菱形性质和判定课件
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北师大版九年级数学上册教学课件:1.1菱形的性质与判定 (共36张PPT)
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点二 菱形判定方法的综合应用 例2 (2016· 沈阳)如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连 接DE.求证:
(1)∠CEB=∠CBE; (2)四边形BCED是菱形. 分析:(1)欲证明∠CEB=∠CBE,只要证明∠CEB=∠ABD, ∠CBE=∠ABD即可. (2)先证明四边形BCED是平行四边形,再根据BC=BD即可判定.
分析:根据AB=AD及AE为∠BAD的平分线可得出∠1=∠2,从而证 得△BAE≌△DAE,这样就得出四边形ABED为平行四边形,然后根据 菱形的判定定理即可得出结论.
知识点一
知识点二
知识点三
证明:如图,∵AE平分∠BAD, ∴∠1=∠2. ∵AB=AD,AE=AE, ∴△BAE≌△DAE.∴BE=DE. ∵AD∥BC,∴∠2=∠3=∠1. ∴AB=BE. ∴AB=BE=DE=AD. ∴四边形ABED是菱形.
1识点二
知识点三
知识点一 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 名师解读 几何中的定义都有两重性:一是可作为一条性质,二是 可作为一条判定. (1)根据菱形的定义,判断一个四边形是菱形必须同时具备两个 条件: ①四边形是平行四边形; ②四边形有一组邻边相等. (2)由菱形的定义可知,一个四边形是菱形,则具有如下性质: ①菱形是平行四边形; ②菱形有一组邻边相等.
知识点一
知识点二
知识点三
例2 (2016· 淮安)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,F分别为边 CD,AD的中点,连接AE,CF,求证:△ADE≌△CDF. 分析:由菱形的性质得出AD=CD,由中点的定义证出DE=DF,由 SAS证明△ADE≌△CDF即可. 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD, ∵点E,F分别为边CD,AD的中点, ∴AD=2DF,CD=2DE,∴DE=DF,
《菱形的性质与判定》课件
关于顶点角
菱形的顶点角是锐角或钝角, 但不可能是直角。
判定条件
1 条件一:四条边相等
菱形的四条边都必须相等长度。
2 条件二:对角线相互垂直
菱形的对角线必须相互垂直。
3 条件三:对角线平分对方
菱形的对角线必须平分对方,即每条对角线的中点都是菱形的顶点之一:检查边长
菱形对角线
你可以看到,菱形的对角线相互垂 直且平分对方。
实例分析
例子一:蓝色菱形
这个蓝色的图形是一个菱形, 因为它的边长相等,并且它的 对角线相互垂直且平分对方。
例子二:红色非菱形
这个红色的图形不是菱形,因 为它的边长不相等,对角线也 不相互垂直。
例子三:绿色非菱形
这个绿色的图形不是菱形,因 为虽然它的边长相等,但对角 线不相互垂直。
《菱形的性质与判定》课 件
欢迎来到《菱形的性质与判定》课件!在本节课中,我们将探索菱形的定义、 性质以及判定条件。让我们一起开始这个充满惊喜的学习之旅吧!
性质与定义
什么是菱形?
菱形是四边形的一种特殊形式, 它的四条边都相等。
菱形的性质
菱形的对角线相互垂直且平分 对方,而且每条对角线的中点 都是菱形的顶点之一。
总结与应用
菱形是一种特殊的四边形,它具有四条相等的边,对角线相互垂直且平分对 方。通过检查边长、对角线和对角线的中点,我们可以判断一个四边形是否 为菱形。掌握菱形的性质和判定条件有助于我们在几何学和实际生活中应用 这些知识。
确保四边形的四条边长度相等。
2
步骤二:检查对角线
验证四边形的对角线是否相互垂直。
3
步骤三:检查对角线的中点
确认四边形的对角线是否平分对方,并检查对角线的中点是否与顶点重合。
1.1 菱形的性质与判定(一).1 菱形的性质与判定(1)课件
菱形
如果改变了边的长度,使两邻边相等,那么 这个平行四边形成为怎样的四边形?
定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
AB=BC ABCD
.
四边形ABCD是菱形
想一想
菱形是特殊的平行四边形, 它具有一般平行四边形的所有性质。你 能列举一些这样的性质吗?
菱形的对边平行且相等,对角相 等,对角线互相平分。
§1.1
菱形的性质与判定
菱形
情 景 创 设
前面我们学习了平行 四边形,如果从边的角 度,将平行四边形特殊化, 让它的一组邻边相等, 会得到什么特殊的四边 形呢?
在平行四边形中,如果内角大小保持不变,仅 改变边的长度,请仔细观察和思考,在这变化过程 中,哪些关系没变?哪些关系变了?
平行四边形 邻边相等
A B
D
菱形的性质2:
菱形的两条对角线互相垂 直平分,并且每一条对角 线平分一组对角。
C
性质1 菱形的四条边都相等。 性质2 菱形的两条对角线互相垂直。
已知:如图1-1,在菱形ABCD中,AB=AD, 对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB=BC=CD=AD; (2)AC⊥BD.
已知:如图1-1,在菱形ABCD 中,AB=AD,对角线AC与BD相交 于点O. 求证:(1)AB=BC=CD=AD; (2)AC⊥BD.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
AE
∴∠AED=900, DE
1 1 BD 10 5cm . 2 2 AD2 DE 2 132 52 12cm.
B
A
∴AC=2AE=2×12=24(cm). (2)菱形ABCD的面积=
1 BD AC 2 1 10 24 120 cm 2 . 2
如果改变了边的长度,使两邻边相等,那么 这个平行四边形成为怎样的四边形?
定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
AB=BC ABCD
.
四边形ABCD是菱形
想一想
菱形是特殊的平行四边形, 它具有一般平行四边形的所有性质。你 能列举一些这样的性质吗?
菱形的对边平行且相等,对角相 等,对角线互相平分。
§1.1
菱形的性质与判定
菱形
情 景 创 设
前面我们学习了平行 四边形,如果从边的角 度,将平行四边形特殊化, 让它的一组邻边相等, 会得到什么特殊的四边 形呢?
在平行四边形中,如果内角大小保持不变,仅 改变边的长度,请仔细观察和思考,在这变化过程 中,哪些关系没变?哪些关系变了?
平行四边形 邻边相等
A B
D
菱形的性质2:
菱形的两条对角线互相垂 直平分,并且每一条对角 线平分一组对角。
C
性质1 菱形的四条边都相等。 性质2 菱形的两条对角线互相垂直。
已知:如图1-1,在菱形ABCD中,AB=AD, 对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB=BC=CD=AD; (2)AC⊥BD.
已知:如图1-1,在菱形ABCD 中,AB=AD,对角线AC与BD相交 于点O. 求证:(1)AB=BC=CD=AD; (2)AC⊥BD.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
AE
∴∠AED=900, DE
1 1 BD 10 5cm . 2 2 AD2 DE 2 132 52 12cm.
B
A
∴AC=2AE=2×12=24(cm). (2)菱形ABCD的面积=
1 BD AC 2 1 10 24 120 cm 2 . 2
1.菱形的性质与判定第1课时菱形的性质PPT课件(北师大版)
新知导航
2.如图,菱形ABCD的边长为4 cm,对角线AC,BD 交于O,∠BAD=60°.求对角线AC,BD的长.
解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,∵∠BAD=60°, ∴△ABD是等边三角形, ∴BD=AB=4 cm ∴BO=2 cm,∴AO=2 3 cm,∴AC=4 3 cm
第1课时 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
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知识点3:对角线平分对角
【例3】如图,菱形ABCD中,O是对角线AC上一点,
连接OB,OD,求证:OB=OD.
【例3】证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB,∠DAO=∠BAO AD=AB
在△ADO和△ABO中, ∠DAO=∠BAO , AO=AO
∴△ADO≌△ABO(SAS),∴OB=OD.
第1课时 菱形的性质
新知导航
(一)基础呈现 菱形的定义:有一组邻边 相等 的 平行四边形 叫做 菱形. 菱形的性质 (1)菱形具有平行四边形的所有性质; (2)菱形不同于一般平行四边形的性质: ①四条边都 相等 ; ②两条对角线 垂直平分 ,并且每条对角线平分对角. ③菱形是轴对称图形,有 2 条对称轴.
(2)平行四边形的对角
相等
.
(3)平行四边形的对角线 互相平分 .
第1课时 菱形的性质
知识回顾
几何语言 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴(边)__如__A__B_=__C_D_________________________; (角)____∠__A__=__∠__C_________________________; (对角线)__O_A__=__O_C_,__O__B_=__O_D__等______________.
第1课时 菱形的性质
北师大版九年级数学上册1.1 菱形的性质与判定课件 (共41张PPT)
建立模型,探索新知
探究2:证明菱形的性质 菱形的四条边相等,菱形的对角线互相垂直. 小组讨论:要严格证明这两个结论, 1. 有哪些“〞条件? 2. “求证〞什么? 3. “证明〞过程如何?
建立模型,探索新知
:如图,在菱形ABCD中,AB=AD,对角线 AC与BD相交于点O.
求证:〔1〕AB=BC=CD=AD; 〔2〕AC⊥BD.
活动2 探究菱形的判定方法二 用一长一短的两根细木条,在它们的中点处固定
一个小钉,做成一个可动的十字,四周围上一根橡皮 筋,做成一个四边形.
示意图
建立模型,探索新知
〔1〕转动木条,这个四边形总有什么特征? 你能证明你发现的结论吗?
建立模型,探索新知
〔2〕继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的 四边形变成菱形?
2 菱形的判定和面积
回忆复习,导入新课
菱形的定义: 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 菱形的性质: ① 两条对角线互相垂直平分;
② 四条边都相等; ③ 每条对角线平分一组对角; ④ 菱形是一个中心对称图形,也是一
个轴对称图形.
回忆复习,导入新课
平行四边形的判定方法有哪些? 边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
1 BD AC 2
1 10 24 2
菱形的面积等于对角线之积的一半.
120(cm2 ).
归纳总结,提升认识
四条边都相等 对角线互相垂直平分
归纳总结,提升认识
• 整节课你有什么感悟? • 探索总结了什么规律? • 对某些知识点你还有什么困惑? • 你有什么新发现? • 你学到了什么数学思想方法?
面积 =2 × △ABD的面积 2 1 BD AE 2 1 1012
2
2
北师大版数学九年级上册1.1菱形的性质与判定课件(共17张PPT)
1
1
OB=OD= 2 BD = 2 ×6=3(菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形ABC中,
A
O
C
∵∠BAD=60°, D
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6.
三、运用新知
在RtΔAOB中,由勾股定理,得
B
OA 2 +OB 2=AB 2,
O
∴OA = AB2 OB2 = 62 32= 3 3 .
∴CB=CD, CA平分∠BCD.
∴∠BCE=∠DCE.
又 CE=CE,
C
∴△BC E≌△COB(SAS).
B F
E
A
∴∠CB E=∠CDE.
D
∵在菱形ABCD中,AB∥CD,
∴∠AFD=∠FDC.
∴∠AFD=∠CBE.
五、归纳小结
1. 菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2. 菱形的性质:①菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在 的直线;
观察 发现
观察下列图中的这些平行四边形,你能发现它 们有什么样的共同特征?
一、创设情境,引入新知
菱形的定义: 与一般的平行四边形相比较,这种平行四边形特殊在
哪里?你能给菱形下定义吗?
平行四边形
菱形
菱形:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质:
二、合作交流,探究新知
想一想: 1. 菱形与平行四边形有什么关系?
二、合作交流,探究新知 32 C.
对称轴之间有什么位置关系? 求证:∠AFD=∠CBE.
为BC,CD的中点,那么∠EAF 的度数是( ) 菱形中已知边长或对角线,求相关长度问题,一般利用菱形的对角线垂直平分,再结合勾股定理解题. ∴AB = BD = 6.
菱形性质与判定优秀课件
(2)若AC=BD,则□ABCD是 矩形;
(3)若∠ABC是直角,则□ABCD是菱 形; (4)若∠BAO=∠DADO,则□ABCD是C 形。
O
A
B
3、选择:
(1).下列命题中正确的是( C)
A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
A
B
D 已知:AB=BC=CD=DA 求证:四边形ABCD是菱形
C
∵AB=CD,BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边
形
∵AB=CD
∴四边形ABCD是菱形
(有一组邻边相等的平行
四边形是菱形)
菱形常用的判定方法:
①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
+邻边相等 =
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
+对角线线互相垂直=
证明 ∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AE∥FC( ①
)
∴ ∠1=∠2.( ② )
∵ EF平分AC,
∴ AO=OC.
又∵ ∠AOE=∠COF=90°,
∴ △AOE≌△COF( ③ ),
∴ EO=FO,
∴ 四边形AFCE是平行四边形( ④ )
又∵EF⊥AC,
∴ 四边形AFCE是菱形( ⑤ )
判定定理3:四条边都相等的四边形是菱形
③有四条边相等的四边形是菱形。
四条边相等+
=
菱形的判定:
判定 法一
文字语言
一组邻边相 等的平行四 边形是菱形
图形语言
A
D
B
C
符号语言
∵在□ABCD中
AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
(3)若∠ABC是直角,则□ABCD是菱 形; (4)若∠BAO=∠DADO,则□ABCD是C 形。
O
A
B
3、选择:
(1).下列命题中正确的是( C)
A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
A
B
D 已知:AB=BC=CD=DA 求证:四边形ABCD是菱形
C
∵AB=CD,BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边
形
∵AB=CD
∴四边形ABCD是菱形
(有一组邻边相等的平行
四边形是菱形)
菱形常用的判定方法:
①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
+邻边相等 =
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
+对角线线互相垂直=
证明 ∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AE∥FC( ①
)
∴ ∠1=∠2.( ② )
∵ EF平分AC,
∴ AO=OC.
又∵ ∠AOE=∠COF=90°,
∴ △AOE≌△COF( ③ ),
∴ EO=FO,
∴ 四边形AFCE是平行四边形( ④ )
又∵EF⊥AC,
∴ 四边形AFCE是菱形( ⑤ )
判定定理3:四条边都相等的四边形是菱形
③有四条边相等的四边形是菱形。
四条边相等+
=
菱形的判定:
判定 法一
文字语言
一组邻边相 等的平行四 边形是菱形
图形语言
A
D
B
C
符号语言
∵在□ABCD中
AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
菱形性质与判定课件ppt
面积计算
菱形面积的计算公式为
面积 = (对角线1 × 对角线2) / 2。由于菱形的对角线互相垂直且平分,因此可以使用此公式来计算面积。
另一种计算菱形面积的方法是
面积 = 底 × 高。在这里,底是菱形的一条边,高是从这条边到对角顶点的垂直距离。
周长计算
01
菱形的周长计算公式为:周长 = 4 × 边长。由于菱形的四条边都相等, 因此可以使用此公式来计算周长。
建筑学中的应用
建筑设计
菱形结构在建筑设计中常被用作装饰元素,如菱形窗格、菱形图案的墙面等,增加建筑物的美感和独特性。
空间划分
菱形地砖、菱形玻璃等可以用于室内空间划分,创造出独特视觉效果,同时起到引导人流、划分功能区域的作用。
工程学中的应用
结构工程
菱形结构具有较好的稳定性和承重能力,在桥梁、道路、隧道等工程建设中,菱形结构 常被用于增强结构的稳定性和承载能力。
邻边互相垂直且相等判定
邻边互相垂直
菱形的任意一组邻边互相垂直,因此 可以通过测量任意一组邻边的夹角是 否为90度来判断一个四边形是否为菱 形。
邻边长度相等
除了互相垂直外,菱形的任意一组邻 边的长度还相等。这也是菱形的一个 基本性质。
03
菱形与其他四边形的比较
与矩形的关系
01
02
03
边的性质
菱形的对边相等,与矩形 相同;但菱形的邻边也相 等,这是矩形不具备的性 质。
角度关系
两组对角相等,即∠A=∠C,∠B=∠D;邻角互补,即∠A+∠B=180°, ∠B+∠C=180°。
对角线性质
对角线互相垂直: AC⊥BD。
对角线长度关系:对 角线长度不一定相等 ,但满足 AC²+BD²=4AB²。
菱形的性质与判定说PPT课件
b
2a
a
b
2
ba
3 开放训练 深化认识
拼图活动 问题3:不通过剪拼,你能直接在菱形中证
明这一结论吗?
D
A
O
C
B
4 实践应用 强化新知
例题:
菱形ABCD的两条对角线BD=6cm, AC=8cm, 求菱形ABCD的周长和面积.
D
转化
A
O
C
B
4 实践应用 强化新知
变式例训题练::
菱形ABCD的两条对角线BD=6cm,
活动二 探究菱形的性质
汇报展示
对边平行
是轴对称图形
对角相等
四条边都相等
对角线互相平分
对角线互相垂直
每一条对角线 平分一组对角
2 自主探究 感悟新知
活动二 探究菱形的性质
类比平行四边形的性质,从边、角、对角线、
对称性四方面有条理的将结论进行归纳.
D
边: 四条边都相等
对边平行
角几何:语言:对角相等
A
O
板书设计
1.1 菱形(一)
1、菱形的定义 2、菱形的性质
A
例题
D
O
C 习题
同理: AC平分∠BCD;
A
O
C BD平分∠ABC和∠ADC.
B
2 自主探究 感悟新知
操作观察
猜想归纳
推理论证
菱形作为特殊的平行四边形,除具有平行四边 形的一切性质外,还具有特殊性质:
1、菱形的四条边都相等.
2、菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角 线平分一组对角.
3、菱形是轴对称图形
2 自主探究 感悟新知
菱形的定义: 有一组邻边相等 的平行四边形叫 做菱形.
菱形的性质与判定ppt课件
四边形
_______.
【探究提升】 取两张短边长度相等的平行四边形纸条和
< , ≤ ,其中 = ,∠ = ∠,将它们按图2放
置,落在边上,,与边分别交于点,.求证:四边形
是菱形.
证明:∵ 四边形纸条和是
折叠,使得落在边上,折痕为,
展平纸片.如图2,再次折叠该三角形
纸片,使点与点重合,折痕为,再
次展平后连接,.求证:四边形是菱形.
证明:由第一次折叠,得为∠
的平分线.∴ ∠ = ∠.
由第二次折叠,得∠ = ∠,
= , = .
= = = = , = .若∠ = ∘ ,则
∠的度数为( B )
A.∘
B.∘
C.∘
D.∘
第10题图
11.
如图,将△ 沿着方
向平移得到△ ,只需添加一个条件即可证
明四边形是菱形,这个条件可以是
= (答案不唯一)
∴ 四边形为菱形.
第7题图
(2)求的长.
解:∵ 四边形为菱形,
∴ = = , = , ⊥ .
在 △ 中, = − = ,
∴ = = .
第7题图
8.张师傅应客户要求加工4个菱形零件,在交付客户之前,张师傅需要对
4个零件进行检测,根据零件的检测结果,图中有可能不合格的零件是
( C )
A.
B.
C.
D.
9.(2023洛阳期中改编)如图1,四边形
是菱形,在直线上找两点,,
使四边形是菱形,则甲、乙两个方
案( C )
A.甲对,乙错
B.乙对,甲错
C.甲、乙都对
D.甲、乙都错
10.如图,四边形内有一点,
_______.
【探究提升】 取两张短边长度相等的平行四边形纸条和
< , ≤ ,其中 = ,∠ = ∠,将它们按图2放
置,落在边上,,与边分别交于点,.求证:四边形
是菱形.
证明:∵ 四边形纸条和是
折叠,使得落在边上,折痕为,
展平纸片.如图2,再次折叠该三角形
纸片,使点与点重合,折痕为,再
次展平后连接,.求证:四边形是菱形.
证明:由第一次折叠,得为∠
的平分线.∴ ∠ = ∠.
由第二次折叠,得∠ = ∠,
= , = .
= = = = , = .若∠ = ∘ ,则
∠的度数为( B )
A.∘
B.∘
C.∘
D.∘
第10题图
11.
如图,将△ 沿着方
向平移得到△ ,只需添加一个条件即可证
明四边形是菱形,这个条件可以是
= (答案不唯一)
∴ 四边形为菱形.
第7题图
(2)求的长.
解:∵ 四边形为菱形,
∴ = = , = , ⊥ .
在 △ 中, = − = ,
∴ = = .
第7题图
8.张师傅应客户要求加工4个菱形零件,在交付客户之前,张师傅需要对
4个零件进行检测,根据零件的检测结果,图中有可能不合格的零件是
( C )
A.
B.
C.
D.
9.(2023洛阳期中改编)如图1,四边形
是菱形,在直线上找两点,,
使四边形是菱形,则甲、乙两个方
案( C )
A.甲对,乙错
B.乙对,甲错
C.甲、乙都对
D.甲、乙都错
10.如图,四边形内有一点,
菱形的性质和判定ppt课件
观察 下面的图形中有你熟悉的吗?
读一读
越王勾践剑,一把在地下埋藏 了2000多年的古剑,出土时依然寒 气逼人,毫无锈蚀,锋利无比,稍 一用力,便可将多层白纸划破,剑 身上整齐排列的黑色菱形暗花纹。
平行四边形再认识
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
师生互动
将一张长方形的纸对折、再对折, 然后沿图中的虚线剪下,打开即得一个菱形.
4.对角线互相垂直且平分的四边形是(C)
A.矩形
B.一般的平行四边形
C.菱形
D.以上都不对
5.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是(C)
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分
B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD
D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的,应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失,增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
A
D
O
E
B
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的,应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失,增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
3.如图,△ABC中,AC的垂直平分线MN 交AB于点D,交AC于点O,CE∥AB交MN 于点E,连接AE、CD. 求证:四边形ADCE是菱形
证明: ∵四边形ABCD是 B 平行四边形
∴OA=OC
O
D
C
又∵ AC ⊥ BD;
∴BA=BC
∴ ABCD是菱形
探究二 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的,应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失,增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
读一读
越王勾践剑,一把在地下埋藏 了2000多年的古剑,出土时依然寒 气逼人,毫无锈蚀,锋利无比,稍 一用力,便可将多层白纸划破,剑 身上整齐排列的黑色菱形暗花纹。
平行四边形再认识
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
师生互动
将一张长方形的纸对折、再对折, 然后沿图中的虚线剪下,打开即得一个菱形.
4.对角线互相垂直且平分的四边形是(C)
A.矩形
B.一般的平行四边形
C.菱形
D.以上都不对
5.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是(C)
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分
B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD
D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的,应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失,增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
A
D
O
E
B
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的,应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失,增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
3.如图,△ABC中,AC的垂直平分线MN 交AB于点D,交AC于点O,CE∥AB交MN 于点E,连接AE、CD. 求证:四边形ADCE是菱形
证明: ∵四边形ABCD是 B 平行四边形
∴OA=OC
O
D
C
又∵ AC ⊥ BD;
∴BA=BC
∴ ABCD是菱形
探究二 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的,应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失,增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
1.菱形的性质与判定课件
四、巩固练习
2.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,
则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( B )
A.BA=BC B.AC,BD互相平分 C.AC=BD D.AB∥CD
四、巩固练习
3.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是 ( C)
A. AC⊥BD ,AC与BD互相平分
B
B. AB=BC=CD=DA
已知:四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形.
证明:在四边形ABCD中,AB=CD,BC=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=BC,
A
∴平行四边形ABCD是菱形.
B
D C
菱形的判定方法三
定理:四条边相等的四边形是菱形
几何语言: A
∵四边形ABCD中
AB=BC=CD=DA B
证明:∵四边形ABCD是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ行四边形
∴AB∥CD
∴ ∠ ABD= ∠BDC
A
∵ BD平分∠ABC
∴ ∠ ABD= ∠CBD
B
∴ ∠BDC= ∠CBD
D
∴AB=AD
C
∴四边形ABCD是菱形.
四、巩固练习
1. 如图,要使□ ABCD成为菱形,则需添加的一个
条件是( B )
A. AC=AD B. BA=BC C. ∠ABC=90° D. AC=BD
北师大版九年级上册
第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定(二)
一、复习回顾
A
B 回顾:菱形有什么性质?
D
C
菱形的性质
轴对称 既是中心对称图形又是轴对称图形
边 1.对边平行且相等;2.四条边都相等
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③有四条边相等的四边形是菱形。
四条边相等+
=
菱形的判定:
判定 法一
文字语言
一组邻边相 等的平行四 边形是菱形
图形语言
A
D
B
C
符号语言
∵在□ABCD中
AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
判定 对角线互相垂直
的平行四边形是
法二 菱形
判定
四边相等的四边 形是菱形
法三
A
D
O
BC
A
D
B
C
∵在□ABCD中
AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
D
O
A
C
B
牛刀小试
1.菱形具有而矩形不一定有的性质是 ( B )
(A) 对角线互相平分 (B) 四条边都相等
(C) 对角相等
(D) 邻角互补
【菱形的面积公式】
A
菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗
B
O
D
E
C
S菱形=BC. AE
思考:计算菱形的面积除了上述方法外,利 用对角线能计算菱形的面积吗?
(2).对角线互相垂直且平分的四边形是( C)
A.矩形
B.一般的平行四边形
C.菱形
D.以上都不对
(3).下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是(C )
A D
O
B
EC
当堂检测:
1、判断下列说法是否正确?为什么?
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形; ( )╳
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形;(√)
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等
的四边形是菱形;
()
╳
D
A
∟
C
B
A
C
B
D
2、□ABCD的对角线AC与BD相交于点
O,
菱
(1)若AB=AD,则□ABCD是矩 形;
AB
E、F分别为BC,CD的中点,那么∠EAF
的度数是( )
B
B
D
A.75°B.60°C.45°D.30°
E
F
C
6 已知:如图,AD平分∠BAC, DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.
求证:EF⊥AD;
A
E
12
F
3
B
D
C
7、如图,E为菱形ABCD边BC上一点, 且AB=AE,AE交BD于O,且 ∠DAE=2∠BAE, 求证:EB=OA;
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
A D
1.已知菱形的周长是12cm,那 O
么它的边长是__3_c_m__.
C
2.菱形ABCD中∠ABC=60度, B
则∠BAC=__6_0_度___.
D
3则、菱菱形形的的面两积条是对(角线长)分C 别为6cm和8cAm,4
3
O
C
A.10 B.7 C. 24 D.48 4.在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,
轴对称:有两条对称轴 即:两条对角 线所在的直线
已知四边形ABCD是菱形
A
D
相等的线段:AB=CD=AD=BC
12
7 8
OA=OC OB=OD
5 6
O
34
相等的角:∠DAB=∠BCD ∠ABC =B∠CDA
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2 =∠3=∠4 ∠5=∠6 ∠7=∠8
求证:四边形ABCD是菱形.
证明:在 ABCD 中,OA=OC
(
①
).
又∵AC⊥BD,
∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线,
∴ AB=BC,
∴ 四边形ABCD是菱形
(
②
).
例 已知:矩形ABCD的对角线AC的垂 直平分线与边AD、BC分别交于点E、 F,求证:四边形AFCE是菱形
证明 ∵ 四边形ABCD是矩形,
菱形的性质1:菱形的四条边都相等。
A
D
AB=BC=CD=AD
B
C
菱形的性质2:
菱形的两条对角线互相垂直,每一条对角
线平分一组对角。
D
已知:在菱形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O.
A
O
C求证:AC⊥BD,
AC平分∠BAD和∠BCD,
B
BD平分∠ABC和∠ADC.
四边形 ABCD 是菱形 ABCD
等腰三角形有:△ABC △ DBC △ACD △ABD
直角三角形有:Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
Rt△DOA
全等三角形有:Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
.
例1.在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交 于. 点O, ∠BAC=30°,BD=6.求菱形的边 长和对角线AC的长.
(2)若AC=BD,则□ABCD是 矩形;
(3)若∠ABC是直角,则□ABCD是菱 形; (4)若∠BAO=∠DADO,则□ABCD是C 形。
O
A
B
3、选择:
(1).下列命题中正确的是( C)
A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
S菱形ABCD== SABDSBCD12 BDAC
面积:S菱形=底×高=对角线乘积的一半
菱形判定方法的研究
A
B
D
C 判定方法1:有一组邻边相等 的平行四边形是菱形
∵ 四边形ABCD是平行四边形 AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
已知 ABCD中,对角线AC、BD互 相垂直,
DA DC 对角线 AC, BD 互相平分 O是AC 的中点
由此你能得出菱形的的对称 性吗?
BD AC, BD 平分 ADC
边 对边平行且相等
A
四条边都相等
角 菱形的对角相等,邻角互补
D
O
C
B
两条对角线互相平分且垂直 对角线 每一条对角线平分一组对角
对称性
中心对称:对角线的交点就是对称中心
D 已知:AB=BC=CD=DA 求证:四边形ABCD是菱形
C
∵AB=CD,BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边
形
∵AB=CD
∴四边形ABCD是菱形
(有一组邻边相等的平行
四边形是菱形)
菱形常用的判定方法:
①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
+邻边相等 =
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
+对角线线互相垂直=
观察以下由火柴棒摆成的图形:
议一议:(1)三个图形都是平行四边形吗? (2)与图1相比,图2与图3有什么共同特点?
定义法
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
一组邻边相等
平行四边形
菱形
一个直角
矩形
菱形具 赏
菱形的性质的研究 菱形是特殊的平行四边形,具有平行四 边形的所有性质.
∴ AE∥FC( ①
)
∴ ∠1=∠2.( ② )
∵ EF平分AC,
∴ AO=OC.
又∵ ∠AOE=∠COF=90°,
∴ △AOE≌△COF( ③ ),
∴ EO=FO,
∴ 四边形AFCE是平行四边形( ④ )
又∵EF⊥AC,
∴ 四边形AFCE是菱形( ⑤ )
判定定理3:四条边都相等的四边形是菱形
A
B
四条边相等+
=
菱形的判定:
判定 法一
文字语言
一组邻边相 等的平行四 边形是菱形
图形语言
A
D
B
C
符号语言
∵在□ABCD中
AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
判定 对角线互相垂直
的平行四边形是
法二 菱形
判定
四边相等的四边 形是菱形
法三
A
D
O
BC
A
D
B
C
∵在□ABCD中
AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
D
O
A
C
B
牛刀小试
1.菱形具有而矩形不一定有的性质是 ( B )
(A) 对角线互相平分 (B) 四条边都相等
(C) 对角相等
(D) 邻角互补
【菱形的面积公式】
A
菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗
B
O
D
E
C
S菱形=BC. AE
思考:计算菱形的面积除了上述方法外,利 用对角线能计算菱形的面积吗?
(2).对角线互相垂直且平分的四边形是( C)
A.矩形
B.一般的平行四边形
C.菱形
D.以上都不对
(3).下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是(C )
A D
O
B
EC
当堂检测:
1、判断下列说法是否正确?为什么?
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形; ( )╳
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形;(√)
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等
的四边形是菱形;
()
╳
D
A
∟
C
B
A
C
B
D
2、□ABCD的对角线AC与BD相交于点
O,
菱
(1)若AB=AD,则□ABCD是矩 形;
AB
E、F分别为BC,CD的中点,那么∠EAF
的度数是( )
B
B
D
A.75°B.60°C.45°D.30°
E
F
C
6 已知:如图,AD平分∠BAC, DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.
求证:EF⊥AD;
A
E
12
F
3
B
D
C
7、如图,E为菱形ABCD边BC上一点, 且AB=AE,AE交BD于O,且 ∠DAE=2∠BAE, 求证:EB=OA;
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
A D
1.已知菱形的周长是12cm,那 O
么它的边长是__3_c_m__.
C
2.菱形ABCD中∠ABC=60度, B
则∠BAC=__6_0_度___.
D
3则、菱菱形形的的面两积条是对(角线长)分C 别为6cm和8cAm,4
3
O
C
A.10 B.7 C. 24 D.48 4.在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,
轴对称:有两条对称轴 即:两条对角 线所在的直线
已知四边形ABCD是菱形
A
D
相等的线段:AB=CD=AD=BC
12
7 8
OA=OC OB=OD
5 6
O
34
相等的角:∠DAB=∠BCD ∠ABC =B∠CDA
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2 =∠3=∠4 ∠5=∠6 ∠7=∠8
求证:四边形ABCD是菱形.
证明:在 ABCD 中,OA=OC
(
①
).
又∵AC⊥BD,
∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线,
∴ AB=BC,
∴ 四边形ABCD是菱形
(
②
).
例 已知:矩形ABCD的对角线AC的垂 直平分线与边AD、BC分别交于点E、 F,求证:四边形AFCE是菱形
证明 ∵ 四边形ABCD是矩形,
菱形的性质1:菱形的四条边都相等。
A
D
AB=BC=CD=AD
B
C
菱形的性质2:
菱形的两条对角线互相垂直,每一条对角
线平分一组对角。
D
已知:在菱形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O.
A
O
C求证:AC⊥BD,
AC平分∠BAD和∠BCD,
B
BD平分∠ABC和∠ADC.
四边形 ABCD 是菱形 ABCD
等腰三角形有:△ABC △ DBC △ACD △ABD
直角三角形有:Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
Rt△DOA
全等三角形有:Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
.
例1.在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交 于. 点O, ∠BAC=30°,BD=6.求菱形的边 长和对角线AC的长.
(2)若AC=BD,则□ABCD是 矩形;
(3)若∠ABC是直角,则□ABCD是菱 形; (4)若∠BAO=∠DADO,则□ABCD是C 形。
O
A
B
3、选择:
(1).下列命题中正确的是( C)
A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
S菱形ABCD== SABDSBCD12 BDAC
面积:S菱形=底×高=对角线乘积的一半
菱形判定方法的研究
A
B
D
C 判定方法1:有一组邻边相等 的平行四边形是菱形
∵ 四边形ABCD是平行四边形 AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
已知 ABCD中,对角线AC、BD互 相垂直,
DA DC 对角线 AC, BD 互相平分 O是AC 的中点
由此你能得出菱形的的对称 性吗?
BD AC, BD 平分 ADC
边 对边平行且相等
A
四条边都相等
角 菱形的对角相等,邻角互补
D
O
C
B
两条对角线互相平分且垂直 对角线 每一条对角线平分一组对角
对称性
中心对称:对角线的交点就是对称中心
D 已知:AB=BC=CD=DA 求证:四边形ABCD是菱形
C
∵AB=CD,BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边
形
∵AB=CD
∴四边形ABCD是菱形
(有一组邻边相等的平行
四边形是菱形)
菱形常用的判定方法:
①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
+邻边相等 =
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
+对角线线互相垂直=
观察以下由火柴棒摆成的图形:
议一议:(1)三个图形都是平行四边形吗? (2)与图1相比,图2与图3有什么共同特点?
定义法
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
一组邻边相等
平行四边形
菱形
一个直角
矩形
菱形具 赏
菱形的性质的研究 菱形是特殊的平行四边形,具有平行四 边形的所有性质.
∴ AE∥FC( ①
)
∴ ∠1=∠2.( ② )
∵ EF平分AC,
∴ AO=OC.
又∵ ∠AOE=∠COF=90°,
∴ △AOE≌△COF( ③ ),
∴ EO=FO,
∴ 四边形AFCE是平行四边形( ④ )
又∵EF⊥AC,
∴ 四边形AFCE是菱形( ⑤ )
判定定理3:四条边都相等的四边形是菱形
A
B