-人教版第十六章二次根式教案
(完整版)新人教版八年级数学下册第16章二次根式教案
课题：16.1二次根式1 课型:新授 一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程（一）自学导航（课前预习）（1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的______, 记为_____,a 一定是____数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为=__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）合作交流（小组互助） (1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。
如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。
思考：16，5h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________。
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 ,4a 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2)（3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a ,4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
16.二次根式全章教案人教版
16.二次根式全章教案人教版篇一：新人教版第十六章二次根式全章教案第十六章二次根式湛江市第二十八中学八年级数学备课组篇二：新人教版第16章二次根式全章教案第十六章二次根式第1课时16．1二次根式(1)教学内容二次根式的概念及其运用教学目标1、知识与技能：理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．2、过程与方法：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．经历观察、比较，总结二次根式概念和被开方数取值的过程，发展学生的归纳概括能力。
3、情感态度与价值观：经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。
教学重难点1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点：利用“a（a≥0）”解决具体问题教学准备：彩色粉笔、小黑板教学过程一、复习引入（1）已知x2=a，那么a是x的______;x是a的______,记为____,a一定是_____数。
4（2）4的算术平方根为2，用式子表示为；正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子a?0(a?0)的意义是。
思考：教材P2思考二、探索新知很明显,s,65,h5，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．思考:(1)-1有算术平方根吗？(2)0的算术平方根是多少？(3)当a例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：211、3、、x（x>0）、0、42、?2、、x?y（x≥0，y?≥0）．xx?y；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：2、x（x>0）、、、?2、、x?y（x≥0，y?≥0）．11不是二次根式的有：、、2、．xx?y例2（教材P2例1）当x是怎样的实数时，x?2在实数范围内有意义？解：由x?2≥0，得：x≥2。
人教版数学八年级下册第16章二次根式16.1二次根式(教案)
此外，课后我也收到了一些学生的反馈，他们表示在二次根式的乘除运算方面还存在一定的困惑。针对这个问题，我打算在下一节课中，通过更多的例题和练习，帮助学生巩固乘除运算的规则，提高他们的运算速度和准确性。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式的性质和化简方法这两个重点。对于难点部分，比如分母有理化，我会通过具体例题和步骤解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式相关的实际问题，如计算土地面积等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，通过剪纸或模型来演示二次根式在几何图形中的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的定义与性质。二次根式是形如√a的表达式，其中a是非负数。它是解决非完全平方数平方根问题的重要工具，并在数学和实际生活中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，计算√18，我们可以将其分解为√9*√2，进而简化为3√2，展示了二次根式在实际中的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版2019八年级(下册)数学第十六章二次根式整章教案
第十六章二次根式16.1 二次根式(1)一、教学目标：认知：1、根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
能力：先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳得出概念。
情感：经过探索二次根式的重要结论，发展学生观察、发现问题的能力及研究问题的严谨性。
二、教学重难点：教学重点：理解二次根式的概念教学难点：明确二次根式有意义的条件，并运用其解决具体问题。
三、教学法：1.教法：五环节教学法2.学法：自学与小组合作学习相结合的方法四、教学具准备：教学课件五、教学过程：（一）复习引入：1、已知一个正数x，满足x2 = a，x是a的________, 记为______, a一定是_______数。
2、（1） 4的算术平方根为_______ ，用式子表示为 __________；（2） 16的算术平方根是_______，用式子表示为 __________；（3） 0 的算术平方根是_______；（4）正数a的算术平方根为_______，（5）－7_______算术平方根。
归纳：_______和_______都有算术平方根；_______没有算术平方根（二）出示学习目标：1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
（三）探索新知、提出问题思考：用带有根号的式子填空1、面积为3的正方形的边长是_______，面积为S的正方形的边长是_______。
2、一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为_______米。
3、一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为_______.很明显：所得的结果都表示一些正数的算术平方根。
像这样一些非负数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。
一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式（学生举例巩固）（四）议一议1、-1有算术平方根吗？2、0的算术平方根是多少？3、当a<0时，有意义吗？点评：1、表示非负数a 的算术平方根。
人教版初中数学八年级下册第十六章：二次根式(全章教案)
第十六章二次根式教材简析本章的内容主要包括：二次根式的概念和性质、二次根式的乘除、二次根式的加减．在中考中，本章重在考查二次根式的概念和性质以及运用二次根式的运算法则进行化简、求值．教学指导【本章重点】二次根式的性质和运算．【本章难点】灵活运用二次根式的性质及运算法则进行相关的化简与实数的简单运算．【本章思想方法】1．掌握类比思想．如：类比算术平方根的概念理解二次根式的性质，类比整式的运算法则理解二次根式的运算法则．2．掌握分类讨论思想．如：在进行二次根式的化简时，当被开方数中有字母且没有给出字母的取值范围时，应考虑对字母的取值进行分类讨论．3．体会整体思想．如：在求含有二次根式的代数式的值时，有时从整体角度考虑，将已知条件和待求值的式子进行变形后整体代入求值．课时计划16.1二次根式2课时16.2二次根式的乘除2课时16.3二次根式的加减2课时16.1二次根式第1课时二次根式的概念教学目标一、基本目标【知识与技能】理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围．【过程与方法】经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力．【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识．二、重难点目标【教学重点】二次根式的概念，二次根式有意义的条件．【教学难点】求二次根式中字母的取值范围．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.2．一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．3．下列式子中，不是二次根式的是(B)A．45B．－3C．a2＋3D．2 3环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？11，－5，(－7)2，313，15－16，3－x(x≤3)，－x(x≥0)，(a－1)2，－x2－5，(a－b)2(ab≥0)．【互动探索】(引发学生思考)要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．【解答】因为11，(－7)2，15－16＝130，3－x(x≤3)，(a－1)2，(a－b)2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数均为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5的被开方数都小于0，所以不是二次根式．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号；(2)被开方数是非负数．【例2】当x________，x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义．【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？【分析】要使x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.【答案】≥－3且x≠－1【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数为非负数，三是零次幂的底数不为零．活动2巩固练习(学生独学)1．下列式子中，是二次根式的是(A)A．－7B．3 7C．x D．x 2．使式子－(x－5)2有意义的未知数x有(B) A．0 个B．1 个C．2 个D．无数个3．当x是多少时，2x＋3x＋x2在实数范围内有意义？解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，x ≠0.∴当x ≥－32且x ≠0时，2x ＋33＋x 2在实数范围内没有意义．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】若实数x 、y 满足y ＞x －2＋6－3x ＋3，求|y －3|－(x －y )2的值．【互动探索】要求|y －3|－(x －y )2的值，需确定出x 、y 的取值范围．根据式子y ＞x －2＋6－3x ＋3，可以确定出x 、y 的取值范围．【解答】由题意，得x －2≥0且6－3x ≥0， 解得x ＝2，则y ＞3.故|y －3|－(x －y )2＝y －3－y ＋2＝2－3＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式有意义的条件求出x 的值，从而确定y 的取值范围，然后利用二次根式的性质化简代数式．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念有意义的条件——被开方数是非负数练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 二次根式的性质教学目标一、基本目标 【知识与技能】理解a (a ≥0)是一个非负数、(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝a (a ≥0)，并利用它们进行计算和化简；了解代数式的概念．【过程与方法】在明确(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝a (a ≥0)的算理的过程中，感受数学的实用性；通过小组合作交流，培养学生的合作意识．【情感态度与价值观】通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】 二次根式的性质． 【教学难点】运用二次根式的性质进行有关计算．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P3～P4的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．(1)当a >0时，a 表示a ；(2)当a ＝0时，a 表示0概括：一般地，a (a ≥0)是一个非负数．2．教材P3“探究”，根据算术平方根的意义填空： (1)(4)2＝4； (2)2＝2；⎝⎛⎭⎫132＝13； (0)2＝0. (2)一般地，(a )2＝a (a ≥0)． 3．教材P4“探究”，填空： (1)22＝2；0.012＝0.01； ⎝⎛⎭⎫232＝23； 02＝0.(2)一般地，a 2＝a (a ≥0)．教师点拨：二次根式的三个性质：(1)a (a ≥0)是一个非负数；(2)(a )2＝a (a ≥0)；(3)a 2＝a (a ≥0)．4．用基本运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子，我们称这样的式子为代数式． 5．计算：0.019 6×22 500＝21；549＝73. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)( 1.5)2； (2)(25)2； (3)16； (4)(－5)2.【互动探索】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的平方等于什么？当二次根式的被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？【解答】(1)()1.52 ＝1.5. (2)(25)2＝22×(5)2＝4×5＝20. (3)16＝(42)＝4. (4)()－52＝52＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数．当二次根式的被开方数是一个完全平方数时，a 2＝||a ＝⎩⎨⎧a ()a ≥0；－a()a <0.【例2】化简下列二次根式． (1)8a 3b (a ≥0，b ≥0)； (2)(－36)×169×(－9).【互动探索】(引发学生思考)根据开方的定义化简．注意：二次根式的结果是最简二次根式．【解答】(1)8a 3b ＝22·a 2·2ab ＝(2a )2·2ab ＝2a 2ab . (2)(－36)×169×(－9)＝36×169×9＝6×13×3＝234.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数；(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(式)，即化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列各式正确的是( D ) A ．(－4)×(－9)＝－4×－9 B ．16＋94＝16×94C ．449＝4×49D ．4×9＝4×92．计算：(1)(9)2； (2)－(3)2； (3)64； (4)a 2＋2a ＋1. 解：(1)9. (2)－3. (3)8. (4)a 2＋2a ＋1＝()a ＋12＝||a ＋1.当a ≥－1时，原式＝a ＋1；当a <－1时，原式＝－a－1.3．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：(a ＋1)2＋2(b －1)2－|a －b |.解：从数轴上a 、b 的位置关系，可知－2＜a ＜－1,1＜b ＜2，且b ＞a ，故a ＋1＜0，b －1＞0，a －b ＜0，原式＝|a ＋1|＋2|b －1|－|a －b |＝－(a ＋1)＋2(b －1)＋(a －b )＝b －3.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简(a ＋b ＋c )2－(b ＋c －a )2＋(c －b －a )2. 【互动探索】根据三角形的三边关系，得出b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c .根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，然后去绝对值符号合并即可．【解答】∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，∴原式＝|a ＋b ＋c |－|b ＋c －a |＋|c －b －a |＝a ＋b ＋c －(b ＋c －a )＋(b ＋a －c )＝a ＋b ＋c －b －c ＋a ＋b ＋a －c ＝3a ＋b －c .【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式的性质⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0(a ≥0)(a )2＝a (a ≥0)a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)a (a <0)练习设计请完成本课时对应训练！16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法教学目标一、基本目标【知识与技能】理解a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝a·b(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简．【过程与方法】经历“探索——发现——猜想——验证”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖、相互补充的关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性．二、重难点目标【教学重点】二次根式的乘法运算法则．【教学难点】运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．教材P6“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)4×9＝6，4×9＝6；(2)16×25＝20，16×25＝20；(3)25×36＝30，25×36＝30.a≥0，b≥0.规律：一般地，二次根式的乘法法则是a·b＝ab()2．把a·b＝ab反过来，就得到ab＝a·b，利用它可以进行二次根式的化简．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)3×5； (2)13×27； (3)9×27； (4)12× 6. 【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的乘法运算法则进行计算． 【解答】(1)3×5＝15. (2)13×27＝13×27＝9＝3. (3)9×27＝9×27＝92×3＝9 3. (4)12×6＝12×6＝ 3. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的乘法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数．【例2】化简：(1)9×16； (2)16×81； (3)81×100； (4)4a 2b 3； (5)54.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？【解答】(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36. (3)81×100＝81×100＝9×10＝90. (4)4a 2b 3＝4·a 2·b 3＝2·a ·b 2·b ＝2ab b . (5)54＝9×6＝32×6＝3 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数．活动2 巩固练习(学生独学)1．等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( A ) A ．x ≥1 B ．x ≥－1 C ．－1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤－12．计算： (1)12×3； (2)23×315； (3)23×3512×5936. 解：(1)6. (2)310. (3)18.3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)(－4)×(－9)＝－4×－9； (2)41225×25＝4×1225×25＝4×1225×25＝412＝8 3. 解：(1)不正确．改正：(－4)×(－9)＝4×9＝36＝6. (2)不正确． 改正：41225×25＝11225×25＝11225×25＝112＝47. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】比较大小：(1)35与53； (2)－413与－511.【互动探索】由于根号外的因数不为1，可以将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．【解答】(1)35＝9×5＝45， 53＝25×3＝75. 因为45<75，所以35<5 3. (2)－413＝－16×13＝－208， －511＝－25×11＝－275.因为208<275，所以－208>－275，所以－413>－511.【互动总结】(学生总结，老师点评)要比较两个二次根式的大小，可以先运用二次根式的乘法运算法则，将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！第2课时二次根式的除法教学目标一、基本目标【知识与技能】1．理解ab＝ab(a≥0，b>0)和ab＝ab(a≥0，b>0)及利用它们进行运算；2．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．【过程与方法】通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．【情感态度与价值观】在经历二次根式除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣．二、重难点目标【教学重点】最简二次根式的概念，二次根式的除法运算法则．【教学难点】二次根式商的算术平方根的运用．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P8～P10的内容，完成下面练习．【3 min反馈】(一)二次根式的除法1．教材P8“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)49＝23，49＝23；(2)1625＝45，1625＝45；(3)3649＝67，3649＝67.规律：一般地，二次根式的除法法则是ab＝ab()a≥0，b>0.2．把ab＝ab反过来，就得到ab＝ab()a≥0，b>0，利用它可以进行二次根式的化简．(二)最简二次根式1．观察教材P8～P9例4、例5、例6中各小题的最后结果，比如22，310，2aa等，可以发现这些式子有如下两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)123；(2)32÷18；(3)14÷116；(4)648.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算．【解答】(1)原式＝123＝4＝2 .(2)原式＝32÷18＝32×8＝3×4＝2 3.(3)原式＝14÷116＝14×16＝4＝2.(4)原式＝648＝8＝2 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数，结果必须是最简二次根式．【例2】化简：(1)364；(2)64b29a2；(3)35；(4)22－1.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简．【解答】(1)原式＝364＝38.(2)原式＝64b29a2＝8b3a.(3)原式＝35＝3×55×5＝155.(4)原式＝2×()2＋1()2－1()2＋1＝2＋22－1＝2＋ 2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简时，注意将结果化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算113÷213÷125的结果是( A ) A ．27 5B ．27C ． 2D ．272．如果xy(y >0)是二次根式，那么化为最简二次根式是( C ) A ．xy(y >0) B ．xy (y >0) C ．xyy(y >0) D ．以上都不对3．化简： (1)483； (2)0.7； (3)23－1； (4)6－56＋5. 解：(1)4. (2)7010. (3)3＋1. (4)11－230. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式→确定x 的取值范围→化简所求式子【解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6，∴6<x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8， ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4(x ＋1)＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式＝4×9＝6.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据商的算术平方根的性质化简时，分子中被开方数是非负数，分母中被开方数是正数．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减教学目标一、基本目标【知识与技能】通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算．【过程与方法】在分析问题的过程中，渗透对二次根式加减法的理解，再总结经验，用它来指导二次根式的计算和化简．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，体会合作学习的先进性．二、重难点目标【教学重点】会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算．【教学难点】运用二次根式的加减运算解决问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P12～P13的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．计算下列各式．(1)22＋32；(2)28－38＋58；(3)7＋27＋9×7；(4)33－23＋ 2.解：(1)原式＝(2＋3)2＝5 2.(2)原式＝(2－3＋5)8＝48＝8 2.(3)原式＝7＋27＋37＝(1＋2＋3)7＝67.(4) 原式＝(3－2)3＋2＝3＋ 2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算： (1)27＋13＋12； (2)32＋48－8＋3； (3)3⎝⎛⎭⎫22－63＋ 1.5－223；(4)()6－222＋()23－1()23＋1.【互动探索】(引发学生思考)运用二次根式的加减法法则及乘法公式进行计算，在计算时要注意哪些问题？【解答】(1)27＋13＋12＝33＋33＋23＝1633. (2)32＋48－8＋3＝32＋43－22＋3＝2＋5 3. (3)3⎝⎛⎭⎫22－63＋ 1.5－223＝26－2＋62－223＝326－53 2.(4)()6－222＋()23－1()23＋1＝6－412＋8＋()12－1＝25－8 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)计算二次根式的加减法时，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．计算二次根式的混合运算时，注意运算顺序．【例2】已知a －5－2＋b －5＋2＝0，求a 2＋b 2＋7的值．【互动探索】(引发学生思考)根据算术平方根的非负性，可得a ＝5＋2，b ＝ 5－2，然后再代入求值即可．【解答】由题意，得a －5－2＝0，b －5＋2＝0，解得a ＝5＋2，b ＝5－2，a 2＋b 2＋7＝5＋4＋45＋5＋4－45＋7＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握算术平方根具有非负性．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算32－2的值是( D ) A ．2 B ．3 C ． 2D ．2 22．若最简二次根式3a －8与17－2a 可以合并，则a ＝5. 3．计算： (1)348－913＋312； (2)(48＋20)＋(12－5)． 解：(1)＝15 3. (2)63＋ 5. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝0，求23x 9x ＋y 2x y 3－x 21x －5x yx的值． 【互动探索】先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x －1)2＋(y －3)2＝0，即可求出x 、y 的值．再根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．【解答】∵4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝4x 2－4x ＋1＋y 2－6y ＋9＝(2x －1)2＋(y －3)2＝0，∴x ＝12，y ＝3. 原式＝23x 9x ＋y 2x y3－x 21x＋5x y x＝2x x ＋xy －x x ＋5xy ＝x x ＋6xy . 当x ＝12，y ＝3时，原式＝12×12＋632＝24＋3 6. 【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值时一般是先化简为最简二次根式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 二次根式的混合运算教学目标一、基本目标 【知识与技能】掌握含有二次根式的混合运算和含有二次根式的乘法公式的应用． 【过程与方法】复习整式运算知识并将该知识应用于含有二次根式的混合运算． 【情感态度与价值观】理解知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性． 二、重难点目标 【教学重点】熟练地进行二次根式的混合运算，进一步提高运算能力． 【教学难点】正确地运用二次根式混合运算法则及运算律进行运算，并把结果化简．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P14的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．2．在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用． 3．计算： (1)13×27； (2)35； (3)80－45； (4)(25－2)2. 解：(1)3. (2)155. (3) 5. (4)22－410. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132；(3)2－(3＋2)÷3.【互动探索】(引发学生思考)如何进行二次根式的混合运算？ 【解答】(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝ 2. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5. (3)原式＝2－3＋23＝2－1－233.【互动总结】(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．【例2】计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝⎛⎭⎫6－1332－3424×(－26)．【互动探索】(引发学生思考)(1)利用平方差公式进行计算即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．【解答】(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋6 2.(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3. (3)原式＝⎝⎛⎭⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列计算：①(2)2＝2；② (－2)2＝2；③(－23)2＝12；④(2＋3)( 2－3)＝－1.其中正确的有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如果(2＋2)2＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＝ 6，b ＝ 4. 3．计算： (1)(6＋8)×3； (2)(46－32)÷22； (3)(5＋6)(3－5)； (4)(10＋7)(10－7)．解：(1)32＋2 6.(2)23－32.(3)13－3 5.(4)3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】先化简，再求值：1x＋y＋1y＋yx x＋y，其中x＝5＋12，y＝5－12.【互动探索】化简式子→代入x、y的值进行计算【解答】1x＋y＋1y＋yx(x＋y)＝xyxy(x＋y)＋x(x＋y)xy(x＋y)＋y2xy(x＋y)＝xy＋x(x＋y)＋y2xy(x＋y)＝(x＋y)2xy(x＋y)＝x＋y xy.当x＝5＋12，y＝5－12时，x＋y＝5，xy＝1，所以原式＝ 5.【互动总结】(学生总结，老师点评)求代数式的值，如果直接代入计算比较繁琐，可以根据式子特点，整体代入进行计算．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算同整式的混合运算顺序相同，乘法公式和乘法法则同样适用．练习设计请完成本课时对应训练！。
人教版数学八年级下册16章《二次根式》单元整体教学设计
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我将引导学生回顾本节课所学内容，总结二次根式的性质、化简方法和运算规则。
1.回顾总结：请学生回顾本节课所学的内容，总结二次根式的性质、化简方法和运算规则。
2.归纳提升：引导学生发现数学规律，提高数学思维能力。
3.反馈评价：教师对学生的学习情况进行反馈，给予鼓励和指导，激发学生的学习动力。
-学会化简二次根式，包括分解质因数、提取平方因子等方法，使二次根式达到最简形式。
2.学会解决实际问题中涉及二次根式的计算，如长度、面积和体积的计算等。
-能够将实际问题转化为数学问题，建立二次根式相关的数学模型。
-运用二次根式的运算方法解决实际问题，培养将数学知识应用于实际生活的能力。
3.了解二次根式在几何图形中的应用，如勾股定理等。
4.运算讲解：详细讲解二次根式的乘除法运算规则，通过例题使学生熟练掌握运算方法。
（三）学生小组讨论
在小组讨论环节，我将组织学生进行合作学习，共同探讨二次根式的性质、化简和运算规则。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组选一个组长，负责组织讨论。
2.讨论主题：每组针对二次根式的性质、化简方法和运算规则进行讨论，探讨解决实际问题的方法。
3.拓展应用：
-探究题：让学生自主探索二次根式在几何图形中的其他应用，如圆的面积、体积计算等，并撰写探究报告。
-研究性学习：小组合作，选择一个与二次根式相关的研究主题，如二次根式在建筑、工程中的应用，进行深入研究，并制作PPT进行课堂分享。
-数学阅读：推荐阅读相关数学历史资料，了解二次根式的历史背景和发展过程，拓宽学生的数学视野。
五、作业布置
为了巩固学生对二次根式的理解和应用，作业布置将包括基础巩固、能力提升和拓展应用三个层次，确保学生在课后能够自主复习、巩固所学知识，并提高解决问题的能力。
【人教版】初中数学八下数学第16章《二次根式》全章教学案(含解析)
第十六章二次根式1.理解二次根式的概念.2.理解(a≥0)是一个非负数,()2=a(a≥0),=a(a≥0).3.掌握·=(a≥0,b≥0),=·(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0),=(a≥0,b>0).4.了解最简二次根式的概念,并能灵活运用其对二次根式进行加减.1.通过先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳得出概念,再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.2.让学生用具体数据探究规律,采用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法法则,并运用法则进行计算.3.让学生利用逆向思维,得出二次根式的乘(除)法法则的逆向等式,并运用它们进行化简.4.通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,让学生对被开方数相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的.1.培养学生利用二次根式的性质和重要结论进行准确计算的能力,培养学生一丝不苟的科学精神.2.经过探索二次根式的重要结论和二次根式的乘除法法则,发展学生观察、分析、发现问题的能力.二次根式是新课标中数与代数领域的重要内容,它是在前面平方根、立方根的基础上进行学习的,是对代数式及实数等内容的延伸与补充.同时,也是后继学习勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的边角关系等内容的学习基础.因此,本章的相关知识对于整个初中阶段学习数与代数有着承前启后的重要意义.本章内容分为三节,第一节主要学习二次根式的概念和性质;第二节是二次根式的乘法和除法运算,主要研究二次根式的乘除法运算法则和二次根式的化简;第三节是二次根式的加法和减法运算,主要研究二次根式的加减法运算法则和二次根式的化简.【重点】1.对(a≥0)是一个非负数的理解和对()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及应用.2.二次根式乘除法的法则及其运用.3.最简二次根式的概念.4.二次根式的加减运算.【难点】1.对(a≥0)是一个非负数的理解和对等式()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及应用.2.二次根式的乘法、除法的条件限制.3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.1.通过前面的学习,我们已经知道了平方根、立方根的概念和求法,实数的有关概念和运算,对数的认识已经由有理数的范围扩大到实数范围,并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受.因此,本章应充分注意与已有经验的联系.同时,本章内容与整式也有着密切的联系.由于数式通性,当将二次根式中的实数看成字母时,二次根式的运算实际上就是整式的运算,所以整式的运算法则和公式在二次根式的运算中仍然适用.因此本章强调了与整式相关内容的联系.2.对于一些重要结论,要注意经历观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论的过程.例如,对于二次根式的乘法法则,首先利用二次根式的概念和性质进行具体的计算,并观察所得结果发现二次根式相乘与积的算术平方根之间的关系,并利用发现的规律进行计算,再归纳得出二次根式的乘法运算法则.这个过程实际上就是反映了一个由特殊到一般的认识过程.要通过这样的探究活动来发展我们的思维能力,有效改变学生的学习方式.3.熟练掌握二次根式的概念和运算需要一定的训练,可以适当增加练习,以便较好地理解二次根式的意义,较好地掌握二次根式的性质和运算,为后续学习打下良好的基础.16.1二次根式2课时16.2二次根式的乘除2课时16.3二次根式的加减2课时单元概括整合1课时16.1二次根式1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.【重点】会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.【难点】运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.第课时使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.【重点】了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.【难点】会求二次根式中字母的取值范围.【教师准备】教学所需的习题资料.【学生准备】复习平方根和立方根的有关知识.导入一:唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?要解决这个问题,我们得从二次根式说起.[设计意图]将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.导入二:1.教师出示复习题:(1)4的平方根是;0的平方根是;-16的平方根是.(2)5的平方根是;5的算术平方根是.学生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根.(2)5的平方根是±;5的算术平方根是.2.教师出示教材第2页“思考”题:用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长为.(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为m.(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为.学生思考后回答,教师补充得出答案:(1),;(2);(3).[设计意图]以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.1.二次根式的概念思路一[过渡语](针对导入二)让我们一起来看下面的问题:上面得到的式子,,,分别表示什么意义?它们有什么共同特征?教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.[设计意图]让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.思路二像,,,这样的式子有什么共同特点呢?学生观察,交流发现:一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数.教师进一步明确:形如(a≥0)的式子叫做二次根式.引导学生说一说对二次根式的认识:(1)表示a的算术平方根;(2)a可以是数,也可以是代数式;(3)从形式上看,含有二次根号;(4)a≥0,≥0. [设计意图]加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.2.例题讲解[过渡语]二次根式的定义怎样理解?让我们一起来学习几个例题.下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被开方数.,,,(x≥3),(y>-1),,,(xy>0).引导学生观察根指数和被开方数分析发现:显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.解:,(x≥3),,(xy>0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,.[解题策略]①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.【变式训练】下列各式中,一定是二次根式的是()A. B.C. D.(其中a<0)〔解析〕的被开方数-9<0,的被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所以选项A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D.(教材例1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?引导学生从概念出发进行思考:二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0.解:由x-2≥0,得x≥2.当x≥2时,在实数范围内有意义.【变式训练】若式子1+有意义,则x的取值范围是.〔解析〕根据二次根式的性质可知:x+1≥0,即x≥-1;又因为分式的分母不能为0,所以x的取值范围是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0.[易错分析]容易产生只考虑到x+1≥0,而忽略了x≠0的错误.[设计意图]通过变式训练,加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解,提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识.[知识拓展](1)二次根式的定义是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.(3)形如b(a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b与的乘积,如3表示3×,-表示-×,但是不能写成3的形式.(4)当a≥0时,表示a的算术平方根.也就是说,有意义的条件是a≥0.(5)当a是非负数时,(其中a≥0)本身也是一个非负数.师生共同回顾本节课所学主要内容:知识要点关键点注意事项二次根式的概念形如≥0(a≥0)的式子叫做二次根式,其中被开方数是a被开方数也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等二次根式有意义的条件被开方数必须是非负数求解二次根式中字母的取值范围,要注意根号下的式子整体不小于零1.已知下列各式:,(a≥2),,,其中二次根式的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:的被开方数不是非负数,所以不是二次根式,其余3个都是二次根式.故选C.2.(2014·南通中考)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x≥B.x≥-C.x>D.x≠解析:是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.则解得x>.故选C.3.当x=时,二次根式有最小值,其最小值是.解析:∵二次根式有意义,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.答案:-304.求下列各式中字母a的取值范围:(1);(2);(3);(4).解:(1)由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数.(2)由>0,得1-2a>0,即a<.∴字母a的取值范围是小于的实数.(3)因为无论a取何值,都有(a-3)2≥0,所以字母a的取值范围是全体实数.(4)因为无论a取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范围是全体实数.第1课时1.二次根式的概念2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.【选做题】教材第5页习题16.1第7题.二、课后作业【基础巩固】1.若是二次根式,则下列结论正确的是()A.x≥0,y≥0B.x>0,y>0C.x,y同号D.≥02.已知实数x,y,m满足+=0,且y为负数,则m的取值范围是()A.m>6B.m<6C.m>-6D.m<-63.如果式子+有意义,那么在直角坐标系中点A(a,b)的位置在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(2015·遵义中考)使二次根式有意义的x的取值范围是.【能力提升】5.当x时,+在实数范围内有意义.6.(2015·攀枝花中考)若y=++2,则x y=.7.已知x,y为实数,且满足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值.8.已知实数a满足+=a,求a-20142的值.【拓展探究】9.若x,y,n满足关系式+=·,试确定m的值.【答案与解析】1.D(解析:依题意得≥0,即≥0.故选D.)2.A(解析:根据题意,结合非负数的性质,得=0,=0,所以解得因为y是负数,所以6-m<0.解得m>6.故选A.)3.A(解析:根据二次根式有意义的条件,易得a>0,b>0.故选A.)4.x≥(解析:要使二次根式有意义,则需满足5x-2≥0,∴x≥.)5.≥-且x≠-1(解析:要使+在实数范围内有意义,必须同时满足的被开方数2x+3≥0和的分母x+1≠0,即由①得x≥-,由②得x≠-1.∴当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.)6.9(解析:由题意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴x y=9.)7.解:∵-(y-1)=0,∴+(1-y)=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.8.解:由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化为a-2014+=a.∴=2014.两边平方并整理,得a-20142=2015.9.解:由等式的右边,根据二次根式有意义的条件得x-2013+y≥0且2013-x-y≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得x+2y=2.又x+y=2013,两式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.在教学中,我适当增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.根据教学时间多少调整例题教学,适当增加对二次根式非负性的例题的讲解,注重变式练习,以加深对二次根式具有双重非负性的理解.练习(教材第3页)1.解:设长方形的长和宽分别为3a cm,2a cm.由题意,得3a·2a=18,∴a2=3,a=(舍去a=-),∴3a=3,2a=2.故长方形的长取3 cm,宽取2 cm.2.解:(1)当a-1≥0,即a≥1时,有意义.(2)当2a+3≥0,即a≥-时,有意义. (3)当-a≥0,即a≤0时,有意义.(4)当5-a≥0时,即a≤5时,有意义.若x,y为实数,且满足y=+-3,求x+2y的值.〔解析〕根据二次根式的被开方数不小于0,求得x,y的值,然后将其代入所求的代数式并计算.解:由二次根式有意义的条件得即x2-4=0,所以x=±2.当x=±2时,y=-3.①当x=2,y=-3时,x+2y=2+2×(-3)=-4;②当x=-2,y=-3时,x+2y=-2+2×(-3)=-8.所以x+2y的值是-4或-8.[解题策略]根据已知得出并得到x=±2是解决本题的关键.已知(3a-6)2+=0,求b a的值.〔解析〕根据非负数的性质:若两个非负数的和为0,则这两个非负数的值都为0,解出a,b的值,再代入原式中计算.解:因为(3a-6)2与都是非负数,且它们的和为0,所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3.此时b a=32=9.[解题策略]本题考查了非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们的和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类问题.第课时1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.3.了解代数式的概念.在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.【难点】能运用二次根式的性质化简.【教师准备】教学所需的习题资料.【学生准备】自学教材第3~4页的内容.导入一:教师出示问题:先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.[设计意图]以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.导入二:1.什么叫二次根式?2.当a≥0时,叫什么?当a<0时,有意义吗?学生口答,老师点评.通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质. [设计意图]复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定了基础.思路一1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)[过渡语]我们先来探究性质1:()2=a(a≥0).提问:你能解释下列式子的含义吗?()2,()2,,()2.学生口述,教师根据情况评价.()2表示4的算术平方根的平方;()2表示2的算术平方根的平方;表示的算术平方根的平方;()2表示0的算术平方根的平方.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.()2=;()2=;=;()2=.学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.教师引导学生说出每一个式子的含义.是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有()2=2.是的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有()2=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?引导学生归纳得出二次根式的性质:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).(教材例2)计算:(1)()2;(2)(2)2.学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.〔解析〕(1)直接运用()2=a(a≥0)化简即可.(2)运用幂的性质(ab)2=a2b2.解:(1)()2=1.5.(2)(2)2=22×()2=4×5=20.[解题策略]把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计算即可.【变式训练】计算:(-2)2.〔解析〕把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a≥0)化简.解:(-2)2=(-2)2()2=4×3=12.[知识拓展]形如(x)2的关于二次根式的运算可结合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.[设计意图]让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力,并通过例题和变式训练及时巩固二次根式的性质1,学会灵活运用.2.二次根式的性质2:=a(a≥0)[过渡语]我们再来探究一下性质2:=a(a≥0).提问:你能解释下列式子的含义吗?,,,.教师引导学生说出每一个式子的含义.表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根;表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.=;=;=;=.学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴=,因此=;∵0=02,∴=0,因此=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?引导学生归纳得出:一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a≥0).(教材例3)化简:(1);(2).引导学生根据=a(a≥0)进行分析:(1)因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.(2)因为(-5)2=52,所以=.学生独立完成,集体订正.解:(1)==4.(2)==5.[知识拓展](1)中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.(2)化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a(a≥0);若a是负数,则等于a的相反数-a,即=-a(a<0).小组讨论:()2和有什么关系?学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=[设计意图]让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.思路二请同学们阅读和自学课本第3~4页的内容,并思考下面的问题:1.(1)填空:()2=;()2=;=;()2=;=;()2=.(2)猜想当a≥0时,()2=.2.(1)观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律.==;==;==;==;….通过观察,你得到的结论是什么?试着说一说.(2)发现:当a≥0时,=,当a<0时,=.学生用充足的时间学习后,交流学习情况,教师分析并讲解.1.(1)根据算术平方根与乘方运算的关系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16;=,所以==.根据以上规律,可以得出()2=2;=;()2=0.(2)从第(1)问可以发现,一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).2.先计算==2;==2;==3;==3;….可以看出:一个正数的平方的算术平方根等于这个数,一个负数的平方的算术平方根等于这个数的相反数.于是当a≥0时,=a,当a<0时,=-a.归纳并板书:二次根式的性质:1.()2=a(a≥0);2.=a(a≥0).提问:()2和有什么关系?学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=[设计意图]在计算的基础上,引导学生观察、猜想、归纳得出二次根式的两个性质,并从式子的意义和结果进行比较,得出二者之间的关系.3.代数式提问:回顾我们学过的式子,如a+b,-ab,,-x3,,(a≥0),这些式子有哪些共同特征?学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导.[设计意图]学生通过观察式子的共同特征,形成代数式的概念,培养学生的概括能力.4.例题讲解(补充)计算:(-5)2,,-.〔解析〕利用()2=a(a≥0)和=a(a≥0)化简,注意被开方数的符号.解:(-5)2=(-5)2×()2=25×2=50.==.-=-=-.(补充)比较2与3的大小.〔解析〕直接比较这两个二次根式的大小不太容易,由于这两个二次根式平方后得到两个有理数,因此可以通过比较这两个二次根式平方的大小来比较它们的大小.解:∵(2)2=22×()2=44,(3)2=32×()2=45,又∵44<45,且2>0,3>0,∴2<3.师生共同回顾本节课所学主要内容:知识要点关键点注意事项()2=a(a≥0)任何非负数的算术平方根的平方,其结果仍然是它本身被开方数a是非负数=|a|= 任何实数的平方的算术平方根是它的绝对值底数a可以是任何实数代数式用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式1.计算的结果是()A.-3B.3C.-9D.9解析:==3.故选B.2.下列各式:①m2-3;②(a>0);③a-1=6;④3x-5>0;⑤;⑥66.其中代数式的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个解析:③a-1=6是方程,不是代数式;④3x-5>0是一元一次不等式,也不是代数式;其余都是代数式.故选C.3.+的值是.解析:+=2+2=4.故填4.4.(1)当x时,=2-x成立;(2)计算=.解析:(1)当x-2≤0时,=2-x,所以x≤2;(2)因为3<π,所以3-π<0,因此=π-3.答案:(1)≤2(2)π-35.计算:(1);(2)(2)2;(3);(4)(-)2.解:(1)=0.9.(2)(2)2=22×()2=12.(3)=(-2)2×=2.(4)(-)2=(-1)2×()2=15.第2课时1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)例12.二次根式的性质2:=a(a≥0)例23.代数式4.例题讲解例3例4一、教材作业【必做题】教材第4页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第2,3,4,5,6题.【选做题】教材第5页习题16.1第7,8,9,10题.二、课后作业【基础巩固】1.已知二次根式的值为3,那么x的值是()A.3B.9C.-3D.3或-32.若=1-2a,则()A.a<B.a≤C.a>D.a≥3.(2015·杭州中考)若k<<k+1(k是整数),则k等于()A.6B.7C.8D.94.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简-|a+b|的结果为()A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b【能力提升】5.若是一个正整数,则正整数m的最小值是.6.在实数范围内分解因式:(1)x2-3=;(2)n5-6n3+9n=.7.列出下列代数式:(1)面积为3的圆的半径;(2)面积为S且两条邻边之比为3∶5的长方形的长、宽.8.计算:(1);(2)(3)2;(3);(4)-;(5).9.先化简,再求值:-,其中x=6.【拓展探究】10.对于题目“化简并求值:+,其中a=”,甲、乙两人的解答不同.甲的解答是:+=+=+-a=-a=;乙的解答是:+=+=+a-=a=.谁的解答是错误的?为什么?【答案与解析】1.D(解析:根据题意得x2=9,解得x=±3.故选D.)2.B(解析:由已知得2a-1≤0,解得a≤.故选B.)3.D(解析:本题主要考查了算术平方根的化简及算术平方根的估算,而<<,即9<<10,所以k=9.)4.C(解析:观察图可知a<0,b>0,且|a|>|b|,那么可知a+b<0,再结合二次根式、绝对值的性质进行化简计算.原式=-a-[-(a+b)]=-a+a+b=b.故选C.)5.5(解析:这类题保证被开方数是最小的完全平方数即可得出结论.20=22×5,所以正整数m的最小值为5.)6.(1)(x+)(x-)(2)n(n+)2(n-)2(解析:关键是逆用()2=a(a≥0)将3变成()2.(1)x2-3=(x+)(x-).(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2=n(n+)2(n-)2.)7.解:(1).(2)宽:3;长:5.8.解:(1)=.(2)(3)2=32×()2=18.(3)=(-2)2×=.(4)-=-=-3π.(5)==.9.解:原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8<0.∴原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.10.解析:在利用=|a|=化简二次根式时,当根号内的因式移到根号外面时,一定要注意原来根号里面的符号,这也是化简时最容易出错的地方.解:乙的解答是错误的.因为当a=时,=5,a-<0,所以≠a-,而应是=-a.本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.练习(教材第4页)1.解:(1)()2=3.(2)(3)2=32×()2=9×2=18.2.解:(1)=0.3.(2)=.(3)-=-π.(4)=10-1=.。
最新人教版数学八年级下册第十六章---二次根式教案(全章)
第十六章—二次根式一、二次根式1.概念：一般的，形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
二次根式应满足两个条件，即含有二次根号且被开方数大于或等于0.注意：二次根式√a的被开方数a可以是数，也可以是式子，单笔与满足a≥0。
2.性质：性质：2|a|.例题：1.当x是怎样的实数时，√x−2在实数范围内有意义？2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）√a−1（2）√2a+3；（3）√−a（4）√5−a3.计算（1）（√）2（2）（2√）2（3）（4）2（4）（2）2（5）22（6）21.0（7）26（8）23二、二次根式的乘除1.二次根式的乘法（1）法则：√ab =√a.√b（a≥0, b≥0）注意：a，b可以是一个具体的数，也可以是含字母的代数式。
（2）拓展：二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式相乘，即√a.√b.√c =√abc（a≥0, b≥0，c≥0）。
（3）误区警示：二次根式相乘的结果要化简成最简的二次根式或整式。
（4）最简二次根式：A.定义：一般的，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式。
B.识别一个二次根式是否是最简二次根式，主要依据两点：○1被开方数中的因数是整数，因式是整式；○2被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。
例题：1.计算.（1）3×5（2）√1×√（3）√×√73（4）√16×81（5）√4a2b3（6）√×√（7）√3×√12（8）√4×√6（9）√5×√6（10）√288 ×√172 （11）√3 ×√6 （12）18×21（13）25×51 （14）16×41 （15）18×91 2.化简.（1）√8 （2）√12 （3）√18（4）√20 （5）√24 （6）√28（7）√32 （8）√36 （9）√40（10）√42 （11）√44 （12）√（13）√48 （14）√50 （15）√90（16）√108 （17）√112 （18）√120（19）√（20）√ （21）√（22）√160 （23）√225 （24）√180（25）√200 （26）√144 （27）√2.二次根式的除法 （1）法则：b aba（a ≥0, b ≥0），相反√a b =√a √b （a ≥0, b ≥0）也成立。
人教版八年级数学下册第十六章二次根式集体备课优秀教学案例
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质，能够正确进行二次根式的运算。
3.组织学生进行自我评价、同伴评价，培养学生的评价能力和自我认知能力。
（五）作业小结
1.布置具有针对性、层次性的作业，让学生在课后巩固所学知识，提高学生的实践能力。
2.教师及时批改作业，给予学生反馈，帮助学生纠正错误，提高学生的学习效果。
3.教师根据作业情况，调整教学策略，为下一节课的教学做好准备。
3.小组合作：组织学生进行小组讨论，共同探究二次根式的性质。教师在小组合作过程中关注学生的个体差异，给予每个学生充分的指导和关爱，确保每个学生都能在小组合作中得到有效的学习和提升。这种教学方式培养了学生的团队协作能力和沟通能力。
4.反思与评价：教师引导学生对学习过程进行反思，让学生认识到自己在学习二次根式中的优点和不足。通过反思与评价，学生能够感受到数学学习的乐趣，激发学习数学的积极性，培养自主学习的能力。
3.设计具有挑战性和实际意义的课题，让学生在小组合作中，运用二次根式解决实际问题，提高学生的实践能力。
（四）总结归纳
1.教师引导学生对学习过程进行反思，让学生认识到自己在学习二次根式中的优点和不足，培养学生自主学习的能力。
2.教师对学生的学习成果进行评价，关注学生的个体差异，给予每个学生充分的肯定和鼓励，提高学生的自信心。
（二）问题导向
1.设计具有挑战性和启发性的问题，引导学生独立思考，激发学生学习二次根式的兴趣。
人教版数学八年级下册第十六章《数学活动——二次根式的应用》教案
人教版数学八年级下册第十六章《数学活动——二次根式的应用》教案一. 教材分析人教版数学八年级下册第十六章《数学活动——二次根式的应用》主要介绍了二次根式的性质和运算方法。
本章内容是学生对二次根式知识的巩固和拓展，旨在培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了二次根式的基本性质和运算方法。
但部分学生对二次根式的应用和解题策略还不够熟悉，需要老师在教学中给予引导和启发。
三. 教学目标1.理解二次根式的应用背景和意义；2.掌握二次根式在实际问题中的应用方法；3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式在实际问题中的运用；2.灵活运用二次根式解决复杂问题。
五. 教学方法1.实例分析法：通过具体例子引导学生了解二次根式的应用；2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考和探讨，激发学生的学习兴趣；3.合作交流法：鼓励学生分组讨论，分享解题心得，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题；2.制作课件，展示二次根式的应用实例；3.准备一些实际问题，用于课堂讨论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如测量物体长度、计算物体体积等，引导学生思考二次根式在实际问题中的应用。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示二次根式的应用实例，让学生了解二次根式在实际问题中的作用。
同时，引导学生总结二次根式的性质和运算方法。
3.操练（10分钟）教师提出一些练习题，让学生独立完成。
题目难度可分为简单、中等、困难三个层次，以满足不同学生的需求。
教师在学生解题过程中给予个别辅导，帮助学生巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，分享解题心得。
让学生在讨论中加深对二次根式应用的理解，提高合作能力。
5.拓展（10分钟）教师提出一些综合性的问题，引导学生运用二次根式解决实际问题。
鼓励学生发挥创造力，提出多种解题方案。
6.小结（5分钟）教师总结本节课的主要内容，强调二次根式在实际问题中的应用方法和注意事项。
人教版八年级数学下册第16章二次根式(教案)三
a.难点一：学生在运用乘除法则时，容易忽视根号内数的正负性。教学时需通过举例强调，如\(\sqrt{-1} \times \sqrt{1}\)并不等于\(\sqrt{-1}\)，因为根号内不能存在负数。
-教学策略：通过正例和反例的对比，让学生直观感受乘除法则的限制条件。
b.难点二：在混合运算中，学生可能不知道先进行乘法还是除法。教师需要明确运算顺序，并教授简化运算的技巧。
人教版八年级数学下册第16章二次根式（教案）三
一、教学内容
人教版八年级数学下册第16章《二次根式》教案三：
1.章节内容：16.3二次根式的乘除法
-二次根式的乘法法则及应用
-二次根式的除法法则及应用
-二次根式的乘除混合运算
2.知识点：
-理解并掌握二次根式乘法法则
-理解并掌握二次根式除法法则
-能够运用乘除法则进行二次根式的乘除混合运算
-教学策略：使用具体的例子，如\(\frac{3\sqrt{2} \times \sqrt{18}}{\sqrt{8}}\)，先简化\(\sqrt{18}\)为\(3\sqrt{2}\)，再进行乘法，最后进行除法。
c.难点三：将实际问题抽象为二次根式的乘除运算问题。学生可能难以理解问题中的数量关系。
四、教学流程
（一）导入新课
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的乘除法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或体积的情况？”（如计算长方形面积或圆柱体积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式乘除法的奥秘。
c.二次根式的乘除混合运算：例如\(\frac{3\sqrt{2} \times \sqrt{18}}{\sqrt{8}}\)，需教授学生如何先将乘法运算简化，再进行除法运算。
人教版八年级数学下册第十六章二次根式教案全
人教版八年级数学下册教案16.1二次根式（第1课时）16.1 二次根式（第2课时）偿提高化简23x+x的结果是（）A、－4xB、4xC、－2xD、2x3．已知实数x，y满足x y-++=540，求代数式的值.问题共同讨论解决.第3题鼓励学生独立思考后解决.感觉有困难的学生可以寻求同学的帮助，然后完成.小组交流内.小结本节课你学到了什么知识？你有什么认识？学生自己说出本节课的收获作业设计作业：教材P5习题21.1复习巩固2题 (3)、(4)3题 (1)、(2).教师布置作业，并提出要求.学生课下独立完成，延续课堂.16.2 二次根式的乘除（第1课时）教学目标知识技能1.使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算；2.会进行简单的二次根式的乘法运算．过程方法让学生进一步了解数学知识之间是相互联系的.情感态度培养学生用分类讨论的思想分析生活中出现的不同事物.重点abba=⋅（a≥0，b≥0），baab⋅=（a≥0，b≥0）及它们的运用．难点二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．环节教学问题设计教学活动设计情境引入计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律(1)259⨯=，259⨯=(2) 436⨯= , 436⨯=(3)16×25=____，1625⨯=___；教师出示问题，引导学生观察运算结果，发现和总结式子有什么规律？学生计算，观察，分小组讨论．全班交流，体会结果特点.自主探究【问题1】1.参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．4×9_____49⨯，100×36________10036⨯16×25__ 1625⨯学生通过计算，能对于公式有些感性上的认识，并且能举一些类似的式子.学生先完成填空，对于公式的推导有更深一步的认识，再通过观察，分析，合作交流，得出公式.二次根式的除法是建立在二次根式的基础上的，所以在学习中侧重于引导学生利用与乘法相类似的方法去学习，从而进一步降低学习的难度，提高学习的效率，但在教与学中，可以明显感受到学生对分母有理化概念在运用中的不灵活性，这也是应在今后的复习中给予加强的16.1 二次根式（第2课时）直角坐标系中A（3，2）、B(6，2)、C（3，5）是三角形的三个顶点，求：BC的长.成果展示引导学生对上面的问题进行展示交流引导学生自己出一组题，小组内做.学习小组内互相交流，讨论，展示.补偿提高1．计算：（18）2 （23）2（94）2（0）2（-478）222(35)(53)-2．若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简23x+x的结果是（）A、－4xB、4xC、－2xD、2x3．已知实数x，y满足x y-++=540，求代数式的值.教师出示题目.第1题、第2题由学生独立完成. 教师巡视，个别辅导.请学生板练.师生共同评析.存在的共性问题共同讨论解决.第3题鼓励学生独立思考后解决.感觉有困难的学生可以寻求同学的帮助，然后完成.小组交流内.小结本节课你学到了什么知识？你有什么认识？学生自己说出本节课的收获作业设计作业：教材P5习题21.1复习巩固2题 (3)、(4)3题 (1)、(2).教师布置作业，并提出要求.学生课下独立完成，延续课堂.16.3 二次根式的加减（第1课时）教学目标知识技能能够正确进行简单的二次根式加减法的运算.过程方法1.通过整式加减法运算与二次根式加减法运算体会类比思想.2.通过二次根式加减法运算培养学生运算能力.情感态度通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣.4.计算：（1）212+348 ； （2）（48+20）+（12-5）5.例题3.如图21.3.1-1要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（结果保留小数点后两位）？图21.3.1-1 分析：先利用勾股定理求出AB 的长度，再求出BC 的长度，然后相加：AB =5216422=+，BC =51422=+ AB+BC+AC+BD =)(71.13753m ≈+教师巡视及时补教.小组讨论分析，养成良好的分析问题，解决问题的能力和习惯. 成果 展示通过今天的学习你有何收获?1二次根式加减法的运算方法和步骤是什么?2.二次根式加减法应注意先化简成最简二次根式，以及运算的准确性.3.在学习过程中运用了类比的学习方法.学习小组内互相交流，讨论，展示.补 偿 提 高1．以下二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④2．计算5a -3b -7a +9b =________．3. 计算:（1）()279818-+（2）()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+6815.024.练习2:教材第16页练习教师出示题目. 第(1)题、第(2)题由学生独立完成. 教师巡视，个别辅导.请几位学生板练.师生共同评析.存在的共性问题共同讨论解决.第(3)题鼓励学生独立思考后解决.感觉有困难的学生可以寻求同学的帮助，然后完成.小组交流内. 作 业 设 计 教材第12页.习题21.2复习巩固 2题，3题 (3)、(4) 综合运用 4题 （2），6题 (3)、(4)教师布置作业，分层要求. 学生按要求独立完成作业完成.16.3 二次根式的加减（第2课时）。
第十六章二次根式教案
第十六章二次根式教案教案标题：第十六章二次根式教案目标：1. 了解二次根式的定义和性质。
2. 掌握二次根式的化简和运算方法。
3. 能够解决与二次根式相关的实际问题。
教学重点：1. 二次根式的定义和性质。
2. 二次根式的化简和运算方法。
教学难点：1. 解决与二次根式相关的实际问题。
教学准备：1. 教材《数学》第十六章相关内容。
2. 教学投影仪或白板。
3. 学生练习册。
教学过程：Step 1：导入新知（5分钟）引入二次根式的概念，通过提问和实例引发学生对二次根式的思考，激发学生的学习兴趣。
Step 2：概念讲解（15分钟）1. 定义二次根式：引导学生理解二次根式的定义，即形如√a的表达式，其中a 为非负实数。
2. 二次根式的性质：介绍二次根式的性质，如二次根式的值是非负实数，二次根式与平方互为逆运算等。
Step 3：化简和运算（20分钟）1. 化简二次根式：讲解化简二次根式的方法，如将根号内的因式分解、提取因式等。
2. 二次根式的运算：介绍二次根式的加减乘除运算法则，并通过例题进行讲解和练习。
Step 4：实际问题解决（15分钟）设计一些实际问题，要求学生运用二次根式的知识解决，如计算房间的地板面积、计算圆形花坛的面积等。
Step 5：课堂练习（15分钟）布置练习题，要求学生独立完成，检验他们对二次根式的理解和掌握程度。
Step 6：小结与反馈（5分钟）对本节课所学内容进行小结，并针对学生的问题进行解答和指导，鼓励学生提出自己的疑问和观点。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习，通过阅读相关教材和练习册的习题加深对二次根式的理解和掌握。
2. 提供更多的实际问题，让学生将二次根式应用于实际生活中，培养他们的数学建模能力。
教学评估：1. 教师观察学生的课堂参与度和学习态度。
2. 批改学生的课堂练习和作业，评估他们对二次根式的掌握情况。
3. 针对学生的问题进行解答和指导，及时纠正他们的错误，帮助他们提高。
教学资源：1. 教材《数学》第十六章相关内容。
人教版八年级下册数学第十六章《二次根式》教案
16．1 二次根式（1）教学目的：1、了解二次根式的概念；2、了解二次根式的基本性质；3、通过二次根式原概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。
重点：二次根式的概念和基本性质难点：二次根式的基本性质的灵活运用。
教学过程：例1．（1）当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？（2）当x 是怎样的实数时，2x 在实数范围内有意义？ （3）当x 是怎样的实数时，3x 在实数范围内有意义？ 归纳总结：n x ：当n 为奇数时，x ≥0时nx 有意义当n 为偶数时，x 为任意实数时n x 都有意义1. 求下列二次根式中字母k 的取值范围:(1 (2 (3 (42. 当x 分别取下列值时,的值:()10x =; ()21x =; ()31x =-.检测：求二次根式中x 的取值范围： （1）4-x （2）12+x （3）25+x （4）xx -42附加题：（5）22x x - （6）42-x （7）42+-x x 教学目的：1、理解二次根式的性质：（1）a （a ≥0）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）2a =a （a ≥0）2、会运用其进行相关计算。
重点：会运用a （a ≥0）是非负数、（a ）2=a （a ≥0）、2a =a （a ≥0）进行相关运算。
难点：理解a （a ≥0）是非负数、（a ）2=a （a ≥0）、2a =a （a ≥0）。
教学过程：阅读P69-P71内容，完成两个探究填空，理解、识记两个公式。
公式1 ： 公式2 ： 例1计算：（1）（5.1）2 （2）（52）2练习：1、（32）2 2、（23）2 3、（52）2 4、（25）2 例2化简：（1）16 （2）2)5(-16．1 二次根式（2）教学目的：复习二次根式的概念、二次根式的基本性质a （a ≥0）是非负数、（a ）2=a （a ≥0）、2a =a （a ≥0），能熟练运用其进行相关计算。
初中数学第十六章二次根式教案人教版
·
=
(a≥0,b≥0).
新 知
(2)积的算术平方根的性质:积的算术平方根等于
合 作
积中各因式的算术平方根的积,即:
= · (a
探 究
≥0,b≥0).
3.规律方法:
(1)两个二次根式相乘,等于被开方数相乘,根指数 不变. (2)被开方数 a,b 可以是非负的数字、字母或代数 式. (3)此性质可推广到多个非负因数的情况.
析 次函数”等内容打下必要的基础,而且也是为继续学
习高中数学提供了知识准备.
1.知识与技能
(1)理解二次根式的概念.
(2)理解 (a≥0)是一个非负数,( )2=a(a≥
教
学 目
0),
=a(a≥0).
标 (3)掌握 · = , = · (a≥0,b≥
0), = (a≥0,b>0), = (a≥0,b>0).
重点:
1.二次根式 (a≥0)是一个非负数;( )2=a(a≥
0); =a(a≥0)及其运用.
教 学
2.二次根式加减乘除法的规定及其运用. 3.最简二次根式的概念.
重 难点
难点: 1.对
(a≥0)是一个非负数的理解;对等式
( )2=a(a≥0)及 =a(a≥0)的理解及应用.
2.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最
第十六章 二次根式
主题 二次根式
课型
新授课
上课时间
教学 16.1 二次根式;16.2 二次根式的乘除;16.3 二次根式
内 的加减.
容
二次根式是在学生学习过有理式(包括整式和分式)
教材 的式(基无础理上式,还进包一括步学n 习次最根基式本).的学,习也本是章最不常仅用是的为无以理后
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第十六章 二次根式课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标：1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义2、会确定二次根式有意义的条件，知道a (a ≥0)是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算，3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究()2a 和2a 所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质教学重点： 1.a 有意义的条件. 2.a ≥0时a ≥0的应用. 3.()2a 和2a 的运算、化简教学难点：当a <0时2a 的化简教学过程：一、复习引入在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。
二、探究新知（一）定义及非负性活动1、填空，完成课本思考1：65，S ，2，5h 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义.活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法.活动4、思考下列问题： ①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3是不是？②定义中为什么要加a ≥0？若a<0，a 表示什么？有无意义？③当 a=0时，a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎样的实数？2-x ， 11+x ， 32+x练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时，2x ，3x 有意义？2、已知053=-++y x ，求y x ,的值各是多少？（二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1活动6、对()2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变. 练习：课本例2活动7、完成课本探究2活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数.练习：课本例3补充练习：1、化简：2)4(-π，2)32(-；2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子()2a -()2c 与式子2)(c a -有什么关系？三、课堂训练完成课本中两个练习.1、m m =-1 成立的条件是_______.2、m m =+1成立的条件是_______.四、小结归纳1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质.2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”.3、简单介绍代数式的概念.4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录.五、作业设计必做：P5：1、2、3、4、5、6选做：P5：7、8、9、10教学反思教学课题：16.2二次根式的乘除（第1课时） 教学课型：新授课教学目标：1.会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算2.会利用积的算术平方根性质化简二次根式经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公式的双向性得到积的算术平方根性质.3.通过例题分析和学生练习，达成目标1，2，认识到乘法法则只是进行乘法运算的第一步，之后如果需要化简，进行化简，并逐步领悟被开方数的最优分解因数或因式的方法教学重点：双向运用ab b a =⋅(a ≥0，b≥0)进行二次根式乘法运算教学难点：被开方数的最优分解因数或因式的方法教学过程一、复习引入：上节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节课开始学习二次根式的运算，先来学习乘法运算二、探究新知（一）二次根式乘法法则活动1、1.填空，完成课本探究12.用1中所发现的规律比较大小36436⨯；26活动2、给出二次根式的乘法法则活动3、思考下列问题：①公式中为什么要加a ≥0, b≥0？②两个二次根式相乘其实就是 不变， 相乘 ③c b a ⋅⋅（a ≥0, b≥0，c≥0）=练习：课本例1，在（1）（2）之后补充 （3）a a 4⋅ 归纳：运算的第一步是应用二次根式乘法法则，最终结果尽量简化（二）积的算术平方根性质活动4.将二次根式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质完成课本例2，在（1）（2）之间补充48归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式分解，然后再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根号外.例3. 计算:（1）714⨯ （2）10253⨯；（3）xy x 313⋅分析：（1）第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而是先观察因式或因数的特点，再确定是否需要利用乘法交换律和结合律以及乘方知识将被开方数的积变形为最大平方数或式与剩余部分的积，最后将最大平方数或式开方后移到根号外.（2）运用乘法交换律和结合律将不含根号的数或式与含根号的数或式分别相乘，再把这两个积相乘.，之后同（1）三、课堂训练完成课本练习.补充：1.1112-=-⋅+x x x 成立，求x 的取值范围.2.化简：()03≤-x y x四、小结归纳1.二次根式乘法公式的双向运用；2.进行二次根式乘法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法五、作业设计必做：P10：1、3（1）（2）、4补充作业：1．计算: (1)57⨯； (2)2731⨯；(3)155⨯； (4)8423⨯ 2.化简(1)3227y x ； (2)ab a 1832⋅教学课题：16.2二次根式的乘除（第2课时） 教学课型：新授课教学目标：1.会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算.2.会利用商的算术平方根性质化简二次根式.3.理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.4通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法教学重点：双向运用0)b 0( ≥≥=、a ba b a进行二次根式除法运算 教学难点：能使用分母有理化方法进行二次根式的除法运算教学过程：一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的乘法，这节课学习二次根式的除法运算.二、探究新知(一)二次根式除法法则活动1、1.填空，完成课本探究12.用1中所发现的规律比较大小；活动2、给出二次根式的除法法则活动3、思考下列问题：①公式中为什么要加a ≥0, b>0？②两个二次根式相除其实就是 不变， 相除练习：课本例4，在（1）（2）之后补充 （3）a a ÷34 归纳：运算的第一步是应用二次根式除法法则，最终结果尽量简化.(二)商的算术平方根性质活动4.将二次根式除法公式逆用得到商的算术平方根性质完成课本例5归纳：化简被开方式含有分数线的二次根式，就是将分子的算术平方根做分子，分母的算术平方根做分母，再利用积的算术平方根分别化简.例6. 计算:（1）53 （2）2723；（3）a28分析：第一步可以把被开方数相除，然后告诉学生被开方数中不能含有分母，数必须是整数，利用分数的基本性质将分母变成完全平方数，开方后移到根号外；也可以直接模仿分数的基本性质和公式a a =2)(，)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ，以去掉分母中的根号.（三）最简二次根式概念活动5、让学生观察所做习题结果，总结归纳结果的特点，得到最简二次根式的概念.分析概念：1.被开方数不含分母的含义指-----因数是整数，因式是整式；2.被开方数中不能含开得尽方的因数是指----被开方数不能分解出完全平方数；被开方数中不含开得尽方的因式是指----被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2，因此，每一个因式的指数都是1.完成课本例7 补充：化简2442y x y x +注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和.三、课堂训练完成课本练习.补充： 1.1111-+=-+x x x x 成立，求x的取值范围.2.找出下列根式中的最简二次根式3xx 8 26x 22y x + 1.03.判断下列等式是否成立34916+=+ 56952= 2323= 212214= 四、小结归纳1.二次根式除法公式的双向运用；2.进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法.3.最简二次根式概念五、作业设计必做：P10：2、3（3）（4）、5、6、7选做：P11：8、9、10教学课题：16.3二次根式的加减（第1课时） 教学课型：新授课教学目标：1.知道在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立.2.能熟练将二次根式化简成最简二次根式.3.会运用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算教学重点：二次根式加减法运算方法教学难点：二次根式的化简，合并被开方数相同的最简二次根式教学过程一、复习引入上节课学习了二次根式的乘除法，这节课学习二次根式的加减法运算.二、探究新知(一)二次根式加减法法则活动1、类比计算，说明理由① 2a +3a ； 2322+. ② 2a -3a ；2322-. ③123+ ；1812+ ○412515-+思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？（2）二次根式的加减运算与整式的加减运算相同之处是什么？（3） 什么样的二次根式能够合并？（4）模仿整式的加减运算怎样进行二次根式的加减运算？活动2、给出二次根式的加减法法则分析法则：二次根式加减时，先将非最简二次根式化为最简二次根式，再逆用乘法分配律将被开方数相同的二次根式进行合并.被开方数不同的最简二次根式不能合并，作为最后结果中的部分.练习：①课本例1，补充 （3）182- （4）821- ②课本例2，补充 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6812124分析说明：①中补充（3）结果为负，（4）含分数线，作为例1，例2的过渡。
②中补充括号前是负号的.(二)二次根式加减的应用1.课本引例分析：这个实际问题的解决方法可能不同，还可以先估算两个正方形的边长，，再把它们的和与木板的长比较.三、课堂训练完成课本练习补充：1.下列各组二次根式中，化简后被开方式相同的是（） A.2ab ab 与 B. 2222n m n m -+与 C.n m mn 11+与 D.29984343b a b a 与 2.二次根式的计算为什么先学乘除，后学加减？还有哪块知识也是如此？四、小结归纳1.进行二次根式加减运算的一般步骤.2.二次根式的熟练化简.3.二次根式加减的实际应用.五、作业设计必做：P15：1、2、3选做：5补充作业：计算:（1）223-； （2）27122+；（3）2918-； （4）x x 2242+； （5）3222x a x -； （6）23218+-； （7）108965475-+-； （8）)272(43)32(21--+教学课题：16.3二次根式的加减（第2课时） 教学课型：新授课教学目标：1.在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算2.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比较，注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．并感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性.3.在运算中运用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，体会二次根式的运算与整式的运算的联系. 教学重点：混合运算的法则，运算律的合理使用教学难点：灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便教学过程一、复习引入导语设计：到目前为止，我们已经学习了二次根式的乘除、加减运算，这节课来学习二次根式的混合运算.二、探究新知(一)二次根式混合运算法则活动1、类比计算，说明理由①(2a +3b)a ； ( 3322+)6 ②(2a +3b)(a -b)； ()()3262+- ③(3a b-4a 2 )÷a ； ()3126÷+思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？（2）二次根式的混合运算与整式的混合运算相同之处是什么？（3）左边式子中的字母a 、b 可以表示二次根式吗？（4）模仿整式的混合运算怎样进行二次根式的混合运算？活动2、给出二次根式的混合运算的一般步骤.分析法则：（1）进行二次根式混合运算时，运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）.（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则仍然适用，整式、分式的运算法则仍然适用。