利用对称性计算两类曲面积分时的差异问题

∑上 ：z = 姨1 - x2 - y2 ，∑下 ：z = - 姨1 - x2 - y2 ， 它 们 在 xOy 平面上的投影区域都是 Dxy:x2 + y2 ≤ 1 （x ≥ 0 ，y ≥ 0 ）， 因此 ， xyzdxdy = xyzdxdy + xyzdxdy=
乙 乙 乙 乙 乙 乙 xy （- 姨1 - x - y xy 姨1 - x - y dxdy - 乙 乙 乙 乙 2乙 xy 姨1 － x － y dxdy ＝ 乙
∑
乙 乙
其实 ， 仔 细 分 析 这 种 做 法 是 错 误 的 . 这 是 第 二 类 曲 面
1072.
数学学习与研究 2009.7
Dyz
2 2 2 2 2
Dyz
2
R （x ，y ，z ）dxdy ＝ 0 ； 乙 乙 R （x ，y ，z ）dxdy = 2 乙 R （x ，y ，z ）dxdy. 乙 乙 乙
∑1
2
乙 姨RR- y
-R 2
R
2
dy
乙 R dz +z
0 2
H
2
= 2π arctan H . R
（2 ） 当 R （x ，y ，z ） 关于 z 为奇函数时 ， 则
∑
这一小题 同 学 们 都 能 做 对 ， 并 且 体 会 到 了 对 称 性 计 算 曲面积分的简便之处 . （5 ） 计 算 xyzdxdy ， 其 中 ∑ 为 球 面 x2 ＋ y2 ＋ z2 ＝ 1 （x ≥
∑
第一 类 曲 面 积 分 的 对 称 性 和 二 重 、 三 重 积 分 的 情 况 类 似 ， 这里就不再赘述 . 【 参考文献 】 ［1 ］ 同济大 学 应 用 数 学 系 ． 高 等 数 学 ． 北 京 ： 高 等 教 育 出 版社 ，2002 （7 ）. ［2 ］ 高等学校工科数学教学指导委员会 ． 高等数学释疑 解难 ． 北京 ： 高等教育出版社 ，1992 （8 ）. ［3 ］ 刘 富 贵 ， 鲁 凯 生 ． 利 用 对 称 性 计 算 第 二 类 曲 线 积 分 与曲面积分的方法 ． 武汉理工大学学报 ，2006 ，30 （6 ）：1069－
∑
dS 乙 乙 x +y +z
2 2
2
，其中∑是介于平面 z = 0 及 z = H
之间的圆柱面 x2 + y2 = R2. 解 这 是 计 算 第 一 类 曲 面 积 分 ， 由 于 积 分 曲 面 ∑被
yOz 平面 分 成 前 后 两 部 分 ∑前 、∑后 ， 且 ∑前 、∑后 关 于 yOz 平 面对称 ， 另一方面被 积 函 数 2 12 2 是 关 于 x 的 偶 函 数 ， x +y +z 亦即关于 yOz 平面对称 ， 则由对称性知 dS dS =2 . x 2 + y 2 + z2 x 2 + y 2 + z2 ∑ ∑
∑ ∑上 ∑下
2 2 2
2
）dxdy =
Dxy
Dxy
2
2
Dxy
2
乙 dθ 乙r sin θ cos θ 姨1 － r ·rdr ＝
2 2 0 0
π 2
1
2
乙 sin θ cosθ dθ 乙［（1 － r ）
2 0 0
π 2
1
3 2
－ （ 1 － r2 ） ］ 1 d （ 1 － 2
1 2
r2 ） ＝ 2 ； 15
乙 乙
乙 乙
前
而 ∑前 ：x = 姨R2 － y2 ，（y ，z ）∈Dyz ＝ ｛（y ，z ）：－R ≤ y ≤
R ，0 ≤ z ≤ H｝，所以 2
∑
乙 乙x +dS y +z
2 2 2 2
2
=2
∑前
2
乙 乙x +dS y +z
2 2
2Байду номын сангаас
=
-y 乙 乙R 1+ z 姨1 + ≤ ≤dydz = 姨R - y 1 R 2乙 dydz = 乙 R + z 姨R - y
这样 的 错 误 在 学 生 的 练 习 题 中 也 表 现 明 显 ， 几 乎 多 一 半的学生都陷入该 误 区 . 对 面 积 的 曲 面 积 分 （ 第 一 类 ） 与 曲 面 （积 分 域 ）的 侧 （方 向 ）无 关 ，故 考 虑 对 称 性 时 比 较 容 易. 但对坐标的曲面积 分 （ 第 二 类 ） 与 曲 面 的 侧 有 关 ， 所 以 在 考 虑它的对称性 时 还 要 考 虑 曲 面 的 侧 ， 也 即 要 顾 及 被 积 函 数 与曲面 . 2. 第二类曲面积分的对称性 关于第二类曲面积分的对称性有以下定理 ： 定 理 设 ∑ 为 关 于 xOy 平 面 对 称 的 有 向 光 滑 曲 面 ， 其 方 程 是 一 双 值 函 数 ， 设 为 z ＝ ±z （x ，y ），（x ，y ） ∈Dxy （ 其 中 Dxy 为 ∑ 在 xOy 平 面 上 的 投 影 区 域 ）， 记 ∑1、 ∑2 分 别 为 ∑ 位 于 xOy 平面的上半部分与下 半 部 分 ， ∑1 与 ∑2 的 侧 关 于 xOy 平面相反 ， 函数 R （x ，y ，z ） 在 ∑上连续 ， 那么 ： （1 ） 当 R （x ，y ，z ） 关于 z 为偶函数时 ， 则
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专题研究
ZHUANTI YANJIU
利用对称性计算两类曲面积分时的差异问题
◎ 于宁莉 王 静 （ 西安第二炮兵工程学院数学与军事运筹教研室
【摘 要 】 利 用 对 称 性 计 算 两 类 曲 面 积 分 都 可 以 简 化 计 算 ，但 是 由 于 两 类 积 分 本 身 的 特 点 不 同 ，二 者 在 利 用 对 称 性的方法上存在差异， 结合教学中的案例分析这一差异 性 ，提 醒 学 生 注 意 概 念 和 方 法 的 细 节 差 异 ，以 强 调 数 学 的 严谨性 . 【 关键词 】 对称性 ； 曲面积分 ； 积分区域 对称性在 多 元 函 数 积 分 学 中 起 了 非 常 重 要 的 作 用 ， 利 用对称性可以极大地简化积分计算. 不论是在二重积分、 三 重 积 分 、两 类 曲 线 积 分 和 两 类 曲 面 积 分 中 ，它 的 这 种 简 化作用都十分明显 . 但 是 笔 者 在 教 学 过 程 中 发 现 许 多 学 生 笼统地把对称性的 法 则 应 用 于 这 些 积 分 计 算 中 ， 由 于 过 度 追 求 对 称 性 的 应 用 ，而 忽 略 了 积 分 本 身 的 特 点 ，结 果 导 致 用了对称性的方法 却 得 出 了 错 误 的 结 果 ， 反 而 让 自 己 陷 入 迷茫之中 . 下面 ， 笔 者 就 结 合 教 学 中 出 现 的 案 例 分 析 在 利 用对称性计算两类曲面积分时的差异问题 . 1. 教学中的案例分析 下面分析两道练习题. 同济大学应 用 数 学 系 主 编 的 《 高等数学 》 第五版第十章总习题十第 4 题 （1 ） 和 （5 ） 小题 ： （1） 计算
乙 乙
0 ，y ≥ 0 ） 的外侧 .
分析 由于上一小题利用对称性得心应手 ， 同学们也 很 快 发 现 了 本 小 题 的 积 分 曲 面 ∑ 被 xOy 平 面 分 为 上 下 两 部分 ∑上 、∑下 （ 分别 位 于 第 1 ，5 卦 限 ）， 且 ∑上 、∑下 关 于 xOy 平面对称 ， 而被积函数 xyz 是关于 z 的奇函数 ， 则由 对 称 性 知 xyzdxdy = 0 （ 错误结果 ）.
∑
710025 ）
积 分 ，同 学 们 对 对 称 性 的 分 析 是 对 的 ，但 是 在 利 用 对 称 性 时却忽视了第 二 类 与 第 一 类 曲 面 积 分 的 本 质 差 别 ： 也 就 是 第二类曲面积 分 中 积 分 曲 面 ∑ 是 有 方 向 （ 侧 ） 的 . 在 本 题 中 ∑上 和 ∑下 的方向恰好相反 ，所以不能按照第 （1） 小题中计算 第一类曲面积分的方面利用对称性 ，该题的正确做法是 ：