可称作“切聚点”，它是位于内、外心连线IO上的一个特殊点）。
叶中豪平面几何讲座1.
5．如图，设D
BC中垂线上的
射影为E、Hc。
求证：HaE 6．三角形ABC、F，AD和⊙Ｉ
相交于M，AB于G。求证：CD＝
7．给定△ABC。点D、E在直线AB上，顺次为D、A、B、E，AD＝AC，BE=BC。∠A、∠B的平分线分别交BC、AC于P、Q，交△ABC外接圆于M和N。A与△BME外心的联线及B与△AND外心的联线交于点X。求证：CX ⊥PQ。（09012901.gsp
例题和习题
1．已知：ABCD是圆外切四边形，内切圆心O在对角线BD上射影为M。求证：∠AMD＝∠CMD。（09010703.gsp
）
2．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得C、E
在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。
求证：(AC+BC2＝4DL ×EF。（09011003.gsp
）
8．矩形ABCD中，AB
AC。P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、PD分别交AB于F、E。求证：AE 2＋BF 2＝AB 2。（09013001.gsp
）
9．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。
求证：DM ⊥BC。（09013101.gsp
）
10．△ABC中，∠A＝60°，I为△ABC的内心，过I做IE ∥AC交AB于E。在BC上取一点D，使得CD=2BD。求证：∠B＝2∠DEB。（09020201.gsp
）
11．设⊙O 1与⊙O 2交于C、D。过D的直线交⊙O 1与⊙O 2于A、B。点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N，O为△ABC外心。求证：MN ⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。（09020401.gsp
叶仲豪平面几何讲义
平面几何讲义叶中豪（老封）1. 求证：三角形外接圆上任一点关于三边的对称点共线，这线通过三角形的垂心。
2．设一条直线l截△ABC的三边BC、CA、AB所在直线于D、E、F三点，O1、O2、O3分别是△AEF、△BFD、△CDE的外心。
求证：△O1O2O3的垂心H位于直线l上。
3．在锐角△ABC中，AB＞AC，M、N是BC边上两个不同的点，使得∠BAM ＝∠CAN。
设△ABC和△AMN的外心分别为O1、O2。
求证：O1、O2、A三点共线。
（2012年全国联赛）4．设P是△ABC内一点，D是BC上一点，作△ACE∽△BDP，△ABF∽△CDP。
求证：E、P、F三点共线。
5. 已知△ABC的内切圆与AC、AB边切于E、F两点，自C点作∠B的平分线的垂线，垂足为P。
求证：E、P、F三点共线。
6．△ABC内心为I，内切圆切AB、AC边于E、F，延长BI、CI分别交直线EF于M、N。
求证：S四边形AMIN＝S△IBC。
7．已知O是△ABC的外心，P是圆OBC上任一点，过O作AB垂线交直线PB 于E，过O作AC垂线交直线PC于F。
求证：A、E、F三点共线。
8．如图，矩形ABCD中，EF∥AB，EF与对角线BD交于G点。
过E作ET⊥DF，垂足为T；过F作FS⊥BE，垂足为S。
求证：S、G、T三点共线。
9. 设⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，两动点A、B从Q点出发，按逆时针方向分别沿两圆运动，且角速度保持相等。
求证：平面上存在一点X，使得X始终到A、B等距。
10. AD是△ABC外接圆切线，M是BC中点，O是外心，E是OD上任一点，过E作BC垂线EH交圆ADE于另一点F。
求证：A、F、M三点共线。
11. 如图，点E在AD上，点F在BC上，PE⊥BC，PF⊥AD。
求证：AEED＝BFFC的充要条件是PAuu r·PCuu u r＝PBuur·PDuu u r。
12. 已知ABCD是圆内接四边形，对角线AC、BD交于P点，O是外接圆心。
平面几何研究 平面几何新思索 叶中豪
A F
E
P
KQ
O
B
D
C
2004年 2月 27日 晚 探 索 得 � 垂 三 角 形 DEF的 垂 心 P与 Spieker点 Q� 都 在 原 三 角 形 ABC的 外 心 � 与 类 似 重 心 � 的 连 线 � Brocard轴 � 上 。
结论 7 切点三角形 DEF 的九点圆心�图中标为 P��与垂心 H 及 Gergonne 点 Ge 三点共线。
题目 设 P 是△ABC 外接圆上任一点�作 PA� PB�PC 的垂线�分别与对边 BC�CA�AB 交于 D� D E�F 点�则 D�E�F 和外心 O 四点共线。
此题看来并非显然�今上午给田廷彦做�田看
出这实际上是 Pascal 定理�对自交型圆内接六边形 而言�。
A
F
O
B
P
E C
A
田说他近日得到如下简单结论�
EF 包络所形成的圆具体位置还值得继续探索�预感还会产生一些新的东西。
B
D
A
E
I C
【040227】当天晚上收到钟建国的一封 E-mail�使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。
结论 1 三角形的 Fermat 点与它的等角共轭点的连线�必平行于 Euler 线。
A H
F
G J
O
B
C
注�图中 F 是 Fermat 点�又称“等角中心”��它对于△ABC 三边的视角都是 120°� 其等角共轭点 J 是△ABC 的“等力点”�isodynamic point��其特性如下�它的垂足三角 形是正△�它对于△ABC 三边的视角分别是 60°�A�60°�B�60°�C�它是三个 Apollonius 圆所共之点�它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比�它在外心 O 和 类似重心 K 的连线上�Brocard 轴�。
高中数学竞赛平面几何讲义
高中平面几何(叶中豪话题几何问题的联系和转化解题和编题的一些规律调和点列,反演与配极,调和四边形完全四边形及其 Miquel 点例题和习题1. △ ABC 中, AB =AC , BD ⊥ AC 于 D , E 在 AC 延长线上,且 CE =CD , F 在CA 延长线上,且 AF = 12CD 。
求证:BE ⊥ BF 。
2. AB 为半圆直径, C 为半圆上一点,由 C 引 AB 的垂线, D 为垂足。
分别在半圆上截取 AE =AD , BF =BD 。
求证:CD 平分 EF 。
3. 已知半圆的直径 AB 的长为 2r ,半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直,垂足为T ,AT =2a (2a <2r , 半圆上有相异两点 M 、 N , 它们与直线 l 的距离 MP 、 NQ 满足 MP AM=NQAN=1。
求证:AM +AN =AB 。
l PQ T4. 在△ ABC 的边 BC 的延长线上取一点 D ,使 CD =AC ,△ ACD 的外接圆与以BC边为直径的圆交于 C 、 G 两点,直线 BG 、 AC 交于 E ,直线 CG 、 AB 交于F 。
求证:D 、 E 、 F 三点共线。
B5. △ ABC 内心为 I ,内切圆切 AB 、 AC 边于 E 、 F ,延长 BI 、 CI 分别交直线EF 于 M 、N 。
求证:S 四边形 AMIN =S △ IBC 。
B6. AC 是与 BD 垂直于 E 的直径, G 是 BA 延长线上一点,过 B 作 BF ∥ DG 交DA 延长线于 F ,作 CH ⊥ GF 于 H 。
求证:B 、 E 、 F 、 H 四点共圆。
7. 如图,圆 O 1和圆 O 2相交于 E 、 F ,过 E 作割线 AB ,使 AE =EB ,过 F 作割线CD , 联 AD 、 BC ,并过 A 作 AD 的垂线、过 B 作 BC 的垂线,设两条垂线相交于 P 点。
高中平面几何讲义
高中平面几何(上海教育出版社叶中豪)知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard 点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线特殊直线、圆Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形重心坐标和三线坐标四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理内接三角形，外接三角形，Miquel点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues定理，Pascal 定理，Brianchon定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat- Torricelli 问题，Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley 定理，Mannheim定理例题和习题1．以△ABC的AB、AC两边向形外作正方形ABEP和ACFQ，AD是BC边上的高。
高中平面几何讲义
高中平面几何(上海教育出版社叶中豪)知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard 点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线特殊直线、圆Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形重心坐标和三线坐标四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理内接三角形，外接三角形，Miquel点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues定理，Pascal 定理，Brianchon定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat- Torricelli 问题，Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley 定理，Mannheim定理例题和习题1．以△ABC的AB、AC两边向形外作正方形ABEP和ACFQ，AD是BC边上的高。
平面几何入门(6)
平面几何入门（6）叶中豪（老封）证题术如何证明线段的和差关系——欲证两条线段的和（或差）等于另一线段，可先作一线段等于这两段的和（或差），然后证明它与另一线段相等（补短法）；也可在另一线段上截取一段等于两线段之一，然后证明剩下线段等于另外一段（截长法）。
例题和习题1．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠B＝40°，延长BC至D，使AB＝CD，求∠D的度数。
2．已知：△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD是∠B的平分线。
求证：BC＝AB＋AD。
3．已知：△ABC中，AB＝AC，BD是∠B的平分线，且BC＝AB＋AD。
°。
求证：∠A＝904．已知：△ABC中，AB＝AC，BD是∠B的平分线，且BC＝AB＋CD。
求：∠A。
5．如图，已知AD∥BC，∠EAD＝∠EAB，∠EBC＝∠EBA。
求证：AB＝AD＋BC。
6．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC上一点，分别过B、C作AD的垂线，垂足为E、F。
求证：EF＝CF－BE。
E7．已知梯形ABCD中，AD∥BC，且∠A的平分线交CD于E，且E是CD中点。
求证：AB＝AD＋BC。
8．已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠A的平分线。
求证：AB＋BD＝AC。
9．已知：△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD是∠B的平分线。
求证：BC＝AD＋BD。
10．在△ABC中，∠A＝60°，∠B的平分线交AC于E，∠C的平分线交AB于F。
求证：BC＝BF＋CE。
思考题1．已知：在△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外的一点，∠ABD＝60°，∠ADB＝90°－1∠BDC。
求证：AB＝BD＋DC。
22．已知△ABC中，∠BAC＝120°，AP、BQ、CR是三条内角平分线。
求证：AB＋AQ＋CP＝AC＋AR＋BP。
叶中豪几何讲稿
16．已知D在 △ABC的九点圆 上，E、F分别在 AB、AC边上， 且∠BDF＝ ∠CDE＝90°。 求证：EF过 △ABC的外心O。
17．已知：PB垂 直于圆O的弦AB， 过P作任意割线 PCD，联结AC、 AD与直线PO交于 E、F，DE、CF分 别交圆O于M、N， MN与PO延长交 于Q。求证：QA 是圆O的切线。
13．设P是 △ABC外接圆上 任一点，自P分 别作PA、PB、 PC的垂线，与 对应边BC、CA、 AB或延长线交 于D、E、F，则 D、E、F及外心 O共线
14．设AB是圆 O的弦， PB⊥AB，过P 作圆O的割线 PCD，联结AC、 OP交于E。求 证：EB⊥DB。
15．设P是 △ABC所在平面 上任意一点， 自P作PA、PB、 PC的垂线，分 别与对应边BC、 CA、AB交于D、 E、F，则D、E、 F三点共线。
叶中豪几何讲稿叶中豪老师几何题解答叶中豪平面几何讲义叶中豪几何基础叶中豪叶中豪打向华强儿子叶中豪三角形全等中豪七格伍中豪中豪大酒店
• 1．平行 四边形 ABCD（非 矩形和菱 形）中， CM⊥AD 于M， CN⊥AB于 N，NM与 BD延长交 于点P。 求证： PC⊥AC。
2．已知AF、DC是圆O的直径，E是CF延长线 上一点，DE交圆O于B，直线AB、OE交于P。 求证：PC是圆O的切线。
3．已知：AB是圆O的直径，P是过B点的切线 上任一点，过P作任F。求证：OE＝OF。
4．ABCD是圆ω的内接四边形，CP、DQ是ω的直径， 过P、Q作的ω切线与直线AB交于E、F。直线EO与AC、 BC交于X、Y，直线FO与AD、BD交于U、V。求证： XV＝YU。 （2010年俄罗斯竞赛
10．在△ABC两 侧作△ABF、 △ACE，使得 ∠BAE＝∠CAF＝ 90°，且∠ABF ＋∠ACE＝180°。 O是△ABC的外心。 求证：E、O、F 三点共线。
海量电子书下载
海量电子书下载（包括刘培杰数学工作室的大部分书籍）0点哈尔滨工业大学出版社的刘培杰数学工作室出版的书籍在024-026系列001——《从单位圆谈起》华罗庚002——丘成桐中学数学奖推荐参考书（英文版的都没有传，以下同）由高等教育出版社出版，目前已出版了5本：1.《莫斯科智力游戏359 道数学趣味题》(俄)Б. А. 柯尔捷姆斯基著2.《趣味密码术与密写术》M·加德纳著3.《著名几何问题及其解法尺规作图的历史》B. 波尔德(Benjamin Bold)著4.《第一届丘成桐中学数学奖获奖论文集(英文版)》5.《恒隆数学奖获奖论文集(英文版)》003——好玩的数学，目前已经出了13种：1.《不可思议的e》2.《幻方及其他》第二版3.《乐在其中的数学》4.《七巧板、九连环和华容道》5.《趣味随机问题》6.《数学聊斋》7.《数学美拾趣》8.《数学演义》9.《说不尽的π》10.《中国古算解趣》11.《数学志异》12.《进位制与数学**》13.《古算诗题探源》14.《幻方与素数》第三版注：前10本xuguoyun 于“数学丛书”帖上传；《幻方及其他》第二版已经改成《幻方与素数》第三版004——科普作家别莱利曼，三类一、中国青年出版社最近出版的1.《趣味代数学第4版》（俄）别莱利曼著丁寿田朱美琨译2.《趣味几何学第3版》（俄）别莱利曼著符其珣译（将2个压缩文件放在一起解压！）3.《趣味物理学第5版》（俄）别莱利曼著符其珣译4.《趣味物理学：续编第3版》（俄）别莱利曼著滕砥平译二、中国青年出版社5、60年代出版的（有的是繁体字）5.《趣味代数学》（俄）别莱利曼著丁寿田朱美琨译（无）6.《趣味几何学（上册）》（俄）别莱利曼著符其珣译（无）7.《趣味几何学（下册）》（俄）别莱利曼著符其珣译（无）8.《趣味力学》（苏）别莱利曼著；符其珣译9.《趣味天文学》（苏）别列利曼撰；滕砥平，唐克译10.《趣味物理学》（苏）别莱利曼撰；符其珣译（无）11.《趣味物理学续编》（苏）别莱利曼撰；腾砥平译（无）12.《行星际的旅行》（苏）别莱利曼著；符其珣译三、其他出版社出版的13.《物理万花筒》（苏）别莱利曼著；王昌茂译14.《趣味思考题》（苏）别莱利曼著；符其珣译15.《有趣的游戏》（苏）别莱利曼原著；王昌茂翻译005——《数学试卷分析方法》华东师范大学出版社，许世红，胡中锋编著006——《七彩数学》专辑，科学出版社第一批1.《数学走进化学与生物》姜伯驹钱敏平龚光鲁著2.《数论与密码》冯克勤著3.《迭代浑沌分形》李忠著4.《数学的力量——漫话数学的价值》李文林任辛喜著5.《古希腊名题与现代数学》张贤科著第二批6.《离散几何欣赏》宗传明著7.《通信纠错中的数学》冯克勤著8.《趣话概率》安鸿志著9.《画图的数学》齐东旭著10.《整数分解》颜松远著007——《中学数学教学参考书》，1956年新知识出版社编辑出版，初中部分一、算术：1.《整数》2.《分数》3.《小数与百分数》4.《比例》二、代数5.《有理数》6.《有理整式的恒等变换》7.《分式与比例》8.《一元一次方程》9.《一次方程组及开平方》三、几何10.《体面线点》11.《全等三角形》12.《基本轨迹与作图》13.《平行四边形》14.《圆》（缺）008——《中学数学教学参考书》，1956年新知识出版社编辑出版，高中部分一、代数：1.《无理数与无理式》2.《一元二次方程》3.《函数图象及二元二次联立方程》4.《数列与极限》（缺）5.《指数与对数》6.《联合二项式定理及复数》7.《不等式》8.《高次方程》二、几何9.《相似形》10.《勾股定理》11.《多边形面积》12.《正多边形与圆》13.《直线与平面》14.《多面体》（缺）15.《回转体》（缺）三、三角16.《三角函数》17.《加法定理》18.《解三角形》19.《三角方程》（缺）注：部分书籍以内容完全相同的上教版代替009——《中学数学教学参考丛书》，上海教育出版社1.《多项式的乘法和因式分解》茅成栋编2.《一元二次方程》赵宪初编3.《绝对值》陈汝作编（缺，这里该书的封面用附件传上）4.《代数方程组》李大元武成章等编5.《指数函数和对数函数》徐美琴许三保编6.《三角函数》姚晶编7.《幂的运算和幂函数》顾鸿达朱成杰王致平编8.《解不等式》张福生赵国礼编9.《实数》张镜清霍纪良编10.《直线形》陶成铨编11.《圆与正多边形》黄承宏编12.《相似形和比例线段》杨荣祥黄荣基编13.《轨迹》毛鸿翔左铨如编14.《解三角形》黄汉禹编15.《直线与平面》夏明德编16.《排列和组合》翟宗荫编17.《高次方程》李传芳陈汝作陈永明编18.《复数》顾忠德管锡培编19.《数列与极限》刘文编20.《直线和圆》陈森林揭方琢编21.《二次曲线》张泽湘编22.《参数方程和极坐标方程》刘世伟编23.《概率初步》上海师范大学数学系应用数学组编24.《矩阵初步》张弛编25.《集合论初步》沈石山俞鑫泰编010——教学工具书1.《代数学辞典问题解法上》笹部贞市郎编蒋声等译2.《代数学辞典问题解法下》笹部贞市郎编张明梁等译3.《三角学辞典问题解法》笹部贞市郎编肖乐编译4.《几何学辞典问题解法》笹部贞市郎编高清仁等译5.《解析几何辞典问题解法》笹部贞市郎编关桐书等译6.《微积分辞典问题解法》笹部贞市郎编蒋声等译011——《中学生数学课外读物》，上海教育出版社1．《速算与验算》姚人杰著2．《数学归纳法》华罗庚著3．《不等式》张驰著4.《谈谈怎样学好数学》苏步青著5．《π和е》夏道行著6．《复数的应用》莫由著7．《怎样用复数解题》程其坚著8．《圆和二次方程》马明著9．《怎样列方程解应用题》赵宪初著10．《怎样应用数学归纳法》洪波著11．《最大值和最小值》谷超豪著12．《图上作业法》管梅谷著13．《谈谈怎样编数学墙报》华东师范大学第一附属中学数学教研组编012——上海教育出版社1978年12月到2002年5月出版一套初等数学小丛书，一共29本，如下：1.《抽屉原则及其他》常庚哲2.《谈谈怎样学好数学》苏步青3.《函数方程》田增伦4.《几何不等式》单壿5.《一百个数学问题》[波兰]史坦因豪斯6.《又一百个数学问题》[波兰]史坦因豪斯7.《从单位根谈起》蒋声8.《从正五边形谈起》严镇军9.《集合论与连续统假设浅说》张锦文10.《矩阵对策初步》张盛开11.《趣味的图论问题》单壿12.《母函数》史济怀13.《代数方程与置换群》李世雄14.《中学生数学分析》[苏]庞特里亚金15.《覆盖》单壿16.《计数》黄国勋李炯生17.《对称和群》朱水林18.《平方和》冯克勤19.《不定方程》单壿余红兵20.《凸函数与琴生不等式》黄宣国21.《有趣的差分方程》李克大李尹裕22.《柯西不等式与排序不等式》南山23.《组合几何》单壿24.《奇数、偶数、完全平方数》南秀全余石25.《棋盘上的组合数学》冯跃峰26.《十个有趣的数学问题》单壿27.《染色:从**到数学》柳柏濂28.《集合及其子集》单壿29.《平面几何中的小花》单壿013——《中学生文库》数学部分：1.《怎样列方程解应用题》赵宪初2.《面积关系帮你解题》张景中3.《怎样用配方法解题》奚定华4.《根与系数的关系及其应用》毛鸿翔5.《怎样添辅助线》余振棠谢传芳6.《圆和二次方程》马明7.《几何作图不能问题》邱贤忠沈宗华8.《从勾股定理谈起》盛立人严镇军9.《从√2谈起》张景中10.《不等式》张弛11.《不等式的证明》吴承鄫李绍宗12.《奇数和偶数》常庚哲苏淳13.《射影几何趣谈》冯克勤14.《数学万花镜》[波]史坦因豪斯著裘光明译15.《递归数列》陈家声徐惠芳16.《从平面到空间》蒋声17.《平面向量和空间向量》吕学礼18.《几何变换》蒋声19.《一些不像“几何”的几何学》沈信耀20.《复合推理与真值表》戴月仙21.《数学归纳法》华罗庚22.《凸图形》吴立生庄亚栋23.《三角恒等式及应用》张运筹24.《三角不等式及应用》张运筹25.《抽屉原则及其他》常庚哲26.《初等极值问题》程龙27.《图论中的几个极值问题》管梅谷28.《趣味的图论问题》单墫29.《矩阵对策初步》张盛开30.《从单位根谈起》蒋声31.《形形色色的曲线》蒋声32.《反射和反演》严镇军33.《极坐标与三角函数》陈福泰34.《反证法》孙玉清35.《棋盘上的数学》单墫程龙36.《谈谈数学中的无限》谷超豪37.《模糊数学》刘应明任平38.《人造卫星轨道的分析和计算》俞文陈守吉39.《谈谈怎样学好数学》苏步青40.《世界数学名题选》陆乃超袁小明41.《生物数学趣谈》李金平苏淳42.《漫话电子计算机》张根法43.《运动场上的数学》黄国勋李炯生44.《ＳＯＳ编码纵横谈》谈祥柏45.《数学探奇》(西班牙)米盖尔.德.古斯曼著周克希译46.《三角形趣谈》杨世明47.《思维的技巧》吴宣文48.《魔方》朱兆毅沈庆海著在/thread-23988-1-10.html/thread-29576-7-1.html这两个帖子中传有部分书籍014——《初中学生课外阅读系列》，上海教育出版社1．《漫游勾股世界》吴深德2．《绝对值》陈汝作3．《多项式的乘法和因式分解》刘渝瑛4．《怎样列方程解应用题》赵宪初5．《怎样解不等式》张福生赵国礼6．《怎样用配方法解题》奚定华7．《面积关系帮你解题》张景中8．《怎样添辅助线》余振棠射传芳9．《根与系数的关系及其应用》毛鸿翔10．《反证法》孙玉清015——《高中学生课外阅读系列》，上海教育出版社1.《从平面到空间》蒋声2.《三角恒等式及其应用》张运筹3.《直线和平面》夏明德4.《不等式的证明》吴承鄫李绍宗5.《参数方程和极坐标方程》刘世伟6.《从单位根谈起》蒋声7.《二次曲线》张泽湘8.《排列与组合》翟宗荫9.《数列与极限》刘文10.《集合和映射》康士凯张海森（缺）11.《随机世界探秘概率统计初步》茆诗松魏振军016——《自然科学小丛书》，北京出版社出版1.《轨迹》赵慈庚编著2.《三角形内角和等于180°吗？》梅向明著3.《谈勾股定理》严以诚孟广烈编著4.《有趣的偶然世界》张文忠著5.《中学数学中的对称》张文忠著017——《北京市中学生数学竞赛辅导报告汇集》，北京出版社1.《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》华罗庚著2.《无限的数学》秦元勋著3.《谈谈解答数学问题》赵慈庚著018——数学中译本，科学普及出版社1.《高次方程解法》程乃栋编译2.《力学在数学上的一些应用》高天青编译3.《怎样作图象》刘远图编译4.《逐次逼近法》赵根榕编译5.《最简单的极值问题》潘德松编译019——趣味数学书籍，上海教育出版社1.《趣味算术》蒋声陈瑞琛编2.《趣味代数》蒋声陈瑞琛编3.《趣味几何》蒋声陈瑞琛编4.《趣味代数（续）》蒋声陈瑞琛编5.《趣味立体几何》蒋声陈瑞琛编6.《趣味解析几何》蒋声陈瑞琛编020——《数学精品库》，民主与建设出版社1.《决策致胜思维训练》郑应文著2.《难题精解思维训练》王志雄汪启泰余文竑詹方玮著3.《平面几何思维训练》余文竑詹方玮著4.《数学宫趣游》王志雄著5.《数学竞赛题的背景》王志雄汪启泰著6.《组合几何思维训练》林常著7.《诺贝尔奖中的数学方法》高鸿桢等著（缺）021——由一些数学专家写的小册子，上海教育出版社1.《初等数论100例》柯召孙琦编著2.《复数计算与几何证题》常庚哲编著3.《运动群》张远达编著022——《数学奥林匹克命题人讲座》，上海科技教育出版社1.《解析几何》陆洪文著（缺）2.《代数函数与多项式》施咸亮著（缺）3.《函数迭代与函数方程》王伟叶熊斌著（缺）4.《代数不等式》陈计季潮丞著（缺）5.《重心坐标与平面几何》曹纲叶中豪著（缺）6.《初等数论》冯志刚著7.《集合与对应》单壿著8.《数列与数学归纳法》单壿著9.《组合问题》刘培杰，张永芹著著（缺）10.《图论·组合几何》任韩田廷彦著（缺）11.《向量与立体几何》唐立华著（缺）12.《复数·三角函数》邵嘉林著（缺）023——反例相关书籍1.《初中数学中的反例》朱锡华编2.《高中数学中的反例》马克杰编3.《从反面考虑问题反例·反证·反推及其他》严镇军陈吉范编4.《代数中的反例》胡崇慧编5.《高等代数的265个反例》李玉文编著6.《高等数学中的反例》朱勇编7.《数学分析中的问题和反例》汪林编8.《数学分析中的反例》王俊青编著9.《分析中的反例》（美）盖尔鲍姆（美）奥姆斯特德著高枚译10.《实分析中的反例》汪林编11.《实变函数论中的反例》程庆汪远征编著12.《泛函分析中的反例》汪林编13.《概率统计中的反例》张文忠但冰如编14.《概率论与数理统计中的反例》陈俊雅王秀花编著15.《概率统计中的反例》张尚志刘锦萼编著16.《概率论中的反例》张朝金编17.《图论的例和反例》（美）卡波边柯（美）莫鲁卓著聂祖安译18.《拓扑空间中的反例》汪林杨富春编著19.《点集拓扑学题解与反例》陈肇姜编著024——精品书系第一批，哈尔滨工业大学出版社1．《最新世界各国数学奥林匹克中的平面几何试题》刘培杰主编2．《走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释：历届全国高中数学联赛平面几何试题一题多解上》沈文选主编杨清桃步凡昊凡副主编3．《走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释：历届全国高中数学联赛平面几何试题一题多解下》沈文选主编杨清桃步凡昊凡副主编4．《世界著名平面几何经典著作钩沉几何作图专题卷上》刘培杰主编5．《世界著名平面几何经典著作钩沉几何作图专题卷下》刘培杰主编（缺）6．《历届CMO中国数学奥林匹克试题集1986-2009》刘培杰主编7．《历届IMO试题集》刘培杰主编8．《全国大学生数学夏令营数学竞赛试题及解答》许以超陆柱家编著9．《历届PTN美国大学生数学竞赛试题集1938-2007》冯贝叶许康侯晋川等编译10．《历届俄罗斯大学生数学竞赛试题及解答》（即将出版）11．《数学奥林匹克与数学文化第1辑》刘培杰主编12．《数学奥林匹克与数学文化第2辑文化卷》刘培杰主编13．《数学奥林匹克与数学文化第2辑竞赛卷》刘培杰主编14．《数学奥林匹克与数学文化第3辑竞赛卷》刘培杰主编（即将出版）15．《500个最新世界著名数学智力趣题》刘培杰马国选主编16．《400个最新世界著名数学最值问题》刘培杰主编17．《500个世界著名数学征解问题》冯贝叶编译18．《400个中国最佳初等数学征解老问题》刘培杰主编（缺）19．《500个世界著名几何名题及1000个著名几何定理》（即将出版）20．《从毕达哥拉斯到怀尔斯》刘培杰主编21．《从迪利克雷到维斯卡尔迪》刘培杰主编22．《从哥德巴赫到陈景润中国解析数论群英谱》刘培杰主编23．《从庞加莱到佩雷尔曼》刘培杰主编（即将出版）24．《精神的圣徒别样的人生：60位中国数学家成长的历程》刘培杰主编25．《数学我爱你大数学家的故事》（美）吕塔·赖默尔维尔贝特·赖默尔著26．《俄罗斯平面几何问题集原书第6版》波拉索洛夫编著025——精品书系第二批，哈尔滨工业大学出版社1.《初等数学研究Ⅰ》甘志国著—数学·统计学系列2.《初等数学研究Ⅱ上》甘志国著—数学·统计学系列3.《初等数学研究Ⅱ下》甘志国著—数学·统计学系列4.《数学眼光透视》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书5.《数学思想领悟》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书6.《数学应用展观》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书7.《数学建模导引》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书8.《数学方法溯源》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书9.《数学史话览胜》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书10.《博弈论精粹》刘培杰执行主编11.《初等数论难题集第1卷》刘培杰主编12.《多项式和无理数》冯贝叶著—数学·统计学系列13.《数学奥林匹克不等式研究》杨学枝著—数学·统计学系列14.《解析不等式新论》张小明，褚玉明著—数学·统计学系列15.《模糊数据统计学》王忠玉吴柏林著—数学·统计学系列16.《三角形的五心》贺功保叶美雄编著17.《中国初等数学研究2009卷第1辑》杨学枝主编18.《高等数学试题精选与答题技巧》杨克劭主编19.《运筹学试题精选与答题技巧》徐永仁主编20.《空间解析几何及其应用》徐阳，杨兴云编著026——精品书系第三批，哈尔滨工业大学出版社1.《中考数学专题总复习》陈晓莉主编2.《中考几何综合拔高题解法精粹》李双臻李春艳编著3.《数学奥林匹克超级题库初中卷上》刘培杰数学工作室编著（缺）4.《新编中学数学解题方法全书初中版上》刘培杰主编5.《新编中学数学解题方法全书高中版上》刘培杰主编6.《新编中学数学解题方法全书高中版中》刘培杰主编7.《新编中学数学解题方法全书高中版下1》刘培杰主编8.《新编中学数学解题方法全书高中版下2》刘培杰主编9.《新编中学数学解题方法全书高考真题卷》张广民王世堑主编（缺）10.《新编中学数学解题方法全书高考复习卷》张永辉主编（缺）11.《最新全国及各省市高考数学试卷解法研究及点拨评析》邵德彪主编12.《高考数学真题分类解读第1册》刘松丽张坯东杨婷婷等本册主编13.《高考数学真题分类解读第2册》高考真题研究组编14.《高考数学真题分类解读第3册》阎丽红孙宏宇牟晓永等本册主编15.《高考数学真题分类解读第4册》王小波董亮本册主编16.《高考数学真题分类解读第5册》高考真题研究组编17.《向量法巧解数学高考题》赵南平编著18.《高考数学的理论与实践》高慧明著19.《中学数学解题方法》吕凤祥主编20.《中学数学方法论》鲍曼主编027——《当代数学园地》，科学出版社出版1.《Kac-Moody代数导引》万哲先著2.《哈密顿系统的指标理论及其应用》龙以明著3.《分形-美的科学复动力系统图形化》（德）派特根（德）P.H.里希特著井竹君章祥荪译4.《哈密顿系统与时滞微分方程的周期解》刘正荣李继彬著5.《群类论》郭文彬著6.《代数几何码》冯贵良吴新文著7.《正规形理论及其应用》李伟固著8.《测度值分枝过程引论》赵学雷著9.《完备李代数》孟道骥朱林生姜翠波著028——《通俗数学名著译丛》，上海教育出版社出版1.《数学：新的黄金时代》2.《数论妙趣：数学女王的盛情款待》3.《数学娱乐问题》4.《数学趣闻集锦》上、下册5.《数学与联想》6.《计算出人意料：从开普勒到托姆的时间图景》7.《当代数学为了人类心智的荣耀》8.《近代欧氏几何学》9.《站在巨人的肩膀上》10.《无穷之旅：关于无穷大的文化史》11.《数：科学的语言》12.《20世纪数学的五大指导理论》13.《数学**与欣赏》14.《数学旅行家：漫游数王国》15.《蚁迹寻踪及其他数学探索》16.《圆锥曲线的几何性质》17.《拓扑实验》18.《数学*国界：国际数学联盟的历史》19.《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》20.《稳操胜券》上、下册21.《现代世界中的数学》22.《**：自然规律支配偶然性》23.《解决问题的策略》24.《东西数学物语》25.《黎曼博士的零点》26.《奇妙而有趣的几何》27.《虚数的故事》28.《悭悭宇宙：自然界里的形态和造型》029——《走进教育数学丛书》，科学出版社1.《数学的神韵》李尚志著（缺）2.《数学不了情》谈祥柏著（缺）3.《微积分快餐》林群著4.《走进教育数学》沈文选著5.《数学解题策略》朱华伟钱展望著（缺）6.《绕来绕去的向量法》（缺）7.《直来直去的微积分》张景中著（缺）8.《一线串通的初等数学》张景中著9.《几何新方法和新体系》张景中著10.《从数学竞赛到竞赛数学》朱华伟编030——关于匈牙利奥林匹克数学竞赛的几本书，后两本是台湾出的繁体字书：1.《匈牙利奥林匹克数学竞赛题解》（匈）库尔沙克（Й.Кюршак）等编胡湘陵译2.《匈牙利数学问题详解第1册》王昌锐译（将2个压缩文件放在一起解压！）3.《匈牙利数学问题详解第2册》王昌锐译（将2个压缩文件放在一起解压！）031——原新知识出版社出版的一些老书，书目如下：1.《平面几何作图题解法中的讨论》金品编著2.《上海市1956-57年中学生数学竞赛习题汇编》中国数学会上海分会中学数学研究委员会编3.《什么是非欧几何》吴宗初著4.《数学试题汇集·附解法》（苏）沙赫诺（Шахно.К.У.）编著赵越李伯尘译5.《同解方程》程志国编6.《统计平均数》邹依仁编著7.《因式分解及其应用》郁李编8.《有趣的算术题》（苏）巴梁克（Г.Б.Поляк）编盛帆译9.《整式与分式》郁李编10.《整数四则和分数四则》刘永政著11.《正定理和逆定理》（苏）格拉施坦（И.С.Градштейн）著许梅译12.《中学课程中的无理方程》（苏）吉布什（И.А.Гибш）著管承仲译13.《中学数学课外活动》张运钧编著032——《中学数学奥林匹克丛书》，北京师范学院出版社1.《立体几何向量及其变换》何裕新孙维刚著2.《平面几何及变换》梅向明主编唐大昌等编写3.《代数恒等变形》梅向明主编4.《初等数论初中册》梅向明主编5.《北京市中学生数学竞赛试题解析》梅向明主编6.《数学奥林匹克解题研究初中册》梅向明主编7.《数学奥林匹克解题研究高中册》周春荔等编8.《组合基础》周沛耕张宁生著9.《初等数论高中册》米道生吴建平编写033——《数理化竞赛丛书》数学部分，科学普及出版社1．《北京市中学数学竞赛题解1956-1964》北京市数学会编2．《全国中学数学竞赛题解1978》全国数学竞赛委员会编3．《美国及国际数学竞赛题解1976-1978》（美）格雷特编中国科学院应用数学研究推广办公室译4．《匈牙利奥林匹克数学竞赛题解》（匈）库尔沙克（Й.Кюршак）等编胡湘陵译5．《北京市中学数学竞赛题解1956-1979》北京市数学会6．《全国中学数学竞赛题解1979》科学普及出版社编034——《数学奥林匹克题库》，新蕾出版社1.《美国中学生数学竞赛题解1》（缺）2.《美国中学生数学竞赛题解2》3.《国际中学生数学竞赛题解》4.《中国中学生数学竞赛题解1》（缺）5.《中国中学生数学竞赛题解2》（缺）6.《加拿大中学生数学竞赛题解》7.《苏联中学生数学竞赛题解》035——《中学数学》丛书，湖北省暨武汉市数学会组织编写、湖北人民出版社1.《代数解题引导》杨挥陈传理编2.《初等几何解题引导》江志著3.《三角解题引导》车新发编4.《解析几何解题引导》刘佛清张硕才编5.《国际数学竞赛试题讲解Ⅰ》江仁俊编6.《国际数学竞赛试题讲解Ⅱ》江仁俊等编036——《数学圈丛书》，湖南科技出版社1.《数学圈》1 【美】H.W.伊佛斯2.《数学圈》2 【美】H.W.伊佛斯3.《数学圈》3 【美】H.W.伊佛斯4.《数学爵士乐》【美】爱德华.伯格、迈克尔.斯塔伯德5.《素数的音乐》【英】马科斯.杜.索托伊6.《无法解出的方程》【美】马里奥.利维奥7.《数学家读报》【美】约翰·艾伦·保罗斯037——一套数学竞赛书籍，上海科学技术出版社1.《初中数学竞赛妙题巧解》常庚哲编2.《初中数学竞赛辅导讲座》严镇军等编3.《高中数学竞赛辅导讲座》常庚哲等编4.《中、美历届数学竞赛试题精解》刘鸿坤等编038——国外数学奥林匹克俱乐部丛书，湖北教育出版社1.《美国数学邀请赛试题解答与评注》朱华伟编译2.《俄国青少年数学俱乐部》苏淳朱华伟译039——《国内外数学竞赛题解》，陕西师范大学图书馆编辑组编写《国内外数学竞赛题解》上、中、下三册040——开明出版社出版由中国数学奥林匹克委员会编译的两本书，书目如下：1.《环球城市数学竞赛问题与解答第1册》2.《环球城市数学竞赛问题与解答第2册》041——数学奥林匹克试题集锦，华东师范大学出版社，IMO中国国家集训队教练组编写1.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦2003》2003年IMO中国国家集训队教练组编2.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦2004》2004年IMO中国国家集训队教练组，选拔考试命题组编3.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦2005》2005中国国家集训队教练组、选拔考试命题组编4.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦2006》2006年IMO中国国家集训队教练组编5.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦2007》2007年IMO中国国家集训队教练组编6.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦2008》2008年IMO中国国家集训队教练组编（缺）7.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦2009》2009年IMO中国国家集训队教练组编（缺）042——国外、国际数学竞赛试题方面的书籍1.《奥林匹克数学竞赛题集》（苏）罗什柯夫等编著张兴烈刘承明译2.《波兰数学竞赛题解1-27届》（波）耶·勃罗夫金（波）斯·斯特拉谢维奇著朱尧辰译3.《初中中外数学竞赛集锦》刘鸿坤编著4.《第26届国际数学奥林匹克》中国数学会普及工作委员会编5.《第一届至第二十二届国际中学生数学竞赛题解1959-1981》杨森茂陈圣德编译6.《国际奥林匹克数学竞赛题及解答1978-1986》中国科协青少年工作部中国数学会编译7.《国际数学奥林匹克1-20届》江苏师范学院数学系编译8.《国际数学竞赛题解》（德）H.D.霍恩舒赫编潘振亚等译。
高中平面几何讲义
高中平面几何(上海叶中豪)焦点话题1.三角形中的巧合点2.Simson线及垂足三角形3.圆幂与根轴例题和习题1．已知ABCD是圆内接四边形，I A、I B、I C、I D分别是△BCD、△ACD、△ABD、△ABC 的内心。
求证：I A I B I C I D是矩形。
（Fuhrmann定理）2．已知：△ABC中，AB＝AC，BE、CF是高，H是垂心，过H作AB的平行线交AC 于D，AH延长交外接圆于G点。
求证：DF⊥FG。
3．已知△ABC中，AB＝AC，O、I分别是△ABC的外心和内心，点D在AB边上，且OD⊥BI。
求证：ID∥AC。
4．已知圆内接四边形ABCD，有一半圆直径落在BC边上，且与AB、CD、AD都相切。
求证：AB＋CD＝BC。
5．在△ABC左右两边上截取BE＝CF＝BC，O是△AEF的外心，I是△ABC的内心。
求证：OI⊥BC。
6．已知：E、F在△ABC的AB、AC两边上，且BE＝CF＝BC，I是△ABC的内心，S是△ABC外接圆BC弧中点，T是△AEF外接圆EF弧中点。
求证：SI＝IT。
7. 已知：△ABC ≌△ADE，延长底边BC，ED交于P点，O是△PCD的外心。
求证：AO⊥BE。
B8．已知D是△ABC的BC边上任一点，O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心。
求证：A、O、O1、O2四点共圆。
（Salmon定理）B9．已知ABCD是梯形（AD∥BC），E是腰AB上的动点，O1、O2分别是△ADE、△BCE的外心。
求证：O1O2的长度不随E点的运动而变化。
10．已知：点D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，O1、O2、O3分别是△AEF、△BFD、△CDE的外心。
求证：△O1O2O3∽△ABC。
11．已知：AM是△ABC的中线，P是△ABC 内一点，满足∠BAM＝∠CAP，O、O1、O2分别是△ABC、△ABP、△ACP的外心。
求证：AO平分O1O2。
2013年数学竞赛讲义(几何)——叶中豪
高中平面几何(叶中豪)知识要点：（一）四点共圆及其应用（二）垂足三角形与等角共轭例题和习题：1．已知：自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD，自C作PA的平行线，分别交AB、AD于E、F。
求证：CE＝EF。
2．A为圆O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别与圆O相切于C、D，DE⊥AO于E，DE分别交AB、AC于F、G。
求证：DF＝FG。
3．P为圆外一点，PA、PD为切线，PCE为割线。
过D作PA的平行线，分别与AC延长线及线段AE交于B、F。
求证：D为BF中点。
B4．在△ABC中，AB ≠ AC，I是内心，直线AI与△ABC的外接圆交于D。
过D作DP⊥AD交BC于P，△ABC的B-旁切圆切AC于E，C-旁切圆切AB于F。
求证：EF∥PI。
5．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的圆与圆O交于P，作NQ⊥LM于Q。
求证：∠MPQ＝2∠NMQ。
（98年伊朗竞赛）6．已知Rt△ABD∽Rt△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM垂线交AD于F。
求证：DE ＝EF。
7．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，点A关于点D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。
求证：AP∥BC。
8．△ABC中，E、F是AC、AB边上任意两点，圆ABE和圆ACF交于D点，M、N分别是BC、EF中点，MN延长交AB于L。
求证：∠BLM＝∠CAD。
9．已知P、Q是等腰△ABC（AB＝AC）内两点，满足∠ABP＝∠QCB，∠ACP＝∠QBC。
求证：A、P、Q三点共线。
10．已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高，BB'⊥EF于B'，CC'⊥EF于C'。
求证：B'C'＝DE＋DF。
11．一点P在△ABC三边BC、CA、AB上射影分别为S1、S2、S3，在三条高AD、BE、CF上射影分别为T1、T2、T3。
平面几何讲义之四点共圆(内容很详实)
BB高中数学联赛平面几何讲义之四点共圆平面几何中证四点共圆的几个基本方法 方法一：平面上有四点A B C D 、、、,若A D ∠=∠, 则A B C D 、、、四点共圆方法二 线段AC BD 、交于E ,若AE EC BE ED ⋅=⋅,则方法三 线段AC BD 、交于E ,若AE BE CE ED ⋅=⋅, 则A B C D 、、、四点共圆方法四：若四边形ABCD ,180A C ∠+∠=︒， 则A B C D 、、、四点共圆DCBPB方法四、已知 AD 是ABC △内角或外角平分线，AB AC ≠,且BD DC =,则A B C 、、证明 设BAD α∠=,因为AD AD DB DC =,所以sin sin sin sin B C BAD CAD=∠∠，所以sin sin B C =，内角时180B C +=︒,外角时B C =，所以A B C D 、、、四点共圆托勒密定理：Tolemy(托勒密定理）若四边形ABCD 是圆O 内接四边形,则AD •BC+AB •CD=AC •BD证明 在AC 上取点E,使∠EDC=∠ADB,因为∠ABD=∠ACD,所以△ABD ∼△EDC,△ADE ∼△BDC ，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD •BC+AB •DC=AE •BD+BD •CE=AC •BD例1、（等角共轭点性质）已知 点D E 、在ABC ∆内，ABD CBE ∠=∠,BAE CAD ∠=∠.求证ACD BCE ∠=∠.BCBB证明(一)（文武光华数学工作室南京潘成华）作E关于BC AB AC、、对称点P R Q、、,易知BRD∆≌BPD∆,ARD∆≌AQD∆,于是DP DR DQ==,所以DCP∆≌DCQ∆,得到PCD QCD∠=∠,进而BCE ACD∠=∠.证明（二）作BDS∆外接圆交AD延长线于S,可知ASC DBC ABE∠=∠=∠,得到ABE∆∽ASC∆,所以ABS∆∽AEC∆,得到ACE ASB DSB∠=∠=∠,所以BCE ACD∠=∠.南京潘成华）E是ABC∆内一点，点D在BC上，且BAE DAC∠=∠,EDB ADC∠=∠.则180AEC BED∠+∠=︒证明先证明AB BEAC EC=,过E作AB AC BC、、垂线EF EG EL、、交AB AC BC、、分别于F G L、、，直线EL AD、交于J,取AF中点K,易知B F E L、、、四点共圆，E G C L、、、四点共圆，所以sinsinFLAB C FL CEBEAC B LG LG BECE===⋅(1),(B C、是ABC∆的内角)，因为EDB ADC∠=∠，所以EL LJ=,于是//KL AJ,易知A F E G、、、四点共圆，B圆心是K，BAE DAC∠=∠,所以AD FG⊥,进而//KL FG，得到KL是FG中垂线，所以FL LG=，(1)得AB BEAC EC=下面我们证明180AEC BED∠+∠=︒，因为sin sin,ACAEC EACAE∠=∠sin sin,ABBAE BAEBE∠=∠,两式相除得sin sin sinsin sin sinAEC EAC BADBAE BAE DAC∠∠∠==∠∠∠sin sinsin sinAB BAD EC BD EC BEDAC DAC BE CD BE DEC∠∠=⋅=⋅=∠∠,因为360AEC BAE BED DEC∠+∠+∠+∠=︒所以，180AEC BED∠+∠=︒证明（二）在AB取H,使得AHB PDB∠=∠,所以AHD∆∽APC∆,易知H P D B、、、四点共圆，所以180APC BPD BHD AHD∠+∠=∠+∠=︒例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，D是ABC∆底边BC上任一点，P是形内一点，满足12∠=∠，34∠=∠。
叶中豪几何讲稿
形）中， CM⊥AD 于M， CN⊥AB于 N，NM与 BD延长交 于点P。 求证： PC⊥AC。
2．已知AF、DC是圆O的直径，E是CF延长线 上一点，DE交圆O于B，直线AB、OE交于P。
求证：PC是圆O的切线。
3．已知：AB是圆O的直径，P是过B点的切线 上任一点，过P作任意割线PCD，联结AC、AD，
交于E点。求证：∠DBE＝90°
6．在△ABC中，AB ≠ AC，I是内心，直线AI与△ABC 的外接圆交于D。过D作DP⊥AD交BC于P，△ABC的
B-旁切圆切AC于E，C-旁切圆切AB于F。 求证：EF⊥PI。 （2007年秘鲁国家队选拔考试）
7．已知：直角△ABC，D是斜边AB的中点，MB⊥AB， MD交AC于N，MC延长线交AB于E。求证：∠DBN＝
13．设P是 △ABC外接圆上 任一点，自P分 别作PA、PB、 PC的垂线，与 对应边BC、CA、 AB或延长线交 于D、E、F，则 D、E、F及外心 O共线
14．设AB是圆 O的弦， PB⊥AB，过P 作圆O的割线 PCD，联结AC、 OP交于E。求 证：EB⊥DB。
15．设P是 △ABC所在平面
任作直线分别交 AB、AC于E、F， 联结B'E、C'F交于 Q点。
求证：AQ⊥BC
∠BCE。 （2007年第4届东南地区数学奥林匹克
8．自圆内接 四边形ABCD 的每边端点作
邻边的垂线，
相邻垂线分别 交于E、F、G、 H。求证：E、 F、G、H四点 共线。
9．已知ABCD是
圆内接四边形， 对角线AC、BD 交于P点，O是 外接圆心。过A、 B分别作邻边AD 和BC的垂线交 于E点。求证： E、O、P三点共 线。
数学名师叶中豪高中数学竞赛平面几何讲义完整版
数学名师叶中豪⾼中数学竞赛平⾯⼏何讲义完整版数学名师叶中豪⾼中数学竞赛平⾯⼏何讲义完整版Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】⾼中平⾯⼏何叶中豪学习要点⼏何问题的转化圆幂与根轴P’tolemy定理及应⽤⼏何变换及相似理论位似及其应⽤完全四边形与Miquel点垂⾜三⾓形与等⾓共轭反演与配极，调和四边形射影⼏何复数法及重⼼坐标⽅法例题和习题1．四边形ABCD 中，AB=BC ，DE ⊥AB ，CD ⊥BC ，EF ⊥BC ，且()sin 1tan sin 2θθγγ?+=。
求证：2EF=DE+DC 。
（10081902.gsp ） 2．已知相交两圆O 和O'交于A 、B 两点，且O'恰在圆O 上，P 为圆O 的AO'B 弧段上任意⼀点。
∠APB 的平分线交圆O'于Q 点。
求证：PQ 2=PA ×PB 。
（ gsp ）3．设三⾓形ABC 的Fermat 点为R ，连结AR ，BR ，CR ，三⾓形ABR ，BCR ，ACR 的九点圆⼼分别为D ，E ，F ，则三⾓形DEF 为正三⾓形。
（10082602.gsp ）4．在△ABC 中，已知∠A 的内⾓平分线和外⾓平分线分别交外接圆于D 、E ，点A关于D 、E 的对称点分别为F 、G ，△ADG 和△AEF 的外接圆交于A 和另⼀点P 。
求证：AP//BC 。
（10092102.gsp ）5．圆O 1和圆O 2相交于A 、B 两点，P 是直线AB 上⼀点，过P 作两圆作切线，分别切圆O 1和圆O 2于点C 、D ，⼜两圆的⼀条外公切线分别切圆O 1和圆O 2于点E ，F 。
求证：AB 、CE 、DF 共点。
（10092201.gsp ）6．四边形ABCD 中，M 是AB 边中点，且MC=MD ，过C 、D 分别作BC 、AD 的垂线，两条垂线交于P 点，再作PQ ⊥AB 于Q 。
叶中豪平面几何讲座2
1、一道有趣的新编题设D、E、F是△ABC的内切圆的切点，O、I分别是其外心和内心，在DI、EI、FI的延长线上分别截取IA'＝IB'＝IC'＝R（外接圆半径）。
求证：AA'＝BB'＝CC'＝OI；且直线AA'、BB'、CC'共点于外接圆上一点P，P关于△ABC的Simson线恰垂直于OI。
2、大家来讨论一下中等数学高248号问题怎么解决本题结论优美，是Fuhrmann圆的推广。
（当P点取垂心时即得到Fuhrmann圆）呵呵，没有必要Menelaus定理，有如下巧证：如图，自A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，围成△DEF。
取△DEF的内心I。
易见A1在以PD为直径的圆上，且因A1是BC弧中点，故D、I、A1共线。
得∠PA1I ＝90°。
同理∠PB1I＝∠PC1I＝90°。
故A1、B1、C1、P、I五点共圆。
证毕评注：《近代欧氏几何学》第7章§207定理（曼海姆）：“如图，设△DEF是△ABC的内接三角形，△DEF关于△ABC的Miquel点为M。
设任意三条共点直线AP、BP、CP交相应的Miquel圆于A1、B1、C1，则A1、B1、C1、M、P五点共圆。
”取P为△ABC的内心，并改换△DEF作为立足点，即可得到原题。
3、垂极点研究已知△ABC和任意直线x，自A、B、C作x的垂线，垂足分别为A′、B′、C′；再自A′、B′、C′分别作对边BC、CA、AB的垂线，那么这三条垂线一定共点。
这一结论用平方差原理不难论证，它属于两个三角形正交的一种退化情形。
（其中退化三角形就是A′B′C′）所共点X，可称为△ABC关于直线x的“垂极点”（orthopole），见《近代欧氏几何学》§406。
垂极点在近代欧氏几何里是个相对重要的概念，曾被Neuberg、Soons、Gallatly 等人广泛研究。
几何大王【叶中豪】之高中数学联赛平面几何直播课
几何大王【叶中豪】之高中数学联赛平面几何直播课
叶中豪老师数学竞赛课程：平面几何，可反复回看授课内容：《数学竞赛：二试平面几何》2018年天科教育学科竞赛夏令营将在全国主要城市拉开帷幕！但是有一部分学生因为路途和时间的问题不能来到夏令营现场听课，经众多不能来到现场听高中数学竞赛课程的要求，天科教育联合学科竞赛邀请几何大王叶中豪开设线上几何课程，7月15号热爱高中数学竞赛的同学们不见不散！授课师资：叶中豪
外号老封，人称"几何大王"，1983年获全国高中数学联赛（上海赛区）第2名，美国数学邀请赛（上海赛区）一等奖。
1988年毕业于复旦大学数学系，具有二十多年的教学经验，培育了上百位竞赛一等奖及国家集训队成员，是提倡用几何画板进行数学教学的第一人，现任上海教育出版社副编审，1996年被评为上海市十大藏书家。
叶老师潜心研究平面几何数十年，已成为我国平面几何的大师级专家。
而且不同于死板的传统教学方式，教学效果一流。
借助国外先进、成熟、流行的几何画板软件，形成了自己高效、动态的教学方法，生动、形象地将学生引入奇妙多彩的几何世界，逐步引导学生自己发现数学之美。
学生兴趣高，思维启动，效果显著。
叶老师善于引经据典，揭示题目背后的关键和基础，直接培养学生严谨的逻辑思维能力和严谨的演绎推理能力，显著提高学生的数学水平和解题能力，为升学、各类竞赛和自主招生打下坚实的基础。
地点:学生可以在家享受国内顶尖教授的知识盛宴。
受众:想在数学竞赛中获奖的高中生。
学生所需设备：一台电脑或者笔记本或者手机或者Pad。
张老师：于老师：吴老师：。
平面几何研究----平面几何新思索(叶中豪)
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数学花园大，请来看小花rn——介绍《平面几何中的小花》
数学花园大，请来看小花rn——介绍《平面几何中的小花》叶中豪【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2001(000)002【摘要】@@ 在数学的大花园里，几何是最美丽的部分.它既有优美的图形，令人赏心悦目；又有众多的问题，供大家思考探索.它的论证严谨而优雅，命题美丽而精致.入门不难，魅力无限，因此吸引了大批业余的数学家与数学爱好者(包括叱咤风云的拿破仑一世)，在这里大显身手.一些历史上有名的大数学家，像牛顿、费马、帕斯卡、欧拉、高斯他们，也禁不住在这里留连驻足，为花园增添奇葩.rn 伟大的物理学家爱因斯坦在《自述》中曾这样回忆道：rn “在我12岁时，我经历了另一种性质完全不同的惊奇：这是在一个学年开始时，当我得到一本关于欧几里得平面几何的小书时所经历的.这本书里有许多断言，比如，三角形的三个高交于一点，它们本身虽然并不是显而易见的，但是可以很可靠地加以证明，以致任何怀疑似乎都不可能.这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以形容的印象.……我记得在这本神圣的几何学小书到我手中以前，有位叔叔曾经把毕达哥拉斯定理告诉了我.经过艰巨的努力以后，我根据三角形的相似性成功地‘证明了’这条定理.……对于第一次经验到它的人来说，在纯粹思维中竟能达到如此可靠而又纯粹的程度，就像希腊人在几何学中第一次告诉我们的那样，是足够令人惊讶的了.”(《爱因斯坦文集(第一卷)》)【总页数】2页(P40-封四)【作者】叶中豪【作者单位】上海教育出版社200031【正文语种】中文【中图分类】G623【相关文献】1.花园盛典——公共公园和小花园,蓬蒂-迪利马,葡萄牙 [J],2.通过植物配置激发和创造错觉使小花园变“大” [J], 刘婷;刘娜3.家庭花园营建案例自建药用小花园 [J], 园辑4.家庭花园设计ABC小花园的基本格局 [J], 一文5.在小花园里建造大世界——记邵钦祥和他的花园村 [J], 徐乐俊因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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高中平面几何（上）
知识要点
几何问题的联系和转化
比例线段与相似图形
共点线与共线点（梅涅劳斯定理和塞瓦定理）
三角形的“五心”
四点共圆及其判定
正弦定理和余弦定理
几何变换及相似理论
完全四边形与Miquel点
位似及其应用
例题和习题
1．已知H是△ABC的垂心，M、N分别是BC和AH的中点，直线MN交以AH 为直径的圆于点S、T。
求证：AT、AS平分∠BAC及其外角。
（10040601-2.gsp）
2．已知：ABCD是正方形，AE＝AD，BF＝BC，且∠EAD＋∠FBC＝90°，联结BE、EF，分别交AD于P、Q。
求证：PQ＝QD。
（08012304.gsp）
3．已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为AB、CD上的点，满足∠AED＝∠BEC，∠AFD＝∠BFC，对角线AC、BD交于O。
求证：OE＝OF。
（07112501.gsp）
4．已知四边形ABCD中，∠B＝90°对角线AC＝BD，P是对边BC、AD中垂线的交点，Q是对边AB、CD中垂线的交点。
求证：B、P、Q三点共线。
（10041302.gsp）
5．如图，矩形ABCD中，EF∥AB，EF与对角线BD交于G点。
过E作ET⊥DF，
垂足为T；过F作FS⊥BE，垂足为S。
求证：S、G、T三点共线。
6．如图，设N是△ABC的弧BAC的中点，M是BC边中点，I是△ABC的内心。
求证：∠ANI＝2∠IMC。
（09021701.gsp）
7．已知O是△ABC的外心，D、E、F分别是各边中点，R、r 为外接圆和内切圆的半径。
求证：OD＋OE＋OF＝R＋r。
（10040601-9.gsp）
8．已知：P是△ABC内任一点，EH∥BC，FI∥AB，GD∥AC，且三线共点于P，
AP交△ABC的外接圆于另一点Q。
求证：AP×PQ=EP×PH+FP×PI+GP×PD。
（10022801.gsp）
9．已知：AM是△ABC的中线，P是△ABC内一点，满足∠BAM＝∠CAP，O、O1、O2分别是△ABC、△ABP、△ACP的外心。
求证：AO平分O1O2。
（10030801.gsp）
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10．已知：G、O分别是△ABC的重心和外心，自A、B、C各作GA、GB、GC的垂线，围成△DEF，设G’是△DEF的重心。
求证：G、O、G’三点共线。
（10030801-3.gsp）（09101301.gsp）。