利用对称性计算两类曲面积分时的差异问题
对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用 (2)
的证明相仿， 只要注意到定理 ３ 中△ｘｉ＝－ △ｘｉ′， 定理 ４ 中△ｙｉ＝－ △ｙｉ′， 定理 ５ 中△ｘｉ＝△ｘｉ′， △ｙｉ＝△ｙｉ′即可， 详细证明从略．
定 理 ３ 设 Ｐ（ｘ，ｙ）在 光 滑 或 分 段 光 滑 的 有 向 平
面曲线 Ｌ 上可积， Ｌ 关于直线 ｙ＝ｂ 对称．若Ｐ（ｘ，ｙ）关于
收稿日期： ２００７－ ０６－ １２ 作者简介： 程希旺， 男， 江苏淮阴人， 淮阴师范学院讲师， 硕士， 主要从事基础数学研究．
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程希旺·对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用
点， 则
ｎ
! # ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝ｌｉｍ ［ｆ（!ｉ， "ｉ）△ｓｉ＋ｆ（!ｉ′， "ｉ′）△ｓｉ′］
Ｌ
!→０ ｉ ＝ １
文［１］－ ［４］将 对 称 区 间 上 奇（偶）函 数 的 定 积 分 计 算公式推广到曲线积分和曲面积分的计算上， 得到 了利用积分弧段与积分曲面的对称性和被积函数的 奇偶性计算曲线积分与曲面积分的方法， 使得一些 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 的 计 算 得 到 简 化 ， 但 文［１］－ ［４］ 的结论只适用于积分弧段与积分曲面关于坐标轴或 坐标面对称的情形．本文将文［１］－ ［４］的结果进一步推 广， 得到一些更为一般性的结果， 将这些结果应用于 某些曲线积分与曲面积分的计算将十分方便． １ 预备知识
ｎ
# ＝ｌｉｍ ［ｆ（!ｉ， "ｉ）＋ｆ（!ｉ′， "ｉ′）］△ｓｉ !→０ ｉ ＝ １
当ｆ（ｘ，ｙ）关于直线 ｌ 为奇函数时， ｆ（!ｉ′， "ｉ′）＝－ ｆ（!ｉ， "ｉ）， 有
!ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０； 当ｆ（ｘ，ｙ）关 于 直 线 ｌ 为 偶 函 数 时 ， ｆ（!ｉ′， Ｌ
对称性在积分中的应用
华北水利水电学院数学实践报告华北水利水电学院对称性在积分中的应用学院：环境与市政工程学院专业：建筑环境与设备工程班级：2010108成员：王永辉 201010804朱虹光 201010810余维召 201010811对称性在积分中的应用积分的计算是积分运用中的一个难点.在某些积分的计算过程中，若能利用对称性，则可以简化积分的计算过程.本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的几个结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化重积分，曲线积分，曲面积分的计算方法.另外，对于曲面积分的计算，本文还给出了利用积分曲面关于变量的轮换对称性简化曲面积分的计算，是曲面积分的计算更加便捷.积分的对称性包括重积分，曲线积分，曲面积分的对称性.在积分计算中，根据题目的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分相关的定理和结论，再结合相关的实例进行具体的探讨.本文结合积分域关于平行于坐标轴的直线，平行于坐标面的平面，平行于坐标轴对角线的直线的对称性定义，以及相应对称区域上定理中的函数约定在该区域都连续或偏导数连续定义1： 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称，对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x -),(y x D ∈，则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈⇔),(a x a y --，则D 关于a x y +=对称，称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈⇔),(x a y a --D ∈，则D 关于直线z y ±=对称） 1、 二重积分的对称性定理定理1：设有界闭区域12D D D =,1D 与2D 关于y 或x 轴对称.设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，那么（ⅰ）若),(y x f 是关于y （或x ）的奇函数，则(,)Dif x y d σ⎰⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y （或x ）的偶函数，则Df(x,y)d σ⎰⎰=2(,)Dif x y d σ⎰⎰1(=i ，)2注释：设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续（ⅰ）若D 关于y 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD x y x f d y x f y x f d y x f !),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果σσ其中1D 是D 的右半部分:1D =}0|),{(≥∈x D y x（ii ）若D 关于x 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD y y x f d y x f y x f d y x f 2),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果σσ其中2D 是D 的上半部分：2D =}0|),{(≥∈y D y x定理2：设有界闭区域D 关于x 轴和y 轴均对称，函数),(y x f 在D 上连续且),(y x f 关x 和y 均为偶函数，则⎰⎰⎰⎰=DD d y x f d y x f 3),(4),(σσ其中3D 是D 的第一象限的部分：3D =}0,0|),{(≥≥∈y x D y x 定理3：则设有界闭区域D 关于原点对称，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--=DD D y x f y x f d y x f d y x f y x f y x f d y x f 12),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果σσσ其中1D =}0|),{(≥∈x D y x ，2D =}0|),{(≥∈y D y x 例1：计算⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由下列双纽线围成：(1) )(2)(22222y x y x -=+ (2)xy y x 2)(222=+解：（1）由于)(2)(22222y x y x -=+围成的区域关于x 轴y 轴均对称，而被积函数xy 关于x （或y 轴）为奇函数则有⎰⎰Dxydxdy 0=（2）由)(2)(22222y x y x -=+围成的区域对称于原点，而被积函数xy 是关于x ,y 的偶函数则有⎰⎰Dxydxdy =2⎰⎰1D xydxdy由极坐标知θθsin ,cos r y r x ==，代入xy y x 2)(222=+得θ2sin =r 且由xy 0>，知02sin 212>θr则20πθ≤≤于是⎰⎰Dxydxdy 61cos 2sin 220sin 03=⎰⎰dr r d θθθπθ定理4：设有界闭区域D 关于x y =对称, 函数),(y x f 在D 上连续，则Df(x,y)d σ⎰⎰=(,)Df y x d σ⎰⎰例2：设函数f(x)在]1,0[上的正值连续函数 证明：()()1()()()2Daf x bf y dxdy a b f x f y +=++⎰⎰，其中b a,为常数，1}y x,0|y){(x,D ≤≤=证明：∵积分区域D 关于x y =对称∴(,)(,)DDf x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰设()()()()Daf x bf y I dxdy f x f y +=+⎰⎰由函数关于两个变量()()()()Daf x bf y I dxdy f x f y +=+⎰⎰，以上两式相,得2()DI a b dxdy a b =+=+⎰⎰，从而1()2I a b =+一般地，有以下定理：定理5：设有界闭区域12D D D =，1D 与2D 关于直线0:=++c by ax L 对称， 函数),(y x f 在D 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x f 是关于直线L 的奇函数，则(,)Df x y d σ⎰⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于直线L 的偶函数，则(,)Df x y d σ=⎰⎰2(,)Dif x y d σ⎰⎰1(=i ，)22、三重积分的对称性定理定理6：设空间有界闭区域12Ω=ΩΩ，1Ω与2Ω关于xoy 坐标面对称，函数),,(z y x f 在Ω上连续，那么：（ⅰ）若),,(z y x f 是关于z 的奇函数，则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰=0（ⅱ）若),,(z y x f 是关于z 的偶函数，则：(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰=2⎰⎰⎰Ω1),,(dv z y x f同时，若Ω关于yox 坐标面对称，),,(z y x f 关于奇函数或偶函数；或者若Ω关于xoz 坐标面对称),,(z y x f 关于y 为奇函数或偶函数，同样也有类似结论.例7：求下列曲面所界的均匀物体的重心坐标222x y z a b c++，c z =解： 若令cos ,sin ,x ar y br z z θθ===，则质量为203zcc abcM ab dz d rdr ππθ==⎰⎰⎰设重心坐标为0x ,0y ,o z 由对称性知000==y x ，而o z =22033..44z cc abc cdz d rdr abc ππθπ=⎰⎰⎰于是，重心为点（0,0,34c ） ※曲线积分的对称性1、第一型曲线积分的对称性定理定理7：设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x （或y ）轴对称，函数),(y x f 在L 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x f 是关于y (或x )的奇函数，则(,)f x y ds ⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y (或x )的偶函数，则(,)f x y ds ⎰=2(,)if x y ds ⎰1(i =,)2注：设平面分段光滑曲线L 关于y 轴对称，则10,(,)(,)(,),(,)LL f x y f x y ds f x y ds f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰如果关于变量x 为奇函数2如果关于变量为偶函数其中1L 是L 的右半段：1L =}0|),{(≥∈x D y x定理8：设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x 轴对称且方向相反，函数),(y x p 在L 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x p 是关于x 的偶函数，则(,)p x y dx ⎰0=（ⅱ）若),(y x p 是关于y 的奇函数，则(,)2(,)ip x y dx p x y dx =⎰⎰1(i =,)2例4：求曲线积分[]22()cos(2)sin(2)xy ce xy dx xy dy -++⎰，其中c 是单位圆周221x y +=，方向为逆时针方向解： ∵曲线积分c 可分为上,下两个对称的部分，在对称点),(y x 与),(y x -上， 函数22()cos(2)xy e xy dx -+大小相同，但投影元素dx 在上半圆为负，下半圆为正∴22()cos(2)xy e xy dx -+在对称的两个半圆上大小相等，符号相反故22()cos(2)xy ce xy dx -+⎰0=类似可知22()sin(2)xy ce xy dy -+⎰0=因此[]22()cos(2)sin(2)xy ce xy dx xy dy -++⎰0=定理9：设L 是xoy 平面上关于直线a x =对称的一条曲线弧 （ⅰ）若),(y x f =),2(y x a f --,则(,)Lf x y ds ⎰0=（ⅱ）若),(y x f =),2(y x a f -,则(,)Lf x y ds ⎰=21(,)L f x y ds ⎰})|),{((1a x L y x L ≤∈=例5：计算3(2)LI y y x ds =+-⎰，其中L 是曲线22(2)4x y -+=所围成的回路解： ∵L 关于轴及直线2=x 对称∴3(2)(2)2LLLI y y ds x ds ds =+--+⎰⎰⎰设),(y x f =32y y + 则),(y x f =),(y x f -设 ),(y x g =2-x则),2(y x f --=2-x =),(y x f 即200I ++=lds ⎰=8π2、第二类曲线积分的对称性定理定理1：对于第二类曲线积分还需考虑投影元素的符号.当积分方向与坐标正方向之间的夹角小于2π时，投影元素为正，否则为负.就(,)p x y dx ⎰而言，考察(,)p x y dx 在对称点上的符号定理2：若积分曲线T 关于x ,y ,z 具轮换对称性，则(,,)(,,)(,,)tttp x y z dz p y z x dy p z x y dx ==⎰⎰⎰=13 (,,)(,,)(,,)tp x y z dz p y z x dy p z x y dx ++⎰ 定理3：设L 是xoy 平面上关于a x =对称的一条光滑曲线弧，12L L L =+，任意),(y x ∈L ,有),2(y x a -∈2L ，且1L ，2L 在y 轴投影方向相反，则（ⅰ）若θ),(y x =-θ),2(y x a -,则(,)Lx y dy θ⎰0=（ⅱ）若θ),(y x =θ),2(y x a -,则(,)L x y dy θ⎰=2(,)Lx y dy θ⎰定理3中，若1L ，2L 在x 轴投影方向相同，其他条件不变，则有 （ⅰ）若p ),(y x =-p ),2(y x a -,则(,)Lp x y dx ⎰0=（ⅱ）若θ),(y x =θ),2(y x a -,则(,)Lp x y dx ⎰=21(,)L p x y dx ⎰例：计算I =|2|(2)(1)LLx x y dx -+--⎰⎰,其中抛物线2(2)x -上从)1,1(A 到)1,3(B 的一段弧解：I =|2|(2)(1)LLx x y dx -+--⎰⎰=12I I +因为关于2=x 对称θ),4(y x =|2|-x θ),(y x由定理3有)1)(2(),4(---=-y x y x p =),(y x p -所以2I =0，即12I I I =+0=※曲面积分的对称性定义1：若∀)(),,(321N n R D x x x x p n n n ∈⊂∈⋅⋅⋅⋅⋅有),,(1211111-+⋯⋯i x x x x x x p n)2,1(n i D n ⋯=∈成立，则称n D 关于),,(321n x x x x p ⋅⋅⋅⋅⋅具有轮换对称性.定义2：若函数),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅≡)2,1(n i X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，则称函数),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅关于函数n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅321,,具有轮换对称性. 1、第一类曲面积分对称性定理定理1：若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上被积函数的绝对值相等{即光滑曲面S 关于xoy (或yoz ,或zox )坐标面对称}，则有（ⅰ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰0=,在对称点上),,(z y x f 取相反的符号{即),,(z y x f 关于z(或x ,或y )的奇函数}（ⅱ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰=2(,,)sf x y z ds ⎰⎰，在对称点上),,(z y x f 取相同的符号{即),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数}推论1：若光滑曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+,且关于原点对称， 则（ⅰ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰0=，为关于z (或x ,或y )的奇函数（ⅱ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰=81(,,)s f x y z ds ⎰⎰,),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数例1：计算下列面积的曲面积分，()x y z ds ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上z h ≥)0(a h <<的部分解： 利用对称性知xds yds ∑∑=⎰⎰⎰⎰0=设xy D ={|),(y x 2222x y a h +≤-} 则()x y z ds ∑++⎰⎰=zds ∑⎰⎰=⎰⎰=aDxydxdy ⎰⎰=22()a a h π-例2:计算曲面积分x ∑⎰⎰,其中2222:x y z a ∑++=解： 令22221:x y z a ∑++=，0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤ 则 2221:,0,0D x y a x a y a +≤≤≤≤≤ds ==∑关于原点对称，解被积函数),,(z y x f =x 为关于),,(z y x 的偶函数由推论1.1x ∑⎰⎰=8x ∑⎰⎰=a881D x dsdy ⎰⎰⎰⎰=189cos 8D d r a θθdr r d a a⎰⎰=209cos 8πθθ=a810117!!7.108!!264a a ππ= 定理2：若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1(,,)(,,)(,,)3f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例3：计算曲面积分2z ds ∑⎰⎰，其中s 是球面2222x y z a ++=解：如果按照常规方法来解，计算量比较大，如果利用对称函数的特性，非常简捷∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性∴222x ds y ds z ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∴2z ds ∑⎰⎰=2221()3x y z ds ∑++⎰⎰ =21133a ds ds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 22214.433a a a ππ== 2、第二类曲面积分的对称性定理利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号.现以曲面积分(,,)sf x y z ds ⎰⎰为例来讨论.当曲面指定侧上动点的法线方向与z 轴正向成锐角时，面积元素ds 在xoy 面上的投影dxdy 为正减钝角时为负.一般地，有如下定理：定理1：若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上|f|的值相等，则有（ⅰ）1(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰0=，在对称点上fdxdy 取相反的符号（ⅱ）1(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰=21(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰，在对称点上fdxdy 的符号相同,对于积分1(,,)s f x y z dydz ⎰⎰，1(,,)s f x y z dzdx ⎰⎰也有类似的结论定理2：若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1(,,)(,,)(,,)3p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑++⎰⎰ 例3：计算sxdydz ydxdy zdxdy ++⎰⎰，其中S 是球面2222x y z R ++=的外侧解： ∵球面2222x y z R ++=关于x ,y ,z 具有对称性∴sssxdydz ydxdz zdxdy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰先计算sxdydz ⎰⎰为此应分别考虑前半球面（记为1S ）及后半球面（记为2S ）上的曲面部分1S的方程为x =它在oyz 平面上的投影域y D 为圆域222y z R +≤，因此，若用1w S 表示前半球面的外侧则有：1S w Dyxdydz σ=⎰⎰=230023R d r R πθπ=⎰⎰ 对于在后半球面2S 上的曲面积分，由于2S的方程为：x =后外侧，故关于后半球面外侧（记为2w S ）的曲面积分为：2S w xdydz =⎰⎰Dy σ=323R π 因此S xdydz =⎰⎰31243S w S wxdyxz xdydz R π+=⎰⎰⎰⎰ 3S Sxdydz ydxdz zdxdy xdyxz ++=⎰⎰⎰⎰ 334343R R ππ=⋅= ※小结应用对称性计算积分时应注意以下几点：1.必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面面都具有某种对称性是才能利用，如果只有积分区域具有某种对称性，这时根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，在考虑利用上述结论2.对第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，尚需考虑积分路 线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，需慎重3.有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答对于重积分，曲线积分，曲面积分等定理的研究，是积分学运用的一个难点.本 文在探讨相关定理的同时，特别是巧妙的运用其对称性的特点，通过具体实例对积分运用的几个重要的定理进行了一些列研究，发现积分区域与被积函数二者均具对称性时，运用上述对称性定理可以极大地简化计算过程，尤其对于第二类曲线积分和第二类曲面积分来说，应用此方法能够 方向和曲面侧的讨论，简化了计算的过程，给积分的运算带来了便捷，.在以后的学习中，只要我们能把对称性这个重要的特点结合在实际中，相信一定会达到了事倍功半的效果.。
第二类曲线和曲面积分的对称性
则有：
（其中L1为L 在 x ≥ 0 的
部分）。
若 Q(x, y) 关于 x 为偶函数，即 Q(−x, y) = Q(x, y) ，
则有：
。
此例可以看出，应用对称性，有时比应用高斯公式 还要简单得多，故可用来简化计算。 3 第二类曲线积分
给出第二类曲线积分的另一种计算方法，它与第二 类曲面积分的计算方法思路相同。
（利用了Ω的对称性）
则有：
（其中 L1 为L 在 y ≥ 0 的
部分）。
若 P(x, y) 关于 y 为偶函数，即 P(x, − y) = P(x, y) ，则
有：
2）
满足：①L关于 y 轴对称；②
中 分别为点(x,y)，点(-x,y)的方向角。
；其
若 Q(x, y) 关于 x 为奇函数，即 Q(−x, y) = −Q(x, y) ，
设Σ为光滑的有向曲面，Σ上点 (x, y, z) 处的单位法
向量为
，α, β ,γ 为方向角。
1） ∫∫ P(x, y, z)dydz Σ
若 P(x, y, z) 关于 x 为偶函数，即 P(−x, y, z) = P(x, y, z) ，
则有：
（其中 cosα1 > 0 ，当 cosα1 < 0 时，可得同样的结果） 同理可得到另外两种情况。 2） 满足：①Σ关于 zOx 平面对称；②cosβ1=-cosβ2；其中 β1，β2分别为点 (x, y, z) ，点 (x, − y, z) 处的指定侧的方向角。 若Q(x, y, z) 关于 y 为奇函数，即Q(x, − y, z) = −Q(x, y, z) ，
中 α1,α2 分别为点 (x, y, z) ，点 (−x, y, z) 处的指定侧的方
对称性在积分中应用
对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系, 小到分子原子.根据对称性, 我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化. 本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题, 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性, 从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法. 另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算. 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时, 许多问题用“正规” 的方法解决，反而把计算复杂化, 而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷, 达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性•在积分计算中，根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果•下面我将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨•本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性，平行于坐标面的平面等的对称性定义•二、相关的定义定义1：设平面区域为D ,若点(x, y) • D= (2a-x,y),则D关于直线x = a对称,对称点(x,y)与(2a - x,y)是关于x = a的对称点•若点(x, y) € D = (x,2b-y)-D(x, y),则D关于直线y二b对称，称点(x, y)与(x,2b - y)是关于y = b的对称(显然当a =0,b = 0对D关于y , x轴对称).定义2:设平面区域为D ,若点(x, y) • D = (y—a,x-a),则D y二x，a对称，称点(x, y)与(y - a, x - a)是关于y 二x • a 的对称点.若点(x, y) • D = (a - y,a - x)-D，贝U D关于直线y 对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3: (1)若对-(x, y, z^ 1,点(x,y,-z)・1 ,则称空间区域门关于xoy面对称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性.⑵ 若对P(x, y, z)匕0 ,二点(x, y,—z)匕O ,则称空间区域0关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对_(x, y, z^ 1 1, -J点(-x,-y,-z) • 11,则称空间区域门关于坐标原点对称.⑷ 若对一(x, y,z) •门，T点(y,乙x),(z, x, 1 1 ,则称空间区域门关于x, y, z具有轮换对称性.定义4:若函数f(x)在区间- a,a上连续且有f(x-a) = f(x • a),则f(x)关于x二a对称当且仅当a = 0时f (-x)二f (x),则f (x)为偶函数.若f (a - x) =-f (a x),则f(x)为关于a,0中心对称.当且仅当a=0时有f(_x)-_f(x)则f(x)为奇函数.若f (x -a) = f (x • a)且f (a -x) = - f (a x)则f (x)既关于x = a对称，又关于a,0 中心对称.定义5 若n元函数f(X i,X2，…，X n)三f (X i,X i 1,…，X n,X i,…，x：丄)，(i =1,2，…,n ), 则称n元函数f (X i,X2，…，X n)关于X i,X2，…，X n具有轮换对称性•定义6：若- p(X i,X2, ,X n) D n R n( n N)有P i(X i,X i 1, ,X n,X i,厶J D n(i =1,2，…，n)成立，则称D n关于p(X i,X2，…,X n)具有轮换对称性.三、重积分的对称性(一)对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算■在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分■因此掌握对称性在积分中的方法是必要的■下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用■引理设函数f (x)在a - h, a h上连续,则有f (x)dx = f (a x) f (a - x) dx (1)证令x二a t,有a h h hf(x)dx f(a t)dt f(a t)dta -h ' -h 0令t u,则0 0 hf (a t)dt = f (a -u)du = i f (a - u)du•山h 0将( 3)式带入(2)式,并将积分变量统一成x ,则(x)dx = ° f (a x) f (a - x)dx dx特别地，令a =0，就得公式:f(x)dx= ：〔f(x) f (-x)d x由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数f (x)在［- h, h上连续，那么h h2)若 f(x)为偶函数，则f(x)dx=2 f(x)dx■_hoh3)若f(x)为奇函数，则 』f(x)dx=O次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.2一 ： cosxdx 2_ cosxdx匕x 21 2 2cosxdx=2注：而对于任 意区间上的定积分问题，可以平移 到对称区间Lh,h 1上求解。
考研数学巧用对称性计算第二类平面曲线积分
考研数学：巧用对称性计算第二类平面曲线积分来源：文都教育在高等数学中，对称性是积分计算的一种十分有用的方法，广泛应用于定积分的计算、二重积分和三重积分的计算、曲线积分和曲面积分的计算，在一般考研数学复习资料上，关于对称性在定积分和重积分中的应用都有相应介绍，但对于对称性在曲线积分和曲面积分中的应用则讲得较少或者没有讲，为了帮助数学（一）的考生了解对称性在这方面的应用，下面文都教育的蔡老师对对称性在第二类平面曲线积分计算中的应用做些分析总结，供同学们参考。
一、第二类平面曲线积分的对称性 下面分四种情况分别讨论其对称性：1）若平面曲线L 关于x 轴对称，L 在x 轴上方部分为1L ，则10,2,L L P y Pdx Pdx P y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于为偶函数关于为奇函数（偶零奇倍），10,2,L L Q y Qdy Qdy Q y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于为奇函数关于为偶函数（奇零偶倍）， 综合即得1110,2,2,2,L L L L P y Q y Pdx P y Q y Pdx Qdy Qdy P y Q y Pdx Qdy P y Q y ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于为偶函数，关于为奇函数关于为奇函数，关于为奇函数关于为偶函数，关于为偶函数关于为奇函数，关于为偶函数。
证：设L 在x 轴下方部分为2L ，如图所示：1L 的参数方程为()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，其中:t αβ→，则2L 的参数方程为()()x t y t ϕψ=⎧⎨=-⎩，其中:t βα→，12[(),()]()[(),()]()LL L Pdx Pdx Pdx P t t t dt P t t t dt βααβϕψϕϕψϕ''=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰{[(),()][(),()]}()P t t P t t t dt βαϕψϕψϕ'=--⎰，若P 关于y 是偶函数，则[(),()][(),()]P t t P t t ϕψϕψ-=，0LPdx =⎰；若P 关于y 是奇函数，则[(),()][(),()]P t t P t t ϕψϕψ-=-，12[(),()]()2LL Pdx P t t t dt Pdx βαϕψϕ'==⎰⎰⎰。
对称性在积分计算中的应用
对称性在积分计算中的应用【摘要】本文总结、归纳了积分区域的对称性（包括轮换对称性）和被积函数的奇偶性在积分计算中的一些重要结论，并通过例题演示了这些对称性的结论在计算积分时可以大大简化积分计算，提高解题效率.【关键词】积分;对称;应用一、引言在定积分的计算中，利用积分区间关于原点对称的特点和被积函数的奇偶性可以大大简化积分的计算量，起到事半功倍的效果.此性质经过推广，在二重积分、三重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分的计算中，利用积分区域关于坐标轴、坐标面对称的特点和被积函数的奇偶性，同样可以大大简化积分的计算.此外，在积分的计算过程中，利用积分区域和被积函数的轮换对称性也可有效地起到简化计算的作用，本文拟系统介绍这方面的结论，并举出相关应用实例给予说明.二、有关对称性的结论（一）在定积分的计算中若积分区间关于原点对称，则∫a-af（x）dx= 2∫a0f（x）dx，f（x）在[-a，a]上是偶函数，0，f（x）在[-a，a]上是奇函数.（二）在二重积分的计算中1.若积分区域D关于x轴对称，则D f（x，y）dσ=2 D 1 f（x，y）dσ，f（x，y）在区域D上关于变量y是偶函数，0，f（x，y）在区域D上关于变量y是奇函数，其中D1是区域D在x轴上方（或下方）的部分.2.若积分区域D关于y轴对称，则D f（x，y）dσ=2 D 2 f（x，y）dσ，f（x，y）在区域D上关于变量x是偶函数，0，f（x，y）在区域D上关于变量x是奇函数，其中D2是区域D在y轴右侧（或左侧）的部分.3.若积分区域D关于原点对称，则D f（x，y）dσ=4 D 3 f（x，y）dσ，f（x，y）在区域D上关于变量x和y都是偶函数，0，f（x，y）在区域D上关于变量x或y是奇函数，其中D3是区域D在第一象限的部分.4.若积分区域D关于直线y=x对称（轮换对称性），则D f（x，y）dσ= D f（y，x）dσ= 1 2 D [f（x，y）+f（y，x）]d σ.（三）在三重积分的计算中1.若积分区域Ω关于坐标面x=0对称，则Ωf（x，y，z）dv=2 Ω1 f（x，y，z）dv，f（x，y，z）关于变量x是偶函数，0，f（x，y，z）关于变量x是奇函数，其中Ω1是Ω中x≥0的部分.若把x换成y或z也有相同的结论.2.若积分区域Ω关于x，y，z具有轮换对称性，则Ωf（x，y，z）dv= Ωf（y，z，x）dv= Ωf（z，x，y）dv = 1 3 Ω[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]dv.（四）在第一型曲線积分的计算中1.设平面分段光滑曲线L关于x轴对称，则∫Lf（x，y）ds= 2∫L1f（x，y）ds，f（x，y）关于变量y是偶函数，0，f（x，y）关于变量y是奇函数，其中L1是L上y≥0的部分（前半段）.若把x换成y也有相同的结论.2.设空间分段光滑曲线L关于坐标面x=0对称，则∫Lf（x，y，z）ds=2∫L2f（x，y，z）ds，f（x，y，z）关于变量x是偶函数，0，f（x，y，z）关于变量x是奇函数，其中L2是L上x≥0的部分.若把x换成y或z也有相同的结论.3.若积分曲线L关于x，y具有轮换对称性（当x=y时曲线方程不变），则∫Lf（x，y）ds=∫Lf（y，x）ds= 1 2 ∫L[f（x，y）+f（y，x）]ds.4.若积分曲线L关于x，y，z具有轮换对称性（当x=y，y=z，z=x时曲线方程不变），则∫Lf（x，y，z）ds=∫Lf（y，z，x）ds=∫Lf（z，x，y）ds= 1 3 ∫L[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]ds.（五）在第一型曲面积分的计算中1.设分片光滑曲面Σ关于坐标面x=0对称，则Σf（x，y，z）dS=2Σ1f（x，y，z）dS，f（x，y，z）关于变量x为偶函数，0，f （x，y，z）关于变量x为奇函数，其中Σ1是Σ上x≥0的部分（前半部分）.若把x换成y或z也有相同的结论.2.（轮换对称性）若积分曲面Σ关于x，y，z具有轮换对称性，则Σf（x，y，z）dS=Σf（y，z，x）dS=Σf（z，x，y）dS= 1 3 Σ[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]dS.三、应用举例例1 计算∫1 2 - 1 2 1-x 1-x2 dx.分析∫1 2 - 1 2 1-x 1-x2 dx=∫1 2 - 1 2 1 1-x2 dx-∫1 2 - 1 2 x 1-x2 dx，注意到积分区间关于原点对称，其中∫1 2 - 1 2 x 1-x2 dx的被积函数关于x是奇函数，所以此积分为0.而∫1 2 - 1 2 1 1-x2 dx的被积函数关于x是偶函数，由前面总结的性质可得：原式=∫1 2 - 1 2 1 1-x2 dx-∫1 2 - 1 2 x 1-x2 dx=2∫1 2 0 1 1-x2 dx=2arcsinx 1 2 0=2×π6 = π3 .例2 计算D （x2-2x+3y+2）dxdy，其中D：x2+y2≤a2.分析区域D既关于x轴对称又关于y轴对称，而x2关于x是偶函数，2x和3y分别关于x和y是奇函数，故：原式= D x2dxdy- D 2xdxdy+ D 3ydxdy+ D 2dxdy= D x2dxdy-0+0+2 D dxdy=∫2π0dθ∫a0（rcosθ）2rdr+2πa2= 9 4 πa2.例3 计算Ω（xy+1）zdv，其中Ω为曲面z= 1-x2-y2 和z= x2+y2 所围区域.分析Ω（xy+1）zdv= Ωxyzdv+ Ωzdv，Ω关于坐标面x=0对称，而xyz关于x是奇函数，故Ωxyzdv=0，所以Ω（xy+1）zdv= Ωzdv=∫2π0dθ∫π4 0dφ∫10rcosφ.r2sinφdr= π8 .例4 计算I=∮L[（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2]ds，其中L：x2+y2+z2=R2，z= R 2 .分析原式=∮L[（x2+y2+z2）+3]ds-∮L2xds-∮L2yds-∮L2zds，考虑到曲线L关于yOz面对称，2x是关于x的奇函数，所以∮L2xds=0，同理，曲線L关于zOx面对称，2y是关于y的奇函数，所以∮L2yds=0，所以原式=∮L[（x2+y2+z2）+3]ds-∮L2zds=∮L（R2+3）ds-∮LRds=（R2-R+3）∮Lds=（R2-R+3）·2π· 3 2 R= 3 πR（R2-R+3）.例5 计算曲面积分S（x+y+z）ds，其中S为上半球面z= a2-x2-y2 .分析曲面关于坐标面x=0，y=0对称，而x和y分别关于变量x和y为奇函数，故S（x+y）ds=0，又S在坐标面z=0上的投影为x2+y2≤a2.且ds= 1+z2x+z2y = 1+ x2 a2-x2-y2 + y2a2-x2-y2 = a2 a2-x2-y2 = a z ，原式=Szds=x2+y2≤a2z·a z dxdy=ax2+y2≤a2dxdy=πa3.例6 计算Ω（x2+z2）dv，其中Ω：x2+y2+z2≤1.分析积分区域是个单位球，关于x，y，z具有轮换对称性，所以Ω（x2+z2）dv= Ω（y2+x2）dv= Ω（z2+y2）dv，1 3 Ω（x2+z2+y2+x2+z2+y2）dv= 2 3 Ω（x2+y2+z2）dv= 2 3 ∫2π0dθ∫π0dφ∫10r4sinφdr= 8 15 π.例7 计算∮L（z+y2）ds，其中L：x2+y2+z2=R2，x+y+z=0.分析由空间曲线L的方程知道，当x=y，y=z，z=x时，曲线L的方程不变，具有轮换对称性，所以∮Lxds=∮Lyds=∮Lzds，∮Lx2ds=∮Ly2ds=∮Lz2ds，于是∮Lzds= 1 3 ∮L（x+y+z）ds= 1 3 ∮L0ds=0，∮Ly2ds= 1 3 ∮L[x2+y2+z2]ds= R2 3 ∮Lds= 2πR3 3 ，所以∮L（z+y2）ds= 2 3 πR3.例8 计算Σ（x+z+1）2dS，其中Σ：x2+y2+z2=R2.分析Σ（x+z+1）2dS= Σ（x2+z2+1+2xz+2x+2z）dS.由积分曲面Σ的对称性及被积函数为奇函数的特点，知ΣxdS=0，ΣzdS=0，ΣxzdS=0.又由积分曲面Σ的轮换对称性知，Σx2dS= Σy2dS= Σz2dS= 1 3 Σ（x2+y2+z2）dS，所以Σ（x+z+1）2dS= 2 3 Σ（x2+y2+z2）dS+ Σ1·dS = 2 3 R2 ΣdS+4πR2= 8 3 πR4+4πR2.通过上面这些例子的计算演示可以看出，在计算积分的过程中，如果能及时利用积分区域（区间）的对称性和被积函数的奇偶性以及积分区域的轮换对称性，在很多时候可以有效减少烦琐的计算量，提高解题效率.。
巧用对称性解第二类曲线积分和第二类曲面积分
x2
x2
同理可得 ： 结论 5: 若曲面 ∑1 和 ∑2 关于 yoz 面对称 ， 则
=∫x P[(x,f(x))-P(x,-f(x))]dx
1
x2
蓦∑P(x,y,z)dydz＝
蓦
0， P （－x ，y ，z ）＝P （x ，y ，z ） 2蓦∑ P(x,y,z)dydz ， P （－x ，y ，z ）＝-P （x ，y ，z ）
作 者 简 介 ： 谭 昌 龙 （1979 —）， 男 ， 哈 尔 滨 工 业 大 学 博 士 ， 哈 尔 滨 理 工 大 学 讲 师 。 主要研究方向 ： 光电检测 ， 主持一项省教育厅课题 、 参加二项国家自然科学 基金 ， 已发表 7 篇 SCI 收录论文 。
1994,22(5),22-24. ［3］ 李 连 之 ． 周 永 洽 . 激 光 散 射 及 其 在 蛋 白 质 溶 液 研 究 中 的 应 用 [J]. 大 学 化 学 , 1998,13(3),26-29. ［4］ 谢 平 会 ． 祝 丽 玲 . 电 流 法 快 速 测 定 鲜 乳 中 蛋 白 质 含 量 [J]. 中 国 乳 品 工 艺 ,2000, 28(4),33-35. ［5］Wang LiJie, Guo Jian ying, Xu Kexin. Factors affecting the accuracy of a NIR
1
=
∫
0， 2∫x P[x,f(x)]dx=2∫L1 P(x,y)dx
1
P （x ，－y ）＝P （x ，y ）
x2
其中 ， 曲面 ∑1 为 ∑ 的 x≥0 的部分 。 结论 6: 若曲面 ∑1 和 ∑2 关于 zox 面对称 ， 则
P （x ，－y ）＝－P （x ，y ）
对称性在第二类曲面积分计算中的应用
对称性在第二类曲面积分计算中的应用作者：邓艳来源：《速读·下旬》2018年第01期摘要：第二类曲面积分既是高等数学教学中的一个重点，也是一个难点。
其计算方法灵活多样，本文主要介绍对称性在第二类曲面积分计算中的应用，这是一种十分有效而又灵活简便的方法。
关键词：第二类曲面积分；奇偶对称；轮换对称第二类曲面积分的计算既是高等数学教学中的一个重点，也是一个难点。
从学员反馈情况来看，总体掌握不是很好，对称性是积分运算中经常遇到的一种技巧，有效的运用对称性，可以达到简化计算的目的。
为此，本文不仅给出了当空间区域关于坐标面或原点对称，且定义在该区域上的函数具有相应的奇偶性时的简化计算公式，还介绍了轮换对称性在第二类曲面积分计算中的应用。
一、奇偶对称性在第二类曲面积分计算中的应用1.设分块光滑的定向曲面∑关于xoy平面对称，∑在xoy平面上方部分记为∑1（方程为z=z （x，y），（x，y∈Dxy）），下方部分记为∑2，又设R（x，y，z）在∑上连续，则：[∑Rx，y，zdxdy=0，若R关于z为偶数2∑1Rx，y，zdxdy，若R关于z为奇函数]证明：[∑Rx，y，zdxdy=∑1Rx，y，zdxdy+∑2Rx，y，zdxdy]由[∑1]的方程可得[∑2]的方程：[z=-zx，y，（x，y）∈Dxy]，设[∑1]的法向量与z轴正向成锐角，于是[∑2]的法向量与z轴正向成钝角，将面积分化为二重积分得：[∑1Rx，y，zdxdy=DxyRx，y，z（x，y）dxdy][∑2Rx，y，zdxdy=-DxyRx，y，-z（x，y）dxdy][=-DxyRx，y，z（x，y）dxdy，若R关于z为偶函数，DxyRx，y，z（x，y）dxdy，若R 关于z为奇函数。
]两式相加即得结论。
同理可证对于[∑Qx，y，zdzdx]与[∑Px，y，zdxdy]有类似结论。
2.设分块光滑定向曲面∑关于原点对称，记同向对称的有向曲面为[∑1]和[∑2]，又设[R （x，y）]在∑上连续，则：[∑Rx，y，zdxdy=0，若R-x，-y，-z=Rx，y，z 2∑1Rx，y，zdxdy，若R-x，-y，-z=-Rx，y，z]同理对于[∑Qx，y，zdzdx]与[∑Px，y，zdxdy]有类似结论。
对称性在积分计算中的应用精编
对称性在积分计算中的应用引言积分在数学分析中是相当重要的一项内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型.那么，如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性，并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去，往往可以简化计算过程，达到事倍功半的效果，我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果.在积分计算中利用对称性来解题这种方法，是一种探索性的发现方法，它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能. 因此，掌握和充分利用对称性求积分这一方法，对于活跃和开拓我们学生的创造性思维，提高判断解题能力，探讨解题方法是十分有益的.下面从定积分、积分、线面积分三方面来介绍一下对称性在积分计算中的应用.一、相关的定义设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称，称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x - ),(y x D ∈，则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）。
二、对称性在定积分中的应用（一） 定积分的概念 1. 概念设函数)(x f 在],[b a 上有界，(1) 在],[b a 内插入若干个分点,......210b x x x x a n =<<<<=把区间[,]a b 分成n 个小区间01121[,],[,],......[,],n n x x x x x x -各个小区间长度依次为110221,,x x x x x x ∆=-∆=-1.......n n n x x x -∆=-(2) 在每个小区间上任取一点1(),()i i i i i x x f ξξξ-≤≤作函数与小区间长度i x ∆的乘积()(1,2,......,),i i f x i n ξ∆=,并作出和 1().ni i i S f x ξ==∆∑(3) 记12max{,,......,},n x x x λ=∆∆∆如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么这个极限称为函数的()f x 在区间],[b a 上的定积分，记为⎰ba dx x f )(即记为1()()nbi i ai f x dx I f x ξ===∆∑⎰其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],[b a 叫做积分区间. 2. 几何意义几何上,⎰<ba b a dx x f )()(表示曲线()y f x x =与轴，,x a x b ==所围曲边梯形面积的代数和.（二） 对称性在定积分中的性质性质 1 若()x f [,]a b k 在上可积，为常数，则()x kf 在],[b a 上也可积，则⎰b adx x kf )(⎰=badx x f k )(性质 2 ()()上也可积，且在则上可积都在若],[)()(,],[,b a x g x f b a x g x f ±.)()()]()([dx x g dx x f dx x g x f bab aba⎰⎰⎰±=±性质 3 ()()()()上也可积在上可积，则在都在若],[],[,b a x g x f b a x g x f ⋅ 性质 4 ()()上与在任给上可积的充要条件是：在],[],[),,(],[b c c a x f b a c b a x f ∈.都可积.)()()(⎰⎰⎰+=bcc ab adx x f dx x f dx x f 此时又有等式规定 1 0)(⎰==badx x f b a 时，令当.规定 2 .)()(⎰⎰-=>abb adx x f dx x f b a 时，令当 .性质 5 ()⎰≥∈≥badx x f b a x x f b a x f .0)(],,[,0)(.],[则若上的可积函数为设推论（积分不等式性）()()],,[),()(],[b a x x g x f b a x g x f ∈≤上的两个可积函数，且为与若性质 6()().)()(],[],[dx x f dx x f b a x f b a x f baba⎰⎰≤上也可积，且在上可积，则在若（三） 对称性在定积分中的定理定理1 若)(x f 在a][-a,(a>0)上连续且为偶函数,则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(.证明 因为 ⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(对积分作代换-t x =,则得⎰⎰⎰⎰-=-=--=-aaaa dx x f dt t f dt t f dx x f 0)()()()(所以 ⎰⎰⎰⎰-+=+=--aa aaadx x f x f dx x f dx x f dx x f 00)]()([)()()((1) 若)(x f 为偶函数，则)(2)()(),()(x f x f x f x f x f =+-=-即 所以⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)((2) 若)(x f 为奇函数，则0)()(),()(=+--=-x f x f x f x f 即 所以0)(=⎰-aa dx x f .注 定理1可简化计算偶函数，奇函数在对称于原点的区间上的定积分为0.（四） 对称性在定积分中的应用举例 例 1 dx x x 23111)1(-+⎰-解 =⎰⎰---+-112311211dxx x dx x因为积分区间关于原点对称，而2-1x 是偶函数，231x x -是奇函数，故,011123=-⎰-dx x x设 x =y sin 2cos 1222112πππ⎰⎰--==-dy y dx x原式=2π 例 2 计算()2x 2ln 1e x dx -+⎰因为积分区间关于原点对称，但()x e 1ln +既不是奇函数也不是偶函数，我们可()().b ba af x dxg x dx ≤⎰⎰则有利用()()()()()22x f x f x f x f x f --+-+=.其中()()2x f x f -+为偶函数，()()2x f x f --为奇函数，把它分解为一个偶函数和一个奇函数之和.解 令()()x x f e 1ln +=，则()()()x x x f x f -++=-+e e 2ln 212，()()x x f x f 212=--，()()2222x x -x 222220118ln 1+e ln 2e e d 223x dx x x dx x x x dx ---⎡⎤=+++===⎣⎦⎰⎰⎰⎰所以有例3 计算 ⎰-+22223sin )cos (ππxdx x x分析 由于x x 23sin 是一个奇函数, x x 22sin cos 是一个偶函数,并且积分区域]2,2[ππ-关于原点对称,因此可用定理1来计算. 解 由定理1得 原式⎰⎰--+=22222223sin cos sin ππππxdx x xdx x⎰-+=2222sin cos 0ππxdx x=)sin sin (2204202⎰⎰-ππxdx xdx 其中220sin xdx π⎰=22222220sin cos (sin cos cos )sin xd x x xx dx dx x dx πππππ-=--=-⎰⎰⎰⎰2220sin xdx π⎰=2π ，220sin xdx π⎰=221π⋅ 同理得：22143)sin 204ππ⋅⋅=⎰xdx原式 )22143221(2ππ⋅⋅-⋅=8π=.利用函数关于直线对称以及区间关于直线对称,应用定理得出积分为0，使上述复杂积分简单化,易得出结论.三、对称性在二重积分中的应用（一）二重积分的概念 1 概念设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，(1) 将闭区域D 任意分成n 个小闭域12,,......,,n σσσ∆∆∆其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积.(2) 在每个i σ∆上任取一点(,),i i εη 作乘积(,)i i i f εησ∆ (1,2,......,),i n =并作和1(,),niiii f εησ=∆∑(3) 如果当个小闭区域的直S 径的最大值0λ→时，这和的极限总存在，则称此极限为函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分,记作 01(,)lim (,)ni i i i Df x y d f λσεησ→==∆∑⎰⎰其中(,)f x y 叫做被积函数，(,)f x y d σ叫做被积表达式，d σ叫做面积元素，x y 与叫做积分变量，D 叫做积分区域，1(,)ni i i i f εησ=∆∑叫做积分和.2 几何意义当(,)f x y 为闭区域D 上的连续函数，且(,)0,f x y ≥则二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为顶，侧面以D 的边界曲面为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积.一般地，(,)Df x y d σ⎰⎰表示曲顶柱体体积的代数和.（三） 二重积分的性质性质 7 上也可积，且在为常数，则上可积，在区域若D y x kf k y x f ),(D ),(⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf .),(),(σσ性质 8 上也可积，且在上都可积，则在若D y)g(x,y)f(x,D ),(),,(±y x g y x f⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDd y x g d y x f d y x g y x f .),(),(]),(),([σσσ性质 9 若 ),(y x f 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则),(y x f 在1D ⋃2D 上可积，且.),(),(),(2121σσσd y x f d y x f d y x f D D D D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⋃性质 10 则上可积，且在与若,),(),,(),(),(),(D y x y x g y x f D y x g y x f ∈≤⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f .),(),(σσ性质 11 ⎰⎰Dd y x f D y x f D y x f σ),(),(),(上也可积，且在上可积，则在若σd y x f D⎰⎰≤),(性质 12 σd y x f mS D y x M y x f m D y x f DD ),(,),(,),(),(⎰⎰≤∈≤≤则上可积，在若.,的面积是积分区域这里D S MS D D ≤（三） 对称性在二重积分中的定理定理2 设有界闭区域12D D D = ,1D 与2D 关于y 或x 轴对称.设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，那么（ⅰ）若),(y x f 是关于y （或x ）的奇函数，则⎰⎰Dd y x f σ),(0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y （或x ）的偶函数，则Df(x,y)d σ⎰⎰=2(,)iD f x y d σ⎰⎰(1,2)i =注 设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续(i)若D 关于x 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD y y x f d y x f y y x f d y x f 2),(),(2),(,0),(为偶函数关于，如果为奇函数关于如果σσ其中2D 是D 的上半部分 2D =}0|),{(≥∈y D y xy)(x y ϕ=1Da 0b x2D)(-x y ϕ= 图1 证明12(,)(,)(,)DD D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1)若区域D 对称于x 轴(图1)，对任意(,)P x y ∈1D ，其对称点(,)P x y '-∈2D1D ={}0(),y x a x b ϕ≤≤≤≤，2D ={}()0,x y a x b ϕ-≤≤≤≤，令x xy t=⎧⎨=-⎩， 则2D 变换为xot 坐标面上的{}10()D t x a x b ϕ=≤≤≤≤，，且雅可比行列式(,)(,)x y x t ∂∂10101==--． 故2(,)D f x y dxdy ⎰⎰=1(,)1D f x t dxdt -∙-⎰⎰=1(,)D f x y dxdy -⎰⎰=11(,),(,)(,)(,),(,)(,)D D f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧-=⎪⎪⎨--=-⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰，于是，代入（1）式得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y =--⎧⎪=⎨=-⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 , ,(ii) 若D 关于y 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD x y x f d y x f x y x f d y x f 1),(),(2),(,0),(为偶函数关于，如果为奇函数关于如果σσ其中1D 是D 的右半部分:1D =}0|),{(≥∈x D y xy)(y x ϕ-= d )(y x ϕ=2D 1D 0 xc图2证明 若区域D 对称于y 轴(图2)，对任意(,)P x y ∈1D ，对称点(,)P x y '-∈2D ，类似 (i) 的证明可得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y -=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 , ,定理 3 设有界闭区域D 关于x 轴和y 轴均对称，函数),(y x f 在D 上连续 （1）若),(y x f 关x 和y 均为偶函数，则1(,)4(,),DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰其中1D 是D的第一象限的部分1{(,)|0,0}D x y D x y =∈≥≥(,)f x y （2）若关x 和y 均为奇函数，则(,)0Df x y d σ=⎰⎰定理 4 设有界闭区域D 关于原点对称，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--=DD D y x f y x f d y x f d y x f y x f y x f d y x f 12),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果σσσ其中1D =}0|),{(≥∈x D y x ，2D =}0|),{(≥∈y D y xy2D 1D )(x y ϕ= 0 x a b)(x y ψ=图3证明 若区域D 对称于原点(图3)，对任意(,)P x y ∈1D ，对称点P '(,)x y --∈2D ，{}1()()D x y x a x b ψϕ=≤≤≤≤，, {}2()()D x y x b x a ϕψ=--≤≤---≤≤-，,令x uy v =-⎧⎨=-⎩， 则区域2D 变换为uov 坐标平面内区域{}1()()D x y x a x b ψϕ=≤≤≤≤，，雅可比行列式(,)(,)x y u v ∂∂10101-==-，所以2(,)D f x y dxdy ⎰⎰=1(,)D f u v dudv --⎰⎰=1(,)D f x y dxdy --⎰⎰=11(,),(,)(,)(,),(,)(,)D D f x y dxdyf x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧---=-⎪⎪⎨--=⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰，代入12(,)(,)(,)DD D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 ，若 ，若定理 5 设有界闭区域D 关于x y =对称, 函数),(y x f 在D 上连续，则Df(x,y)d σ⎰⎰=(,)Df y x d σ⎰⎰（四） 对称性在二重积分中的应用举例例 4 计算二重积分25sin Sx ydxdy ⎰⎰，其中S 是由1x y +=，0x =，1x y -=所围成的区域.解 积分区域S 关于x 轴对称（见图），且ydxdy x S52sin ⎰⎰为关于y 的奇函数，故由定理225sin 0Sx ydxdy =⎰⎰例 5 设 :sin ,,12D y x x y π==±= 围成求 (1)Dxy dxdy-⎰⎰x 2π-= y x 2π=y=1x图5x11-10 图4y解 12DDD D DI xydxdy dxdy xydxdy xydxdy dxdy =-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因为12D D 和关于y 轴对称，所以由定理2知120D D xydxdy xydxdy +=⎰⎰⎰⎰所以 原式 =Ddxdy π=⎰⎰例 6 计算二重积分 222(373),: 1.DI x x y d D x y σ=++++≤⎰⎰其中解 见下图 D 关于x y 轴轴都对称，而37x y 和分别关于变量x 和变量y 为奇数 所以由定理330,Dxd σ=⎰⎰70Dyd σ=⎰⎰设 θσθr d r d d r x ==,c o s ，=⎰⎰σd x D2rdr r d ⎰⎰πθθ2012)cos ( 所以 原式πθθπ3)cos (2012+=⎰⎰rdr r d π411=yDx图6例 7 计算 (),DI x y d x d y =+⎰⎰ 其中: 1.D x y +≤解 D x y 关于轴，轴对称，且被积函数关于x 和y 是偶函数，即有(,)f x y -=(,)(,)f x y f x y -=由定理3，有1()()DD I x y dxdy x y dxdy =+=+⎰⎰⎰⎰，其中1D D 是的第一象限部分，由对称性知11D D x dxdy y dxdy =⎰⎰⎰⎰22(3)3DDDI x d x d d σσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰故 11144()4()8.3D D D I x y d x d y xx d x d y x d x d y =+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰例 8 计算2()Dxy x y dxdy +⎰⎰其中D 是由,1,1y x y y ===-0x =以及所围城的闭区域图7解 如图， 12D D D =+，1D 、2D 关于原点对称，但被积函数不满足(,)(.)f x y f x y =--,也不满足(,)(.)f x y f x y =---,故不能直接用定理来计算， 所以令1(,)f x y xy = ， 22(,)f x y x y =对1(,)f x y 和2(,)f x y 分别应用定理4，则11(,)2DD f x y dxdy xydxdy =⎰⎰⎰⎰，2(,)0Df x y dxdy =⎰⎰，故 2()DI xy x y dxdy =+⎰⎰41221001==⎰⎰⎰⎰xD xydydx xydxdy 例 9 设()f x 为恒正的连续函数，计算积分222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰ 解 由于积分区域222x y r +≤关于y x =对称，所以由定理5 ，可得222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰=222()()()()x y r af y bf x dxdy f y f x +≤++⎰⎰， 于是222()()2()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰ 222222()()()()()()()()x y r x y r af x bf y af y bf x dxdy dxdy f x f y f y f x +≤+≤++=+++⎰⎰⎰⎰ 222()x y r a b dxdy +≤=+⎰⎰=2()a b r π+．故222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰=2()2a b r π+．四、对称性在三重积分中的应用根据被积函数的奇偶性及积分区域的对称性可以简化三重积分的计算,三重积分的计算中也有相应的对称性定理. （一） 对称性在三重积分中的定理定理6 设Ω由0),,(≤z y x ϕ表示,若将x 和y 的位置交换后,0),,(≤z x y ϕ仍然表示Ω,则⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(=⎰⎰⎰Ωdv z x y f ),,(,这种位置的对称,也称变量可轮换性.定理7 设三维实空间有界闭区域21Ω⋃Ω=Ω,且1Ω与2Ω关于xoy 面对称,函数),,(z y x f 在Ω上可积,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΩ=的奇函数上是关于在当的偶函数上是关于在当z f z f dxdydvz y x f dv z y x f ,0,),,,(2),,,(1定理8 设三维实空间有界闭区域21Ω⋃Ω=Ω,且1Ω与2Ω关于z 轴对称,函数),,(z y x f 在Ω上可积,则:⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΩ=的奇函数上为关于在当的偶函数上为关于在当y x f y x f dxdydzz y x f dxdydz z y x f ,,0,,),,,(2),,,(1（二） 对称性在三重积分中的应用举例例10 计算⎰⎰⎰++ωdu z y x )(,其中Ω：≤++222z y x R 2,（0,00,≥≥≥z y x ）.解 本题具有变量位置的对称,因此有⎰⎰⎰ωxdu =⎰⎰⎰ωydu =⎰⎰⎰ωzdu 设D z :)0,0(2222≥≥=++y x R z y x ,则原式为 3⎰⎰⎰ωzdu =3⎰⎰⎰RD zdxdy zdz 0=43⎰Rdz z R z 022)-(π=1634R π 可见,类似的题目都只需计算其中任意一元数值,及对应系数,即可求得结果.例11 计算⎰⎰⎰++++++ωdxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222,其中ω：≤++222z y x 1. 分析 很显然,ω关于xoy 面对称,可以直接运用定理7.解 因为ω关于xoy 面对称,且被积函数1)1ln(),,(222222++++++=z y x z y x z z y x f 在ω上连续并为关于z 的奇函数,故 ⎰⎰⎰++++++ωdxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222 =0. 例12 计算⎰⎰⎰Ω+dV yx xyz 22,其中Ω为xy a 22222)z y (x =++与0=z 两曲面所围区域.解 显然,积分区域Ω关于z 轴对称,且22),,(y x xyzz y x f +=为关于x 、y 的偶函数,又因为≥++2222)(z y x 0,所以xy 同号.因而Ω分布在一、四象限内,从而由定理8得到⎰⎰⎰Ω+dV y x xyz 22=⎰⎰⎰Ω+1222y x xyzdxdydz =⎰⎰⎰θθϕππθθϕϕϕθcos sin sin 03202cos sin cos sin 2a dr r d d= ⎰⎰=202045334144cos sin cos sin 2ππϕϕϕθθθad d a .小结 用对称性定理来简化二重积分和三重积分的计算,有时候可以起到事半功倍的效果.对于一般的对称性定理,若加以适当拓广,还可以用来巧妙地求解一些重积分的计算和证明问题.五、对称性在曲线积分中的应用（一） 对称性在曲线积分中的定理 设函数),(y x f 定义在二维光滑曲线上1.若),(y x f 满足关系式),(y x f -=),(y x f 或),(y x f -=),(y x f ,则称),(y x f 为偶函数.2.若),(y x f 满足关系式),(y x f -=),(y x f -或),(y x f -=),(y x f -,则称),(y x f 为奇函数.定理9 设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,记L 在上半平面的部分为1L ,下半平面部分为2L ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1),(,),(2),(,0),(L Ly y x f ds y x f y y x f ds y x f 的偶函数为关于的奇函数为关于 定理10 设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,记L 在右半平面的部分为1L ,左半平面部分为2L ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1),(,),(2),(,0),(L L x y x f ds y x f x y x f ds y x f 的偶函数为关于的奇函数为关于 推论1 设分段光滑的平面曲线L 关于原点对称,则⎪⎩⎪⎨⎧I =⎰⎰11),(,),(4),(, 0),(L L L L x y y x f ds y x f x y y x f ds y x f 象限中的部分）位于第是的偶函数（其中或为关于的奇函数或为关于定理11 设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,则(1)⎰L dx y x P ),(=⎰--L dx y x P ),(=21⎰--Ldx y x P y x P )],(),([(2)⎰L dx y x P ),(=⎰-L dy y x P ),(=21⎰-+L dy y x P y x P )],(),([定理12 设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,则 (1)⎰Ldx y x P ),(=⎰-Ldx y x P ),(=21⎰-+Ldx y x P y x P )],(),([(2)⎰L dx y x P ),(=⎰--L dy y x P ),(=21⎰--L dy y x P y x P )],(),([ 推论2 设分段光滑的有向平面曲线L 关于x 轴对称,（L 在上半平面部分记为1L ,在下半平面部分记为2L ）,1L 与2L 方向相反,则(1) ⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的奇函数为关于的偶函数为关于y y x P dy y x P y y x P dy y x P(2) ⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的偶函数为关于的奇函数为关于y y x Q dy y x Q y y x Q dy y x Q推论3 设分段光滑的有向平面曲线L 关于y 轴对称,（L 在右半平面部分记为1L ,在左半平面部分记为2L ）,1L 与2L 方向相反,则（1）⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的偶函数为关于的奇函数为关于x y x P dy y x P x y x P dy y x P（2）⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的奇函数为关于的偶函数为关于x y x Q dy y x Q x y x Q dy y x Q（二） 对称性在曲线积分中的应用举例 例13 计算⎰=++1||||||||y x ds y x x解 因为积分曲线关于原点对称,被积函数||||),(y x xy x f +=为关于x 的奇函数,由推论1,得⎰=++1||||||||y x ds y x x=0 例14 计算⎰+Lxydy e x1,其中L 关于x 轴对称,取逆时针方向, L 所围成的闭区域D 的面积为σ.分析 显然,题目已知L 关于x 轴对称,又是分段曲线积分,可直接运用定理求得结果解 由定理11,有⎰+Lxydy e x 1=21dy e xe x Lxy xy ⎰-+++)11(=21⎰++Lxy xy dy e xe x 1=21⎰Lxdy =21⎰⎰Dd σ=21σ. 例15 计算⎰++L xy dydx 1||,其中1:=+y x L ,取逆时针方向.解 因为⎰++L xy dy dx 1||=⎰+L xy dx 1||+⎰+L xy dy 1||而L 关于x 轴、y 轴对称且对称两部分方向相反,函数),(y x f =1||1+xy 既为关于x 的偶函数,又为关于y 的偶函数,由推论2、推论3,原式=0.六、对称性在曲面积分的对称性（一） 对称性在曲面积分中的定理 设函数),,(z y x f 定义在三维光滑曲面上1.若),,(z y x f 满足关系式=-),,(z y x f ),,(z y x f )或=-),,(z y x f ),,(z y x f ,则称),,(z y x f 为偶函数.2.若),,(z y x f 满足关系式=-),,(z y x f ),,(z y x f -或=-),,(z y x f ),,(z y x f -,则称),,(z y x f 为奇函数.定理13 设分段光滑的空间曲线Γ关于xoy (或yoz 或zox )坐标面对称,记1Γ为位于对称坐标面一侧的部分, 则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1)(y)f(x,,),,(2)(),(,0),,(τ的偶函数或或为关于的奇函数或或为关于y x z ds z y x f y x z y x f ds z y x f z定理14 设曲面S 是由关于P （或平面α）对称的1S 和2S 组成,设1M ∈1S 的对称点为22S M ∈,则:⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-===S12S 12)(M )(M ,0)(M )(M ,(M)2(M)1f f f f ds f ds f 若若 证明 以曲面S 关于平面α对称为例,不妨设曲面S 是关于xoy 对称的曲面1S 和2S 组成,设1M ∈1S 的坐标为),,(z y x ,则其对称点22S M ∈的坐标为),,(z y x -,设1S 、2S 在xoy 平面上的射影区域为xy σ,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),,(),,(),,(S S Sds z y x f ds z y x f ds z y x f =⎰⎰++-+dxdy z zy x z y x f y x z y x f y x 221)]},(,,[)],(,,[{(1)当=-),(z y x f ),,(z y x f 时,⎰⎰Sds z y x f ),,(=⎰⎰1),,(2S ds z y x f(2)当=-),(z y x f -),,(z y x f 时,⎰⎰Sds z y x f ),,(=0.（二） 对称性在曲面积分中的应用举例例16 计算⎰⎰++εds zx yz xy )(,其中∑为锥面z =22y x +被曲面ax y x 222=+所截下的部分.分析 由于曲面∑关于zox 面对称,而被积函数中xy 与yz 都是y 的奇函数 解 根据定理,知⎰⎰++εds zx yz xy )(=⎰⎰εzxds =⎰⎰+++xyD y x dxdy z z y x x22221=⎰⎰+xyD dxdy y x x 222=2⎰⎰-22cos 203cos ππθθθa dr r d =42⎰-225cos ππθθd =156424a .例17 计算曲面积分⎰⎰=Sds xyz I ||,其中S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和1=z 之间的部分.解 因曲面S 关于平面xoz 和yoz 对称,而||),,(xyz z y x f =,由定理知⎰⎰=14S xyzds I ,其中1S 是S 在第一象限的部分22y x z +=,'x z x 2=,y z y 2'=,dxdy y x ds 22441++=.故I=dxdy y x y x xy xyD 2222441)(4+++⎰⎰=⎰⎰122cos sin 4θθθπr d ·2r ·241r +·rdr=4201-5125.由此可见，上述关于积分（定积分，重积分，线面积分）对称性的定理性质对于在特殊情况下简化积分的计算是非常有效的，它可以避免很多干扰，所以在解题中注意积分区间是否具有某种对称性是简化题目的关键，若对称性不明显则可以通过一定的方法，根据题目的特点构造对称性，可以减少一些繁琐的计算，提高解题效率.参考文献1 华东师范大学数学系， 数学分析（上册，下册），高等教育出版社2 同济大学，高等数学（上册，下册），高等教育出版社3 王莉，海天2013年考研数学基础班高数辅导讲义4 薛春荣,王芳，对称性在定积分及二重积分计算中的应用[J]，科学技术与工程，2010，(1)5 赵达夫.高等数学的辅导讲义[M].新华出版社.6 孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用.曲阜师范大学学报,2008.7 张仁华.二重积分计算中的若干技巧.湖南冶金职业技术学院学报,2008.8 温田丁.考研数学中二重积分的计算技巧.高等数学研究, 2008.后记本论文在选题及研究过程中得到指导老师的悉心指导。
关于对称性在积分计算中的应用补遗
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图２
Ｊ 一
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＋ Ｌ
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对 于 第 １ 积 分 ， 为 曲 线 关 于 轴 对 称 ， 方 向相 反 ， 积 函 数 个 因 且 被
Ｐ ， ＝ 丁 是 的 函 ，以 分 。 ｙ ｛ 偶 数所 ， 为 ａ ） 积
对 于 第 ２个 积 分 ， 为 曲线 关 于 Ｙ轴 对 称 ， 方 向 相 反 ， 稷 函 数 因 且 被
《 等 数 学 研 究 》 志 第 ４卷 第 １ 介 绍 了 对 称 性 在 二 重 积 分 、 重 积 分 、 一 型 曲 线 积 分 和 第 高 杂 期 三 第
一
型 曲面 积 分 计 算 中 的应 用 ， 方 洼 可参 见 该期 杂 志 Ｐ ４— ２ 。 以 上 应 用 外 ， 文 还 要 介 绍 对 称 其 Ｚ ７脒 本 对 称 性 在 第 二 型 曲线 积 分 计 算 中 的 应 用
（若 ｙ）于 量是 函 ， Ｒ ， １ Ｒ， 关 变 偶 数则 （ ， ） ， Ⅱ ｚ
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关 于对 称性在 积分 计 算 中 的应 用 补 遗 ’
对称性在求解第一型和第二型曲线积分上的区别
创新教育科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald242DOI：10.16660/ki.1674-098X.2018.14.242对称性在求解第一型和第二型曲线积分上的区别①孟泽红(浙江财经大学数据科学学院 浙江杭州 310018)摘 要：利用对称性求解曲线积分可以大大简化曲线积分的求解，但学生在利用对称性求解第一型曲线积分和第二型曲线积分时很容易弄错使用条件，因此，本文针对这些情况，从曲线的同向对称和异向对称的定义开始介绍，接下来给出了第一型曲线积分和第二型曲线积分对称性使用的定理，并给出了一些例题来对比这些定理的使用条件，并对第二型曲线积分对称性求解的例题进行了正确和错误两种解法来进行分析归纳总结定理的使用条件。
关键词：对称性 第一型曲线积分 第二型曲线积分 异向 同向中图分类号：O17 文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2018)05(b)-0242-02①作者简介：孟泽红（1978—），女，汉族，浙江杭州人，博士，副教授，研究方向：反问题与不适定问题的研究，高等数学 课题研究。
曲线积分的求解是高等数学里面本科生必须熟练掌握的，也是全国研究生入学考试中的重点内容。
利用积分区域对称性和函数的奇偶性可以简化积分运算，在教学过程中发现，由于第一型曲线积分和第二型曲线积分一个与方向无关，一个与方向有关，因此在使用中，一旦使用不当，会造成对问题的错解，为了让学生在学习过程中注意到这个陷阱，本文通过具体的例题把错误的结题方法和正确的解题方法进行比较，并对这两种积分的对称性使用进行了简要的总结。
1 预备知识定义1：有向曲线L 成两段有向弧L 1和L 2，如果观察者沿L 1行到L 2时方向不发生改变，就称L 1与L 2同向，否则称异向。
定义2：如果有向积分曲线课分为关于点A 对称的两段弧L 1和L 2，L 1和L 2同向，则称该积分曲线关于点A 同向对称，否则，L 1和L 2异向，则称该积分曲线关于点A 异向对称。
利用对称性计算两类曲面积分时的差异问题
利用对称性计算两类曲面积分时的差异问题
于宁莉;王静
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2009(000)007
【摘要】利用对称性计算两类曲面积分都可以简化计算,但是由于两类积分本身的特点不同,二者在利用对称性的方法上存在差异,结合教学中的案例分析这一差异性,提醒学生注意概念和方法的细节差异,以强调数学的严谨性.
【总页数】1页(P)
【作者】于宁莉;王静
【作者单位】西安第二炮兵工程学院数学与军事运筹教研室
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.对称性在两类曲面积分计算中的应用
2.利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法
3.利用对称性简化曲面积分的计算
4.利用对称性简化曲面积分的计算
5.利用对称性计算曲线积分与曲面积分
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2类曲面积分对称性的问题的理解
2类曲⾯积分对称性的问题的理解
若曲⾯∑关于x=0对称，∑1是∑⼤于等于部分，正侧不变，则当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时
∫∫(∑)f(x,y,z)dxdz=∫∫(∑)f(x,y,z)dxdy=0;∫∫(∑)f(x,y,z)dydz=2∫∫(∑1)f(x,y,z)dydz
f(-x,y,z)=f(x,y,z)时
∫∫(∑)f(x,y,z)dydz=0
∫∫(∑)f(x,y,z)dxdz=2∫∫(∑1)f(x,y,z)dxdz
∫∫(∑)f(x,y,z)dxdy=2∫∫(∑1)f(x,y,z)dxdy
若关于y=0(z=0)对称，则有类似结论。
对亏了他⼈为我指点迷津，我才真正的理解了这个结论。
先整理如下
曲⾯关于x＝0对称就是说关于yoz⾯对称，xy⾯这边有⼀个微元，那边也有⼀个微元，投影到xy⾯或xz⾯上时，投影域⼤⼩、形状、⽅向都相同；⽽投影到yz⾯时⼤⼩形状相同，但是⽅向相反。
f(-x,y,z)=f(x,y,z)就是说函数f在上述两个微元处函数值相等，对dydz积分时，因为两个微元的投影域反向，积分值为零。
对dxdy或dxdz积分时是单侧积分的2倍。
f(-x,y,z)=-f(x,y,z)的情况正好相反，在投影域⼤⼩、形状、⽅向都相同是由于f(-x,y,z)=-f(x,y,z)所以导致⽅向前加个负号，也就是与f(-x,y,z)=f(x,y,z)时的情况完全相对。
这类问题由于区⾯是可以分解投影到3个坐标平⾯，所以要结合空间想象能⼒，弄清楚投影区域与⽅向的关系。
同时本题也可以从物理流量的⾓度来考虑！。
利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法
关于 )为偶函数时 $ 则 $ # ’ #当 *+ ) ( *+ ) $ ( # ). ’ *+ ( # ) , , )$
% % &
证明
依定理条件不妨设
称@ 奇? 指 被 积 函 数 *+ 关 于 )为 奇 函 数 @ = $ # ) ( 零? 指 曲线积 分结果 等 于 零 1 同>对>偶>倍? = = 的涵义类似解释 1
M M % M $ W U W U U W
故
关于 P为偶函数时 F 有 % ’当 X& F ’ N P
收稿日期 E $ " " # " # % ! 刘富贵 E 男F 副教授 F 主要研究领域为图论 G H岁 F
D 国家自然科学基金项目资助
定理 a 设 M为 N O P平面上关于 P轴对称的一 条 有向 光滑 曲 线 弧 F 其方程为 P SP & ’ F & \U VN N
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对右端第 ’个积分 $ 令) 有 .27 $ + ) $ ( # + 2) # 6 ). ,*5 *5 + 27 $ ( + 7 # # 6 7 . *5 ( + ) # 6 ) , , 2 )$
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曲面积分对称性
2 对称性在曲线积分计算中的应用之马矢奏春创作2.1 对称性在第一类曲线积分计算中的应用结论1 若积分曲线L关于x轴（或y轴）对称，记L1为曲线L 被坐标轴所分割的两个对称区域之一，则有：①∫Lf(x,y)ds=0,f(x,y)为关于y（或x）的奇函数；②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,f(x,y)为关于y（或x）的偶函数。
结论2 若积分曲线L关于直线y=x对称，则当点(x,y)∈L时，有(y,x)∈L，即L关于x,y具有轮换对称性，这时有：∫Lf(x,y)ds=∫Lf(y,x)ds=12∫L［f(x,y)+f(y,x)］ds若f(x,y)=-f(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x奇对称，则∫Lf(x,y)ds=0；若f(x,y)=(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x偶对称，则∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(y,x)ds。
其中L1为曲线L被直线y=x所分割的两个对称区域之一。
2.2 对称性在第二类曲线积分计算中的应用设有曲线积分I=∫L P(x,y)dx，其中L为光滑的有向曲线弧，如果L关于某条直线（包含坐标轴）对称，这时利用对称性计算上述曲线积分时，不但要考虑P(x,y)的大小和符号，还要考虑投影元素dx的符号。
当积分方向和坐标轴正向之夹角小于π2时，投影元素为正，否则为负。
一般地，我们有：结论若积分曲线L关于某直线对称，记L1为曲线L被这条直线所分割的两个对称区域之一，则有：①∫Lf(x,y)ds=0,P(x,y)dx 在对称点上取相反的符号；②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,P(x,y)dx 在对称点上取相同的符号。
对于积分∫L Q(x,y)dy也有类似地结论。
上述结论都可推广到空间曲线的情形。
3 对称性在曲面积分计算中的应用3.1 对称性在第一类曲面积分计算中的应用结论1 若积分曲面关于某平面（或某点）对称，记1为曲面被某平面（或某点）所分割的两个对称曲面之一，则有：①f(x,y,z)dS=0,在对称点上f(x,y,z)取相反的符号；②f(x,y,z)dS=21f(x,y,z)dS,在对称点上f(x,y,z)取相同的符号。
利用对称性计算曲线积分与曲面积分
利用对称性计算曲线积分与曲面积分摘要：借助于（平面）空间曲线及空间曲面的直观几何意义，利用曲线、曲面关于坐标轴及坐标面得对称性，探讨了对于定义在具有对称性的曲线、曲面上的奇（偶）函数，如何利用对称性计算曲线积分及曲面积分。
这种积分方法使得曲线（面）积分更为简便、快捷，同时，也有利于避免因符号处理不当而导致的积分错误。
而第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题，因此利用对称性来计算较为困难，文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法，并证明了方法的可行性，并通过实例表明，此方法有时能起到简化计算的作用。
关键词：奇（偶）函数 曲线积分 曲面积分 对称 计算引： 在高等数学的学习和研究中，各种积分的运算，有时会给我们带来较多的困难，而借助于（平面）空间曲线及空间曲面的直观几何意义，定义在关于坐标轴及坐标面对称的曲线、曲面上的奇（偶）函数，利用它们的对称性计算曲线积分及曲面积分，可以使得曲线（面）积分更为简便、快捷。
一、 曲线积分（一） 第一类曲线积分的对称问题定义1 设函数),(y x f 定义在二维光滑曲线上，（1）若满足关系式=或),(y x f -=，则称),(y x f 为关于x 或y 的偶函数； （2）若),(y x f 满足关系式),(y x f -=-),(y x f 或),(y x f -=-),(y x f ，则称),(y x f 为关于或y 的奇函数；定义2 设函数),,(z y x f 定义在三维光滑曲线上（1）若),,(z y x f 满足关系式),,(z y x f -=),,(z y x f 或),,(z y x f -=),,(z y x f 或),,(z y x f -=),,(z y x f ，则称),,(z y x f 为关于x 或y 或z 的偶函数；（2）若),,(z y x f 满足关系式),,(z y x f -=-),,(z y x f 或),,(z y x f -=-),,(z y x f 或),,(z y x f -=-),,(z y x f ，则称),,(z y x f 为关于x 或y 或z 的奇函数；定理1 设函数),(y x f 在二维光滑（或分段光滑）曲线L 上可积，且曲线L 关于ox （或oy ）对称，则：（1）当偶函数时，⎰Lds y x f ),(=2⎰1),(L ds y x f （其中1L 是L 位于对称轴一侧的部分）；（2）当),(y x f 是y （或x ）的奇函数时，⎰Lds y x f ),(=0证 设关于ox 轴对称的光滑曲线21L L L +=（其中1L 、2L 分别是曲线L 位于ox 轴上、下两侧的部分）；则：⎰Lds y x f ),(=ds y x f L L ),()(21⎰⎰+用曲线L 上关于ox 轴对称点系分割L ，在1L 上的小弧段中任取一点（i ξ，i η），在2L 上关于i S ∆对称于ox 轴的小弧段中任取一点（i ξ，-i η），构造和式：∑i iif ),(ηξiS ∆+∑-ii i f ),(ηξiS ∆令：诸小弧段中最长者为λ，由于),(y x f 在L 上可积且i S ∆=i S '∆,于是 （1）当),(y x f 是y 的偶函数，即),(i i f ηξ-=),(i i f ηξ时，⎰Lds y x f ),(=0lim →x [∑i i i f ),(ηξi S ∆+∑-ii i f ),(ηξi S '∆]=0lim →x 2∑iiif ),(ηξiS ∆=2⎰1),(L ds y x f（2）当),(y x f 是y 的奇函数，即),(i i f ηξ-=-),(i i f ηξ时，⎰Lds y x f ),(=0lim →x [∑i i i f ),(ηξi S ∆+∑-ii i f ),(ηξi S '∆]=0lim →x {∑i iif ),(ηξiS ∆+∑-iii f )],([ηξiS'∆}=0lim→x ∑i0iS ∆=0 （证毕）定理2 设函数),,(z y x f 在三维光滑或（分段光滑）曲线Γ上可积，且曲线Γ对称于xoy （或yoz 或zox ）坐标面，则（1）当),,(z y x f 为关于z （或x 或y ）的偶函数时，有⎰Γds z y x f ),,(=2⎰Γ1),,(ds z y x f （其中1Γ是Γ位于对称坐标面一侧的部分）；（2）当),,(z y x f 为关于z （或x 或y ）奇函数时，有⎰Γds z y x f ),,(=0推论 设函数),(y x f 在二维光滑（或分段光滑）曲线L 上可积，L 对称于ox 和oy 轴，则（1）当),(y x f 是关于y 和x 的偶函数时，有⎰Lds y x f ),(=4⎰1),(L ds y x f （其中1L 是L 位于第Ⅰ象限中的部分）（2）当),(y x f 是关于y 和x 中至少某一变量的奇函数时，有⎰Lds y x f ),(=0例1 计算ds yx xy x ⎰=++1解：∵积分曲线既对称于ox 轴又对称于oy 轴，且被积函数),(y x f =yx x+是x 的奇函数 ∴原式=ds yx xy x ⎰=++1=⎰=+11y x ds x（二）第二类曲线积分的对称问题定理3 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函数，设为)(x y y ±=，（b x a ≤≤）。
关于重积分_曲线积分_曲面积分的对称性定理的应用
dxdy = 2∫∫ sin ye− x − y dxdy 。因此选 A。
2 2
D1
在第一型曲线、曲面积分中，也有与重积分完全类似的对称性定理。 定理二：第一型曲线积分、曲面积分的对称性定理 1．奇偶对称性：若 f（x，y，z）关于 x 为奇函数（或偶函数） ，积分区域 L 或 S 关于 oyz 面对称，则对第一型曲线积分有 （L1 为 L 的一半） ：
（1）
2．如果积分域 D 关于 y 轴对称，f（x，y）为 x 的奇（或偶）函数，D2 为 D 中 x ≥ 0 的部分，则：
∫∫
D
（2）
3．如果积分域 D 关于原点对称，f（x，y）同时为 x，y 的奇（或偶）函数，D1 为 D 中 y ≥ 0 的部分，则：
∫∫ f ( x, y)dσ = ⎨2∫∫ f ( x, y)dσ ,
S
CHINA EDUCATION RESEARCH ANALECTS
·155·
中国教育研究论丛（2006）
∫∫ xyds = 0
2 ∫∫ x ds = 2 S S
，S 关于 Oyz 对称，f（x，y，z）= xy 关于 x 为奇函数。
S I{ x ≥ 0}
∫∫
x 2 ds = 2
⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂x ⎞ ( R 2 − y 2 − z 2 ) ⋅ 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dydz >0 ∫∫ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ y2 + z2 ≤ R2
D
⎧0 , ⎪ ⎪ ⎩
D1
f (− x, − y) = − f ( x, y) f (− x, − y) = f ( x, y)
（3）
4．如果积分域 D 是轮换区域，即 D 关于直线 y = x 对称，则有：
巧用对称性求解二、三重,第一、二类曲、线面积分
华北水利水电学院巧用对称性求解二、三重，第一、二类曲、线面积分课程名称：高等数学（下）专业班级：成员组成：联系方式：2012年5月18日摘要：对称性普遍存在于自然界中，它不仅让大自然的万事万物充满了美感，而且给人类的科学研究提供了一个非常有效的工具。
对于积分的计算，计算步骤繁琐，而且难于理解。
但是如果合理并巧妙地利用对称性去计算积分。
就能达到事半功倍的效果。
而且，理解对称性在解题中的原理，能过加深学生对积分的理解，并提高对高数学习的兴趣。
同时也能开发同学们的思维。
关键词：积分，对称性，函数，奇偶性，积分区域。
英文题目Abstract :Symmetry is ubiquitous in nature, it is not only the nature of all things full of beauty, but also to human scientific research to provide a very effective tool. Integrals, the calculation steps cumbersome and difficult to understand. But if a reasonable and clever use of symmetry to calculate the integral. Can achieve a multiplier effect. Moreover, understanding the principle of symmetry in the problem-solving, can deepen students' understanding of the integral, and improve the high number of interest in learning. Also develop students' thinking.Key words ：Integral, symmetry, function, and parity, the integral region.引言：积分包括二重积分、三重积分，第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分。
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∑
乙 乙
其实 ， 仔 细 分 析 这 种 做 法 是 错 误 的 . 这 是 第 二 类 曲 面
1072.
数学学习与研究 2009.7
96
专题研究
ZHUANTI YANJIU
利用对称性计算两类曲面积分时的差异问题
◎ 于宁莉 王 静 （ 西安第二炮兵工程学院数学与军事运筹教研室
【摘 要 】 利 用 对 称 性 计 算 两 类 曲 面 积 分 都 可 以 简 化 计 算 ，但 是 由 于 两 类 积 分 本 身 的 特 点 不 同 ，二 者 在 利 用 对 称 性的方法上存在差异， 结合教学中的案例分析这一差异 性 ，提 醒 学 生 注 意 概 念 和 方 法 的 细 节 差 异 ，以 强 调 数 学 的 严谨性 . 【 关键词 】 对称性 ； 曲面积分 ； 积分区域 对称性在 多 元 函 数 积 分 学 中 起 了 非 常 重 要 的 作 用 ， 利 用对称性可以极大地简化积分计算. 不论是在二重积分、 三 重 积 分 、两 类 曲 线 积 分 和 两 类 曲 面 积 分 中 ，它 的 这 种 简 化作用都十分明显 . 但 是 笔 者 在 教 学 过 程 中 发 现 许 多 学 生 笼统地把对称性的 法 则 应 用 于 这 些 积 分 计 算 中 ， 由 于 过 度 追 求 对 称 性 的 应 用 ，而 忽 略 了 积 分 本 身 的 特 点 ，结 果 导 致 用了对称性的方法 却 得 出 了 错 误 的 结 果 ， 反 而 让 自 己 陷 入 迷茫之中 . 下面 ， 笔 者 就 结 合 教 学 中 出 现 的 案 例 分 析 在 利 用对称性计算两类曲面积分时的差异问题 . 1. 教学中的案例分析 下面分析两道练习题. 同济大学应 用 数 学 系 主 编 的 《 高等数学 》 第五版第十章总习题十第 4 题 （1 ） 和 （5 ） 小题 ： （1） 计算
∑
dS 乙 乙 x +y +z
2 2
2
，其中∑是介于平面 z = 0 及 z = H
之间的圆柱面 x2 + y2 = R2. 解 这 是 计 算 第 一 类 曲 面 积 分 ， 由 于 积 分 曲 面 ∑被
yOz 平面 分 成 前 后 两 部 分 ∑前 、∑后 ， 且 ∑前 、∑后 关 于 yOz 平 面对称 ， 另一方面被 积 函 数 2 12 2 是 关 于 x 的 偶 函 数 ， x +y +z 亦即关于 yOz 平面对称 ， 则由对称性知 dS dS =2 . x 2 + y 2 + z2 x 2 + y 2 + z2 ∑ ∑
Dyz
2 2 2 2 2
Dyz
2
R （x ，y ，z ）dxdy ＝ 0 ； 乙 乙 R （x ，y ，z ）dxdy = 2 乙 R （x ，y ，z ）dxdy. 乙 乙 乙
∑1
2
乙 姨RR- y
-R 2
R
2
dy
乙 R dz +z
0 2
H
2
= 2π arctan H . R
（2 ） 当 R （x ，y ，z ） 关于 z 为奇函数时 ， 则
乙 乙
0 ，y ≥ 0 ） 的外侧 .
分析 由于上一小题利用对称性得心应手 ， 同学们也 很 快 发 现 了 本 小 题 的 积 分 曲 面 ∑ 被 xOy 平 面 分 为 上 下 两 部分 ∑上 、∑下 （ 分别 位 于 第 1 ，5 卦 限 ）， 且 ∑上 、∑下 关 于 xOy 平面对称 ， 而被积函数 xyz 是关于 z 的奇函数 ， 则由 对 称 性 知 xyzdxdy = 0 （ 错误结果 ）.
∑
这一小题 同 学 们 都 能 做 对 ， 并 且 体 会 到 了 对 称 性 计 算 曲面积分的简便之处 . （5 ） 计 算 xyzdxdy ， 其 中 ∑ 为 球 面 x2 ＋ y2 ＋ z2 ＝ 1 （x ≥
∑
第一 类 曲 面 积 分 的 对 称 性 和 二 重 、 三 重 积 分 的 情 况 类 似 ， 这里就不再赘述 . 【 参考文献 】 ［1 ］ 同济大 学 应 用 数 学 系 ． 高 等 数 学 ． 北 京 ： 高 等 教 育 出 版社 ，2002 （7 ）. ［2 ］ 高等学校工科数学教学指导委员会 ． 高等数学释疑 解难 ． 北京 ： 高等教育出版社 ，1992 （8 ）. ［3 ］ 刘 富 贵 ， 鲁 凯 生 ． 利 用 对 称 性 计 算 第 二 类 曲 线 积 分 与曲面积分的方法 ． 武汉理工大学学报 ，2006 ，30 （6 ）：1069－
∑上 ：z = 姨1 - x2 - y2 ，∑下 ：z = - 姨1 - x2 - y2 ， 它 们 在 xOy 平面上的投影区域都是 Dxy:x2 + y2 ≤ 1 （x ≥ 0 ，y ≥ 0 ）， 因此 ， xyzdxdy = xyzdxdy + xyzdxdy=
乙 乙 乙 乙 乙 乙 xy （- 姨1 - x - y xy 姨1 - x - y dxdy - 乙 乙 乙 乙 2乙 xy 姨1 － x － y dxdy ＝ 乙
∑ ∑上 ∑下
2 2 2
2
）dxdy =
Dxy
Dxy
2
2
Dxy
2
乙 dθ 乙r sin θ cos θ 姨1 － r ·rdr ＝
2 2 0 0π 2 Nhomakorabea1
2
乙 sin θ cosθ dθ 乙［（1 － r ）
2 0 0
π 2
1
3 2
－ （ 1 － r2 ） ］ 1 d （ 1 － 2
1 2
r2 ） ＝ 2 ； 15
∑
710025 ）
积 分 ，同 学 们 对 对 称 性 的 分 析 是 对 的 ，但 是 在 利 用 对 称 性 时却忽视了第 二 类 与 第 一 类 曲 面 积 分 的 本 质 差 别 ： 也 就 是 第二类曲面积 分 中 积 分 曲 面 ∑ 是 有 方 向 （ 侧 ） 的 . 在 本 题 中 ∑上 和 ∑下 的方向恰好相反 ，所以不能按照第 （1） 小题中计算 第一类曲面积分的方面利用对称性 ，该题的正确做法是 ：
乙 乙
乙 乙
前
而 ∑前 ：x = 姨R2 － y2 ，（y ，z ）∈Dyz ＝ ｛（y ，z ）：－R ≤ y ≤
R ，0 ≤ z ≤ H｝，所以 2
∑
乙 乙x +dS y +z
2 2 2 2
2
=2
∑前
2
乙 乙x +dS y +z
2 2
2
=
-y 乙 乙R 1+ z 姨1 + ≤ ≤dydz = 姨R - y 1 R 2乙 dydz = 乙 R + z 姨R - y